Ecuaciones equivalentes14 de abril de 2010Publicado por Victoria PrezLossistemas de ecuaciones equivalentesson aquellos que tienen las mismassoluciones o races, aunque posean distintos nmeros de ecuaciones. Una de las reglas de equivalencia en los sistemas de ecuaciones es que si a ambos miembros de una ecuacin les sumamos o restamos una misma cantidad (no una incgnita), dar como resultado un sistema equivalente (de esta se pasa de un miembro a otro miembro sumando lo que resta o restando lo que se suma). Tambin si procedemos a multiplicar o dividir a los dos miembros pertenecientes a la ecuacin de un sistema por un nmero que sea distinto de cero, el sistema que resultar ser equivalente (as lo que se multiplica a un miembro pasa a dividir al otro miembro y viceversa). A continuacin observaremos algunos ejemplos:

Una ecuacin es equivalente, si a los dos miembros se les suma o resta un mismo valor:X + 3 = 2X + 3 3 = 2 3x = 5Tambin es equivalente una ecuacin si se dividen o multiplican ambos miembros por una misma cantidad:v5x + 10 = 15(5x + 10) : 5 = 15 : 5x + 2 = 3x + 2 2= 3 2x = 1Otro criterio a tener en cuenta seran los siguientes, por ejemplo cuando sumamos o restamos una ecuacin del mismo, tambin se dar como resultado un sistema equivalente. Esto sera una fusin de los dos criterios anteriores, veamos un ejemplo de esto, para pasar del sistema 1 al sistema 2 a la segunda ecuacin se le ha restado la primera:Si en un sistema de ecuaciones, una ecuacin es proporcional a otra o es combinacin lineal de otras, es posible eliminarla y el sistema que se obtenga ser equivalente al inicial, por esto es ventajoso suprimir las ecuaciones superfluas, la cuales podemos identificar con facilidad, por ejemplo, las que son nulas, proporcionales o las que sean de combinacin lineal entre otras:

En este ejemplo veremos que los sistemas son equivalentes ya que se suprimi la tercera ecuacin la cual era proporcional a la primera, la tercera ecuacin entonces es igual a la primera multiplicada por tres:

En los siguientes sistemas veremos la equivalencia puesto que se ha suprimido la segunda ecuacin, ya que todos los coeficientes y tambin el trmino independiente son nulos:

Se suprime aqu la cuarta ecuacin la cual era la suma de la ecuacin primera ms la segunda, como resultado tenemos un sistema equivalente:

Como ltimo ejemplo tenemos los siguientes sistemas, los cuales son son equivalentes ya que solo se cambi en todas las ecuaciones el orden de las incgnitas:

ecuaciones simultneas ElModelo de ecuaciones simultneases unmodelo estadsticoque viene dado por un conjunto de ecuaciones lineales. A menudo se utilizan eneconometrapara encontrar valores de los parmetros que se encuentran correlacionados y que suceden paralelamente, por ejemplo, en las estimaciones de la oferta y la demanda.Forma estructural y reducida[editar]Supongamos que haymecuaciones de regresin de la forma:

dondeies en nmero de la ecuacin, yt= 1, ,Tes el ndice de la observacin. En estas ecuacionesxites elki1 vector de variables exgenas,yitla variable dependiente,yi,tes elni1 vector de todas las dems variables endgenas que entran en la ecuacinithdel lado derecho, yuitson los trminos de error. La notacin i indica que el vectoryi,tpuede contener cualquiera de losys excepto elyit((puesto que ya est presente en el lado izquierdo). Los coeficientes de regresiniyison de dimensioneski1 yni1 respectivamente. Verticalmente apilando lasTobservaciones correspondientes a la ecuacinith, podemos escribir cada ecuacin en forma vectorial como:

dondeyiyuisonT1 vectores,Xies unaTkimatriz de regresores exogenos, yYies unaTnimatriz de regresores endogeneos del lado derecho de la ecuacinith.Finalmente, se puede mover todas las variables endgenas a la izquierda y escribir las ecuaciones m conjuntamente en forma vectorial como:

Esta representacin se conoce como la forma estructural. En esta ecuacinY= [y1y2ym]es laTmmatriz de variables independientes. Cada una de las matrices deYies de hecho una submatriznicolumnas de esta Y. La matrizmm, que describe la relacin entre las variables dependientes, tiene una estructura complicada. Tiene unos en la diagonal, y todos los otros elementos de cada columnaison o bien los componentes del vector deio ceros, dependiendo de que se incluyeron columnas deYen la matrizYi. LaTkmatrizXccontiene todos los regresores exgenos de todas las ecuaciones, pero sin repeticiones (es decir, la matrizXdebe ser de rango completo). As, cadaXies unakisubmatrizX. La matriz tiene un tamaokm, y cada una de sus columnas consta de los componentes de los vectores deiy ceros, dependiendo de cul de los regresores deXfueron incluidos o excluidos deXi. Finalmente,U= [u1u2um]es unaTmmatriz de los trminos de error.Postmultiplicando la ecuacin estructural por -1, el sistema se puede escribir en la forma reducida como

Este ya es un simple modelo lineal general, y se puede estimar, por ejemplo, pormnimos cuadrados ordinarios. Por desgracia, la tarea de descomponer la matriz estimadaen los factores individuales y 1es bastante complicado, y por lo tanto la forma reducida es ms adecuada para la prediccin, pero no para la inferencia.Supuestos[editar]En primer lugar, el rango de la matriz X de regresores exgenos debe ser igual a k, tanto en muestras finitas y en el lmite comoT (significa esto ms adelante requisito de que en el lmite de la expresindebe converger a un no degenerada k k matriz). Matriz tambin se supone que es no degenerada.En segundo lugar, los trminos de error se asumen como serie independiente e idnticamente distribuidas . Es decir, si la t fila de la matriz T se denota por u (t), entonces la secuencia de vectores {u (t)} debe ser iid, con media cero y algunos matriz de covarianza (que es desconocido). En particular, esto implica que E [U] = 0, y E [U'u] = T .Por ltimo, las condiciones de identificacin requiere que el nmero de incgnitas en este sistema de ecuaciones no debe exceder el nmero de ecuaciones. Ms especficamente, la condicin de la orden requiere que para cada ecuacin k i n + i k, que puede expresarse como "el nmero de variables exgenas excluidas es mayor o igual que el nmero de variables endgenas incluidos". La condicin rango de identificabilidad es que el rango (i 0) = n i, donde i es 0 a (k - k i) i n matriz que se obtiene de tachando esas columnas que corresponden a las variables endgenas excluidos , y aquellas filas que corresponden a las variables exgenas incluidos.

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