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CAPÍTULO 2

SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES

2.1. CONCEPTOS PRELIMINARES

2.1.1. MATRIZ

Una matriz es un arreglo rectangular de números reales ordenados en

filas y columnas. Las matrices se denotan con letras mayúsculas, tales como A,

B, C,…..etc; y a ij representa un elemento individual de la matriz.

El primer subíndice i siempre designa el número de la fila en el cual está

el elemento y el segundo subíndice j designa la columna.

[A ]=[a11

a21

⋮an

a12

a22

⋮an2

a13 ⋯ a1m

a23 … a2m

⋮an3

… ⋮… anm

] La matriz presentada tiene n renglones y m columnas, y se dice que

tiene una dimensión de n por m (o n x m). Ésta se conoce como una matriz n

por m.

Matrices con dimensión columna m=1, como

[B ]=[ b1

b2

⋮bm

]Matrices con dimensión renglón n=1, como

[C ]=[c1 c2 … cn ]

Son llamados vectores renglón

2.1.1.1. Diagonal principal de una matriz

Dada la matriz cuadrada An=[aij ] se llama DIAGONAL PRINCIPAL al conjunto.

ColumnasColumnasColumnasColumnasColumnasColumnasColumnasColumnasColumnasColumnasColumnasColumnasColumnasColumnasColumnas

FilasFilasFilasFilasFilasFilasFilasFilasFilasFilasFilasFilasFilasFilasFilas

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D (a11 , a22 , a33 ,……….ann).

EJEMPLO:

A4=[ 5 3 −7 5−2 4 6 293

−56

3 42 2

]; D (5, 4, 3,2) Es la diagonal principal de A4 .

2.1.1.2. Traza de una matriz

Sea una matriz cuadrada A de orden n, se define la traza de la matriz A

y se denota por  Tr(A) al valor obtenido al sumar todos los elementos de la

diagonal principal.

EJEMPLO

De la matriz anterior se tiene que la diagonal principal es (5,4, 3,2), entonces la

traza seria:

Tr ( A4 )=5+4+3+2Tr ( A4 )=14

2.1.1.3. Rango de una matriz

Es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que

son linealmente independientes. El rango fila y el rango columna siempre son

iguales: este número es llamado simplemente rango de A. Comúnmente se

expresa como rg(A).

El número de columnas independientes de una matriz A m por n es igual

a la dimensión del espacio columna de A. También la dimensión del espacio

fila determina el rango. El rango de A será, por tanto, mayor o igual que uno y

menor o igual que el mínimo entre m y n.

2.1.1.4. Teorema de Rouché – Frobenius

El teorema de Rouché- Frobenius nos permite calcular el número de

soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, en función del rango de la

matriz de coeficientes y el rango de la matriz ampliada o aumentada asociada

al sistema.

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¿Puede ser escrito mediante una matriz.

(A /B)=[a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31

⋮am1

a32

⋮am2

a33

⋮am3

… a1nb1

… a2nb2

…a2nb3

⋮amnbm

] A=[ a11 ⋯ a1n

⋮ ⋱ ⋮am1 ⋯ amn

]

B=[ b1

⋮bm

]En conclusión:

Existen soluciones para el sistema si y solo si el rango de la matriz completa es

igual al rango de la matriz incompleta.

Entonces, si existen soluciones, estás forman un sub-espacio afín de Knde

dimensiones n−rg(A). Además.

i. Si rg(A /B)=n=rg(B) entonces la solución es única.

ii. Si rg(A /B)=rg(B)<n , existen infinitas soluciones.

iii. Si rg(A /B)≠rg(B) no existen soluciones.

2.1.2. TIPOS DE MATRICES

2.1.2.1. Matriz diagonal

Una matriz diagonal es aquella en la que todos los elementos son cero

excepto los de la diagonal principal.

[A ]=[a11 0 00 a22 00 0 a33

]2.1.2.2. Matriz identidad

Es una matriz diagonal donde todos los elementos sobre la diagonal

principal son iguales a 1

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[ I ]=[1 ¿1 ¿1]

El símbolo [ I ] se utiliza para denotar la matriz identidad. La matriz

identidad tiene propiedades similares a la unidad.

2.1.2.3. Matriz triangular superior

Es aquella donde todos los elementos por debajo de la diagonal principal

son cero.

[A ]=[a11 a12 a13

0 a22 a23

0 0 a33]

2.1.2.4. Matriz triangular inferior

Es aquella donde todos los elementos por arriba de la diagonal principal

son cero

[A ]=[a11 0 0a21 a22 0a31 a32 a33

]2.1.2.5. Matriz bandeada

Tiene todos los elementos iguales a cero, con la excepción de una

banda centrada sobre la diagonal principal. Por consiguiente, el siguiente

arreglo matricial es una matriz tridiagonal también llamada matriz bandeada, en

este caso con tres bandas.

2.1.2.6. Matriz aumentada

Resulta cuando a la matriz original se le agrega una o más columnas,

por ejemplo, la siguiente matriz es aumentada.

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[A ]=[a11 a12 a13 . b1

a21 a22 a23 . b2

a31 a32 a33 . b3]

2.1.3. OPERACIONES CON MATRICES

2.1.3.1. Suma y resta con matrices

La suma y resta de matrices se puede llevar a cabo, si y solo si, las

matrices a sumar o restar tienen la misma dimensión.

Es decir,[A ]=[B ] si aij=b ij para todo i y j.

La suma de dos matrices, por ejemplo,[A ] y [B ] se obtiene al sumar los

términos correspondientes de cada matriz. Los elementos de la matriz

resultante [C] son:

c ij=a ij+b ij

La resta de dos matrices, por ejemplo, [D ] y [E ] se obtienen al restar los

términos correspondientes de cada matriz. Los elementos de la matriz

resultante [F] son:

f ij=d ij+eij

2.1.3.2. Multiplicación con matrices

La multiplicación de una matriz [C ] por un escalar g se obtiene

multiplicando cada elemento de [C ] por el escalar g, así que,

[D ]=g [A ]=[ ga11 ga12 … ga1m

ga21 ga22 … ga2m

⋮gan1

⋮gan2

… ⋮… g anm

]El producto de dos matrices se simboliza como [C ]=[A ] [B ] y se define

c ij=∑k=1

n

a ikb jk

Donde n es la dimensión columna de [A] y de los renglones de [B]. Es

decir, el elemento c ijse obtiene al sumar el producto de elementos individuales

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del i-ésimo renglón de la primera matriz, en este caso [A], por la j-ésima

columna de la segunda matriz [B].

En otras palabras, el número de columnas de la primer matriz, debe ser

igual al número de renglones de la segunda matriz, de otra manera no puede

efectuarse la multiplicación matricial.

2.1.3.3. División de una matriz

Aunque la multiplicación es posible, la división de matrices no está

definida. No obstante, si una matriz [A] es cuadrada y no singular, existe otra

matriz [A]-1, llamada la inversa de [A], para la cual

[A][A]-1 = A]-1 [A] = [I]

La multiplicación de una matriz por la inversa es análoga a la división, en

el sentido de que un número dividido por sí mismo es igual a 1. Es decir, la

multiplicación de una matriz por su inversa nos lleva a la matriz identidad.

2.2. MÉTODOS DE SOLUCIÓN

En esta sección se analizarán las ecuaciones algebraicas linéales

simultáneas que en general se representan como:

¿

[ a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2m

⋮an1

⋮an2

… ⋮… anm

] [ x1

x2

⋮xn

]=[ b1

b2

⋮bm

]Y se resolverá usando el Método de Gauss-Jordan, uno de los más

antiguos para resolver ecuaciones lineales simultáneas, siendo uno de los

algoritmos de mayor importancia, y es la base para resolver ecuaciones

lineales en muchos paquetes de software populares.

MATRIZ DE COEFICIENTES VECTOR VARIABLEMATRIZ DE COEFICIENTES VECTOR VARIABLEMATRIZ DE COEFICIENTES VECTOR VARIABLEMATRIZ DE COEFICIENTES VECTOR VARIABLEMATRIZ DE COEFICIENTES VECTOR VARIABLEMATRIZ DE COEFICIENTES VECTOR VARIABLEMATRIZ DE COEFICIENTES VECTOR VARIABLEMATRIZ DE COEFICIENTES VECTOR VARIABLEMATRIZ DE COEFICIENTES VECTOR VARIABLEMATRIZ DE COEFICIENTES VECTOR VARIABLEMATRIZ DE COEFICIENTES VECTOR VARIABLEMATRIZ DE COEFICIENTES VECTOR VARIABLEMATRIZ DE COEFICIENTES VECTOR VARIABLEMATRIZ DE COEFICIENTES VECTOR VARIABLEMATRIZ DE COEFICIENTES VECTOR VARIABLE

TÉRMINO INDEPENDIENTE

TÉRMINO INDEPENDIENTE

TÉRMINO INDEPENDIENTE

TÉRMINO INDEPENDIENTE

TÉRMINO INDEPENDIENTE

TÉRMINO INDEPENDIENTE

TÉRMINO INDEPENDIENTE

TÉRMINO INDEPENDIENTE

TÉRMINO INDEPENDIENTE

TÉRMINO INDEPENDIENTE

TÉRMINO INDEPENDIENTE

TÉRMINO INDEPENDIENTE

TÉRMINO INDEPENDIENTE

TÉRMINO INDEPENDIENTE

TÉRMINO INDEPENDIENTE

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2.2.1. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS PEQUEÑOS DE

ECUACIONES

Estos métodos son apropiados para la solución de pequeños sistemas

de ecuaciones simultáneas (tienen igual o menos de tres incógnitas) que no

solicitan de una computadora; los métodos son los siguientes: el método

gráfico, la regla de Cramer y la eliminación de incógnitas.

2.2.1.1. Método gráfico

Este método consiste en obtener la solución de dos ecuaciones al

graficarlas en coordenadas cartesianas con un eje que corresponda a x1 y el

otro a x2 como en estos sistemas lineales cada ecuación se relaciona con una

línea recta, se puede ilustrar mediante ecuaciones generales.

Por ejemplo tenemos dos ecuaciones:

a11x1+a12 x2=b1

a21 x1+a22 x2=b2

En ambas ecuaciones se puede despejar x2 :

x2=−( a11

a12)x1+

b1

a12

x2=−( a21

a22)x1+

b2

a22

Ahora tenemos dos ecuaciones en la forma de línea recta, es decir

x2=( pendiente ) x1+ intersección. Donde x2 se grafica como la ordenada y x1 como

la abscisa. Los valores de x1 y x2 en la intersección de las líneas representa la

solución.

Para más de tres incógnitas, los métodos gráficos no funcionan y, por

consiguiente, tienen poco valor práctico para resolver ecuaciones simultáneas.

2.2.1.2. Determinantes y la regla de Cramer

La regla de Cramer es otro método para resolver un pequeño sistema de

ecuaciones. Esta regla establece que cada incógnita de un sistema de

ecuaciones lineales algebraicas puede expresarse como una fracción de dos

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determinantes con denominador D y con el numerador obtenido a partir de D, al

reemplazar la columna de coeficientes de la incógnita en cuestión por las

constantes b1, b2,…, bn.

x1=|b1 a12 a13

b2 a22 a23

b3 a32 a33|

D

Para entender mejor es necesario conocer el concepto de un

determinante.

2.2.1.2.1. Determinante

El determinante de una matriz es la función que aplicada a una matriz

cuadrada de orden “n” la transforma en un número real. La matriz con el

determinante se componen de los mismos elementos, pero con conceptos

matemáticos completamente diferentes. Por eso, para distinguirlo visualmente

se emplean corchetes para encerrar la matriz y líneas rectas verticales para el

determinante. En contraste con una matriz, el determinante es un simple

número.

Determinante de una matriz de 2° orden

Sea A=(a11 a12

a21 a22)

Se calcula como |A|=|a11 a12

a21 a22|=a11 . a22−a12 . a21

Determinante de una matriz de 3° orden

Sea [A ]=(a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33)

Se calcula como |A|=a11|a22 a23

a32 a33|−a12|a21 a23

a31 a33|+a13|a11 a12

a21 a22|

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2.2.1.3. La eliminación de incógnitas

La eliminación de incógnitas mediante la combinación de ecuaciones es

un método algebraico que consiste en buscar que la variable a eliminar, tenga

el mismo coeficiente en el sistema para lo cual se multiplica cada ecuación por

el coeficiente que tenga la otra. Sumando o restando las ecuaciones.

Ejemplo: 2 x+ y=16…………… .. (α )

3 x−2 y=10…………… .. (β )

Solución:

Multiplicando la ecuación (α ) por 2, tenemos:

4 x+2 y=323 x−2 y=10

__________________7x= 42 x= 6

Reemplazando el valor x en (α )⇒ y=4

2.2.2. ELIMINACIÓN DE GAUSS – JORDAN

2.2.2.1. ELIMNACION DE GAUSS SIMPLE

El método de Gauss, conocido también como de triangulación o de

cascada, nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier

número de ecuaciones y de incógnitas

¿

Como en el caso de dos ecuaciones, la técnica para resolver n ecuaciones consiste en dos fases: la eliminación de las incógnitas y su solución mediante sustitución hacia atrás.

La primera fase consiste en reducir el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superior. El paso inicial será eliminar la primera incógnita, x1, desde la segunda hasta la n-ésima ecuación. Para ello, se multiplica la ecuación 1 por a21/a11 para obtener.

a21 x1+a21

a11

a12 x2+…+a21

a11

a1n xn=a21

a11

b1

Ahora esta ecuación se resta de la ecuación 2 para dar

(a22−a21

a11

a12) x2+…+(a2n−a21

a11

a1n) xn=b2−a21

a11

b1

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a22 x2+…+a2n xn=b2

Donde el superíndice indica que los elemntos han cambiado sus valores

originales

El procedimiento se repite después con las ecuaciones restantes. La ecuación

1 se llama la ecuación pivote, y a su a11 se denomina el coeficiente o elemento

pivote.

2.2.2.2. GAUS JORDAN

El método de Gauss-Jordan es una variación de la eliminación de

Gauss. La principal diferencia consiste en que cuando una incógnita se elimina

en el método de Gauss-Jordan, ésta es eliminada de todas las otras

ecuaciones, no sólo de las subsecuentes. Además, todos los renglones se

normalizan al dividirlos entre su elemento pivote. De esta forma, el paso de

eliminación genera una matriz identidad en vez de una triangular.

En consecuencia, no es necesario usar la sustitución hacia atrás para

obtener la solución.

Sustitución hacia atrás

Eliminación hacia adelante

[a11 a12 a13 . b1

a21 a22 a23 . b2

a31 a32 a33 . b3]

[a11 a12 a13 . b1

0 a22 a23 . b2

0 0 a33´ ´ . b3

´ ´ ]x3=c3

}} over {{a} rsub {33} rsup {

x2=(c2

´−a23´ x3 )

a22

x1=c1−a12 x2−a13 x3

a11

[a11 a12 a13 . b1

a21 a22 a23 . b2

a31 a32 a33 . b3]

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Pasos para encontrar la solución a través de Gauss Jordan de sistemas

cuadrados de ecuaciones lineales.

Se expresan los coeficientes y el vector de términos independientes como una

matriz aumentada

[A B ]

Se selecciona de la diagonal principal de A, el pivote; se normaliza la 1ra fila

(se divide entre el coeficiente de la primera incógnita)

Se multiplica la primera fila por el 1er coeficiente de las siguientes filas, y se

restan.

Se normaliza la 2da fila y se multiplica por el 2do coeficiente de las otras filas y

se restan.

Se normaliza la 3ra fila y se multiplica por el 3er coeficiente de las otras filas y

se restan.

Se repiten los pasos tantas veces como elementos tenga la diagonal principal,

es decir, hasta que en lugar de la matriz de coeficientes A se ha convertido en

una matriz identidad I, teniendo ahora el último sistema equivalente, como,

[ I Bsol ]

[a11 a12 a13 . b1

a21 a22 a23 . b2

a31 a32 a33 . b3]

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Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A y Bsol es la solución del sistema de ecuaciones algebraicas lineales.

Algoritmo del método de Gauss Jordan

I. Escribir el sistema de ecuaciones lineales y el número de incógnitas “n”.

II. Definimos la matriz coeficiente(A) , la matriz de n-incógnitas(X), la matriz

términos independientes(B) y la matriz aumentada del sistema(A/B).

III. Se escribe la forma matricial AX=B.

IV. Reducir la matriz ampliada (A/B) a la forma canónica.

V. De la forma canónica hallamos el rango de A y el rango de la matriz

ampliada.

VI. A continuación, evaluamos lo siguiente:

w=ra (A)=ra (A /B){ Si esasi el sitema es compatibleSino esasi el sistemano escompatible yautomaticamente se detieneel programa.

VII. Se volverá a evaluar :

w ,n { siw=n , existe unica soluciónsiw<n , existeninfinitas soluciones

VIII. Hallamos la solución al sistema de ecuaciones lineales.

El método se ilustra mejor con un ejemplo:

Con la técnica de Gauss-Jordan resuelva el sistema del ejemplo:

2 x +¿3 y +¿ z ¿ 13 x −¿2 y −¿ 4 z ¿ −35 x −¿ y −¿ z ¿ 4

Solución.Primero, exprese los coeficientes y el lado derecho como una matriz aumentada:

[2 3 1 13 −2 −4 −35 −1 −1 4 ]

Luego normalice el primer renglón, dividiéndolo entre el elemento pivote, 2, para obtener

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[1 3 /2 1/2 1/23 −2 −4 −35 −1 −1 4 ]

El término x1 se elimina del segundo renglón restando -3 veces al primer renglón del segundo. En forma similar, restando -5 veces el primer renglón del tercero, se eliminará el término x1 del tercer renglón:

[1 3/2 1/2 1/2

0−13

2−11

2−92

0−17

2−72

32

]En seguida, se normaliza el segundo renglón dividiéndolo entre: - 2/13

[1 3/2 1/2 1/2

0 11113

913

0 −17/2 −7 /2 3 /2]

Al reducir los términos x2 de las ecuaciones primera y tercera se obtiene

[1 3 /2 1 /2 1/2

0 11113

913

0 0 96 /13 192/13]

El tercer renglón se normaliza después al dividirlo entre 13/96

[1 3 /2 1/2 1 /2

0 11113

913

0 0 1 2]

Por último, los términos x3 se pueden eliminar de la primera y segunda ecuación para obtener

[1 0 0 10 1 0 −10 0 1 2 ]

x1=1 x2=−1x3=2

De esta forma, la matriz de coeficientes se ha transformado en la matriz identidad, y la solución se obtiene en el vector del lado derecho.

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Ejemplo 2.3 x +¿5 y +¿6 z −¿5w ¿ 382 x +¿2 y −¿4 z +¿w ¿ 34x

−5 x¿

Se resolverá con maple METODO DE GAUSS JORDAN.mw

2.2.2.3. Método de Gauss Seidel

El Método de Gauss-Seidel es un método iterativo, que se basa en

obtener valores iniciales que en sucesivas operaciones se van aproximando a

las soluciones reales.

¿

Sea un conjunto de n ecuaciones:

Si los elementos de la diagonal son diferentes a cero, la 1ra ecuación se

resuelve para x1 , la 2da ecuación para x2y así sucesivamente.

x1=b1−a12 x2−a13 x3−…−a1n xn

a11

x2=b2−a21 x1−a23 x3−…−a2n xn

a22

xn=bn−an1 x1−an2 x2−…−ann−1 xn−1

ann

Se empieza el proceso de solución usando un valor inicial para las x. Todas las

x valen cero (0).

Se sustituyen los valores en la 1ra ecuación para hallar x1, para luego

reemplazar el valor hallado de x1 en la 2da ecuación para hallar x2, y así

sucesivamente hasta llegar a la última ecuación.

Algoritmo del método de Gauss Seidel

I. Declaramos las ecuaciones del sistema lineal, y “n”.II. Evaluamos el teorema de ROUCHÉ – FROBENIUS.

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III. Evaluamos la convergencia: Ser matriz diagonal dominante, matriz simétrica.

IV. Despejamos cada una de las variables con respecto a cada variable y obtenemos las ecuaciones base.

x1=b1−a2 x2−a3 x03−⋯−an xn

a1

⋮ xn=bm−am2 x2−am3 x03−⋯−amn−1 xn−1

amnV. Encontramos la primera aproximación, para eso igualamos el resto de

variables a cero, para calcular dicha variable.

x1 [ 1 ] , si x2=x3=⋯=xn=0x2 [ 1 ] , si x1=x1 [1 ] , x3=x4=⋯=xn=0⋮

xn [1 ] , si x1=x1 [ 1 ] , x2=x2 [ 1 ] ,⋯ , xn−1=xn−1 [ 1 ]VI. Evaluamos el error para cada variable, a partir de la segunda iteración.

Ei=x i−1−x i

x iVII. Para que pare de iterar tenemos que evaluar si el error de cada variable

es menor que (0.5∗10n−2), si se cumple, fin a la iteración.

Ejemplo:

Tenemos un sistema de ecuaciones:

3 x - 5 y - 2 z = 6

x + 6 y - 4 z = -15

4 x - 5 y + 6 z = 35

1. Despejamos las variables

x=6+5 y+2 z3

y=−15−x+4 z6

z=35−4 x+5 y6

2. Igualamos a y=0 y z=0, se sustituye en la ecuación de x

x1=6+5∗0+2∗0

3x1=2

y1=−15−2+4∗0

6y1=−2.8333

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z1=35−4∗2+5∗−2.8333

6z1=2.1388

3. Los valores obtenidos se reemplazan en las ecuaciones iniciales y se

hallan nuevos valores en la 2da iteración, y se calcula el Ea:

x2=6+5∗−2.8333+2∗2.1388

3x2=−1.2929

Ex2= 254.69 %

y2=−15+1.2929+4∗2.1388

6y2=−4.1728

Ey2 = 32.1%

z2=35−4∗−1.2929+5∗−4.1728

6z2=3.220

Ez2=33.57%

Y así hasta obtener un error menor que (0.5∗10n−2)

x1 7=6+5∗+2∗2.1388

3x17=−4.217

Ex17= 0.000106 %

y17=−15−4.217+4∗2.1388

6y17=−5.391

Ey17 = 0.00041%

z17=35−4∗−4.217+5∗−5.391

6z17=4.152

Ez17=0.00037%

Los errores con menores que 0.00050000

Este ejemplo se desarrolla mejor con maple gauss seidel.mw

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