Unidad 4 ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones

W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s

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UUNNIIDDAADD 44:: EECCUUAACCIIOONNEESS,, IINNEECCUUAACCIIOONNEESS YY SSIISSTTEEMMAASS DDEE EECCUUAACCIIOONNEESS

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen

valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los

valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes. Las incógnitas se representan por letras y constituyen los valores que se pretenden hallar. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa

dependiendo de los valores numéricos que tomen ambos miembros; luego una ecuación es una igualdad

condicional en la que solo ciertos valores de las variables la hacen cierta. Se llama solución o raíz de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Resolver una ecuación es encontrar su

dominio solución, el cual es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple.

Cuando dos o más ecuaciones tienen el mismo conjunto solución, se dice que son ecuaciones equivalentes. Por lo general las ecuaciones se resuelven iniciando con la ecuación dada y produciendo una serie de ecuaciones equivalentes más simples.

Para resolver ecuaciones se aplican las siguientes propiedades:

Propiedad aditiva de la igualdad Si ba , entonces cbca para todo Rcba ,,

Propiedad multiplicativa de la igualdad Si ba , entonces cbca para todo Rcba ,,

4.1 ECUACIÓNES LINEALES

Una ecuación lineal o de primer grado es una igualdad entre dos expresiones algebraicas involucrando una o más

variables elevadas a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. Una ecuación lineal tiene la forma:

cbax , con 0a

Resuelva las siguientes ecuaciones lineales:

a. 942 x c. yyy 24362157

b. 10352 bb d. xx3

14

2

1

Solución:

Ecuación Solución Conjunto solución

1132 x 4x 4

xx 62 3x y 2x 3,2

Ejemplo No. 56

Ejemplo No. 57

http://es.wikipedia.org/wiki/Igualdad_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Expresi%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Dato

http://es.wikipedia.org/wiki/Inc%C3%B3gnita

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero

http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_matem%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_%28matem%C3%A1ticas%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Igualdad_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Expresi%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable


Página 55

1. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales:

a. 108428 xxx e. 44

32 nn

b. 2134632 mm f. 623

12

4

1 zz

c. 746263 yy

g. 3

2

8

7

12

5

6

5 mm

d. 234654463 xxxxx

2. Resuelva cada uno de los siguientes problemas:

a. Un padre tiene 35 años y su hijo 5 . ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la

edad del hijo? b. Si al doble de un número se le resta su mitad y resulta 54 . ¿Cuál es el número?

c. La base de un rectángulo es el doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?

d. En una reunión hay el doble número de mujeres que de hombres y el triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96

personas?

e. Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55 . ¿Cuál es el número?

f. ¿Qué número se debe restar de 2p para obtener 5 ?

g. Tres números impares consecutivos suman 81 . ¿Cuáles son los números?

h. La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103 . ¿Cuáles son los números?

i. Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12

años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo.

¿Cuántos años tiene cada uno actualmente?

Actividad No. 14

a. 942 x 492 x 52 x

2

5x

b. 10352 bb 51032 bb 155 b 5

15

b

3b

c. yyy 24362157 yyy 481862157

26102157 yy

5220157 yy

1552207 yy

6727 y

2767y

d. xx3

14

2

1

xx3

12

2

1 2

3

1

2

1 xx 2

6

23

xx 2

6

x

12x


Página 56

j. La edad de María es el triple de la de Ester y excede en 5 años a la edad de Isabel. Si las edades de Ester e

Isabel suman 23 años. Hallar la edad de cada una.

k. Se compran 25 lápices, 32 cuadernos y 24

gomas de borrar y se cancela por ello 16900$ . Si cada

cuaderno cuesta el triple de cada goma, más 20$ y cada lápiz cuesta el doble de cada goma, más 8$ . ¿Cuánto

cuesta cada material? l. El numerador de una fracción excede en dos unidades al denominador. Si al numerador se le suma 3 , la

fracción queda equivalente a 3

4 . Hallar la fracción.

4.2 ECUACIÓNES CUADRÁTICAS

Una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado, es una ecuación de la forma:

02 cbxax , con Rcba ,, y 0a

Dependiendo del valor de las constantes b y c , las ecuaciones cuadráticas se clasifican en:

Ejemplo

Ecuaciones incompletas

Son aquellas en las cuales 0b o 0c

0

0

0

2

2

2

cax

bxax

ax

04 2 x

053 2 xx

072 2 x

Ecuaciones completas

Son aquellas en las cuales 0b y 0c

02 cbxax

0276 2 xx

Solucionar una ecuación cuadrática consiste en encontrar los valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad.

4.2.1 Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas

En la solución de una ecuación cuadrática incompleta se distinguen tres casos:

Caso 1: Ecuación de la forma 02 ax

Para este caso la única solución es 0x con multiplicidad algebraica 2 (repetida dos veces)

Caso 2: Ecuación de la forma 02 bxax

Para este caso se factoriza la expresión bxax 2

obteniéndose de esta manera 0baxx

De lo anterior se concluye que las soluciones son 0x y a

bx

Caso 3: Ecuación de la forma 02 cax

Para este caso tenemos que las soluciones son a

cx


Página 57

4.2.2 Solución de ecuaciones cuadráticas completas

Para resolver una ecuación cuadrática completa de la forma 02 cbxax , se utilizan cuatro métodos citados

a continuación:

1. Solución por factorización. 2. Solución completando cuadrado. 3. Solución por fórmula general. 4. Solución gráfica.

4.2.2.1 Solución por factorización

Para solucionar una ecuación cuadrática completa de la forma 02 cbxax , se factoriza (si es posible) la

expresión cbxax 2

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por factorización:

a. 0822 xx

b. 0276 2 xx

Solución:

a. 0822 xx 024 xx 04 x o 02 x 4x o 2x

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas:

a. 03 2 x c. 0164 2 x

b. 062 2 xx d. 0164 2 x

Solución:

a. 03 2 x 3

02

x 02 x 0x

b. 062 2 xx 062 xx 0x o 062 x

Si 062 x 62 x 2

6x 3x

c. 0164 2 x 164 2 x

4

162 x 42 x 4x 2x

d. 0164 2 x 164 2 x

4

162 x 42 x 4x

14 x

14 x ix 2

Ejemplo No. 58

Ejemplo No. 59


Página 58

4.2.2.2 Solución completando cuadrado

Para solucionar una ecuación cuadrática completa de la forma 02 cbxax , se completa cuadrado con la

expresión cbxax 2

4.2.2.3 Solución por fórmula general

Para solucionar una ecuación cuadrática completa de la forma 02 cbxax , se aplica la siguiente fórmula

general:

a

acbbx

2

42

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas completando cuadrado: a. 01662 xx

b. 01284 2 xx

Solución:

a. 01662 xx

01662 xx 016932

x 02532

x

2532x 253

2x 53 x

35x 8x y 2x

b. 01284 2 xx 01224 2 xx 0124142

x

016142

x 16142x

4162

1 x

412x 41

2x 21 x 3x y 1x

b. 0276 2 xx 02766

6 2 xx 01242366

1 2 xx

0126766

1 2 xx 03646

6

1 xx

0366

4

6

6

xx 036

3

2

xx

03

2x o 036 x

3

2x o

2

1x

Ejemplo No. 60


Página 59

4.2.2.4 Solución gráfica

Gráficamente, la solución de una ecuación cuadrática representa los cortes, si los hay, de la parábola con el eje x

Ecuación 062 2 xx Ecuación 0164 2 x Ecuación 01284 2 xx

Parábola xxy 62 2 Parábola 164 2 xy Parábola 1284 2 xxy

Soluciones

(cortes) 0x y 3x

Soluciones

(cortes) 2x y 2x

Soluciones

(cortes) 3x y 1x

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por fórmula general:

a. 0542 xx

b. 048284 2 xx

Solución:

a. Para este caso tenemos que 1a , 4b y 5c , por lo tanto:

2

64

2

364

2

20164

12

514442

x 1x y 5x

b. Para este caso tenemos que 4a , 28b y 48c , por lo tanto:

8

428

8

1628

8

76878428

42

484428282

x 3x y 4x

Ejemplo No. 61

Ejemplo No. 62


Página 60

1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas:

a. 0252 x c. 024 2 xx

b. 0644 2 x d. xx 6012 2

2. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas empleando factorización:

a. 025102 xx c. 292530 xx

b. 025204 2 xx d. 6175 2 xx

3. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas completando cuadrado:

a. 01062 xx c. 01642 2 xx

b. 0463 2 xx d. 0499 2 xx

4. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas empleando formula general:

a. 0162 2 xx c. 0126 2 xx

b. 142 2 xx d. 052 xx

4.3 ECUACIONES QUE SE PUEDEN REDUCIR A ECUACIONES CUADRÁTICAS

Existen dos tipos de ecuaciones que aparentemente, no son ecuaciones cuadráticas. Dichas ecuaciones son las ecuaciones con radicales y las ecuaciones bicuadráticas.

4.3.1 Ecuaciones con radicales

Una ecuación con radical es aquella ecuación que tiene una variable en un radicando.

Resuelva las siguientes ecuaciones con radicales:

a. xx 51

b. 1132 xx

Solución:

a. xx 51 51 xx 22

51 xx 25101 2 xxx

0125102 xxx 024112 xx 038 xx

08 x o 03x 8x o 3x

b. 1132 xx 1132 xx 22

1132 xx

1121322

xxx 112132 xxx

Actividad No. 15

Ejemplo No. 63


Página 61

4.3.2 Ecuaciones bicuadráticas

Una ecuación bicuadrática es una ecuación de la forma 024 cbxax . Para solucionar una ecuación

bicuadrática, se convierte dicha ecuación en una ecuación cuadrática (de segundo grado). Para tal efecto se hacen las siguientes sustituciones:

2xu

42 xu

Las cuales al ser reemplazadas en la ecuación original se obtiene:

02 cbuau

Como al resolver la ecuación cuadrática anterior se obtienen dos valores para u , luego al hacer 2xu , se

obtendrán dos nuevos valores.

Resuelva las siguientes ecuaciones bicuadráticas:

a. 045 24 xx

b. 018202 24 xx

Solución:

a. Al realizar la sustitución 2xu y 42 xu , nos queda que:

0452 uu 014 uu 04 u o 01u 4u o 1u

Para 4u tenemos que 42 x 42 x 2x

Para 1u tenemos que 12 x 12 x

1x

b. Al realizar la sustitución 2xu y 42 xu , nos queda que:

018202 2 uu 0182022

2 2 uu 0364042

1 2 uu

03622022

1 2 uu 022182

2

1 uu

12232 xxx 12232 xxx

121 xx 22121 xx

14122 xxx 44122 xxx

041422 xxx 0322 xx

013 xx 03 x o 01x 3x o 1x

Ejemplo No. 64


Página 62

1. Resuelva las siguientes ecuaciones con radicales:

a. xx 32 c. 953143 xx

b. 0251 xx d. 2585282 xxx

2. Resuelva las siguientes ecuaciones bicuadráticas:

a. 0363 24 xx c. 01692 24 xx

b. 043 24 xx d. 052 24 xx

3. Resuelva cada uno de los siguientes problemas:

a. Dos números reales se diferencian en 3 unidades. Si la suma de sus cuadrados es 369 , halle los números.

b. Claudia Marcela es 4 años mayor que Paola Andrea. Si dentro de 4 años el producto de

sus edades es 252 , determine las edades actuales.

c. Ricardo tiene 3 años más que Diego y el cuadrado de la edad de Ricardo disminuido en el

cuadrado de la edad de Diego es equivalente a 129 años. Halle la edad de ambos.

d. Halle las dimensiones del triángulo de la figura, si se sabe que su área es de 250 m2.

e. Si se restan 2 cm al lado de un cuadrado, el área del cuadrado resultante es igual a 25

cm2 ¿Cuánto mide el lado del cuadrado restante? f. Andrea compró cierto número de libros 180000$ . Si hubiera comprado 6 libros menos por el mismo dinero,

cada libro le habría costado 1000$ más ¿Cuántos libros compró y cuánto le costó cada uno?

g. Cierto número de dulces costaron 3600$ . Si cada dulce costara 20$ menos, habría comprado 6 dulces

más. Halle la ecuación que corresponde al problema y resuélvala.

4. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones lineales:

a. 5

32

5

47

4

35 xxx

c.

xxxx

2

3

1

31

b. 6

533

4

532

xxx

d.

14

3

2

11

1

x

Actividad No. 16

02

2

2

2182

uu 01182 uu

0182 u o 01u 9u o 1u

Para 9u tenemos que 92 x 92 x 3x

Para 1u tenemos que 12 x 12 x

1x


Página 63

5. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas:

a. 24

1

2

32

xx

x c.

x

x

xx

x

3

8

2

1

9

80

3

52

b. 63

2

4

1

2

212

xx

x

x

x d. 1

1

1

1

1

x

x

x

x

4.4 INECUACIONES

4.4.1 Desigualdad

Una desigualdad es una expresión que indica que una cantidad es mayor (mayor o igual) o menor (menor o igual) que otra. Los signos de desigualdad son:

Signo Significado

Menor.

Menor o igual.

Mayor.

Mayor o igual.

Se llama primer miembro de una desigualdad a la expresión que está a la izquierda y segundo miembro a la que está a la derecha del signo de desigualdad.

4.4.1.1 Propiedades de las desigualdades

Propiedad

1. Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no cambia.

Si ba , entonces: cbca cbca

Si ba , entonces:

cbca cbca

2. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no cambia.

Si ba y 0c entonces:

bcac

c

b

c

a


bcac

c

b

c

a


Página 64

3. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad cambia.


bcac

c

b

c

a


bcac

c

b

c

a

4. Si se invierten los dos miembros de una desigualdad, el

signo de la desigualdad cambia.

Si ba entonces

ba

11

Si ba entonces ba

11

5. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia.

Sea 0a , 0b y 0n

Si ba entonces nn ba


6. Si los dos miembros de una desigualdad o uno de ellos es negativo y se elevan a una misma potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia.

Sea 0a o 0b y 0n impar. Si ba entonces

nn ba


7. Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y

se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad cambia.

Sea 0a , 0b y 0n par. Si ba entonces

nn ba


8. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma raíz, el signo de la desigualdad

no cambia.

Sea 0a y 0b



4.4.2 Intervalos

Un intervalo abierto ba , es el conjunto de todos los números reales x mayores que a y menores que b .

Es decir:

bxaRxba : ,

Un intervalo cerrado ba , es el conjunto de todos los números reales x mayores o iguales que a y

menores o iguales que b . Es decir:

bxaRxba : ,

Un intervalo cerrado-abierto ba , es el conjunto de todos los números reales x mayores o iguales que a

y menores que b . Es decir:

x a b

x a b


Página 65

bxaRxba : ,

Un intervalo abierto-cerrado ba , es el conjunto de todos los números reales x mayores que a y

menores o iguales que b . Es decir:

bxaRxba : ,

Un intervalo ,a es el conjunto de todos los números reales x mayores que a . Es decir:

xaRxa : ,

Un intervalo ,a es el conjunto de todos los números reales x mayores o iguales que a . Es decir:

xaRxa : ,

Un intervalo b , es el conjunto de todos los números reales x menores que b . Es decir:

bxRxb : ,

Un intervalo b , es el conjunto de todos los números reales x menores o iguales que b . Es decir:

bxRxb : ,

4.4.3 Inecuación

Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que solo se

verifica para determinados valores de las incógnitas. Resolver una inecuación es hallar los valores de las

incógnitas que satisfacen la inecuación. En una inecuación con una incógnita, cualquier número real que esté contenido en el dominio de las incógnitas, y que al sustituirse por la incógnita en la inecuación hace que la

desigualdad correspondiente se cumpla, es una solución de la inecuación.

Dada una inecuación de una incógnita, el subconjunto S del dominio de la incógnita, cuyos elementos son las

soluciones de la inecuación dada, recibe el nombre de conjunto solución.

En la inecuación 32 x , el dominio de la incógnita es el conjunto de los números reales R y se puede

demostrar que esta desigualdad se cumple únicamente para los valores de x mayores que 1 , por lo que su

conjunto solución es:

En a inecuación 32 x , si x

se reemplaza por 5 , la desigualdad se cumple. Es decir, se tiene que

325 , por lo que 5

es una solución de la inecuación 32 x

x a

x a

x b

x b

x a b

x a b

Ejemplo No. 65

Ejemplo No. 66


Página 66

4.4.3.1 Inecuaciones lineales con una incógnita

Sean a , b y c constantes reales con a 0a . Se llama inecuación lineal o inecuación de primer grado con

una incógnita a toda inecuación que se pueda llevar a alguna de las siguientes formas:

cbax cbax cbax cbax

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

a. 127 x

b. 1123 x

Solución:

a. 127 x 71277 x 5x

Por lo tanto:

Intervalo solución: 5,S

Conjunto solución: 5: xRxS

La gráfica del intervalo solución es:

b. 1123 x 211223 x 93 x 3

9

3

3

x 3x

Por lo tanto:

Intervalo solución: 3,S


,1S Intervalo solución.

1: xRxS Conjunto solución.


Ejemplo No. 67


Página 67

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones lineales:

a. 532 x e. 73

22

4 x

x

b. 233

x

f. 321 2 xxx

c. 2835 xx g. xxx 3132

d. 8542 xx h. 2

14

3 xx

4.4.3.2 Inecuaciones en las que un miembro es un producto y el otro miembro es cero

Las inecuaciones de este tipo se resuelven aplicando la ley de signos de la multiplicación definida en el conjunto de los números reales, de acuerdo con las siguientes propiedades:

Sean Ra y Rb , entonces:

Si 0ba 0000 baba

Si 0ba 0000 baba

Resuelva la siguiente inecuación 023 xx

Solución:

Tenemos que:

023 xx 02030203 xxxx

02030203 xxxx

2323 xxxx

Pero:

2,32,,323 xx

,23,23 xx

Por lo tanto:

2,32,32323 xxxx

Actividad No. 17


Ejemplo No. 68


Página 68


a. 0234 xx c. 0152 xx

b. 01233 xx d. 032 xx

4.4.6 Inecuaciones cuadráticas

Sean a , b y c constantes reales tales que 0a . Sea x una variable real. Llamaremos inecuación cuadrática

a toda inecuación en la que uno de sus miembros se puede llevar a una expresión de la forma cbxax 2

y el

otro miembro es cero.

Consideremos el caso en el cual la expresión cbxax 2

es factorizable. Para resolver estas inecuaciones se

debe factorizar la expresión cbxax 2, para posteriormente aplicar el procedimiento usado para resolver las

inecuaciones en el ejemplo anterior.


a. 03522 xx f. 0232 2 xx

b. 023 2 xx g. 0218 2 xx

c. 042 xx h. 07 2 x

d. 092 x i. 0

13

32

x

x

e. 062 2 xx j.

01234

1

xx

4.5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Toda igualdad de la forma cbyax donde Rba , es una ecuación lineal con dos incógnitas. Cada pareja

ordenada de números reales yx, que satisface dicha ecuación es una solución. De esta manera, dando valores

a x , se pueden obtener infinitos valores para y .

Actividad No. 19

Actividad No. 18

De esta manera:

Intervalo solución: 2,3S




Página 69

Un conjunto formado por dos o más ecuaciones lineales es llamado sistema de ecuaciones lineales o sistema de

ecuaciones simultáneas.

4.5.1 Sistema de ecuaciones lineales de 2x2

Un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 es un sistema formado por dos ecuaciones con dos incógnitas cada una. Un sistema de 2x2 puede tener una solución, infinitas soluciones o ninguna solución. Para determinar la solución o soluciones de un sistema de 2x2 se emplean métodos tales como:

1. Método de sustitución. 2. Método de igualación. 3. Método de reducción. 4. Método gráfico.

4.5.1.1 Método de sustitución

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 por el método de sustitución, se despeja una de las variables en cualquiera de las ecuaciones dadas. Luego se reemplaza dicho valor en la otra ecuación y se despeja

nuevamente la otra variable. Este valor se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones para hallar la variable inicial.

Resuelva por el método de sustitución el siguiente sistema de ecuaciones:

2822

11123

yx

yx

Solución:

Despejemos x en la ecuación 1 : 1123 yx

1123 yx

3

112

yx

3

Ahora se reemplaza x en la ecuación 2 y se halla el valor de y :

823

1122

y

y

82

3

224

y

y

8

3

6224

yy

8

3

222

y

24222 y

22242 y

22 y

2

2y

1y

Por último el valor de y encontrado se reemplaza en la ecuación 3 y se halla el valor de x :

3

1112 x

3

112x

3

9x

3x

De esta manera la solución del sistema es la pareja ordenada 1,3

Ejemplo No. 69


Página 70

4.5.1.2 Método de igualación

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 por el método de igualación, se despeja la misma variable en las dos ecuaciones dadas. Luego se igualan las expresiones obtenidas y se despeja la otra variable. Este valor se

reemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema para encontrar el valor faltante.

4.5.1.3 Método de reducción

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 por el método de reducción, se reducen las dos ecuaciones

del sistema a una sola ecuación sumándolas. Para tal efecto, es necesario amplificar convenientemente una de las

dos, de modo que los coeficientes en una de las variables sean opuestos. Al sumar las ecuaciones transformadas, la variable se elimina y es posible despejar la otra. Luego se procede como en los métodos anteriores.

Resuelva por el método de reducción el siguiente sistema de ecuaciones:

2123

1234

yx

yx

Resuelva por el método de igualación el siguiente sistema de ecuaciones:

21053

124

yx

yx

Solución:

Despejemos la variable x en las dos ecuaciones e igualemos las expresiones obtenidas:

De la ecuación 1 se tiene que 24 yx

4

2

yx

3

De la ecuación 2 se tiene que 1053 yx

3

105

yx

4

A continuación se igualan las ecuaciones 3 y 4 y se despeja la variable y :

3

105

4

2

yy

105423 yy

402063 yy

640203 yy

4623 y

23

46y

2y

Por último el valor de y encontrado se reemplaza en la ecuación 1 y se halla el valor de x :

224 x

224 x

224 x

04 x

4

0x

0x


Ejemplo No. 70

Ejemplo No. 71


Página 71

4.5.1.4 Método Gráfico

Este método consiste en graficar las rectas que corresponden a las ecuaciones que conforman el sistema, para determinar las coordenadas del punto yx, en el que se cortan dichas rectas. Cuando se utiliza el método

gráfico para resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2x2 se presentan tres casos.

Caso 1: Las rectas se cortan en un solo punto yx, . Esto significa que el sistema tiene una única solución,

dada por los valores x y y los cuales son las coordenadas del punto de corte.

Caso 2: Las rectas son paralelas. Luego no tienen puntos en común. Es decir, el sistema no tiene solución.

Caso 3: Las rectas coinciden en todos sus puntos. Por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones. Es decir, es

indeterminado.

Resuelva por el método gráfico los siguientes sistemas de ecuaciones:

a.

23

113

yx

yx

b.

2 43

1 23

yx

yx

c.

2 242

1 12

yx

yx

Solución:

a. Al despejar y de las ecuaciones 1 y 2 se tienen las rectas: 3

13

xy

xy

cuyas gráficas se muestran en la figura. Se observa que tienen un solo punto de corte en 4,1 . Por lo

tanto, la única solución del sistema es 4,1

Solución:

Al multiplicar por 3 la ecuación (1) y multiplicar por 4 la ecuación (2), se puede cancelar la variable x :

1234

2343

yx

yx

2

4812

6912

y

yx

yx

Por último, el valor de y encontrado se reemplaza en la ecuación 1 y se halla el valor de x :

2234 x

264 x

624 x

44 x

4

4x

1x


Ejemplo No. 72


Página 72

b. Al despejar y de las ecuaciones 1 y 2 se tienen las rectas:

43

23

xy

xy

cuyas gráficas se muestran en la figura. Se observa que no tienen punto de corte. Es decir, son dos rectas paralelas. Por lo que el sistema no tiene solución.

c. Al despejar y de las ecuaciones 1 y 2 se tienen las rectas:

2

1

2

1

2

1

2

1

xy

xy

las cuales representan la misma línea recta. Esto significa que dichas rectas coinciden en todos sus puntos.

Por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones. Es decir, es indeterminado


Página 73

1. Resuelva por el método de sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones:

a.

12

053

yx

yx d.

24

28

xy

yx

b.

92

13

yx

yx e.

113

42

yx

yx

c.

yx

yx

2136

621

2. Resuelva por el método de igualación los siguientes sistemas de ecuaciones:

a.

24

04

yx

yx d.

25

5

yx

yx

b.

1325

63

yx

yx e.

yxx

yx

45295

302830

c.

223

12

yx

yx

3. Resuelva por el método de reducción los siguientes sistemas de ecuaciones:

a.

93

1246

yx

yx d.

664

52

yx

yx

b.

132

42

yx

yx e.

332

1042

yx

yx

c.

142

723

yx

yx

4. Resuelva por el método gráfico los siguientes sistemas de ecuaciones:

a.

42

5

yx

yx d.

1622

8

yx

yx

b.

72

54

yx

yx e.

632

632

yx

yx

c.

13

92

yx

yx

Actividad No. 20


Página 74

4.5.2 Sistema de ecuaciones lineales de 3x3

Un sistema de ecuaciones lineales de 3x3 es un sistema formado por tres ecuaciones con tres incógnitas cada una.

Tal sistema en caso de tener solución es una terna ordenada de la forma zyx ,, . Para determinar la solución o

soluciones de un sistema de 3x3 se emplean algunos métodos ya explicados anteriormente para sistemas de 2x2.

Resuelva por el método de sustitución el siguiente sistema de ecuaciones:

223

122

732

zyx

zyx

zyx

3

2

1

Solución:

Despejemos z en la ecuación 1 : 732 zyx

732 yxz

4

Ahora se reemplaza z en las ecuaciones 2 y 3 :

Según 2 se tiene que 173222 yxyx

1383 yx

5

Según 3 se tiene que 273223 yxyx

555 yx

6

Ahora se debe resolver el siguiente sistema de 2x2:

555

1383

yx

yx 6

5

Despejemos x en la ecuación 5 : 1383 yx

yx 8133

3

138

yx

7

Ahora se reemplaza x en la ecuación 6 y se halla el valor de y :

553

1385

y

y

55

3

6540

y

y

5

3

156540

yy

5

3

6525

y

156525 y

156525 y

2y

A continuación el valor de y encontrado se reemplaza en la ecuación 7 y se halla el valor de x :

3

1328 x

3

1316x

3

3x

1x

Por último el valor de x y de y se reemplazan en la ecuación 4 para hallar z :

72312 z 762 z 3z

De esta manera la solución del sistema es la terna ordenada 3,2,1

Ejemplo No. 73


Página 75

1. Resuelva por el método de sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones:

a.

1574

522

73

zyx

zyx

zyx

c.

03

932

0

zyx

zyx

zyx

b.

36

2264

142

zyx

zyx

zyx

d.

1923

5

1

zyx

zyx

zyx

4.6 SISTEMA CONFORMADO POR UNA ECUACIÓN LINEAL Y UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Para resolver un sistema de ecuaciones en las cuales una ecuación es lineal y la otra es de segundo grado siga el siguiente procedimiento:

1. Resuelva la ecuación lineal para una de las incógnitas en términos de la otra. 2. Sustituya tal incógnita en la ecuación de segundo grado y resuelva la ecuación obtenida en términos de la

segunda incógnita. 3. Sustituya en la ecuación lineal los valores encontrados en el paso 2 para encontrar los valores

correspondientes de la primera incógnita.

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

386196

10672 yxx

yx

2

1

Solución:

Despejemos y de la ecuación 1 : 1067 yx

xy 7106

6

710 xy

3

Ahora se reemplaza y en la ecuación 2 y se halla el valor de x :

386

7106196 2

xxx

38710196 2 xxx

38710196 2 xxx

048126 2 xx

0822 xx

024 xx

04 x o 02 x

4x o 2x

Si 4x , entonces según 3 se tiene que

6

18

6

2810

6

4710

y

3y

Actividad No. 21

Ejemplo No. 74


Página 76

1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:

a.

5

5022 22

yx

yxyx c.

134

1916

22

yx

yx

b.

7

1092 22

yx

yx d.

3

11

6

711

xy

yx

Actividad No. 22

Si 2x , entonces según 3 se tiene que

6

24

6

1410

6

2710

y

4y

De esta manera la solución del sistema son los puntos 3,4 y 4,2

Geométricamente la solución del sistema son los puntos de intersección de la recta 3

5

6

7 xy

con la

parábola 3

19

2

32 xxy , tal como se muestra en la figura:


Página 77

4.7 SISTEMA CONFORMADO POR DOS ECUACIONES DE LA FORMA cbyax 22

Para resolver un sistema conformado por dos ecuaciones de la forma cbyax 22 se realiza la siguiente

sustitución; 2xu y 2yv obteniéndose de esta manera un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 el cual

puede ser resuelto empleando algunos de los métodos explicados anteriormente.

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

7

2522

22

yx

yx

Solución:

Al realizar el siguiente cambio de variables 2xu y 2yv queda el siguiente sistema de ecuaciones

lineales de 2x2:

7

25

vu

vu

2

1

Despejemos v en la ecuación 1 : 25 vu

uv 25

3

Ahora se reemplaza v en la ecuación 2 y se halla el valor de u :

725 uu

725 uu

2572 u

322 u

2

32u

16u

Ahora el valor de u encontrado se reemplaza en la ecuación 3 y se halla el valor de v :

1625v

9v

Como 2xu , entonces 162 x

162 x

4x

Como 2yv , entonces 92 y 92 y 3y

De esta manera la solución del sistema son los puntos:

3,4 , 3,4 , 3,4 y 3,4

Geométricamente la solución del sistema anterior se considera como los puntos de intersección de la circunferencia:

2522 yx

Con la hipérbola:

722 yx

Tal como se muestra en la siguiente figura:

Ejemplo No. 75


Página 78

1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:

a.

847

575322

22

yx

yx c.

11625

12516

22

22

yx

yx

b.

6367

115822

22

yx

yx d.

5421

1712

22

22

yx

yx

Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correcta.

1. La solución de la ecuación lineal 421 xx

es:

A. 4x C. 3x

B. 3x D. 4x

2. La solución de la ecuación lineal abxax

es:

A. ba

ax

C.

ba

ax

Actividad No. 22

Autoevaluación No. 3


Página 79

B. b

x1

D. bx

3. La solución de la ecuación 21 xxx es:

A. 1x C. 5.0x

B. 0x D. 1x

4. La solución de la ecuación 3

1

2

11

x es:

A. 2

1x C.

6

1x

B. 6x D. 2x

5. La solución de la ecuación 512 x es:

A. 5x C. 3x

B. 13x D. 12x

6. La solución de la ecuación 4124 xx es:

A. 5x C. 3x

B. 0x D. 3x

7. La suma de un número x con su recíproco es 2

5. Los números son:

A. 2 y 2

1 C. 2 y

2

1

B. 2

3 y 1 D.

2

5 y

5

2

8. La ecuación cuadrática que tiene por soluciones 4x y 3x

es:

A. 01272 xx C. 01272 xx

B. 0772 xx D. 01272 xx

9. La solución de la ecuación cuadrática 0562 xx es:

A. 1x y 5x C. 1x y 5x

B. 1x y 5x D. 1x y 5x

10. La solución de la ecuación cuadrática 02463 2 mm es:

A. 4m y 2m C. 4m y 2m

B. 4m y 2m D. 4m y 2m

11. La solución de la ecuación 01512161242

xx es:

A. 4

1x y

4

3x C.

4

1x y

4

3x


Página 80

B. 4

1x y

4

3x D.

4

1x y

4

3x

12. La solución de la ecuación 0102 pp es:

A. 5

25p y 4p C.

4

25p y 4p

B. 5

25p y 4p D.

5

25p y 4p

13. La solución de la ecuación logarítmica 413

2 xLog es:

A. 3 221x C. 3 221x

B. 22x D. 22x

14. La solución de la ecuación logarítmica 5923 xLogLogxLog es:

A. 3

1x C. 1x

B. 0x D. 2

1x

15. El valor de x en la ecuación 105 1 x

es:

A. 12 Logx C. 3x

B.

15

10

Log

Logx D. 1510 LogLogx

16. La solución de la ecuación 642 52

xx

es:

A. 6x C. 3x y 2x

B. 6x y 1x D. 62x

17. La solución de la desigualdad 421 xx es:

A. 3x C. 3x

B. 3x D. 3x

18. Un taxi inicia un recorrido con un valor de 2200$ y cobra 45$ por cada 100 metros de recorrido. La

cantidad de metros que se deben recorrer como máximo para que el costo de una carrera no supere 4000$ es:

A. 40 C. 4500

B. 4000 D. 8888

19. La solución de la desigualdad 0122 xx es:

A. 4x o 3x C. 4x o 3x

B. 4x y 3x D. 4x y 3x


Página 81

20. El siguiente sistema de ecuaciones:

1686

843

yx

yx

A. Tiene exactamente una solución. C. Tiene infinitas soluciones.

B. No tiene solución. D. Tiene dos soluciones.

21. La solución del siguiente sistema de ecuaciones es:

1452

1434

yx

yx

A. 0,0 C. 6,1

B. 2,2 D. 2,5

22. Según la grafica:

La solución del siguiente sistema es:

35

132

yx

yx

A. 2,1 C. 1,2

B. 2,2 D. 1,1

23. Se desea crear un nuevo limpiador para el hogar con una concentración de %30 de fosfato trisódico

(TSP). Para obtener 6 litros de dicho limpiador. Se requiere mezclar una solución con concentración

de %16 de TSP con otra cuya concentración es de %72 de TSP ¿Cuántos litros de cada una de

estas soluciones se requiere mezclar?:

A. 4.5 litros y 1.5 litros. C. 4.0 litros y 1.0 litros. B. 4.1 litros y 1.4 litros. D. 0.5 litros y 1.5 litros.

24. Cuatro personas van al circo. Por las entradas pagan 9000$ . El precio por adulto es 3500$ y por

niño 1000$ . La distribución de personas era:

A. 3 niños y 1 adulto. C. 1 niño y 3 adultos. B. 2 niños y 2 adultos. D. 4 adultos.

25. La solución del siguiente sistema de ecuaciones es:

104

7232

423

zyx

zyx

zyx

A. 4,1,2 C. 4,1,2

B. 4,1,2 D. 4,1,2

3

1

3

2 xy

5

3

5

1 xy

Unidad 4 ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones

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