ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS 10.1 EL VECTOR DE...
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Alonso Fernández Galián
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TEMA 10: ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS La Geometría Analítica en el espacio se ocupa fundamentalmente del estudio de rectas y planos por medio de ecuaciones. En particular, en este tema estudiaremos las posiciones relativas de rectas y planos mediante la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. 10.1 EL VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO. APLICACIONES Consideremos un punto del espacio, ),,( 321 aaaA . Para poder operar con sus coordenadas se
introduce su vector de posición, que se define como OAa .
),,( 321 aaaOAa
Observemos que el vector de posición de A tiene las mismas coordenadas que el punto A. Veamos ahora cómo utilizar vectores para resolver varios problemas geométricos. Vector que une dos puntos. Sean ),,( 321 aaaA y ),,( 321 bbbB dos puntos del espacio. El vector de origen A y extremo B puede escribirse como:
abOAOBAB
Las coordenadas de los vectores a y b
coinciden con las de A y B, respectivamente:
),,( 321 aaaa y ),,( 321 bbbb
Por lo tanto, tenemos:
),,( 332211 ababababAB
Comprobación de si tres puntos están alineados. Para comprobar si los puntos A, B y C están alineados basta observar si los vectores AB y AC son linealmente dependientes:
A, B y C están alineados AB y AC son l.d. ABAC para algún ℝ
Ejemplo: Dados los puntos )4,0,2( A y )2,1,3(B , calcular las coordenadas de los
vectores AB y BA .
(a) El vector AB tiene coordenadas: 6,1,5)4(2,01,23 AB
(b) El vector BA tiene coordenadas: 6,1,524,10),3(2 BA
Notemos que se trata de vectores opuestos:
Matemáticas II
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Distancia entre dos puntos. La distancia entre dos puntos
),,( 321 aaaA y ),,( 321 bbbB es igual al módulo del vector AB :
233
222
211 )()()(, abababABBAd
El punto medio de un segmento. El punto medio del segmento de extremos ),,( 321 aaaA y
),,( 321 bbbB tiene por coordenadas la media aritmética de las coordenadas de los extremos:
2
,2
,2
332211 bababaM
Demostración: Debemos determinar las coordenadas del vector de posición de M, OM . Para ello, observemos que:
AMOAOM
Por otro lado, se tiene: ABAM21
. Así:
),,(21),,(
21
332211321 abababaaaABOAAMOAOM
22
,2
2,2
22
,2
,2
333222111333
222
111
abaabaabaabaabaaba
2,
2,
2332211 bababa
Ejemplo: Calcular el punto medio del segmento de extremos )0,3,5( A y )2,4,1( B .
1,
21,2
2)2(0,
243,
215 MM
Ejemplo: Calcular la distancia entre los puntos )0,1,3( A y )5,2,1( B .
38)05()12()31(, 222 ABBAd u.l.
Ejemplo: Comprueba si los puntos )5,3,1(A , )1,1,3( B y )4,0,5( C están alineados.
ABACACAB
5,15,1
69
23
46
)9,3,6()6,2,4(
Como los vectores AB y AC son proporcionales (l.d.), los puntos están alineados.
Nota: En lugar de AB y AC se pueden usar, por ejemplo, AB y BC .
Tema 10: Ecuaciones de rectas y planos
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10.2 LA ECUACIÓN DE LA RECTA Una recta r queda determinada conociendo un punto A por el que pasa y un vector u que determine su dirección, denominado vector director de la recta.
Nota: Ni el punto A ni el vector u son únicos, podemos tomar cualquier otro punto por el que pase la recta y cualquier vector paralelo a ella. La ecuación de la recta en forma vectorial. Sea r la recta que pasa por el punto ),,( 321 aaaA y tiene vector director ),,( 321 uuuu
. Para cualquier punto ),,( zyxP de la recta existirá un número ℝ tal que:
uOAOP
Esta expresión recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta. En coordenadas:
),,(),,(),,( 321321 uuuaaazyx
Dando distintos valores al parámetro obtendremos las coordenadas ),,( zyx de los distintos puntos de la recta r. La ecuación de la recta en forma paramétrica. Si igualamos coordenadas en la ecuación vectorial de la recta, deducimos que las coordenadas ),,( zyx satisfacen:
33
32
11
uazuayuax
Estas igualdades reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta. Buscamos ahora ecuaciones que no dependan de ningún parámetro. La ecuación de la recta en forma continua. Despejando el parámetro en las ecuaciones paramétricas e igualando las tres expresiones resultantes se obtiene:
3
3
2
2
1
1
uaz
uay
uax
Estas igualdades se denominan ecuaciones continuas de la recta. La ecuación de la recta en forma implícita. Las ecuaciones continuas son dos ecuaciones lineales. Al expresarlas en forma general obtenemos dos ecuaciones de la forma:
00
dzcybxadczbyax
Estas ecuaciones se constituyen la forma implícita de la ecuación de la recta. Posteriormente estudiaremos la estudiaremos con detalle, incluyendo su interpretación geométrica.
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Nota: En la forma continua se permite, de manera indicativa, que alguno de los denominadores sea 0, lo que en realidad es un abuso de notación.
La ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Para encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos ),,( 321 aaaA y
),,( 321 bbbB basta notar que dicha recta tendrá vector director:
),,( 332211 abababABu
Ejemplo: Considera los puntos del espacio )1,0,1( A y )2,5,1( B .
(a) Escribe las ecuaciones continuas de la recta r que pasa por los puntos A y B:
11
521)1,5,2(
zyxABu
(b) Comprueba si el punto )3,10,3( C pertenece a la recta:
Hay que ver si las coordenadas de C satisfacen la ecuación de la recta:
111
510
215
☺ El punto C sí pertenece a r
Ejemplo: Escribe en forma vectorial la recta dada en forma continua por:
04
37
21
zyx
La recta pasa por el punto )4,7,1( A y tiene vector director )0,3,2(u . Por tanto, su ecuación vectorial es:
uOAOP )0,3,2()4,7,1(),,( zyx
Ejemplo: Escribe de todas las formas conocidas la ecuación de la recta que pasa por )5,0,2( A y tiene vector director )2,1,3( u .
1º) Ecuación vectorial: uOAOP
)2,1,3()5,0,2(),,( zyx 2º) Ecuaciones paramétricas:
250
32
zyx
, es decir,
25
32
zyx
3º) Ecuaciones continuas:
25
132
zyx
4º) Ecuaciones implícitas:
052023
zyyx
Tema 10: Ecuaciones de rectas y planos
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10.3 POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Sea r la recta que pasa por el punto A y tiene vector director u y s la recta que pasa por el punto B y tiene vector director v :
),,(),,(
:321
321
uuuuaaaA
r y
),,(),,(
:321
321
vvvvbbbB
s
Para estudiar la posición relativa de r y s debemos considerar las siguientes matrices:
321
321,vvvuuu
vu y
332211
321
321
,,ababab
vvvuuu
ABvu
Estudiemos las distintas posibilidades según el rango de estas matrices:
1. Si 1, vur y 1,, ABvur , las dos rectas son coincidentes (son la misma recta):
2. Si 1, vur y 2,, ABvur , las dos rectas son paralelas:
3. Si 2, vur y 2,, ABvur , las rectas son secantes (se cortan en un punto):
4. Si 2, vur y 3,, ABvur , las rectas se cruzan en el espacio:
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:
125
1:
zyx
r y
2141
23:
zyx
s
Las rectas r y s están determinadas por los siguientes puntos y vectores,
)1,2,1()1,5,1(
:uA
r y
)2,4,2()1,1,3(
:vB
s [...]
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Intersección de dos rectas en forma paramétrica. Para calcular el punto P de intersección de dos rectas secantes dadas en forma paramétrica:
33
32
11
uazuayuax
y
33
32
11
vbzvbyvbx
(los parámetros deben ser distintos) debemos igualar coordenada a coordenada para calcular y , después, sustituimos cualquiera de ellos en la recta correspondiente.
[…] El vector AB tiene coordenadas )0,4,2(AB . Las matrices correspondientes son:
242121
,vu y
042242121
,, ABvu
Obviamente,
1, vur (los vectores son proporcionales) y 2,, ABvur
Así, concluimos que las rectas son paralelas.
Ejemplo: Estudiar las posiciones relativas de las siguientes rectas y, en caso de ser secantes, calcula el punto de intersección:
21
25:
zyx
r
y
34
32:
zyx
s
Las rectas r y s están determinadas por los siguientes puntos y vectores,
)0,1,2()2,1,5(
:uA
r y
)1,4,3()3,0,2(
:vB
s
El vector AB tiene coordenadas )1,1,3( AB . Se comprueba que:
2, vur y 2,, ABvur
Por tanto, las rectas son secantes. Para calcular el punto de intersección, igualamos coordenada a coordenada en las ecuaciones paramétricas:
3241
3225
Las soluciones del sistema planteado son 3 y 1 . Si por ejemplo hacemos 3 en la ecuación de la recta r obtenemos que el punto de intersección es:
)2,4,1(P
(si hubiéramos hecho 1 en la ecuación de s hubiéramos obtenido el mismo punto)
Tema 10: Ecuaciones de rectas y planos
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10.4 LA ECUACIÓN DEL PLANO Un plano queda determinado conociendo un punto A por el que pasa y dos vectores linealmente independientes u y v que determinen su dirección, denominados vectores directores del plano.
Veamos las ecuaciones que satisfacen las coordenadas de un punto ),,( zyxP del plano. La ecuación del plano en forma vectorial. Sea el plano que pasa por el punto ),,( 321 aaaA y tiene vectores directores ),,( 321 uuuu
y ),,( 321 vvvv . Para cualquier punto ),,( zyxP de la recta existirán dos números , ℝ tal que:
vuOAOP
Esta expresión recibe el nombre de ecuación vectorial del plano. En coordenadas:
),,(),,(),,(),,( 321321321 vvvuuuaaazyx
Dando distintos valores a los parámetros y se obtienen las coordenadas ),,( zyx de los distintos puntos del plano . La ecuación del plano en forma paramétrica. Igualando las coordenadas en la ecuación vectorial del plano obtenemos:
333
232
111
vuazvuayvuax
Estas igualdades se denominan ecuaciones paramétricas del plano. La ecuación del plano en forma general. Según la ecuación vectorial del plano, los puntos P del plano quedan caracterizados según la siguiente relación:
vuOAOPP
o, equivalentemente:
vuAPP
Así, el punto P pertenece al plano si y sólo si los vectores AP , u y v son linealmente dependientes, lo cual equivale a que el determinante de la matriz vuAP ,, sea 0. Así:
00,,det
321
321
321
vvvuuu
azayaxvuAPP
Desarrollando el determinante obtenemos una ecuación de la forma:
0 dczbyax
Esta ecuación se denomina ecuación general o implícita del plano.
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Plano determinado por tres puntos. Un plano queda determinado conociendo tres puntos no alineados A, B y C.
Para ello partimos de un punto cualquiera, por ejemplo A, y tomamos como vectores directores los vectores ABu
y ACv .
Ecuaciones de los planos coordenados. Veamos cuáles son las ecuaciones generales de los planos que contienen a los ejes de coordenadas. Los tres planos pasan por el punto O.
-Plano x-y: ...0,,det jiOP
0z
-Plano x-z: ...0,,det kiOP
0y
-Plano y-z: ...0,,det kjOP
0x
Ejemplo: Escribe la ecuación general del plano determinado por los puntos )4,1,3( A , )4,2,5( B y )3,1,1(C .
09220122
012413
)1,2,2()0,1,2(
)4,1,3(:
zyx
zyx
ACABA
Ejemplo: Escribe de todas las formas conocidas la ecuación del plano que pasa por )5,0,2( A y tiene vectores directores )1,1,2( u y )2,0,3(v .
1º) Ecuación vectorial:
)2,0,3()1,1,2()5,0,2(),,( zyx
2º) Ecuaciones paramétricas:
25
322
zyx
3º) Ecuación general:
0203112502
zyx
01132 zyx
Tema 10: Ecuaciones de rectas y planos
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10.5 EL VECTOR NORMAL A UN PLANO Veamos la interpretación de los coeficientes de a, b y c en la ecuación general de un plano .
0:
321
321
321
vvvuuu
azayax
Si descomponemos el determinante en suma de dos por la primera fila se obtiene:
0
321
321
321
321
321
vvvuuuaaa
vvvuuuzyx
El segundo determinante es un número real d ℝ . Desarrollemos el primero por la primera fila:
021
21
31
31
32
32 dzvvuu
yvvuu
xvvuu
Observamos así que los coeficientes de x, y y z son las coordenadas del vector vun .
),,( cban
El vector n es perpendicular a los vectores u y v , y por tanto, al plano . Se denomina vector normal al plano . Determinación de un plano por un punto y el vector normal. Un plano queda determinado conociendo:
-Un punto por el que pasa, ),,( 321 aaaA .
-Un vector perpendicular (o normal) al plano.
Notemos que dos planos paralelos tienen los mismos vectores normales.
Ejemplo: Determinar la ecuación del plano paralelo a 04322: zyx que pasa por el punto )1,0,2(P .
El plano debe tener el mismo vector normal que el plano , )3,2,2( n . Por tanto, debe de ser de la forma 0322: dzyx . Calculemos d.
101302)2(2 ddP
El plano pedido es, por tanto: 01322: zyx .
Ejemplo: Escribir en forma general la ecuación del plano perpendicular al vector )5,1,2( n que pasa por el punto )1,0,4(A .
(i) La ecuación general del plano es de la forma 052: dzyx .
(ii) Calculemos d para que el plano pase por el punto A:
130150)4(2 ddA
(iii) El plano pedido es, por tanto: 01352 zyx
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10.6 POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS Consideremos dos planos en el espacio:
0: dczbyax y 0: dzcybxa
La posición relativa de estos planos dependerá de la compatibilidad del sistema formado por sus ecuaciones:
00
dzcybxadczbyax
(es indiferente escribir los términos independientes a la izquierda). A su vez, la compatibilidad del sistema se estudia a través de su matriz de coeficientes y de su matriz ampliada:
cbacba
A y
dcbadcba
A*
Veámoslo:
1. Si 1Ar y 1* Ar , los planos son coincidentes (son el mismo plano):
2. Si 1Ar y 2* Ar , los planos son paralelos:
3. Si 2Ar y 2* Ar , los planos son secantes (se cortan en una recta):
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de los planos 0322: zyx y 05636: zyx .
El sistema formado por sus ecuaciones es:
5636322
056360322
zyxzyx
zyxzyx
La matriz ampliada del sistema es:
56363212
*A
Obviamente 1Ar y 2* Ar , por lo que los planos son paralelos. […]
Tema 10: Ecuaciones de rectas y planos
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[…]
Nota: Observemos que los respectivos vectores normales de los planos son:
)2,1,2( n
)6,3,6( n
Los vectores son proporcionales entre ellos.
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de los planos 01346: zyx y 02: zyx .
El sistema formado por sus ecuaciones es:
21346
0201346
zyxzyx
zyxzyx
La matriz ampliada del sistema es:
21111346
*A
Obviamente 2* ArAr , por lo que los planos son secantes. Se cortan en una recta:
Podemos calcular la recta en la que intersecan los dos planos. Dicha recta será la solución del sistema:
zyxzx
zyxzyx
zyxzyx EE
272
23146
21346 21 4
Para cada valor ℝ que demos a z obtendremos una solución del sistema:
z 21
27
27
x 23
211
21
272
y
Tenemos así que la recta en la que intersecan los planos es:
z
y
x
r23
211
21
27
:
Matemáticas II
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10.7 POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS Veamos ahora cómo decidir la posición relativa de tres planos en el espacio, , y . Como antes, debemos estudiar la compatibilidad del sistema formado por sus ecuaciones:
000
::
:
dzcybxadzcybxadczbyax
000
dzcybxadzcybxadczbyax
La compatibilidad del sistema se determina con la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:
cbacbacba
A y
dcbadcbadcba
A*
Veámoslo:
1. Si 1Ar y 1* Ar , los tres planos son coincidentes (son el mismo plano):
2. Si 1Ar y 2* Ar , los tres planos son paralelos o hay dos planos coincidentes y uno paralelo a ellos:
3. Si 2Ar y 2* Ar , los tres planos son secantes y se cortan en una recta, o hay dos
coincidentes y uno secante a ellos.
4. Si 2Ar y 3* Ar , los planos se cortan dos a dos o hay dos planos paralelos y el tercero es secante respecto a ellos:
5. Si 3Ar y 3* Ar , los tres planos son secantes y se cortan en un punto:
Tema 10: Ecuaciones de rectas y planos
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Veamos otro ejemplo:
Ejemplo: Determina la posición relativa de los siguientes planos:
02: zyx 062: yx 02432: zyx
El sistema formado por sus ecuaciones es:
2432622
0243206202
zyxyxzyx
zyxyxzyx
La matriz ampliada del sistema es:
243260122111
*A
Calculemos el rango de A y de A* usando determinantes:
011211
0432012111
det A 0232612211
,,det 421 CCC
Según esto, 2* ArAr . Como además no hay dos planos coincidentes podemos concluir que los tres planos se cortan en una recta.
* Resolviendo el sistema, que es compatible indeterminado, obtenemos la recta en la que intersecan los tres planos:
426:
622
2432622
213 4
zyx
ryxzyx
zyxyxzyx
xEEE
Ejemplo: Determina la posición relativa de los siguientes planos:
3: x 024: zyx 0123: zyx
El sistema formado por sus ecuaciones es:
1230243
01230243
zyxzyxx
zyxzyxx
La matriz ampliada del sistema es:
121302143001
*A
Se comprueba que 2Ar y 3* ArAr . Como obviamente no hay dos planos paralelos, concluimos que los tres planos se cortan dos a dos.
Matemáticas II
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10.8 FORMA IMPLICITA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA Según hemos visto, dos planos secantes en el espacio determinan una recta. Por ello, una recta se indica muchas veces como intersección de dos planos secantes:
00
:dzcybxadczbyax
r , 2* ArAr
Estas dos ecuaciones conjuntamente se denominan educaciones implícitas de la recta r.
Para escribir en forma implícita una recta expresada en forma paramétrica, primero la pasamos a forma continua y después agrupamos a la derecha los términos de las dos igualdades:
Ejemplo: Escribir en forma implícita la recta de ecuaciones paramétricas:
214
32:
zyx
r
(a) Primero escribimos la recta en forma continua.
21
14
32
zyx
(b) Ahora, desarrollamos las dos ecuaciones que aparecen en la forma continua.
0720143
:
21
14
14
32
21
14
32
zyyx
rzy
yxzyx
Ejemplo: Comprobar que las siguientes ecuaciones implícitas determinan una recta. Después, escribir esta recta en forma paramétrica.
54127
zyxzyx
(a) La matriz ampliada del sistema es:
51141127
*A
Obviamente 2* ArAr , por lo que los planos son secantes y determinan una recta r. (b) Para expresar la recta en forma paramétrica debemos resolver el sistema:
xyxzy
xzyxzy
zyxzyx EE
363712
45712
54127 12
Llamando a x y despejando obtenemos la solución del sistema, que constituye la forma paramétrica de la ecuación de la recta:
532:
zyx
r
Tema 10: Ecuaciones de rectas y planos
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10.9 POSICIÓN RELATIVA DE UNA RECTA Y UN PLANO Para estudiar la posición relativa de un plano y una recta conviene que la recta esté expresada en forma implícita, Así, la posición relativa de la recta r y el plano ,
00
:dzcybxadczbyax
r y 0: dzcybxa ,
se estudia mediante el sistema que forman sus ecuaciones:
000
dzcybxadzcybxadczbyax
Lo que a su vez viene dado por el rango de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:
cbacbacba
A y
dcbadcbadcba
A*
Hay que tener en cuenta que, como las dos primeras ecuaciones determinan una recta, el rango de la matriz A es al menos 2. Veamos:
1. Si 2Ar y 2* Ar , la recta está contenida en el plano:
2. Si 2Ar y 3* Ar , la recta es paralela al plano:
3. Si 3Ar y 3* Ar , la recta corta al plano (es decir, el plano y la recta son secantes):
Ejemplo: Determinar la posición relativa de la recta r y el plano :
06650144
:zyx
zyxr y 0352: zyx
El sistema formado por las ecuaciones de la recta y el plano es:
3520665
144
zyxzyxzyx
[…]
Matemáticas II
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Haz de planos. Consideremos una recta r escrita como intersección de dos planos:
00
:dzcybxadczbyax
r
Cualquier plano que contenga a r debe ser tal que su ecuación forme con las ecuaciones anteriores un sistema compatible indeterminado. Es decir, la ecuación del plano debe ser una combinación lineal de las ecuaciones de r:
0: dzcybxadczbyax
Si 0 obtenemos el primero de los planos que determinan r. En caso contrario, dividiendo entre y haciendo / obtenemos:
0: dzcybxadczbyax
Esta expresión se denomina haz de planos que contienen a la recta r. Dando distintos valores al parámetro obtenemos las ecuaciones de los distintos planos que contienen a r.
La matriz ampliada del sistema es:
351206651441
*A
Calculemos el rango de A y el de *A usando determinantes:
0146541
0512665441
det A 035
312065141
,,det 321
CCC
Según esto, se tiene que 2Ar y 3* Ar , por lo que la recta y el plano son paralelos.
Ejemplo: Calcular el plano que pasa por el punto )1,2,1( P y contiene a la recta r,
0132022
:zyxzyx
r
(Observemos que P no pertenece a ninguno de los dos planos que determinan r).
(i) El haz de planos de r es:
013222 zyxzyx
(ii) Calculamos de manera que el plano resultante pase por el punto )1,2,1( P :
01)1(3)2(122)1()2(21 2/1
(iii) El plano es, por tanto:
01322221
zyxzyx
0543 zyx
Tema 10: Ecuaciones de rectas y planos
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ANEXO: POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN FORMA IMPLÍCITA Ya sabemos determinar la posición relativa de dos rectas r y s cuando están escritas en forma paramétrica, veamos ahora cómo hacerlo cuando están expresadas en forma implícita.
00
:dzcybxadczbyax
r
00
:dzcybxadzcybxa
s
Como siempre, consideremos el sistema formado por las ecuaciones de las rectas,
dzcybxadzcybxadzcybxadczbyax
y estudiemos el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada:
cbacbacbacba
A y
dcbadcbadcbadcba
A*
Notemos que, como las ecuaciones primera y segunda por un lado, y tercera y cuarta por otro, deben determinar sendas rectas, el rango de la matriz A debe ser al menos 2.
1. Si 2Ar y 2* Ar , las rectas son coincidentes (son la misma recta):
2. Si 2Ar y 3* Ar , las rectas son paralelas:
3. Si 3Ar y 3* Ar , las rectas son secantes (se cortan en un punto):
4. Si 3Ar y 4* Ar , las rectas se cruzan en el espacio:
Ejemplo: Determinar la posición relativa de las siguientes rectas:
2202
:zyxzyx
r y zyxs
52
31:
[...]
Matemáticas II
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Veamos un último ejemplo:
Ejemplo: Determinar la posición relativa de las siguientes rectas:
1
2:
zyxy
r y
3302
:zyxyx
s
Como siempre, escribamos el sistema correspondiente junto con la matriz ampliada:
3131001211112010
*
33021
2
A
zyxyxzyxy
Se comprueba que:
016*det A
Así, debe ser 3Ar y 4* Ar , por lo que las rectas se cruzan en el espacio.
Primero expresemos la recta s en forma implícita:
2513
:
52
31
52
31
zyzx
szy
zx
zyx
Ahora, escribamos el sistema formado por las ecuaciones de las dos rectas:
2513
2202
zyzxzyxzyx
La matriz ampliada del sistema es:
2510130122110112
*A
Calculemos el rango de A y de A* usando determinantes. Se comprueba que:
0*det A
Por tanto, 4* Ar .Buscamos menores no nulos:
011112
0301211112
0
510211112
01
101211012
Así, tenemos que 2Ar y 3* Ar , por lo que las rectas son paralelas.
Tema 10: Ecuaciones de rectas y planos
- 19 -
El vector de posición: aplicaciones 1. Comprueba en cada caso si los puntos están alineados:
(a) 1,1,1A , 1,0,2B y 1,2,0C . (b) 3,2,1A , 1,4,2B y 1,1,1C . 2. Encuentra el punto medio del segmento de extremos 1,0,1A y 3,2,5B . 3. Dados los puntos 9,3,2A y 6,2,1 B , encuentra tres puntos P, Q y R que dividan al segmento AB en cuatro partes iguales. La ecuación de la recta 4. Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene dirección 3,1,6 u . 5. Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos 5,3,2 A y 3,4,8B .
6. Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos 5,3,1P y 2,3,2Q .
7. Escribe en forma vectorial y paramétrica las siguientes ecuaciones de la recta:
(a) 14
531
zyx (b)
05
22
38
zyx
8. Comprueba si el punto 3,6,2P pertenece a alguna de las siguientes rectas:
(a)
213
46:
zyx
r (b) 36
243:
zyxs
9. Determina los valores de m para que los puntos 3,2, mA , 1,,2 mB y 2,3,5 A estén alinea-dos y hallar las ecuaciones de la recta que los contiene.
10. Calcula la ecuación de la recta r paralela a 3
473
:
zyxs que pasa por 0,2,2 P .
11. Estudiar la posición relativa de las rectas:
tzty
txr
3121 y
sz
sysx
r67
222
2
12. Estudiar la posición relativa de las rectas:
43
22
31:
zyxr y
423
12: zyxs
EJERCICIOS DEL TEMA 10
Matemáticas II
- 20 -
13. Comprueba que las siguientes rectas se cortan. Después, escribe sus ecuaciones paramétricas y calcula el punto de intersección.
21
12
11:
zyxr
21
13
23:
zyxs
14. Estudia la posición relativa de las siguientes rectas:
tztytx
r 345
: y 42
312: zyxs
La ecuación del plano 15. Encuentra la ecuación del plano determinado por el punto 3,2,1A y los vectores
5,1,2 u y 4,2,3v . 16. Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos 3,1,2A , 1,1,1B y 8,1,5C . 17. Escribe en formas vectorial, paramétrica e implícita las ecuación de los planos determinados por los ejes de coordenadas. 18. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto 2,1,2 P y contiene a la recta de ecuaciones paramétricas:
2x , 3y , 1z .
19. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta 122
33
zyxr y pasa por el
punto P(1,– 1, 0). 20. Comprobar si los puntos 3,2,1A , 8,7,4B , 5,5,3C y 3,2,1 D son coplanarios. 21. Comprueba que los puntos 2,1,1 A , 3,2,2 B y 0,1,1C no están alineados y encuentra el plano determinado por ellos. Vector normal a un plano 22. Hallar el plano que pasa por el punto 2,1,3 A y tiene vector normal 8,1,2n . 23. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos 1,2,3 A y 2,0,4B y es perpendicular al plano 0625: zyx . 24. Dados el plano 632 zyx y la recta r:
10
zyx
r
Encuentra la ecuación general de un plano perpendicular a y que contiene a r.
Tema 10: Ecuaciones de rectas y planos
- 21 -
Posiciones relativas entre planos y rectas 25. Estudia la posición relativa de los planos 422: zyx y 1244: zyx .
26. Comprueba que los siguientes planos se cortan en una recta. Después, calcula dicha recta:
45: zyx y 123: zyx 27. Estudia la posición relativa de los planos:
45 zyx y 121533 zyx 28. Consideremos los planos:
73: zbyax y 32: zyx
Determina los parámetros ba, ℝ para que los planos sean paralelos. 29. Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto 1,1,1A y es paralelo al plano de ecuación 0553 yx . 30. Estudia la posición relativa de los siguientes planos:
035402023
zyxzyxzyx
31. Determina el valor de k ℝ para que los siguientes planos se corten en una recta:
114103322
zykxzyxzyx
32. Determina la posición relativa de la recta:
2x , 13 y , z
y el plano 051123 zyx . 33. Determina la posición relativa de la recta r y el plano :
143
:zxzyx
r 13: zyx
34. Estudia la posición relativa de la recta r y el plano :
10
zyx
r , ℝ 632 zyx
35. Dado el plano 022: zyx y la recta r dada por la intersección de los planos:
3 yzx y 12 yx
Obtén la ecuación del plano perpendicular a , paralelo a r, y que contiene al punto P(1, 2, 1).
Matemáticas II
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36. Estudia la posición relativa de las rectas:
321
53:
zyxr y
67334
:zyxzyx
s
37. Estudia la posición relativa de las siguientes rectas y, si es posible, calcula el plano que las contiene:
zyxr
11
32: y
95242
:zyxzyx
s
38. Sean las rectas:
202
:zyzx
r y
azyxzyx
s22
1:
Determina a para r y s estén situadas en el mismo plano. Después, encuentra dicho plano. 39. Encuentra el valor de m ℝ para que las siguientes rectas sean secantes:
5134
21
zyx
r y
22
2zyx
mzyxs
Después, encuentra el punto de intersección. Varios 40. Encuentra la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y contiene a la recta intersección de los planos:
0201
yxzyx
41. Determina la recta que pasa por el punto 1,1,1A , es paralela al plano 02: zyx y está en el mismo plano que:
3211: zyxr
42. Escribe la ecuación continua de la recta que es paralela a los planos 03: zyx y
0532: zyx y pasa por 5,1,2 P . 43. (PAEG Junio 10-11) Dados el plano y la recta r:
0 zx y
tztyatx
r2
11
, t ℝ
(a) Determina el parámetro a ℝ para que la recta r y el plano sean paralelos.
(b) Para el valor de a encontrado, encuentra las ecuaciones paramétricas de una recta r’ paralela al plano y que corta perpendicularmente a r en el punto 0,1,1P .
Tema 10: Ecuaciones de rectas y planos
- 23 -
44. Sean las rectas:
10
:zyx
r y
zyx
r 221
:
(a) Determina su posición relativa. (b) Comprueba que sus vectores directores son perpendiculares. (b) Halla la ecuación general de un plano que contenga a r y sea paralelo a r’. 45. Halla las ecuación de la recta r’, proyección ortogonal de la recta
332
1:
zyx
r
sobre el plano 042: zyx . 46. Considera las rectas:
tztbyatx
r2
1 y
26
122
zyxs
(a) Determina los valores de ba, ℝ para que las rectas sean secantes y perpendiculares.
(b) Para los valores obtenidos, encuentra el punto de corte. 47. Dado el plano 62 zx y la recta
40
azyxzy
r
(a) Encuentra el valor del parámetro a ℝ para que y r sean paralelos.
(b) Para el valor de a calculado, encuentra el plano perpendicular a que contiene a r.
Selección de Ejercicios de PAEG _____________________________________________________________________________ Junio 2009-2010
Reserva I 2009-2010
Matemáticas II
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Septiembre 2009-2010
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