APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Y ECUACION DIFERENCIAL DE RICATTI

Presentado por: Sara Natalia Moya. Presentado a: Anbal Muoz. Espacio acadmico: Ecuaciones Diferenciales. Programa de Qumica. Facultad de Ciencias Bsicas y tecnolgicas.Armenia-Quindo

APLICACIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

DECAIMIENTO RADIOACTIVO

El ncleo de un tomo est formado por combinaciones de protones y neutrones. Muchas de esas combinaciones son inestables, esto es, los tomos se desintegran o se convierten en tomos de otras sustancias. Se dice que estos ncleos son radiactivos. Por ejemplo, con el tiempo, el radio Ra 226, intensamente radiactivo, se transforma en el radiactivo gas radn Rn-222. Para modelar el fenmeno del decaimiento radioactivo, se supone la razn dA/dt con la que los ncleos de una sustancia se desintegran es proporcional a la cantidad (ms precisamente, el nmero de ncleos), A(t) de la sustancia que queda al tiempo t:(1)Para este caso k < 0. El modelo de desintegracin de la ecuacin tambin se aplica a sistemas biolgicos tales como la determinacin de la vida media de un medicamento, es decir, el tiempo que le toma a 50% del medicamento ser eliminado del cuerpo por excrecin o metabolizacin. En qumica el modelo del decaimiento, se presenta en la descripcin matemtica de una reaccin qumica de primer orden. Lo importante aqu es:Una sola ecuacin diferencial puede servir como modelo matemtico de muchos fenmenos distintos.

LEY DE ENFRIAMIENTO/CALENTAMIENTO DE NEWTON

De acuerdo con la ley emprica de Newton de enfriamiento/calentamiento, la rapidez con la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre las temperaturas del cuerpo y la del medio que lo rodea, que se llama temperatura ambiente. Si T(t( representa la temperatura del cuerpo al tiempo t, Tm es la temperatura del medio que lo rodea y dT/dt es la rapidez con que cambia la temperatura del cuerpo, entonces la ley de Newton de enfriamiento/calentamiento traducida en expresin matemtica es

Donde k es una constante de proporcionalidad. En ambos casos, enfriamiento o calentamiento, si Tm es una constante, se establece que k < 0.PROPAGACION DE UNA ENFERMEDAD

Una enfermedad contagiosa, por ejemplo un virus de gripe, se propaga a travs de una comunidad por personas que han estado en contacto con otras personas enfermas. Sea que x(t) denote el nmero de personas que han contrado la enfermedad y sea que y(t) denote el nmero de personas que an no han sido expuestas al contagio. Es lgico suponer que la razn dxdt con la que se propaga la enfermedad es proporcional al nmero de encuentros, o interacciones, entre estos dos grupos de personas. Si suponemos que el nmero de interacciones es conjuntamente proporcional a x(t) y y(t), esto es, proporcional al producto xy, entonces(*)Donde k es la constante usual de proporcionalidad. Suponga que una pequea comunidad tiene una poblacin fi ja de n personas. Si se introduce una persona infectada dentro de esta comunidad, entonces se podra argumentar que x(t) y y(t) estn relacionadas por x + y = n. Utilizando esta ltima ecuacin para eliminar y en la ecuacin (*) se obtiene el modelo

REACCIONES QUIMICAS

La desintegracin de una sustancia radiactiva, caracterizada por la ecuacin diferencial (l), se dice que es una reaccin de primer orden. En qumica hay algunas reacciones que siguen esta misma ley emprica: si las molculas de la sustancia A se descomponen y forman molculas ms pequeas, es natural suponer que la rapidez con que se lleva a cabo esa descomposicin es proporcional a la cantidad de la primera sustancia que no ha experimentado la conversin; esto es, si X(t) es la cantidad de la sustancia A que permanece en cualquier momento, entonces dX/dt = kX, donde k es una constante negativa ya que X es decreciente. Un ejemplo de una reaccin qumica de primer orden es la conversin del cloruro de terbutilo, (CH3)3CCl en alcohol t-butlico (CH3)3 COH: (CH3)3CCl + NaOH ---- (CH3)3COH + NaCl. Slo la concentracin del cloruro de terbutilo controla la rapidez de la reaccin. Pero en la reaccin CH3Cl + NaOH CH3H + NaCl Se consume una molcula de hidrxido de sodio, NaOH, por cada molcula de cloruro de metilo, CH3Cl, por lo que se forma una molcula de alcohol metlico, CH3OH y una molcula de cloruro de sodio, NaCl. En este caso, la razn con que avanza la reaccin es proporcional al producto de las concentraciones de CH3Cl y NaOH que quedan. Para describir en general esta segunda reaccin, supongamos una molcula de una sustancia A que se combina con una molcula de una sustancia B para formar una molcula de una sustancia C. Si X denota la cantidad de un qumico C formado al tiempo t y si y son, respectivamente, las cantidades de los dos qumicos A y B en t = 0 (cantidades iniciales), entonces las cantidades instantneas no convertidas de A y B al qumico C son - X y - X, respectivamente. Por lo que la razn de formacin de C est dada por

Donde k es una constante de proporcionalidad. Una reaccin cuyo modelo es la ecuacin anterior se dice que es una reaccin de segundo orden.MEZCLAS

Al mezclar dos soluciones salinas de distintas concentraciones surge una ecuacin diferencial de primer orden, que defi ne la cantidad de sal contenida en la mezcla. Supongamos que un tanque mezclador grande inicialmente contiene 300 galones de salmuera (es decir, agua en la que se ha disuelto una cantidad de sal). Otra solucin de salmuera entra al tanque con una razn de 3 galones por minuto; la concentracin de sal que entra es 2 libras/galn. Cuando la solucin en el tanque est bien mezclada, sale con la misma rapidez con que entra. Si A(t) denota la cantidad de sal (medida en libras) en el tanque al tiempo t, entonces la razn con la que A(t) cambia es una razn neta:(*)La razn de entrada Rentra con la que entra la sal en el tanque es el producto de la concentracin de entrada de sal por la razn de entrada del fluido. Observe que Rentra est medida en libras por minuto:

Ahora, puesto que la solucin sale del tanque con la misma razn con la que entra, el nmero de galones de la salmuera en el tanque al tiempo t es una constante de 300 galones. Por lo que la concentracin de la sal en el tanque as como en el flujo de salida es c(t) = A(t)/300 lb/gal, por lo que la razn de salida Rsale de sal es

La razn neta, ecuacin (*) entonces ser

DRENADO DE UN TANQUE

En hidrodinmica, la ley de Torricelli establece que la rapidez v de salida del agua a travs de un agujero de bordes afilados en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una profundidad h es igual a la velocidad de un cuerpo (en este caso una gota de agua), que est cayendo libremente desde una altura h - esto es, v = , donde g es la aceleracin de la gravedad. Esta ltima expresin surge al igualar la energa cintica, mv2 con la energa potencial, mgh, y despejar v. Suponga que un tanque lleno de agua se vaca a travs de un agujero, bajo la infl uencia de la gravedad. Queremos encontrar la profundidad, h, del agua que queda en el tanque al tiempo t. Si el rea del agujero es Ah, (en pies2) y la rapidez del agua que sale del tanque es v = (en pies/s), entonces el volumen de agua que sale del tanque, por segundo, es Ah (en pies3 /s). As, si V(t) denota al volumen de agua en el tanque al tiempo t, entonces

CRCUITOS EN SERIE

Considere el circuito en serie simple que tiene un inductor, un resistor y un capacitor. En un circuito con el interruptor cerrado, la corriente se denota por i(t) y la carga en el capacitor al tiempo t se denota por q(t). Las letras L, R y C son conocidas como inductancia, resistencia y capacitancia, respectivamente y en general son constantes. Ahora de acuerdo con la segunda ley de Kirchhoff, el voltaje aplicado E(t) a un circuito cerrado debe ser igual a la suma de las cadas de voltaje en el circuito. Como la corriente i(t) est relacionada con la carga q(t) en el capacitor mediante i = dq/dt, sumamos los tres voltajes

E igualando la sima de los voltajes con el voltaje aplicado se obtiene la ecuacin diferencial de segundo orden

REACCIONES QUIMICAS

Suponga que a gramos de una sustancia qumica A se combinan con b gramos de una sustancia qumica B. Si hay M partes de A y N partes de B formadas en el compuesto y X(t) es el nmero de gramos de la sustancia qumica C formada, entonces el nmero de gramos de la sustancia qumica A y el nmero de gramos de la sustancia qumica B que quedan al tiempo t son, respectivamente,(*)La ley de accin de masas establece que cuando no hay ningn cambio de temperatura, la razn con la que reaccionan las dos sustancias es proporcional al producto de las cantidades de A y de B que an no se han transformado al tiempo t:

Si se saca el factor M/(M + N) del primer factor y N/(M + N) del segundo y se introduce una constante de proporcionalidad k > 0, la expresin (*) toma la forma

Donde = a(M + N)/M y = b(M + N)/N.EJEMPLO 1. VIDA MEDIA DEL PLUTONIO

Un reactor de cra convierte uranio 238 relativamente estable en el istopo plutonio 239. Despus de 15 aos, se ha determinado que 0.043% de la cantidad inicial A0 de plutonio se ha desintegrado. Determine la vida media de ese istopo, si la razn de desintegracin es proporcional a la cantidad que queda. SOLUCIN Sea A(t) la cantidad de plutonio que queda al tiempo t. Como en el ejemplo 1, la solucin del problema con valores iniciales A(0) = A0es A(t) = A0 ekt. Si se ha desintegrado 0.043% de los tomos de A0, queda 99.957%. Para encontrar la constante k, usamos 0.99957A0 = A(15), es decir, 099957 A0 = A0e15k . Despejando k se obtiene k = ln 0.99957 = -0.00002867. Por tanto A(t) = A0 e-0,00002867t . Ahora la vida media es el valor del tiempo que le corresponde a A(t) = A0. Despejando t se obtiene A0 = A0 e0,00002867t o = e0,00002867t . De la ltima ecuacin se obtienet = EJEMPLO 2. EDAD DE UN FOSIL

Se encuentra que un hueso fosilizado contiene la centsima parte de la cantidad de C-14 encontrada en la materia viva. Determine la edad del fsil. SOLUCIN El punto de partida es, de nuevo, A(t) = A0 ekt. Para determinar el valor de la constante de decaimiento k, usamos el hecho de que A0 = A (5600) o A0 = A0 e5600k. De 5600k = ln = - ln 2 , obtenemos k = - (1n 2)/5600 = -0.00012378, por tanto A(t) = A0 e-0,00012378t . Con A(t) = A0 = A0 e 0,00012378t, por lo que -0.00012378t = ln = -ln 1000. As la edad del fsil es aproximadamente

ECUACION DIFERENCIAL DE RICATTI

Una ecuacin diferencial de la forma

Recibe el nombre de ecuacin diferencial de RICCATI. Esta ecuacin diferencial no se puede resolver por los mtodos convencionales, sin embargo si se conoce una solucin particular y = (x) , el cambio de variable y = (x) + z transforma la ecuacin dada en una ecuacin que se puede resolver con facilidad.

En general, esta ecuacin no se integra en cuadraturas (la bsqueda de la solucin no puede reducirse a un nmero finito de integraciones sucesivas).

Si se conoce una solucin particular, y1(x), entonces, introduciendo una nueva variable z tal que:

La ecuacin diferencial de Riccati se reduce a una ecuacin diferencial lineal puesto que podemos poner:

Y sustituyendo en (R1):

Pero teniendo en cuenta que y1es solucin de (R1) se verificar:

Por lo que sustituyendo y simplificando tendremos:

Que es una ecuacin lineal en z.

Integrada esta ltima ecuacin y hallada z, se podr pasar a y por la equivalencia dada.

Si se conoce otra solucin ms, y2, de la ecuacin diferencial del Riccati, entonces:

Es una solucin particular de la ecuacin lineal para la variable z, lo cual nos permite simplificar su integracin.

Si para la ecuacin diferencial de Riccati se conocen tres soluciones particulares y1, y2e y3, entonces su integral general es:

Resultado que se puede enunciar diciendo que la razn doble de cuatro integrales particulares de la ecuacin diferencial de Riccati es constante. BIBLIOGRAFIAEcuaciones diferenciables con problemas de valores en la frontera. Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. 5a edicion.