1. En un circo 5 entradas de niño y 3 entradas de adulto, cuestan 355 pesos. Por otra parte 4 entradas de niño y 2 entradas de adulto, cuestan 262 pesos. ¿Cuánto cuesta cada entrada de niño y cada entrada de adulto?

x = costo entrada de niño y = costo entrada de adulto 5 x + 3 y = 355 ecuación 1

4 x + 2 y = 262 ecuación 2

Vamos a resolver el sistema de ecuaciones por el método de reducción: Se multiplica la ecuación 1 por ( −4) y la ecuación 2 por (5):

( −4) 5 x + 3 y = 355

(5) 4 x + 2 y = 262

−20 x − 12 y = − 1,420 20 x + 10 y = 1,310

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Ahora sumamos las ecuaciones obtenidas: −2 y = − 110

𝑦 =−110

−2= 55 pesos

Las ecuaciones por resolver son:

5x + 3(55) = 355 5x + 165 = 355 5x = 355 – 165 5x = 190 Se sustituye «y» en la ecuación 1:

x =190

5= 38 pesos

2. Una ahorradora tiene en un jarrón 76 monedas de 2 y de 5 pesos. Si en total tiene 254 pesos, ¿cuántas monedas son de 2 pesos y cuántas de 5 pesos?

x = cantidad de monedas de 2 pesos; y = cantidad de monedas de 5 pesos

Las monedas de 2 pesos más las monedas de 5 pesos, suman 76 monedas, por tanto la ecuación es: x + y = 76 ecuación 1 La cantidad de monedas de 2 pesos multiplicada por 2, más la cantidad de monedas de 5 pesos multiplicada por 5, da un total de 254 pesos, por tanto la ecuación es: 2x + 5y = 254 ecuación 2

Con el fin de practicar los diferentes métodos de solución, vamos a resolver este sistema de ecuaciones por el método de sustitución:

Se despeja «y» de la ecuación 1: y = 76 - x

Ahora se sustituye «y» en la ecuación 2: 2x + 5(76 – x) = 254 se resuelve la ecuación: 2x + 380 – 5x = 254 – 3x = 254 – 380

– 3x = – 126 x =−126

−3= 42 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎𝑠 de 2 pesos

3. Un empresario invirtió 4,200 dólares de la siguiente manera, una parte al 8% de interés y la otra al 6%. Al año recibió un total de 298 dólares como pago de intereses. ¿Cuánto invirtió a cada tasa de interés? Solución: x = cantidad invertida al 8% en decimal = 0.08 y = cantidad invertida al 6% en decimal = 0.06

Ahora se sustituye el valor de «x» en la ecuación 1: 42 + y = 76 Se despeja «y»: y = 76 – 42 y = 38 monedas de 5 pesos

La cantidad invertida al 8% más la cantidad invertida al 6% es igual a 4,200 dólares, por tanto la ecuación es: x + y = 4200 ecuación 1 El interés obtenido al 8% más el interés obtenido al 6% es igual al interés Total, por tanto la ecuación es: 0.08x + 0.06y = 298 ecuación 2

Ahora vamos a resolver el sistema de ecuaciones por el método de igualación, para seguir practicando diferentes métodos de solución.

De la ecuación 1 se despeja «x»: x = 4200 – y (1) De la ecuación 2 se despeja «x»: 0.08x = 298 – 0.06y

𝒙 =𝟐𝟗𝟖−𝟎.𝟎𝟔𝒚

𝟎.𝟎𝟖

Ahora se igualan la dos ecuaciones obtenidas: 4200 – y = 𝟐𝟗𝟖−𝟎.𝟎𝟔𝒚

𝟎.𝟎𝟖

Se multiplica el lado izquierdo de la ecuación por 0.08: 0.08(4200 – y) = 298 – 0.06y 336 – 0.08y = 298 – 0.06y

– 0.08y + 0.06y = 298 – 336 – 0.02y = – 38 y = −𝟑𝟖

−𝟎.𝟎𝟐= 𝟏, 𝟗𝟎𝟎

Se sustituye el valor de «y» en (1): x = 4200 – 1900 = 2,300 Por tanto se invierten: 2,300 dólares al 8% y 1,900 dólares al 6%.

4. En un examen de 75 preguntas, el método de calificación es el siguiente: 2 puntos por cada respuesta correcta y menos un punto por cada respuesta incorrecta. Si al final del examen el alumno obtuvo 90 puntos, ¿cuántas preguntas contestó correctamente?

Solución: x = número de respuestas correctas; y = número de respuestas incorrectas

Vemos que el total de respuestas correctas más el total de respuestas incorrectas, es igual al total de preguntas, por tanto la ecuación es: x + y = 75 ecuación 1 Ahora como por cada respuesta correcta te dan 2 puntos y por cada respuesta incorrecta te quitan un punto, la ecuación es: 2x – y = 90 ecuación 2

Este sistema de ecuaciones se resuelve fácilmente por reducción:

Sumamos las ecuaciones dadas: x + y = 75 ecuación 1 2x – y = 90 ecuación 2 ---------------------- 3x = 165

𝒙 =𝟏𝟔𝟓

𝟑= 𝟓𝟓 respuestas correctas

Ahora se sustituye el valor de «x» en la ecuación 1: 55 + y = 75 y = 75 – 55 y = 20 respuestas incorrectas

5. Un comerciante tiene dos tipos de café, uno de 40 pesos y otro de 60 pesos cada kg. El comerciante desea obtener una mezcla total de 50 kg, de ambos tipos de café, y que pueda vender dicha mezcla en 50.80 pesos el kg. ¿Cuántos kg de cada tipo debe mezclar para obtener la mezcla deseada?

Solución: x = cantidad de café de 40 pesos el kg y = cantidad de café de 60 pesos el kg.

La suma de el café de 40 pesos el kg más la suma del café de 60 pesos el kg, es igual a 50 kg, por tanto la ecuación es: x + y = 50 ecuación 1 El costo total del café de 40 pesos el kg, más el costo total del café de 60 pesos el kg, es igual a la suma de ambos tipos de café por el precio de 50.80 pesos, por tanto la ecuación es: 40x + 60y = 50.8 ( x + y ) ecuación 2 Se realiza la multiplicación indicada y se simplifican términos semejantes: 40x + 60y = 50.8x + 50.8y 40x – 50.8x + 60y – 50.8y = 0 – 10.8x + 9.2y = 0 ecuación 2

Ahora se resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución:

de la ecuación 1, se despeja «x»: x = 50 – y (1)

Se sustituye «x» en la ecuación 2: – 10.8 (50 – y) + 9.2y = 0

– 540 + 10.8y + 9.2y = 0 – 540 + 20y = 0 20y = 540

𝑦 =540

20= 𝟐𝟕 se sustituye «y» en (1): x = 50 – 27 x = 23

Se requieren: 23 kg del café de 40 pesos y 27 kg del café de 60 pesos para formar la mezcla requerida.

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