Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a la Ingeniería Civil

Tema: Vaciado de Tanques

Teorema de torricelliEs una aplicación de principio de Bernoulli Y estudio el flujo del liquido contenido en un recipiente A través de un pequeño orificio bajo la acción de la Gravedad, se puede calcular el caudal de la Salida de un liquido por un agujero. Vt : velocidad teórica del liquido

Vo : velocidad de aproximaciónH : es la distancia de la superficie del liquido

al centro del orificioG : gravedad

Según la Ley de Torricelli, la razón con la que el agua sale por el agujero (variación de volumen de líquido en el tanque respecto del tiempo) se puede expresar como el área “a” del orificio de salida por la velocidad v del agua drenada, esto es

dQ/dt=−kav dQ/dt=−ka√2gh

Si A (h) denota el área de la sección transversal del tanque a la altura h, aplicando el método del volumen por secciones transversales se obtiene:

dQ = A(h)dh

⇒ dQ/dt=A(h)dh/dtLa ecuación diferencial asociada al problema de vaciado del tanque :

A(h)dh/dt = -aK√2gh

A(h)dh = -aK√2gh dt

Esta es una ecuación diferencial de variables separables, la cual al resolverse sujeta a la condición de conocer la altura inicial h0 para el tiempo t, permite obtener la ley de variación de la altura de líquido en el tanque en función del tiempo.

VACIDO DE TANQUEConsideremos un recipiente lleno de agua hasta una altura h. también supongamos que el agua fluye a través de un orificio de sección transversal “a”, el cual está ubicado en la base del tanque. Se desea establecer la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo que este demora en vaciarse

Sea h(t) la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y V(t) el volumen de agua del tanque en ese instante. La velocidad v del agua que sale a través del orificio es:

oAplicando la ecuación de energía:

½.mv2 = mgh ⇒

V = √ 2gh

En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracción que sufre un chorro de agua en un orificio, por lo que se tendráv = k √ 2 g h

-Un cilindro recto circular de 10 pies de radio y 20 pies de altura, está lleno con agua. Tiene un pequeño orificio en el fondo de una pulgada de diámetro ¿Cuándo se vaciará todo el tanque?

LA ECUACION DIFERENCIAL ASOCIADAS A LOS PROBLLEMAS DE VACIADO DE TANQUE ES :

A (h) dh =- ac

el diámetro del orificio por donde fluye el agua fuera del tanque es de 1 pulgada, por lo tanto el radio es ½ pulgadasSe utiliza la equivalencia de 1 pulgada = 1/12 pies y en área del orificio de salida es el área una circunferencia

A

................ (1)

el coeficiente de descarga “C” no esta dado por lo tanto se asume C= 1 y gravedad g=32 pies/ Para el determinar el Área de la sección transversal del tanque se observa en la figura que son circunferencias de radio r=10 pies se le efectúa el corte así :

A(h) = = 100

Reemplazando en la ecuación (1) se obtiene

100 dt 8𝜋576 √h

Multiplicando por y simplificando

100 dt ................ (2)

La ecuación (2) es una ecuación diferencial de variable separable y para separa las variables se debe se multiplica por el factor -

- h = dt

Integrando −7200∫ 1√h

h𝑑 =∫𝑑𝑡

Ambas Integrales son inmediatas

∫ 1√h

h𝑑 =∫ h− 12 h𝑑 =2h

12=2√h+𝑘1

................ (3)

∫𝑑𝑡=𝑡+𝑘2

Sustituyendo en la ecuación (3)= t + k ................ (4)

Cuando t=0 y h= 20 pies entonces en la ecuación tendremos

𝑘=−14400√20Sustituyendo en la ecuación (4)

= t

MULTIPLICANDO POR - Y ELEVANDO AL CUADRADO

h (𝑡 )=(− 𝑡14400

+√202

 ) ............... (5)

La ecuación (5) es la ley de la variación de la altura del liquido del tanque en cualquierInstante t

entonces para determinar el tiempo en que demora en vaciarse el tanque h = 0 y se sustituye en la ecuación (5)

T= 14400 64398.75 seg

Es decir 17 horas 53 min y 19 seg.

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