Mate5_unidad4. Ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
Ecuaciones diferenciales homogéneas
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ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS
Ecuaciones diferenciales homogéneas son aquellas ecuaciones diferenciales que se
pueden escribir como una función exclusiva de y/x:
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• Es homogénea si P y Q son funciones homogéneas del mismo grado. Esto es así, pues podemos poner:
Una ecuación de la forma
![Page 3: Ecuaciones diferenciales homogéneas](https://reader038.fdocuments.es/reader038/viewer/2022100604/559791901a28ab3d798b45fe/html5/thumbnails/3.jpg)
Y si se verifica la condición pedida:
En particular, haciendo t = 1/x resulta:
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Para resolver una ecuación homogénea hacemos el cambio (y, x) a (v, x), con v =
y/x. En esas condiciones podemos poner:
Que es una ecuación de variables separadas:
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Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial:
Haciendo el cambio v = y/x tenemos:
![Page 6: Ecuaciones diferenciales homogéneas](https://reader038.fdocuments.es/reader038/viewer/2022100604/559791901a28ab3d798b45fe/html5/thumbnails/6.jpg)
Y separando variables para integrar:
Donde para encontrar el valor de los
coeficientes indeterminados A y B hacemos:
![Page 7: Ecuaciones diferenciales homogéneas](https://reader038.fdocuments.es/reader038/viewer/2022100604/559791901a28ab3d798b45fe/html5/thumbnails/7.jpg)
Y dando a v los valores 0 y -1, respectivamente, obtenemos A = 1, B
= -1 y nos queda:
Y tomando antilogaritmos:
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Vamos a ver ahora cual es la forma general del factor integrante de una ecuación homogénea.
Sea la ecuación diferencial
Si P(x, y) y Q(x, y) son funciones homogéneas del mismo grado, n, tomando t = 1/x, resulta:
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Si hacemos el cambio v = y/x tenemos:
Y sustituyendo en la expresión anterior:
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Que también podemos poner:
Multiplicando ahora todos los términos por el factor:
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Resulta, finalmente:
Que es una ecuación de variables separadas cuya resolución ya conocemos.
Separamos e integramos cada variable.