Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden -...

SolucionesIntegracion elemental

Ecuaciones Diferenciales de PrimerOrden

Manuel Fernandez Garcıa-Hierro

4 de octubre de 2011

M. Fernandez Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden


Este capıtulo es la puerta de entrada a las ecuacionesdiferenciales.

Se introducen los conceptos de solucion, campo dependientes, problema de valor inicial e integral primera enel contexto mas sencillo posible: el de las ecuacionesdiferenciales escalares de primer orden.Se describen los metodos clasicos de integracion mediantecuadraturas y se enuncian teoremas de existencia yunicidad de soluciones del problema de valor inicial paraalgunos tipos de ecuaciones diferenciales.Se introduce el concepto de sub (super) solucionenfatizando el hecho de que en general no hay formulaspara las soluciones.Por ultimo la descripcion de algunos modelos matematicosen los que aparecen ecuaciones diferenciales corroboran queson una buena herramienta para entender procesostemporales.



Este capıtulo es la puerta de entrada a las ecuacionesdiferenciales.Se introducen los conceptos de solucion, campo dependientes, problema de valor inicial e integral primera enel contexto mas sencillo posible: el de las ecuacionesdiferenciales escalares de primer orden.

Se describen los metodos clasicos de integracion mediantecuadraturas y se enuncian teoremas de existencia yunicidad de soluciones del problema de valor inicial paraalgunos tipos de ecuaciones diferenciales.Se introduce el concepto de sub (super) solucionenfatizando el hecho de que en general no hay formulaspara las soluciones.Por ultimo la descripcion de algunos modelos matematicosen los que aparecen ecuaciones diferenciales corroboran queson una buena herramienta para entender procesostemporales.



Este capıtulo es la puerta de entrada a las ecuacionesdiferenciales.Se introducen los conceptos de solucion, campo dependientes, problema de valor inicial e integral primera enel contexto mas sencillo posible: el de las ecuacionesdiferenciales escalares de primer orden.Se describen los metodos clasicos de integracion mediantecuadraturas y se enuncian teoremas de existencia yunicidad de soluciones del problema de valor inicial paraalgunos tipos de ecuaciones diferenciales.

Se introduce el concepto de sub (super) solucionenfatizando el hecho de que en general no hay formulaspara las soluciones.Por ultimo la descripcion de algunos modelos matematicosen los que aparecen ecuaciones diferenciales corroboran queson una buena herramienta para entender procesostemporales.



Este capıtulo es la puerta de entrada a las ecuacionesdiferenciales.Se introducen los conceptos de solucion, campo dependientes, problema de valor inicial e integral primera enel contexto mas sencillo posible: el de las ecuacionesdiferenciales escalares de primer orden.Se describen los metodos clasicos de integracion mediantecuadraturas y se enuncian teoremas de existencia yunicidad de soluciones del problema de valor inicial paraalgunos tipos de ecuaciones diferenciales.Se introduce el concepto de sub (super) solucionenfatizando el hecho de que en general no hay formulaspara las soluciones.

Por ultimo la descripcion de algunos modelos matematicosen los que aparecen ecuaciones diferenciales corroboran queson una buena herramienta para entender procesostemporales.



Este capıtulo es la puerta de entrada a las ecuacionesdiferenciales.Se introducen los conceptos de solucion, campo dependientes, problema de valor inicial e integral primera enel contexto mas sencillo posible: el de las ecuacionesdiferenciales escalares de primer orden.Se describen los metodos clasicos de integracion mediantecuadraturas y se enuncian teoremas de existencia yunicidad de soluciones del problema de valor inicial paraalgunos tipos de ecuaciones diferenciales.Se introduce el concepto de sub (super) solucionenfatizando el hecho de que en general no hay formulaspara las soluciones.Por ultimo la descripcion de algunos modelos matematicosen los que aparecen ecuaciones diferenciales corroboran queson una buena herramienta para entender procesostemporales.



Campo de pendientesEl problema de valor inicial

Ecuaciones de primer orden

Una ecuacion diferencial (abreviadamente ED) es una ecuacionque contiene derivadas de las incognitas. El orden de unaecuacion diferencial es el orden de la mayor derivada queaparece en ella. Este capıtulo esta dedicado al estudio de lasecuaciones diferenciales mas simples: las ecuaciones de primerorden

x′ = f(t, x), (1)

donde f : D ⊂ R2 → R, siendo D con interior no vacıo.




Ecuaciones de primer orden

Ejemplos

x′ = t

x′ = x

x′ = x2 − 1

x′ = −tx

x′ = 2t− x

x′ = x2 − t




Ecuaciones diferenciales de orden superior

Ejemplos

x′′ + a(t)x′ + b(t)x+ c(t) = 0

∂u

∂t= a2

∂2u

∂x2, u(x, t).

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2, u(x, t).

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0, u(x, y).




Definicion de solucion

Una solucion de una ED es una funcion x : I → R, donde I esun intervalo de R, tal que para todo t ∈ I

x es derivable en t,

(t, x(t)) ∈ D,

x′(t) = f(t, x(t)).




Campo de pendientes

En un punto (t, x(t)) de la grafica de una solucion, la pendientede la recta tangente que pasa por dicho punto es f(t, x(t)). Portanto su ecuacion es:

X − x(t) = x′(t)(T − t) = f(t, x(t))(T − t),

donde T,X son las coordenadas del plano.




Campo de pendientes

Sea la ED x′ = f(t, x). En cada (t, x) ∈ D se considera la rectaque pasa por dicho punto y tiene pendiente f(t, x). Si lascoordenadas del plano son T,X, entonces dicha recta tiene porecuacion

X − x = f(t, x)(T − t).

Ası se tiene definido un campo de pendientes en D. De estemodo, las soluciones son las curvas, (derivables y con su graficaincluida en D), tales que en cada punto de su grafica su rectatangente tiene la pendiente asignada por el campo.




Campo de pendientes

Mostraremos dos metodos para dibujar el campo de pendientesde una ED haciendo una seleccion de puntos (t, x) y marcandocada uno con un pequeno segmento de recta con pendientef(t, x).




Campo de pendientes

1. Metodo de la red. Se considera una red rectangular de puntos(t, x) y en cada uno de ellos se dibuja un segmento de pendientef(t, x).

La orden de Mathematica

VectorPlot[{1,f},{t,tmin,tmax},{x,xmin,xmax},VectorStyle->Arrowheads[0]]

dibuja el campo de pendientes de la ecuacion x′ = f(t, x) en elrectangulo

R = [tmin, tmax]× [xmin, xmax].




Campo de pendientes

1. Metodo de la red. Se considera una red rectangular de puntos(t, x) y en cada uno de ellos se dibuja un segmento de pendientef(t, x).La orden de Mathematica

VectorPlot[{1,f},{t,tmin,tmax},{x,xmin,xmax},VectorStyle->Arrowheads[0]]

dibuja el campo de pendientes de la ecuacion x′ = f(t, x) en elrectangulo

R = [tmin, tmax]× [xmin, xmax].




Campo de pendientes. x′ = x

-2 -1 0 1 2

-10

-5

0

5

10

t

x




Campo de pendientes y solucion. x′ = x

-2 -1 0 1 2

-10

-5

0

5

10

t

x




Campo de pendientes

2. Metodo de las isoclinas. Consiste en encontrar las isoclinas,que son las curvas sobre las que el campo es constante. Laecuacion de las isoclinas es f(t, x) = c.

La orden de Mathematica

Plot[f,{x,xmin,xmax]}]

dibuja la grafica de la funcion f(x) entre los valores(xmin, xmax) y

ContourPlot[f==c1,f==c2,

{t,tmin,tmax},{x,xmin,xmax}]

dibuja las isoclinas f(t, x) = c1 y f(t, x) = c2 en el rectanguloR.




Campo de pendientes

2. Metodo de las isoclinas. Consiste en encontrar las isoclinas,que son las curvas sobre las que el campo es constante. Laecuacion de las isoclinas es f(t, x) = c.La orden de Mathematica

Plot[f,{x,xmin,xmax]}]

dibuja la grafica de la funcion f(x) entre los valores(xmin, xmax) y

ContourPlot[f==c1,f==c2,

{t,tmin,tmax},{x,xmin,xmax}]

dibuja las isoclinas f(t, x) = c1 y f(t, x) = c2 en el rectanguloR.




Isoclinas. x′ = x2 − t

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3




Campo de pendientes. Isoclinas. x′ = x2 − t

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3




Campo de pendientes. Isoclinas. Solucion.x′ = x2 − t

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3




x′ = −tx

Ejemplo

Sea la ED x′ = −tx. Las ecuaciones de las isoclinas son−tx = c.Ası que los ejes son isoclinas que corresponden a c = 0.Si c 6= 0, la isoclina es una hiperbola.




Campo de pendientes. Isoclinas. Solucion.x′ = −tx

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

t

x




Ejemplo

Sea la ED x′ = 2t− x.Las isoclinas son las rectas 2t− x = c.Las soluciones tienen la forma x(t) = ke−t + 2t− 2, como puedecomprobarse mediante sustitucion en la ED.Tambien se puede ver que x = 2t− 2 es una asıntota de todaslas soluciones con k 6= 0.Ademas esta lınea es tambien una solucion (la que correspondea k = 0). Este es uno de los casos raros en que una isoclinatambien es solucion.




Ejemplo

Sea la ED x′ = x2 − t.Las isoclinas son de la forma x2 − t = c, ası que son parabolas.Esta ED es de especial interes porque aunque parece simple, nohay formulas en terminos de funciones elementales, o inclusoen terminos de integrales de funciones elementales, para lassoluciones.Una demostracion de este sorprendente hecho no es facil. Peroesto no significa que no hay soluciones, simplemente que no hayformulas para ellas.




Un hecho a destacar del dibujo de las soluciones sobre uncampo de pendientes es que nos permite visualizar y examinarel comportamiento de soluciones para las que no hay formulas.




El problema de valor inicial

Dado (t0, x0) ∈ D, el problema de valor inicial consiste endeterminar la existencia y, en su caso, la unicidad de solucionesx de (1) tales que x(t0) = x0. Es decir, soluciones de

x′ = f(t, x), x(t0) = x0. (2)

Se dice que (2) es un problema de valor inicial y que (t0, x0) esuna condicion inicial.




La orden basica en Mathematica para resolver ecuacionesdiferenciales simbolicamente es DSolve. Calcula todas lassoluciones y resuelve el problema de valor inicial.La orden

solucion = DSolve[ecuacion,x,t] ,

donde “ecuacion”tiene la forma

x’[t]==f(t,x[t]), x[t0]==x0

resuelve en algunos casos el problema de valor inicial.




Para dibujar la grafica de la solucion en el intervalo(tmin, tmax) se utiliza

Plot[Evaluate[x[t] /. solucion],{t,tmin,tmax} ] .

Si se suprime la condicion inicial, se obtienen todas lassoluciones que Mathematica puede hallar. Tambien se puederesolver numericamente el problema de valor inicial en elintervalo (tmin, tmax) mediante la orden

solucion = NDSolve[ecuacion,x,{t,tmin,tmax}] .



Ecuaciones del tipo x′ = g(t)Ecuaciones autonomasEcuaciones de variables separadasEcuaciones lineales

Integracion elemental

Esta parte presenta metodos que nos permiten obtener formulaspara las soluciones.Es muy convenente y sencillo establecer hipotesis bajo las cualeslos metodos de integracion funcionan.Tambien se aprovechara la oportunidad para enunciar losteoremas de existencia y unicidad de soluciones del problema devalor inicial, que seran probados en la asignatura Ampliacion deEcuaciones Diferenciales.




Sea g : I → R, continua en el intervalo I de R. El conjunto desoluciones de la ecuacion diferencial es el conjunto de primitivasde g.En efecto, si G(t) es una primitiva de g(t), entoncesG′(t) = g(t). Recıprocamente, si x : I → R es una solucion,entonces x′(t) = g(t) es continua. Por tanto, por la regla deBarrow

x(t)− x(t0) =

∫ t

t0

x′(s) ds =

∫ t

t0

g(s) ds, t, t0 ∈ I,

es decir, x es una primitiva de g.




Notese que:

Todas las soluciones estan definidas en I, intervalo dedefinicion de g.

Si x(t) es solucion, tambien lo es x(t) + x0, donde x0 ∈ R.

La funcion x(t) = x0 +∫ tt0g(t) dt es la unica solucion del

problema de valor inicial x′ = g(t), x(t0) = x0.




Las ordenes

Integrate[g,t], Integrate[g,{t,tmin,tmax}]

calculan las integrales indefinida y definida de g(t).




Son ecuaciones diferenciales de la forma

x′ = f(x), (3)

donde f : U ⊂ R→ R.




Se empieza con la siguiente observacion elemental, aunqueimportante:

Proposicion

Si x : I → U es solucion de x′ = f(x) y t0 ∈ R, entoncesx(t+ t0) : − t0 + I → U , tambien es solucion, donde−t0 + I = {−t0 + t : t ∈ I}.

Demostracion.

Sea τt0(t) = t+ t0, entonces (x ◦ τt0)(t) = x(t+ t0). Aplicando laregla de la cadena

d(x ◦ τt0)

dt(t) =

dx

dt(τ0(t))

d(τt0)

dt(t)

=dx

dt(t+ t0) = f(x(t+ t0)) = f((x ◦ τt0)(t)).




Por lo tanto es suficiente estudiar el problema de valor inicial

x′ = f(x), x(0) = x0 ∈ U. (4)




El metodo de integracion

Ejemplo

Sea la ecuacion diferencial x′ = 1 + x2 y sea x(t) una solucion.Entonces

x′(t)

1 + x2(t)= 1, para todo t de su intervalo de definicion.

Integrando ∫x′(t)

1 + x2(t)dt = t+ C.

Por tanto,

arctan(x(t)) = t+ C, x(t) = tan(t+ C).





Ejemplo

Alternativamente, integrando entre 0 y t∫ t

0

x′(s)

1 + x2(s)ds = t =

∫ x(t)

x(0)

1

1 + x2dx.

Por tanto

arctanx(t)− arctanx(0) = t, x(t) = tan(t+ arctanx(0)).




x′ = f(x). El metodo de integracion

Supongase que U = (x1, x2), que f es continua y distinta decero en U . Se puede suponer que f es estrictamente positiva.

Si x(t) es solucion, entonces

x′(t)

f(x(t))= 1.

Integrando, ∫x′(t)

f(x(t))dt = C + t,

donde C ∈ R.




x′ = f(x). El metodo de integracion

Supongase que U = (x1, x2), que f es continua y distinta decero en U . Se puede suponer que f es estrictamente positiva.Si x(t) es solucion, entonces

x′(t)

f(x(t))= 1.


f(x(t))dt = C + t,

donde C ∈ R.




Si H(x) =∫

dxf(x) , entonces H(x(t)) =

∫ x′(t)f(x(t)) dt.

La funcion H(x) tiene derivada estrictamente positiva y,por tanto, es estrictamente creciente y tiene funcioninversa, que se denota H−1.

En consecuenciaH(x(t)) = t+ C.

Despejando, x(t) = H−1(t+ C).





Recıprocamente, se comprueba mediante sustitucion en laecuacion diferencial que H−1(t+ C) es solucion.

Para determinar la solucion del problema de valor inicialx′ = f(x), x(0) = x0, se elige H(x) =

∫ xx0

dξf(ξ) .

Entonces x(t) = H−1(t).





Recıprocamente, se comprueba mediante sustitucion en laecuacion diferencial que H−1(t+ C) es solucion.Para determinar la solucion del problema de valor inicialx′ = f(x), x(0) = x0, se elige H(x) =

∫ xx0

dξf(ξ) .

Entonces x(t) = H−1(t).





Tambien se puede resolver el problema de valor inicialdirectamente integrando entre 0 y t.Si se integra entre 0 y t se obtiene aplicando la formula decambio de variable∫ t

0

x′(s)

f(x(s))ds =

∫ x(t)

x(0)

dx

f(x)= t.

Si se denota

H(x) =

∫ x

x(0)

dx

f(x),

entonces H es un difeomorfismo estrictamente creciente de(x1, x2) en (H(x1), H(x2)).





AdemasH(x(t)) = t

y despejandox(t) = H−1(t).

Recıprocamente, x(t) = H−1(t) es solucion del problema devalor inicial. En efecto, de H(x(t)) = t se sigue

H ′(x(t))x′(t) = 1,

x′(t) =1

H ′(x(t))= f(x(t)).




Se ha probado la

Proposicion

Sea f : (x1, x2)→ R continua y tal que f(x) 6= 0 para todox ∈ (x1, x2). Sea

H(x) =

∫ x

x0

dξ

f(ξ),

entonces H−1(t) es la unica solucion del problema de valorinicial x′ = f(x), x(0) = x0 ∈ U .




Cuando f se anula en puntos de U la situacion es algo mascomplicada. Notese que la funcion constante x(t) ≡ x0 ∈ U essolucion si y solo si f(x0) = 0.

Definicion

Se dice que x0 ∈ U es un punto de equilibrio o crıtico, sif(x0) = 0.




Ejemplo

Sea la ecuacion diferencial x′ = x. La funcion x(t) ≡ 0 essolucion. Supongase que cualquier otra solucion x(t) es tal quex(t) 6= 0 para todo t de su intervalo de definicion. Entonces

x′(t)

x(t)= 1, para todo t de su intervalo de definicion.

Integrando∫x′(t)

x(t)dt = t+K, ln |x(t)| = t+K, |x(t)| = eKet.

x(t) = ±eKet, x(t) = Cet, C ∈ R.




Ejemplo

Alternativamente, integrando entre 0 y t∫ t

0

x′(s)

x(s)ds = 1 =

∫ x(t)

x(0)

dx

xdx, ln |x(t)| − ln |x(0)| = t.

Por tanto

ln

∣∣∣∣ x(t)

x(0)

∣∣∣∣ = t,

∣∣∣∣ x(t)

x(0)

∣∣∣∣ = et.

Puesto que x(t) es continua, o bien x(t) > 0 para todo t, o bienx(t) < 0 para todo t. Ası que

x(t) = x(0)et




Ejemplo

Tambien se puede integrar la ecuacion diferencial x′ = x sindividir por x. En efecto, sea x(t) una solucion. Entonces

x′(t)− x(t) = 0, 0 = e−t(x′(t)− x(t)) = (x(t)e−t)′.

Ası que por el teorema del valor medio

x(t)e−t = C, x(t) = Cet,

donde C ∈ R. El recıproco es obvio.




Tal como ilustra la ecuacion diferencial x′ = 3x23 , en general por

cada condicion inicial pasan infinitas soluciones de x′ = f(x),siendo f continua.




Ejemplo

Sea la ecuacion diferencial x′ = 3x23 . La funcion identicamente

nula es solucion. Supongase que x(t) es una solucion que no seanula en ningun punto de su intervalo de definicion. Entonces

1

3x(t)−

23x′(t) = 1.

Integrando entre 0 y t y aplicando la formula de cambio devariable, se obtiene

1

3

∫ t

0x(t)−

23x′(t) dt =

1

3

∫ x(t)

x(0)x−

23 dx

=x(t)13 − x(0)

13 = t.




Ejemplo

Si llamamos t0 = x(0)13 , se tiene

x(t) = (t+ t0)3, (t > −t0) o (t < −t0).

Pero para cualesquieras t1 < t0 < t2 tambien son soluciones quecumplen la condicion inicial x(t0) = 0,

x(t) =

−(t− t1)3, si t ≤ t10, si t1 < t < t2

(t− t2)3, si t ≥ t2,




Si f ∈ C1(U), entonces el problema de valor inicial tiene unaunica solucion. En efecto, se verifica el siguiente resultado cuyademostracion se hara en la asignatura Ampliacion deEcuaciones Diferenciales.

Teorema

Sea f ∈ C1(U), donde U es abierto. Para cada x0 ∈ U haysolucion del problema de valor inicial x′ = f(x), x(0) = x0. Six(t) e y(t) son dos soluciones del pvi, entonces coinciden en suintervalo comun de definicion.




Ejemplo

Sea la ecuacion diferencial x′ = x2 − 1. Las funciones x(t) ≡ ±1son dos soluciones constantes. Puesto que f(x) = x2 − 1 es declase 1 en R, cualquier otra solucion x(t) cumple que x(t) 6= ±1para todo t de su intervalo de definicion. Entonces

x′(t)

x2(t)− 1= 1

De la descomposicion en fracciones simples

1

x2 − 1=

1

2

(1

x− 1− 1

x+ 1

),

e integrando, se obtiene∫x′(t)

x2(t)− 1dt =

1

2ln

∣∣∣∣x(t)− 1

x(t) + 1

∣∣∣∣ = t+K.




Ejemplo

Sea C = e2K y tengase en cuenta que x(t)−1x(t)+1 no cambia de

signo. Entonces si es negativa,

x(t)− 1

x(t) + 1= −Ce2t.

Despejando,

x(t) =1− Ce2t

1 + Ce2t.

La solucion esta definida en todo R.




Ejemplo

Si x(t)−1x(t)+1 es positiva, entonces

x(t)− 1

x(t) + 1= Ce2t.

Despejando,

x(t) =1 + Ce2t

1− Ce2t.

La solucion tiene una asıntota vertical, de modo queesta definida en un intervalo de la forma (−∞, t0) o (t0,∞).




Ejemplo

Si x′(t) > 0 (resp. x′(t) < 0), entonces x(t) esestrictamente creciente (resp. decreciente).

Puesto que x′(t) = x2(t)− 1, las soluciones sonestrictamente decrecientes en la banda −1 < x < 1 yestrictamente crecientes en las bandas x > 1 y x < −1.




Ejemplo

Alternativamente, integrando entre 0 y t, se obtiene

t =

∫ t

0

x′(s)

x2(s)− 1ds =

∫ x(t)

x(0)

dx

x2 − 1

=1

2

(ln

∣∣∣∣x(t)− 1

x(t) + 1

∣∣∣∣− ln

∣∣∣∣x(0)− 1

x(0) + 1

∣∣∣∣)

=1

2ln

∣∣∣∣∣∣x(t)−1x(t)+1

x(0)−1x(0)+1

∣∣∣∣∣∣ = t.




Ejemplo

Sea C = x(0)−1x(0)+1 . Entonces

Ce2t =x(t)− 1

x(t) + 1.

Despejando x(t), se obtiene

x(t) =1 + Ce2t

1− Ce2t.




Ejemplo

Si C < 0, la solucion esta definida en todo R. Si C > 0, lasolucion tiene una asıntota vertical, de modo que esta definidaen un intervalo de la forma (−∞, t0) o (t0,∞).

Si x′(t) > 0 (resp. x′(t) < 0), entonces x(t) esestrictamente creciente (resp. decreciente).

Puesto que x′(t) = x2(t)− 1, las soluciones sonestrictamente decrecientes en la banda −1 < x < 1 yestrictamente crecientes en las bandas x > 1 y x < −1.




Ecuaciones de variables separadas

Las ecuaciones diferenciales de variables separadas tienen laforma

x′ = g(t)f(x), (5)

donde f : (x1, x2)→ R y g : (t1, t2)→ R son funciones continuas.Una ecuacion autonoma es de variables separadas con g(t) ≡ 1.




x′ = g(t)f(x)

Ejemplo

Sea la ED x′ = a(t)(1 + x2) y sea x(t) una solucion. Entonces

x′(t)

1 + x2(t)= a(t).

Integrando entre t0 y t, se obtiene

arctanx(t)− arctanx(t0) =

∫ t

t0

a(s) ds := A(t).

Despejandox(t) = tan(A(t) + arctanx(t0)).




El metodo de integracion. x′ = g(t)f(x)

Sea la ED x′ = g(t)f(x) donde f : (x1, x2)→ R y g : (t1, t2)→ Rson funciones continuas. Supongase que f(x) 6= 0 para todox ∈ (x1, x2); por ejemplo, f(x) > 0.Si x(t) es solucion tal que x(t0) = x0, entonces

x′(t) = f(x(t))g(t).






f(x(t))dt =

∫g(t) dt+ C,

donde C ∈ R.

Si H(x) es una primitiva de 1/f(x), entonces

H(x(t)) =∫ x′(t)f(x(t)) dt.

La funcion H(x) tiene derivada estrictamente positiva y, portanto, es estrictamente creciente. En consecuencia tiene funcioninversa, que se denota por H−1. Con esta notacion

H(x(t)) = G(t) + C,

donde G(t) es una primitiva de g(t). Despejando,x(t) = H−1(G(t) + C).Recıprocamente, se comprueba sustituyendo en la ecuaciondiferencial que H−1(G(t) + C) es solucion.






f(x(t))dt =

∫g(t) dt+ C,

donde C ∈ R.Si H(x) es una primitiva de 1/f(x), entonces

H(x(t)) =∫ x′(t)f(x(t)) dt.


H(x(t)) = G(t) + C,







f(x(t))dt =

∫g(t) dt+ C,


H(x(t)) =∫ x′(t)f(x(t)) dt.


H(x(t)) = G(t) + C,

donde G(t) es una primitiva de g(t). Despejando,x(t) = H−1(G(t) + C).

Recıprocamente, se comprueba sustituyendo en la ecuaciondiferencial que H−1(G(t) + C) es solucion.






f(x(t))dt =

∫g(t) dt+ C,


H(x(t)) =∫ x′(t)f(x(t)) dt.


H(x(t)) = G(t) + C,






Sea (t0, x0) ∈ (t1, t2)× (x1, x2). Si se elige H(x) =∫ xx0

dξf(ξ) y

G(t) =∫ tt0g(τ) dτ , entonces x0 = x(t0) = H−1(C), de donde se

deduce que C = 0.





Tambien se puede resolver el problema de valor inicialdirectamente, integrando entre t0 y t.Si se integra entre t0 y t, se obtiene aplicando la formula decambio de variable∫ t

t0

x′(s)

f(x(s))ds =

∫ x(t)

x(t0)

dx

f(x)=

∫ t

t0

g(s) ds.




Si se denota

H(x) =

∫ x

x0

dx

f(x), G(t) =

∫ t

t0

g(s) ds,

entonces H es un difeomorfismo estrictamente creciente de(x1, x2) en H((x1, x2)). Ademas

H(x(t)) = G(t)

y despejandox(t) = H−1(G(t)).





Recıprocamente, x(t) = H−1(G(t)) es solucion del problema devalor inicial. En efecto,

(H−1 ◦G)′(t) = (H−1)′(G(t))G′(t)

=G′(t)

H ′(H−1(G(t)))

= f(H−1(G(t)))g(t).




Se ha probado la

Proposicion

Sean f : (x1, x2)→ R y g : (t1, t2)→ R continuas. Supongaseque f(x) 6= 0 para todo x ∈ (x1, x2). Sea(t0, x0) ∈ (t1, t2)× (x1, x2). Defınanse las funciones

H(x) =

∫ x

x0

dx

f(x), G(t) =

∫ t

t0

g(t) dt.

Entonces H−1(G(t)) es la unica solucion del problema de valorinicial x′ = f(x)g(t), x(t0) = x0.




Si f ∈ C1(U), entonces el problema de valor inicial tiene unaunica solucion. En efecto, se verifica el siguiente resultado cuyademostracion se hara en la asignatura Ampliacion deEcuaciones Diferenciales.

Teorema

Sean f ∈ C1(Uf ), donde Uf es abierto, y g : Ug → R continua.Para cada (t0, x0) ∈ Ug × Uf hay solucion del problema de valorinicial x′ = f(x)g(t), x(t0) = x0. Si x(t) e y(t) son dossoluciones del pvi, entonces coinciden en su intervalo comun dedefinicion.




Ejemplo

Sea la ED x′ = a(t)x2, donde a(t) es una funcion continuaen un intervalo. Se cumplen las hipotesis del teoremaanterior. Por tanto hay una unica solucion por cadacondicion inicial.

La funcion x(t) ≡ 0 es solucion, de modo que cualquierotra solucion o es estrictamente positiva o es estrictamentenegativa en todo punto de su intervalo de definicion.

Sea x(t) una solucion no nula. Entonces

x′(t) = a(t)x2(t), x−2(t)x′(t) = a(t).




Ejemplo

Integrando entre t0 y t, se obtiene∫ t

t0

x−2(s)x′(s) ds =

∫ x(t)

x(t0)x−2 dx =

∫ t

t0

a(s) ds.

De donde se deduce

1

x(t0)− 1

x(t)= A(t), x(t) =

x(t0)

1−A(t)x(t0),

donde A(t) =∫ tt0a(s) ds.




Ecuaciones lineales

Si a(t) y b(t) son funciones continuas definidas en elintervalo I, entonces

x′ = a(t)x+ b(t)

es una ED lineal de primer orden.

Se llama homogenea si b(t) ≡ 0. La ED lineal homogeneax′ = a(t)x es de variables separadas y verifica las hipotesisdel Teorema de existencia y unicidad.




Ecuaciones lineales homogeneas. x′ = a(t)x

La funcion identicamente nula es solucion y la solucion queverifica x(t0) = x0 6= 0 con t0 ∈ I, se obtiene por integracionelemental como sigue:∫ t

t0

a(t) =

∫ t

t0

x′(s)

x(s)ds

=

∫ x(t)

x(t0)

dx

x= ln

|x(t)||x(t0)|

.

De donde se deduce

x(t) = x0 exp

∫ t

t0

a(s) ds, (t ∈ I).





En este caso sencillo y sin hacer alusion al Teorema deexistencia y unicidad, se pueden obtener de una vez todas lassoluciones, integrando del siguiente modo: La funcion x : I → Res solucion si y solo si para todo t ∈ I,

x′(t)− a(t)x(t) = 0.





Se busca una funcion µ(t) 6= 0 para todo t, llamada factorintegrante, tal que

(µ(t)x(t))′ = µ′(t)x(t) + µ(t)x′(t) = µ(t)(x′(t)− a(t)x(t)) = 0.

De donde se deduce que

µ′(t) = −a(t)µ(t).

Integrando esta ecuacion diferencial de variables separadas, seobtiene

µ(t) = e−A(t),

donde A(t) =∫ tt0a(s) ds.





Por tanto

d

dt

(e−A(t)x(t)

)= e−A(t)(x′(t)− a(t)x(t)) = 0.

Del Teorema del valor medio, se obtiene que

e−A(t)x(t) = x(t0), (t ∈ I)

De donde se obtiene x(t) = x(t0)eA(t).





Observese que el conjunto de todas las soluciones de x′ = a(t)xes un subespacio vectorial unidimensional de C1(I).




Ecuaciones lineales. x′ = a(t)x+ b(t)

Para resolver la ecuacion diferencial lineal completa,x′ = a(t)x+ b(t), considerese una solucion x : I → R. Entoncespara todos t0, t ∈ I,

(x′(t)− a(t)x(t)) exp(−A(t)) = exp(−A(t))b(t).

Por tanto

(x(t) exp(−A(t)))′ = b(t) exp(−A(t)).





Integrando entre t0 y t y despejando x(t) se obtiene

x(t) exp(−A(t))− x(t0) =

∫ t

t0

b(s) exp(−A(s)) ds.

Despejando x(t), se llega a

x(t) = x(t0) expA(t) + expA(t)

∫ t

t0

b(s) exp(−A(s)) ds





Finalmente, teniendo en cuenta que

exp(A(t)−A(s)) = exp

(∫ t

sa(τ) dτ

),

se obtiene

x(t) = x(t0) exp

(∫ t

t0

a(s) ds

)+

∫ t

t0

b(s) exp

(∫ t

sa(τ) dτ

)ds.

Derivando respecto de t en la formula anterior, se obtiene quex(t) es solucion de la EDL.





La discusion anterior se resume en el siguiente teorema deexistencia y unicidad de soluciones del problema de valor inicial.

Teorema

Sean a, b : I → R funciones continuas en el intervalo I. Sea(t0, x0) ∈ I × R. El problema de valor inicial

x′ = a(t)x+ b(t), x(t0) = x0,

tiene la unica solucion definida en todo el intervalo I,

x(t) = x0 exp

(∫ t

t0

a(s) ds

)+

∫ t

t0

b(s) exp

(∫ t

sa(τ) dτ

)ds.


Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden -...

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