Fun ciones Cuadráticas

I. Propiedades de una ecuación cuadrática Forma Standard cuadrática:

ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0

donde x es una variable y a , b y c son constantes.

Forma Vértice:

y = a(x – h)2 + k

Vértice es el punto más bajo o más alto de la parábola.Vértice: (h, k)

II. Solución de una ecuación cuadráticaa. Por factorización

1. 6x2 – 19x – 7 = 02. x2 - 6x + 5 = 03. 2x2 = 3x

b. Por raíz cuadrada1. 2x2 – 32. 3x2 + 27 = 03. (x + ½ )2 = 5/4

c. Completando al cuadrado 1. x2 + 6x – 2 = 02. 2x2 –4x + 3 = 03. x2 + 8x = 3

d. Por fórmula Cuadrática a

acbbx

2

42 −±−=

1. 2x + 3/2 = x2

2. x2 – 5/2 = -3xIII. Discriminante y raíces

raíces de ax2 + bx + c = 0 a, b y c son reales , a ≠ 0

b2 – 4ac > 0 hay dos raíces realesb2 – 4ac = 0 hay una sola raíz realb2 – 4ac < 0 hay dos raíces imaginarias

1. 2x2 – 3x – 4 = 02. 4x2 – 4x + 1 = 03. 2x2 – 3x + 4 = 0

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Más sobre parábolas

IV. Aplicaciones

Resuelve.

a. La suma de un número y su recíproco es 13/6. Encuentre esos números.b. La suma de dos números es 23 y su producto es 132. Encuentre los dos

núemros.c. Una lancha para excursiones le toma 1.6 horas hacer un viaje ida y vuelta

36 millas aguas arriba. Si la rapidez de la corriente es de 4 millas por hora, ¿Cuál es la rapidez de la lancha en aguas tranquilas?

d. Una nómina se puede terminar en 4 horas trabajando en dos computadoras simultáneamente. ¿Cuántas horas serán necesarias para que cada computadora termine sola si el modelo viejo se tarda 3 horas más que el nuevo? Calcule la respuesta con dos cifras decimales.

e. Dos lanchas viajan en ángulos rectos uno con respecto al otro y arriban a un muelle al mismo tiempo. Una hora antes están separadas 25 millas . Si una de las lanchas viaja 5 millas por hora más rápido que la otra, ¿cuál es la rapidez a la que viaja la segunda? Sugerencia : Teorema de Pitágoras-distancias iguales =tiempos iguales

f. Dos carteros pueden entregar la correspondencia en 3 horas cuando trabajan juntos. Uno puede terminar el trabajo 2 horas más rápido que el otro. ¿Cuánto tiempo le toma a uno entregar la correspondencia? Calcule las respuestas don dos cifras decimales.

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Ejercicios Resolviendo Ecuaciones CuadráticasPor Factorización o Raíz Cuadrada

Ejercicios:

A. Resuelve cada ecuación por factorización.

1. x2 + 6x + 8 = 02. x2 +1 8 = 9x3. x2 - 2x = 34. x2 + 8x = 05. 2x2 + 6x = -46. 3x2 = 16x + 12

B. Resuelve cada ecuación por raíz cuadrada.

1. 4x2 – 100 = 02. x2 – 3- = 103. x2 – 9 = 0

C. Resuelve cada ecuación por factorización o por raíz cuadrada.

1. 5x2 = 802. x2 + 6x + 5 = 03. x2 - 11x + 24 = 04. x2 + 4x = 05. 12x2 - 154 = 06. 6x2 + 4x = 07. 2x2 - 5x - 3 = 08. x2 + 2x = 6 – 6x9. 6x2 + 13x + 6 = 010. 3x2 + 7x = 9

11. x2 = 8x –712. 2x2 + 8x = 5x + 2013. x2 + 2x – 1 = 014. 4x2 - 100 = 015. x2 = - 2x + 116. x2 – 9 = 017. 2x2 + 4x =7018. x2 - 30 = 1019. x2 + 4x = 020. x2 + 3x + 2 = 0

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Resolviendo Ecuaciones CuadráticasCompletando al Cuadrado y Fórmula Cuadrática

A. Completa al cuadrado. Luego escribe cada trinomio cuadrado perfecto como el cuadrado de un binomio.

1. n2 + 18 n + _____2. k2 – k + ____

3. x2 – 24 x + ____4. x2 + 20x + ____

5. m2 – 3m + ____6. x2 + 4x + _____

B. Resuelve cada ecuación cuadrática, completando al cuadrado.

1. x2 - 3x = 282. x2 - 3x = 43. 6x - 3x2 = -124. –d2 – 2d = 5

5. x2 + 6x + 41 = 06. t2 – 2t = -27. w2 – 8w – 9 = 08. t2 + 4 = 0

9. 2p2 = 6p – 2010. 3x2 - 12x + 7 = 011. t2 + 6t = -2212. 4c2 + 10c = -7

C. Re-escribe la ecuación en forma y = a(x – h)2 + k

1. y = x2 + 4x – 72. y = -x2 + 4x - 13. y = -2 x2 + 6x + 1

4. y = ½ x2 – 5x + 125. y = - 1/5 x2 = 4/5 x + 11/56. y = x2 + 4x + 1

7. y = -4x2- 5x + 38. y = 2x2- 8x + 19. y = -x2- 2x + 3

D. Resuelve cada ecuación usando la fórmula cuadrática.

1. 2x2 + 8x + 12 = 02. 3x2 + 2x -1 = 03. -x2 + 5x -7 = 04. x2 - 4x + 3 = 0

5. x2 = 3x – 16. x2 = 2x – 57. 9x2 + 12x - 5 = 08. x ( x – 5) = -4

9. x2 - 6x + 11 = 010. x2 + 6x - 5 = 011. x2 - 2x + 3 = 012. x2 + 10x = -25

E. Evalúa el discriminante de cada ecuación. Determina cuántas soluciones hay y si la(s) solucion(es) son reales o complejas.

1. x2 + 4x + 5 = 02. x2 - 4x - 5 = 03. 4x2 + 20x + 25 = 0

4. 2x2 + x + 28 = 05. 2x2 + 7x -15 = 06. 6x2 - 2x + 5 = 0

7. 2x2 + 7x = -68. x2 -+12x + 36 = 09. x2 = 8x - 16

F. Resuelve cada ecuación utilizando cualquier método estudiado. Cuando sea necesario redondea la solución a la centésima más cercana. Para soluciones complejas, escribe la solución exacta.

1. x2 = 11x – 102. 2x2 + 4x = 103. –3x2 + 147 = 0

4. 5x2 =210 x5. x2 - 2x + 2 = 06. x2 + 8x = 4

7. 4x2 + 4x = 3

8. x2 - 3x - 8 = 09. x2 = 6x – 11

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Laboratorio Gráficas de Cuadráticas

A. Desplazamiento horizontal o vertical

y = x 2

y = x2 + 2y = x2 - 3

y = x2

y = (x + 2)2

y = (x – 3)2

y= f(x) y = f(x) + k

Conclusión: La gráfica se traslada ______________verticalmente

y = f(x) y = f(x + h)

Conclusión: La gráfica se traslada ______________horizontalmente

B. Expansión o contracción

y = 2x2

y = 3x2

y = 5x2

y = ½ x2

y = 1/3 x2

y = 1/5 x2

a > 1 La gráfica se ___________ expande Conclusión: y = af(x)

a < 1 La gráfica se ___________ contraeC. Reflexión

y = 2x2

y = 3x2

y = 1/3 x2

y = -2x2

y = -3x2

y = -1/3 x2

Conclusión: y= f(x) y = -f(x)

La gráfica se refleja con respecto al ___________eje de x

a. Eje de Simetría

Si y = a ( x – h )2 + k El eje de simetría es cuando x = h

b. Punto máximo y mínimoa > 0 hay un punto mínimo

Si y = a ( x – h )2 + k a < 0 hay un punto máximo

c. Dominio y Campo de Valores

El dominio de toda gráfica cuadrática son los números reales.El Campo de Valores: (-∞ , k] si a < 0 ó [k, ∞ ) si a > 0

d. Ceros de la gráfica cuadrática

Los ceros de la gráfica cuadrática son los puntos donde la gráfica toca el eje de x. Éstos ceros se obtienen cuando igualas la ecuación a 0 y por medio de factorización utilizas la propiedad del cero: m • n = o si y solo si m = 0 ó n = 0 ( o ambos)

Ejemplo: y = x2 – 6x + 5

Ejercicicios:

A. Determina si la gráfica es cuadrática. Si lo es indica si se desplaza horizontal o verticalmente, si se expande o se contrae, y si la gráfica queda hacia abajo o hacia arriba comparándola con y = x2.

a. y = 3b. 4x – 5y = -24c. x + y2 = 5

d. x2 + y2 = 81e. y = -x2 + 4e. y2 – x = 2

f. y = (x – 2)2 + 3g. y = x2 – 1i. y = ½ x + 5

B. Encuentra el vértice, el eje de simetría, el punto máximo o mínimo y el campo de valores para cada gráfica cuadrática.

a. y = -2(x + 4) 2 - 3b. y = -(x + 2 ) 2 - 4c. y = 3( x + 6)2 - 3

d. y = ( x + 5)2 - 7e. y = 2( x + 5)2

f. y = ½ ( x – 4 ) 2

C. Halla los ceros de cada gráfica cuadrática y encuentra el vértice, el eje de simetría, el punto máximo o mínimo, el dominio y el campo de valores para cada gráfica cuadrática

a. y = x2 + 8x - 9b. y = 1/2 x2 + 2x + 3

D. Determina las raíces, la simetría, vértice y concavidad de las siguientes funciones cuadráticas.

a. 4x2 + 4x =-3 b. 5x2 =10 x c. -x2 + 3x =- 4

contestaciones

Función Cuadrática. Características

a bCeros

VérticeEje de simetría

Máximo o mínimoDominio

Campo de valores

a b cRaícesEje de simetríaVérticeconcavidad

Una función de la forma estándar:

f (x) = a x ² + b x + c

con a, b y c pertenecientes a los reales y a ≠ 0, es una función cuadrática y su gráfico es una curva llamada parábola.

En la ecuación cuadrática sus términos se llaman:

si la ecuación tiene todos los

términos se dice ecuación completa, si a la función le

falta el término lineal o

independiente se dice que la ecuación es incompleta.

Raíces

Las raíces ( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x. Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje x en:

Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática calculamos f (x) = 0, entonces

ax² + bx +c = 0

Pero para resolver ax² + bx +c = 0 observamos que no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, ésta tiene la particularidad de poseer un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante. Entonces, para resolverla podemos hacer uso de la fórmula:

al resultado de la cuenta b2 - 4ac se lo llama discriminante de la ecuación, esta operación presenta distintas posibilidades:

Si b2 - 4ac > 0 tenemos dos soluciones posibles.

Si b2 - 4ac = 0 el resultado de la raíz será 0, con lo cual la ecuación tiene una sola solución real.

Si b2 - 4ac < 0 la raíz no puede resolverse, con lo cual la ecuación no tendrá solución real.

Entonces, si la ecuación esta completa ya sabemos como calcular las raíces (con la fórmula) y si la ecuación es incompleta solo basta despejar la variable x de la ecuación:

1er caso: ax2 + bx = 02do caso: ax2 + c = 0

Simetría

La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si conocemos dos puntos del gráfico (x1, p) y (x2, p), el eje de simetría pasará por el punto medio entre estos, o sea

Vértice

El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría, de modo que su coordenada x, que notaremos xv vale:

Conocida la coordenada x de un punto, su correspondiente coordenada y se calcula reemplazando el valor de x en la expresión de la función.

En el vértice se calcula el máximo ( o el mínimo) valor de la función de acuerdo a que la parábola tenga sus ramas para abajo o para arriba (lo veremos a continuación).

Si la parábola no tiene raíces el vértice se puede calcular utilizando los coeficientes de la función de la siguiente manera:

Concavidad

Otra característica es si la parábola es cóncava o convexa:

También suele decirse que:

Si a > 0 la parábola es cóncava o con ramas hacia arriba.

1. y = x2 + 4x – 7 y = (x+2) 2 -11 2. y = -x2 + 4x - 1 y = -(x-2) 2 +3 3. y = -2x2 + 6x + 1 y = -2(x+3/2) 2 + 5 1/2 4. y = ½ x2 – 5x + 12 y = ½ (x-5) 2 -1/2 5. y = - 1/5 x2 = 4/5 x + 11/5 y = -1/5(x-2) 2 +3 6. y = x2 + 4x + 1 y = (x+2) 2 -3 7. y = -4x2- 5x + 3 y = (x – 5/8) 2 + 73/16 8. y = 2x2- 8x + 1 y = 2(x-2) 2 - 7 9. y = -x2- 2x + 3 y = -(x+1) 2 +4

vértice Eje de simetría

Máximo o mínimo

Arriba/abajo

Expande o se contrae

Dominio Campo de valores

ceros

1. (-2-11) x= -2 Min arriba normal Reales Y > -11 (-5.3,0)(1.3,0)2. (2,3) X=2 Max abajo normal Reales Y< 3 (3.7,0)(0.3,0)3. (1.5,5

½)X=-3/2 Max abajo contrae Reales Y< 5 1/2 (3.2,0)(-0.2,0)

4. (5,-1/2) X = 5 Min arriba expande Reales Y< -1/2 (4,0)(6,0)5. (-2,3) X = -2 Max abajo expande Reales Y< 3 (1.9,0)(-5.9,0)6. (-2,-3) X= -2 Min arriba normal Reales Y< -3 (-3.7,0)(-0.3,0)7. (5/8,4

9/16X=-5/8 Max abajo contrae Reales Y< 4 9/16 (0.4,0)(-1.7,0)

8. (2,-7) X=2 Min arriba contrae Reales Y< -7 (0.1,0)(3.9,0)9. (-1,4) X=-1 Max abajo normal Reales Y< 4 (1,0)(-3,0)