186 L ib ro para e l maest ro

Propósito de la sesión. Solucionar problemas mediante ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado.

Propósito de la actividad. Con este problema se trata que de, a partir de un enunciado en lenguaje común, los alumnos logren traducir el problema a un lenguaje algebraico.

Si lo considera necesario, repasen las secuencias 19 y 30 del libro Matemáticas II y la 15 de Matemáticas III.

Respuesta. Tenía 60 discípulos.

Sugerencia didáctica. Si los alumnos no saben cómo solucionar el problema, permítales seguir resolviendo la sesión ya que en el siguiente apartado se les ayuda a plantear la ecuación.

170

secuencia 26

En esta secuencia aprenderás a determinar la ecuación lineal, cuadrática o sistema de ecuaciones con que se puede resolver un problema, y viceversa, proponer una situación que se modele con alguna ecuación de este tipo.

LOs discípULOs dE pitágOrasPara empezarEn la secuencia 19 y en la secuencia 30 de tu libro de Matemáticas ii, volumen II, aprendiste a resolver ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones respectivamente. En la secuencia 15 de tu libro de Matemáticas iii, volumen II, aprendiste a resolver ecuaciones de segundo grado. En esta secuencia aprenderás a plantear y resolver problemas cuya solución requiere resolver ecuaciones de los tipos mencionados anteriormente.

Consideremos lo siguientePitágoras planteó este problema sobre el número de sus discípulos:

El número de discípulos que tengo se distribuye de la siguiente manera:

Una mitad estudia matemáticas, una cuarta parte física, una quinta parte estudia filosofía, y además hay tres mujeres.

¿Cuántos discípulos tenía Pitágoras?

Manos a la obrai. Si x es el número de discípulos de Pitágoras, subraya la respuesta correcta.

a) ¿Qué cantidad de discípulos estudia matemáticas?

2x x + 2 x2

b) ¿Qué cantidad de discípulos estudia física?

x4 x + 4 4x

•

sEsión 1

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

MAT3 B5 S26.indd 170 12/10/08 6:30:52 PM

EjeSentido numérico y pensamiento algebraico.

TemaSignificado y uso de las literales.

SubtemaEcuaciones.

Antecedentes

Los alumnos anteriormente plantearon y resolvieron problemas mediante ecuaciones de primer grado, sistemas de ecuaciones de primer grado y ecuaciones de segundo grado. En esta secuencia continuarán utilizándolas para elegir cuál de ellas resulta pertinente para resolver cierta situación. Aunque es una secuencia en la que más que aprender algo nuevo, se aplican los conocimientos previamente adquiridos, el planteamiento de ecuaciones representa un reto importante para los alumnos.

Propósito de la secuencia Determinar con cuál(es) ecuación(es) se puede resolver un problema, y viceversa,

proponer un problema que se resuelva con cierta ecuación.

Sesión Propósitos de la sesión Recursos

1Los discípulos de Pitágoras Solucionar problemas mediante ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado.

2Ecuaciones y geometría Solucionar problemas mediante ecuaciones de segundo grado.

Programa 49 Interactivo

MAT3 B5 S26 maestro.indd 186 12/11/08 1:51:23 PM

187L ib ro para e l maest ro

Respuesta. x2

+ x4

+ x5

+ 3 = x se puede

resolver de la siguiente manera:

1020

x + 520

x + 420

x + 3 = x

1920

x + 3 = x

3 = x – 1920

x

3 = 120

x

3(20) = x

60 = x

Entonces, 30 alumnos estudian matemáticas, 15 física, 12 estudian filosofía y 3 son mujeres, que hacen un total de 60 alumnos.

Posibles dificultades. Aunque la ecuación ya esté planteada los alumnos posiblemente no sepan cómo resolverla. Quizá convenga recordarles que necesitan encontrar un denominador común. El menor denominador común para 2, 4 y 5 es 20.

Partiendo de esa información, pregunte a los estudiantes: ¿qué fracción representan los discípulos que estudian matemáticas? La respuesta es 10

20x .

Hagan los mismo con las otras dos fracciones.

Sugerencia didáctica. Anote en el pizarrón las opciones con las que se puede representar cada afirmación y analícenlas en grupo, es importante que los alumnos logren traducir los enunciados en una expresión algebraica.

171

IIIMATEMÁTICASc) ¿Qué cantidad de discípulos estudia filosofía?

x + 5 x5 5x

d) ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas corresponden las condiciones del problema?

x2 +

x4 +

x5 + 3 = x 2x + 4x + 5x + 3 = x

x2 + 4x +

x5 + 3x = x

e) Resuelve la expresión que elegiste, ¿cuál es el valor de x ?

Comparen sus resultados y comenten cómo los obtuvieron.

II. El caballo y el asno.

Un caballo y un asno caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase el caballo de su enojosa carga, a lo que el asno dijo. “¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si te doy un saco, tu carga se igualaría a la mía.”

a) ¿Cuántos sacos llevaba el caballo?

b) ¿Cuántos sacos llevaba el asno?

c) Si x es el número de sacos que lleva el caballo y si es y el número de sacos que lleva el asno, anota en el paréntesis el número de la ecuación que describe la situación.

( ) Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya.

1) y + 1 = 2 (x – 1)

2) x – 1 = 2y

3) x = y

( ) Si te doy un saco, tu carga se igualaría a la mía.

1) x = y

2) x – 1 = 2y

3) y – 1 = x + 1

d) ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones está asociado con la resolución del problema anterior? Subraya el inciso correcto.

a) y + 1 = 2 (x – 1) b) x – 1 = 2y c) y + 1 = 2 (x – 1)

y – 1 = x + 1 y – 1 = x + 1 y = x

e) Resuelve el sistema que elegiste y verifica que los valores de x y de y sean la solución del problema.

Comparen sus resultados y comenten cómo los obtuvieron.

Ecuaciones y sistemas

MAT3 B5 S26.indd 171 12/10/08 6:30:54 PM

Respuesta. El sistema de ecuaciones

y + 1 = 2 (x – 1)

y – 1 = x + 1

se puede resolver de varias formas. Si se elige despejar el valor de y en la segunda ecuación, quedaría:

y = x + 1 + 1 = x + 2

Entonces se sustituye en la primera ecuación:

x + 2 + 1 = 2 (x – 1)

x + 3 = 2x – 2

3 + 2 = 2x – x

5 = x

Luego se averigua el valor de y :

y + 1 = 2 (5 – 1)

y + 1 = 8

y = 7

1

3

5

7

MAT3 B5 S26 maestro.indd 187 12/11/08 1:51:28 PM

188 L ib ro para e l maest ro

Respuestas.

a) 2x + y = 31

3y – x = 23

Despejando la x en la segunda ecuación:

x = 3y – 23

Se sustituye en la primera ecuación:

2 (3y – 23) + y = 31

6y – 46 + y = 31

7y = 77

y = 11

Se busca el valor de x:

2x + 11 = 31

2x = 20

x = 10

b) y – 1 = 2 (x + 1)

y + 1 = 4 (x – 1)

Despejando la y en la primera ecuación:

y – 1 = 2x + 2

y = 2x + 3

Se sustituye en la segunda ecuación:

2x + 3 + 1 = 4 (x – 1)

2x + 4 = 4x – 4

4 + 4 = 4x – 2x

8 = 2x

4 = x

Se busca el valor de e busca el valor de y :

y + 1 = 4 (4 – 1)

y + 1 = 12

y = 11

c) y = 2x + 1

y = 4x – 1

Como y ya está despejada en las dos ecuaciones, entonces es cierto que:

2x + 1 = 4x – 1

1 + 1 = 4x – 2x

2 = 2x

1 = x

Se busca el valor de y:

y = 2 (1) + 1

y = 3

172

secuencia 26iii. a) Determina a cuál de los enunciados no le corresponde ninguno de los sistemas y

relaciona las columnas cuando haya correspondencia.

Sistema asociado Enunciado del problema

( )y = 2x + 1y = 4x - 1

a) El doble de la edad de Pedro más la edad de Ana es 31años y el triple de la edad de Ana menos la edad de Pedro es 23 años.

b) Juan le dice a Lucía, si te doy un peso entonces tendría el doble de dinero del que tendrías tú, pero si me das un peso yo tendría el cuádruple de dinero del que tendrías tú.

c) Dos naranjas más un peso cuestan lo que cuesta un me-lón. Pero, también, cuatro naranjas menos un peso cues-tan lo que cuesta un melón.

( )2x + y = 313y – x = 23

( )y – 1 = 2 (x + 1)y + 1 = 4 (x – 1)

( )y – 1 = 2 (x + 1)x + 1 = 4 (y – 1)

b) Simplifiquen los sistemas de ecuaciones y resuélvanlos. Verifiquen también que la solución del sistema coincida con condición del enunciado.

Lo que aprendimos1. Diofanto fue un notable matemático de la Antigüedad. Parte de la historia de su vida

fue tomada de la dedicatoria que aparece en la lápida de su sepulcro. La inscripción en la lápida constituye además un interesante ejercicio matemático. Completa la tabla usando la información que fue tomada de la lápida:

Lo que dice en la lápida de Diofanto Lo que significa en lenguaje algebraico

¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh, milagro!, cuán larga fue su vida.

x = número de años que vivió Diofanto

La sexta parte de su vida constituyó su hermosa infancia.x6

Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubriese su barbilla.

x12

Y la séptima parte de su existencia transcurrió en retiro.

Pasó un lustro más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito.

5

El cual tuvo una hermosa existencia, que duró tan sólo la mitad de la de su padre.

x2

Y con profunda pena descendió a la sepultura habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo.

4

Con la información de la tabla anterior completa la ecuación y resuélvela:

x = x6 +x

12 + + 5 +x2 + 4

¿Cuántos años vivió Diofanto?

MAT3 B5 S26.indd 172 12/10/08 6:30:55 PM

Respuesta. Vivió 84 años. Una manera de resolver la ecuación es la siguiente:

x = x6

+ x12

+ x7

+ 5 + x2

+ 4

Se busca un denominador común:

x = 1484

x + 784

x + 1284

x + 4284

x + 9

x = 7584

x + 9

x – 7584

x = 9

984

x = 9

x = 9 ÷ 984

x = 7569

x = 84

Posibles dificultades. Si los alumnos no saben cómo resolver la ecuación, ayúdelos comentando que deben encontrar un denominador común. ¿Cuál es el menor denominador común para 6, 12, 7 y 2?

Habiendo encontrado dicho denominador (84) , deben escribir la ecuación utilizándolo. Plantee lo siguiente: si la vida de Diofanto se representa como x y sabemos que x = 84

84 ¿qué fracción de

la vida de Diofanto es la correspondiente a su infancia? Así podrán encontrar que su infancia es igual a 14

84 x porque es la sexta parte de 84

84.

Deben hacer lo mismo para encontrar las demás fracciones.

c

a

b

x7

MAT3 B5 S26 maestro.indd 188 12/11/08 1:51:32 PM

189L ib ro para e l maest ro

173

MATEMÁTICAS III2. Emilio y Mauricio se fueron a pescar, al final del día Mauricio dijo: "Si tu me das 3 de

tus peces, yo tendré el mismo número de peces que tú." A lo que Emilio respondió: "Si tú me das 3 de tus peces yo tendré el doble de peces que tú".

a) ¿Cuántos peces tiene Mauricio?

b) ¿Cuántos peces tiene Emilio?

EcUaciOnEs y gEOmEtríaLo que aprendimos1. Se va a lanzar un cohete de juguete puesto sobre el

piso. Se sabe que la altura h (en metros) que alcanza el cohete en determinado tiempo t (en segundos) está dada por la fórmula:

h = –2t 2 + 20t

a) Si se lanza el cohete, ¿cuánto tarda en llegar al piso

nuevamente?

b) Completa la tabla de la derecha para saber la altura que tiene el cohete en determinados periodos de tiempo.

c) ¿Para qué valores de t el valor de h es cero?

y

d) Si el valor de la altura h es cero, ¿qué ecuación permite encontrar el tiempo en que alcanza esa altura? Subráyala.

h = 0

0 = –2t 2 + 20t

h = –2t 2 + 20t

e) Usando la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado encuentra las soluciones de la ecuación que elegiste.

t 1 = t 2 =

f) En el plano cartesiano de la siguiente página, grafica los puntos de la tabla anterior y completa la gráfica de la expresión algebraica.

sEsión 2

tTiempo

transcurrido(en segundos)

hAltura

alcanzada(en metros)

Punto(t,h )

0 0 (0,0)

1 18 (1,18)

2

3

4

5

6

7

8

MAT3 B5 S26.indd 173 12/10/08 6:30:56 PM

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad.

Respuestas.

a) Mauricio tiene 15 peces.

b) Emilio tiene 21 peces.

Si se representan los peces que tiene Mario con m y los de Emilio con e, el sistema de ecuaciones sería:

e – 3 = m + 3

e + 3 = 2 (m – 3)

A partir de la primera ecuación, se puede saber que e = m + 6. Sustituyendo ese valor en la segunda ecuación se tiene que:

m + 6 + 3 = 2 (m – 3)

Y resolviendo:

m + 9 = 2m – 6

15 = m

Conociendo el número de peces que tiene Mauricio, se puede averiguar cuántos tiene Emilio sustituyendo ese valor en cualquiera de las ecuaciones. En la primera sería:

e = 15 + 6

e = 21

Propósito de la sesión. Solucionar problemas mediante ecuaciones de segundo grado.

Propósito del Interactivo. Dado un problema plantear y resolver la ecuación que lo modela.

Respuestas.

a) 10 segundos, porque cuando t = 10, h = 0

h = –2 (102) + 20 (10)

h = –200 + 200

h = 0

Sugerencia didáctica. Si los alumnos no logran responder esta pregunta a partir de la ecuación, dígales que completen la tabla del inciso siguiente.

Aunque llega sólo hasta los 8 segundos, ellos pueden darse cuenta de que hasta el segundo 5 el cohete va alcanzando mayor altura, pero que a partir del segundo 6 empieza a descender. También puede sugerirles ampliar la tabla.

32 (2,32)

42 (3,42)

48 (4,48)

50 (5,50)

48 (6,48)

42 (7,42)

32 (8,32)

c) Para t = 10 y t = 0, es decir, cuando el cohete está en el suelo antes de ser lanzado (segundo 0) y cuando han transcurrido 10 segundos desde que se lanzó.

e) La fórmula general es

x = −b ± b 2 + 4ac

2a

entonces quedaría:

x = −(20) ± 202 – 4(–2)(0)

2(–2)

x = −20 ± 400 – 0

–4

x 1 = −20 + 20

–4 =

0–4

= 0

x 1 = −20 – 20

–4 =

–40–4

= 10

MAT3 B5 S26 maestro.indd 189 12/11/08 1:51:36 PM

190 L ib ro para e l maest ro

Respuestas.

g) (0, 0) y (0, 10).

h) 0 y 10.

i) Iguales.

Sugerencia didáctica. Dé a los alumnos tiempo para reflexionar sobre el número de soluciones de una ecuación de segundo grado, según lo que aprendieron en la secuencia 15, y sobre el número de intersecciones con la gráfica de la expresión algebraica asociada a la ecuación (ambos números son iguales).

Respuestas.

j) Entre 2 y 3 segundos.

k) Entre 2 y 3 segundos y entre 7 y 8 segundos.

Permita que los alumnos den respuestas aproximadas a estas dos preguntas, de acuerdo a la tabla que completaron al inicio de la sesión.

Sugerencia didáctica. Permita a los alumnos usar la calculadora para obtener estas respuestas.

Respuesta. Para utilizar la fórmula general, primero deben escribir la ecuación en su forma general, sería: –2t 2 + 20t – 40 = 0, o bien, 2t 2 – 20t + 40 = 0.

x = 20 ± –202 – 4(2)(40)

2(2)

x = 20 ± 400 – 320

4

x 1 = 20 + 8.94

4 =

28.944

= 7.23

x 2 = 20 – 8.94

4 =

11.064

= 2.76

174

secuencia 26g) ¿En qué puntos interseca la gráfica el eje t?

( , ) y ( , )

h) ¿Cuál es la abscisa de estos puntos? Subráyala.

( , ) y ( , )

i) ¿Cómo son las abscisas anteriores y las soluciones de la ecuación que resolviste en el inciso e) distintas o iguales?

Comparen sus resultados y comenten:

• Toda expresión de la forma h = at 2 + bt + c tiene como ecuación asociada 0 = at 2 + bt + c para el valor de h = 0.

• Las soluciones de la ecuación anterior son las abscisas de los puntos donde la gráfica de la expresión h = at 2 + bt + c interseca al eje t .

j) ¿Cuánto tiempo debe de transcurrir para que el cohete alcance una altura de

40 m sobre el piso?

k) ¿Para qué valores de t el valor de h es 40? y

l) Si el valor de la altura h es 40, ¿qué ecuación permite encontrar el tiempo en que alcanza esa altura? Subráyala:

h = 40 40 = –2t 2 + 20t h = –2t 2 + 20t

m) Usando la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, encuentra las soluciones de la ecuación que elegiste, aproxímalo con hasta dos decimales:

t 1 = t 2 =

Comparen sus resultados y comenten la relación que existe entre las soluciones anteriores y la gráfica de la expresión.

2. Para la expresión algebraica y = x 2 – x – 16 encuentra:

a) La ecuación asociada para el valor de y = 0.

b) Las soluciones de la ecuación que obtuviste en el inciso anterior.

c) Haz la gráfica de la expresión y = x 2 – x – 16.

d) Verifica que las soluciones que encontraste sean las abscisas de los puntos donde la gráfica interseca el eje x.

Comparen sus resultados y comenten cómo los obtuvieron.

60

55

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

–5

–10

t

h

–2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

MAT3 B5 S26.indd 174 12/10/08 6:30:57 PM

DISEÑO trazar la línea en este plano cartesiano. Debe pasar por los puntos (0,0), (1,18), (2,32), (4,48), (5,50), (6,48), (7,42), (8,32), (9, 18), (10,0)

DISEÑO la gráfica está al final de la secuencia

7.23 2.76

y

x –15 –10 –5 5 10 15

20

15

10

5

–5

–10

–15

–20

0

Integrar al portafolios. Solicite a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad y valore si es necesario volver a revisar algún tema.

Respuestas.

a) 0 = x 2 – x – 16

b) x 1 = 4.53

x 2 = –3.53

Respuesta.

c)

MAT3 B5 S26 maestro.indd 190 12/11/08 1:51:39 PM

191L ib ro para e l maest ro

175

MATEMÁTICAS III3. Encuentra los números que satisfacen: La suma de un número más uno elevada al

cuadrado es igual al doble del número elevado al cuadrado.

¿Cuántos números satisfacen la siguiente propiedad: la suma de un número más 1

elevada al cuadrado es igual al doble del número elevado al cuadrado?

a) ¿Qué número o números satisfacen la condición anterior?

b) Una de las siguientes ecuaciones modela el problema anterior:

1. x +12 = 2x 2 2. (x +1)2 = (2x)2

Desarrolla ambas y encuentra las soluciones de ambas ecuaciones.

Soluciones de la ecuación 1 Soluciones de la ecuación 2

x 1 = x 1 =

x 2 = x 2 =

c) Se sabe que uno de los números que satisfacen la propiedad es – 13

. Verifica con esta información las respuestas dadas anteriormente.

Comparen sus resultados y comenten cómo los obtuvieron.

4. ¿Cuántas soluciones tiene la expresión (x + 5)2 + 3 = (x + 1)2 + 43?

Simplifica la ecuación y resuélvela para comprobar tu respuesta.

Para conocer más ejemplos de problemas modelados con ecuaciones, pueden ver el programa Planteamiento de problemas diversos.

Para saber másSobre resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado, consulta:http://descartes.cnice.mec.es/Ruta: Aplicaciones Álgebra Ecuaciones y sistemas Resolución de sistemas de ecuaciones[Fecha de consulta: 8 de octubre de 2008].

Sobre resolución de ecuaciones de segundo grado, consulta:http://descartes.cnice.mec.es/Ruta: Aplicaciones Álgebra Ecuaciones y sistemas Ecuación de segundo grado[Fecha de consulta: 8 de octubre de 2008].Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España.

Soluciones de la ecuación 1 Soluciones de la ecuación 2

c) Se sabe que uno de los números que satisfacen la propiedad es 1 . Verifica con

Recuerda que:

(x + a )2 = (x + a )(x + a ) = x2 + 2ax + a 2

MAT3 B5 S26.indd 175 12/10/08 6:30:57 PM

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos traduzcan un enunciado a una ecuación y que la resuelvan para dar respuesta al problema planteado en dicho enunciado.

Entonces, quizá la pregunta del inciso a) sea difícil que la contesten antes de resolver el resto, aunque también pueden probar con algunos números por ensayo y error para ver si cumplen la condición.

Si al responder la pregunta del inciso b) hubiera estudiantes que eligen erróneamente la ecuación 1, permítales seguir contestando. Al resolver las dos ecuaciones en el inciso c) podrán darse cuenta de que el 1 es una solución en ambas, sin embargo, en el inciso d) se les plantea que una de las soluciones es – 1

3, y dicho número no es

solución en la ecuación 1, así que la ecuación que modela correctamente el problema, es la 2.

Respuestas.

Ecuación 1

x + 12 = 2x 2

En su forma general quedaría:

–2x 2 + x + 1 = 0

x = −1 ± 12 – 4(–2)(1)

2(–2)

x = −1 ± 1 + 8

–4

x 1 = −1 + 3

–4 =

2–4

= – 12

x 2 = −1 – 3

–4 =

–4–4

= 1

Ecuación 2

(x + 1)2 = (2x)2

x 2 + 2x + 1 = 4x 2

2x + 1 = 3x 2

En su forma general quedaría:

0 = 3x 2 – 2x – 1

x = 2 ± –22 – 4(3)(–1)

2(3)

x = 2 ± 4 + 12

6

x 1 = 2 + 4

6 =

66

= 1

x 2 = 2 – 4

6 =

–26

= – 13

Respuesta. Tiene una solución.

x 2 + 10x + 25 + 3 = x 2 + 2x + 1 + 64

10x – 2x = 65 – 28

8x = 37

x = 4.625

Propósito del programa 49. Mostrar la forma de plantear problemas a partir de un enunciado y solucionarlos de formas diversas.

Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.

– 12

1

1 – 13

MAT3 B5 S26 maestro.indd 191 12/11/08 1:51:43 PM