-2012INTRODUCCION: 1APLICACIONES DE LAS DIFERENCIALES ORDINARIASECUACIONES2.1Desintegracin Radioactiva3 Mtodo del carbono 14..8 Vida Media ...11 2.2 Modelos de Poblacin..15 Dinmica de Epidemias18 Dinmica de crecimiento de un individuo: modelo de Bertalanffy.24Bibliografa 29integrantes: altamirano guzman jaison diaz parvina cristhian flores yarasca manuel hernandez herrera harold huamani gonzales clintonECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA BIOLOGIAECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA BIOLOGIA1.Introduccin:Existen numerosos modelos matemticos de diversa ndole que se utilizan hoy en da para el estudio de problemas en Biologa y otras ciencias experimentales; sus objetivos principales son describir, explicar y predecir fenmenos y procesos en dichas tareas. La gran parte de tales modelos matemticos se expresa mediante ecuaciones diferenciales. El objetivo de este tema es describir brevemente algunos de los conceptos bsicos relacionados con las ecuaciones diferenciales ordinarias, mostrar tcnicas elementales de su resolucin, as como exponer ejemplos prcticos de aplicaciones. Una ecuacin diferencial es una ecuacin en que la incgnita es una funcin: no el valor de la funcin en uno o varios puntos, sino la funcin en s misma. Adems, la ecuacin involucra no slo la funcin (incgnita), sino tambin sus derivadas hasta un cierto orden. Cuando la incgnita es una funcin de una sola variable se dice que la ecuacin es ordinaria, debido a que la o las derivadas que aparecen son derivadas ordinarias (por contraposicin a las derivadas parciales de las funciones de varias variables).2.Aplicaciones de las diferenciales ordinariasecuacionesLas ecuaciones diferenciales, debido a que relacionan los valores de una funcin con los de su(s) derivada(s), son una herramienta fundamental en el tratamiento matem atico de cualquier fenomeno dinamico, es decir, que involucre magnitudes que cambian con el tiempo (o con cualquier otra magnitud.2.1 Desintegracin Radiactiva.LeyLa velocidad de desintegracin de una sustancia radiactiva en un instante dado es proporcional a la cantidad de sustancia presente en ese instante. La vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo necesario para que se desintegre la mitad de los tomos de una cantidad inicial de dicha sustancia. EJEMPLO 1: La velocidad con que desintegran ncleos radiactivos es proporcional al nmero de ncleos que estn presentes en una muestra dada. La mitad del nmero original de ncleos radiactivos ha experimentado la desintegracin en un perodo de 1500 aos. a) Qu porcentaje de ncleos radiactivos originales continuarn despus de 4500 aos? b) En cuntos aos quedar solamente un dcimo del nmero original de ncleos radioactivos? Solucin. Sea x(t) la cantidad de ncleos radiactivos presente despus de t aos y sea XQ el nmero original de ncleos radiactivos. Entonces la velocidad con la que se desintegran los ncleos al tiempo t. As, este problema queda formulado por la siguiente ecuacin diferencialdedesintegracinradiactiva.dnde k es la constante de proporcionalidad, junto con las condicionesLa solucin de la ecuacin (1.1) es:ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA BIOLOGIA (1.2)reemplazar:ert(r-t)=0r=kluego la ecuacin es : Usando la condicin inicial x(0) = X0 encontramos quea) Para calcular el porcentaje de ncleos radiactivos originales despus de4500 aos, determinamos x(4500). Considerando que z(1500) = xo/2 obtenemos.Sustituyendo k en (1.2) resultaLuegolo cual nos dice que despus de 4500 tenemos un 12.5% de x0.Para determinar en cuntos aos quedar solamente un dcimo del nmero original de ncleos, es necesario hallar el valor de t tal que x(t) = XQ/10, es decir(1.4) (1.3)EJEMPLO 2:Se sabe que cierto material radiactivo se desintegra a una razn proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 50 miligramos de material y despus de dos horas se observa que el material ha perdido el 10% de su masa original, encuentre a) Una expresin para la masa de material restante en un momento t. b) Cuntos miligramos del material quedan despus de cuatro horas? c) Cul es la vida media de este material?Solucin. Sea x(t) la masa del material restante despus de cierto tiempo t. Como al cabo de dos horas el material se ha desintegrado el 10% de su masa original, es decir el 10% de 50 mg que son 5 mg, tenemos que x(2) = 45 mg. Igual que antes , es la velocidad con que se desintegra el material radiactivo.As este problema queda formulado con la siguiente ecuacin diferencial y sus condicionescon k una constante de proporcionalidad, y las condicionesSabemos que la solucin general de (1.3) esEmpleando la condicin inicial (1.4), resulta por lo cualyECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA BIOLOGIAPor otra parte, de (1.5) tenemos quea) Con esto podemos afirmar que una expresin para la masa del material restante despus del t horas esb) El nmero de miligramos del material despus de cuatro 4 horas esc) Para calcular la vida media, determinamos el valor de t para el cualEs decir,Por lo tanto la vida media de este material es de 13 horas.Mtodo del Carbono 14. Este mtodo se debe al qumico WillardLibby cuyo descubrimiento le vali el Premio Nobel de Qumica en 1960. La teora se basa en lo siguiente. La atmsfera terrestre es continuamente bombardeada por rayos csmicos, los cuales producen neutrones libres que se combinan con el nitrgeno de la atmsfera para producir el istopo C-14 (Carbono 14 o bien radiocarbono). Este C-14 se combina con el bixido de carbono presente en la atmsfera, el cual es absorbido por las plantas y stas a su vez son alimento para los animales. As es como se incorpora el radiocarbono a los tejidos de seres vivos El cociente de la cantidad de C-14 y la cantidad de carbono ordinario presentes en la atmsfera es constante, y en consecuencia la proporcin de istopo presente en todos los organismos vivos es la misma que en la atmsfera.Cuando un organismo muere, la velocidad de incorporacin de radiocarbono a l se hace nula y entonces comienza el proceso de desintegracin radiactiva del C14, que se encontraba presente en el momento de su muerte. As comparando la proporcin de C-14 que hay en un fsil con la proporcin constante encontrada en la atmsfera es posible obtener una estimacin razonable de su edad. EJEMPLO 3: Se ha encontrado que un hueso antiguo contiene de la cantidad original de C-14 de un hueso al tiempo actual. Cul es la antigedad del fsil? Solucin. Sea x(i) la cantidad de C-14 presente en el hueso al tiempo t y sea x0 la cantidad de C-14 cuando se form la muestra, es decir x(0) = x0. La vida media del C-14 es de 5,568 aos, por lo cual velocidad de desintegracin radiactiva del C-14. . Adems es laDeterminaremos la edad del fsil al encontrar el valor de t para el cualPara eso, partimos de que cuya solucin esConsiderando que x(5568) = X0/2, obtenemosy asBuscamos el valor de t para el cualTenemos que(1.4) ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA BIOLOGIA (1.2) (1.3) (1.1) As, el fsil tiene una antigedad de 16705 aos. EJEMPLO 4: En 1950 se hicieron excavaciones en Nipur (Babilonia), en las cuales se encontraron muestras de carbn que reportaron 4.09 desintegraciones por minuto y por gramo. Una muestra actual report 6.68 desintegraciones por minuto y por gramo. Se sabe que la primera muestra se form en la poca del reinado de Hammurabi. Con estos datos, determine hace cunto tiempo Hammurabi rein en Babilonia.Solucin. Sea x(t) la cantidad de C-14 presente en el tiempo t. Entonces es la velocidad de desintegracin del C-14 al tiempo ySabemos por la ley de decaimiento radiactivo que el modelo a seguir esAdems Como se vio en el problema anterior Sustituyendo (1.3) en (1.2), se tiene Considerando (1.1) en (1.4), resultaAhora bien, para determinar hace cunto tiempo Hammurabi rein en Babilonia, tendremos que calcular para que valor de , se cumple que Aproximadamente hace 3941 aos que Hammurabi rein en Babilonia. VIDA MEDIA. La vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo que tarda una cierta cantidad de dicha sustancia en desintegrarse a la mitad. Es distinta para cada sustancia. Por ejemplo, el Carbono-14, C14, tiene una vida media deSudario de Tur?n 5730 aos, lo que significa que una cantidad cualquiera se reduce, al cabo de ese tiempo, a la mitad. La otra mitad se habr convertido en otras sustancias. La vida media slo depende de la constante de descomposicin y no depende de la cantidad de sustancia presente inicialmente, A0. En efecto, sea Vm la vida media de una sustancia radiactiva. Puesto queY que en el tiempo t = Vm los valores de A sern A(Vm) = A0/2, se deduce quePor lo tanto, la vida media para un elemento radiactivo es:EJEMPLO 5: La tecina de C14 se utiliz en el ao 1988 para estimar la edad del Sudario de Turn, tela de lino hallada en 1356 que muestra la imagen de un hombre que presenta manchas y traumas fsicos, y de la que se pensaba que podra ser la tela que cubra a Jess de Nazaret en el sepulcro, llamada tambin Sbana Santa.Se observo que las fibras del tejido contenan entre un 92 % y un 93 % del nivel inicial de C14. Teniendo en cuenta que, el tiempo transcurrido desde que el Sudario fue confeccionado hasta la fecha de 1988 debera ser un valor tx que verifique : 0.93A0 A(tx) 0.92A0 o, lo que es lo mismo, De la expresi de las solucionesse tiene onECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA BIOLOGIAluego se busca tx tal quees decir, puesto que es positiva, La constante de desintegracin , del C14 vale cer(2.1)por consiguiente,se tieneEste resultado indica que el Sudario fue fabricado entre 689 y 599 aos antes del momento en que fueron realizadas las pruebas, en el ao de 1988. Es decir, mucho despus de la poca en que Jess. Lo probo que no poda ser la Sbana Santa.EJEMPLO 6: Datacin de fsiles mediante C14. El carbono-14 (C14), sustancia radiactiva presente en ciertos fsiles, se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad presente. La vida media (tiempo en desintegrarse a la mitad a una cantidad inicial) es de 5730 aos. Averiguar la edad del fsil sabiendo que contiene 77.7% del C14 inicial. La ecuacin diferencial que rige la desintegracin de una sustancia radiactiva es Donde > 0 y A (t) el nmero de tomos de dicha sustancia presentes en el tiempo t. La solucin general de esta situacin esSupongamos que, en el instante inicial, t=0 (que corresponde al momento enCon ? = 0.000121.que muri el fsil), ste contuviera una cantidad A0 de tomos de C14:Por otro lado, la vida media del C14 es de 5730 aos, lo cual significa que cualquier cantidad inicial de C14 se habr reducido a la mitad al cabo de 5730 aos. Es decir:de donde, tomando logaritmos en ambos miembros,Por lo tanto, la cantidad de tomos de C14 presentes en el fsil en un instante t>0 posterior al de su muerte viene dado por:Lo que queremos es hallar el tiempo t* que ha transcurrido desde el instante de la muerte del fsil, y del que sabemos queLuegoEJEMPLO 7: Papiros del Qumram. En 1947 fueron encontradas unos 800 rollos de papiros, incluyendo los manuscritos ms antiguos del Antiguo Testamento, en unas cuevas cercanas a la ribera nor-occidental del Mar Muerto, que se conocen como \los papiros de Qumram". El manuscrito que contiene el libro de Isaas fue datado en 1994 a partir de la Tcnica del carbono 14. Se observ que tena entre un 75% y un 77% del nivel inicial de C14. Estimar la fecha en la que fue escrito el manuscrito. El nmero de tomos de C14 contenido en una muestra del papiro sigue, segn se ha visto en el Ejercicio anterior, la ley Siendo = 0.000121 la constante de desintegracin radiactiva del C14 y A0 el nmero de tomos de dicha muestra en el momento de su fabricacin. La edad del papiro ser algn valor t* comprendido entre el instante t1 en el que la cantidad de C14 presente en la muestra era el 77% de la cantidad inicial, A0, y el instante t2 en el que dicha cantidad era el 75% de dicha cantidad inicial: De dondeECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA BIOLOGIAY de aquEn consecuencia, puesto que la datacin del papiro fue realizada en el ao 1994, la fecha en que se escribi fue entre 2377 y 2160 aos antes, es decir, entre los aos 383 y 166 a.C.2.2Modelos de Poblacin.Sea x(t) el nmero de individuos en el tiempo t. La ley de Malthus de crecimiento de poblaciones dice que la razn de cambio de la poblacin es proporcional al nmero de individuos en ese tiempo, es decirEste modelo lineal para crecimiento de poblaciones, son satisfactorios siempre que la poblacin no sea demasiado grande o bien que no se aplique a un futuro distante. Cuando la poblacin es demasiado grande, este modelo no puede ser exacto, ya que no refleja el hecho de que los individuos compiten entre s por el limitado espacio vital, por recursos naturales, etc. As pues, hay que agregar un trmino de competicin para que el crecimiento de la poblacin est representado en forma ms realista. Una eleccin adecuada del trmino competitivo es bx2, llamada ley logstica (Verhulst, en 1837):Ahora bien, en general la constante b es muy pequea comparada con a, de tal modo que si x no es demasiado grande, entonces el trmino -bx2 es insignificante comparado con ax. Sin embargo, si x es grande entonces el trmino -bx2 debe tomarse en cuenta ya que disminuye la tasa de crecimiento.EJEMPLO 1. En un cultivo de bacterias se tenan x nmero de familias. Despus de una hora se observaron en el cultivo 1000 familias de la bacteria y despus de cuatro horas, 3000 familias. Encontrar la expresin para el nmero de familias de la bacteria presentes en el cultivo al tiempo t y el nmero de familias de la bacteria que haba originalmente en el cultivo. Solucin. Sea x(t) el nmero de familias de la bacteria que hay en t horas. De ah que es la velocidad a la que crece el cultivo de bacterias. Por la ley malthusiana este problema se formula de la siguiente maneracuya solucin es ya conociday considerando las condiciones se tiene quees la expresin que nos da el nmero de familias presentes en un momento t. Observamos que el nmero de familias que haba originalmente en el cultivo esEJEMPLO 2: Cultivo de bacterias en laboratorio. Se sabe que la tasa de crecimiento de una determinada poblacin de bacterias es directamente proporcional al nmero de bacterias existentes. Se realiza un cultivo en laboratorio, introduciendo 2.5 millones de bacterias en un recipiente. Se observa que la poblacin se duplica cada 3 horas. Calcular la poblacin existente al cabo de 11 horas.La poblacin considerada sigue la ley (Malthus) Para determinar las dos constantes C y K hay que utilizar las dos informaciones dadas:De la primera de ellas se tieney de la segundaLuego finalmente, la ley seguida por la poblacin de bacterias es en dondeECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA BIOLOGIADinmica de epidemias. Se sabe que la velocidad de propagacin de unaepidemia es proporcional al nmero de personas infectadas multiplicando por el nmero de personas infectadas. Si denotamos por I(t) el nmero de personas infectadas en el tiempo t y por P la poblacin total, la dinmica de la infeccin viene dada por Donde k>0 es el coeficiente de proporcionalidad. EJEMPLO 3: En una poblacin de 1000 habitantes se detecta una enfermedad que afecta inicialmente a 50 personas. Al cabo de tres das, se observa que son 250 las personas afectadas. Averiguar el nmero de enfermo que habr pasados 12 das. La ecuacin es de variables separablesPara calcular la integral del primer miembro hay que expresar el integrando como suma de fracciones simples:En consecuenciaAs pues, la solucin general de la ecuacin esen donde, despejando I se tienePara determinar las contantes C y K disponemos de la siguiente informacin: I(0) = 50 e I(3) = 250: En primer lugar,En segundo lugar,de donde, tomando logaritmos en amos miembros de la igualdad se tieneEn consecuencia, el nmero de infectados en cualquier instante t>0 viene dado por y se tieneEJEMPLO 4: En una granja de 40.00 aves hay un pollo contagiado con la gripe aviar. Si suponemos que la rapidez de contagio es directamente proporcional tanto al nmero de aves contagiadas como al nmero de no contagiadas, siendo la constante de proporcionalidad K= 4x10-5, determinar en cunto tiempo un 75% de pollos de la granja quedaran infectados. La ecuacin que verifica, I(t), el nmero de infectados por la epidemia en el instante t es I= Ki(P-I) Siendo P = 4 x 104 la poblacin total y k = 4 x 10-5 (de donde kP = 16 x 104 x 10-5 = 1.6).La Solucin de la ecuacin esPuesto que inicialmente slo hay un pollo infectado se tiene I(0) = 1, de donde Buscamos ahora el valor del tiempo t* para el cual t* se tendr .Para estede donde se deduce queECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA BIOLOGIA (3.1)EJEMPLO 5:Este es un modelo para la propagacin de una infeccin o un rumor en una poblacin fija. Supngase que un estudiante portador de un virus de gripe, regresa a un campus universitario, aislado, que tiene 1000 estudiantes. Supongamos que la rapidez con que el virus se propaga, es proporcional no slo al nmero de estudiantes contagiados, sino tambin, al nmero de estudiantes no contagiados. Determinar el nmero de estudiantes contagiados despus de 6 das, si adems se observa que despus de 4 das ya eran 50 los contagiados. Solucin. Denotemos con x(t) al nmero de estudiantes contagiados en t das. Entonces expresa el nmero de estudiantes nocontagiados yes la velocidad con la que aumenta el nmero de estudiantescontagiados. Por hiptesis Este problema queda formulado ases proporcional aPodemos observar quees la ecuacin logstica con a = 1000/c y b = k. Separamos variables en (3.1) y por fracciones parciales se tiene queIntegrando en ambos lados, obtenemos(3.2)(3.3) y simplificando, se tienede donde Como x(0) = 1 tenemos que c 0, la constante de proporcionalidad, propia de cada especie. Si en el instante inicial, t = 0, la longitud del individuo es 0 < L0 < A , entonces la funcion L(t), talla en el instante t, sera solucion del siguiente problema de valor inicial:ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA BIOLOGIAComo la diferencia entre la longitud actual y la longitud mxima alcanzable disminuye con el tiempo, la velocidad de crecimiento disminuye tambin con el tiempo, lo que implica que los ejemplares de menor edad crecen a mayor velocidad que los de mayor edad. En este modelo, la velocidad de crecimiento es siempre positiva. Esto significa quelos peces crecen durante toda su vida, que es lo que ocurre en la realidad. La ecuacin diferencial (4.1) se puede integrar fcilmente,ya que es de variables de separablePor tanto, la solucin generalde la ecuacin esImponiendo la condici on inicial, L(0) = L0 , se tieneluego la solucion del problema (2.15) esEn la figura (2.7) est representada la solucin del problema (4.1) para A=50, K=0.5 y L0=0. Obsrvese que la recta horizontal L=A es una asntota horizontal de la solucin, es decir,Lo que expresa matemticamente el hecho de que la talla de los peces tiende,cuando pasa el tiempo, a aproximarse al valor A, pero sin nunca alcanzando. Para ellos se puede decir que A es la longitud asinttica de la especie. EJEMPLO 6: Sea L(t) la longitud (en centmetros) de un pez en el tiempo t, medido en meses. Se supone que el pez crece de acuerdo con la siguiente ley (de Bertalanffy):1. Sabiendo que a la edad de 4 meses, el pez mide 10 centmetros, determinar la constante de crecimiento k. 2. Calcular la longitud del pez a los 10 meses. 3. Calcular Y dar la interpretacin de la dinmica en el crecimiento del pez.La solucin del problema del valor inicial se calcula fcilmente por ser la ecuacin de variables separables:de donde se tiene L = 34 Ce-kt e, imponiendo la condicin inicial L(0) = 2 , se encuentra el valor de la constante C=32. Luego de la longitud del pez viene dada por Para determinar el valor de k es necesario utilizar ms informacin: L (4) = 10 .Entonces,Una vez conocido el valor de k se puede calcular la longitud del pez en cualquier instante t>0:Por ltimo, es obvio queECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA BIOLOGIALo que significa que la curva que representa la longitud del pez tiene una asntota horizontal en L = 34. El pez sigue creciendo, pero cada vez a menor velocidad, y su longitud tiene a acercarse al valor 34, aunque sin nunca llegar a l.Ecuaciones diferenciales tcnicas de solucin y aplicaciones (Jos Ventura Becerril Espinosa David Elizarraraz Martnez). http://departamento.us.es/edan/php/asig/LICBIO/LBII/Teoria 2BIOII0910.pdf http://www.matematica1.com/2012/08/ejercicios-resueltosde-ecuaciones.html