*La ecuacin de un lugar geomtrico se obtiene a partir de un nmero suficiente de las propiedades nicas que lo definen.

Definicin de lnea recta. Llamamos lnea recta al lugar geomtrico de los puntos tales que tomado dos puntos diferentes cualesquiera y del lugar, el valor de la pendiente calculado por medio de la formula

resulta siempre constante.

ECUACION DE LA RECTA EN SU FORMA GENERAL

La ecuacin lineal en dos variables y de la forma:

se denomina forma general de la ecuacin de la recta, en donde los coeficientes A,B y C son nmeros reales cualesquiera, con la condicin de que A o B debe ser diferente de cero y C puede o no ser igual a cero.

Para saber si la ecuacin representa siempre una lnea recta, es necesario analizar su comportamiento para cuando el coeficiente de es igual o diferente de cero.

Caso I. Si , entonces , por lo que la ecuacin , se reduce a:

Esta forma corresponde a la ecuacin de una recta paralela al eje ; es decir:

Caso II. Si , al dividir la ecuacin por B, resulta:

Esta forma corresponde a la ecuacin de una recta de pendiente y ordenada en el origen, es decir , de donde:

Por lo anterior concluimos que la ecuacin , representa una recta

Teorema. La ecuacin lineal en las variables y , denotada por , representa una recta y recprocamente.

Ejemplos.

1. Hallar los valores que deben tener los coeficientes de la ecuacin general de una recta, para que pase por los dos puntos (-1,4) y (3,-2). De ah hallar la ecuacin de la recta.

Solucin. Como los dos puntos estn sobre la recta, sus coordenadas deben satisfacer la ecuacin de dicha recta. Por tanto, para el punto (-1,4), tenemos:

(3)Y para el punto (3,-2) tenemos

(4)

Resolviendo las ecuaciones (3) y (4) para A y B en trminos de C, obtenemos

Si sustituimos estos valores de A y B en la forma general, obtenemos

Dividiendo toda la ecuacin por C y simplificando, obtenemos como ecuacin de la recta

Cuyos coeficientes A=3, B=2, C=-5

Para graficar la ecuacin de la recta anterior, determinamos la abscisa y la ordenada en el origen, es decir:

Grficamente se tiene

2. Hallar la ecuacin de una recta en su forma general, si los segmentos que determina sobre los ejes x y y, es decir sus intercepciones, son (-8) y (5) respectivamente; transformarla a la forma comn.

Solucin. Al sustituir los datos dados en la ecuacin cannica de la recta, resulta:

Grficamente tenemos

3. Cules son la pendiente y la interseccin con el eje y de la recta cuya ecuacin es 3x-7y-21= 0?

Solucin. La ecuacin de la recta dada esta escrita en la forma general, cuyos coeficientes son:

La pendiente de la recta se determina por:

La interseccin de la recta con el eje y es:

Para representar grficamente la ecuacin de la recta dada, determinamos su interseccin con el eje x, es decir:

Grficamente tenemos:

FORMA CANONICA DE LA ECUACION DE LA RECTA

Laecuacin cannica o segmentariade la recta es la expresin de la recta en funcin de los segmentos que sta determina sobre los ejes de coordenadas.

aes laabscisa en el origende la recta.bes laordenada en el origende la recta.

Los valores deay debse se pueden obtener de la ecuacin general.

Si y = 0 resulta x = a.Si x = 0 resulta y = b.

Unarectacarece de la formacannicaen los siguientes casos:

1Recta paralela a OX, que tiene de ecuacin y = n2Recta paralela a OY, que tiene de ecuacin x = k3Recta que pasa por el origen, que tiene de ecuacin y = mx.

Esta ecuacin se suele utilizar para obtener la ecuacin de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuacin de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta interseca a los ejes.

Definicin de la parbola. Una parbola es el conjunto de todos los puntos en un plano que son equidistantes de un punto fijo y de una recta fija en el plano. El punto fijo se llama foco y la recta fija, directriz. El punto F es el foco y la recta D la directriz. El punto V, a la mitad entre el foco y la directriz, debe pertenecer a la parbola. Este punto se llama vrtice.

FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA PARABOLAAl desarrollar las ecuaciones de la parbola escritas en su segunda forma ordinaria, tenemos que:

Al ordenar los trminos e igualar a cero las ecuaciones, tenemos:

Para la ecuacin (1), estableciendo las siguientes igualdades:

Y si C es el coeficiente de , al sustituir, resulta:

Para la ecuacin (2), establecemos las siguientes igualdades:

Y si A es el coeficiente de , al sustituir, resulta:

Ejemplos.

1. Determinar la ecuacin de la parbola en su forma general, sabiendo que las coordenadas de su foco son F(4,-3) y la ecuacin de su directriz es y=1

Solucin. De la definicin de la parbola, tenemos que:

Al sustituir los datos conocidos, tenemos:

Al elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuacin, resulta:

2. Encontrar la ecuacin de la parbola cuyo vrtice esta en (5.-2) y su foco en (5,-4).

Solucin. Como el foco esta debajo del vrtice, la parbola es vertical y se abre hacia abajo, la distancia del vrtice al foco es p=2, y por lo tanto su ecuacin es:

Es decir:

Si queremos obtener la forma general, desarrollamos el binomio y efectuamos las reducciones necesarias y se obtiene:

3. Encontrar los elementos de la parbola cuya ecuacin es: Y esbozar el grafico.

Solucin. Como la variable que esta al cuadrado es y, y la directriz de la parbola es horizontal. Pasamos todos los trminos en y de una lado de la ecuacin y los dems del otro lado.

En el primer miembro completamos el trinomio cuadrado perfecto y sumamos el mismo trmino del otro lado de la ecuacin para no alterar la igualdad.

Es decir:

El vrtice es V(3,5); la distancia del vrtice al foco es p=12/4=3, la parbola se abre hacia la derecha, asi que el foco es F(3+3,5)=F(6,5). La directriz es la recta, L:x=3-3=0.

Definicin de la Hiprbola. La hiprbola es el lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos siempre es constante y menor que la distancia entre los focos.

FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA HIPERBOLA

Si desarrollamos la forma reducida de las ecuaciones de la hiprbola , obtenemos la forma general de la hiprbola

Desarrollamos:

Agrupamos y ordenamos:

Si en la expresin anterior hacemos

Podemos escribir la ecuacin (1) en la forma siguiente:

Si desarrollamos , obtenemos el mismo resultado que el anterior.Si la forma incluye el termino Bxy, representa una hiprbola inclinada, y en este caso ser necesario realizar una rotacin de ejes para que se elimine este termino. En el caso de la hiprbola, la grafica que se obtenga de la ecuacin puede ser la de una hiprbola o de un par de rectas que se cortan.Ejemplos de ecuaciones de hiprbola expresadas en su forma general:

Ejemplos.

1. Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuacin de la forma:

DondeA y B tienen signos opuestos.

Hallar la ecuacin de la hiprbola de foco F(7, 2), de vrtice A (5,2) y de centro C(3, 2).

Ecuacin de la hiprbola de eje vertical

Si elcentrode la hiprbolaC(x0, y0)y el eje principal es paralelo a OY, losfocostienen de coordenadasF(X0, y0+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuacin de la hiprbola ser:

2. Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuacin de la forma:

DondeA y B tienen signos opuestos.

Hallar la ecuacin de la hiprbola de foco F(-2, 5), de vrtice A (-2, 3) y de centro C(-2, -5).

3. Dada la hiprbola cuya ecuacin viene dada por:. Determine: coordenadas de los focos, de los vrtices, ecuaciones de las asntotas. Trazar la grfica.

La ecuacin:, puede escribirse en las formas equivalentes:

La ltima ecuacin corresponde a una hiprbola cuyo eje focal coincide con el eje y(fig. 6.5.14.)

fig. 6.5.14.

En este caso:. Luego,.

Con estos datos, se tiene:F(0, 4), F(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3).

Adems de la ecuacin:, se deduce que las ecuaciones de las asntotas son las rectas de ecuacin:

e.

HIPERBOLA EQUILATERA O RECTANGULARSi las longitudes de los ejes transversos y conjugados de una hiprbola son iguales, es decir, y si la ecuacin de la cnica es , esta se reduce a:

Puesto que a=b, la hiprbola se denomina hiprbola equiltera.

Las asntotas de la hiprbola equiltera son:

Al igualar la ecuacin a cero, tenemos:

Al factorizar en el primer miembro, resulta:

y son las ecuaciones de la asntotas para la hiprbola equiltera de ecuacin

Tambin se establece que las asntotas de una hiprbola equiltera son perpendiculares entre si, razn por la cual se dice que la hiprbola equiltera es una hiprbola rectangular.

Definicin de la circunferencia. La circunferencia como lugar geomtrico. La circunferencia es el lugar geomtrico de todos los puntos de un plano que equidistan de otro llamado centro. La distancia del centro a un punto cualquiera de la circunferencia es el radio.

FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA

La ecuacin de la circunferencia en su forma ordinaria es .Si se desarrollan los binomios cuadrticos del primer miembro, obtenemos:

Al ordenar trminos e igualar a cero la ecuacin, tenemos:

Si establecemos las siguientes igualdades: y tenemos:

La expresin resultante se denomina forma general de la ecuacin de la circunferencia.

Ejemplos.

1. Una circunferencia tiene su centro en el punto C(-2,1) y es tangente a la recta 4x-3y-12=0; determinar su ecuacin en las formas ordinaria y general.

Solucin. Para que la circunferencia quede perfectamente determinada es necesario conocer su radio, el cual se calcula por la formula de distancia de una recta a un punto y resulta:

Al sustituir los datos dados y los calculados en la forma ordinaria de la ecuacin de la circunferencia, tenemos:

Al transformar la ecuacin de la circunferencia de su forma ordinaria a la forma general, resulta:

2. Deducir una ecuacin del crculo que pasa por los puntos (1,5), (-2,3), (2,1). Resuelva de manera analtica y grfica. Solucin. Sabemos que la ecuacin deseada tiene la forma siguiente:

x2+y2+Dx+Ey+F=0

Como los tres puntos dados satisfacen la ecuacin del crculo por estar en l, tenemos

1+25+D+5E+F=04+9-2D+3E+F=04+1+2D-E+F=0

Es decir, D+5E+F=-26 -2D+3E+F=-132D-E+F=-5

Resolviendo el sistema tenemos,

D=-9/5, E=19/5, F=-26/5

Por lo tanto la ecuacin del crculo es:

5x2+5y2-9x-19y-26=0

El ejemplo anterior demuestra el empleo de la frmula general para deducir la ecuacin deseada.

3. Determine la ecuacin de la circunferencia en su forma reducida y en su forma general, con los siguientes datos :centroyradio

Solucin .Forma reducida:

Forma general:

Definicin de elipse. Se llama elipse al lugar geomtrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F' es una cantidad constante, que se representa por 2a. As, para cualquier punto M de la curva, se tiene MF + MF' = 2a. Los puntos fijos F y F' se llaman focos y la longitud FF' distancia focal que se designa por 2c. El punto medio de FF' es el centro de 1a elipse

FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA ELIPSE

Si desarrollamos la forma reducida de las ecuaciones de la elipse, y obtenemos su forma general. Desarrollamos:

Agrupamos y ordenamos:

(1)

Si en la expresin anterior hacemos

Podemos escribir la ecuacin (1) en la forma siguiente:

Si desarrollamos , obtenemos el mismo resultado que el anterior.Si la forma general incluye el trmino , representa una elipse inclinada, y en tal caso ser necesario realizar una rotacin de ejes para que se simplifique la expresin. En el caso de la elipse, al igual que en el de la circunferencia, la grafica que se obtenga de la ecuacin puede ser de una elipse o de un punto.Ejemplos de ecuaciones de elipses expresadas en su forma general:

Como ya se indico, la caracterstica que distingue la elipse de las otras curvas (circunferencia, parbola, hiprbola) es que (A)(C) > 0

Ejemplos.

1. Obtn la ecuacin de la elipse en su forma reducida y en su forma genera cono los datos siguientes: centro(-1,2); vrtices (-1,7) y (-1,-3); excentricidad 3/5

Solucin.

La ecuacin es de la forma

Calculamos b:

2.