2 AÑO

Ecuaciones de Primer grado

Observa los siguientes gráficos:

1.

Y para el segundo caso:

fotografía izquierda

4x + 30

fotografía derecha

= 2x + 42

Aquí, la balanza está en equilibrio.

2.

Luego: 4x - 2x = 42 - 30

2x = 12

x = 6

Parte teórica

Las ecuaciones

Se llama identidad a aquella igualdad que se satisface

para cualquier valor asignado a sus letras. Por ejemplo, el

c u a d r a d o d e u n b i n o m i o : (a + b )

2 = a2 + 2ab + b2, es una

identidad. Cualquiera sea el valor que adopten las letras "a" y "b", la igualdad se verifica siempre.

Aquí, la suma de las edades de las personas de cada fotografía es igual.

¿Qué de común pueden tener estos gráficos?

Pues, que en ambos casos existen datos (pesas o

personas) cuyo valor es desconocido.

A este valor desconocido se le denomina INCÓGNITA.

Pensando un poquito, podrás determinar los valores para

cada caso; sin embargo, una manera sencilla de hacerlo, es interpretando ambas situaciones como ecuaciones, así:

Para el primer caso tenemos:

En cambio, hay igualdades que se verifican sólo para

algunos valores concretos; son las llamadas Ecuaciones. Las letras que intervienen en una ecuación son las incógnitas y los valores de esas letras son las raíces de la ecuación. De este modo, al reemplazar las incógnitas por las raíces se tiene una igualdad numérica:

x - 1 = 3x - 11

5 - 1 = 3 . 5 - 11

4 = 15 - 11

4 = 4

Las ecuaciones se pueden clasificar en enteras,

fraccionarias e irracionales. Las enteras son aquellas en que las incógnitas están sometidas a las operaciones de suma, resta y multiplicación:

Observa que la incógnita

platillo izquierdo

5 + 2 + 2 + 2x

platillo derecho

= 3x + 3

Ecuación entera

Las fraccionarias poseen al menos una de sus incógnitas

en el denominador: es denotada

con la letra "x".

Luego:

equilibrio de la balanza

5 + 4 + 2x = 3x + 3 Ecuación fraccionaria

9 + 2x = 3x + 3

9 - 3 =

x =

3x - 2x

6

Las irracionales tienen al menos una incógnita bajo el

signo radical:

Ecuación irracional

Las ecuaciones pueden tener una o dos incógnitas y su

grado también puede variar.

Si empleamos cartas para ejemplificar una ecuación de una sola incógnita es bastante más fácil obtener el resultado.

Para ampliar la comprensión debemos imaginar sobre las cartas los posibles números que hacen coincidir los resultados.

3 + x = 10

mientras que los términos independientes tienen que pasar

al otro miembro.

Para despejar la incógnita, cada término que acompaña

a la "x" cambia de miembro con la operación inversa a la que inicialmente tenía, es decir, la de sumar pasa a restar, mientras que la de multiplicar pasa a dividir y viceversa.

2x + 3 = 15

2x = 15 - 3

2x = 12

x = 12 2

x = 6

El 3 que sumaba en el primer miembro pasa restando

al segundo. El 2 que multiplicaba pasa dividiendo al segundo miembro.

Si se reemplaza el valor de "x" en la ecuación se obtiene

una igualdad numérica.

2 . 6 + 3 = 15 12 + 3 = 15

15 = 15

Ecuación de Primer grado

8x - 6x = -4 - 6

2x = -10

x = -10

2

x = -5

Para resolver esta ecuación se agrupan los términos

con incógnitas en un miembro y los términos independientes en el otro:

x = 10 - 3 x = 7

3 x 2

3x 17

Ecuaciones de Primer grado

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son

x 3x 17 3

2

aquellas en las que la única incógnita está elevada a la

primera potencia:

2x + 3 = 15

x 6x

2

14

La letra "x" es la incógnita y los números 3 y 15 son los

términos independientes. Cada una de las partes en que queda dividida la ecuación por el signo "=" se denomina miembro.

Para resolver la ecuación se despeja la incógnita, es

decir, ella debe quedar en un miembro de la igualdad,

7x 28

x 4

Problemas resueltos Resolución:

1. Resolver: 3(x - 7) + 5 = 2x + 4

Resolución:

Primero desaparecemos los paréntesis, multiplicando 3 por (x - 7)

2 4 9 12 2

1 2 9 6 2

1 1 9 3 3

1 1 3 1 3

1 1 1 1

MCM = 2 x 2 x 3 x 3

MCM = 36

3x - 21 + 5 = 2x + 4

Transponiendo términos: 3x - 2x = 4 - 5 + 21

18(3x) + 9(1) = 4(13x) + 3(5)

54x + 9 = 52x + 15

54x - 52x = 15 - 9

2x = 6 x = 3

x = 20

5. Resolver: x

4 x 2 5x 50 x

2. Resolver: (x + 3)2 + 7 = (x + 6)(x + 4)

Resolución:

Primero desaparecemos los paréntesis, aplicando

Productos Notables.

2 (x + 3) + 7 = (x + 6)(x + 4)

Resolución:

x x

2x

4 x 2

5x 50 4 x 2

5x 50

Se tiene: x2 + 6x + 9 + 7 = x2 + 10x + 24

Transponiendo y agrupando términos:

9 + 7 - 24 = x2 + 10x - x2 - 6x

Reduciendo: -8 = 4x

Elevando al cuadrado:

(2x)2 = 4x2 - 5x + 50

4x2 = 4x2 - 5x + 50

0 = -5x + 50

5x = 50

x 50 5

x = 10

Luego: -2 = x

Observación.- Nota que se procura tener a la incógnita con coeficiente positivo.

Bloque I

Problemas para la clase

3. Resolver: 10x + 2x + 3(x + 8) - 30 = 0

Resolución:

Efectuando el paréntesis:

10x 2x 3x 24 30 0

1. Resolver: 2x - 4 = 5 - x

a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) -2

2. Resolver: 4x - 4 = x - 16

a) -1 b) -2 c) -4

15x 6 0 d) -3 e) -1

3. Resolver: 3(x - 1) - 4(5 - x) = 2(6 + x)

x 6

Despejando "x": 15x = 6 15

4. Resolver:

a) 7 b) 8 c) -6 d) -4 e) -2

4. Resolver: 3(x - 4) + 5(x - 2) = 2(x - 6) - 4(5 - x)

3x

1

2 4

13x

5

9 12

a) -5 b) -3 c) 2 d) 4 e) 6

a) 2 b) 7 c) 6 d) -2 e) 3

5. Resolver: Bloque II

3x - 1 - (x - 4) - [2(x - 3) - 3(1 - 2x)] = -x - 2 1. Resolver: x x

x

2 a) -1 b)

3

14 2 4 9

c) 5

3 d)

5

6. Resolver:

e) 2

a) 12 b) 8 c) -6 d) -8 e) 9

2. Resolver:

1 x

x

1 16

2x 10(x - 9) - 9(5 - 6x) = 2(4x - 1) + 5 + 10x

a) -2 b) 3 c) 1 d) 2 e) 4

7. Resolver: 3(x2 + 5x - 2) = 3(x2 + 4x)

2 6 3 9

a) -12 b) 15 c) 9 d) 8 e) -7

3. Resolver:

a) 4 b) -2 c) 2

2x 8

x

3

d) 3 e) 1 8. Resolver: x(x + 3) = (x - 2)(x - 4)

3 6 4 35 35 17

2 8 1

a) 3

b) 2

c) 2

a) 9 b)

9 c) 3 2 3

d) e)

d) -1 e) 2 9. Resolver: (x - 5)2 = x(x - 8) + 11

3

4. Resolver:

4 x 1

6 1 x

7

2 5 10

10.Resolver: 3x(x - 2) - 1 = 3(x + 2)(x + 4) a) 20 b) -12 c) 9

d) -16 e) 10

a) 25 24

b) 16 3

c) -1 5. Resolver:

2(x 1)

3(x 1)

7x 1

d) 2

3

13 e)

24

5 10 10

11.Resolver: (x + 5)(x - 5) = (x - 3)2 - 16

a) -1 b) 3 c) 2

1

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

6. Resolver:

x(x 3)

(x 4)(x 7) 22

d) -2 e)

2 2 2

12.Resolver:

2(x - 4)2 - (x + 3)2 = (x - 1)(x + 3)

a) 6 b) 9 c) 7

d) -5 e) 3

1

a) 4

13

b) 12

1

c) 2

7. Resolver:

4(x 2) 2

(3x 1) 5 2x

d) -1 e) 2

36

a) 13

3

41 b)

12

12

1

c) 12

d) -1 e) 41

8. Resolver:

5x

7x

4x 5 4

8x 15

11x 3

4 a)

3

2 b)

3

8 c)

10 2 5 2 5 2

5

10 4 d) e)

a) 1 b) -1 c) 7

d) 3 e) -4

3 5

5. Hallar "x" en:

9. Resolver:

x

x 4

x

x 2

12

(x 4)(x 2)

1 2

x 5 2

a) -7 b) 6 c) 7 d) -6 e) -13

10.Resolver:

a) 1 b) 2 c) 30 d) 45 e) 54

6. Hallar "x" en:

x 1

x 1

x 2

x 2

x 3

x 1

x 4

x 2

4 23 1

x 3 3

a) 3

b)

-1

c)

1 a) 1 b) 20 c) 30

d) 2 Bloque III

e) -2

7.

d) 40 Resolver:

e) 12

1. Resolver:

x x 2

5x

x 3

5

x 3 2

a) -19 b)

12

19 2

2

c) -2

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

8. Resolver:

2 x x 1

d) 19

e) 19

a a b

a b

2. Resolver: b a)

a b)

a

b c) ab

3x 7

x 2

x 1

8 x 2

d) a + b e) 1 9. Resolver:

a) -3 b) 1 c) 2

d) 5 e) 4

x 3

2 3x

4x

3. Resolver en "x": x2 + a2 = (a + x)2 - a(a - 1)

1

a) -1 b) a c) 2

a 1

2 7 3

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 18

10.Hallar "x" en:

d) -7 e) 2

4. Resolver:

1

1

(12 346)2 (24 691)2

(12 344)2 (24 689)2

3x 2 3x 2

3 5

x 1

3

3 5

2

1

5 15

a) 12 340 b) 24 680 c) 12 343

d) 74 070 e) 12 345

Autoevaluación NOTAS CURIOSAS

Como habrás visto, los dos primeros Productos Notables, 1. Hallar "x" en la ecuación:

3x - 5 + 2x = 7x + 2

3

a) 5 b) 2

c) 7 2

están referidos al Binomio (a + b) elevado al cuadrado (2)

y al cubo (3).

Sin embargo, este mismo binomio afectado a los

exponentes 4; 5; 6; ... ; etc., seguirá siendo un producto notable cuyo desarrollo también será escrito mediante una fórmula, pero claro, un tanto más compleja.

2 d)

7 e)

2 3

Memorizar fórmulas de este tipo puede resultar muy

trabajoso, así que observa el siguiente método práctico

2. Resolver la siguiente ecuación:

5(2x - 4) = 2(3x + 4)

3

llamado TRIÁNGULO DE TARTAGLIA.

OJO: los números obtenidos por las flechas, corresponden a la suma

de los números superiores.

1

a) 7 b) 9 c) 2

2

1 1

1 2 1

Estos son los coeficientes de (a + b)

2

3

d) 5

3. Resolver:

e) 6 1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Estos son los coeficientes de (a + b)

Estos son los coeficientes de (a + b)4

. .

5 x

3

x 6

2

.

De esta manera, si queremos calcular el desarrollo de

5

4

2

(a + b )

6

, tomamos la última fila del triángulo:

a) 3

b) 5

c) 5 (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

d) 6 e) 12 4. Resolver:

x 2

2 3

x 2

6 5

OJO: Nota que la variable "a"

empieza con el exponente del

binomio (5) y luego va decreciendo de

OJO: Observa que la variable "b" empieza con el exponente "0" y luego va creciendo

de 1 en 1 hasta llegar al exponente

a) 16 b) 32 c) 8 d) 2 e) 64

1 en 1. del binomio (5).

5. Resolver:

Y ahora ... ¿crees que puedas desarrollar: (a + b)6? ... ¡Inténtalo!

2

(x 4) 5x 5x

x 1

30

3 7 3

a) 1 b) -5 c) 3

d) -8 e) 7

Claves:

1. c

2. a

3. c

4. b

5. e

AÑO

Ecuaciones de Primer

Grado con enunciado

La comunicación, es una actividad muy importante para

la vida y desarrollo de todo ser, pues así se pueden transmitir situaciones de peligro, de hambre, de malestar, etc. Por ejemplo, los animales, para poder comunicarse, han logrado desarrollar diferentes tipos de lenguaje, algunos tan sorprendentes y sofisticados como en el caso de los delfines o los murciélagos (que inclusive llevaron al hombre a inventar el RADAR). Estos animalitos, emiten señales sonoras de alta frecuencia, imperceptibles al oído humano.

Existen otros lenguajes, quizás, más "sencillos" de

comprender como es el caso del perro. Es sabido que al llegar a casa, él te recibirá "saludándote" moviendo la colita. Esta es una señal de afecto. O también cuando en algún momento al acercarnos nos gruñe; esta es una señal de incomodidad.

El ser humano, lógicamene, no escapa a esta

característica; sin embargo él ha logrado desarrollar diferentes tipos de lenguaje, como por ejemplo: el lenguaje simbólico, el lenguaje cromático, el lenguaje gestual, el lenguaje matemático, el lenguaje textual, etc.

Observa los siguientes gráficos:

Indica peligro Indica proceso correcto

Ahora estos ejemplos corresponden al lenguaje gestual.

Indica que algo Indica

está correcto silencio

Indica que algo

está incorrecto

En el lenguaje matemático hacemos uso de los

"números" (que en realidad son los numerales) y de algunas operaciones conocidas (suma: + ; resta: - ; multiplicación: x; etc.). Observa los ejemplos:

7 3 25 ;

2

2

25

3

Indica Indica servicios primeros auxilios higiénicos

masculinos

corresponden al lenguaje simbólico.

Cuando caminas por las calles y el semáforo está en verde para ti, indica que puedes cruzar la pista. Cuando vas a la playa y ves una bandera de color rojo, nos indica que el mar está demasiado agitado y por lo tanto no debes nadar. Estos son ejemplos del lenguaje cromático.

En el lenguaje textual hacemos uso de las "letras" (que en realidad son grafemas) y las reglas gramaticales. Un ejemplo de este lenguaje es todo lo que has leído anteriormente.

Todos estos ejemplos han sido vistos, porque en el tema

de hoy relacionaremos dos lenguajes: el matemático y textual, interpretándolos de manera adecuada para la solución de problemas.

Parte teórica

En este tema no hay una teoría nueva. Todas las

Problemas resueltos 1. El doble de mi edad, aumentado en su mitad, en sus

herramientas que necesitas para solucionar problemas, tú

ya las conoces.

2 3

5 , en sus

10

y en 40; suman 200 años. ¿Cuántos

Quizás lo más dificultoso que pueda haber, es interpretar

adecuadamente el lenguaje textual y traducirlo al lenguaje matemático. No hay una regla específica para esta "traducción", sin embargo, aquí tienes unos ejemplos que de seguro te ayudarán.

Lenguaje textual Lenguaje matemático

• La suma de dos a + b

años tengo? Resolución:

Mi edad: x

Doble de mi edad: 2x

Del enunciado obtenemos:

2x 1

x 2

x 3

x 40 200

números

• La suma de los cuadrados x2 + y2

2 5 10

de dos números 2x

1 x

2 x

3 x 160

• El cuadrado de la suma (x + y)2

de dos números

2 5 10

• La suma de dos números x + (x + 1)

consecutivos

• El cuádruplo de lo que tengo, 4x + 20 ; tengo "x" aumentado en 20

• El cuádruple, de lo que tengo 4(x + 20) ; tengo "x" aumentado en 20

Método para la resolución de un problema

Dando común denominador:

20x 5x 4x 3x

10

32x = 160(10)

32x = 1 600

x = 50 años

160

1. Leer cuidadosamente el problema y estudiarlo hasta que

quede perfectamente clara la situación que se plantea.

2. Identificar las cantidades comprendidas en el problema,

tanto las conocidas como las desconocidas.

3. Planteo del problema: Se elige la incógnita por una

letra "x" por ejemplo y se efectúan con ello y con los datos, las operaciones que indique el enunciado.

4. Resolución de la ecuación: Dicha ecuación se resuelve

según las reglas que se enunciaron.

* Observación: Para el planteo de una ecuación es

importante tener en cuenta "la coma", veamos. Ejemplo:

El triple de un número, aumentado en 8

2. Una habitación rectangular tiene de largo tres veces su

anchura, y su perímetro mide 28,80 m. Hallar la anchura y el largo.

Resolución:

Sea "x" el ancho

x

3x

Luego:

x + x + 3x + 3x = perímetro

x + x + 3x + 3x = 28,80

Resolviendo:

8x = 28,80

3x + 8

El triple, de un número aumentado en 8

x 28,80

8

3(x + 8) x = 3,60

Luego la habitación tendrá 3,60 m de ancho y 10,80 m de largo.

a) 36 b) 40 c) 48

d) 54 e) 60

a) 14 años b) 18 c) 20 d) 24 e) N.A.

3. Ha llar do s nú mer os q ue s uma dos den 300 y restados 200.

Resolución:

De donde:

3(3 +x) = 5(5 - x) 9 + 3x = 25 - 5x

Llamemos "x" al mayor

el menor valdrá: 300 - x

La diferencia que vale 200 se formulará por la ecuación:

x - (300 - x) = 200

x - 300 + x = 200

Transponiendo: 300

2x = 200 + 300 2x = 500

x = 250

El mayor será 250 y el menor 50. 4. Hallar tres números pares consecutivos, que sumados

den 216.

Resolución:

Si llamamos "x" al primero, los otros dos serán:

(x + 2) y (x + 4)

por lo tanto: x + (x + 2) + (x + 4) = 216

Transponiendo términos:

3x + 5x = 25 - 9

8x = 16

x = 2

Problemas para la clase

Bloque I 1. Hallar un número, sabiendo que aumentado en 18

equivale al triple de su valor.

a) 4 b) 7 c) 6 d) 9 e) 12

2. Hallar un número que aumentado en 14 equivale al triple

del mismo número.

a) 14 b) 28 c) 9 d) 7 e) 10

Resolviendo:

x + x + x + 6 = 216

3. El exceso del doble de un número sobre 18 es igual al triple, del número disminuido en 10. ¿Cuál es ese número?

3x = 210

x = 70

Los números pares son 70; 72; 74

3

a) 8 b) 6 c) 12

d) 14 e) 16

4. La suma de tres números enteros consecutivos es 47

unidades más que el número menor. Hallar el mayor de los tres números.

5. Si al numerador de la fracción 5

se le suma un número a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 25

y al denominador se le resta el mismo número se obtiene otra fracción equivalente a la recíproca de la fracción dada. Calcular el número.

Resolución:

Sea el número: x

3

5. La suma de dos números enteros consecutivos es 35,

¿cuál es el doble del mayor?

a) 24 b) 34 c) 36 d) 26 e) 32

6. Hallar un número cuyos 7/8 excedan a sus 3/4 en 5. Fracción inicial:

5

5 Recíproca de la fracción:

3

Del enunciado, del problema tenemos:

7. La edad de Pepe dentro de ocho años será el doble de la

edad que tuvo hace cinco años. ¿Cuál es su edad actual?

3 x

5 5 x 3

8. Si al triple de la edad que tenía Juan hace 10 años se le

resta su edad actual se obtiene la edad que tendrá dentro de cinco años. ¿Cuál es su edad?

3. En un corral hay pollos y conejos, el número de patas

es 30 menos que el doble del número de ojos. ¿Cuántos pollos hay?

a) 28 años b) 35 c) 36 a) 11 b) 9 c) 15 d) 27 e) 20 d) 21 e) 12

9. Se tienen dos números, el mayor excede al menor en 15 unidades. Si al menor se le aumentara sus 3/4 resultaría lo mismo que la mitad del mayor. ¿Cuáles son esos números?

a) 6 y 21 b) 8 y 23 c) 7 y 22 d) 3 y 18 e) 4 y 19

10.Hallar dos números sabiendo que uno excede al otro en

ocho unidades y que el menor es 35 unidades menos que el doble del mayor. Dar el mayor de éstos.

a) 12 b) 15 c) 19 d) 18 e) 27

11.El triple de un número, aumentado en 16 equivale al

exceso de 60 sobre el mismo número. Hallar dicho número .

a) 20 b) 24 c) 36 d) 3 e) 11

12.Un número más su mitad es igual al exceso del doble

del mismo sobre 9. Hallar el doble de dicho número.

a) 20 b) 24 c) 36 d) 38 e) 40

Bloque II

1. La suma de tres números enteros consecutivos es lo

mismo que el exceso de 39 sobre el menor de los números. ¿Cuál es el número mayor?

a) 11 b) 12 c) 14 d) 16 e) 10

2. Si a un número se le suma 5, se multiplica la suma por

3, se resta 6 del producto y se divide la diferencia por 7, se obtiene un número que tiene cinco unidades menos que el número inicial. Hallar el número aumentado en tres.

a) 11 b) 12 c) 14 d) 13 e) 16

4. Mario tiene S/. 1 950 en billetes de S/. 100 y de S/. 50. En total tiene 24 billetes. Determinar cuántos billetes son de S/. 100.

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

5. La mitad de un número es igual a la tercera parte de

otro. ¿Cuáles son dichos números si su suma es igual a

10?

a) 4 y 6 b) 2 y 8 c) 1 y 9 d) 3 y 7 e) 5 y 5

6. Hallar dos números sabiendo que uno excede en ocho

unidades al otro y que el menor aumentado en sus 3/5 es cinco unidades menos que el mayor.

a) 5 y 13 b) 6 y 14 c) 7 y 15 d) 9 y 17 e) N.A.

7. La edad de Vivi dentro de ocho años será el doble de la

edad que tuvo hace ocho años. ¿Cuál es su edad actual?

a) 14 años b) 18 c) 20 d) 24 e) 19

8. Los 4/5 de la suma de dos números es igual a 32 y

10/9 de su diferencia es 20. Encontrar el menor.

a) 29 b) 13 c) 11 d) 27 e) 14

9. Si al cuádruple de la edad que tenía hace tres años le

resto el doble de la edad que tendré dentro de cuatro años, obtengo mi edad. ¿Cuál es mi edad?

a) 12 años b) 14 c) 20 d) 22 e) 18

10.Si se multiplica el menor y mayor de tres números pares

consecutivos se obtiene un número que es 96 unidades menos que el producto del mayor y el segundo número de los tres mencionados. Hallar el mayor de ellos.

a) 44 b) 48 c) 42 d) 46 e) 50

Autoevaluación

1. La suma de dos números consecutivos es 15. Indicar el

cuadrado del mayor.

a) 225 b) 49 c) 64 d) 100 e) 16

2. Si al doble de un número le aumentas cinco unidades,

obtendrás como resultado el mismo número disminuido en cuatro unidades. ¿Cuál es el número?

a) 13 b) -13 c) -4 d) 9 e) -9

NOTAS CURIOSAS

Aprovechando el hecho de que los dos últimos temas

los hemos dedicado a productos notables y en especial al

BINOMIO AL CUADRADO, te contaré algo más sobre este

importantísimo tema.

* El matemático inglés Sir Isaac Newton, al estudiar el

TRIÁNGULO DE TARTAGLIA (observa las Notas curiosas del capítulo anterior) y agregarle algunos

resultados matemáticos, obtuvo el desarrollo de la

fórmula de:

3. Se sabe que la suma de dos números es 16 y además

uno de ellos es el triple del otro. Encuentra la diferencia

n (a + b ) ; “n” lN

entre ambos.

a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 e) 20

4. Hace 10 años, Luis era mayor que Roberto en siete años.

Si actualmente sus edades suman 43 años, ¿qué edad

tendrán en siete años?

a) 32 y 25 años b) 25 y 18 c) 17 y 10 d) 21 y 14 e) 23 y 16

5. En el colegio TRILCE, hay dos aulas para segundo año.

Si juntas tienen 85 alumnos y los dos tercios de una, más los cinco medios de la otra suman 152, determinar cuántos alumnos tiene cada aula.

Es decir un binomio elevado a cualquier exponente: 1;

2; 3; 4; ... etc.

* Un matemático peruano, realizó una gran hazaña al

superar el trabajo hecho por Newton. Fue FEDERICO

VILLARREAL, quien desarrolló la fórmula para un

polinomio elevado a determinado exponente; así, la

fórmula de Newton (llamada BINOMIO de NEWTON)

era un caso particular del famoso:

POLINOMIO DE VILLARREAL = [a1 + a

2 + a

3 + ... +a

k]n ;

“k”, “n” lN

a) 50 y 35 b) 27 y 58 c) 38 y 47 d) 33 y 52 e) 29 y 56

Claves

1. c

2. e

3. b

4. a

5. d