Ecualizadores y Filtros Terminales Óptimos Verónica M. Miró Comunicaciones Eléctricas 2008.

Ecualizadores y Filtros Terminales Óptimos

Verónica M. MiróComunicaciones Eléctricas

2008

Corrección de la Distorsión - ECUALIZADORES

OBJETIVO Compensar ó igualar respuestas de

amplitud y fase no ideales de un canal cuya función transferencia es Hc(f).

H c(f) H ec (f)x(t) xc(t) y(t)

ECUALIZADORES

El ecualizador se coloca en cascada con el canal de manera que la respuesta en frecuencia del conjunto sea ideal, al menos hasta la máxima frecuencia de interés fx.

eKfHfH dtfjecC

2)(.)(

)( fH ecxfffH

eK

c

tfj d

)(

. 2

ECUALIZADORES

La forma de implementar el igualador es mediante un filtro llamado Filtro Transversal.

Los filtros transversales pueden ajustarse a cualquier requerimiento.

ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL

Ck : Multiplicadores analógicos de 4 cuadrantes de ganancia ajustable. Son valores reales

TS : Unidades de retardo idénticas

Ts

GananciasVariables

y(t)

C-1

C0

x(t)

C1

C2

C0

C1

Ts

Forma Simétrica

Forma No Simétrica

1kC

ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL Caso particular: 2 unidades de retardo, 3

ganancias ajustables, ( N = 3 )

)2()()()( 210 SS TtxCTtxCtxCty

efXCefXCfXCfY SS TfjTfj 222

210 )()()()(

ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL La salida es la suma de un conjunto de

ecos de la entrada

eCeCCfX

fYfH SS TfjfTj

FT22

22

10)(

)()(

)( 221

20

2 eCCeCe SSS fTjfTjfTj

ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL También podemos escribir la ecuación

anterior en su forma simétrica

La forma simétrica: presencia de un término central C0 (el mayor de todos los términos).

)( 210

21

2 eCCeCe SSS fTjfTjfTj

)2()()()( 101 SSFT TtCTtCtCth


Podemos ver que la respuesta impulsiva es finita y discontinua como un muestreo.

HFT(f) será periódica, período fS = 1/TS Será necesario colocar un filtro pasabajos

para permitir que sólo el primer período pase.


t

C1

C0

C-1

TS 2TS

h FT(t)

ffx

IH C(f)I

IHc(f)I

IHec(f)I

FiltroIdeal

ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL Procedimiento de diseño para un ecualizador

basado en un Filtro Transversal.

Afecta en forma lineal la fase (1º término)Serie de Fourier en frecuencia con un número

finito de términos.Ck = C (kTS)Vamos a pedir que HFT(f) = Hec(f), IfI fx

)()( 21

1

2 eCefH SS Tkfj

kk

TfjFT

ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL Generalizando para (N – 1) unidades de retardo y N

unidades de ganancia

Los coeficientes Ck se podrán calcular como los coeficientes de una serie de Fourier

)()( 22/)1(

2/)1(

2

12 eCefH SS Tkfj

N

Nkk

TNfj

FT

dfefHTdfefHf

kTCC S

S

S

S

S

S

Tkfj

f

f

FTSTkfj

f

f

FTS

Sk 2

2/

2/

2

2/

2/

)()(1

)(

ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL Queremos que

casoOtrofH

ffffHfH

ec

SxecFT

0)(2

)()(

dfefHTdfefHTC SS

x

kTfjFTS

kTfjfx

f

FTSk 22 )()(

Hec(f) que se hace cero para . xff

)(2

1)( Sec

xSecSk kTh

fkThTC fx = fS /2

ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSALObtención del N N se estima, no hay un método determinístico

Despreciar las muestras menores al 5% de la máxima muestra

de hec(t).

Procedimiento alternativo para la obtención de hec(t). Se adopta un valor de N y se calcula HFT(f). Si lo obtenido difiere mucho de Hec(f), se va aumentando la cantidad de muestras (se aumenta N) hasta tener una diferencia aceptable ó se cumpla la condición de error solicitada.

ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL – Puesta a punto Pedimos

Antitransformando

eKfHfH dtfjecc

2.)(.)(

decc ttKfHfHF .)(.)(1

H c(f) H ec (f)x(t) xc(t) y(t)

C k

(t-t d)

td

(t)

Filtro Transversal - Conclusiones Filtro general, se puede obtener cualquier función

transferencia H(f). Filtro flexible, variando sus ganancias. Mantener TS mismo ancho de banda.

Para uso en aplicaciones lineales del mismo ancho de banda de señal.

Generación de códigos de línea Desventajas: No es sencillo variar los TS (a menos que sea

un filtro digital con registros de desplazamiento que se pueden variar modificando el clock general).

El número de unidades de retardo es N-1 y se lo hace par, es decir, N es impar. Las ganancias Ck, trabajan de a pares los del mismo IkI , con respecto a C0 son iguales en magnitud y de igual ó distinto signo dependiendo si debemos compensar amplitud ó fase.

Se utiliza como ecualizadores adaptativos automáticos, ya que manteniendo fijo TS y N, se pueden variar los Ck (canal + igualador).

Filtro Transversal → hec(kTS)

Dos maneras de obtener hec(k.TS) por métodos discretos:

Por respuesta impulsiva hc(kTS)→Hc(nf0) Por muestreo de Hc(f) @ n.f0 Hec(nf0) → hec(kTS)


Se hace un ensayo impulsivo del canal hc(t). Muestreándola tendríamos hc(kTS) Por aproximación a la antitransformada tendríamos

Hc(n.f0) pasando a Hec(n.f0) A través de la IDFT (Inverse Discrete Fourier Transform)

hec(k.TS) Obteniendo C(k.TS). O sea hc(t) define a hec(t).

Ambas están relacionadas por hc(t) * hec(t) = k. δ(t – td) Si suponemos una igualación hasta un cierto ancho de

banda = k. sinc (t – td)


Con N mediciones del canal en frecuencia, obtenemos Hc(nf0) y luego usando la ecuación siguiente a frecuencias discretas

Además tenemos fS = 1/TS, fS :período de HecS(nf0), podemos proponer fS = N.f0

T0: duración útil de hec(t) = período de hecS(kTS)

)( fH ec

0

)(

. 2

nffc

tfj

fH

eK d

NTf

T

T

f

fN S

S

S 10

0

0

Filtros Terminales Óptimos


Objetivos Eliminar la distorsión lineal de amplitud

producida por el canalMaximizar la relación (S/N)d

WfeKfHfHfH dtfjRCT 2)()()( ; W: Ancho de

Banda del canal

H T(f)

n(t)

x0(t) +n 0(t)

x(t)H C (f) H R (f)

xT(t)

S T S R (S/N) d


Canal ruidoso ó ruido no blanco La respuesta en frecuencia del canal varía

con el ancho de banda del mensaje.

Se diseñan filtros Transmisores y Receptores para mejorar la relación S/N0


La optimización requiere de una característica adicional: la potencia transmitida ST deberá ser la mínima posible.

Maximizaremos la relación T

d

S

N

S


Se elige HR (f) y HT(f) para cumplir la ecuación Se elige HR(f) para minimizar el ruido en esta etapa.Entonces: La señal de salida no está distorsionada Se maximiza la relación (S/N)d

FILTROS TERMINALES ÓPTIMOS

WfeKfHfHfH dtfjRCT 2)()()(


Haciendo K = 1 x0(t) = x(t – td)

E{x02(t)} = E{x2(t)} = Sd =

Nd = E{n02(t)} =

ST = E{XT2(t)} =


dffGx )(

dffGfH nR )()(2

dffHfG TX

2)()(


dT

d

T

d S

NS

N

S

S

tnE

txE

N

S

)(

)(2

0

20

.)(

.)()(.)()(22

dffG

dffGfHdffHfG

X

nRTX

.)(

.)()(.)()(

)( 2

2

dffG

dffGfHdffHfH

fG

X

nR

Rc

X

Para minimizar


Minimización: Adecuada elección de HR(f) Desigualdad de Schwarz

Con V(f) y W(f) funciones complejas de f

dffWdffVdffWfV222

* )(.)()(.)(


Igualdad: V(f) = c. W(f), c=ctte., c > 0

se minimiza

)(.)()( fHfGfV Rn

)()(/)()( fHfHfGfW RCX

d

T

N

S

S

)()( fWfV


x

nC

XR ff

fGfH

fGcfH

)()(

)()(

2

x

XC

nT ff

fGfH

fG

cfH

)()(

)(1)(

2

2

)(

)()(

)(

dffH

fGfG

dffGS

N

S

C

nX

XT

d

NOTA: Los límites de la integral podrán ser

cambiados por +/- fX dado que GX(f) = 0 para

valores por encima de fX.

Filtros Terminales ÓptimosConclusiones El filtro de recepción atenúa las frecuencias donde

el ruido (Gn(f)) es grande y la señal es pequeña, el de transmisión lo inverso.

La fase de HR y HT son arbitrarias, pero deben cumplir la ecuación

Mejora significativa frente a un ecualizador cuando HC(f) y/ó GX(f), Gn(f) varían apreciablemente en el ancho de banda del mensaje


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