4. ecuaciones e inecuaciones
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IGUALDADES
PROPIEDADES DE LA IGUALDADES
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
DESIGUALDADES
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
INECUACIONES RACIONALES
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
IGUALDADES
Una igualdad es una comparación matemática entre dos cantidades,
separadas por el símbolo “=” una igualdad está compuesta por:
PROPIEDADES DE LA IGUALDAD
Las igualdades cumplen con las siguientes propiedades.
Idéntica o reflexiva: Toda expresión es iguala a sí misma.
2𝑎 = 2𝑎 2 + 5 = 2 + 5 𝑦 = 𝑦
Simétrica: El orden de los miembros se puede cambiar y la igualdad
no se altera.
3 + 5 = 8 8 = 3 + 5
Transitiva: si dos igualdades tienen un miembro en común los otros
dos miembros también son iguales.
3 + 5 = 8 (4)(2) = 8
Entonces:
Miembro izquierdo Miembro derecho =
Símbolo de igualdad
(4)(2) = 3 + 5
Uniforme: Si se aumenta o disminuye, si se multiplica o se divide la
misma cantidad a ambos miembros se conserva la igualdad.
𝑎 = 𝑏
Se puede sumar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación
𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐
Se puede restar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación
𝑎 − 𝑐 = 𝑏 − 𝑐
Se puede multiplicar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación
(𝑎)( 𝑐 ) = (𝑏)( 𝑐 )
Se puede dividir la misma cantidad a ambos lados de la ecuación
𝑎
𝑐=
𝑏
𝑐
Cancelativa: Se pueden suprimir dos elementos iguales en ambos
miembros y la igualdad se conserva.
𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐
𝑎 − 𝑐 = 𝑏 − 𝑐
(𝑎)(𝑐) = (𝑏)(𝑐)
𝑎
𝑐=
𝑏
𝑐
Estas propiedades son de mucha utilidad a la hora de resolver
ecuaciones.
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Es una igualdad que involucra sumas y restas de “1” o más que tienen
grado “1”, variables, y no involucra productos entre variables.
Ecuaciones lineales con una incógnita: La solución es única o puede
que no tenga solución, para resolverlas se deben tener en cuenta las
propiedades de las igualdades.
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación lineal.
3𝑥 + 2𝑥 − 3 = 5 + 4𝑥 + 2
En el miembro izquierdo se colocan los términos que tengan la
variable y en el miembro derecho los términos independientes.
3𝑥 + 2𝑥 − 4𝑥 = 5 + 3 + 2
Se reducen términos semejantes.
𝑥 = 10
Ecuaciones con signos de agrupación: Cuando presentan signos de
agrupación como ( ), [ ] y { }, se resuelven según el siguiente orden.
1. Los paréntesis ( ).
2. Los corchetes [ ].
3. Las llaves { }.
Se tiene en cuenta si el signo de agrupación está precedido por el
signo menos (-), si es así, se alteran los signos de cada uno de los
términos que están dentro de ese signo de agrupación.
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación.
2𝑥 − [𝑥 + (2𝑥 + 3)] = 𝑥 − (80 − 3𝑥)
Se eliminan los paréntesis.
2𝑥 − [𝑥 + 2𝑥 + 3] = 𝑥 − 80 + 3𝑥
Se eliminan los corchetes.
2𝑥 − 𝑥 − 2𝑥 − 3 = 𝑥 − 80 + 3𝑥
En el miembro izquierdo se colocan los términos que tengan la
variable y en el miembro derecho los términos independientes.
2𝑥 − 𝑥 − 2𝑥 − 𝑥 − 3𝑥 = −80 + 3
Se reducen términos semejantes.
−5𝑥 = −77
5𝑥 = 77
𝑥 =77
5
Ecuaciones con productos incluidos: Se resuelven los productos al
eliminar los signos de agrupación en el orden establecido.
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación.
3(𝑥 − 2) − 4(𝑥 + 5) = 3(𝑥 + 3) − 2
Se resuelven los productos.
(3𝑥 − 6) − (4𝑥 + 20) = (3𝑥 + 9) − 2
Se eliminan los paréntesis.
3𝑥 − 6 − 4𝑥 − 20 = 3𝑥 + 9 − 2
En el miembro izquierdo se colocan los términos que tengan la
variable y en el miembro derecho los términos independientes.
3𝑥 − 4𝑥 − 3𝑥 = 6 + 20 + 9 − 2
Se reducen los términos semejantes.
−4𝑥 = 33
𝑥 = −33
4
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Es una ecuación que se puede expresar como un polinomio
cuadrático de la forma:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0
Estas ecuaciones pueden presentar máximo hasta dos soluciones o
también no tener, para solucionarlas se debe utilizar los casos de
factorización o la ecuación general cuadrática.
𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación de segundo grado
2𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 𝑥2 − 2𝑥 − 10
Se organizan todos los términos en el miembro izquierdo.
2𝑥2 + 3𝑥 − 4 − 𝑥2 + 2𝑥 + 10 = 0
Se reducen términos semejantes.
𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0
Se factoriza o se utiliza la ecuación cuadrática.
Por factorización Por la formula cuadrática.
𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0
Es un trinomio de la forma
𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Factorizando queda:
(𝑥 + 3)(𝑥 + 2) = 0
Se iguala cada factor a cero.
𝑥 + 3 = 0 𝑥 = −3 𝑥 + 2 = 0 𝑥 = −2
𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0 Se organizan los valores de
a, b y c.
𝑎 = 1 𝑏 = 5 𝑐 = 6
Se reemplaza en la ecuación cuadrática.
𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =−5 ± √52 − 4. (1). (6)
2. (1)
𝑥 =−5 ± √25 − 24
2=
−5 ± 1
2
Tiene dos respuestas.
𝑥1 =−5 + 1
2=
−4
2= −2
𝑥2 =−5 − 1
2=
−6
2= −3
DESIGUALDADES
Es una relación entre dos cantidades para determinar el orden.
< (Menor que),≤(menor igual que), ≪ (mucho menor que).
> (Mayor que), ≥ (mayor igual que), ≫ (mucho mayor que).
Sus componentes son:
Miembro izquierdo < miembro derecho
Las desigualdades tienen las propiedades siendo a, b y c pertenecen
R.
Transitiva:
𝑎 > 𝑏 y 𝑏 > 𝑐 entonces 𝑎 > 𝑐 .
𝑎 < 𝑏 y 𝑏 < 𝑐 entonces 𝑎 < 𝑐 .
𝑎 > 𝑏 y 𝑏 = 𝑐 entonces 𝑎 > 𝑐 .
𝑎 < 𝑏 y 𝑏 = 𝑐 entonces 𝑎 < 𝑐 .
Adición y sustracción:
𝑎 < 𝑏 Entonces 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 .
𝑎 > 𝑏 Entonces 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐 .
Multiplicación y división:
𝑎 < 𝑏, 𝑐 > 0 Entonces 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 .
𝑎 > 𝑏, 𝑐 > 0 Entonces 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 .
𝑎 < 𝑏, 𝑐 < 0 Entonces 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 .
𝑎 > 𝑏, 𝑐 < 0 Entonces 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 .
Opuesto:
𝑎 < 𝑏 Entonces −𝑎 > −𝑏 .
𝑎 > 𝑏, Entonces −𝑎 < −𝑏 .
Recíproco:
𝑎 > 𝑏, Entonces 1
𝑎<
1
𝑏 .
𝑎 < 𝑏, Entonces 1
𝑎>
1
𝑏 .
Si tienen los signos diferentes es mayor el positivo.
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita
en alguna de los miembros o en ambos.
La solución de una inecuación son intervalos, los intervalos pueden
clasificarse en:
Intervalo abierto: son aquellos que representa el conjunto de
números sin tomar los extremos y se representan de la siguiente
manera:
Forma de inecuación
Forma de intervalo Forma gráfica.
𝑥 < 𝑎 (−∞, 𝑎)
𝑥 > 𝑎 (𝑎, ∞)
𝑎 < 𝑥 < 𝑏 (𝑎, 𝑏)
Intervalo cerrado: son aquellos que representa el conjunto de
números tomando los extremos y se representan de la siguiente
manera:
Forma de inecuación
Forma de intervalo Forma gráfica.
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 [𝑎, 𝑏]
Intervalo semi-abierto: son aquellos que representa el conjunto de
números tomando solo uno de los extremos y se representan de la
siguiente manera:
Forma de inecuación
Forma de intervalo Forma gráfica.
𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏 [𝑎, 𝑏)
𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 (𝑎, 𝑏]
𝑥 ≤ 𝑏 (−∞, 𝑏]
𝑥 ≥ 𝑎 [𝑎, ∞)
Para solucionar las inecuaciones de primer grado se tienen en cuenta
las propiedades de las desigualdades y ecuaciones de primer grado.
Ejemplo: encontrar el conjunto solución de:
7𝑥 − 3 < 8𝑥 + 2 − 3𝑥
En el miembro izquierdo se colocan los términos que tengan la
variable y en el miembro derecho los términos independientes.
7𝑥 − 8𝑥 + 3𝑥 < 2 + 3
Se simplifican términos semejantes.
2𝑥 < 5
Se despeja la variable.
𝑥 <5
2
El conjunto solución en forma de intervalo es:
(−∞,5
2)
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON
DOS VARIABLES
Una inecuación lineal con dos variables tiene infinitas soluciones y
estas se representan en el plano cartesiano.
Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de
2𝑦 − 3 < 10𝑥 + 1
En el miembro izquierdo se colocan los términos que tengan la
variable “y” y en el miembro derecho los que tengan la variable “x”
y los términos independientes.
2𝑦 ≤ 10𝑥 + 1 + 3
Se simplifican términos semejantes.
2𝑦 ≤ 10𝑥 + 4
Se despeja la variable “y”.
𝑦 ≤10𝑥 + 4
2
𝑦 ≤10𝑥
2+
4
2
𝑦 ≤ 5𝑥 + 2
Y se representa la función lineal en el plano cartesiano.
Las soluciones son todos los puntos coordenados que están por
debajo de la función lineal.
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Una inecuación de segundo grado es aquella que tiene forma de
polinomio cuadrático.
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0
Para resolverlos se utilizan los casos de factorización o ecuación
cuadrática y el método del cementerio para identificar la variación
del signo de la función en su dominio.
EJEMPLO: Hallar el conjunto solución de:
15𝑥2 − 8𝑥 − 12 ≤ 0
Se resuelve como una ecuación de segundo grado, por factorización
o por la formula general de las cuadráticas.
(5𝑥 − 6)(3𝑥 + 2) ≤ 0
Se hallan las raíces.
5𝑥 − 6 = 0 5𝑥 = 6
𝑥 =6
5
3𝑥 + 2 = 0 3𝑥 = −2
𝑥 = −2
3
Se utiliza el método del cementerio que consiste en determinar cada
factor donde es positivo o negativo y así determinar el
comportamiento de la inecuación.
Se ubican los factores, se hacen dos rectas numéricas y se ubican las
raíces teniendo en cuenta que como es “≤” va cerrado.
Se determina cómo se comporta cada factor cuando se toman
valores a la derecha y la izquierda.
Se hace ley de los signos en forma vertical.
Y como la ecuación especifica que son los menores o iguales se toma
el intervalo donde esta negativo.
[−2
3,6
5]
INECUACIONES RACIONALES
Una inecuación racional es aquella que tiene la forma:
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)< 0, 𝑄(𝑥) ≠ 0
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)> 0, 𝑄(𝑥) ≠ 0
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)≤ 0, 𝑄(𝑥) ≠ 0
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)≥ 0, 𝑄(𝑥) ≠ 0
Para encontrar el conjunto solución se utilizan los casos de
factorización y el método del cementerio para determinar el donde
cada factor es positivo y negativo y así determinar el conjunto
solución de la inecuación.
Ejemplo: encontrar el conjunto solución de:
𝑥2 − 1
𝑥2 + 5𝑥 + 6≤ 0
Se factorizan los polinomios si es posible.
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)≤ 0
Se ubican los factores, se hacen dos rectas numéricas y se ubican las
raíces teniendo en cuenta que las raíces de arriba van cerradas como
es “≤” va cerrado y las de abajo siempre van abiertas por que son
diferentes de “0”.
Se determina cómo se comporta cada factor cuando se toman
valores a la derecha y la izquierda y se hace ley de los signos en
forma vertical.
El conjunto solución como son “≤”.
(−3, −2) ∪ [−1,1]
BIBLIOGRAFÍA
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