Ecuaciones de Navier - Stokes
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FLUJO VISCOSO IMCOMPRESIBLE GENERAL: LAS ECUACIONES DE NAVIER- STOKES BASILIO MEZA, Enoc NUÑEZ OCLOCHO, Frank
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FLUJO VISCOSO IMCOMPRESIBLE GENERAL: LAS
ECUACIONES DE NAVIER-STOKES
BASILIO MEZA, EnocNUÑEZ OCLOCHO, Frank
INTRODUCCIÓN
La ley de viscosidad de Stokes posee 36 coeficiente de viscosidad.
La ley de viscosidad de Newton es un caso especial de la ley de viscosidad de Stokes.
El análisis se restringe a un fluido ISOTRÓPICO e INCOMPRESIBLE (i.e. ).
Demostraremos que los 36 coeficientes, excepto DOS son CERO.
LEY DE VISCOSIDAD DE STOKES
Se conoce que el esfuerzo cortante τ en flujo paralelo, en una interfaz paralela a la línea de corriente para fluidos newtonianos está dado por:
Empezaremos suponiendo que cada esfuerzo está relacionado linealmente mediante un conjunto un conjunto de constantes con cada una de las seis tasas de deformación.
LEY DE VISCOSIDAD DE STOKES
LEY DE VISCOSIDAD DE STOKES *Caso Especial
Consideremos un flujo paralelo.
Observamos un paralelepípedo rectangular en un instante “t”.
LEY DE VISCOSIDAD DE STOKES *Caso Especial
El paralelepípedo se deforma de la siguiente manera:
Según la ley de Stokes, tendremos entonces:
Observamos que la única tasa de deformación diferente de cero es
LEY DE VISCOSIDAD DE STOKES *Caso Especial
Si
Pero: . Finalmente:
LEY DE VISCOSIDAD DE STOKES *Consideraciones isotrópicas
La ley de viscosidad de Stokes en un sistema de referencia x’y’z’ rotadas con respecto a xyz tiene las mismas constantes . Ergo:
Haciendo consideraciones isotrópicas, las 36 constantes de viscosidad se reducen solo a 2.
LEY DE VISCOSIDAD DE STOKES *Consideraciones isotrópicas
Giramos el eje de coordenadas un ángulo de 180° (sin pérdida de generalidad) alrededor del eje z.
Los cosenos directores de la rotación son:
x y z
x’
-1
0 0
y' 0 -1
0
z' 0 0 1
LEY DE VISCOSIDAD DE STOKES *Consideraciones isotrópicas Extra
Existen nueve esfuerzos cortantes en tres interfaces ortogonales sobre un punto. Analicemos el tetraedro infinitesimal de fluido:
LEY DE VISCOSIDAD DE STOKES *Consideraciones isotrópicas Extra
Sean los cosenos directores: . A continuación, con ayuda de los cosenos directores relacionamos las áreas:
Expresando la expresión de Newton en la dirección tenemos:
LEY DE VISCOSIDAD DE STOKES *Consideraciones isotrópicas Extra
Finalmente, reemplazando , , por las obtenidas anteriormente, y a sabiendas de: , , . Obtenemos:
LEY DE VISCOSIDAD DE STOKES *Consideraciones isotrópicas
Haciendo uso de la ecuación anterior, podemos escribir entonces:
Es en esta ecuación en la que al reemplazar los valores de los cosenos directores obtendremos:
Análogamente se encuentra: , , , ,
LEY DE VISCOSIDAD DE STOKES *Consideraciones isotrópicas
Relaciones análogas a las anteriores se obtienen para las tasas de deformación. Ergo, se cumple también la relación para la rotación de ejes (e.g. )
Finalmente, reemplazando estos valores en la ecuación obtenida al girar el sistema coordenado alrededor del eje z tendremos:
Por isotropía, esta ecuación debe ser igual a la supuesta inicialmente. Concluyéndose luego:
Análogamente se demostrara que los demás coeficientes son también cero, excepto y .
LEY DE VISCOSIDAD DE STOKES *Consideraciones isotrópicas
Mencionamos que .
es conocido como el segundo coeficiente de viscosidad.
Finalmente se encuentra
Se sabe que la presión termodinámica es igual a la expresión
De lo anterior se deduce
LEY DE VISCOSIDAD DE STOKES*Consideraciones isotrópicas
La ley de viscosidad de Stokes, tomando consideraciones isotrópicas, queda entonces:
LEY DE VISCOSIDAD DE STOKES*Consideraciones isotrópicas
Finalmente la ley de viscosidad de Stokes es:
LEY DE VISCOSIDAD DE STOKES*Consideraciones de isotropía e
incompresibilidad
Para flujo incompresible divV=0. Queda entonces:
LEY DE VISCOSIDAD DE STOKES*Consideraciones de isotropía e
incompresibilidad
En coordenadas cilíndricas:
ECUACIONES DE NAVIER-STOKES PARA UN FLUJO LAMINAR INCOMPRESIBLE
Consideramos un flujo incompresible de flujo isotrópicos.
ECUACIONES DE NAVIER-STOKES PARA UN FLUJO LAMINAR INCOMPRESIBLE
Consideramos un flujo incompresible de fluidos isotrópicos.
De la ley ecuación de Euler:
Luego:
Finalmente:
ECUACIONES DE NAVIER-STOKES PARA UN FLUJO LAMINAR INCOMPRESIBLE
De lo anterior:
Tomando en cuenta las condiciones de incompresibilidad y haciendo las sustituciones respectivas :
Finalmente, cancelando y reordenando términos:
ECUACIONES DE NAVIER-STOKES PARA UN FLUJO LAMINAR INCOMPRESIBLE
Las ecuaciones de Navier-Stokes para flujos incompresibles quedan como:
ECUACIONES DE NAVIER-STOKES PARA UN FLUJO LAMINAR INCOMPRESIBLE
De lo anterior:
Tomando en cuenta las condiciones de incompresibilidad y haciendo las sustituciones respectivas :
Finalmente:
4 SOLUCIONES EXACTAS DE LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES
CASOS A TRATAR
Para lograr soluciones analíticas de la ecuación de Navier-Stokes se considerara que el fluido es de régimen laminar, incompresible y flujo uniforme.
1. FLUJO UNIFORME ENTRE DOS PLACAS PARALELAS FIJAS.
2. FLUJO COUETTE.
3. FLUJO UNIFORME EN TUBOS CIRCULARES.
4. FLUJO UNIFORME Y AXIAL ENTRE DOS CILINDROS CONCENTRICOS FIJOS.
FLUJO UNIFORME ENTRE DOS PLACAS PARALELAS FIJAS
Consideramos el flujo entre dos placas paralelas e infinitas.
Las particulas se mueven en la dirección x paralelas a las placas.
No hay velocidad en el dirección del eje z & y:
De la ecuacion de la continuidad para flujo imcompresibles :
No hay variación de u en el eje x , ademas como el flujo es uniforme tenemos que:
Reemplazando estas condiciones en las ecuaciones de Navier-Stokes, en la direccion del eje x esta se reduce a:
Reacomodando:
Integrando considerando como constante:
Integrando nuevamente:
Las constantes se calculan aplicando condiciones de frontera: LAS PLACAS SON FIJAS
Resolviendo obtenemos las constantes:
Reemplazando en la ecuación tenemos que la distribución de velocidades queda:
Esta ecuación nos muestra que el perfil de velocides es parabólico.
La velocidad de flujo de volumen ‘q’ por unidad de ancho en la dirección del eje z la podemos calcular como:
Haciendo que la caída de presión por unidad de longitud tenemos:
Reemplazando tenemos:
Para el calculo de la velocidad media (V) sabemos que:
Entonces tenemos:
La máxima velocidad ocurre en y = 0 , reemplazando en la ecuación de perfiles de velocidades obtenemos:
Relacionandolo con la velocidad media tenemos:
FLUJO COUETTE
La placa superior se mueve con velocidad constante ‘U’.
Consideramos el flujo uniforme entre dos placas paralelas e infinitas.
No hay velocidad en el dirección del eje z & y:
Tomando como origen de coordenadas la parte inferior de las placas.
La separación entre las placas es igual a ‘b’.
Nuevamente de la ecuacion de la continuidad para flujo incompresibles :
Reemplazando estas condiciones en las ecuaciones de Navier-Stokes, en la dirección del eje x esta se reduce a:
Reacomodando e integrando:
Integrando nuevamente:
Las constantes se calculan aplicando condiciones de frontera:
Como resultado la ecuación de perfiles de velocidades queda:
Expresandolo en su forma adimensional:
Donde el perfil de velocidades depende del parámetro adimensional:
El más simple de los flujos Couette es el cual donde la gradiente de presión es cero:
Reemplazando en la ecuacionde perfiles tenemos:
El cual indica que la velocidad varia linealmente entre las placas paralelas.
PERFILES DEL FLUJO COUETTE PARA DIFERENTES VALORES DEL PARAMETRO ‘P’
FLUJO UNIFORME EN TUBOS CIRCULARES Consideramos un flujo a traves de un tubo
horizontal de radio ‘R’.
Se asume que el flujo es paralelo a las paredes del tubo.
Por lo tanto el flujo se da en la direccion del eje z.
Entonces de la ecuación de la continuidad:
Obtenemos:
Por la simetria axial del flujo
Bajo estas condiciones la ecuación de Navier-Stokes con respecto al eje z se reduce a:
Reacomodando e integrando y usando el hecho de que es constante:
Como deseamos que sea finita en el centro (r=0) entonces
Además la velocidad en los extremos (r=R) debe ser cero
La distribución de velocidades queda:
Para obtener la relacion entre el flujo de volumen y la gradiente de presión hacemos:
En términos de la velocidad media ‘V’, donde
La velocidad máxima ocurre en el centro del tubo (r = 0) reemplazando en la ecuación de distribución de velocidades:
Entonces podemos decir que:
La distrubución de velocidades tambien puede ser expresada en función de la velocidad máxima como se muestra en el grafico y la ecuación:
FLUJO UNIFORME Y AXIAL ENTRE DOS CILINDROS CONCENTRICOS FIJOS (ANILLO)
Resolviendo nuevamente la ecuación de Navier-Stokes
Reacomodando e integrando y usando el hecho de que es constante:
Cambiando las condiciones de frontera para este caso
Resolviendo para cada constante obtenemos:
La variación del flujo de volumen sera:
En términos de la caída de presión para determinada longitud en el anillo:
La velocidad máxima ocurre en donde
El cálculo del número Reynolds es difícil para este caso debido a la existencia de dos diámetros, para ello definimos el parámetro diámetro hidráulico como:
El perímetro mojado es el perímetro que esta en contacto con el fluido.
Para un anillo tenemos:
