Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a la Quimica- Murray

7/26/2019 Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a la Quimica- Murray

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t e r c e r a d ic ion

MURRAY R SPIEGEL


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ecuacronesdiferenciales,aplzcadasMURRAY R. SPIEGEL

Consultor matemtico yex-profesor y jefe,

Departamento de MatemticasRensselaer Polytechnic Institute

Hartford Graduate Center

Traduccin:HENRY RIVERA GARCIAM. Sc., Ingeniera Industrial, University of Pittsburgh

PRENTICE-HALL IHISPANOAMERICANA, S.A.

M6xlco n Englewood Cllffs n Londres m Sydney l Toronto n

Nueva Delhin

Tokion

Singapurn

Rio de Janeiro


3/755

ecuaczonesdrjcerenciales~

aplicadasMURRAY R. SPIEGELConsultor matemtico y

ex-profesor y jefe,Departamento de Matemticas

Rensselaer Polytechnic InstituteHartford Graduate Center

Traduccin:HENRY RIVERA GARCIAM. Sc., Ingeniera Industrial, University of Pittsburgh

PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A.

Mbxico n Englewood Cliffs n Londres l Sydney H Toronto HNueva Delhi n Tokio n Singapur n Rio de Janeiro


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ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio o rn&odo, sin autorizacin escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOSOWS3, respecto a la primera edicin en espafiol por:PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A.

Enrique Jacob No. 20, Col. El Conde C.P. 53500NauCalPan de Juarez . Edo. de Mxico.

Miembro de la- Camara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Nm. 1524

Traducido de la tercera edicin en ingl6s deAPPLIED DIFFERENTIAL EQUATIONS

Copyright @ MCMLXXXI by Prentice-Hall Inc.

ISBN O-13-234997-3

3456789012 E.C.-BE 86123457gO

Impreso en Mxico Printed in Mexico

uo

PROGRAMAS EDUCATIVOS, S.A.Calz. de Chabacano 65 Local ACol. Asturias Del. Cuauhtkmoc

looo 1 9 9 4q


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A

mi madre


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7/755

contenido

PREFACIO. .

XIII

p arte Z

1.

1.11. 2

1. 3

1 .4

+ 2.2. 1

2 . 2

ecuaciones diferenciales ordinarias 1

CA PITU LO U N OECUACIONES DIFERENCIALES EN GENERAL

Conceptos de ecuaciones diferenciales

Algunas definiciones y observacionesEjemplos sencillos de problemas de valor inicial y de fronteraSoluciones generales y particulares

Soluciones singularesObservaciones adicionales relacionadas con las soluciones

Observaciones sobre existencia y unicidadCampo de direcciones y el mtodo de las isoclinas

CA PITU LO D O S ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y ORDINARIAS

SIMPLES DE ALTO ORDEN 3 4

1. El m6todo de separacin de variables 3 52. El mtodo de lat ransformacin de variables 3 82 . 1 L a e c u a c i n homog6nea 3 82 . 2 O t r a s t r a n s f o r m a c i o n e s e s p e c i a l e s 3 9

3. La idea intuitiva de exactitud 4 14. Ecuaciones diferenciales exactas 4 35. Ecuaciones hechas exactas por un factor integrante apropiado 4 8

5.1 Ecuaciones hechas exactas por factores integrantes que involucran una variable 4 9

vii

2

3

37

1 5

2 02 3

2 3

2 8


8/755

5. 25 . 36.6. 1

6 . 2

+ 7 .8.

1.1.1

1. 2

2.

2.12 . 2

2 . 33.4.5.

6.

7.

8.9.

10 .

l l .12 .

13 .13.1

13.2

1 3 . 314 .

14.1

14.2

1 .2.3.3.1

3 . 23 . 3

3 . 44.

4.1

4 . 2

4 . 34 . 4

VIII

La ecuacin de primer orden lineal

El mtodo de inspeccinEcuaciones de orden superior al primero que se resuelven fcilmente

Ecuaciones inmediatamente integrablesEcuaciones con una variable ausente

La ecuacin de Cla i r au tRevisin de mtodos importantes

5356

5758

58

6 06 4

C A P I T U L O T R E S APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Y SIMPLES DE ORDEN SUPERIOR 70

Aplicaciones a la mecnica

IntroduccinLas leyes del movimiento de Newton

Aplicaciones a los circuitqs elctricasIntroduccin

Unidades

La ley de Kirchhoff Trayectorias ortogonales y sus aplicacionesAplicaciones a la qumica y a las mezclas qumicasAplicaciones a flujo de calor de estado estacionarioAplicaciones a problemas miscelneas de crecimiento y decaimiento

El cable colgante

Un viaje a la LunaAplicaciones acohetes

Problemas de fsica que involucran geometria

Problemas miscelneas en geometraLa defleccin de vigas

Aplicaciones a biologaCrecimiento biolgico

U n p r o b l e m a e n e p i d e m i o l o g a

Absorcin de drogas en rganos o clulasAplicaciones a la economa

Ofe r ta y d e m a n d a

Inventarios

7171

7 1

82

828 4

8 48 99 5

10 11 0 6

1 l l

116120123132137

148148153156159159162

CAPITULO CUATRO ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 1 6 6

La ecuacin diferencial Ilneal general de orden nExistencia y unicidad de soluciones de ecuaciones lineales

iCmo obtener -Ia solucin complementaria?La ecuacin auxiliar

El caso de races repetidasEl caso de races imaginarias

Independencia lineal y wronskianosiCmo obtener una solucin particular?

Mtodo de IOS coeficientes indeterminadosJuswicacin al mtodo de coeficientes indeterminados. El mtodo Aniquilador Excepciones en el mtodo de los coeficientes

Casos donde funciones ms complicadas aparecen en el lado derecho

167171173173175178181192

192194196199

\


9/755

4.5 El m&odo d e v a r i a c i n d e p a r m e t r o s4 . 6 M t o d o s a b r e v i a d o s i n v o l u c r a n d o o p e r a d o r e s

5. Observaciones relacionadas con ecuaciones con coefici.entes variables .las cuales se pueden transformar en ecuaciones lineales con coeficientes

constantes: La ecuacin de Euler

6. Repaso de mtodos importantes

2 0 2

2 0 7

2 1 52 1 8

CAPITULO CINCO A P L I C A C I O N E S D E E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S LI NEALES 2 2 3

1.1.1

1. 2

1. 3

1 . 42 .

3.

3. 1

3 . 23 . 33 . 4

1 .

1.1

1. 21. 31. 41 . 5

1. 6

2.

3.3. 1

3 . 23 . 3

4 .

4. 14 . 2

4 . 34 . 4

4 . 5

Movimiento vibratorio de sistemas mecnicos

El resorte vibrante. Movimiento armnico simple

El resorte vibrante con amortiguamiento. Movimiento sobre amortiguado

y crticamente amortiguadoEl resorte con fuerzas externas

El fenmeno de resonancia mecnica

Problemas de circuitos elctricos 1Problemas miscelneasEl pndulo simple

Oscilaciones verticales de una caja flotando en un lquidoU n p r o b l e m a e n cardiografaAplicacin a la economa

2 2 42 2 4

2 3 2

2 4 0

2 4 32 4 6

2 5 0

2 5 0

2 5 22 5 32 5 5

CAPITULO SEIS S O L U C I O N D E E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S P O R

TRANSFORMADAS DE LAPLACE 2 6 0

Introduccin al mtodo de las transformadas de LaplaceMotivacin para las transformadas de Laplace

Definicin y ejemplos de la transformada de LaplacePropiedades adicionales de las transformadas de LaplaceL a f u n c i n G a m m aObservaciones concernientes a la existencia de las transformadas de LaplaceLa funcin salto unidad de Heaviside

Funciones impulso y la funcin delta de Dirac

Aplicacin de las transformadas de Laplace a ecuaciones diferencialesSolucin de ecuaciones diferenciales sencillas. Transformadas inversasd e LaplaceAlgunos mtodos para hallar transformadas inversas de LaplaceObservaciones concernientes a la existencia y unicidad de las transformadasinversas de LaplaceAplicaciones a problemas fsicos y biolgicosAplicaciones a circuitos elctricosUna aplicacin a la biologa

El p rob lema tau tc rono-Apl icac in de una ecuac in in tegra l en mecnica

Aplicaciones involucrando la funcin deltaUna ap l icac in a la teor a de con t ro l au tom t ico y servorr,ecanismos

2 6 1

2 6 1

2 6 22 6 52 6 6

2 6 7

2 6 92 7 3

2 7 8

2 7 8

2 7 9

2 8 7

290

2 9 0

2 9 3

2 9 4

2 9 8

2 9 9

C A P I T U L O S I E T E S O L U C I O N D E E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S U S A N D O S E R I E S 3 0 4

1 . Introduccin al uso de serles3 0 51.1 Motivacin para soluciones con series 3 0 5

iX


10/755

1. 2 Uso de la notacibn sumatoria 3 0 71. 3 Algunas preguntas de rigor 3 1 11.4 El m6todo de la serie de Taylor 3 1 71.5 Mto do d e iteracih d e Picard 3 1 92 . El m&odo de Frobenius 3 2 22. 1 Motivacin para el mtodo de Frobenius 3 2 22.2 Ejemplos usando el mkodo de Frobenius 3 2 63 . Soluciones con series de algunas ecuaciones diferenciales importantes 338

3. 1La ecuacin diferencial de Bessel 3 3 8

3 . 2 Ecuacin diferencial de Legendre 3 4 83 . 3 Otras funciones especiales 3 5 0

+

CAPITULO OCHO FUNCIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE

- 1.1 .l

1.2 1.3- 2.- 2 . 1

2 . 23 .

3. 13 . 23.34 .4. 14.2

4.34.44.55 .

5. 15 . 2

1 .1 . 1

1. 21. 31. 41. 52 .

Funciones ortogonalesFunciones como vectoresOrtogonalidadLongitud o norma de un vector. OrtonormalidadProblemas de Sturm-LiouvilleMotivacin para los problemas de Sturm-Liouville. Eigenvalores yEigenfuncionesUna aplicacin al pandeo de vigasOrtogonalidad de las funciones de Bessel y LegendreOrtogonalidad de las funciones de BesselOrtogonalidad de las funciones de LegendreFunciones ortogonales miscelneasSeries ortogonalesIntroduccinSeries de Fourier

Series de BesselSeries de LegendreSeries ortogonales miscelneasAlgunos tpicos especialesEcuaciones diferenciales as mismo adjuntasEl m&odo de ortonormalizacin de Gram-Schmidt

3 5 43 5 43563 5 736 1

36 13683 7 1

3 7 1

3763 7 83803803 8 5

4034084 1 14144144 1 7

CAPITULO NUEVE LA SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 4 2 0

Solucibn numrica de y=f(x. y)El mtodo de pendiente constante o mtodo de Euler El mtodo de pendiente promedio o mtodo modificado de Euler Diagramas de computador AnBlisis de erroresAlgunas guas prcticas para la solucin numricaEl mtodo de Runge-Kutta

42 14 2 24 2 54 2 74284 3 1

4 3 3

3 5 3


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parte I I

sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

CAPITULO DIEZ SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES

1. Sistemas de ecuaciones diferenciales1.1 Motivacin para los sistemas de ecuaciones diferenciales1.2 Mtodo de eliminacin para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales1.3 El uso de operadores en la eliminacin de incgnitas1.4 Mtodos abreviados de operador 2 . Soluciones de sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias3 . Ecuaciones diferenciales expresadas como sistema de primer orden4 . Aolicaciones a la mecnica4 .1 El vuelo de un proyecti l4.2 Una aplicacin a astronoma4.3 El movimiento de satlites y msiles4.4 El problema de las masas vibrantes5 . Aplicaciones a las redes ekctricas6. Aplicaciones a la biologa6.1 Concentracin de una droga en un sistema de dos compartimientos6.2 El problema de epidemia con cuarentena7. El problema depredador-presa: Un problema en ecologa7.1 Formulacin matemtica7.2 Investigacin de una solucin7.3 Algunas aplicaciones adicionales

8. Solucin de sistemas lineales por transformadas de Laplace9 . Mtodo de las soluciones complementaria y particular 9. 1 iCmo encontramos la solucin complementaria?9 . 2 iCmo encontramos una solucin particular?9 . 3 Re sume n de l p r oc e d imie n to

\

4 3 8

439439441

443 446 448 449452 452 46146 5 47 0 47 6 48 1

48 1

48 4 48848 9 490497

49850050 2 50 6 50 7

+

CAPITULO ONCE METODOS DE EIGENVALORES DE MATRICES PARA SISTEMAS

DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 51Q

1. El concepto de una matriz 5 1 11 . 1 Introduccin 5111.2 Algunas ideas simples 51 11 .3 Vectores fila y columna 5 121 .4 Operaciones con matrices 51 42 . Ecuaciones diferenciales matriciales 52 13. La solucin complementaria 5 2 23.1 Eigenvalores y egenvectores 5233.2 El caso de eigenvalores reales distintos 5243.3 El caso de eigenvalores repetidos 5263.4 El caso de eigenvalores imaginarios 5273.5 Un problema algo ms complicado

52 9

Ki


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3 . 6 Independencia lineal y wronskianos

4 . La solucin particular

5. Resumen del procedimiento

6 . Aplicaciones usando matrices

7. Algunos tpicos especiales

7 .1 Ortogonalidad

7. 2 Longitud de un vector

7 . 3 Eigenvalores y eigenvectores de matrices reales simtricas

5 3 2

5 3 3

5 3 4

5 3 5

5 3 95 3 954 1

5 4 2

\

ecuaciones dijkrenciales parciales

1.1.1

1. 2

1. 3

1. 4

2.

3.

3.1 Problemas que involucran vibraciones u oscilaciones. La cuerda vibrante

3 . 2 Problemas que involucran conduccin o difusin de calor.

3 . 3 P ro bl em as q ue i nv ol uc ra n po te nc ia l elbctrico o gravi tacional3 . 4 Observaciones sobre la deduccin de ecuaciones diferenciales parciales

1.1. 1

, 1.2

1. 31. 42.

2. 1

2 . 2

2 . 3

3.4.

4. 1

4. 2

C A P I T U L O D O C E E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S PAFWALES E N G E N E R A L

El concep to de una ecuac in d i fe renc ia l parc i a lIntroduccin

Soluciones de algunas ecuaciones diferenciales parciales sencillasSignificado geomtrico de las soluciones general y particular Ecuaciones diferenciales parciales que surgen de la eliminacin de

funciones arbitrarias

El mtodo de separacin de variablesAlgunas ecuaciones diferenciales parciales importantes que surgen de

problemas fsicos

CA PITU LO TRECE S O L U C I O N E S D E P R O B L E M A S D E VA L O R D E F R O N T E R A

U S A N D O S E R I E S D E F O U R I E R

Problemas de valor de frontera que involucran conduccin de calor

El p rob lema de Four i e r Problemas que involucran fronteras aisladas

Te m p e r a t u r a d e e s t a d o e s t a c i o n a r i o e n u n a p l a c a semi-infinitaInterpretacin de difusin de la conduccin de calor

Problemas de valor de frontera que involucran movimiento vibratorio

El p rob lema de l a cuerda v ib ran te

La cuerda vibrante con amortiguamientoVibraciones de una viga

Prob lemas de va lo r de f ron te ra que invo lucran l a ecuac in de LaplaceProblemas miscelneas

La cuerda v ib ran te ba jo l a g ravedad

Conduccin-de calor en una barra con condiciones no cero en los extremos

5 5 0

551

551

5 5 1

554

5 5 5560

5 6 95 6 9

5 7 3

5 7 7

5 7 8

5 8 1

582

5 8 2

5 8 85 9 0

59359?5 9 7

6oF6 0 3

6 0 76 1 5

6 1 5

6 1 7

Xii


13/755

4. 34. 4

La cuerda vibrante con velocidad inicial no ceroVibraciones de una piel de tambor cuadrada: Un problema que involucra

series dobles de Fourier4. 5 Conduccin de calor con radiacin

4

CAPI TUL O CA TORCE SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA

USANDO FUNCIONES DE BESSEL Y DE LEGENDRE

1.

2 .

Y- 2. 1- 2. 2- 2. 3- 2. 4

3.- 3. 1- 3. 2- 3. 3

4 .

4. 14. 24. 3

IntroduccinProblemas de valor de frontera que conducen a funciones de Bessel

El Laplaciano en coordenadas cilndricas

Conduccin de calor en un cilindro circular

Conduccin de calor en un c i l indro rad ianteVibraciones de una piel de tambor circular

P rob l em as de va l o r de f ron t e ra que conducen a func i ones de Legend reEl Laplaciano en coordenadas esfricas

Conduccin de calor en una esfera

Potencial elctrico o gravitacional debido a una esfera

Problemas miscelneasEl problema de la cadena vibrante

Potencial ektrico deb i do a un a l am bre c i r cu l a r un i fo rm em en t e ca rgado

El problema de la bomba atmica

APENDICE DETERMINANTES

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS

TABLAS: DE TRASFORMADAS. .; DE INTEGRALES.

BIBLIOGRAFIA

MATEMATICOS QUE HICIERON APORTES. .

INDICE

619

620625

.

6 3 2

6 3 3633633634637638646646648651655655659662

A - l

A - 7

T - l

B - l

M - l

I-1

X,II


14/755


15/755


16/755

la del grupo A. Los ejercicios tipo C estn dirigidos principalmente a comple-mentar el material del texto; ellos exigen un alto grado de originalidad y cono-cimiento, diseados para desafiar al estudiante.

5. Unificar la presentacin a travs de un enfoque ordenado y lgico, ha-ciendo nfasis en conceptos generales en vez de hacerlo en detalles aislados.Por ejemplo, despus de introducir el muy simple mtodo de separacin de va-riables para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, se introducenlos conceptos de transformacin de variables y los de hacer una ecuacin exac-ta al multiplicar por un factor integrante apropiado. Estos conceptos se usanluego en la solucin de otros tipos de ecuaciones.

6. Separar la teora de las ecuaciones diferenciales de sus aplicacionespara dar amplia atencin a cada una. Esto se consigue presentando la teoray aplicaciones en captulos separados, particularmente en los primeros cap-tulos del libro. Esto se hace por dos razones. Primero, desde un punto de vistapedaggco, parece no aconsejable mezclar teora y aplicaciones en las etapasiniciales puesto que el principiante generalmente encuentra difcil la formu-lacin matemtica de problemas aplicados; cuando l se ve forzado a hacerlo,adems de aprender tcnicas de solucin, generalmente ningn tema se do-mina. Al tratar teora sin aplicaciones y luego ampliar gradualmente a las apli-caciones (al mismo tiempo que se revisa la teora), el estudiante puede apren-der mejor ambos tpicos puesto que la atencin as se concentra en slo unaspecto a la vez. Una segunda razn para separar teora y aplicaciones es lade facultar a los profesores que deseen presentar un mnimo de aplicacionesde hacerlo tan fcilmente sin tener que estar en la difcil posicin de tenerque saltar captulos.

El libro est dividido en tres partes principales. Parte 1 trata de las OXU-ciones diferenciales ordinarias, Parte II con sistemas de ecuaciones diferen-

ciales ordinarias y Parte III con ecuaciones diferenciales parciales. ES tildiscutir los captulos en cada parte. Parte 1, ecuaciones diferenciales ordinarias. El Captulo uno da una pre-

sentacin general a las ecuaciones diferenciales incluyendo la motivacin porproblemas de valor inicial y de frontera junto con tpicos relacionados. En elCaptulo dos se discuten mtodos para resolver algunas ecuaciones de primerorden y simples de alto orden. Estos mtodos se aplican en el Captulo tres acampos tales como fsica (incluyendo mecnica, electricidad, flujo de calor,etc.), qumica, biologa y economa. El Captulo cuatro discute mtodos basi-COS para resolver ecuaciones diferenciales lineales mientras que el Capt,ulocinco usa estos mtodos en problemas aplicados.

En el Captulo seis se presenta la transformada de Laplace y se hacenaplicaciones a ecuaciones diferenciales e integrales. Entre los tpicos consi-derados estn la funcin gamma, funciones de impulso y la funcin delta deDirac, el problema tautcrono y servomecanismos,

El Captulo ocho, el cual es opcional, introduce la idea de funciones orto-gonales y problemas de Sturm-Liouville usando generalizaciones a partir devectores en dos y tres dimensiones. Algunos tpicos tratados en este captuloson eigenvalores y eigenfunciones, y series ortogonales incluyendo series deFourier y de Bessel.

En el captulo final de la Parte 1, Captulo nueve, se presenta una intro-duccin a varios mtodos numricos para resolver ecuaciones diferenciales.

xvi


17/755

n este captulo se incluye una discusin de diagramas de computador y ele-mentos de anlisis de errores.

Parte II, sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. ESta parte con-ste de dos captulos. El primero de estos, el Capitulo diez, tiene e] propsitoe servir de introduccin general y de ofrecer varios mtodos pars resolvercuaciones diferenciales simultneas junto con aplicaciones tales como el mo-imiento planetario y de satlites, vibraciones, electricidad y biologa. Inclu-os en este captulo estn los principios elementales del anlisis del plano dease y estabilidad motivados por el problema del depredador-presa en ecologa.

El segundo captulo, Captulo once, el cual es otro captulo opcional, dis-ute mtodos matriciales para resolver sistemas lineales. Este captulo mues-a cmo conceptos tericos importantes tales como eigenvalores y ortogonali-ad surgen de manera natural en el proceso de solucin.

Parte III, ecuaciones diferenciales parciales. Esta parte est compuestae tres captulos. El primero de estosel Captulo doce, intenta servir de unantroduccin general a algunas de las ideas concernientes a las ecuaciones

iferenciales parciales. Estas incluyen deducciones de ecuaciones importan-s que surgen en varios campos tales como conduccin de calor, vibracin yora de potencial. El segundo captulo, Captulo trece, presenta mtodos de

eries de Fourier para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Finalmen-, el Captulo catorce, el cual es opcional explora mtodos para resolver ecua-ones diferenciales parciales usando funciones de Bessel y de Legendre. Unpecto importante de este captulo es el problema de la bomba atmica el cual

trata junto con otros tipos de problemas ms convencionales y relat,ivamen-inofensivos dados en los Captulos doce y trece.

Los captulos han sido escritos y ordenados para proporcionar un mximoe flexibilidad. Por ejemplo, los Captulos seis y once se pueden omitir sin nin-una prdida de continuidad si ell profesor decide no cubrir las transformadase Laplace o mtodos matriciales. Similarmente, en el Captulo diez el mtodoe la solucin complementaria-particular para resolver sistemas de ecuacionesferenciales lineales se ilustra sin el uso de matrices mientras que en el Ca-tulo once se trata con matrices. As, el profesor puede usar uno u otro o am-

os para demostrar sus relaciones. Como otro ejemplo, en el Captulo trece, elual presenta mtodos de series de Fourier para resolver ecuaciones diferen-ales parciales, las series de Fourier se introducen en una manera histrica,

to es, como Fourier pudo haberlas descubierto. Como resultado, est,e captu-es esencialmente independiente del Captulo ocho, el cual trata con funcio-es y series ortogonales, proporcionndole al profesor la opcibn de omitir ente-mente el Captulo ocho. En casos donde pudiera existir alguna duda, los

aptulos y secciones de captulos han sido marcados con un diamante paradicar que son opcionales. Sin embargo, los captulos y secciones que han si-

o marcados como opcionales (tales como los concernientes a las transforma- .as de Laplace, mtodos numricos y aplicaciones particulares), no han sidoarcados como tales debido a que el cubrimiento u omisin de los tpicos in-uidos generalmente dependern de la clase de curso que se ofrezca, Ios t.pi-

os a considerar, etc.Debido al alto grado de flexibilidad, el libro se puede usar en una varie-

ad de cursos empezando desde un curso de uno a dos semestres e incluyen-o slo ecuaciones diferenciales ordinarias o ecuaciones diferenciales ordina-as y parciales. El diagrama en la pagina xvi, el cual indica secuencias


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posibles de captulos, puede ser til al profesor en la planeacin de un curso.Por ejemplo, en un curso semestral que cubra ecuaciones diferenciales ordi-narias y parciales, una posible secuencia de captulos es 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10,12, 13. Una doble flecha indica que los captulos se pueden intercambiar. As,por ejemplo, el Captulo siete si se desea podra preceder al Captulo seis.

El autor desea aprovechar esta oportunidad para expresar sus agradeci-mientos a Esther y Meyer Scher por su continuado inters y estmulo; al gru-po asesor de la Prentice Hall, especialmente a Leslie Nade11 y E3ob Sickles,

por su excelente cooperacin; y a los siguientes profesores de matemticasquienes revisaron el manuscrito y proporcionaron muchas sugerencias tiles:Ebon E. Betz, United States Naval Academy; E. E. Burniston, North CarolinaState University; John Burns, Virginia Polytechnic Institute and State Uni-versity; Ronald Hirschorn, Queens University; James Hurley, University of Connecticut; R. N. Kesarwani, University of Ottawa; Anthony L. Peressini,University of Illinois; William L. Perry, Texas A & M University; Daniel Sweet,University of Maryland; Henry Zatzkis, New Jersey Institute of Technology.

* * *

Fue un gran placer enterarme de la traduccin al idioma Espaol de milibro Ecuaciones diferenciales aplicadas, tercera edicin. Espero que esto daruna oportunidad a otros de disfrutar la belleza del tema de las ecuaciones dife-renciales y sus numerosas aplicaciones.

Murray R. Spiegel

XVIII

e--.- ^-


19/755


20/755

diferencialesordinarias


21/755

uno ecuaciones

diferenciales en general

1. CONCEPTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

1.1 Algunas definiciones y observaciones

1.2 Ejemplos sencillos de problemas de valor inicial

y de frontera

1.3 Soluciones generales y particulares

1.4 Soluciones singulares

+ 2. OBSERVACIONES ADICIONALES EN RELACION A LAS

SOLUCIONES

2.1 Observaciones sobre existencia y unicidad

2 .2 C am po de d i r ecc i ones y e l m t odo de l a s isoclinas

2 .


22/755

Conceptos de ecuaciones diferenciales

1.1 ALGUNAS DEFINICIONES Y OBSERVACIONES

El descubrimiento independiente del clculo por Newton y Leibniz en elsiglo 17 proporcion el mpetu para los grandes avances que siguieron en lasmatemticas, ciencias, e ingeniera. Una de las ms importantes y fascinan-tes ramas de las matemticas que proporcion el medio para las formulacio-nes matemticas y soluciones de variados problemas en estas reas se llamaecuaciones diferenciales, las cuales estudiaremos en este libro. Con el obje-to de seguir adelante, necesitamos primero algunas definiciones.

Definicin 1. Una ecuacin diferencial es una ecuacin que involucra de-rivadas de una funcin desconocida de una o ms variables. Si la funcindesconocida depende slo de una variable (de tal modo que las derivadasson derivadas ordinarias) la ecuacin se llama una ecuacin diferencial or-dinaria. Sin embargo, si la funcin desconocida depende de ms de una va-riable (de tal modo que las derivadas son derivadas parciales) la ecuacin sellama una ecuacin diferencial parciul.*

Ejemplo 1. La ecuacin L1 v

- = 2 x + > 0dx

y =2x + y (1)

en la cual y es una funcin desconocida de una sola variable x es una ecua-cin diferencial ordinaria. Frecuentemente escribimos y = f(x) y llamamos ax l a v ari able independi ent e, y y, la cual depende de x, la variable dependiente. Por brevedad podemos denotar el valor de y en x por y(x), y sus derivadassucesivaspory(x), y ( x ) , , osimplementey,y,.

Ejemplo 2. d2XLa ecu ac i n --2$--15x=0dt2(2)

en la cual x es una funcin desconocida en una sola variable t es una ecua-cin diferencial ordinaria. Podemos escribir x = g(t), donde t es la variableindependiente y x la variable dependiente. Por brevedad podemos denotarel valor de x en t por x(t), y tambin podemos denotar las derivadas por x(t),x( t ) , ., 0 s i mp l emen t e x , x ,

2 2

Ejemplo 3. La ecuacin g 2 (3)

en la cual V es una funcin desconocida en dos variables x y y es una ecua-cin diferencial parcial. Podemos escribir V= F(x, y), donde x y y son va-riables independientes y V es la variable dependiente. Por brevedad podemosdenotar el valor de V en x y y por V(x, y).

\

*Excluimos de la clase de ecuaciones diferenciales aquellas que son identidades tales co1110

Ecuaciones diferenciales en gena r e l 3


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Figura 1.2

Solucin Puesto que la pendiente de una curva en cualquier punto (x, y)de ella est dada por dy/dx, del enunciado del problema se tiene

(28)una ecuacin diferencial de primer orden. Puesto que la curva debe pasarpor el punto (2, 5),

y=5 cuando x=2 estoes, y(Z)=5 (29)El problema de resolver (28) sujeta a (29) es un problema de valor inicial.

La integracin de (28) da y = x2 + c (30)donde c es una constante arbitraria. Usando la condicin (29) en (30) se ob-tiene 5 = (2)2 + c de modo que c = 1. As la curva requerida est dada pory = x + l (31)

Grficamente, (30) representa una famil ia de euruas en el plano zy, cadamiembro de ella est asociado con un valor particular de c. En la Figura 1.2 se

muestran algunos de estos miembros para c = 0, - 1, 1, 2. Puesto que c pue-de variar, frecuentemente se llama un parmet ro para distinguirlo de las va-riables principales x y y. La ecuacin diferencial (28) que es satisfecha portodos los miembros de la familia frecuentemente se llama la ecuacin. diferencial de la familia.

O b s e r v a c i n 5. La misma terminologa usada en este ejemplo puedetambin usarse en el problema de la pgina 7. As, (24) representa una fami-lia de curvas en el plano tx, cada miembro de la cual est asociado con valo-res particulares de los dos parmetros c 1 y cq , mientras que (17) es la ecua-cin diferencial de la familia. Para especificar el nmero de parmetrosinvolucrados, algunas veces hablamos de una familia de curvas de un par-metro, una fam i l i a de curvas de dos parmet ros, etc. Las soluciones cerres-

Ecuaciones diferenciales en general 9


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pondientes a las ecuaciones diferenciales pueden entonces refer i r se comola solucin con un parmetr o (o la fam i l i a de soluciones con un parmetro),la sol ucin con dos parmetros (o lla fam i l i a de soluciones con dos parme- t ros ) , etc. Tambin podemos referirnos a estas curvas como curvas so lucin .

En el proceso de la formulacin matemtica de problemas aplicados, pue-den surgir muchas clases de ecuaciones diferenciales, como veremos en fu-turos captulos. En la siguiente lista vemos una pequea muestra de ellas.

d2x- = - k xdt2 (32)

d2y dyx l i x + ~ + x y = o

d v Vf M - =v 2

d M

Ely = w(x)

sen 20t

y = ; JW

a2v d2V a2vJjp+&-T+s=

g= k [ - + ;

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)S2Y a 2Y-= al-..-it 2 x

( 4 )

a4cp aq5r:x4+2- + = F x y)sx2cy2 cy (41)

La ecuacin (32) es famosa en el campo de la mecnica en conexin conel movimiento armnico simple, como en las oscilaciones pequeas de un pn-dulo simple. Elia podra, sin embargo surgir en muchas otras conexiones.

La ecuacin (33) surge en mecnica, calor, electricidad, aerodinmica,anlisis de esfuerzos y en muchos otros campos.

La ecuacin (34) surgi en un problema de vuelo de cohete.La ecuacin (35) es una ecuacin impcrtante en ingeniera civil en la teo-

ra de deflexin o doblamiento de vigas.La ecuacin (36) puede surgir en la determinacin de la corriente I como

una funcin del tiempo t en un circuito de corriente alterna, pero tambin po-dra surgir en mecnica, biologa, y economa.

La ecuacin (37) surge en conexin con un problema de suspensin decables.

La ecuacin (38) podra-surgir en problemas de electricidad, calor, aero-dinmica, teora de potenciales, y n muchos otros campos.

1 0 Cbpulo uno


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La ecuacin (39) surge en la teora de conduccin de calor, como tambinen la difusin de neutrones en una pila atmica para la produccin de ener-ga nuclear. Tambin surge en la teora de movimiento browniano.

La ecuacin (40) surge en conexin con la vibracin de cuerdas, comotambin en la propagacin de seales elctricas.

La ecuacin (41) es famosa en la teora de anlisis de esfuerzos.Estas son solo una pequea parte de las muchas ecuaciones que podran

surgir en algunos de los campos de los cuales estn tomadas. Exmenes deecuaciones tales como stas por matemticos puros, matemticos aplicados,fsicos tericos y aplicados, qumicos, ingenieros, y otros cientficos a travsde los aos han conducido a la conclusin de que existen ciertos mtodos de-finidos por medio de los cuales muchas de estas ecuaciones pueden resolver-se. Tales ecuaciones y mtodos junto con los nombres de las personas asocia-das con ellas se darn a lo largo del libro.* A pesar de todo lo que se conoce,sin embargo, muchas ecuaciones permanecen sin solucin, algunas de ellasde gran importancia. Gigantescas mquinas modernas de clculo actualmen-te estn siendo ocupadas en determinar soluciones a tales ecuaciones vita-les para la investigacin relacionada con seguridad nacional, planeacin eco-nmica, e ingeniera aeroespacial as como tambin en muchos otros campos.

Uno de los objetivos de este libro es ofrecer una introduccin a algunosde los problemas importantes que surgen en la ciencia y la ingeniera con loscuales la mayora de cientficos deberan estar familiarizados. Para conse-guir este objetivo, ser necesario demostrar cmo uno resuelve las ecuacio-nes que surgen como resultado de las formulaciones matemticas de estosproblemas. El estudiante debiera siempre recordar que hay tres etapas enla solucin terica de problemas cientficos.

1. F o r m u l a c i n r r k t e m i c a del p r obl em a ci en t f i co . Las leyes

cientficas, que por supuesto estn basadas en experimentos u observacio-nes, estn traducidas en ecuaciones matemticas. En muchos casos un mo-delo matentico se usa para aproximarse a la realidad fsica. As, per ejem-plo, al tratar con el movimiento de un planeta, tal como la tierra, alrededordel Sol, podemos considerar a la Tierra y al Sol como partculas (o puntos demasa). Sin embargo, en un estudio de la rotacin de la tierra sobre sus ejes,tal modelo es claramente inapropiado, de tal modo que podemos considerara la tierra como una esfera o an ms precisamente como un esferoide ova-lado.

2 . So luc in de las ecuac iones . Las ecuaciones formuladas en Etapa

1 necesitan ser resueltas, sujetas a condiciones obtenidas del problema, pa-ra determinar la incgnita, o incgnitas, involucradas. Los procedimientos -usados pueden producir una solucin exacta o, en casos donde solucionesexactas no se pueden obtener, soluciones aproximadas. Frecuentemente,para elaborar los clculos numricos se recurre al uso de calculadoras. Elproceso de obtener soluciones frecuentemente conduce a preguntas de natu-raleza puramente matemtica que algunas veces tienen mayor inters queel problema cientfico original. De hecho, muchos de los avances en las ma-temticas fueron obtenidos como un resultado de los intentos de resolverproblemas en la ciencia y la ingeniera.

*En la contraportada del frente del texto se da una lista de referencias de algunos de loscontribuidores importantes a la teora y aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.



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3. I n te rp r eta c in c i en t f i ca de la so luc in . Con el uso de las solucio-nes conocidas, el cientfico puede ser capaz de interpretar lo que est suce-diendo desde el punto de vista aplicado. Puede hacer grficas o tablas ycomparar Ia teora con los experimentos. Puede incluso basar investigacinposterior en tales interpretaciones. Por supuesto que, si encuentra que losexperimentos u observaciones no estn de acuerdo con la teora, debe revi-sar el modelo matemtico y su formulacin matemtica hasta que se consi-ga un acuerdo razonable.

Cada una de estas etapas es importante en la solucin final de un pro-blema aplicado y, por esta razn, enfatizaremos todas las tres etapas en es-te libro.

Puesto que, como uno podra esperar, las ecuaciones diferenciales par-ciales son mucho ms complicadas que las ecuaciones diferenciales ordina-rias, la mayor parte de este libro, esto es, los once captulos en las Partes Iy II, se dedican a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Las ecuacionesdiferenciales parciales se tratan en los tres captulos de la Parte III. As, amenos que se diga lo contrario, cuando nos refiramos a una ecuacin dife-rencial implicaremos una ecuacin diferencial ordinaria.

EJERCICIOS A

1. Complete la siguiente tabla.

(W y - 4y - 5y = e3x

(4 au a2u au

- = 4 = + a y

( d ) (+ ;+ -3t

te

d2x

p -3x = sen y

(h) ( 2 x + y ) d x + ( x - 3 y ) d y = 0

6 y + xy = sen y

(3a27- d2T


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Una solucin es y2 - xy = c (50)tal como puede verificarse por diferenciacin implcita de (50). Puesto que(50) involucra una constante arbitraria, nos referimos a ella como la solucingeneral. Para obtener la solucin particular que satisfaga y(l) = 2, sustitui-m o s x5 1, y = 2 en (50) y encontramos c = 2. As

y2 - XJ = 2 (51)

La solucin requerida al problema de valor inicial est en (51). Para mos-trar explcitamente esto solucionemos (51) para y en trminos de x por la fr-_ I.mula cuadrtica para obtener

Y=X+JFT

2 (52)

Probando la condicin y = 2 cuando X= 1 en (52) muestra que debemos ex-cluir el signo menos en (52). La solucin requerida es por tanto

y = gx + J rn> (53)

Es de inters interpretar el resultado grficamente. Las curvas descritas por (52) se muestran en la Figura 1.3. Aunque ambas curvas representan cur-vas solucin a la ecuacin diferencial (49), slo una de ellas satisface la con-dicin y(1) = 2, esto es, pasa por el punto (1, 2). Es tambin de inters notar que para puntos en la recta y = x/2 que separa las dos curvas, el denomi-nador a la derecha de la ecuacin diferencial en (49) es cero.

Los comentarios anteriores sugieren lo siguiente. Dado el problema devalor inicial

Y = FC.% Y), Y(Xo) = Yo (54)

Y

Figura 1.3



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la cual es la ecuacin diferencial de segundo orden requerida. El estudiantepuede recordar que el lado izquierdo de (68) es la curvatura de un plano cur-vo. As, (68) establece que la curvatura de un cierto plano curvo en cualquierpunto de l es igual a 1 en valor absoluto. Solamente los crculos de radio 1tienen esta propiedad.

1.4 SOLUCIONES SINGULARES

Cada vez que se formule un problema de valor inicial o de frontera, haytres preguntas en relacin a ste que podran y deberan hacerse.

1 . P r e g un t a de e x i s t e nc i a . iExiste una solucin de la ecuacin dife-rencial que satisfaga las condiciones dadas?

2. P r eg u n t a d e u n i c i d a d . Si existe una solucin que satisface las con-diciones dadas, ipuede haber una solucin diferente que tambin satisfagalas condiciones?

3 . P r e g u n t a d e d e t e r m i n a c i n . iCmo encontrar las soluciones quesatisfagan las condiciones dadas?

Una tendencia natural es proceder directamente a la tercera pregunta e ig-norar las dos primeras. Sin embargo, supngase que llegamos a una formula-cin matemtica de algn problema aplicado y pudiramos probar que no tie-ne solucin. Entonces claramente no vale la pena gastar tiempo en tratar deencontrar una solucin. De nuevo, an si tuvieramos xito en encontrar unasolucin, respondiendo as afirmativamente a la Pregunta 1, est todava lapregunta de unicidad. Si se pueden encontrar dos o ms soluciones, esto vio-lara el principio cientfico fundamental de que un sistema no puede compor-tarse en varias formas diferentes bajo las mismas condiciones. En tal casose pondra en sospecha la validez de la formulacin matemtica.

Para mostrar que hay alguna base para hacer las preguntas anteriores,supongamos que se nos ha dado el problema de valor inicial

dy = Jl3,dx Yc 3 = 0

Del Ejemplo 17, pgina 16, la ecuacin diferencial (69) tiene la solucin ge-neral y= (X+c)3. De la condicin en (69) se tiene (2 + c)3 = 0 de modo quec = - 2. As, obtendramos una solucin que satisface (69) dada por

y = (x - 2)3 (70)Sin embargo otra solucin de (69) est dada por y = 0. An una tercera selu-cin est dada por

x-2X


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Figura 1.4

.--I (2,8)

donde A y B son constantes, es tambin una solucin. Escogiendo A = 1 pa-ra satisfacer y = 1 donde x = 1 y escogiendo B = 0 en la solucin (2), obte-nemos

(3)

estando completamente de acuerdo con el experimento.Este ejemplo muestra la necesidad de conocer cundo una solucin ni-ca realmente exis te . Aunque no podemos adentrarnos en los detal les de la

prueba, no debemos esconder nuestras cabezas de la realidad como el aves-truz del probervio sino que, en vez, satisfaceremos nuestra conciencia con lasiguiente ci ta

Teorema de existencia-unicidad. Dada la ecuacin diferencial de pr i -mer orden y = F(r, y), si F(x, y) satisface las siguientes condiciones:*

1. F(x, y) es real, finita, simple valorada, y continua en todos los puntosde una regin R del plano xy (que puede contener todos los puntos).

2 iF(x, y)*--&--- es real, finita, simple valorada y continua en R.

Entonces existe una y slo una solucin y = g(x)en R, tal que y =yO cuan-d o x=x0, esto es, y (x0) = yo .**

O b s e r v a c i n . Este teorema da las condiciones suficientes para la exis-tencia y unicidad de una solucin, esto es, si las condiciones se cumplen, la

*AlguAas de las condiciones dadas en el teprema estn implicadas por otras y se enuncianmeramente por nfasis.

**Se puede concluir ms precisamente que ~(1) existe y es continua en algn intervaloxg -h ( x 5 x0 + h; esto es, 1x ~ x0 13 h dbnde h es algn nmero positivo que depende deF(x, v).

2 4 Captulo uno


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Figura 1.7

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1

Determine si existe una solucin nica para el problema de valor inicial

&dx = J9 - x2 + y2 , L(1) = 2 (4)

Solucin Tenemos F(x, J.) = ,/ 9 - (x2 + y2),l ?F - y = dY J 9 - (x2 + y 2)

(5)

y vemos que una complicacin potencial surge para los puntos (x, y) para loscuales x2 + yz = 9. Supongamos que estamos alejados de tales puntos al es-coger por ejemplo una regin R dentro del crculo ~2 +yz = 8 (ver Figura 1.8),

Y9

Figura 1.8

2 6 C a p tulo un o


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X

Figura 1 .9

dx 1(b) Escriba la ecuacin diferencial dada como - = ?.

dy YEntonces al integrar se tiene x = - h + c. Puesto que y = 1 cuando x = 0, es-

1 1to da c = 1 de modo que x = - y + 1, esto es, y = ~

1 -xLa nica curva solucin C correspondiente a esto tambin se muestra en laFigura 1.9. Se debera notar que aun cuando la regin R pueda escogerse tangrande como se desee y que an se satisfagan las condiciones del teorema deexistencia, la curva no se extiende indefinidamente hacia la derecha.* Dehecho, como se ve, no se extiende ms all de x = 1 lo cual representa unaasntota. El hecho de que x = 1 sea una barrera no es del todo evidente des-de la ecuacin diferencial dada. Estos resultados indican las complejidades

que pueden ocurrir en ecuaciones no-lineales.

2.2 CAMPO DE DIRECCIONES Y EL METODO DE LAS ISOCLINAS

Suponga que nos dan la ecuacin diferencial

Y = F x, Y (12)

donde F(x, y) satisface las condiciones del teorema de existencia-unicidad.En cada punto (a, b) de la regin R (ver Figura 1.10) podemos construir unalnea corta, llamada un element o de l nea, con pendiente F(a, b). Si hacdmos

esto para un gran nmero de puntos, obtenemos un grfico tal como se mues-tra en la Figura 1.10 llamado el campo de direcciones de la ecuacin diferen-cial. Los elementos de lnea representan lneas tangentes a las curvas solu-cin en estos puntos.

E S bastante llamativo que mediante el uso de esta simple idea podamosllegar a tener una representacin de la solucin general de la ecuacin dife-rencial sin ni siquiera resolver la ecuacin. La tcnica es por supuesto muytil, especialmente cuando no se puede encontrar una solucin exacta. El gr-

*El teorema de existencia-unicidad expresa esto al no garantizar ms de lo que se estable-

ce en el segundo pie de pgina de la pgina 24.

28 Capt ul o u no


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Figura 1 .l O

fico indica que la solucin general de (12) est dada por

JJ = f(x, 4, U(x, y) = c o G(x, y, c) = 0 (13)

donde c es una constante arbitraria. As, cada curva de la Figura 1.10 corres-ponde a un valor diferente de c, o dicho de otra manera, existir una y slouna curva que pasa por un punto dado de acuerdo al teorema de existencia-unicidad. Ilustremos el procedimiento de obtener el campo de direcciones pa-ra una ecuacin diferencial al considerar el siguiente


Obtenga el campo de direcciones de la ecuacin diferencialdY x-= - -dx 4 (14)

Solucin Es conveniente escoger puntos (x, y) para los cuales x y y sean en-teros, y calcular las pendientes correspondientes en estos puntos En ecua-ciones ms complicadas el uso de la calculadora de bolsillo puede servir paraminimizar clculos laboriosos, y se pueden usar otros puntos que permitanuna mayor precisin. Los clculos se indican en la Figura 1.11 para el casodonde x y y estn entre - 4 y 4. As, por ejemplo, la pendiente correspondien-te a x = 2, y = 3, esto es, el punto (2, 3) es -.$. Puesto que X/y no existe pa-ra y = 0 las entradas para estos casos se indican por una raya.

El correspondiente campo de direcciones se indica en la Figura 1.12. Elgrfico parece indicar que las curvas correspondientes a la solucin generalson crculos con centro en el origen; esto es,

x2 + 12 = c (15)la cual llega a ser ms evidente con la seleccin de ms puntos. El resultado(15) es realmente correcto puesto que tiene la solucin general de (14); o di-

Ec uac io nes d iferen ciales en g en eral 2 9


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Fi gur a 1. 11

Y

5

5

/ ,4

/ 3

/

. I / l

_- 4 -3 -2 - 1

\ \ \ l 1

\ \ \ l- 2

\ \ l -3

-4

-5

i

---.\ \ \\\\\\\\

\ \

.-+- .+.~-- - - - - - x

: ;; AA//

Cap tu lo uno Fi gura 1. 12


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cho de otra manera, la ecuacin diferencial de la familia de crculos (15) estadada por (14).

Cuando se busca el campo de direcciones para la ecuacin diferencial

) = F(x, Y) (16)

el trabajo involucrado se puede reducir en algo al hacer

Rx, Y) = m (17)donde m es una constante, y darse cuenta que cualquier punto sobre la cur-va representado por (17) tiene asociado un elemento de lnea con pendientem. Esto frecuentemente se llama el mt odo de las isoclinus (isoclina significapendiente constante) y se ilustra en el siguiente


Use el mtodo de las isoclinas para trabajar el Ejemplo ilustrativo 5, enla pgina 29.Solucin Para obtener el campo de direcciones requerido, escojamos un va-lor particular de m, digamos m = 2. Entonces sobre la correspondiente rectay = -x/2 construimos elementos de lnea paralelos de pendiente m = 2, como se muestra en la Figura 1.13. Luego hacemos lo mismo para otros valoresde m y as obtenemos el patrn indicado.

Figura 1 .13

Ecuaciones diferenciales en general 3 1


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dos ecuaciqnes diferenciales

de primer orden y ordinarias simples-de alto orden

1.

2 .

3.

4 .

5.

-.

6.

l 7.

8.

EL METODO DE SEPARACION DE VARIABLES

EL METODO DE LA TRANSFORMACION DE VARIABLES

2.1 La ecuacin hqmcgnea

2.2 Otras transformaciones especiales

LA IDEA INTUITIVA DE EXACTITUD

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

ECUACIONES HECHAS EXACTAS POR UN FACTOR INTEGRANTE APROPIADO

5.1 Ecuaciones hechas exactas por factores integrantes que involucranuna variable

5 .2 La ecuac in de p r imer o rden l inea l

5.3 El mtodo de inspeccin

ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR AL PRIMERO QUE SE RESUELVEN

FACILMENTE

6.1 Ecuaciones inmediatamente integrables

6.2 Ecuaciones con una variable ausente

LA ECUACION DE CLAIRAUT

R EV I S I O N D E METODOS I M P O RTA N T E S

3 4


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u de acuerdo a la transformacin u = XY. (b) Use esto para resolver (x2 +y sen XY )dx+ x sen xy dy = 0.

2 El metodo de la transformacin de variablesPuesto que una ecuacin diferencial cuyas variables son separables es

muy fcil de resolver, una pregunta relativamente obvia que podra formu-

larse es la siguiente.P r e g u n t a . iExisten algunos tipos de ecuaciones diferenciales cuyasvariables no son separables, que de alguna manera se puedan cambiar otransformar en ecuaciones cuyas variables sean separables?

La respuesta 8 esta pregunta es si. De hecho una de las ms impor-tantes maneras de resolver una ecuacin diferencial dada es hacer un apro-

piado cambio o transformacin de variables de tal manera que la ecuacindada se reduzca a algn tipo conocido que pueda resolverse. La situacin esmucho ms anloga al de los trucos ingeniosos a menudo usado en clcu-lo para la evaluacin de integrales por un cambio de variable. En algunos

casos la transformacin particular de variables arser usada es sugerida por la forma de la ecuacin. En otros casos la transformacin puede ser menosobvia.

2.1 LA ECUACION HOMOGENEA

Una ecuacin que casi siempre puede transformarse en una con variables separables es

2 = f ( (1)

y cualquier ecuacin diferencial que es o se pueda escribir en esta forma sellama ecuacin di ferenci al homognea. Para cambiar (1) en una ecuacin se-

parable, usamos la transformacin y/x = u y = ux, esto es, el cambio deJ a variable dependiente de y a u manteniendo la misma variable indepen-

diente x. Entoncesdy dvd : y = v + x ~

y la ecuacin (1) se convierte en u + xg = f(v)

de modo que (2)

donde las variables estn separadas. La solucin se obtiene entonces por in-tegracin.*


Resuelva 2 = ??dx x+y

*Debera notarse que el mtodo no funciona en el caso f(u) = LI; esto es, f(y/.r) =y/x. Sinembargo, en este caso la ecuacin ya ea de tipo separable.

3 8 Ca p t u l o d o s


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eliminando u. Puesto que esto satisface la ecuacin diferencial dada y no esun caso especial de (5), es una solucin singular.

La relacin entre la solucin singular y la solucin general puede ser vis-ta en la Figura 2.1. En esta figura hemos mostrado el grfico de y = - ~2 /4,la cual es una parbola, junto con grficos de y = cx + c* para varios valo-res de c, las cuales representan lneas tangentes a y = - ~2 /4 (ver Ejercicio3B). La parbola y = - X* /4, la cual envuelve todas las tangentes y = ex +c*, es por obvias razones llamada enuoluente de la familia de lneas tan-

gentes.Por la ecuacin general de Clairaut (l), la solucin singular (4) repre-senta la envolvente de la familia de lneas rectas (3), las cuales a su vez sonlneas tangentes a la envolvente. Es posible obtener la envolvente directa-mente de esta familia, como se indica en Ejercicio 1B.

El teorema fundamental de existencia-unicidad del Captulo uno tam-bin puede proporcionar guas a la presencia de soluciones singulares y susconexiones con soluciones generales. Refirindonos a la ecuacin de Clairauten el Ejemplo ilustrativo de la pgina 61, por ejemplo, vemos al resolver paray que hay dos valores,

y ' = -x + Jx + 4y - x - &TqJ2 .?

y ' =2 (7)

Considerando la primera ecuacin en (7), notamos que la derivada parcialcon respecto a y del lado derecho es l/v~z + 4y, y es real, simple valoraday continua s y slo s y > - x2 /4, la cual describe geomtricamente la reginpor encima de la parbola de la Figura 2.2. Dado un punto, diagamos (1, 2),en esta regin, vemos de la solucin general y = cx + cz que cz + c - 2 = 0

Figura 2 .1

6 2 Cap t u l o d o s


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Figura 2.2

c = l , - 2; esto es, y = x + 1, y = 4-2x. De stas, solamente y = x + 1,x 2 - 2, satisface la primera ecuacin de (7), mientras que y = x + 1, x 0 - 2,satisface la segunda ecuacin de (7) acorde con el teorema de existencia-uni-cidad.

De manera similar podemos mostrar que y = 4 - 2x, x 5 4, es la nica so-lucin de la segunda ecuacin en (7) que pasa por (1, 2), mientras y = 4 - 2x,x 2 4, es la nica solucin de la primera ecuacin. La situacin se indica enla-Figura 2.2.

Los conceptos descritos anteriormente para la ecuacin de Clairaut sir-ven para indicar algunos principios guas en relacin a las soluciones paratipos ms generales de ecuaciones. Para las ecuaciones diferenciales ordi-narias de primer orden, habr usualmente una solucin general en ciertasregiones restringidas como lo garantiza el teorema de existencia-unicidad.Soluciones singulares, si ellas ocurren, deben manifestarse ellas mismas en

las fronteras de tales regiones. En algunos casos ellas pueden ser vistas des-de ciertos factores que pueden llegar a ser cero o infinito.*

EJERCICIOS A

Obtenga la solucin general y singular para cada uno de los siguientes

1. y = xy - y 2. 2. J = -uy + 1 + 4(Jq2,

3. y = xy - tan y. 4. 4 = xy + J i-q .

*Para futuras discusiones de envolventes y soluciones singulares, junto con tpicos rela-cionados, vea los ejercicios avanzados en la pgina 64 y tambin la referencia [ 131 .

Ecuaciones di ferenciales de pr imer orden y o rd inar i as s imples de a l to o rden 63


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(b) Muestre que si se conocen dos soluciones, digamos y I (x) y yz (x), la solu-cin general es

Y - Yl

(c) Muestre que s se conocen tres soluciones digamos y , (x), y (x) y y B (x), en-tonces la solucin general es

(Y - YlHY2 - Y3) = Y - YdY Y3

3. Resuelva la ecuacin y - ny2 -2y+4-4x notando que y = 2 es una solucinparticular.

4. Resuelva 2 + y2 = I + x2.Y5. Resuelva la ecuacin y = -

- ciones. x- 15 + 1 notando que y = I y y = x son solu-


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t r e s apl i caci ones de ecuaci ones

di ferenci al es de pr i mer orden y si mpl es de orden superi or

1. APLICACIONES A LA MECANICA1.1 Introduccin1.2 Las leyes del movimiento de Newton

2. APLICACIONES A LOS CIRCUITOS ELECTRICOS2.1 Introduccin2.2 Unidades2.3 La ley de Kirchhoff

3. TRAYECTORIAS ORTOGONALES Y SUS APLICACIONES

4. APLICACIONES A LA QUIMICA Y A LAS MEZCLASQUIM ICAS5. \ APLICACIONES A FLUJO DE CALOR EN ESTADO

ESTACIONARIO6. APLICACIONES A PROBLEMAS MISCELANEOS DE

CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO7. EL CABLE COLGANTE8. UN VIAJE A LA LUNA9. APLICACIONES A COHETES

10. PROBLEMAS DE FISICA QUE INVOLUCRAN GEOMETRIA

11. PROBLEMAS MISCELANEQS EN GEOMETRIA12. LA DEFLEXION DE VIGAS13. APLICACIONES A BIOLOGIA

13.1 Crecimiento biolgico13.2 Un problema [email protected] Absorcibn de drogas en rganos o c6lulas

14 . APLICACIONES A LA ECONOMIA14.1 Oferta y demanda14.2 Inventarios

7 0


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En este captu lo d iscutiremos aplicaciones de ecuaciones d iferencialesde primer orden y simples de orden superior a problemas de la mecnica, eco-noma, qumica, doblamiento de vigas, y otros. Las secciones estn organi-zadas de modo que los estudiantes puedan hacer nfasis en aquellos tpicosque se adaptan particularmente a sus intereses o necesidades.

Aplicaciones a la mecnica

1.1 INTRODUCCION

El tema de la fsica trata de la investigacin de las leyes que gobiernanel comportamiento del universo fsico. Por universo fsico entendemos la to-talidad de objetos alrededor nuestro, no slo las cosas que observamos, sinolas que no observamos, tales como los tomos y molculas. El estudio del mo-vimiento de los objetos en nuestro universo es una rama de la mecnica lla-mada di nm i ca. Las leyes del movimiento de Newton, conocidas por los es-

tudiantes en f s ica elemental , forman la base fundamental para su estudio .Resulta, sin embargo, que para los objetos que se mueven muy rpido (por ejemplo, cerca a la velocidad de la luz, 186. 000 millas por segundo) no pode-mos usar las leyes de Newton. En vez debemos usar una versin revisada deestas leyes, desarrolladas por Einstein y conocidas como mecni ca rel at i v i s- t a , o mecnica de la relatividad. Para objetos de dimensiones atmicas, lasleyes de Newton tampoco son vlidas. De hecho, para obtener descripciones

precisas del movimiento de obje tos de dimensiones a tmicas, necesi tamosestablecer un conjunto de leyes estudiadas en un tema avanzado conocidocomo m ecni ca cun t i ca. Mecnica cuntica y relativista son muy compli-cadas para ser invest igadas en este l ibro , puesto que el estudiante necesi-tara conocimientos previos ms extensos en matemticas y fsica para em-

pezar a estudiar estos temas.Afortunadamente, para estudiar el movimiento de los objetos que encon-

tramos en nuestra vida diaria, objetos que ni alcanzan velocidades cercanasa la de la luz ni objetos con dimensiones atmicas, no necesitamos mecnicacuntica o relativista. Las leyes de Newton son lo suficientemente precisasen estos casos y por tanto emprenderemos una discusin de estas leyes y susaplicaciones.

1.2 LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON

Las tres leyes del movimiento primero desarrolladas por Newton son:

1. Un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo, mientras que un cuerpo en movimiento tiende a persistir en movimiento en una l nea r ecta con vel ocidad constant e a menos que fuerzas ext er- nas act en sobre l .

2. La tasa de cambio en momentum de un cuerpo en el tiempo es proporcional a la fuerza neta que acta sobre el cuerpo y tiene la

misma direccin a la fuerza.3. A cada accin existe una reaccin igual y opuesta.

Apl icac iones de ecuaciones d i ferencia les de p rTer o rd en y s/mples d e o rd en su p e r i o r 71


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porcional a la velocidad en cualquier instante durante la cada. Asumiendoque el paracaidista cae verticalmente hacia abajo y que el paracadas yaest abierto cuando el salto ocurre, describa el movimiento resultante.

F o r m u l a c i n m a t em t i c a . Dibujamos, como de costumbre, un dia-grama fsico y de fuerzas (Figuras 3.5 y 3.6). Asuma A como el origen y ABla direccin del eje x positivo. Las fuerzas actuantes son: (a) el peso combi-nado W hacia abajo; (b) la fuerza de resistencia R del aire actuando haciaarriba. La fuerza neta en la direccin positiva (hacia abajo) es W-R. Pues-to que la resistencia es proporcional a la velocidad tenemos

R x11.1 o R=/+.(

donde p es la constante de proporcionalidad. Puesto que v es siempre posi-tiva, no necesitamos el signo de valor absoluto, y podemos escribir simple-mente R = bu. De donde la fuerza neta es W-pu, y obtenemos por la ley deNewton

w dc- = w - ljl

7 dt

Puesto que el paracaidista empieza en el reposo, v = 0 en t = 0. As la formu-lacin matemtica completa est dada por el problema de valor inicial

w (11,~ = w - pu,

7 dtr=O e n t=O

Solucin La ecuacin diferencial tiene sus variables separables. As,w

s 7 - . - - = w 2: sg dt 0 -F In (CV - Pv) =


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V

tVelocidad limite F

Figura 3.7

Figura 3.8

Se notar que a medida que t - CO , v tiende a W/a, una velocidad cons-tante lmite. Esto registra lo que observamos en los paracadas que viajan avelocidades pwy aproximadamente uniformes despus de transcurrido cier-to tiempo. Tambin podemos determinar la distancia recorrida por el para-caidista como una funcin del tiempo.

De

tenemos

Usando el hecho de que n: = 0 en t = 0, encontramos c2 = - W* /B*g . Dedonde, .

-Lww _ zBs

Los grficos de IJ y x como funciones de t se muestran en las Figuras 3.7y 3.8.

1 .

2.

78

EJERCICIOS A

Una masa de 25 g cae desde el reposo bajo la influencia de la gravedad. (a) Esta-blezca una ecuacin diferencial y condiciones para el movimiento. (b) Encuentrela distancia viajada y la velocidad conseguida 3 seg despus de empezar su mo-vimiento. (c) iCunta distancia recorre la masa entre el 30. y 40. seg? jentre 61 4o.--y 50. seg?Una masa de 200 g se lanza hacia arriba con una velocidad de 2450 cm/seg. (a)Encuentre las distancias desde el punto de partida y las velocidades conseguidas2 y 4 seg despus de empezar el movimiento. (b) Encuentre el punto ms alto al-canzado Y el tiempo requerido. (c) iCules son las distancias totales recorridasdespus de 2 seg? idespus de 4 seg?

Ca piulo tres


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En fsica elemental encontramos que la fem est relacionada con el flujode corriente en el circuito. En forma simple, la ley dice que la corriente ins-tantnea I (en un circuito que contiene slo una fem E y una resistencia) esdirectamente proporcional a la fem. En smbolos,

De donde,IxE o Ex1 (1)

E = IR

donde R es una constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de re-s i st en c ia 0, s im pl em en te , resis tencia . Las unidades, generalmente conoci-das como u ni d ad e s p r c t ic as s o n tales que E es t en v o l t i o s , I es t enamperios y R en ohmios. La ecuacin (1) es familiar al estudiante de fsicaelemental bajo el nombre de la ley de Ohm.

Circuitos ms complicados, pero para muchos casos ms prcticos, soncircuitos que contienen otros elementos distintos a resistencias. Dos elemen-tos impor tantes son i n d u c t o r e s y c o n d e n s a d o r e s . Un induc to r s e opone acambios en corriente. Tiene un efecto de inercia en electricidad de la mismamanera que una masa t iene un efecto de inercia en mecnica. De hecho la

analoga es bastante, y se podra decir mucho acerca de esto. Un condensa-dor es un elemento que almacena energa.En fsica hablamos de una cada de voltaje a travs de un elemento. En

la prctica podemos determinar esta cada de voltaje, o como se llama co-mnmente, cada de potencial o diferencia de potencial, por medio de un ins-trumento l lamado un volt metro. Experimentalmente las siguientes leyes secumplen.

1. La ca da de voltaje a travs de una resi sten cia es pr opo rc ional ala corriente que pasa a travs de la resistencia.

Si E, es la cada de voltaje a travs de una resistencia e I es la corrien-te, entonces

ER x 1 o E x = R l

donde R es la constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de resis-tencia 0 simplemente resistencia.

2. La ca da de voltaj e a tra v s de un induc to r es pro porc ional a latasa de tiempo instantnea de cambio de la corriente.

Si EL es la cada de voltaje a travs del inductor, entonces

E, - ; o E,> = L ;-

donde L es la constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de induc-tancia o simplemente la inductancia.

3. La cada de voltaje a travs de un co ndensa dor es pro porci onal ala carga elctrica instantnea en el condensador.

Si E,: es la cada de voltaje a travs del condensador y Q la carga ins-

tan tnea , en tonces E,, x Q o E, = ;

Aplicaciones de ecuaciones di ferenciales de pr imer orden y s imples de orden super ior 8 3


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Figura 3.10

-n+ I_

.

.

.

Figura 3. ll

Puesto que, por la ley de Kirchhoff, la fem suministrada (E) es igual ala cada de voltaje a t ravs del inductor (15 dl/dt) ms la cada de voltajea travs de la resistencia (RI), tenemos como la ecuacin diferencial reque-rida para el circuito

.~+RI=,

Como otro ejemplo, suponga que nos dan un circuito elctrico consisten-te de una batera o generador de E voltios en serie con una resistencia de Rohmios y un condensador de C faradios como en la Figura 3.11. Aqu la cadade voltaje a travs de la resistencia es RI y la cada de voltaje a travs delcondensador es Q/C, de modo que por la ley de Kirchhoff

tal como aparece esto no es una ecuacin diferencial. Sin embargo al notar que la corriente es la tasa de tiempo de cambio en la carga, esto es, Z= dQ/

dt, (2) se convierte en

la cual es una ecuacin diferencial para la carga instantnea. Acompaandoa las ecuaciones diferenciales obtenidas estn las condiciones que se deri-van, por supuesto, del problema especifico considerado.

Un generador con una fem de 100 voltios se conecta en serie con una re-

sistencia de 10 ohmios y un inductor de 2 henrios. Si el interruptor K se cie-rra en tiempo t = 0, establezca una ecuacin diferencial para la corriente ydetermine la corriente en tiempo t.

.Ap l icac iones de ecuac iones d i fe renc ia le s de p r imer o rden y s im p les d e o rd en su p er io r 85


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2 henrios

Figura 3.12

F o r m u l a c i n m a t em t i c a . Como es costumbre dibujamos el diagramafsico (Figura 3.12). Llamndo Z la corriente en amperios que fluye como seilustra, tenemos: (1) voltaje suministrado = 100 voltios, (2) cada de voltajea travs de la resistencia (RZ) = 10 Z, (3) cada de voltaje a travs del induc-tor (L dZ/dt) = 2 dZ/dt. De donde, por la ley de Kirchhoff,

loo=lor+2- 0dt g + 5 1 = 50 ( 3 )Puesto que el interruptor se cierra en t = 0, debemos tener Z= 0 en t = 0.Solucin La ecuacin diferencial (3) es una ecuacin de primer orden linealcon factor integrante es t . Multiplicado por este factor da

% (e5I) = 50e estI= 10e5 + c esto es, Z = 10 + ce-.

PuestoqueZ=Oen t=O, c= - 1 0 . AsZ=10(1-e-5f).O t r o m t od o. La ecuacin (3) puede tambin resolverse por separacin

de variables.El grfico de Z contra t se muestra en la Figura 3.13. Note que la corrien-

te es cero en t = 0 y crece hacia un mximo de 10 amperios aunque terica-mente nunca lo alcanza. El estudiante debera notar la similitud entre esteproblema y el problema de la cada del paracaidista en el Ejemplo ilustrativo3 de la seccin pasada.

Establezca y resuelva una ecuacin diferencial para el circuito elctricodel Ejemplo ilustrativo 1 si el generador de 100 voltios se remplaza por otrocon una fem de 20 cos 5t voltios. .

---

1 0 a m p

L /

Figura 3.13


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Y

t

Figura 3.16

,

Figura 3.17

l neas rectas ( l neas punteadas). Similarmente las t rayectorias ortogonalesde la familia de lneas rectas que pasan por el origen son los crculos con cen-tro en el origen.

Como una situacin ms complicada, considere la familia de elipses (Fi-gura 3.18) y la familia de curvas ortogonales a ellas. Las curvas de una fami-l ia son las trayectorias ortogonales de la otra familia . Las aplicaciones detrayectorias ortogonales son numerosas en fisica e ingeniera. Como una apli-cacin muy elemental, considere la Figura 3.19. Aqu NS representa una ba-rra magntica, siendo N su polo norte, y S su polo sur. Si limaduras de hierrose esparcen alrededor del magneto encontramos que ellas se ordenan as mis-mas como las curvas punteadas de la Figura 3.19. Estas curvas se l lamanl neas de fuerza.* Las curvas perpendiculares a es tas ( l neas gruesas) se

*El estudiante que ha ledo la seccin de campos de direcciones (pg. 28) debera notar lasimilitud entre las limaduras de hierro y los elementos d e linea.

90 Cap tu lo tr es


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Figura 3.18

Figura 3.19

llaman lneas equipotenciales, o curvas de igual potencial. Aqu, tambin losmiembros de una familia constituyen las trayectorias ortogonales de la otrafamilia.

Como otro ejemplo de fsica considere la Figura 3.20, la cual representaun mapa del clima tan familiar en muchos de nuestros peridicos diarios.Las curvas representan isobaras, las cuales son curvas que conectan todaslas ciudades que reportan la misma presin baromtrica a la oficina metereo-lgica. Las trayectorias ortogonales de la familia de isobaras podran indicarla direccin general del viento desde reas de alta a baja presin. En vez deisobaras, la Figura 3.20 podra representar curvas isotrmicas las cuales soncurvas que conectan puntos que tienen la misma temperatura. En tal casolas trayectorias ortogonales representan la direccin general del flujo de calor.

,

Considere el ejemplo de las isobaras. Dado un punto (x, y), tericamen-

te podemos encontrar la presin en ese punto. As podemos decirque P=

f(r, y), esto es, la presin es una funcin de la posicin. Haciendo P igual an v a l o r d e f i n i d o , d i g a m o s P ,, vemos que f(n, y) = P, representa una

Apl icac iones de ecuac iones d i fe renc ia le s de p r imer o rden y s imples de orden super ior 9 1


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AplIcaciones a flujo de calor en estado estacionario

Considere una pieza de material de longitud indefinida acotada por dosplanos paralelos A y B, como en la Figura 3.23. Asuma que el material es uni-forme en todas sus propiedades, por ejemplo, calor especfico, densidad, etc.Supngase que los planos A y B se mantienen al 50 C y 100 C, respecti-vamente. Todo punto en la regin entre

Ay

Balcanza cierta temperatura que

no cambia posteriormente. As todos los puntos en el plano C en la mitad en-tre A y B estarn a 75 C; el plano E a 90 C. Cuando la temperatura en ca-da punto de un cuerpo no vara con el tiempo, decimos que prevalecen lascondiciones de estado estacionari o o que tenemos un flujo de calor en estado estacionario.

Figura 3.23

Como otro ejemplo considere un tubo de material uniforme, cuyo cortesecciona1 aparece en la Figura 3.24. Suponga que la parte exterior se mantie-ne a 80 C y la interna a 40 C. Habr una superficie (lnea punteada) enla cual cada punto estar a 60 C. Sin embargo, sta no est enla mitad en-tre las superficies interna y externa. Lneas paralelas a A y en un plano per-pendicular a A (Figura 3.23) se llaman l neas i sot rmicas. La curva punteadade la Figura 3.24 es una curva i sot mica. Los planos correspondientes de laFigura 3.23 y los cilindros de la Figura 3.24 se llaman superfi cies i sot rmi cas.En el caso general, las curvas isotrmicas no sern lneas o crculos, comoen la Figur 3.23 o 3.24, pero pueden ser una familia de curvas como se mties-tra en la Figura 3.25 (curvas punteadas). Las trayectorias ortogonales de la

80C

Figura 3.24

Api icac iQnes de ecuac iones d i f e r enc ia l es de p r imer o rden y s imples de orden super ior 101


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Fi gura 3. 25

Fi gura 3. 26

familia se llaman l neas de flujo (vea la seccin 3 sobre trayectorias ortogo-nales).

Considere pequeas porciones de dos superficies isotrmicas contiguas(Figura 3.26) separadas por una distancia An. Asuma que la temperatura co-rrespondiente a la superficie S, es U, , y la correspondiente a S, es U, .Llame la diferencia de temperatura U2 - U, = AU. Experimentalmente seencuentra que la cantidad de calor que fluye de S, a S, por unidad area

y por unidad de tiempo es aproximadamente proporcional a A U / A n . Laaproximacin llega a ser ms precisa a medida que un (y desde luego IU )se hace ms pequeo. En el caso lmite a medida que A n +O , A u / A n ---tdU/dn* lo cual se llama el gradiente de U (tasa de cambio de U en la di-reccin normal a la superficie o curva isotrmica). Si H es la cantidad de flu-

jo de calor por unidad de rea y unidad de tiempo, tomamos como nuestraley fsica:

tIC t l lH uu x ,- o

H - K T 7(1)

*En el caso que I depende de otros factores adems de II, entonces d U / d n se remplaza porI ,1.

102 C a p i t u l o tres


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Si r = 1 5 , e n c o n t r a m o s p o r s u s t i t u c i n q u e U= 11 4 C . D e l v a l o r a n t e r i o r de 9, el cual est en caloras por segundo, es claro que la respuesta a la par-t e (c) e s

9 = 408.000 x 60 caljmin = 24.480.000cal/min

En el caso de conduccin de calor, el calor fluye de lugares de ms altatemperatura a lugares de ms baja temperatura. Fsicamente, cuando un ex-tremo de una barra aumenta de temperatura, el movimiento aleatorio de la smolculas en este extremo se aumenta con un incremento resultante en ve-locidad y nmero de colisiones entre molculas. Las molculas con ms atavelocidad tienden a moverse hacia el otro extremo de la barra dando lugar ac o l i s i o n e s a d i c i o n a l e s y a u n c o n s e c u e n t e i n c r e m e n t o g r a d u a l e n t e m p e r a -tura en el resto de la barra.

P o d e m o s c o n s i d e r a r u n a c o n d u c c i n d e c a l o r c o m o u n e s p a r c i m i e n t o odifusin de molculas. Tal difusin, sin embargo, no est limitada a la con-duccin de calor. As, por ejemplo, si una barra est hecha de un material po-roso y cubrimos un extremo con un qumico, encontramos que despus de uncierto tiempo el qumico se esparce o difunde dentro de la barra. As como elcalor fluye de lugares con temperaturas ms altas a aquellos con temperatu-ras ms bajas, las sustancias tienden a difundirse de lugares con concen-traciones o densidades ms altas a aquellos con concentraciones o densida-des ms bajas. La analoga nos permite usar la formulacin matemtica dadaanteriormente para conduccin de calor en problemas de difusin, de modoque U en tales problemas representa la concentracin o densidad (en g/cm3,lb/pie3, etc.) en vez de temperatura. Problemas de difusin ocurren no sloen qumica sino en biologa, como en el transporte de sustancias a travs demembranas celulares (un fenmeno llamado con frecuencia smosis), o en f-sica atmica como en la difusin de neutrones para energa atmica.

E J E R C I C I O S A

1. Una pieza de metal tiene un espesor de 200 cm, y sus otras dos dimensiones sonmucho ms grandes. Las caras planas de la pieza se mantienen a 75 C y 25 C,respectivamente. (a) Encuentre la temperatura de estado estacionario en un planoa una distancia x de la cara de 75 C. (b) Construya un grfico que muestre ladistribucin de la temperatura de estado estacionario. (c) iCunto calor atraviesaun centmetro cuadrado del plano por segundo, asumiendo que la conductividadtrmica del plano es 0,15 unidades cgs?

2. Trabaje el Ejercicio 1 si la pieza tiene un espesor L, una conductividad trmica K,y las temperaturas de las caras planas son U, y Ii,, respectivamente.

3. Un tubo largo de acero, de conductividad trmica K.= 0,15 unidades cgs, tiene unradio interior de 20 cm y un radio exterior de 30 cm. La superficie exterior se man-tiene a 400 C, y la superficie interior a 100 C. (a) Encuentre la temperatura co-mo una funcin de la distancia r del eje comn de los cilindros concntricos. (b)Encuentre la temperatura donde r = 25 cm. (c) iCunto calor se pierde por minutoen una parte del tubo de 10 m de largo?

4. Un tubo largo tiene un dimetro interior de 10 cm y un dimetro exterior de 20 cm.La superficie interna se mantiene a 200 C, y la superficie exterior se mantiene a50 C. La conductividad trmica es de 0,12 unidades cgs. (a) Encuentre la tempe-ratura como una funcin de la distancia r del eje comn de los cilindros concntri-cos. (b) Encuentre la temperatura donde r = 7,s cm. (c) iCunto calor se pierde

por minuto en un segmento del tubo de 20 m de largo?

1 0 4 CaDitul tres


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2. Supngase que un tubo tiene dos capas de material aislante de igual espesor, perode diferente conductividad trmica. Pruebe que hay menos prdida de calor-cuan-do la capa externa tiene la mayor conductividad trmica.

3. Una pieza de ancho L (cuyas otras dimensiones pueden considerarse infinitas) est,compuesta de un material radioactivo. Debido a las reacciones que ocurren en estematerial, el calor que se genera continuamente fluye hacia afuera desde las carasde la pieza. (a) .Tomando el eje x perpendicular a las caras de modo que las carasestn localizadas en x = 0 y x = L , respectivamente, muestre que la temperaturade estado estacionario en la pieza est descrita por la ecuacin

d2U = - Qd X 2

donde Q es una constante positiva que depende de la tasa a la cual el calor se generay las constantes fsicas del material. (b) Asumiendo que las caras de la pieza semantienen a 0 C, muestre que la temperatura en el plano de la mitad de la piezae s kQL2.

4. Trabaje un problema similar al del Ejercicio 3 con material radioactivo contenidoentre dos cilindros concntricos de radios a y b, respectivamente.

Aplicaciones a problemas miscelneasde crecimiento y decaimiento

La ecuacin diferencial CY- = Oj (1)clt

dice que la tasa de cambio en el tiempo de una cantidad y es proporcional a

y. Si la constante de proporcionalidad a es positiva y y es positivo, entoncesdy/dt es positivo y y aumenta. En este caso hablamos de que y crece, y elproblema es uno de crecimiento. Por otro lado, si a es negativo y 7 es positi-vo, entonces dy/dt es negativo y y decrece. Aqu el problema es uno que in-volucra decaimiento.

Puesto que la solucin de (1) est dada por la funcin exponencial y =ceat frecuentemente nos referimos a (1) como la ley de creci mi ent o exponen- c i a l si a > 0 y la l ey de decaim i ent o exponencia l si a ~0. Ecuaciones muysimilares a (1) surgen de muchos campos aparentemente no relacionados. Enlo que sigue consideramos dos ejemplos ilustrativos, uno relacionado contemperatura, y el otro con el fenomeno de desintegracin radioactiva.

Se calienta agua a la temperatura del punto de ebullicin de 100 C. Elagua se remueve, luego del calor y se guarda en un cuarto el cual est a unatemperatura constante de 60 C. Despus de 3 min la temperatura del aguae s 9 0 C . ( a ) E n c u e n t r e l a t e m p e r a t u r a d e l a g u a d e s p u s d e 6 min. ( b )Cundo la temperatura del agua ser de 75 C? ~61 C?

F or m u l ac i n m a t em t i ca . Denote por U la temperatura del agua t mi-nutos despus de remover la fuente de calor. La diferencia de temperaturaentre el agua y el cuarto es U- 60. La tasa de cambio en U es d U / d t . Cnbase en la experiencia, uno espera que la temperatura cambie ms rpidamen-t e c u a n d o ( U - 6 0 ) e s g r a n d e y m s l e n t a m e n t e c u a n d o ( u - 6 0 ) e s pequeo.

Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a la Quimica- Murray

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