ECUACIONES EMPÍRICAS

1. OBJETIVO:1.1. Determinar una ecuación empírica para el péndulo simple que relacione el

periodo (t) y la masa(m).1.2. Determinar una ecuación empírica para el péndulo simple que relacione el

periodo (t) y la longitud.

2. FUNDAMENTO TEORICO:

METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS

Uno de los tipos más comunes e interesantes de experimento involucra la medición de varios valores de dos diferentes variables físicas a fines de investigar la relación matemática entre las dos variables. Ud. mismo ha realizado experimentos de esta clase en este curso. Sin embargo, en dichos experimentos el ajuste de los datos a una función propuesta, tal como una línea recta, fue realizada en forma cualitativa, es decir, a ojo. Existen formas cuantitativas de encontrar el valor de los parámetros que mejor representan a un conjunto de datos, y es precisamente este tema el que trataremos en esta Sección. Le recomendamos nuevamente que, además del breve desarrollo incluído en este apunte, consulte la bibliografía recomendada por la Cátedra.

Probablemente, los experimentos más comunes del tipo descrito más arriba son aquellos para los cuales la relación esperada entre las variables es lineal. Por ejemplo, si creemos que un cuerpo está cayendo con aceleración constante g, entonces su velocidad v debería ser una función lineal del tiempo t,

v = v0 + gt.

En forma más general, consideraremos un par cualquiera de variables físicas x e y de las cuales sospechemos que están relacionadas por una relación lineal de la forma

 

y = A + Bx,

 

donde A y B son constantes. Si las dos variables y y x están relacionadas de esta manera, entonces un gráfico de y versus x debiera resultar en una línea recta de pendiente B, que intersecta al eje y en y = A. Si medimos N diferentes valores de x y los correspondientes valores de y, y si nuestras mediciones no están sujetas a incerteza alguna, entonces cada uno de los puntos (xi, yi) caería exactamente sobre la línea y = A + Bx. En la práctica, existen

incertezas, y lo mejor que podemos esperar es que la distancia entre cada punto y la recta sea razonable comparada con las incertezas, tal como en el caso de la siguiente figura:

 

Las inevitables incertezas experimentales se muestran a través de las barras de error, y sólo podemos esperar que los puntos estén razonablemente cerca de la recta. En este caso, sólo la variable y está sujeta a incertezas apreciables.

 

Cuando realizamos una serie de mediciones de este tipo, podemos hacernos dos preguntas. En primer lugar, si tomamos por garantido que y y x están relacionadas linealmente, entonces el problema es encontrar la recta y = A + Bx que mejor se ajusta a las mediciones, es decir, las mejores estimaciones para los valores de A y B. Este problema puede tratarse gráfica o analíticamente. El método analítico de encontrar la mejor recta que se ajusta a una serie de datos experimentales es llamado regresión lineal, o ajuste de mínimos cuadrados para una recta.

La segunda pregunta que surge es si los valores medidos realmente llenan nuestras expectativas acerca de la linealidad entre y y x. Para contestar a esta pregunta, deberíamos primero encontrar la recta que mejor se ajusta a los datos, y además encontrar alguna forma de medir qué tan bien esta línea se ajusta a los datos. Si conocemos las incertezas asociadas a los datos, como en el caso de la figura 5, podemos evaluar el ajuste visualmente. Si no tenemos una

estimación confiable de las incertezas, entonces tenemos que analizar la bondad del ajuste examinando la distribución de los puntos mismos. Este problema, relacionado con los conceptos de covarianza y correlación, no será tratado en esta Sección.

Vayamos a la cuestión de encontrar la recta y = A + Bx que mejor se ajusta a un conjunto de puntos (x1, y1),..., (xN, yN). Para simplificar nuestra discusión, supondremos que sólo las incertezas de la variable y son apreciables. Esta suposición es frecuentemente muy razonable, porque es común el caso en que las incertezas en una variable son muchos más grandes que en la otra. Supondremos además que todas las incertezas en y tiene la misma magnitud. (Esta suposición es también razonable en muchos experimentos. Si las incertezas fueran diferentes, existen formas de generalizar el análisis dándole un peso adecuado a las distintas mediciones).

Si conociéramos las constantes A y B, entonces, para cualquier valor xi podríamos calcular el verdadero valor yi que le corresponde:

 

(verdadero valor de yi) = A + B xi.

 

La desviación de esta magnitud respecto al valor medido se puede escribir entonces como:

 

yi = yi – (A + B xi).

 

Intuitivamente, vemos que un criterio razonable para elegir la recta que mejor se ajusta a los puntos experimentales es elegir aquella que minimice la suma de los cuadrados de las desviaciones individuales d yi. Esto significa que el valor de los parámetros A y B estará dado por las siguientes dos condiciones:

 

(/A)[(yi)2] = -2 (yi - A - B xi)2 = 0

(/B)[(yi)2] = -2 xi (yi - A - B xi)2 = 0.

 

La resolución simultánea de estas ecuaciones resulta en las expresiones siguientes (demuéstrelo!):

 

A = ( xi2 yi - xi xi yi )/ ,

B = ( N xi yi - xi yi )/ ,

 

donde

= N xi2 - (xi )2 .

 

Como vemos, la aplicación del criterio de minimización de la suma de los cuadrados de las desviaciones resulta en la obtención de resultados objetivos para los parámetros A y B. Además de que este criterio es intuitivamente razonable, se puede demostrar que si la medición de cada yi está gobernada por una distribución Gaussiana, entonces la mejor estimación de los parámetros A y B es aquella que minimiza la suma (yi)2.

3. MATERIAL Y EQUIPO:

- Un péndulo simple.- Un juego de pesas ( 50, 100, 200, 500, 550 g)- Un hilo de suspensión.- Una wincha.- Un transportador.- Un cronometro.

4. PROCEDIMIENTO:

4.1. Monte el equipo como se muestra en la figura4.2. Manteniendo la longitud del péndulo constante ( 70 cm. ), y haciendo variar la

masa pendular, para cada valor de la masa, tome el tiempo de 10 oscilaciones y luego con sus resultados llene la tabla Nº 1.

Masa (g)Tiempo de 10 oscilaciones (s)

Periodo de oscilación (s)

T1 T2 T3 T50 16.46 16.50 16.40 1.65100 16.80 16.75 16.85 1.68200 16.96 16.82 16.98 1.69500 17.02 17.20 17.30 1.71550 17.20 17.30 17.40 1.73

4.3. manteniendo la masa del péndulo constante(100 g), y haciendo variar la longitud pendular, para cada valor de la longitud, tome el tiempo de 10 oscilaciones y luego con sus resultados llene la tabla Nº 2.

Longitud (cm)Tiempo de 10 oscilaciones (s)

Periodo de oscilación (s)

T1 T2 T3 T20 9.40 9.40 9.42 0.9440 13.00 12.94 13.20 1.3060 15.80 15.70 15.59 1.5680 18.00 18.03 18.02 1.80100 20.40 20.18 20.60 2.03120 22.30 22.15 22.40 2.23

5. CUESTIONARIO:

5.1. Graficar los valores de la tabla Nº 01: T vs M, en un papel milimetrado. Deduzca la ecuación de la relación.

Deducimos que es una función lineal. Donde:

Y = A + BX

Por el método de los mínimos cuadrados hallaremos A y B.

Donde:

A = (Xi2 Yi - Xi Xi Yi )/

B = ( N Xi Yi - Xi Yi ) /

DONDE : = NXi2 – (Xi )2

50 100 200 500 550

Entonces:

A= ( gr2. s )/ gr2

A= seg.

A = = 1.65 seg.

B =

B = = = 1.33 10-4 seg./gr

Entonces la ecuación será: Y = 1.65 + 1.33 10- 4X

5.2. Graficar los valores de la tabla Nº2: T vs. L en un papel milimetrado. Deduzca la ecuación de la relación.

T VS. L

0

0,5

1

1,5

2

2,5

1 2 3 4 5 6

LONGITUD

TIE

MP

O

Deducimos que es una función exponencial.

Y = CXD

Aplicando a ambos miembros logaritmo:

Ln Y = Ln CXD

20 40 60 80 100 120

Ln Y = Ln C + Ln XD

Ln Y = Ln C + D Ln X

Y’ = C’ + DX

Observamos que es una función lineal, entonces hallamos C’ Y D por el método de los mínimos cuadrados.

OBSERVACIÓN:Este caso X y Y estarán afectadas por el logaritmo.

→ C’ = (Xi2 Yi - Xi Xi Yi )/

D = ( N Xi Yi - Xi Yi ) /

DONDE : = NXi2 – (Xi )2

ENTONCES:

C’ =

C’= = = -1.49

AntiLn(- 1.49) = CC= 0.22

D =

D = = = 0.48

Entonces la ecuación sera :Y = 0.22X0.48

5.3. Graficar : logT vs. logL en un papel milimetrado. Usando el método de mínimos cuadrados determinar las constantes de la ecuación que relaciona los parámetros ( longitud y periodo de oscilación) y determine la ecuación final.

T Log T L Log L

0,94 -0,026 20 1,3

1,3 0,11 40 1,6

1,56 0,19 60 1,77

1,8 0,25 80 1,9

2,03 0,3 100 2

2,23 0,34 120 2,07

Log T vs log L

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Observamos que es una función lineal:

Y = A + BX

Por el método de los mínimos cuadrados hallaremos A y B.

Donde:

A = (Xi2 Yi - Xi Xi Yi )/

B = ( N Xi Yi - Xi Yi ) /

DONDE : = NXi2 – (Xi )2

ENTONCES:

A =

A = = = -0.63

B =

B = = 0.47

5.4. Según sus resultados obtenidos, estime el valor de la aceleración de la gravedad en la cuidad de Cajamarca.

Hallaremos la gravedad de Cajamarca con la formula del periodo ya demostrada en los libros universitarios. La cual es:

T = 2

Despejando “g”

g = ……… ( 1)

TOMANDO LOS VALORES DE LA TABLA Nº 2

L:80cm = 0.8 mT: 1.80 seg.

Reemplazando en la ecuación 1

g = m/s2

g = m/s2

g = 9.747 m/s2

6. CONCLUSIONES

El periodo es independiente a la masa del péndulo. El periodo es dependiente de la longitud de la cuerda del péndulo. Según los cálculos obtenidos la gravedad en la cuidad de Cajamarca es

aproximadamente 9.75 m/ s2

La ecuación empírica que relaciona el periodo y la masa del péndulo es: Y = 1.65 + 1.33 10- 4X

La ecuación empírica que relaciona el periodo y la longitud del péndulo es: Y = 0.22X0.48

7. SUGERENCIAS La longitud del hilo no debe ser demasiado pequeño pues nos dificulta

medir las oscilaciones del péndulo. No se debe tomar un ángulo de referencia muy pequeño, pues nos

dificulta medir la oscilación.

8. BIBLIOGRAFIA FÍSICA TEORÍA Y PROBLEMAS, Walter Pérez Terrel. fisica