Ecuaciones Diferenciales

Área Académica: Ingeniería Mecánica

Profesor(a): M. en C. Yira Muñoz Sánchez

Dr. Miguel Ángel Abreu Quijano

Periodo: Enero – Junio 2015

Cálculo DiferencialResumen

En este material se presentan conceptos y ejemplos de temas como: Límites y Razones de Cambio. Siendo estos indispensables en la materia de cálculo diferencial e integral.

Abstract

This material presents concepts and examples about topics as limits and rates of change. These are necessary in differential and integral calculus.

Keywords: Limits, calculus, rates of change.

ED LINEAL DE SEGUNDO ORDEN (1)

𝒂𝟐 (𝒙 ) 𝒚 ′ ′+𝒂𝟏 (𝒙 ) 𝒚 ′+𝒂𝟎 (𝒙 ) 𝒚=𝟎

Si solo se tiene una solución (), podemos encontrar una segunda solución ().

Partiendo de la ED lineal de segundo orden de la forma:

ED LINEAL DE SEGUNDO ORDEN (2)

Considerando:

• y sean linealmente independientes en un intervalo.

• Si y son linealmente independientes, su relación / no es constante en el intervalo.

/

ED LINEAL DE SEGUNDO ORDEN (3)

Entonces…Determinar a través de la sustitución: en la E.D.

Reducción de OrdenResolver una ED Lineal de Primer Orden para hallar

Ejemplo (1)

Función: E.D.: Intervalo: (- ∞, ∞)

Si

Ejemplo (2)

Así:

Como ≠ 0, es necesario que

Ejemplo (3)

Sustituyendo:

En: Se obtiene: Ecuación Lineal

de Primer Orden

Ejemplo (4)

Teniendo:

Obtenemos:

Integrando:

Por lo tanto:

Ejemplo (5)

Integrando u’:

Por lo tanto:

Eligiendo:

Obtenemos entonces la segunda solución:

Ejemplo (6)

Dado que, para toda x:

Las soluciones son linealmente independientes en (-∞, ∞).

Ejemplo (7)

Resumiendo…

Se ha demostrado que son soluciones linealmente independientes de una ecuación lineal de segundo orden, la ecuación es la solución general de en (-∞, ∞).

2ª Solución a través de la Fórmula (1)

Partiendo de:

Dividiendo entre , se obtiene:

son continuas en un intervalo.

2ª Solución a través de la Fórmula (2)

Suponiendo que es la solución conocida y que ≠ 0 para toda en el intervalo.

Si se define entonces:

cero

2ª Solución a través de la Fórmula (3)

Entonces se debe cumplir:

Si :

Separando variables:

2ª Solución a través de la Fórmula (4)

Integrando:

O sea:

Despejando w y haciendo w=u’

2ª Solución a través de la Fórmula (5)

Si se elige

Entonces y una segunda solución es:

Ejemplo1 (1)

La función es una solución de . Determine la solución general en el intervalo (0, ∞).

1.- Llevando la ecuación a la forma reducida queda:

Ejemplo1 (2)

De acuerdo a:

Tenemos:

Ejemplo1 (3)

Ejemplo2 (1)

es una solución de: Determine la solución general en el intervalo (0, ).

1.- Llevando la ecuación a la forma reducida queda:

Ejemplo2 (2)

De acuerdo a:

Ejemplo2 (3)

Ejemplo2 (4)

Bibliografía

Zill D.G., Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, Segunda edición.

Zill D.G., Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, Octava edición

Blanchard P., Hall G. R., Devaney R. L. , Ecuaciones Diferenciales, Edit. Thomson.

Boyce, DiPrima, Ecuaciones Diferenciales con valores en la frontera, Editorial Limusa,, 4ª edición.