Ecuaciones Lineales y Matriz Adjunta

8/18/2019 Ecuaciones Lineales y Matriz Adjunta

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En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, tambiénconocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es unconjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplode sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los m!s antiguos de lamatem!tica y tiene una ininidad de aplicaciones, como en procesamiento digital deseñales, análisis estructural, estimaci"n, predicci"n y m!s generalmente en

programación lineal así como en la apro#imaci"n de problemas no lineales de análisisnumérico.

Una ecuación es un enunciado que declara la igualdad de dos e#presiones. Escribimosuna ecuaci"n

poniendo el signo de igualdad, $%&, entre las dos e#presiones.Ejemplos1' ( % 3 ) 22' 1 % 23' 3 x ) 1 % *+' x % x ) 1

(' 23 x )1' - + % x - 2Una ecuaci"n puede ser siempre alsa, como los ejemplos 2 y + de arriba/ puede sersiempre ciertacomo los ejemplos 1 y (/ o puede ser cierta para alg0nos' valores de las desconocidas yalso paraotros, como el ejemplo 3. El ejemplo 3 muestra una ecuaci"n que es cierta si x % 2, peroes alsa

para cualquier otro valor de x.as ecuaciones que son ciertas para todos los valores legítimos de las variables sonllamadasidentidades. Un valor legítimo es uno para el cual los dos lados de la ecuaci"n est!ndeinidos.as ecuaciones que son alsas para todos los valores legítimos de las variables sonllamadascontradicciones. Una ecuaci"n que es cierta para algunos valores de las' variables' yalsa paraotros valores es llamada una ecuación condicional .Ejemplos:'

2

x −1

= 2 x −

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_digital_de_se%C3%B1aleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_digital_de_se%C3%B1aleshttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_estructuralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_digital_de_se%C3%B1aleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_digital_de_se%C3%B1aleshttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_estructuralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9rico


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x 2 − + x + 3es una identidad porque para todo valor de x para los quelos dos lados de la ecuaci"n estén deinidos, la ecuaci"n es cierta. or ejemplo,si x % -+, la ecuaci"n se convierte en

2

−(

= −1+

3(, lo cual es cierto. imilarmenteocurre con cualquier otro valor de x que no sea 1 ni 3, 1 y 3 implican divisi"n

por 4'.*'

(

2 x −1

= 3 x − 5 es una ecuaci"n condicional pues se satisace s"lo para x % 3y para x % 16.

5' 3 x − 7 = 3 x + 1 es una contradicci"n porque no e#isten valores de x para losque la ecuaci"n se 8aga cierta.

9os interesa determinar los valores que 8acen cierta a una ecuaci"n condicional. aradeterminar estos valores nos valdremos de algunas propiedades de las ecuaciones.Lección 5 - Ecuaciones lineales

ara cualesquiera n0meros reales a, b, y c , las siguientes propiedades son v!lidas:1' i a % b, entonces b % a .

2' i a % b y b % c, entonces a % c.3' i a % b , entonces a ) c % b ) c.

+' i a % b y c ≠ 4, entonces a•c % b•c, y adem!s a/c % b/c.

uando cambiamos una ecuaci"n mediante la aplicaci"n de una de estas propiedades, laecuaci"nresultante se dice equivalente y tiene las mismas soluciones que la ecuaci"n original.

9uestroobjetivo es transormar la ecuaci"n 8asta obtener una ecuaci"n equivalente de la orma

x % a,cuya soluci"n es, obviamente, a. ;l proceso de 8allar las' soluci"nes' de una ecuaci"nle llamamos

resolver la ecuación. Una clase de ecuaciones que recuentemente necesitamos resolverest!ormada por las ecuaciones lineales. Una ecuación lineal es una en la que las variablesqueaparecen no est!n elevadas a ninguna otra potencia que no sea la primera potencia. Unaecuaci"n

lineal en una variable es una ecuaci"n que puede escribirse en la orma ax + b = c .

Ejemplos de ecuaciones lineales:

7' 12 x − * = 23i aplicamos la propiedad 3 con c % *, obtenemos

12 x − * + * = 23 + *que al simpliicarse nos da


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Ejemplo11'

23

x − + = (

*

⇔ 2

3

x = (

*

+ +

⇔ 2

3

x = ( + + ⋅ **

⇔ 3

2

⋅ 2

3

x = 3

2

⋅ 33

*

⇔ x = 77

1+ara resolver ecuaciones, podemos proceder de la siguiente manera:1ro: E#pandir para des8acernos de los paréntesis, si los 8ubiera .2do: >untar todos los términos numéricos en un lado de la ecuaci"n y todos los términosconvariables en el lado opuesto.3ro: onsolidar todos los términos semejantes para obtener una ecuaci"n con un s"lotérmino en

cada lado.+to: ?ultiplicar o dividir por una cantidad conveniente en ambos lados para que quedela variablesola.Ejemplos:

12' 2 x + 3 = x − +(( − x) +1

⇔2 x + 3 = x − 24 + + x +1

⇔2 x − x − + x = −24 +1 − 3

⇔−3 x = −22

⇔ −3 x−3


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= −22

−3

⇔ x = 22

3

Lección 5 - Ecuaciones lineales13' 23

x − 12

( ) + 5 = 1(

− 2(3 x +14)

⇔ 23

x − 1

3 + 5 = 1(

− x − 24⇔ 23

x + x = 1(

− 24 + 1

3 − 5

⇔ 2+15

3 x = 3−344+(−1241(

⇔ 3

24 ⋅ 24

3 x = 3

24 ⋅ −+121(

⇔ x = −+12

144 = −1432(

1+' ⇔ x

+ + (3

= 5 − x

⇔ x

+ + x

= 5 − (3⇔12 ⋅ x

+ + x

( ) =12 ⋅5 − (3

( ) :note que 12 es el menor denominador com0n de todos

los denominadores.⇔3 x + 2 x = 7 − 24


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⇔( x = *

⇔ x = *(

Ejercicios:@esuelve las siguientes ecuaciones:

1' * x + ( = 2

2' 7 − 2 x = ( x − 173' 12

x + ( = 14 − 13

x+' 3( x(

− *+

( ) + 2 = * x14 + 11 @espuestasodemos usar ecuaciones lineales para resolver algunos problemas relacionados conoperacionesinancieras.Ejemplos1(' El precio de venta de una silla releja una ganancia de +4A sobre su costo. i el

precio de venta es B5(, Ccu!l es el costo de la sillaDoluci"n: i denotamos con x al costo de la silla, entonces 5(% #).+4#. @esolviendo

esta ecuaci"n para x, obtenemos: 5( %1.+4 x ⇒ 5(

1.+4= x⇒ x ≈ 4.*1. or lo tantoel costo de la silla es de B4.*1.Lección 5 - Ecuaciones lineales

1' En el país de ributolandia, para un nivel de ingresos tributables mayor deB+4,444, la responsabilidad contributiva es de B14,444 m!s el +(A del e#cesode B+4,444. i la ciudadana ?aría pagar! B13,444 como tributo por susingresos, Ccu!nto ue el ingreso tributable de ?aríaDoluci"n: i F denota el ingreso tributable de ?aría, el e#ceso de B+4,444

puede representarse con F-+4,444'. El +(A de eso es 4.+(F-+4,444'. ;8ora podemos ormar la ecuaci"n 13,444 % 14,444 ) 4.+(F-+4,444'. @esolviendo

esta ecuaci"n para F, obtenemos 3,444 % 4.+(F -4.+(+4,444'⇒ 3,444 ) 4.+(+4,444' % 4.+(F

⇒ 3,444 ) 15,444 % 4.+(F

⇒ 21,44464.+( % F

⇒ +.* ≈ F

El ingreso tributable de ?aría ue B+,.*.

El texto no tiene ejercicios que correspondan a esta lección


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La matriz adjunta de una matriz está formada por los adjuntos de cada elemento de la matrizoriginal. El adjunto del elemento aij de una matriz cuadrada sería el determinante

Aij = (-1)i+j ij

onde ij es el determinante de la matriz !ue resulta al suprimir en A la fila i-"sima # la columna

j-"sima.La matriz adjunta de la traspuesta de A es$

L a m at r iz a dj u nt a e s a !u el l a e n l a ! ue

cada e lemento se sust i tu#e por su adjunto.

% e l la ma a dj un to d el e le me nt o a i j a l

menor complementario anteponiendo$

El s igno es + s i i+ j es par .

E l s igno es - s i i+ j es impar.

E jemplo

ada una matriz cuadrada A& su matriz adjunta o adj(A) es la resultante de sustituir cadat"rmino de A por sus adjuntos respecti'os.

http://www.ditutor.com/determinantes/menor_complementario.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadradahttp://www.ditutor.com/determinantes/menor_complementario.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadrada


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El adjunto de un t"rmino de la matriz A resulta del determinante de la sumatriz !ue se

otiene de eliminar de la matriz A& la fila # la columna a la !ue pertenece el t"rmino &multiplicado por ( 1)(i + j ) (deido a !ue para crear una matriz adjunta se crea en primer lugar la

matriz de cofactores& # luego se traspone& se relaciona con el determinante de de la

sumatriz generada eliminando & en un caso *ji* # en el otro *ij*). El inter"s principal de lamatriz de adjuntos es !ue permite calcular la inversa de una matriz& #a !ue se cumple larelacin$
http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_inversahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_inversahttp://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_inversa

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