ecuaciones_inecuaciones

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Autor: Ing. Silvia Cristina Ibáñez

Universidad Nacional de Salta Facultad de Ciencias Exactas. CILEU 2008 Ing. Silvia Cristina Ibáñez

Tema 3: Ecuaciones e Inecuaciones

Una ecuación es un enunciado matemático que tiene dos expresiones separadas por un signo igual. La expresión de la izquierda del signo igual tiene el mismo valor que la expresión de la derecha, por lo tanto, podemos decir que las ecuaciones son igualdades.

Una o ambas expresiones pueden contener variables. Resolver una ecuación implica trabajar con las expresiones y encontrar el valor de las variables de manera que la igualdad se cumpla.

Por ejemplo: 2x = 6 es una ecuación, y se interpreta que x toma valores que verifican esa igualdad; en nuestro caso x=3.

Debemos distinguir entre identidades y ecuaciones. Cuando dos expresiones son iguales para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en la expresión, es una identidad. Cuando la igualdad sólo se cumple para determinados valores de la o las variables es una ecuación.

Por ejemplo: 2x2 + 5x2 + x2 = 8x2 es una identidad, y 2x2 + 3x = 5 es una ecuación.

¿Cómo se resuelven las ecuaciones?

Ecuaciones de primer grado y una incógnita

Son ecuaciones de la forma ax + b = 0 donde a y b representan números, son muy sencillas de resolver, basta con despejar x. Despejar x significa dejar a x sola a un lado del signo igual y al resto del otro lado, y esto se hace mediante un procedimiento que se conoce como pasaje de términos.

Ejemplo 1: Sea la ecuación 5x – 2 = 8 Ejemplo 2: 3 (x- 2) = -3 (x + 5)

5x = 8 +2 3x – 6 = -3x - 15

5x = 10 3x + 3x = -15 + 6

x = 10 / 5 6x = -9

x = 2 x = - 3/2

¿Qué propiedades se fueron aplicando para realizar los “pasajes de términos”?

Ecuaciones de segundo grado y una incógnita

Son ecuaciones de la forma ax2 + bx - c = 0, también denominadas cuadráticas, cuya resolución es muy sencilla. Para ello basta aplicar la siguiente fórmula:

2


Se obtienen dos soluciones (el número de soluciones es coincidente con el grado de la ecuación).

Ejemplo: x2 – 5x + 6 = 0

32

15x1 =+= y 2

2

15x 2 =−=

A la expresión que se encuentra dentro de la raíz D = b2- 4ac se la llama discriminante de la ecuación de segundo grado y verifica:

� Si D>0 La ecuación tiene dos soluciones reales distintas � Si D=0 La ecuación tiene dos soluciones reales iguales � Si D<0 La ecuación no tiene ninguna solución real

Se puede dar el caso que b = 0 o c = 0, y se dice que las ecuaciones son incompletas.

Caso 1: Si c = 0 se tiene ax2 + bx = 0, sacando factor común x se tiene x (ax+b) = 0

Para que se cumpla esta ecuación se tiene dos posibilidades:

1) x = 0 2) (ax+b) = 0 �� x = -b/a

¿Por qué?

Caso 2: Si b = 0 se tiene ax2+c=0 donde a

cx

−±= (note que al “pasar” el cuadrado al otro

miembro como raíz cuadrada, pasa con doble signo)

Ecuaciones con valor absoluto

El valor absoluto de un número x se define como:

Esta definición la podemos leer de la siguiente manera:

“El valor absoluto de un número x, que se representa como |x|, es un número que es igual a x si x es positivo o cero, y es igual a x cambiado de signo(-x), si x es negativo”

Por ejemplo: |2| = 2 y |-3| = -(-3) = 3

De esto podemos concluir que el valor absoluto (también llamado módulo) de un número, es siempre positivo.

Cuando se tienen expresiones de la forma ax + b dentro de las barras del valor absoluto, la definición nos queda:

2

15

2

24255

1*2

6*1*4)5()5(x

2

2,1

±=−±=−−±−−

=

3


Ejemplo 1: Sea la siguiente ecuación |x-2|= 1/3

Aplicando la definición de valor absoluto:

1º) |x-2| = x-2 = 1/3 si x-2 ≥ 0, es decir x ≥ 2, en consecuencia la ecuación quedaría

x = 1/3 + 2 Ø x = 7/3 (observe que este valor de x cumple con la condición x ≥ 2)

2º) |x-2| = -(x-2) = 1/3 si x-2 < 0, es decir x < 2, en consecuencia la ecuación quedaría

-x + 2 = 1/3 Ø x = 5/3 (observe que este valor de x cumple con la condición x < 2)

Una forma más rápida de hacerlo sería la siguiente:

1º) x-2 = 1/3 Ø x = 1/3 + 2 Ø x = 7/3

2º) x-2 = -1/3 Ø x = -1/3 + 2 Ø x = 5/3

El conjunto solución es:

S = {7/3, 5/3}

En base a lo visto anteriormente, ¿cuál piensa que será la solución de la ecuación |x+1| = -1?

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones de primer grado. Resolver un sistema es encontrar la solución común a todas ellas (es decir que esta solución las satisface a todas), o concluir que el sistema no tiene solución.

Sea un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Este sistema se puede resolver con los siguientes métodos (dos métodos algebraicos y uno gráfico, habiendo otros):

a) Método de Sustitución b) Método de Igualación c) Método Gráfico

Ejemplo: 3x + y = 11 (1)

5x – y = 13 (2)

Método de sustitución: Por este método se despeja una incógnita de una ecuación cualquiera del sistema y se la reemplaza en la otra de manera que esta segunda ecuación queda en función de una sola incógnita. En nuestro sistema:

De (1) se despeja y: y = 11 - 3x (3)

Luego se reemplaza (3) en (2):

4


5x – (11 – 3x) = 13 ⇔ 5x – 11 + 3x = 13 ⇔ 8x = 13 + 11 ⇔ 8x = 24 ⇔ x = 24 / 8 ⇔ x = 3

Ahora el valor de x se reemplaza en (3):

y = 11 – 3 * 3 ⇔ y = 2

Así se encuentra que la solución del sistema es y = 2 y x = 3

Nota: Se deja propuesto que el alumno pruebe aplicar el método pero ahora despejando x de la ecuación (1) y luego reemplazando en la ecuación (2)

Método de igualación: Por éste método se elige despejar la misma variable de ambas ecuaciones e igualar las expresiones de manera tal que la ecuación resultante quede en función de una sola incógnita.

Por ejemplo, en el sistema con el que estamos trabajando, elegimos despejar y de ambas ecuaciones:

De (1) y = 11 -3x (3)

De (2) y = 5x – 13 (4)

Como y = y

11 – 3x = 5x – 13

5x + 3x = 11 + 13

8x = 24

x = 3

El valor de x se reemplaza en (3) o en (4) para obtener el valor de y:

y = 11 - 3*3

y = 2

Como vemos se obtienen los mismos resultados que en el método de sustitución.

Nota: Queda para el alumno despejar x de ambas ecuaciones y aplicar nuevamente el método para comprobar su validez.

Método Gráfico: Graficamos ambas rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos. Pueden ocurrir tres casos:

Caso 1: Las rectas se cortan en un punto. Las coordenadas x e y de ese punto corresponden a la solución del sistema. En otras palabras, tenemos solución única.

Caso 2: Las rectas no se cortan en ningún punto (son paralelas). En este caso, el sistema no tiene solución.

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Caso 3: Las rectas son coincidentes, es decir, ambas expresiones representan a la misma recta. En este caso el sistema tiene infinitas soluciones.

Nota: En los otros métodos también se presentan estos casos. Si al aplicarlos se llega a una igualdad inconsistente (p. e. 2 = 0), se dice que el sistema no tiene solución; si, en cambio, se llega a una igualdad que se verifica siempre (p. e. 0 = 0), el sistema tiene infinitas soluciones.

El sistema con el que venimos trabajando presenta solución única, lo cual se verifica por los tres métodos, siendo el siguiente resultado el correspondiente al aplicar el método gráfico:

Sistema de Ecuaciones - Método Gráfico

-16-14-12-10-8-6-4-202468

101214

0 1 2 3 4 5

x

y

y=11-3x y=5x-13

Se observa que las dos rectas se cortan en el punto y = 2 y x = 3

Problemas de aplicación

Con la resolución de los problemas de aplicación se busca que el alumno sea capaz de:

� Adquirir la habilidad de pasar del lenguaje coloquial al lenguaje simbólico. � Resolver las ecuaciones y sistemas de ecuaciones. � Analizar los resultados obtenidos. � Resolver ecuaciones que involucren valor absoluto

Ejercicio 1: Un número es tal que su triplo disminuido en 4 unidades es igual al doble de dicho número. ¿Cuál es el número?

3x-4 = 2x ⇔ 3x-2x = 4 ⇔ x = 4

Respuesta: el número es 4

Ejercicio 2: El número de páginas de un libro es tal que un séptimo de su suma con 36 es igual a la décima parte del número de páginas. ¿Cuál es el número de páginas?

10)36(

7

1 xx =+ ⇔ 10(x+36) = 7x ⇔10x+360 = 7x ⇔ 10x-7x= -360 ⇔3x= -360 ⇔ x = -120

Respuesta: La solución sería que el libro tiene -120 páginas, pero este resultado no tiene sentido físico, se observa que si bien el planteo matemático y la resolución de la ecuación son correctos, el

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resultado en sí no tiene correspondencia con el sentido físico. Podemos concluir que el problema no tiene solución.

Ejercicio 3: En un corral hay 92 aves entre gallinas y patos. Si hay 26 gallinas más que patos. ¿Cuántas aves de cada clase hay? P: patos G: gallinas

G=26+P (1)

P+G=92 (2)

Se resolverá por el método de igualación

De (2): G=92-P (3)

Igualando (1) y (3): 26+P = 92-P ⇔2P = 66 ⇔P = 33

Reemplazando en (3): G = 59

Respuesta: En el corral hay 33 patos y 59 gallinas que suman 92 aves.

Inecuaciones en una variable

Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones, en las que aparecen una o varias incógnitas. Una inecuación en una sola variable se puede presentar de las siguientes formas:

f(x) < g(x) , f(x) ≤≤≤≤ g(x) , f(x) > g(x) o f(x) ≥≥≥≥ g(x).

La resolución de las inecuaciones es muy parecida a la resolución de las ecuaciones, solo se debe tener cuidado al pasar algún término multiplicando o dividiendo al otro miembro, si este es negativo. Por ejemplo:

Ejemplo 1: Resuelva la siguiente inecuación

5x + 6 < 3x – 8 ⇔ 5x - 3x < -8 – 6 ⇔ 2x < -14 ⇔ x < -7

El conjunto solución es: S = {x / x < -7}

Gráficamente, representando el resultado obtenido en la recta real, tenemos

El círculo que rodea a -7 nos indica que este valor no pertenece al conjunto solución.

Ejemplo 2: Resolver la inecuación

2x – 8 > 4x + 6 ⇔ 2x - 4x > 6 + 8 ⇔ -2x > 14 ⇔ x < -7

Note que al pasar dividiendo -2, se invierte el sentido de la desigualdad.

El conjunto solución es: S = {x / x < -7}

-7

7


Y gráficamente nos queda:

Inecuaciones cuadráticas

Sean a, b, c constantes reales tales que a ≠ 0. Sea x una variable real. Se llama inecuación cuadrática a toda inecuación en la cual uno de sus miembros es una expresión de la forma ax2 + bx – c y el otro miembro es cero. Para resolverla se recurre a la factorización de la expresión cuadrática, y a la aplicación de la regla de los signos. Para que quede más claro, recurramos a un ejemplo: Ejemplo: 2x2 – 5x - 3 ≥ 0 Se calculan las raíces de la ecuación cuadrática 2x2 – 5x - 3 = 0,

34

12

4

75

4

495x1 ==+=+=

2

1

4

2

4

75

4

495x 2 −=−=−=−=

Factorizando:

2x2 – 5x - 3 = 2 (x-3) (x+1/2)

Por lo que la inecuación nos queda:

2x2 – 5x - 3 ≥ 0 ⇔ 2 (x-3) (x+1/2) ≥ 0 Para resolverla, basta considerar cuando el producto de tres factores (2, (x-3) y (x+1/2)), es mayor o igual a cero. 1º) Analicemos primero la igualdad a cero. Para que un producto sea igual a cero, por lo menos uno de los factores debe serlo. En nuestro caso: i) 2 ≠ 0 ii) x – 3 = 0 ñ x = 3 iii) x + ½ = 0 ñ x = - 1/2 De este análisis surge una primera solución:

S1 = {- ½, 3}

2º) Analicemos ahora la desigualdad estricta

-7

8


2 (x-3) (x+1/2) > 0 Teniendo en cuenta la regla de los signos, y que el factor 2 es siempre positivo por lo que no influirá en el signo del producto de los otros dos, se sabe que un producto de dos factores es mayor que cero si los dos factores son positivos o los dos negativos, es decir, ambos tienen el mismo signo. Entonces, veamos ambas posibilidades: Primera posibilidad: x-3 > 0 y x +1/2 > 0 ⇔ x > 3 y x > -1/2 ⇔ x > 3 (¿Por qué?) Segunda posibilidad: x-3 < 0 y x +1/2 < 0 ⇔ x < 3 y x < -1/2 ⇔ x < -1/2 (¿Por qué?) De este análisis surge una segunda solución:

S2 = {x/ x > 3 , x < -1/2 }

Por lo cual el conjunto solución que se obtiene realizando la unión de las soluciones S1 y S2 es:

S = {x / x ≥3 o x ≤ -1/2} En las clases prácticas se verá un método más rápido para resolver este tipo de inecuaciones. Bibliografía 1) Precálculo – James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson – 3º Edición

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