Edición: Alejandro González Luna Asistencia editorial...
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Dirección editorial: María Antonia Chávez ArellanoCoordinación editorial: Francisco Márquez de SampedroEdición: Alejandro González LunaAsistencia editorial: Roberto Chávez SánchezDiseño de interiores: Jorge Amaya
y Elizabeth Martínez Suástegui Diseño de portada: Antonieta Castro RomeroFotografía: Jupiter Images UnlimitedIlustraciones: Pedro Martiñón y Margarita TorresTipografía y formación: Elizabeth Martínez Suástegui
Matemáticas 3 Derechos reservados:© 2008, Ernesto Alonso Sánchez Sánchez
Verónica Hoyos AguilarJosé Guzmán HernándezMariana Luisa Sáiz Roldán
© 2008, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca,Delegación Azcapotzalco, C.P. 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro núm. 43
ISBN 978-970-817-181-6 (primera edición)ISBN 978-970-817-254-7 (venta especial)
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del con-tenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas omecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en MéxicoPrinted in Mexico
Primera edición: 2008
Dr. Ernesto Alonso Sánchez SánchezDepartamento de Matemática Educativa CINVESTAV-IPN
Dra. Verónica Hoyos AguilarUniversidad Pedagógica Nacional
Dr. José Guzmán HernándezDepartamento de Matemática Educativa CINVESTAV-IPN
Dra. Mariana Sáiz RoldánUniversidad Pedagógica Nacional
Presentación para el alumno
Estimado estudiante, el tercer libro de la seriede matemáticas tiene el objetivo de apoyar tuaprendizaje de las matemáticas. Se concibió
con la idea de que la matemática no es sólo unaactividad útil y atractiva, sino que tiene la fasci-nación de atrapar las más altas capacidades intelec-tivas del ser humano. En este libro encontrarás sufi-ciente material para que, con ayuda de tu maestro,hagas matemáticas interesantes.
Ahora que te encuentras en el tramo final de lasecundaria —a punto de pasar a otro nivel educati-vo cuyas exigencias son mayores—, conviene que teprepares para esa transición. Este libro te ofrece laoportunidad de hacerlo a través de teoría, activi-dades y problemas matemáticos que requieren de tuparticipación, pues sólo así se convierten en ver-daderas matemáticas.
Para aprender matemáticas debes tratar de verlascomo una actividad que consiste fundamental-mente en razonar y comunicar ideas matemáticas,así como resolver problemas y desarrollar y aplicartécnicas. Es una actividad comparable a la derealizar un deporte; y así como resulta sano y diver-tido hacer deporte, jugar futbol por ejemplo, tam-bién hacer matemáticas puede convertirse en unhábito saludable y placentero.
El centro de la actividad matemática en estegrado es el desarrollo de competencias, sobre todode razonar y comunicar ideas matemáticas. Razonarmatemáticamente consiste en obtener enunciadosverdaderos a partir de otros que se han consideradoya verdaderos; por ejemplo: “Si es verdad que tal ocual, entonces se infiere…”.
La competencia de comunicar matemáticas sig-nifica tanto escuchar las soluciones, procedimientosy razonamientos de los compañeros y el maestro,como leer y entender los problemas y explicaciones
en los libros, es decir, saber leer símbolos y gráficas,así como las explicaciones. También se entiendecomo la capacidad de expresar a los demás nuestrassoluciones oralmente y por escrito.
El desarrollo de ambas competencias se consiguea través de la solución de problemas. Ésa es la razónpor la que el libro contiene gran variedad de ellos.Cuando resuelvas los problemas propuestos podráspercibir que, en el proceso de solución, existen coin-cidencias con otros procesos de solución, estoayuda a desarrollar técnicas que serán útiles en otrosproblemas y formarán parte de un conocimientomatemático básico.
Hemos retomado la experiencia de seis estu-diantes que se reunían en un club de matemáticaspara formular y resolver problemas e intercambiarconocimientos acerca de las matemáticas. En Rusiay algunos países orientales es frecuente la existenciade clubes de matemáticas, así como de clubesdeportivos, ecológicos o de ajedrez. En nuestro país,cada año la Sociedad Matemática Mexicana reúnemuchachos que entrenan para participar en concur-sos nacionales e internacionales de matemáticas.
Tales actividades son una demostración de que lamatemática es una actividad apropiada pararealizarse en grupos y equipos, y no sólo individual-mente, ya que el trabajo en grupo permite el inter-cambio de ideas y el debate. Así, la importancia dela formación de grupos de discusión matemática—llámense clubes, equipos o asociaciones— es unade las lecciones importantes que se pueden sacar deeste libro.
Te invitamos, pues, a contribuir a la actividadmatemática, a desarrollar tus competencias y a dis-frutar y aprender de los conocimientos matemáti-cos. Confiamos que este libro sea uno de los instru-mentos que te permitan realizar esa empresa.
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Presentación para el profesor
Estimado maestro, el tercer libro de la serie dematemáticas de secundaria de Grupo Edito-rial Patria, al igual que los dos anteriores,
tiene el propósito de apoyar la labor que usteddesempeña en la enseñanza de las matemáticas ya sus estudiantes en el aprendizaje de esta mate-ria. El libro ofrece una rica y variada cantidad deactividades, problemas, ejemplos e informaciónteórica que cubren los contenidos curricularespara este grado, amén de seguir de manera decidi-da la metodología didáctica consistente en llevaral salón de clases actividades de estudio quedespierten el interés de los alumnos y los invitena reflexionar, a encontrar diferentes formas deresolver los problemas y a formular argumentosque validen los resultados.
Los autores estamos convencidos de que lasmatemáticas son, fundamentalmente, una activi-dad y no un conjunto de enunciados y procedi-mientos escritos en el papel que los alumnosdeben aprender. Viene al caso hacer una analogíacon el deporte, por ejemplo el futbol. ¿Qué es elfutbol? Sonaría no sólo extraño sino risible quealguien respondiera a esta pregunta diciendo queel futbol es el conjunto de normas establecidas enel reglamento de la FIFA. Es más natural pensar quees la actividad que desarrollan todos los niños,jóvenes y profesionales cuando juegan precisa-mente al futbol.
De la misma manera, las matemáticas son laactividad que ustedes y sus alumnos desarrollanen el aula y más allá de ella, y el presente libro lesofrece material para llevarla a cabo (como elbalón y las porterías permiten jugar futbol).Transmitir la idea de unas matemáticas vivas quesurgen del interés, la actividad individual y porequipo, y la discusión de los actores principales(alumnos y maestro), es el objetivo de utilizar unclub de matemáticas como recurso didáctico yexpositivo para formular problemas.
El símil de las investigaciones policiacas uti-lizado en primer grado transmite la idea de quelas matemáticas son exploración, búsqueda yrecopilación de evidencias, formulación de conje-turas y resolución de problemas, además de seremocionantes. Las situaciones científicas, ensegundo grado, sugieren la íntima relación de lamatemática con todas las ciencias; las matemáti-
cas como el instrumento y el lenguaje que ha per-mitido a la humanidad conocer profundamente lanaturaleza, prevenir sus furias y aprovechar susbondades. El club de matemáticas, en tercergrado, invita a participar en el juego y el placer dehacer matemáticas. Los autores partimos delreconocimiento de que hombres y mujeres, niñosy niñas, nos sentimos orgullosos de nuestraracionalidad; de que todos estamos dispuestos aaprovechar y desarrollar nuestras competencias derazonamiento, de comunicación, de resolución deproblemas y, con base en ellas, crear técnicas yprocedimientos que nos permitan encontrar ata-jos, sistematizar lo razonado, volverlos “tabiques”para construir nuestro propio edificio matemático.
Los estudiantes de tercer grado comienzan unproceso de maduración intelectual que deberándesarrollar durante el bachillerato y después enestudios superiores o en sus actividades laborales.Por tanto, éste es un buen momento para que cul-tiven una actitud positiva y segura frente a lasmatemáticas. Si se les ofrece la posibilidad detener experiencias intelectuales genuinas con estaciencia, será una semilla cuyos frutos podrán dis-frutar en su vida privada, laboral y profesional.
Los problemas que se presentan al comenzarcada lección, y algunas veces como parte mismade la lección, se pensaron para generar esas expe-riencias, pero estamos conscientes de que es sobretodo el papel del profesor, la dinámica que pro-picie en el salón de clase y la actitud que se logreobtener de los estudiantes, lo que puede permitiresas experiencias matemáticas genuinas a las quehacemos referencia.
Para finalizar, sólo nos resta decir que en estelibro hemos seguido decididamente un enfoqueinnovador para mejorar efectivamente el apren-dizaje de las matemáticas. Pero, indudablemente,quien lo puede hacer realidad es usted; comohemos mencionado antes, el texto no puederecorrer más de la mitad o la tercera parte delcamino para conseguir convertirse en un instru-mento para el aprendizaje de las matemáticas,pues el resto deberá transitarse en las aulas con laimprescindible y creativa labor de usted, estimadomaestro.
LOS AUTORES
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Estructura del libro
El fin y los medios
Esta sección comienza por hacer explícitos los objetivos en cada lección e inmediatamente después dainformación que tiene el propósito de animar a los estudiantes a explorar más los contextos en los quese desarrollan las matemáticas: las escuelas más antiguas en las que se forman matemáticos en México,algunos concursos de matemáticas que se realizan periódicamente en nuestro país, anécdotas de matemáti-cos mexicanos, y conceptos y problemas comunes a fin de ir creando una cultura matemática.
Un torito al ruedo
Sugiere un problema matemático en el contexto de la historia o la investigación científica. Algunosproblemas propuestos en esta sección son difíciles y tal vez se requiere que avances en el estudio de lalección para descubrir un camino de solución; otras veces lo podrás resolver desde un principio. Loimportante es que el problema está relacionado con los temas que estudiarás en la lección; además, teproporcionan la oportunidad de poner a prueba tu ingenio y creatividad.
Tendiendo las redes
Al torito por los cuernos
Proporciona información sobre conceptos básicos que a lo largo de la lección serán una herrramientade utilidad en el planteamiento y la resolución de problemas. Esta sección incluye varios apartados: elque tiene el título “De buena fuente” proporciona información, definiciones y conceptos que debenaprenderse; “Manos a la obra” propone actividades y en “Aguzando el ingenio” se encuentran proble-mas y, en ocasiones, ejercicios de práctica.
¡Ole, torito!
Tiene el propósito de reforzar el tema que se expone a través del planteamiento de un problema rela-cionado con la vida diaria, o brinda información de tipo tecnológico, siempre relacionados con el temade que trata la lección.
Al final del recorrido, en la sección “Al torito por los cuernos” , se retoma el problema inicial, con algunassugerencias y en ocasiones con la solución. El estudiante puede comparar así su comprensión antes de queincursionara en la lección y lo que ha logrado después de estudiarla. En esta última sección se incluye elapartado “Una última faena” en donde se propone una especie de examen de autoevaluación. Los proble-mas que ahí se formulan pueden, si es necesario, incorporarse en el estudio programado del tema.
Matematograma y progresímetro
Tanto el matematograma como el progresímetro se proponen como instrumentos de autoevaluación paralos estudiantes. El primero está pensado para que el alumno se evalúe a sí mismo en las cuatro competen-cias matemáticas que debe desarrollar durante su aprendizaje. Tiene cuatro categorías (o entradas), a saber:
Planteamiento y resolución de problemas. Implica que los alumnos deben encontrar la solu-ción de problemas nuevos, cuya manera de resolver no es inmediata, ni está dada por unafórmula o un procedimiento aprendido de antemano. No mide la rapidez con que seresuelve el problema, sino la constancia de estar pensando en él hasta llegar a la solución.
Argumentación. Consiste en encontrar las explicaciones y razones de un procedimiento osolución, y de apoyarse en los conocimientos ya adquiridos a fin de utilizarlos comorazones o argumentos para decir que una proposición es verdadera.
Comunicación. Implica escuchar, hablar, leer y escribir de manera correcta acerca de ideasmatemáticas; por ejemplo, saber exponer y escuchar las ideas del maestro y de los com-pañeros, saber leer libros de matemáticas, las notas del maestro o los trabajos de los com-pañeros, así como hacer sus propios escritos.
Plante
amie
nt
o y resolución de problem
as
Argumentación
Comunicación
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Planteamiento y resolución de problemas
Argumentación
Comunicación
Manejo de técnicas
A B C D
Matematograma
Enseguida, presentamos dos matematogramas y la forma en que se pueden interpretar:
Man
ejo de técnicas
Comunicación
Argumentación
Plante
amie
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o y resolución de problem
as
Planteamiento y resolución de problemas
Argumentación
Comunicación
Manejo de técnicas
A B C D
Matematograma de Pepe
Man
ejo de técnicas
Comunicación
Argumentación
Plante
amie
nt
o y resolución de problem
as
El diagrama del matematograma es semejante al que se propone abajo y se trata de que cada estudiantellene las celdas que crea que ha cubierto en cada una de las competencias.
A Me hace falta saber hacerlo
B Sé hacerlo algunas veces, pero mehace falta más trabajo
C Sé hacerlo bien y tengo buenoslogros
D Sé hacerlo muy bien y tengo logrosexcelentes
Pepe reconoce que tiene buenoslogros en el manejo de técnicas,que algunas veces sabe resolverproblemas y cómo comunicar losresultados, aunque tiene que trabajarmás en eso. Asimismo, expresa queaún no sabe cómo argumentar.
Planteamiento y resolución de problemas
Argumentación
Comunicación
Manejo de técnicas
A B C D
Matematograma de María
Man
ejo de técnicas
Comunicación
Argumentación
Plante
amie
nt
o y resolución de problem
as
El matematograma de María diceque algunas veces sabe cómoresolver los problemas y manejarlas técnicas, si bien le hace faltamás trabajo. También tiene bue-nos logros en la argumentación deresultados y comunicación de lasideas matemáticas.
¿Qué aspecto tendrán tus propios matematogramas?
Por su parte, el progresímetro evalúa tres líneas de progreso, que son:
De resolver con ayuda a resolver de manera autónoma. Considera el hecho de que los alumnos consoli-den su propia autonomía en el aprendizaje.
De los procedimientos informales a los procedimientos expertos. Parte de la premisa de que, al iniciar elestudio de un tema nuevo, los estudiantes usan procedimientos informales y con el tiempo los vansustituyendo por procedimientos más eficaces.
Manejo de técnicas. Se refiere a saber ejecutar procedimientos y algoritmos. También incluyela competencia de saber elegir y aplicar procedimientos en diversas situaciones.
El matematograma tiene cinco niveles para medir el grado de competencia. Se puede decir que cualquierestudiante comienza en el nivel A y luego va remontando de acuerdo con su concentración en el trabajo.
Man
ejo de técnicas
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Momento A Momento B
Autónomo
No pude resolverlo
Podría resolverlo si me ayudaran un poco
Pude resolverlo yo solo
Lo resolví trabajando con otro compañero(yo participé activamente)
No pude resolverlo
Pude resolverlo sólo con ayuda de alguien queme guió
Pude resolverlo yo solo
Lo resolví trabajando con otro compañero(yo participé activamente)
Momento A Momento B
Experto
No pude resolverlo
Usé un procedimiento que me pareció bueno, pero aúnno lo resuelvo
Lo resolví con un procedimiento matemáticamente formalLo resolví, pero creo que hay una mejor manera dehacerlo
No pude resolverlo
Lo resolví con un procedimiento que me parecióadecuado según mis conocimientos
Lo resolví con un procedimientomatemáticamente formalLo resolví, pero creo que hay una mejormanera de hacerlo
Momento A Momento B
Axiomático
No pude resolverlo
Desconozco los principios que usé, pero creo estar cercadel resultado
Puedo explicar los principios por los cuales uséel procedimiento que me llevó al resultadoAún no me queda claro por qué usé el procedimientoque me llevó al resultado
No pude hacerlo
No puedo dar las razones por las cuales usé esteprocedimiento
Puedo explicar los principios por los cuales uséel procedimiento que me llevó al resultadoAún no me queda claro por qué usé el procedimiento que me llevó al resultado
Competencias:
Finalmente, te proponemos actividades o ejercicios para que los resuelvas solo o con alguno o algunos de tuscompañeros.
Te deseamos ánimo y suerte en el estudio de las matemáticas.
Trabajo individual. Te da la oportunidad de pensar y desarrollar tu ingenio e iniciativa, segúnlas capacidades personales.
Trabajo en pareja. Su propósito es que escuches el planteamiento de otro compañero y locompares con el tuyo para tratar de llegar a un acuerdo.
Trabajo en equipo. Amplía las posibilidades del trabajo con la participación de un mayornúmero de compañeros.
La comparación entre el progresímetro de “La pasión por investigar“ (momento A) y el del “¡Lo tengo, lotengo!“ (momento B) puede dar una idea del avance que el estudiante ha logrado en estos aspectos especí-ficos. Por ejemplo, al inicio de la lección un alumno podría ubicarse en el progresímetro de autonomíaen la letra a, pero al final quizá considere que, tras el esfuerzo realizado, se halla en la letra c.
De la justificación pragmática a la justificación axiomática. Evalúa el proceso mediante elcual el estudiante pasa de una explicación útil y práctica (“porque así me salió”) a unaargumentación que se apoya en propiedades o axiomas conocidos.
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Índice
Bloque 1
Lección
1
Lección
2
Lección
3
Lección
4
Bloque 2
Significado y uso de las operaciones algebraicas 14
El fin y los medios 14; Sotero Prieto: pionero en la enseñanza de la matemática avanzada 14; Un torito al ruedo 15; Una presidencia meritoria 15;Tendiendo las redes 16; Expresiones algebraicas 16; Reducción, cálculo y operaciones con expresiones algebraicas 17; Producto de dos binomios 19; ¡Ole, torito! 23; Un genio desconectado 23; Factorización 24; Trinomios cuadrados perfectos 26; Raíces de polinomios 28; Al torito por los cuernos 31;De nuevo una presidencia meritoria 31; De nuevo un genio desconectado 32; Una última faena 32.
Aplicación de la congruencia de triángulos a los cuadriláteros 34
El fin y los medios 34; La Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) 34; Un torito al ruedo 35; La geometría, llave de lo inaccesible 35; Tendiendo las redes 36; La demostración en geometría 36; ¿Seguro que tienes buena vista? 36; Cuadriláteros y congruencia de triángulos 40; Primero pienso, luego argumento 42; Al torito por los cuernos 46; De nuevo la geometría, llave de lo inaccesible 46; Una última faena 47.
Rectas y ángulos 48
El fin y los medios 48; La Escuela de Física y Matemáticas del IPN y el Concurso Pierre Fermat 48; Un torito al ruedo 49; El ángulo adecuado de las cosas 49;Tendiendo las redes 50; Al torito por los cuernos 60; De nuevo el ángulo adecuado de las cosas 60; Una última faena 61.
Pendiente de una recta. Proyectos estadísticos 62
El fin y los medios 62; Desmemoriado y geniudo 62; Un torito al ruedo 63; Hasta no ver, no creer 63; Tendiendo las redes 64; Tipos de incremento y razón de cambio 64; La pendiente de una recta 66; Estadística 71; ¡Ole, torito! 71; Telepatía numérica 71; La calidad del aire en la Zona Metropolitana de la Ciudad de México 71; Al torito por los cuernos 72; De nuevo hasta no ver, no creer 72; De nuevo telepatía numérica 72; Una última faena 73; Matematograma 74.
Ecuaciones no lineales 76
El fin y los medios 76; Calculista prodigio con tenacidad de acero 76; Un torito al ruedo 77; Bajando costos y aumentando volumen 77;Tendiendo las redes 78; Ecuaciones cúbicas elementales 78; ¡Ole, torito! 78; Cuando Luisa venció al aburrimiento 78; ¡Ole, torito! 79; El riesgo de decidir 79;La luz del entendimiento 80; Funciones cuadráticas 81; Método para resolver ecuaciones cuadráticas por factorizacón 83; …tal que multiplicados dan B y sumados dan A 83; Gráficas de funciones cuadráticas y sus raíces 84; Anatomía de la gráfica de una función 85; Al torito por los cuernos 88; De nuevo bajando costos y aumentando volumen 88; De nuevo cuando Luisa venció al aburrimiento 89, De nuevo el riesgo de decidir 89; Una última faena 90.
Semejanza 92
El fin y los medios 92; Con calculadora integrada 92; Un torito al ruedo 93; Un tal Tales 93; Tendiendo las redes 94; Construcción de triángulos 94;El libro del tío Ernesto 98; La sombra de Tales 100; Relación entre cuadriláteros y el paralelogramo inscrito 102; Al torito por los cuernos 103;De nuevo un tal Tales 103; Una última faena 103.
Porcentajes. Simulación 106
El fin y los medios 106; Habilidades matemáticas innatas 106; Un torito al ruedo 107; El rey de los deportes y de las estadísticas 107; Tendiendo las redes 108; Información es poder 109; Beisbolmanía 112; Simulación y probabilidad 114; ¡Ole, torito! 114; El clásico de otoño 114;Fuerza de ventas: o vendes o vendes 114; Qué suerte tiene el que no se baña… ni estudia 117; Al torito por los cuernos 118; De nuevo el rey de los deportes y de las estadísticas 118; De nuevo el clásico de otoño 118; Una última faena 119; Matematograma 120.
Bloque 3Relaciones funcionales y ecuaciones cuadráticas 122
El fin y los medios 122; Olimpiada Mexicana de Matemáticas 122; Un torito al ruedo 123; Fiebre específica 123; Tendiendo las redes 124;
Relaciones funcionales 124; Movimiento uniformemente acelerado 126; Dos problemas que dan origen a una ecuación cuadrática 127;Partido no apto para cardiacos 132; Al torito por los cuernos 135; De nuevo fiebre específica 135; Una última faena 135.Teorema de Tales y homotecia 136
El fin y los medios 136; Teorema de Tales y homotecia 136; Un torito al ruedo 137; Cuando el resultado es lo de menos 137; Tendiendo las redes 138;Construcción de triángulos semejantes 138; Teorema de Tales 140; Recíproco del teorema de Tales 141; División de un segmento en partes iguales 142;¡Ni con teodolito! 142; División de un segmento en una razón dada 143; –Aquí, el único que tiene la razón es el segmento 144; División de un segmento en una razón negativa 145; Homotecia 145; El niño de cabeza, por favor 145; Desmenuzando la homotecia 147;Centro de homotecia, puntos homólogos y razón de homotecia 149; Al torito por los cuernos 152; De nuevo cuando el resultado es lo de menos 152;Una última faena 152.
Lección
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Lección
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Lección
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Lección
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Lección
9
13
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121
9
Bloque 4
Bloque 5
Bloque 3
Bibliografía 257
Representación gráfica de relaciones entre variables 154
El fin y los medios 154; Nicole Oresme: fundador de la representación gráfica en matemáticas 154; Un torito al ruedo 155; Actuando bajo presión 155;Tendiendo las redes 156; Variable independiente y variable dependiente 157; Pierda peso y gane pesos 158; Gráficas de funciones no lineales 159;Yo interpolo, tú interpolas, él… 161; Movimiento rectilíneo y gráficas 163; Acercando la lejanía 163; Velocidad promedio por unidad 165; Llenado derecipientes 169; Al torito por los cuernos 172; De nuevo actuando bajo presión 172; Una última faena 172; Matematograma 174.
Patrones y fórmulas 176
El fin y los medios 176; Representación partidista. Ni tan simple ni tan justa 176; Un torito al ruedo 177; Efeméride tauromatemática 177;Tendiendo las redes 178; Indicios que se desvanecen 179; El que busca, encuentra 181; Al torito por los cuernos 184; De nuevo efeméride tauromatemática 184; Una última faena 185.
Teorema de Pitágoras 186
El fin y los medios 186; Sin copyright © 186; Un torito al ruedo 187; 2 o en busca de la armonía 187; Tendiendo las redes 188;Al calor de las respuestas 188; Aplicaciones del teorema de Pitágoras 190; Pitágoras entre bambalinas 190; Al torito por los cuernos 194;De nuevo 2 o en busca de la armonía 194; Una última faena 194.
Trigonometría 196
El fin y los medios 196; Siempre mágicos, siempre cuadrados 196; Un torito al ruedo 197; . . . – – – . . . (SOS en alta mar) 197;Tendiendo las redes 198; A brazo partido 198; Nada como tener buenas relaciones 202; Al torito por los cuernos 205; De nuevo . . . – – – . . . (SOS en alta mar) 205; Una última faena 206.
La resolución de problemas y las ecuaciones 220
El fin y los medios 220; Ciencia, sí; sentido común, no 220; Un torito al ruedo 221; La Vuelta Ciclista de México 221; Tendiendo las redes 222; Aprendiendo a resolver problemas 222; Tipos de variables en los problemas 223; El uso de gráficas 223; Aproximación de las raíces de una ecuación cuadrática 224; Problemas verbales 227; Al torito por los cuernos 230; De nuevo la Vuelta Ciclista de México 230; Una última faena 230.Volúmenes de cuerpos geométricos 232
El fin y los medios 232; Razón áurea, belleza por siempre 232; Un torito al ruedo 233; Gira que gira, la geometría 233; Tendiendo las redes 234;Construcción de un cilindro 236; Construcción de un cono 237; Al torito por los cuernos 241; De nuevo gira que gira, la geometría 241;Una última faena 241.Mediana, cuartiles y diagramas de caja-brazos 244
El fin y los medios 244; Por simple topología 244; Un torito al ruedo 245; Estadística para ufólogos 245; Tendiendo las redes 246;Media y mediana de un conjunto de datos 246; Cuartiles 247; Ya están grandecitos, ya saben lo que hacen 250; Diagrama de caja-brazos 250;Al torito por los cuernos 254; De nuevo estadística para ufólogos 254; Una última faena 254; Matematograma 256.
Lección
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Crecimiento exponencial y sus gráficas 208
El fin y los medios 208; Con premios o sin ellos, el talento resplandece 208; Un torito al ruedo 209; Cuánto vales, cuánto ahorras 209;Tendiendo las redes 210; ¿Jugosos rendimientos? ¡A poco! 211; Crecimiento aritmético y crecimiento exponencial 212;¡Súper, la inversión de mi vida! 212; ¡Ole, torito! 214; El corazón de las grutas 214; Al torito por los cuernos 216;De nuevo cuánto vales, cuánto ahorras 216; De nuevo el corazón de las grutas 217; Una última faena 217; Matematograma 218.
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1. S
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1.3.
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iante
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1.4.
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rmina
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tre u
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un
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1.5.
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4. Pendie
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2.5.
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2.6.
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8. Rela
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3.2.
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form
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B B L L O O Q Q U U E E 3 3 B B L L O O Q Q U U E E 4 4
Dosific
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12
13. Tr
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14. Cre
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4.4.
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nenc
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4.5.
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5.2.
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5.4.
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y co
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5. In
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B B L L O O Q Q U U E E 5 5
13
Bloque
1
Alessandra, Boris, Natasha, Miguel, Carlos y Luisa, estudiantes de tercer grado de la secun-daria Miguel Hidalgo, han organizado un club de matemáticas: el Sigma Six. El objetivo delclub es resolver problemas matemáticos y estudiar aspectos relacionados con la cultura de estadisciplina; se proponen obtener excelentes calificaciones, participar en algunos concursos,como el de las Olimpiadas de Matemáticas o el Concurso Pierre Fermat pero, sobre todo,desean disfrutar juntos el placer de jugar con las matemáticas, de compartir sus habilidades in-telectuales en la consecución de soluciones que a primera vista parecen imposibles, pero quemás tarde —después de trabajo y discusiones— se presentan claras y distintas al pensamiento.
En este bloque, se describen algunos de los problemas que se plantean en el club. En el eje“Sentido numérico y pensamiento algebraico” se revisa la simplificación de expresiones alge-braicas y el desarrollo de productos notables y cómo dichas ideas se aplican al cálculo mental.En el eje “Forma, espacio y medida” surge el problema de llevar a cabo justificaciones geométri-cas aplicando criterios de congruencia de triángulos. En este mismo eje se estudian las rela-ciones entre las rectas y la circunferencia. En el eje “Manejo de la información” se estudia elimportante concepto de pendiente de una recta y cómo utilizarlo en la caracterización del cre-cimiento de funciones; además, se introduce la idea de proyecto estadístico.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Lección 1
14
Sotero Prieto: pionero en laenseñanza de la matemática avanzada
El primer curso avanzado de matemáticas en México lo impartió el joven maestroSotero Prieto a la edad de veintisiete años. Se dio en la Escuela Nacional de AltosEstudios en 1912 y fue un curso de funciones analíticas. Sotero Prieto ejerció comoprofesor en las escuelas Nacional Preparatoria, Nacional de Ingenieros y Nacionalde Altos Estudios; todo mundo coincidía en que era un excelente docente y, sobretodo, un ser humano entrañable. Animó a muchos estudiantes a que estudiaranmatemáticas y ciencias, quienes después se convirtieron en los primeros matemáti-cos y físicos profesionales mexicanos. Entre ellos destacan Alfonso NápolesGándara, Manuel Sandoval Vallarta, Nabor Carrillo, Carlos Graef y Alberto Barajas.Sotero Prieto es, a decir del doctor Lozano Mejía, el parteaguas en la historia de lasmatemáticas en México. En su honor, la Sociedad Matemática Mexicana otorgaanualmente el Premio Sotero Prieto a la mejor tesis de licenciatura en matemáticaspara cada generación de jóvenes egresados.
Manuel Sandoval Vallarta cuenta que en 1917 fue a estudiar a Cambridge,Massachusetts, en donde aprobó sin dificultad las pruebas más difíciles dematemáticas, geometría y trigonometría. “El Instituto Tecnológico de Mas-
sachusetts se distinguía por lo riguroso de sus exámenes de admisión, peroyo no tuve problemas gracias a las magníficas clases del profesor Sotero
Prieto. Si no hubiera sido por ellas, no habría pasado esa prueba. Mi exa-men fue tan bueno que al terminar me preguntaron adónde había estudiado:
—En la Escuela Nacional Preparatoria de México —les respondí.
—Ah, debe de ser una excelente escuela —dijeron asombrados.
—Sí, señores —asentí orgulloso.”
Significado y uso de las
operaciones algebraicas
Nuestro reto es: Y necesitamos...
• Saber operar con expresiones numéri-cas y algebraicas que permitan reducirlos cálculos numéricos.
• Entender el concepto de factor de unnúmero o de una expresión algebraica.
• Efectuar o simplificar cálculos con expre-siones algebraicas tales como:(x 1 a)2; (x 1 a)(x 1 b);(x 1 a) (x 2 a).Factorizar expresiones algebraicas talescomo: x2 1 2ax 1 a 2; ax2 1 bx;
x2 1 bx 1 c; x2 2 a2
El fin y los medios
Fuentes de internet
http://www.matmor.unam.mx/smm/60/sotero.html
Significado y uso de las operaciones algebraicas1
15
Una presidencia meritoria
Después de reunirse en varias ocasiones y decidir la creación del club dematemáticas Sigma Six, sus seis integrantes —Alessandra, Boris, Carlos,Luisa, Miguel y Natasha— acordaron que era necesario tener un presi-dente o una presidenta. El caso es que la elección empezó a hacersecada vez más áspera:
—¿Tú por qué? ¿Por qué no mejor Alessandra?—le reclamó Carlosa Boris, y los dimes y diretes no parecían llevar a nada bueno hasta queel maestro intervino:
—¡Calma, chavos, calma! Ya que han pensado que los miembros delclub deben participar en concursos, les propongo que el presidente sea elmejor calculista de todos ustedes. ¿Cómo la ven?
—Pues no está mal pero… ¿por qué no mejor lo dejamos al azar y nos aho-rramos broncas? —contrapropuso Miguel, a quien le apasionan la estadística y laprobabilidad. [Consulta el inicio de la lección 16 del libro de Matemáticas 1.]
Sin embargo, a los demás les pareció más meritoria la idea sugerida por el maes-tro y él mismo organizó el concurso. En forma oral, les planteó estas cuatro mul-tiplicaciones que debían resolver mentalmente.
75 3 75 13 3 17 26 3 34 53 3 57
Exactamente veinte segundos después de que el maestro terminaba de enunciarcada operación, Natasha daba el resultado correcto: “5625, 221, 884, 3021”.
Natasha ganó de calle la presidencia del club y, de paso, la admiración unánimede sus compañeros. La llamaron la Presidenta Calculista.
* Según el diccionario de la Real Academia Española, un torito es una “pregunta capciosade difícil respuesta”. Nosotros, sin embargo, usamos aquí el término torito parareferirnos simplemente a problemas más o menos complejos.
Un torito* al ruedo
Y la pregunta es:
¿Cómo le hizo Natasha para resolver cada operación mentalmente demanera tan rápida?
Plante
amie
nt
o y resolución de problem
as
Progresímetroexperto
DE BUENA FUENTE
En el álgebra frecuentemente se utilizan los términos monomio, binomio y polinomio. Realiza lo que se tepide para que recuerdes o deduzcas el significado de cada uno de estos términos:
1. Las siguientes expresiones algebraicas son monomios:
2. Las siguientes expresiones algebraicas son binomios:
x 23 25xz 3x2y abx 2y3 ( 3 s 2w4) 2
En cambio, estas expresiones algebraicas NO son monomios:
a) Explica con tus propias palabras lo que crees que es un monomio.
b) Compara tu respuesta con la de un compañero.
c) Finalmente, lleguen a un acuerdo y entreguen un reporte escrito a su maestro.
x 2 3 3y 2 2 5y 1 3 (x 1 a)2 log(x) x2y3 1 x 2 1
x 2 3 25xy 1 3x2y z 2 w x2y2 1 xy 26x 1 216y
3x2 25xz (x 1 a)2 log(x) 1 y x2y3 1 x 2 1
Sentido numérico y pensamiento algebraico
16
Expresiones algebraicas
x
y
En cambio, estas expresiones algebraicas NO son binomios:
3. Ahora proporciona tú mismo los ejemplos que ayuden a entender lo que es un trinomio.
Las siguientes expresiones algebraicas son trinomios:
En cambio, estas expresiones algebraicas NO son trinomios:
Tendiendo las redes
a) Explica con tus propias palabras lo que crees que es un binomio.
b) Compara tu respuesta con la de un compañero.
c) Finalmente, lleguen a un acuerdo y entreguen un reporte escrito a su maestro.
a) Explica con tus propias palabras lo que crees que es un trinomio.
b) Compara tu respuesta con la de un compañero.
c) Finalmente, lleguen a un acuerdo y entreguen un reporte escrito a su maestro.
Significado y uso de las operaciones algebraicas1
17
Reducción, cálculo y operacionescon expresiones algebraicas
En la tabla de abajo se enumeran algunas reglas y convenciones algebraicas. Léelas y aso-cia cada regla con el ejemplo de la columna derecha que la ilustre convenientemente.
Fórmula de un binomio al cuadrado. Una de las expresiones algebraicas más sencillas decalcular es la del cuadrado de un binomio, (x 1 a)2:
a) Observa que en la expresión anterior la potencia 2 indica que el binomio se mul-tiplica por sí mismo, es decir: (x 1 a)(x 1 a). En este caso “calcular” significa desa-rrollar la expresión quitando los paréntesis.
b) ¿Cómo se desarrolla una expresión?
Hay dos métodos para calcular el cuadrado de un binomio: uno basado en la ideadel área de un cuadrado, y el otro, en la propiedad distributiva de los números. A con-tinuación se verán ambos métodos.
Reglas y convenciones de reducción Ejemplos
1. La suma de varias literales iguales se expresa usando la mismaliteral y un coeficiente que es el número de literales que se suman. ( ) a 3 b 5 ab
2. Un número elevado al cuadrado es igual al producto de dichonúmero por sí mismo. ( ) (5xy 2) 5 25x 2y4
3. Cuando se trabaja con literales al multiplicarlos se suele omitir elsigno de multiplicación 3. ( ) 3z 3 4y 5 12zy
4. Para simplificar el producto de dos monomios se multiplican loscoeficientes y se indica el producto de las literales, sin utilizar elsigno 3.
( ) 3a 2b3 2 5a 2b3 2 2a 2b3 5 24a 2b3
5. Cuando dos o más monomios se suman o se restan, si sucede quetienen las mismas literales y que éstas se elevan a la misma poten-cia, entonces en el resultado los monomios se reducen a un solomonomio sumando los coeficientes y manteniendo las literaleselevadas a la misma potencia.
( ) a 1 a 1 a 1 a 5 4a
6. Un monomio al cuadrado es igual al cuadrado de sus factores. ( ) b2 5 b 3 b
x
a
ax
áreaC
áreaB
áreaD
áreaA
1. Método geométrico para calcular (x 1 a) (x 1 a).Imagina un cuadrado cuyos lados miden(x 1 a), como se muestra en la figura.
AGUZANDO EL INGENIO
Sentido numérico y pensamiento algebraico
18
Ya sabemos que el área total del cuadrado que aparece en la figura es (x 1 a)2.Lo mismo se debe obtener también mediante la suma de las áreas de las cuatropartes que componen todo el cuadrado. Escribe a continuación las áreas de dichaspartes. Observa que hay dos cuadrados distintos además dos rectángulos delmismo tamaño.
a) ¿Cuál es el área de cada porción?
A 1 B 1 C 1 D 5 Suma de las áreas de las secciones del cuadrado 5
b) La expresión algebraica que acabas de encontrar debe ir a la derecha del signode igualdad del cuadrado del binomio. Esto es: (x 1 a)2 5
c) Compara las respuestas que diste en los incisos a y b con las de otro com-pañero. Lleguen a un acuerdo y entreguen un reporte a su maestro.
2. El método algebraico se basa en la propiedad distributiva de los números. Para cal-cular la expresión (x 1 a)(x 1 a), primero se multiplica (x 1 a) por x. A esteresultado se le suma el producto de (x 1 a) por a. Después se aplica lapropiedad distributiva a cada uno de los dos productos mencionados.Finalmente, se suman los términos semejantes.
Si realizas el procedimiento indicado llegarás a la igualdad:
(x 1 a)(x 1 a) 5 x2 1 2ax 1 a 2
a) En pareja comparen los resultados de las últimas dos secciones (métodogeométrico y método algebraico); digan si estos resultados son iguales o distintos.
b) Hagan un reporte y entréguenlo a su maestro.
1. Ciertos problemas de cálculo mental pueden resolverse aplicando la fórmula del binomio al cuadrado.Realiza las multiplicaciones propuestas y observa el comportamiento de los resultados; el inciso a es unejemplo resuelto, úsalo para resolver de la misma manera los siguientes casos.
Continúa calculando en tu cuaderno de manera semejante los cuadrados: 552, 652, 752, 852 y 952.
2. ¿Qué tienen en común todas las cantidades que elevaste al cuadrado en el ejercicio anterior?
3. ¿Qué regla se observa al elevar al cuadrado números de dos cifras que son múltiplos de 5? Traten de des-cubrir una pauta para realizar el cálculo mental de estos números.
En pareja traten de resolver los problemas 4 y 5.
4. Los números de dos dígitos terminados en 5 se pueden representar así:
10d 1 5
a) 152 5 (10 1 5)(10 1 5) 5 102 1 2(5)(10) 1 52 5 100 1 100 1 25 5 225
b) 252 5 (20 1 5)(20 1 5) 5
c) 352 5 (30 1 5)(30 1 5) 5
d) 452 5 (40 1 5)(40 1 5) 5
Toma nota
La propiedad distributiva señala.“Dados tres números cualesquieraa, b y c, se cumplen las siguientesigualdades:a 3 (b 1 c) 5 a 3 b 1 a 3 c( a 1 b) 3 c 5 a 3 c 1 b 3 c.”
Man
ejo de técnicas
Significado y uso de las operaciones algebraicas1
19
DE BUENA FUENTE
donde d puede ser cualquier dígito (0, 1, 2, 3,…, 9). Eleven este binomio al cuadrado y observen lo queobtienen:
(10d 1 5)2 5
¿Les dice algo el resultado que está relacionado con el cálculo mental y con la pauta que descubrieron enel ejercicio 1? (En caso de que todavía no logren formular una regla de fácil memorización regresen a esteproblema más tarde cuando vean el tema de factorización en esta misma lección.)
5. Apliquen la fórmula del binomio al cuadrado y las reglas de reducción que aparecen en la p. 17 y que seanpertinentes para obtener el trinomio correspondiente:
a) (x 1 2y)2 5
b) (3m 2 2n)2 5
c) (3 2 2b)2 5
d) (3a 1 2)2 5
e) (a 1 1)2 5
f) (x 2 1)2 5
Ahora se calculará el producto de dos binomios de la forma (x 1 a)(x 1 b). En primer lugar, con el proce-dimiento de suma de áreas que se aplicó antes (método geométrico), y en segundo, utilizando la propiedaddistributiva de la suma (método algebraico).
Método geométrico para calcular (x 1 a)(x 1 b). Observa la figura que se presenta enseguida: es un rectángulocuya base es (x 1 a) y cuya altura es (x 1 b).
Producto de dos binomios
x I II
ax
b IV III
Una manera de calcular el área del rectángulo es multiplicando la longitud de la base por la longitud de laaltura, o sea: (x 1 a)(x 1 b). Sin embargo, el área de dicha figura también se puede calcular sumando los rectán-gulos y cuadrados numerados con I, II, III y IV. Encuentra la expresión para cada una de las áreas de estos rectán-gulos y cuadrados. Suma todo y completa la siguiente igualdad:
(x 1 a)(x 1 b) 5 I 1 II 1 III 1 IV 5
Sentido numérico y pensamiento algebraico
20
Método algebraico para calcular (x 1 a)(x 1 b). Por la propiedad distributiva de los números sabemos que dadostres números cualesquiera a, b y c, se cumplen las siguientes dos igualdades:
a) a 3 (b 1 c) 5 a 3 b 1 a 3 c
b) (a 1 b) 3 c 5 a 3 c 1 b 3 c
Para calcular la expresión (x 1 a)(x 1 b), se siguen varios pasos:
1. Utiliza el artificio de considerar a (x 1 a) como un único número (el que resulta de sumarle al número xel número a), y considera a (x 1 b) como la suma de dos números.
2. Enseguida aplica la regla de distribución de la suma, la que aparece en el inciso a, inmediatamente arriba.
3. Ahora aplica la regla de distribución del inciso b a los sumandos que obtuviste.
4. Por último, una factorización de los términos que contienen x llevará a la solución.
(NOTA: En este caso la factorización consiste en expresar ax 1 bx como (a 1 b)x. Después se estudiará másdetenidamente la factorización.)
Al final debes obtener la siguiente igualdad: (x 1 a)(x 1 b) 5 x2 1 (a 1 b)x 1 ab; que es precisamente la fór-mula del producto de binomios.
2. En el inciso a se muestra una aplicación de la fórmula del producto de binomios al cálculo mental; com-pleta de la misma manera los incisos b -e.
3. Para que descubras el “truco” de cálculo, realiza estos productos:
La lista anterior se debería continuar con el cálculo de los siguientes productos: 46 3 44; 47 3 43; 48 3 49;
49 3 41; sin embargo, no es necesario. ¿Por qué?
a) 41 3 49 5 (40 1 1)(40 1 9) 5 402 1 (1 1 9)40 1 1 3 9 5 40 3 40 1 10 3 40 1 9 5 2009
b) 42 3 48 5 (40 1 2)(40 1 8) 5
c) 43 3 47 5 (40 1 3)(40 1 7) 5
d) 44 3 46 5 (40 1 4)(40 1 6) 5
e) 45 3 45 5 (40 1 5)(40 1 5) 5
a) 71 3 79 5 (70 1 1)(70 1 9) 5
b) 72 3 78 5 (70 1 2)(70 1 8) 5
c) 73 3 77 5 (70 1 3)(70 1 7) 5
AGUZANDO EL INGENIO
1. Con los pasos resueltos del 1 al 4 de la sección anterior, muestra cómo llegas a la igualdad(x 1 a)(x 1 b) 5 x2 1 (a 1 b)x 1 ab. Entrega un reporte a tu maestro.
Significado y uso de las operaciones algebraicas1
21
5. Enuncia las propiedades comunes que tienen los números de la lista del ejercicio 3.
6. Señala cuál puede ser un truco de cálculo mental para los números que tienen estas propiedades:
7. Aplica la fórmula del producto de binomios a las expresiones algebraicas que aparecen en la primeracolumna. En la tercera columna escribe el coeficiente de x de ese producto; y, finalmente, en la cuar-ta columna escribe el término constante obtenido. Observa el ejemplo.
a)
b) Observa la relación que existe considerando los dígitos que aparecen en los factores de la primeracolumna, y las cantidades que aparecen en las columnas tercera y cuarta. Así, en el ejemplo resuelto,¿cuál es la relación que tienen los dígitos 3 y 4 con la cantidad 7?
Y, ¿cuál es la relación que tienen los dígitos 3 y 4 con la cantidad 12?
c) Verifica si sucede lo mismo con todos los ejemplos que aparecen en la tabla, y responde la siguientepregunta:
¿Cuál es la relación que tienen los dígitos en la factorización (lo que aparece en la primera columnacon la cantidad que aparece en la tercera columna?
¿Cuál es la relación que tienen los dígitos de la factorización (primera columna) con la cantidad queaparece en la cuarta columna?
Man
ejo de técnicas
Factores Producto Coeficiente de x Término constante
(x 1 3)(x 1 4) x 2 1 7x 1 12 7 12
(x 1 7)(x 2 5)
(x 2 8)(x 1 3)
(x 2 6)(x 2 2)
(x 2 4)(x 1 10)
(x 2 1)(x 1 4)
(x 1 2)(x 2 5)
(x 2 4)(x 1 6)
(x 2 8)(x 1 10)
4. Enuncia las propiedades comunes que tienen los números de la lista del ejercicio 2.
d) 74 3 76 5 (70 1 4)(70 1 6) 5
e) 75 3 75 5 (70 1 5)(70 1 5) 5
AGUZANDO EL INGENIO
Sentido numérico y pensamiento algebraico
22
1. Con base en la figura, encuentra la expresión desarrollada del producto (x 1 a) (x 2 a). Recuerda la con-vención que se utilizó en el libro de segundo: los cuadros de color rojo representan números negativos.
2. Ahora halla la misma expresión mediante un procedimiento algebraico, es decir, aplica la propiedad dis-tributiva de los números al producto (x 1 a) (x 2 a) (la que se trabajó antes en la sección “De buenafuente” de la página 19 de este mismo volumen):
3. Para deducir un truco de cálculo mental haz estos ejercicios y observa la naturaleza de las soluciones.
Plante
amie
nt
o y resolución de problem
as
x2
2a22a
x
ax
5
a) Teniendo en cuenta que 162 5 256, calcula mentalmente cada producto:
b) Intercambia resultados con uno de tus compañeros. Anótese dos puntos cada vez que hayan acertadoen el resultado. ¿Cuántos puntos obtuvo cada uno?
c) Sabiendo que 252 5 625, calcula mentalmente cada producto:
d) Vuelve a intercambiar resultados con alguno de tus compañeros. Anótensen dos puntos cada vez quehayan acertado en el resultado. ¿Cuántos puntos obtuvo cada uno?
15 3 17 5 (16 2 1)(16 1 1) 5
14 3 18 5 (16 2 2)(16 1 2) 5
13 3 19 5 (16 2 3)(16 1 3) 5
12 3 20 5 (16 2 4)(16 1 4) 5
24 3 26 5 (25 2 1)(25 1 1) 5
23 3 27 5 (25 2 2)(25 1 2) 5
22 3 28 5 (25 2 3)(25 1 3) 5
21 3 29 5 (25 2 4)(25 1 4) 5
DE BUENA FUENTE
Binomios conjugados. A las parejas de binomios que sólo difieren en un signo se les llama binomios conjugados.Por ejemplo, en cada inciso se presenta una pareja de binomios conjugados:
a) x 1 a , x 2 a
b) 3yz 2 5x , 3yz 1 5x
c) 25z 1 2y , 25z 2 2y
d) 2a 1 b , a 1 b
Significado y uso de las operaciones algebraicas1
23
Un genio desconectado
Jaime Suástegui, gerente de una empresa de software, estáhablando por uno de sus cinco celulares con su empleadoSergio Luna. Como siempre, Suástegui anda muy ace-lerado.
—Pues a ver cómo le haces, pero para el viernesnecesitamos el juego que nos pidió Ludinet. [Pausalarga.] Sí-sí-sí, yo entiendo toooodos tus problemas,pero así es este negocio. [Pausa breve.] Ah, y no olvidesenviarme un e-mail con todas las especificaciones téc-nicas para forwardearlo* al cliente.
Sin embargo, lo que Jaime no sabía era que Sergio —elgenio** de la compañía— ya había diseñado un nuevo software parajugar en grupo. Cada jugador estaría conectado a todos los demás durante el trans-curso de la sesión. En el informe técnico se establece que, dada la capacidad del servi-dor, cada sesión (es decir, un partido) puede tener un máximo de 66 conexiones. [Por“conexión” se entiende el contacto a través de la red entre dos jugadores del grupo.]
Antes de enviar el informe técnico a su jefe, Sergio se da cuenta de que no contestóla pregunta:
¿Cuál es el número máximo de jugadores que pueden participar en una sesión?
Échale una manita a este genio para encontrar el número máximo de jugadores.
La siguiente representación puede ayudar a entender el problema. Cada jugador seindica con un círculo y cada conexión con una línea que los une. Cuando se desea re-presentar tres o más jugadores conviene distribuirlos en los vértices de un polígonoregular. El esquema de abajo muestra sesiones con 2, 3, 4 y 5 jugadores y su respectivonúmero de conexiones: 1, 3, 6, 10.
...?
2 jugadores1 conexión
3 jugadores3 conexiones
4 jugadores6 conexiones
5 jugadores10 conexiones
¿Cuál es el número de jugadores cuando
existen 66 conexiones?
* Acción que permite enviar automáticamente los mensajes que llegan a una cuenta haciaotra u otras direcciones de correo electrónico.
** En la jerga computacional los genios son quienes se dedican al desarrollo de programas o amejorarlos.
¡Ole, torito!
DE BUENA FUENTE
Sentido numérico y pensamiento algebraico
24
Factorización
Factorizar un número significa expresarlo como el producto de dos o más factores. Por ejemplo, 21 se facto-riza como 3 3 7; 18 se factoriza como 6 3 3, y otra factorización de 18 es 9 3 2; la factorización en factoresprimos de 18 es: 2 3 3 3 3.
Factorizar una expresión algebraica significa expresarla como el producto de dos o más expresiones alge-braicas más simples. En este grado escolar, las tareas de factorización serán sólo con monomios, binomios ytrinomios; sin embargo, vale la pena mencionar que el concepto de factorización abarca un universo másamplio de expresiones algebraicas.
La regla más sencilla de factorización tiene que ver con la propiedad distributiva de los números que seenunció al principio de esta lección. Recuerda que esta propiedad también se trabajó antes, en la sección “Debuena fuente” de la página 19 de este mismo volumen. Si ahora intercambiamos lo que quedó del lado dere-cho de la igualdad con lo del lado izquierdo, vamos a encontrar una equivalencia interesante entre el mode-lo de áreas y el cálculo numérico, como se muestra enseguida.
En el cuadro de abajo se muestra en la columna izquierda la propiedad distributiva como se enunció arri-ba, y en la columna derecha, aparecen las mismas expresiones que antes se obtuvieron sólo que intercambia-das con respecto al signo de igualdad. Además, aparecen sin el signo 3:
Propiedad distributivaLa misma propiedad distributiva
(expresada de manera útil para factorizar)
a 3 (b 1 c) 5 a 3 b 1 a 3 c
(a 1 b) 3 c 5 a 3 c 1 b 3 c
ab 1 ac 5 a(b 1 c)
ac 1 bc 5 (a 1 b)c
b c b + c
a a aa(b+c)acab1 5
1. Acomoda las figuras para formar un rectángulo. Luego, calcula el área del rectángulo formado.
El área es:
Para establecer la equivalencia con las áreas se hará lo siguiente, por ejemplo, la igualdad ab 1 ac 5 a(b 1 c)se suele representar en términos de áreas como sigue:
AGUZANDO EL INGENIO
x
x2
x
xx 11 5
Significado y uso de las operaciones algebraicas1
25
2. Considerando lo anterior explica por qué es verdadera la siguiente proposición:“El cuadrado de un número más el mismo número es igual al producto del número por su sucesivo.”
Por ejemplo:
3. Representa la proposición del problema anterior con áreas de rectángulos.
4. En la expresión 6x 1 9y se observa que 3 es factor común de los monomios 6x2 y 9y y puede expresarse
entonces como: 6x + 9y 5 3(2x 1 3y)
5. En la expresión 6x2 1 9x3y se observa que 3x2 es factor común de los monomios 6x2 y 9x3 y esto puede re-
presentarse así: 6x2 + 9x3y 5 3x2 (2 1 3xy)
Análogamente, encuentra la factorización de los siguientes binomios:
6. A continuación se presentan cuatro fi-guras rectangulares con las dimensionescorrespondientes.
Dentro de los rectángulos aparece laexpresión del área. Copia y recorta cadafigura para armar con ellas un cuadrado:
De manera análoga, encuentra una factorización de los binomios siguientes:
Completa:
a) 9 1 3 es igual a 3 3 4 b) 16 1 4 es igual 4 3 5 c) 25 1 5 es igual 5 3 6
d) 36 1 6 es igual a
e) 49 1 7 es igual a
f) En general, x2 1 x 5 x(x 1 1). En este último caso, y también en los ejemplos anteriores con números,se dice que se factorizó la expresión de la izquierda, es decir, se expresó como el producto de dosexpresiones: x y su sucesor (x 1 1).
g) ¿Cómo tendrías que expresar 9 1 3, 16 1 4, 25 1 5, 36 1 6 y 49 1 7 para que quedara clara o explíci-ta la factorización?
a) 10a 1 20b 5
b) 7z 2 21w 5
c) 12s3 1 16t3 5
d) 20x2 1 35y2 5
a) 10a 3 1 20a2b 5
b) 7z 22 21zw 5
c) 12s3t 2 16st3 5
d) 20x2w3 1 35y2 w2 5
x
x
x
2x2x
2
x
2x + 4x + 4
2x2x 2 4
x
2
Expresa el área del cuadrado que formaste como el producto de su lado al cuadrado; después, completala siguiente expresión:
x2 1 4x 1 4 5 ( )( )
DE BUENA FUENTE
Sentido numérico y pensamiento algebraico
26
Trinomios cuadrados perfectos
Observa las figuras:
La suma de todas las áreas se representa con el trinomio 25x2 1 60x 1 36. También con las mismas piezas
se puede formar un cuadrado* de lado 5x 1 6, es decir:
25x2 1 60x 1 36 5(5x 1 6)2
a) Sacar la raíz cuadrada del término cuadrático.
b) Sacar la raíz cuadrada del término independiente.
c) Por último, si el término en x se obtiene mediante el doble producto de la raíz cuadrada del términocuadrático por la raíz cuadrada del término independiente, entonces sí es posible factorizar el trinomiocomo un binomio al cuadrado.
En general, el método para saber si un trinomio se puede factorizar como un binomio al cuadrado consiste en:
* a) Forma el cuadrado copiando y recortando las figuras que se te dan.
b) Efectúa el producto (5x 1 6)2 5 (5x 1 6)(5x 1 6) y verifica que el resultado es:
25x2 1 60x 1 36.
Un trinomio que satisface el inciso c se llama trinomio cuadrado perfecto.
En los siguientes problemas se proporcionan trinomios cuadrados perfectos y para factorizarlos debesaplicar el método descrito en los incisos a, b, y c.
225x +60x+36
5x
5x
5x
5x 6
25x
2x30x
2
6
2x30x 6 636
1. Siguiendo el ejemplo mostrado, completa la tabla de trinomios cuadrados perfectos:
Man
ejo de técnicas
Trinomiocuadrado perfecto
Raíz cuadradadel primer término
Raíz cuadradadel tercer término
Doble productodel primer término
por el tercero
Factoresdel trinomio
25x2 2 10xy 1 y2 5x y 2(5x)(y) 5 10xy (5x 2 y)2
49r 2 1 126rs 1 81s 2
AGUZANDO EL INGENIO
Significado y uso de las operaciones algebraicas1
27
Trinomiocuadrado perfecto
Raíz cuadradadel primer término
Raíz cuadradadel tercer término
Doble productodel primer término
por el tercero
Factoresdel trinomio
25a2 2 30ab 1 9b2
1 1 14x2y 1 49x4y2
x4 1 2x2 1 1
4x2 2 12xy 1 9y2
x2 1 2xy 1 y2
m2 2 2my 1 y2
52 1 2 3 5 3 3 1 33
102 1 2 3 10 3 9 1 93
a) y2 1 10y 1 1 5 ( )2 2
b) 36z2 1 96z 1 5 5 ( )2 2
En muchos problemas aparecen trinomios que NO son cuadrados perfectos. Noobstante, es posible hacer un truco para expresarlos en términos de un cuadrado per-fecto, más algo o menos algo. Por ejemplo, 9x2 1 24x 1 1 no es un trinomio cuadra-do perfecto, ya que el término 24x no es el doble de la raíz del primero por la raíz delsegundo, que sería 6x.
Analiza y descubre la lógica del siguiente algoritmo: “Se divide 24 (el coeficiente dex) entre 2, que da 12. Luego se divide 12 entre 3 (la raíz cuadrada del coeficiente x2),lo cual da 4. Se aumenta y se disminuye 15 al polinomio original, esto es:
9x2 1 24x 1 1 1 15 2 15
Se forma un trinomio cuadrado perfecto menos algo:
9x2 1 24x 1 16 2 15
Entonces: 9x2 1 24x 1 1 5 (3x 1 4)2 2 15
Descubre el truco que se utilizó arriba y aplícalo a los trinomios de los incisos quesiguen, expresándolos como el cuadrado de un binomio al cuadrado menos algo:
Observa que los trinomios que NO son cuadrados perfectos NO son trinomiosfactorizables.
MANOS A LA OBRA
DE BUENA FUENTE
Sentido numérico y pensamiento algebraico
28
a) ¿Cuánto miden los lados del rectángulo obtenido? Expresa esta medida en términos de x.
b) ¿Qué propiedades tienen las dimensiones de las piezas de tal manera que es posible armar un rectángulo?
Trinomios factorizables. En general, se llaman trinomios factorizables a los trinomios que pueden expresarse comoel producto de dos binomios. Los trinomios cuadrados perfectos son factorizables, pero hay otros trinomios quetambién lo son.
Los cuatro rectángulos de abajo son las piezas que conforman un rectángulo. La suma de sus áreas se puederepresentar con el trinomio x2 1 8x 1 15. ¿Qué propiedades observas en los coeficientes tales que lo hacenfactorizable? En otras palabras: ¿cuándo es posible formar un rectángulo con cuatro rectángulos máspequeños, si uno de ellos es un cuadrado? Para descubrirlo recuerda lo que se hizo en la p. 26; sigue lasinstrucciones y responde las preguntas.
1. Arma un rectángulo más grande con los cuatro rectángulos dados (copia, recorta las piezas y ármalo).
2x + 8x + 15
x
x
2x 3x
2
3
2x
5x 15
x
5x
53
x
Raíces de polinomios
¿Para qué valores de la incógnita un trinomio es igual a cero? ¿Con qué valores el trinomio del ejemplo ante-rior es igual a cero? La pregunta se formula algebraicamente mediante la ecuación:
x2 1 8x 1 15 5 0
Resolver esta ecuación significa encontrar el valor o los valores que, al sustituirlos en lugar de las x en el tri-nomio y al efectuar las operaciones, se obtiene cero; a este valor o a estos valores se les llama raíz o raíces dela ecuación.
La factorización ayuda a encontrar las raíces de la ecuación, teniendo en cuenta el principio de que paraque un producto sea igual a cero al menos uno de sus factores debe ser igual a cero.
Significado y uso de las operaciones algebraicas1
29
Lo anterior se expresa así:
Como se conoce la factorización del trinomio x2 1 8x 1 15 5 0, la ecuación x2 1 8x 1 15 se puede escribir
(x 1 3)(x 1 5) 5 0.
Aplicando la proposición de arriba, se tiene que x 1 3 5 0 o x 15 5 0, de donde se deduce que las raícesde la ecuación son:
x1 5 23
x2 5 25
Lo anterior significa que al sustituir 23 en el trinomio x2 1 8x 1 15 y haciendo las operaciones indicadas,
se obtendrá cero; cuando se sustituye 25 también dará cero. ¡Compruébalo!
Si a 3 b 5 0, entonces a 5 0 o b 5 0 o ambos son iguales a cero.
1. En la p. 19 se vio la validez de la siguiente igualdad:
x2 1 (a 1 b)x 1 ab 5 (x 1 a)(x 1b)
2. Como consecuencia de la regla que formulaste, para factorizar un trinomio de la forma x2 1 Ax 1 B, sedebe hacer lo siguiente: “Se encuentran dos números tales que su suma sea el coeficiente A y su producto seael término B”. Ten cuidado con los signos; por ejemplo, para encontrar la factorización del trinomiox2 2 5x 1 4 se tienen en cuenta los productos de dos números que den 4:
1 3 4, 21 3 24, 2 3 2, 22 3 22
Se observa que:
1 1 4 5 5; (21) 1 (24) 5 25; 2 1 2 5 4; (22) 1 (22) 5 24
La segunda pareja cumple, también, con el requisito de que la suma sea igual a 25; entonces x2 2 5x 1 4 5 (x 2 1)(x 2 4). La verdad de este resultado puede verificarse haciendo la multi-plicación del lado derecho y obteniendo la expresión del lado izquierdo.
El trinomio de la izquierda sugiere una regla para saber cuándo un trinomio es factorizable. Trata deexpresar dicha regla con tus propias palabras:
AGUZANDO EL INGENIO
Sentido numérico y pensamiento algebraico
30
Con base en las explicaciones y ejemplos anteriores factoriza los siguientes trinomios:
3. Todo lo que sube… Desde el nivel del piso se lanza un objeto verticalmente hacia arriba a una velocidad de25 m/s. ¿Al cabo de cuántos segundos el objeto se encontrará a una altura de 20 m?
En física se ve que cuando un objeto se lanza al aire cumple una ley que establece la relación entre la altura(h) del objeto y el tiempo (t). Dicha ley está dada por la fórmula:
h 5 Vot 2
donde h es la altura del cuerpo sobre el terreno, Vo es la velocidad inicial, g la aceleración debida a lafuerza de gravedad (g 5 9.8 m/s2) y t el tiempo, que se mide desde que se lanza el objeto.
El profesor les sugiere a sus alumnos que estimen el valor de la altura tomando g 5 10 m/s2, es decir, unaaproximación con 2% de error. Esta decisión ayuda a hacer más sencilla la ecuación, y entonces se puedeaprovechar el conocimiento de la factorización para resolver este problema.
a) x2 1 7x 1 6 5 ( ) ( )
b) x2 2 3x 1 2 5 ( ) ( )
c) x2 2 x 2 6 5 ( ) ( )
d) x2 1 3x 2 4 5 ( ) ( )
e) x2 2 3x 2 4 5 ( ) ( )
f) x2 2 3x 2 10 5 ( ) ( )
g) x2 1 2x 2 24 5 ( ) ( )
h) x2 1 8x 1 7 5 ( ) ( )
i) x2 1 2x 2 80 5( ) ( )
j) x2 2 8x 1 16 5 ( ) ( )
gt2
2
Al torito por los cuernos
Significado y uso de las operaciones algebraicas1
31
”Además, un número de la forma d(d 1 1)102 1 ab tiene la característica de queel número d(d 1 1) es el dígito de las decenas de los números originales multipli-cado por su sucesivo, y como está multiplicado por 102, sus dos primeras cifras soncero. Al sumarlo con el número ab (que es de dos cifras) se aprecia la regla queapliqué.”
Antes de continuar explicando sus métodos de cálculo mental, Natasha tomó unpoco de jugo porque con tanta explicación le dio sed. Alessandra estaba fascinadapor las habilidades de su amiga.
—Para calcular 26 3 34, veo que 26 es lo mismo que 30 2 4, y 34 es igual a30 1 4; así que su producto es la diferencia del cuadrado de 30 menos el cuadradode 4, entonces 900 2 16 es igual a 884.
”Para calcular 53 3 57, pensé que 5 3 6 son 30, y 3 3 7 son 21, así que el resul-tado es 3021.
¿Qué regla crees que aplicó Natasha en estos casos (26 3 34 y 53 3 57)?
De nuevo una presidencia meritoriaAl día siguiente de la elección por la presidencia del club de matemáticas,Alessandra y Natasha se encontraron en la cooperativa.
—Pues la verdad a mí sí me dejaste de a seis en el concurso de ayer. Sí queeres cerebrito, ¿eh? —le confesó Alessandra a su amiga Natasha—. ¿Cómo lehiciste?
—Me pareció que no estuvo difícil; bueno, un poquito. Mira: para calcu-lar 75 3 75, primero multipliqué 5 3 5, o sea 25, y éstos son los dos dígi-tos de la derecha del número que ando buscando. Luego multipliqué 7 porsu sucesor, es decir 7 3 8 5 56, y éstos son los siguientes dígitos, de modoque el resultado es 5625.
”Para calcular 13 3 17, multipliqué 7 3 3 5 21, que son los dos dígitos de laderecha del número; después multipliqué 1 por su sucesor, 1 3 2 5 2 , éste es eldígito de la izquierda, así que el resultado es 221.
—¿Pero por qué? —preguntó Alessandra intrigada de veras—. Ya entendí cómolo hiciste, y sí, la verdad está bien fácil, pero todavía no entiendo por qué se puedecalcular así.
—Ah, es que estos trucos de cálculo mental se justifican por la regla de multipli-cación de un binomio y la expresión decimal de un número. Acuérdate que unnúmero cualquiera se puede expresar mediante múltiplos de 10, por ejemplo:
3425 5 3 3 103 1 4 3 102 1 2 3 101 1 5 3 100. Por cierto, 101 5 10 y 100 5 1.
”La justificación general es: dos números de dos cifras cuyos dígitos de lasunidades suman 10 y cuyos dígitos de las decenas son iguales, se representan así:
d 3 10 1 a
d 3 10 1 b donde a 1 b 5 10
(d 3 10 1 a)(d 3 10 1 b 5 (d 3 10)2 3 d 3 10 (a 1 b) 1 ab 5 d2102 1 d 3 102 1 ab
factorizando este último resultado se obtiene d(d 1 1)102 1 ab.
Progresímetroexperto
Sentido numérico y pensamiento algebraico
32
De nuevo un genio desconectado
¿Cuál es el número máximo de jugadores que pueden participar en una sesión en la que hay 66 conexiones?
Si x es el número de jugadores, entonces cada uno de estos x jugadores tiene una conexión con los x 2 1jugadores restantes, así que hay x (x 2 1) conexiones. Como la conexión de un jugador A a uno B es lamisma que de B a A, se están contando el doble de conexiones. Si hay x jugadores, el número de conexio-nes es . De ahí que la ecuación resultante sea 5 66, la cual es equivalente a x2 2 x 2 132 5 0.
Para factorizar la anterior ecuación se deben encontrar dos números cuya suma sea 21 y cuyo productosea 2132. Para hallarlos considera los factores de 132: 66 3 2; 44 3 3; 33 3 4; 22 3 6; 11 3 12. Para queden como resultado 2132 hay que tener en cuenta las siguientes dos listas derivadas de la anterior:
66 3 (22); 44 3 (23); 33 3 (24); 22 3 (26); 11 3 (212)
(266) 3 2; (244) 3 3, (233) 3 4; (222) 3 6; (211) 312
¿Qué pareja de números de la anterior lista cumple la otra propiedad?
...?
2 jugadores1 conexión
3 jugadores3 conexiones
4 jugadores6 conexiones
5 jugadores10 conexiones
¿Cuál es el número de jugadores cuando
existen 66 conexiones?
x(x 2 1)
2
x(x 2 1)
2
Reúnete con dos compañeros y discutan los siguientes problemas.
1. Copien las figuras en su cuaderno y armen con ellas un rectángulo. (Vean pp. 19 y 29.)
2x +9x+20
x
x
x
2x 4x
x2
4
2x
5x 5420
x
5
Con base en el rectángulo formado, escriban en los paréntesis del lado derecho de la igualdad lasexpresiones que representan los lados del rectángulo armado:
x2 1 9x 1 20 5 ( ) ( )
Una última faena
xy +2x+3y+6
x
y
x
xy
3y 3
2x2x 2 26
y
3
2. En equipo resuelvan el problema. Se muestran cuatro rectángulos con sus dimensiones indicadas.Copien y recorten las figuras, y luego —como si fuera un rompecabezas— armen un rectángulo conellas.
3. ¿Un número sin personalidad? Luisa promueve una discusión en el club de matemáticas acercade lo que llama números “interesantes”. La idea es proponer un número y determinar algu-nas de sus propiedades; si éstas resultan extraordinarias en algún sentido, entonces se dice queel número es interesante.
Por ejemplo, Boris propone 36 y todos se concentran en analizarlo. Carlos dice que esinteresante “porque tiene 8 divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 18 y 36; ningún número de 1 a 35tiene tantos divisores; además 36 5 13 1 23 1 33”. Todos coinciden en que 36 es interesantey felicitan a Boris.
Después, Carlos propone 39. Miguel dice que “es 13 3 3”, pero nadie reconoce que esosea suficiente. Natasha, la Presidenta Calculista, dice:“Es interesante porque 39 5 3 3 9 1 3 1 9”. Cuando la mayoría está a punto de aprobarque 39 es interesante por lo que ha observado Natasha, Alessandra, quien no quiere quedarseatrás de Natasha, dice: “Esa propiedad no es exclusiva de 39, al menos todos los números dedos cifras terminados en 9 la tienen, por ejemplo, 49 5 4 3 9 1 4 1 9; así que no es tan interesante.”
¿Es cierto lo que afirma Alessandra? ¿Por qué?
4. Jaime Suástegui le pidió a Sergio que hiciera algunas modificaciones al juego que diseñaron para la empre-sa Ludinet.
—Se me ocurre que si compramos un servidor de mayor capacidad podemos hacer que el juego soportehasta 210 conexiones. ¿Cómo la ves? —pregunta Sergio sin esperar realmente que Jaime le conteste.
Suponiendo que compran el servidor de mayor capacidad, ¿cuántos jugadores pueden participar en unjuego?
5. Desde el nivel del piso se lanza un objeto verticalmente hacia arriba a una velocidad de 30 m/s. ¿Al cabode cuántos segundos el objeto se encontrará a una altura de 40 m?
El polinomio xy 1 2x 1 3y 1 6 representa el área total de los cuatro rectángulos. Teniendo en cuenta elrectángulo que formaron, escriban en los paréntesis del lado derecho de la igualdad las expresiones querepresentan los lados del rectángulo armado, es decir, los factores del polinomio:
y 1 2x 1 3y 1 6 5 ( ) ( )
Significado y uso de las operaciones algebraicas1
33
Forma, espacio y medida
Lección 2
34
Aplicación de la
congruencia de triángulos
a los cuadriláteros
Nuestro reto es: Y necesitamos...
• Haber trabajado los criterios de con-gruencia (Matemáticas 2).
• Conocer las propiedades de los ángu-los que forman una transversal quecorta un par de rectas paralelas(Matemáticas 2).
• Aplicar los criterios de congruencia detriángulos en la justificación de propie-dades de los cuadriláteros.
La Facultad de Ciencias de la Universidad NacionalAutónoma de México (UNAM)
En 1935, poco después de que la Universidad Nacional obtuvo suautonomía, se constituyó una Facultad de Ciencias Fisicomate-máticas que estaba integrada por la Escuela Nacional de Ingenieros,la Escuela Nacional de Ciencias Químicas y un Departamento deCiencias Fisicomatemáticas. La iniciativa de la creación de esedepartamento fue, en lo académico, de Sotero Prieto y AlfonsoNápoles Gándara, y en los aspectos de organización y adminis-tración, de Ricardo Monges López, un gran promotor de la ciencia
en México.
Tres años más tarde, por iniciativa de Monges López, Antonio Caso y AlfredoBaños, se creó la actual Facultad de Ciencias de la UNAM, donde se imparten lascarreras de biología, física y matemáticas.
Mucha gente sigue concibiendo a los científicos como hombres que vivenencerrados en su mundo de fórmulas y teorías, pero nada más alejado de la ver-dad. Las generaciones de estudiantes y profesores de la Facultad de Ciencias, a lolargo de sus sesenta y nueve años de existencia, siempre han participado de ma-nera muy activa en los problemas políticos y sociales nacionales y de la propiaUniversidad; el papel protagónico que han mostrado no es compatible con la ima-gen estereotipada del científico distraído y ausente.
El fin y los medios
Aplicación de la congruencia de triángulos a los cuadriláteros2
35
La geometría, llave de lo inaccesible
Carlos, el más rollero de todos los muchachos del club Sigma Six, es unapasionado de la historia de la ciencia, y en particular de las matemáti-cas. Se embebe en la lectura y se le queman las habas por contarles a suscompañeros algún descubrimiento, alguna paradoja o la vida sentimen-tal de científicos famosos.
—¿Sabían que los griegos midieron la distancia de la Tierra al Sol sintener los instrumentos tan sofisticados con que contamos ahora? ¿A queno saben cómo lo hicieron? —les pregunta Carlos a sus compañeros.
—Vaya, hasta que nos propones un problema interesante —salta Borisde su lugar, pues los problemas de geometría lo convierten en el más entu-siasta del club—. Todos sabemos que con ayuda de la geometría se pueden medirdistancias inaccesibles, y ahorita me acabo de acordar de un problema que es mássencillo que el de calcular la distancia de la Tierra al Sol, pero cuyos principios sonlos mismos. Les propongo pensarlo y luego volvemos al tema de medir la distan-cia de la Tierra al Sol.
”Supongan que están en un gran desierto y en medio de éste hay una lagunatambién muy grande. No tienen lancha ni pueden entrar a medir directamente enla laguna. Sólo tienen lápiz, papel, algunas estacas para enterrar en la tierra y unacinta métrica de unos diez metros. Observen el esquema que representa la laguna.”
Desierto Diámetro de la
laguna
Un torito al ruedo
Y la pregunta es:
¿Cómo se puede medir el diámetro de la laguna?
A
B
Progresímetroaxiomático
Forma, espacio y medida
36
La demostración en geometría
¿Seguro que tienes buena vista?
—La clase pasada el maestro nos pidió que demostráramos que las diagonales deun cuadrado son iguales. Pero yo digo que a simple vista se ve que son iguales[véase la figura de abajo]. Mi pregunta es: ¿por qué se tiene que demostrar algo quea todos nos parece tan evidente? —dice Miguel, entre desesperado y molesto.
Como siempre, los comentarios de Miguel encienden la discusión en el club.
—La demostración se realiza para explicar por qué un procedimiento funcionao por qué una proposición es verdadera, pero en el caso de las diagonales de estecuadrado siento que la demostración no es necesaria porque no hay nada quéexplicar —dice Alessandra, acostumbrada a dar respuestas contundentes.
—Pues de todos modos —alega Miguel— el maestro nos pidió que hiciéramosla demostración en clase.
—Tiene razón Alessandra —afirma Boris sintiéndose a sus anchas en los temasde geometría—. Pero no debemos olvidar que la demostración es un procedimien-to que se basa en el razonamiento y no en los sentidos, ya que muchas veces éstosnos engañan, en cambio, el razonamiento es más seguro. Alguien ve que las diago-nales son iguales basándose en su vista, pero no en el razonamiento.
—Yo sí confío en mis sentidos y no recuerdo que me hayan fallado —diceCarlos con tono de burla.
Boris le responde: —Voy a ponerte algunos problemas con los que te darás cuen-ta de que la vista te puede engañar.
¿Qué tipo de problemas puede ponerle Boris a Carlos para convencerlo de quelos sentidos pueden ser engañosos?
1. Observa el AB y el CD . ¿Cuál de ellos es más largo a simple vista?
A B
C D
Ahora mídelos con una regla y com-para el resultado con tu predicción.
Tendiendo las redes
AGUZANDO EL INGENIO
DE BUENA FUENTE
Aplicación de la congruencia de triángulos a los cuadriláteros2
37
Ahora utiliza una regla para compro-barlo. ¿Fue adecuada tu predicción?
2. Examina la figura de abajo y responde: ¿la línea que une U y V es recta o curva? ¿La línea que une W y Xes recta o curva?
3. ¿Cuál de los dos triángulos es más grande?
Después de expresar tuconjetura, reproduce lostriángulos y verifica si fuecierto lo que predijiste.
U V
W X
B
A
C
B´
A´
C´
Con los ejemplos anteriores los muchachos del club llegaron a laconclusión de que sí era conveniente aprender a demostrar. Fue-ron con su maestro y le pidieron ayuda para este propósito. Elmaestro sugirió repasar los conocimientos sobre congruencia de
triángulos, “pues es un tema en el que se presentan muchas proposi-ciones que se deben demostrar”.
Congruencia de triángulos (parte 1). A continuación se presenta una definición de triángulos congruentes basa-da en la idea de superposición de figuras.
Se dice que dos triángulos son congruentes si uno de ellos se puede superponer al otro de modo que coin-cidan en todos sus puntos. Por ejemplo, estos dos triángulos son congruentes:
M
L N
B
A
C
AGUZANDO EL INGENIO
1. Observa las figuras y a simple vista forma parejas de triángulos que sean congruentes. Después haz unacopia de las figuras y recórtalas para verificar que, efectivamente, las parejas sugeridas sean congruentes.En caso de que te equivoques, indica qué fue lo que te hizo cometer el error.
Forma, espacio y medida
38
Se dice que el DLMN es congruente con el DABC y se escribe así:
DLMN ù DABC
Porque —como se describe esquemáticamente a continuación— uno de ellos se puede superponer al otro demodo que coincidan en todas sus partes; observa que primero se rota el triángulo original (el amarillo) ydespués se desplaza para acoplarlo al otro (el verde).
B
NC
AL
M
1
65
4
3
2
2. Se traza una de las medianas de un triángulo isósceles. Argumenta que la mediana que va del ladodesigual al vértice opuesto divide al triángulo original en dos triángulos congruentes.
3. Se trazan las diagonales de un cuadrado. Argumenta que las diagonales de un cuadrado lo dividen en cuatrotriángulos congruentes. (SUGERENCIA: recorta un cuadrado y dóblalo como se muestra en la secuencia de figuras.)
Man
ejo de técnicas
Comunicación
Teniendo en cuenta lo anterior, ¿qué característica cumplen los triángulos formados por las diagonales delcuadrado?
DE BUENA FUENTE
Aplicación de la congruencia de triángulos a los cuadriláteros2
39
Congruencia de triángulos (parte 2). Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre los trián-gulos de manera que los lados correspondientes son congruentes y los ángulos correspondientes son iguales.
A continuación se muestra un ejemplo de cómo aplicar la definición anterior para determinar si dos trián-gulos son congruentes:
Supón que se tienen dos triángulos como éstos:
Para verificarlo se siguen estos pasos:
a) Se acomoda un triángulo (en este caso el amarillo) para indicar la correspondencia de lados y ángulosque probablemente cumplen con la definición. La notación y las marcas que se han puesto en el dibujoindican la correspondencia.
b) Se miden los lados y los ángulos correspondientes y se verifica, en este caso, que los lados correspon-dientes son congruentes y los ángulos correspondientes son iguales:
A C
B
A´ C´
B´
A C
B
A´ C´
B´
3cm 4cm
5cm
90°
36.8°53.2°
3cm 4cm
5cm
90°
36.8°53.2°
Una pregunta que puede plantearse es: ¿son triángulos congruentes?
Forma, espacio y medida
40
a) (criterio LLL) hay una correspondencia entre sus tres lados de manera que los lados correspondientes soncongruentes;
b) (criterio LAL) hay una correspondencia entre dos lados de manera que los lados correspondientes son con-gruentes y los ángulos correspondientes entre ellos son iguales, y
c) (criterio ALA) hay una correspondencia entre un lado y sus dos ángulos adyacentes de un triángulo con unlado y sus dos ángulos adyacentes del otro triángulo, de modo que los lados correspondientes son con-gruentes y los ángulos correspondientes son iguales.
Criterios de congruencia. Para determinar si dos triángulos son congruentes NO es necesario verificar las seisrelaciones que pide la definición (congruencia de tres lados e igualdad de tres ángulos). Los criterios decongruencia son proposiciones que establecen condiciones mínimas para determinar cuándo dos triángu-los son congruentes. Las actividades que realizaste en segundo grado te permitieron establecer los si-guientes tres criterios:
Dos triángulos son congruentes si
Cuadriláteros y congruencia de triángulos
En esta sección, se muestran algunas aplicaciones de los criterios de congruencia detriángulos en la demostración de ciertas propiedades de los cuadriláteros.
EELL PPAARRAALLEELLOOGGRRAAMMOO
Un paralelogramo tiene estas propiedades:
a) Los lados opuestos tienen la misma longitud.
b) Los ángulos (internos) opuestos son iguales.
c) Sus diagonales se cortan en su punto medio.
Siguiendo el método griego, debe demostrarse cada una de estas tres pro-piedades. A continuación se demostrará la primera; las otras se dejan como ejerci-cios para que los resuelvas tú.
La proposición que expresa la propiedad a se reformula así:
El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo ya que AB // CD y BC // DA.
Un paralelogramo es un cuadrilátero
en el que los lados opuestos son paralelos.
En un paralelogramo los lados opuestos tienen la misma longitud.
C D
B A
Plante
amie
nt
o y resolución de problem
as
Aplicación de la congruencia de triángulos a los cuadriláteros2
41
DEMOSTRACIÓN
Considera el paralelogramo ABCD:
Las paralelas a y c son cortadas por la transversal t.
Entonces �ACD 5 �CAB, porque cuando una transversal corta un par de parale-las los ángulos alternos internos son iguales.
Marca en el dibujo anterior los ángulos �ACD 5 �CAB.
Ahora observa que las paralelas b y d son cortadas por la transversal t.
Entonces �BCA 5 �CAD, puesto que los ángulos alternos internos son iguales.
En el dibujo de abajo se marcan los ángulos �BCA y �CAD.
Tenemos entonces que los DABC y DCDA son congruentes porque existe la si-guiente correspondencia de lados y ángulos:
AB CD BC DA �CA AC
�CAB �ACD �ABC �CDA �CAB �ACD
Lo que se quiere demostrar es que AB ù CD y BC ù DA . (Lo que se sabe es queAB // C y BC // DA.)
En primer lugar, se prolongan los lados AB, BC, CD y DA del paralelogramo y sedenotan las rectas como a, b, c y d, respectivamente. Luego, se traza la diagonal ,llamada t. Observa la siguiente figura:
D C
A B
D C
A B
a
tb
d
c
D C
A B
AB CD BC DA
ABAC
CDBC DA
AB CD BC DA
MANOS A LA OBRA
Forma, espacio y medida
42
En la que un lado del DABC es igual a un lado del DCDA (el lado AC es comúna ambos triángulos) y los ángulos correspondientes adyacentes a ese lado soniguales.
Por tanto, por el criterio ALA de congruencia, los triángulos son congruentes y
AB ù CD y BC ù DA.
Con lo que se demuestra lo que se quería.
EELL RREECCTTÁÁNNGGUULLOO
La figura de la derecha es un rectángulo,cuyos ángulos rectos se señalan con unaescuadra, como se muestra en el ángulo A:
Un rectángulo es un paralelogramo en el que sus cuatro ángulos internosson rectos (es decir, de 90º).
DC
B A
AB
DC
altu
ra
altura
base
Es la misma
Primero pienso, luego argumento
1. Reúnete con un compañero para leer y discutir el siguiente problema. Contesten la pregunta que se planteaal final.
a) El maestro formó equipos de tres estudiantes para que discutieran y demostraran la proposición.
“Un rectángulo tiene sus dos diagonales iguales.”
b) Los equipos hicieron su tarea y la entregaron por escrito:
TAREA DEL EQUIPO DE JUAN, JORGE Y JULIA
Se trazan las diagonales y .
Los DABC y DBDA son congruentes porque tienen la misma base y la misma altura.
Por tanto, 5 .
Argumentación
AB CD BC DA
AC BD
AC BD
i) 5 , porque son lados opuestos de un paralelogramo.
ii) 5 , porque son lados opuestos de un paralelogramo.
iii) �CBA 5 �DAB, porque ambos son de 90º.
iv) DABC ù DBAD, teniendo en cuenta los incisos i), ii) y iii) junto con el criterio de congruencia LAL.
Por tanto, 5 (son lados correspondientes de triángulos congruentes).
Aplicación de la congruencia de triángulos a los cuadriláteros2
43
TAREA DEL EQUIPO DE LUISA, LOURDES Y LORENZO
En un cuaderno cuadriculado dibujamos varios rectángulos y medimos sus diagonales. En todos los casos lasdiagonales medían lo mismo, por tanto, las diagonales de un rectángulo son siempre iguales.
TAREA DEL EQUIPO DE KARLA, KEMEL Y KATY:
Se trazan las diagonales y en un rectángulo ABCD, como se muestra en la figura:
Considerando los DABC y DBAD, se tiene que:
DC
AB
8 cm8 cm
2 cm
8.2 cm
8.2 cm
2 cm
4.5 cm
4.5 cm
6 cm
3 cm6.7 cm
6.7 cm
AC BD
BC AD
AB CD
BD AC
Forma, espacio y medida
44
c) Califiquen cada argumento en una escala de 1 a 3 según estos parámetros: argumento insuficiente (1);argumento medianamente apropiado pero incompleto (2), y buen argumento (3).
El argumento de Juan, Jorge y Julia:
El argumento de Karla, Kemel y Katy:
El argumento de Luisa, Lourdes y Lorenzo:
El profesor puso calificaciones de 7, 8 y 10 (pero no se sabe a qué equipo le puso cuál) con los si-guientes comentarios:
Calificación 7. No es una demostración, sólo se dieron ejemplos para apoyar la proposición.
Calificación 8. El argumento tiene defectos. Se entiende la idea, pero no se apoya en proposicionesgeométricas claras que se hayan visto antes. Es necesario argumentar más y con mayor precisión.
Calificación 10. Es un buen argumento. Se apoya en proposiciones geométricas vistas en la lección y encursos anteriores.
¿Puedes decir a qué equipo le puso el maestro cada una de las calificaciones anteriores?
EELL CCUUAADDRRAADDOO
Esta figura es un cuadrado:
Es decir, cumple con lo siguiente: ù ù ù .
Proporciona una demostración de la siguiente proposición:
Un cuadrado es un rectángulo que tiene sus cuatro lados iguales.
Las diagonales de un cuadrado lo dividen en cuatro triángulos congruentes.
C
B
D
A
AB BC CA DA
Aplicación de la congruencia de triángulos a los cuadriláteros2
45
1. Demuestra que las diagonales de un cuadrado forman ángulos rectos. Observa lafigura:
2. Demuestra que el área de un cuadrado levantado sobre la hipotenusa de un trián-gulo rectángulo isósceles es cuatro veces el área del triángulo. (SUGERENCIA: consi-dera un triángulo rectángulo isósceles como se representa en el dibujo de la izquier-da. Luego levanta sobre su hipotenusa un cuadrado, como se representa en la figu-ra de la derecha.)
Con ayuda de esta última figura razona para demostrar que el cuadrado tiene cua-tro veces el área del triángulo.
E
A
C
D
B
C
AB
Al torito por los cuernos
Forma, espacio y medida
46
De nuevo la geometría, llave de lo inaccesible
El problema es cómo calcular el diámetro de una laguna cuando no existe laposibilidad de hacer una medición directa.
En la siguiente reunión de Sigma Six, Alessandra explica la forma en que ellaresolvería el problema de la laguna:
—Se me ocurrió que se podrían colocar dos estacas alineadas al diámetro dela laguna y otra en el desierto, de tal manera que se forme un triángulo con esostres puntos, ¿me explico? —dice Alessandra con un poco de miedo porque sabeque su fuerte no es la geometría.
—Sí, sí, claro —la anima Boris que, aunque es ducho en geometría, tiene lavirtud de escuchar los argumentos de los demás.
—Luego, considerando que la vista viaja en línea recta y que las distancias enel desierto sí se pueden medir de manera directa, se duplica ese triángulo en elterreno del desierto para medirlo directamente, como se ve en la figura —con-cluyó Alessandra satisfecha de su exposición.
¿Puedes explicar cómo se reproduce el triángulo formado por los puntos P, Q yO? Después de reproducirlo, ¿en qué segmento del nuevo triángulo te apoyaríaspara encontrar la distancia buscada? ¿Por qué? Explica cómo se debe hacer.
A
B
Desierto Diámetro de lalaguna
P
Q
Diámetro de la
laguna
Q
P´
´
O
Fuentes de internet
http://es.geocities.com/geometriarecreativa/geomrecreat02.htmlEn este sitio se encuentra el libroGeometría recreativa, de GrigoriYakovlevich Perelman, quecontiene varios problemas dedistancias inaccesibles.
Progresímetroaxiomático
Aplicación de la congruencia de triángulos a los cuadriláteros2
47
1. Examina la figura que se presenta a continuación y decide, a simple vista, si el es paralelo al (o, demanera equivalente, si la distancia de A a C es la misma que de B a ).
2. En pareja investiguen y respondan las preguntas y argumenten sus respuestas. Escríbanlas en sucuaderno:
3. A continuación se presentan las definiciones de dos figuras geométricas.
TRAPECIO: Es un cuadrilátero con exactamente un par de lados paralelos.
TRAPECIO ISÓSCELES: Es un trapecio cuyos lados no paralelos tienen la misma longitud.
Por ejemplo, las siguientes figuras representan un mismo trapecio isósceles; en cada una se haresaltado una característica:
En equipo, formulen algunas proposiciones con respecto a los ángulos y las diagonales deltrapecio. Después, intenten demostrar las proposiciones formuladas.
a) ¿Qué es una demostración en geometría?
b) ¿Por qué es importante la demostración?
Después, mide los segmentos con una regla. ¿Fue correcta tu apreciación inicial?
A B
C D
C
C
CD D
D
B B
B
A
A
A
Plante
amie
nt
o y resolución de problem
as
Una última faena Comunicación
AB CD
Forma, espacio y medida
Lección 3
48
Rectas y ángulos
Nuestro reto es:
Y necesitamos...
• Concepto de ángulo (lección 6 deMatemáticas 1).
• Conceptos de ángulo inscrito, ángulocentral, radio, secante, tangente ydiámetro (lección 13 de Matemáticas 1).
• Calcular la medida de ángulos inscri-tos y centrales, así como de arcos, elárea de sectores circulares y de la corona.• Determinar mediante construcciones las
posiciones relativas entre rectas y unacircunferencia y entre circunferencias.Caracterizar la recta secante y la tangentea una circunferencia.
• Determinar la relación que existe entreun ángulo inscrito y un ángulo centralde una circunferencia, si ambos abarcanel mismo arco.
La Escuela de Física y Matemáticasdel IPN y el Concurso Pierre Fermat
En el año 2006 la Escuela Superior de Física y Matemáticas del IPN (ESFM) cumpliócuarenta y cinco años de existencia. En 1959 las autoridades del IPN, cuyo directorgeneral era el ingeniero Eugenio Méndez Docurro, crearon una comisión queanalizara la posibilidad de impulsar la alta docencia y la investigación científica enel Instituto, particularmente de la física y las matemáticas. Una de las conclusionesde la comisión fue la propuesta de crear una escuela de física y matemáticas, la cualse inauguró en 1961. En la elaboración del plan de estudios participó en la parte
matemática el doctor José Adem, y enla parte física, los doctores Víctor Floresy Leopoldo García. Desde entonces sehan formado en sus aulas excelentesmatemáticos y físicos.
La ESFM organiza periódicamente elConcurso Pierre Fermat sobre matemáti-cas para estudiantes de secundaria,
bachillerato y nivel superior. Puede parti-cipar cualquier estudiante de esos niveles.
El fin y los medios
Fuentes de internet
En la páginahttp://www.esfm.ipn.mx/~fermat/bases se encuentran lasbases para participar y unasguías de estudio por nivel, útilesen la preparación para el concurso. Es una oportunidadpara que midas el desarrollo detus competencias matemáticasy conocimientos.
Rectas y ángulos3
49
El ángulo adecuado de las cosas
Mariana es productora de televisión y está platicando con su director de cámaraspara decidir dónde y cómo van a colocar el equipo. Están en el Teatro Juárez, deGuanajuato, para una presentación de gala del Ballet Teatro del Espacio.
—Las coreografías están increíbles, Pepe, y no me gustaría que hiciéramosuna toma fija del espectáculo —le dice la productora al director decámaras—. Dime qué podemos hacer para que, si nos movemos con lacámara hacia algún lado del escenario tratando de captar algún detalle,tengamos el mismo ángulo de visión y se aprecie adecuadamente el restode la coreografía. Tú me entiendes, ¿verdad?
—Pues no siempre, pero ahora sí te entiendo y creo saber cómo resolverel problema —dice Pepe, y de inmediato les pide a sus ayudantes queempiecen a tomar medidas del escenario.
* Con el travelling la distancia focal no varía, el objetivo abarca siempre el mismo ángulo,es la cámara la que se mueve. En cambio, con el zoom la cámara no se mueve: el ale-jamiento o el acercamiento se produce al variar la distancia focal. El zoom manipula laperspectiva, en tanto que el travelling respeta el espacio real.
Un torito al ruedo
Y la pregunta es:
¿Cuál es la trayectoria que debe seguir la cámara (travelling)* conrespecto al escenario de manera que el ángulo de visión siempre seael mismo?
Acceso 5
Acceso A7 Acceso A1
Escenario
Teatro Júarez
General B
General A
Acceso 4 Acceso 3
Progresímetroaxiomático
DE BUENA FUENTE
MANOS A LA OBRA
Forma, espacio y medida
50
En parejas realicen esta actividad.
1. Dibujen una circunferencia cualquiera. Luego, tracen una recta queinterseque a la circunferencia en dos puntos. Marquen con rojo lospuntos en los que la recta interseca a la circunferencia.
2. Tracen otra recta que interseque a la circunferencia en un solo punto.
3. Dibujen una recta que NO interseque a la circunferencia.
Recuerden que las rectas son infinitas, pero sólo es posible dibujar segmentos de recta. Al realizar las activi-dades que se piden en los puntos 1, 2 y 3 tomen en cuenta esta consideración, es decir, cuando se pide quedibujen una recta que no interseque a la circunferencia no es correcto dibujar algo así:
Ya que la recta que aparece aquí dibujada, al prolongarse, sí intersecaría a la circunferencia. Observa:
4. Digan cuántas posiciones relativas esencialmente diferentes puede haber entre una recta y una circunfe-rencia y dibujen cada una:
Una recta que toca a la circunferencia en un solo punto se llama tangente a la circunferencia. La figura que semuestra a continuación muestra dos rectas tangentes a una circunferencia. Una es tangente a la circunferenciaen A y la otra en B.
B
A
Tendiendo las redes
Rectas y ángulos3
51
Una recta que interseca a una circunferencia en dos puntos se llama secante, como la que vemos en lafigura de abajo. La secante interseca a la circunferencia en los puntos A y B.
En pareja realicen las siguientes actividades y resuelvan los problemas que se proponen:
1. Dadas una recta y una circunferencia en el plano hemos visto que existen tres posibilidades:
2. En la figura se muestran las tangentes a una circunferencia en los puntos A, B, C y D.
¿Existen otras posibilidades?
Discute con tu compañero las respuestas posibles, y cuando lleguen a una conclusión, escríbanla aquíexponiendo claramente sus argumentos.
a) La recta NO interseca a la circunferencia.
b) La recta toca a la circunferencia en un solo punto.
c) La recta interseca a la circunferencia en dos puntos.
Z
D
B
A
OC
YX
Utilicen su transportador para medir losángulos:
�XAO 5 ,
�YBO 5 ,
�ZCO 5 y
�YDO 5 .
Escriban una conjetura sobre lo que aca-ban de observar:
AGUZANDO EL INGENIO
B
A
DE BUENA FUENTE
Forma, espacio y medida
52
3. Utilicen su conjetura para construir una recta tangente a la circunferencia que pase por el punto P.
4. En el siguiente dibujo utilicen la información indicada y digan si la recta t es o no tangente a la circunfe-rencia con centro en O.
P
O
33°57°
P
t
Argumenten su respuesta.
Se llama ángulo central a cualquier ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados sonradios de ella. En la figura, el �AOB es un ángulo central de la circunferencia con centro en O. También sedice que el �AOB es el ángulo central subtendido por el arco AB o por la secante AB (si no recuerdas la defini-ción de secante, revisa tu libro Matemáticas 1, lección 13).
• La secante AB determina dos arcos, uno mayor y otro menor. En general, se llama arco AB al menor de los dosarcos. Asimismo, los extremos de una secante, A y B, determinan dos ángulos con el centro O. Uno pequeño yotro grande. Suele decirse que el ángulo central AOB es el menor de los dos ángulos mencionados.
O
B
A
Rectas y ángulos3
53
• En ocasiones se hace referencia al arco mayor. En ese caso convienehablar del arco APB, donde P es un punto en el arco mayor, como seve en la figura de la derecha:
• En la figura anterior se ha marcado también el ángulo central, que corresponde al arco mayor APB.
• Medida de un arco subtendido por un ángulo. Si se conoce el ángulo central que subtiende un arco, ¿cómo seencuentra la longitud del arco?
• Un ángulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia. En la figura de abajo el ángulo AXBes un ángulo inscrito de la circunferencia C. También se dice que el �AXB es el ángulo inscrito subtendidopor el arco AB o por la secante AB.
Se calcula a partir del hecho de que la longitud de toda una circunferencia es 2 3 p 3 R, donde R es elradio de la circunferencia. Es fácil advertir que las longitudes de arco son proporcionales a los ángulos quelos subtienden; así, la tabla es proporcional:
donde La
significa “longitud de arco que subtiende un ángulo a”, entonces:
O
BP
A
O
C
X
A
B
Ángulo 360º a
Longitud de arco
La
52 3 p 3 R 3 a
360
En equipo respondan las siguientes preguntas y resuelvan los problemas propuestos.
1. En el zócalo de una ciudad se traza un círculo de 10 m de radio. En parte de la circunferencia se va a poneruna valla para cubrir un arco cuyo ángulo central es de 90º. ¿Cuál es la longitud del arco que se pretendecercar? (Utiliza 3.14 como p.)
2 3 p 3 R La
AGUZANDO EL INGENIO
Forma, espacio y medida
54
2. ¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores de un triángulo?
a) Un ángulo exterior de un triángulo es el ángulo formado por la prolongación de un lado y el lado ad-yacente. Por ejemplo, en el dibujo, la recta CP es la prolongación del lado CA del triángulo ABC. Elángulo PAB es un ángulo exterior del triángulo ABC.
3. En la figura, el centro de la circunferencia está sobre un lado del ángulo inscrito BXA y este ángulo abarcael mismo arco que el ángulo central BOA.
a) ¿Cómo son los segmentos OA y OB? , porque .
b) ¿Cómo es el triángulo AOX? , porque .
c) ¿Cómo son los ángulos A y X? , porque .
d) De acuerdo con el resultado del ejercicio 2, b ¿cuánto mide el �BOA?
e) De lo anterior se puede concluir que el ángulo central �BOA mide el doble que el ángulo inscrito
�BXA. ¿Por qué?
Otra manera de expresar lo anterior es:
b) Utilicen el resultado del ejercicio 2 y la definición de ángulo exterior para argumentar que el
�PAB 5 �B 1 �C (el �PAC mide 180° ya que los puntos P, A y C son colineales).
B
C A P
O
X
A
B
El ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende.
DE BUENA FUENTE
Rectas y ángulos3
55
Esto se ha probado ya para el caso en que O pertenece a un lado del ángulo inscrito. ¿Cómo podríanprobarlo en los siguientes casos? Discútanlo con otros equipos y con su profesor. En ambos casos lasugerencia es trazar una semirrecta que pase por X y por O, y utilizar el caso ya probado.
B
O
X
A
B
O
X
A
Un resultado importante que debe tenerse en mente es:
Por ejemplo, teniendo en cuenta las figuras de abajo, si el �QPR es igual al �TSU, entonces el arco QR esigual al arco TU y la cuerda QR es igual a la cuerda TU.
Inversamente:
Teniendo en cuenta otra vez el primer círculo de la figura anterior, si la cuerda QR es igual a la cuerda TUentonces el �QPR y el �TSU son iguales.
Dos ángulos inscritos de la misma medida subtienden un mismo arco y una misma cuerda.
Dos arcos de la misma medida son subtendidas por ángulos inscritos de la misma medida.
R R
T
P Q
S
U
T
P Q
S
U
QR = TU QR = TU
Dos ángulos inscritos de la misma medida subtienden un mismo arco.
A continuación se argumenta por qué es cierta la siguiente proposición:
MANOS A LA OBRA
Forma, espacio y medida
56
Supongamos que el �QPR y el �TSU miden a grados. Entonces el ángulo central �QOR mide 2a y tambiénel ángulo central �TOU mide 2a, por lo que la medida de los arcos QR y TU es la misma (4 3 p 3 R 3 a; Res el radio de la circunferencia).
R
T
PQ
O
S
U
a
a2a
2a
• ¿Cuál sería la medida del �BPA si el punto P estuviera en la otra parte del arco determinado por A y B?
• Tracen otro diámetro en el mismo círculo y llamen C y D a sus extremos. Tomen un punto Q en la cir-cunferencia, distinto de C y de D. ¿Cómo es el �CQD?
• ¿Es posible generalizar la propiedad que acaban de observar? Escriban a un compañero un mensaje paracomunicarle esta propiedad.
1. Formula una proposición similar a la que se vio en el apartado anterior referida a cuerdas, es decir, queresponda la pregunta ¿qué pasa con los ángulos inscritos cuando dos arcos son iguales?
2. Tracen un círculo y uno de sus diámetros. Llamen A y B a los extremos de este diámetro. Recuerden que elcentro O del círculo está alineado con A y B.
Observa la figura para ver a qué se tienen que parecer tus trazos.
a) ¿Cuál es la medida del ángulo central �AOB?
b) ¿Qué parte de la circunferencia corresponde al arco que subtiende el diámetro AB?
c) Si ahora colocamos un punto P sobre la circunferencia, ¿cuál es la medida del ángulo inscrito subtendidopor el diámetro AB?
A
O P
B
Ejemplo de ángulo central y ángulo inscrito subtendidos por un diámetro.
AGUZANDO EL INGENIO
Rectas y ángulos3
57
1. En la figura mostrada la secante KM es perpendicular al diámetro LP. X esel punto de intersección de KM y LP.
Las preguntas que se plantean tienen como objetivo demostrar que elDKLP y el DMLP son congruentes. En el dibujo se ha iluminado el DKLPde amarillo y el DMLP de azul.
Lo único que se sabe es que el diámetro LP es perpendicular a la cuerda KM. Con base en estos datos y enlas propiedades de ángulos inscritos vistas en la lección, responde:
a) ¿Cuánto mide el �PKL . ¿Por qué?
b) ¿Cuánto mide el �PML . ¿Por qué?
c) �PKM 1 �MKL 5 . ¿Por qué?
d) �KLP 1 MKL 5 . ¿Por qué?
O
K
LM
P
90°
X
K
LM
P
90°
X
e) Por tanto, �PKM 5 �KLP y, en consecuencia, KP 5 MP. ¿Por qué?
f) �LKM 1 �KLP 5 . ¿Por qué?
g) �KPL 1 �KLP 5 . ¿Por qué?
h) Por tanto, �LKM 5 �KLP. ¿Por qué?
y, en consecuencia, LM 5 KL.
K
LM
P
DE BUENA FUENTE
Forma, espacio y medida
58
2. En la figura de la derecha, AD es perpendicular a DC. Argumenten paraconvencer a un compañero que el �ABC es igual a 90°.
En resumen:
KP 5 MP
LM 5 KL
LP 5 LP
De donde �KLP ù �MLP, por el criterio LLL de congruencia.
K
LM
P A
DC
B
La corona es la parte comprendida entre dos circunferencias concéntricas; en lafigura, la corona está en amarillo.
Se llama sector circular a una parte de un círculo limitada por dos radios; enla figura, la parte sombreada de amarillo es un sector circular que correspondea un ángulo de 60°.
O
A
B
60o
O
A
B
60o
1. Calcula el área del sector circular de la figura mostrada si se sabe queOA es igual a 3 cm. (Este dibujo ofrece una idea de cómo hacerlo.)
AGUZANDO EL INGENIO
Rectas y ángulos3
59
AO
B
45o
2. Encuentra la fórmula de un sector circular determinado por un ángulo a, sabiendo que el área de un cír-culo de radio R es: A5 p R2. Apóyate en el hecho de que las áreas de los sectores circulares son propor-cionales a los ángulos que los definen; observa esta tabla proporcional, donde A
brepresenta el área del
sector circular de ángulo b.
3. Calcula el área del sector circular mostrada en la figura si el radio OA es igual a 5 cm y el �AOB 5 45°.
Ángulo 360º b
Área del sector circular p 3 r2 Ab
4. Una cabra está atada, con una cuerda de 2 m de longitud, a unade las esquinas exteriores de un corral de forma cuadrada cuyolado mide 5 m. El corral está rodeado por un campo de hierba.¿En qué área puede pastar la cabra? (Antes de intentar resolvereste problema haz un dibujo que represente la situación descritacon palabras.)
5. En un circo la pista central y la carpa son dos círculos concéntricos. La pista tiene un radio de 10 m y lacarpa, 17 m. Si la sección de butacas es la parte comprendida entre la pista y la carpa, ¿cuál es el área dela sección de butacas?
Butacas
Pista
Al torito por los cuernos
Forma, espacio y medida
60
De nuevo el ángulo adecuado de las cosas
El problema es: ¿cuál es la trayectoria que debe seguir una cámara (travelling)con respecto a un plano objetivo de manera que el ángulo de visión siempre seael mismo?
Tracemos el plano objetivo y un punto donde la cámara capta dicho plano;supongamos que la cámara tiene un ángulo de visión b, observa cómo se formaun triángulo:
Traza la circunferencia que pasa por los puntos M, N y O. Trata de argumentarpor qué un arco de dicha circunferencia es la trayectoria que debe seguir lacámara.
En el siguiente esquema se puede observar una solución al problema: si lacámara se mueve a lo largo del círculo rojo, siempre tendrá el mismo ángulo devisión:
M
N
O
Plano objetivo
Cámara
b
Acceso 5
Acceso A7 Acceso A1
Escenario
General B
General A
Acceso 4 Acceso 3
Teatro Júarez
M
N
O
Plano objetivo
Cámara
b
Progresímetroaxiomático
Rectas y ángulos3
61
1. Utiliza la proposición que dice “el ángulo central es el doble del ángulo inscrito” para argumentar que“cualquier ángulo que subtiende un diámetro es de 90º”. Por ejemplo, en el siguiente círculo el trián-gulo DABC es recto en C, pues el ángulo �ACB subtiende al diámetro :
2. Determinen cuántas posiciones relativas esencialmente diferentes existen entre dos circunferencias.¿Cuántas habrá entre tres circunferencias?
3. Ilustra con dos ejemplos la proposición: “Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de losángulos interiores opuestos”
4. Una cabra está atada, con una cuerda de 2.5 m de longitud, a una de las esquinas exteriores de un co-rral con forma de hexágono regular de 6 m de lado. El corral está rodeado por un campo de hierba.¿En qué área puede pastar la cabra?
5. Propón un problema que requiera medir el área de un sector circular y otro en el que se tenga quecalcular una corona.
Una última faena
C
A
90o
B
AB
Manejo de la información
Lección 4
62
Pendiente de una recta.
Proyectos estadísticos
Nuestro reto es: Y necesitamos...
• Comprender la noción de proporcio-nalidad.
• Saber construir gráficas de diversostipos.
• Analizar la razón de cambio de un pro-ceso o fenómeno que se modela con unafunción lineal y relacionarla con la incli-nación o la pendiente de la recta que lorepresenta.
• Diseñar un estudio o experimento a par-tir de datos obtenidos de diversasfuentes y elegir la forma de organizacióny representación tabular o gráfica másadecuada para presentar la información.
Desmemoriado y geniudo
Investigador del Instituto de Matemáticas de la UNAM desde 1948, director de la Facultad de Ciencias de1982 a 1986 y vicepresidente de la Sociedad Matemática Mexicana en cuatro ocasiones, don FélixRecillas ha sido un incansable matemático que está por cumplir noventa años y aún sigue asistiendo alInstituto de Matemáticas.
En una entrevista que le hizo M. Neumann con motivo de sus ochenta años de vida, el doctorRecillas recuerda anécdotas: primero como miembro de una familia humilde que emigró de un puebloindígena del Estado de México en la época de la Revolución, cuando tenía tres años; luego como estu-diante de matemáticas en Harvard y Princeton, y también de su relación con Sotero Prieto, Carlos Graef,Lefschez y otros matemáticos. Hace memoria de los comienzos de la biblioteca del Instituto deMatemáticas, cuando en aquella época el director era don Alfonso Nápoles Gándara. El doctor Recillascomenta:
—También recuerdo cómo se creó la biblioteca. No teníamos acceso a libros ni a revistas. Bueno,había un estante chiquito. Entonces le dije a Nápoles Gándara, que era eldirector, si no sería conveniente comprar algunos libros.
—¿Ya leyó ésos? —me dijo señalando el estante.
—No —respondí.
—De acuerdo, entonces no compramos nada —me dijo cortante.
A los tres días Nápoles me preguntó:
—¿No cree que sería conveniente comprar algunos libros?
—Eso era lo que yo le decía —le recordé.
—Usted no me decía nada —reviró frunciendo el ceño.
El fin y los medios
Pendiente de una recta. Proyectos estadísticos4
63
Hasta no ver, no creer
Después de semanas de estar insistiendo en lo mismo, Tomás consigue que elmaestro de física lleve todo el equipo necesario para hacer un experimento quecompruebe la ley de Gay-Lussac de los gases ideales.
—Ya que has estado tan “inquieto” con esta ley, recuérdanos qué es lo quepostula —pregunta el maestro.
—Claro —responde Tomás medio nervioso—. Dice que el volumen de un gasse incrementa de manera proporcional a su temperatura siempre que la presiónpermanezca constante. O sea, que a incrementos iguales de temperatura corres-ponden incrementos iguales de volumen.
Durante la práctica los muchachos registranen una tabla el volumen del gas cuando su tem-peratura va de los 20 ºC a los 90 ºC (vean latabla de abajo).
—¡Ay, Tomasito, hasta que no te saliste con latuya! —le dice Andrea en tono de reclamo.
Y Tomás, con su acostumbrada fran-queza, contesta: —Es que tenía, y tengo,dudas. ¿A poco a ti no te ha entrado nuncala duda de algo?
Temperatura(ºC) 20 30 40 50 60 70 80 90
Volumen(cm3)
107.32 110.98 114.64 118.3 121.96 125.62 129.28 132.94
Un torito al ruedo
Y la pregunta es:
¿Cómo aumenta el volumen del gas cuando se incrementa su tempe-ratura? O, dicho de otro modo: ¿cuál es la razón de cambio del volu-men del gas con respecto a la temperatura?
Progresímetroexperto
DE BUENA FUENTE
Manejo de la información
64
Se pueden presentar diferentes tipos de incremento de la variable dependiente con respecto a los incrementosde la variable independiente, según el comportamiento de la función. Existen tres casos típicos que se ilustranen estas tablas:
Asocia cada una de las tablas anteriores con la gráfica que le corresponde:
El incremento es cada vez menor; los incrementos son: 4, 3, 2 y 1.
a)
Tipos de incremento y razón de cambio
x 2 4 6 8 10
y 4 5 7 10 14
b)x 2 4 6 8 10
y 4 7 10 13 16
c)x 2 4 6 8 10
y 4 8 11 13 14
20 4 6 8 10
2468
101214
1816
?Asocia cada
y
x
El incremento es cada vez mayor; los incrementos son: 1, 2, 3 y 4.
20 4 6 8 10
2468101214
1816
y
x
Tendiendo las redes
Pendiente de una recta. Proyectos estadísticos4
65
El incremento es constante: en intervalos de 2 unidades los incre-mentos son de 3 unidades.
Una característica de las funciones lineales es que sus incrementos son constantes a lo largo de intervalosiguales. Por ejemplo, en la tabla del inciso b, que se muestra de nuevo,
se observa que cuando la variable x se incrementa en 2 unidades, la variable y se incrementa en 3 unidades;tales incrementos son evidentes haciendo las diferencias entre los valores de x y de y como se ve a continuación.
Incrementos de y:
Incrementos de x:
También en la siguiente gráfica se pueden ver dichos incrementos:
20 4 6 8 10
2468101214
1816
y
x
20 4 6 8 10
2
4
6
8
10
12
14
18
16
y
x
2
2
2
2
3
3
3
3
x 2 4 6 8 10
y 4 7 10 13 16
2 64 8 10
6 2 4 5 2 8 2 6 5 2 10 2 8 5 24 2 2 5 2
4 7 10 13 16
7 2 4 5 3 10 2 7 5 3 13 2 10 5 3 16 2 13 5 3
DE BUENA FUENTE
Manejo de la información
66
Reúnete con un compañero y argumenten por qué asignaron tal o cual número a cadasegmento de recta.
La pendiente de una recta
A continuación se presentan segmentos de recta en el plano que tienen diferentesinclinaciones.
Si tuvieras que asignar a cada segmento de recta uno, y sólo uno, de los siguientesnúmeros para indicar su inclinación, ¿qué número le pondrías a cada segmento?
22, 21, 2 , , 1, 21
2
1
2
La pendiente de una recta es un número asociado a la recta que mide su inclinación. La manera de medir lainclinación de una recta es observar cuánto “sube” la recta por intervalo que avanza:
Cantidadque sube
Cantidadque avanza
La pendiente es el cociente de la cantidad que “sube” o “baja” entre la cantidad que avanza.
AGUZANDO EL INGENIO
Pendiente de una recta. Proyectos estadísticos4
67
A la pendiente se le suele llamar m, así:
m 5
m 5
A la pendiente se le llama también razón de cambio. Por ejemplo, la pendiente de la recta de abajo es: .
Algunas veces la recta no sube sino “baja”, en esos casos la pendiente es negativa:
Cantidad que sube
cantidad que avanza
3
2
2
3
2
3
2
3
23
23
23
1
1
1
3
2
m 5 5 2323
1
1. Determina la pendiente de las tres rectas:
1 2 3m 5m 5m 5
Manejo de la información
68
2. En un experimento, la temperatura de una taza de café se mide en distintos tiempos (minutos) para deter-minar su ritmo de enfriamiento. En la tabla se registran los resultados:
3. En un libro de cocina viene una tabla en la que se sugiere el tiempo de cocción de un pavo en función desu peso:
4. Los datos de la tabla corresponden a la presión que ejerce el agua sobre un objeto según las diferentes pro-fundidades a las que se sumerge (lección 8 de Matemáticas 2).
5. A la derecha se presenta la gráfica del movimiento de losobjetos A y B:
¿Cuál es la razón de cambio del tiempo de cocción del pavo por kilogramo de peso?
Encuentra la razón de cambio del enfriamiento del café.
En equipo discutan y traten de resolver los problemas 3-6. Con base en los datos de las tablas sobre dife-rentes situaciones físicas, grafiquen la función correspondiente y encuentren la pendiente. En cada casopropongan una interpretación de la pendiente que tenga sentido para la situación planteada.
Tiempo (min) 0 5 10 15 20 25 30
Temperatura (ºC) 90 80 71 63 56 50 45
Profundidad en elagua (cm)
0 2.5 5.0 7.5 10 12.5 15
Lectura en elmanómetro
18.4 19.1 19.8 20.5 21.2 21.9 22.6
Peso del pavo(kg)
3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo de cocción(h)
3 4 5 61
22 1
23 1
24 1
25
¿Cuál es la razón de cambio de la presión con respecto a la profundidad?
A
B
0 42 8 106
100
80
60
40
20
Tiempo
Dis
tan
cia
¿Cómo es la velocidad del objeto A en el instante t 5 2?Marca con 4 la respuesta correcta.
a) Mayor que la velocidad del objeto B.
b) Menor que la velocidad del objeto B.
c) Igual a la velocidad del objeto B.
Pendiente de una recta. Proyectos estadísticos4
69
6. La gráfica representa la altura del agua en el recipiente A, que se está llenando a una razónconstante.
Dibuja ahora la gráfica de la altura del agua en el recipiente B, suponiendo que se utiliza la misma llave conque se llenó el recipiente A (es decir, con un mismo suministro de agua).
Recipiente A Recipiente B
¿?
A
Tiempo
Alt
ura
Tiempo
Alt
ura
7. En el esquema de abajo se representa la posición de la altura del agua en dos recipientes cilíndricos cuyasbases tienen medidas distintas. En el instante t 5 0 los recipientes están vacíos; se abren las llaves almismo momento y comienza a fluir el agua a la misma razón. Después de seis minutos (t 5 6) la alturadel agua en el recipiente A es de 20 cm, mientras que en ese mismo instante la altura del recipiente B esde 40 cm.
20 cm
Recipiente A Recipiente B
40 cm
Manejo de la información
70
En el diagrama se grafican los puntos que representan laaltura del agua del recipiente A en los instantes t 5 1, 2, 3, 4,5 y 6, y el punto que representa la altura del agua del reci-piente B en el instante t 5 6 (punto B). Dibuja ahora los pun-tos que representan la altura del agua del recipiente B en losinstantes t 5 1, 2, 3, 4 y 5.
8. A continuación se proponen seis ecuaciones lineales:
Para cada una de las ecuaciones anteriores:
i) Encuentra los valores de y cuando x toma los valores 23, 22, 21, 0, 1, 2 y 3, y llena una tabla comola que sigue:
ii) Grafica la función en el plano cartesiano.
a) y 5 2x
b) y 5 2x
c) y 5 2x 1 2
d) y 5 2 2 x
e) y 5 x 1 2
f) y 5 2 x 2
Tiempo (min)
A
B
60
50
40
30
20
10
0 1 2 3 4 5 6
Alt
ura
del
agu
a(c
m)
1
2
1
3
2
3
x 0 1 2 3
y
23 22 21
iii) Elige dos puntos sobre la línea y calcula la razón entre el desplazamiento vertical y el desplazamientohorizontal de ambos puntos.
iv) La razón que calculaste es la pendiente de la recta. ¿Qué lugar en la ecuación representa la pendientede la recta?
a)
9. En cada uno de los siguientes incisos encuentra la pendiente de la recta graficada y escribe su ecuación.
x
y
525
25
5
b)
x
y
525
25
5
Pendiente de una recta. Proyectos estadísticos4
71
Telepatía numérica
El conductor de un programa de televisión —un hombre con dentadura perfectay sonrisa perpetua— explica a los dos participantes las reglas del concurso:
—Cada uno de ustedes debe pensar en un número entero y apuntarlo. Siescriben el mismo número ganarán un premio de… —el conductor mira a cadauno de los concursantes que se encuentran en sendas cabinas en los extremos delestudio y no pueden intercambiar ninguna señal. Los dos individuos jamás se hanvisto en la vida—, ganarán un premio de… ¡cien mil pesos! En caso contrario, seirán a casita. ¿Listos?
En off se oye una voz engolada: “Si tú fueras uno de los concursantes, ¿quénúmero dirías?”
¿Habrá números que convenga elegir para mejorar la probabilidad de ganar enuna situación como la que se describe arriba?
¡Ole, torito!
MANOS A LA OBRA
La calidad del aire en la ZonaMetropolitana de la Ciudad de México
La Ciudad de México, por ser la ciudad más poblada del país, padece un problema importante de contami-nación del aire. Sin embargo, otras grandes ciudades también comienzan a sufrir problemas semejantes:Guadalajara, Monterrey, etc. Conviene aprender a leer y procesar la información que sobre el tema de la con-taminación publican los gobiernos de los estados o los organismos especializados, a fin de entender la natu-raleza del problema; éste es el objetivo del presente proyecto.
EACTAC
TPN TAH
CUAPLA
LLA
VIT
SAGXAL
LPR
LVI ARASJA
BJUPER
CHA
NET
IMP
VAL
MINLAG
AZCCUI
CAMTLA
ATI
TLI
UIZCEST AX
SUR
COY
Red Automática de monitoreo atmosféricoPor ejemplo, en el mes de febrero de 2002 se obtuvieron estos
índices máximos diarios de contaminación por ozono en la zona cen-tro del Área Metropolitana de la Ciudad de México:
82 114 123 112 94 81 95 69 107 11071 31 26 102 147 128 133 143 122 14290 68 82 108 135 126 70 38
a) Construye una distribución de frecuencias relativas acumuladascon cuatro o cinco intervalos.
b) Construye una distribución de frecuencias acumuladas teniendoen cuenta los siguientes intervalos que definen la calidad del aire:
c) ¿Cuál fue el porcentaje de días de febrero en los que la calidaddel aire NO fue satisfactoria?
0-100 Condición satisfactoria
101-200 Condición NO satisfactoria
201-300 Condición mala Fuentes de internet
http://www.sma.df.gob.mx/simat/
Estadística
Al torito por los cuernos
Manejo de la información
72
De nuevo hasta no ver, no creer
La pregunta que se planteó al principio es:
¿Cómo aumenta el volumen del gas cuando se incrementa su temperatura? O dichode otro modo: ¿cuál es la razón de cambio del volumen del gas con respecto a latemperatura?
De nuevo telepatía numérica
Una buena respuesta consistiría en realizar una encuesta y des-cubrir qué número es el que la mayoría de las personasresponde. ¿Habrá alguna regularidad? ¿Es posible concluir que,dada la inmensa diversidad de la gente, cada quien puede men-cionar cualquier número que le venga a la cabeza de lainfinidad de números naturales?
El objetivo del presente proyecto es responder estas pregun-tas realizando un estudio estadístico; para ello se deben aclararestos puntos:
a) ¿Cuántas personas y quiénes serán las encuestadas?
b) ¿Cómo se les hará la pregunta?
c) ¿Cómo se registrarán los datos?
d) ¿Cómo se organizarán los datos?
Entonces la razón de cambio del volumen es:
Razón de cambio 5 5 0.366
Temperatura(ºC)
20 30 40 50 60 70 80 90
Volumen(cm3)
107.32 110.98 114.64 118.3 121.96 125.62 129.28 132.94
107.32
3.66 3.66 3.66 3.66
3.66 3.66 3.66
110.98 114.64 118.3 121.96
121.96 125.62 129.28 132.94
3.66
10Progresímetro
experto
Pendiente de una recta. Proyectos estadísticos4
73
Una última faena
1. En un experimento sobre la capacidad del hígado para metabolizar alcohol, Rodolfo ingiere tres tarrosde cerveza. A intervalos de tiempo de una hora se mide la concentración de alcohol en la sangre y éstosson los resultados:
2. Dibuja las rectas con la pendiente indicada:
3. En cada inciso, encuentra la pendiente de la recta graficada y escribe su ecuación.
¿Cuál es la razón de cambio del alcohol en la sangre con respecto al tiempo?
Tiempo (h) 1 2 3 4 5 6 7
Alcohol en la sangre(mg/100 ml)
90 75 60 45 30 15 0
m1= 4 m2= m3=53
21
a)
x
y
525
25
5
b)
x
y
525
25
5
Manejo de la información
74
4. Busca en periódicos, Internet o en algún libro un conjunto de datos de algún tema que te parezcaninteresantes y determina cuál de las siguientes gráficas utilizarías para representar dichos datos.
Después, construye el tipo de diagrama que elegiste para representar los datos encontrados.
Diagrama de sectores Diagrama de barras Diagrama de columnas
Histograma Polígono de frecuencia
Matematograma
Llena el matematograma de modo que refleje tu desempeño en el bloque.
Planteamiento y resolución de problemas
Argumentación
Comunicación
Manejo de técnicas
A B C D E
Matematograma
Man
ejo de técnicas
Comunicación
Argumentación
Plante
amie
nt
o y resolución de problem
as
Bloque
2
75
En la antigüedad, las únicas relaciones matemáticas que conocía la mayoría de la gente máso menos culta eran las relaciones proporcionales y el crecimiento lineal. Sin embargo, yaalgunos matemáticos griegos comenzaron a entender que ciertas situaciones presentan rela-ciones no lineales. Así, trabajar con relaciones cuadradas, cúbicas, etc., es un paso importanteen el desarrollo del pensamiento matemático. En el eje “Sentido numérico y pensamiento alge-braico” se estudian relaciones y modelos no lineales y se volverá a este tema en los siguientesbloques. En cambio, en el eje “Forma, espacio y medida” se aborda un tema estrechamentevinculado con la proporcionalidad, a saber, semejanza de triángulos; dos aspectos sonimportantes en este tema: la justificación de propiedades y la aplicación de las propiedadesde triángulos semejantes a problemas de distancias inaccesibles.
Para finalizar, en el eje “Manejo de la información” se revisa el tema de porcentajes, unanoción muy útil en la vida cotidiana y comercial. Asimismo, se ve lo que es una simulaciónmatemática, un procedimiento muy interesante para entender el mundo de la incertidumbre.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Lección 5
76
Ecuaciones no lineales
Nuestro reto es: Y necesitamos...
• Comprender qué es una ecuación yqué se entiende por hallar su solución.
• Saber interpretar el signo de igualdaden diversos contextos.
• Utilizar ecuaciones no lineales paramodelar situaciones y resolverlas uti-lizando procedimientos personales uoperaciones inversas.
• Utilizar ecuaciones cuadráticas paramodelar situaciones y resolverlas usan-do la factorización.
Calculista prodigio con tenacidad de acero
A lo largo de la historia han existido muchachos con una extraordinaria capacidadde cálculo mental. Estos prodigios responden en pocos segundos preguntas rela-cionadas con multiplicaciones de números enteros y decimales, cálculo de poten-cias o extracción de raíces. A un matemático entrenado, y con la ayuda de lápiz ypapel, le tomaría un buen rato efectuar tales operaciones. Jedediah Buxton, nacidoen 1707 en un pueblo de Irlanda, se distinguió desde niño por su facilidad para loscálculos aritméticos. En la época en que ya era reconocido, calculó mentalmentecuántas pulgadas cúbicas había en un bloque de piedra rectangular de 23 145 789millas cúbicas; cuántos granos de trigo se necesitan para llenar un cubo cuyo volu-men es 202 680 000 360 millas cúbicas, dada la dimensión de un grano. Desafor-tunadamente, no se sabe mucho de la manera en que operaba su cerebro. Comotodos los calculistas, Buxton tenía una extraordinaria memoria y una peculiaridadaún más asombrosa: podía comenzar un cálculo, detenerse días o semanas parahacer otras actividades, y luego volver a sus cálculos recordando exactamente lospasos que ya había elaborado y los resultados que había alcanzado.
Las conductas y formas de calcular de esos muchachos pueden sugerirnos algu-nas ideas para mejorar nuestra capacidad para las matemáticas. Por ejemplo, avan-zar en la solución de un problema, si ésta no se alcanza a la primera, dejarlo porun rato y luego volver a él teniendo en cuenta lo que se había hecho hasta elmomento de la interrupción. Repetir este ciclo hasta llegar a la solución es unhábito matemático que podemos copiarle a Buxton.
El fin y los medios
Ecuaciones no lineales5
77
Bajando costos y aumentando volumen
—¿Y qué es lo que no les gusta del diseño? —pregunta Jaime Ugalde un pocomolesto.
—La verdad es que el concepto y los dibujos son geniales —dice ArgeliaMartínez, la gerenta de Dulces y Ambrosías, queriendo tranquilizar el ánimo deldiseñador—. El inconveniente es que con las medidas que propones para las cajasse desperdicia mucho material. Si pudiéramos hacer cajas más pequeñas, el lanza-miento de los mazapanes sería un éxito.
—¿Y de qué tamaño las quieren ahora? —pregunta Jaime presintiendo queArgelia va a soltarle una larga explicación.
—Tenemos que disminuir costos: ése es todo el chiste —dijo la gerenta como sihubiera descubierto el hilo negro o el agua tibia—. Las cajas (sin incluir la tapa)deben construirse con un rectángulo de cartón de 21 por 30 centímetros. Recursos
materiales nos sugiere (je, je) que con ese rectángulo de cartón sefabriquen las cajas y que tengan la mayor capacidad posible. ¡Así
podremos vender más producto utilizando un mínimo dematerial! —esto último lo dijo en tono triunfal—.¿Tienes alguna duda?
—Voy a tratar de que el nuevo tamaño no afecte eldiseño original. En media hora le digo cuáles debenser las medidas —respondió Ugalde quien, la verdad,
no sabía por dónde empezar a resolver el problema.
Un torito al ruedo
Y la pregunta es:
¿Cómo ayudarías a Jaime Ugalde a encontrar las dimensiones quedebe tener la caja para contener el máximo volumen posible?
Progresímetroexperto
Sentido numérico y pensamiento algebraico
78
—El juego consiste en inventar problemas que involucren potencias cuadradaso cúbicas y raíces cuadradas o cúbicas. ¿A poco no está padre? —pregunta Luisatratando de contagiar un poco de optimismo.
Con ayuda de la tabla, cada quien plantea un problema y escribe la ecuaciónque modela a dicho problema, sin mostrarlo a los demás. Luego, apuntan losenunciados de los problemas en la primera columna de una tabla como la que sepresenta abajo, las ecuaciones en la segunda columna y las soluciones en la tercera,sin que la ecuación del problema ni su solución queden en la misma fila. La tablaquedó así:
Ecuaciones cúbicas elementales
Cuando Luisa venció al aburrimiento
Hoy se respira en el club un inusual estado de apatía.
—¿A qué hora llegará Luisa? —pregunta Alessandra a Natasha.
—Igual y no viene —responde Natasha medio desanimada.
Tres minutos más tarde entra Luisa a la biblioteca, y al percibir el aburri-miento del club, lo primero que hace es repartirles una hoja con una tabla de
números elevados al cuadrado y de números elevados al cubo, como ésta:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
x3 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1 000
Problema Ecuación Solución
1. (Alessandra) Encuentra la longitud de laarista de un cubo cuyo volumen es 343.
A
x3 1 (x 1 1)3 1 (x 1 2)3 5 (x 1 3)3a) 5
2. (Carlos) El volumen de un paralelepípe-do es de 1 458 cm3. El paralelepípedotiene dos caras cuadradas, y el largo delas caras rectangulares es dos veces elancho. ¿Cuáles son las dimensiones delparalelepípedo?
B
x3 2 x2 5 (2x)2b) 9
3. (Miguel) El área de la superficie de uncubo es igual a su volumen. Lasunidades del primero son u2 y delsegundo u3.
C
x3 5 343c) 3, 4, 5, 6
Tendiendo las redes
¡Ole, torito!
Ecuaciones no lineales5
79
Problema Ecuación Solución
4. (Natasha) Cuatro números sucesivos sontales que la suma de los cubos de los tresprimeros es igual al cubo del cuarto.¿Cuáles son esos cuatro números?
E
2x3 5 1458e) 6
¿Qué ecuación corresponde a cada problema y cuál es la solución?
1. Encuentra en cada inciso el valor de la literal que satisface la igualdad. (Puedes utilizar la tabla de losnúmeros cuadrados y cúbicos o bien emplear tu calculadora.)
2. Plantea oralmente un problema que deba resolverse con una ecuación que involucre cubos o cuadradosde alguno de los primeros diez números.
3. Elige cualquier número del 1 al 10 de la tabla de cuadrados y cubos.
a) Verifica que la suma de los cubos —desde 1 hasta el número elegido— es igual a un número enteroelevado al cuadrado.
b) ¿Pasa lo mismo con números mayores que 10? (Usa tu calculadora y prueba con 11 y 12.)
a) m3 1 m 5 30
b) a3 2 a 5 180
c) r 3 1 r 2 5 150
d) n3 1 (n 1 1)3 5 119
e) 5 8
f) 5 32
n3
(n 2 5)3
(x 1 4)3
x2
El riesgo de decidir
Chávez y Asociados —una compañía inmobiliaria— está calculando los precios enque debe rentar sesenta departamentos de un condominio.
El contador Francesco Sampietro está exponiéndole a su jefa cuál es la situación:
—Básicamente, tenemos dos opciones: podemos subarrendar todo el condo-minio, y en este caso nos pagarían $7 000 por la renta de cada departamento.La otra alternativa es que nosotros mismos nos encarguemos de rentarlos, yasí tendremos posibilidades de rentar los departamentos a mejor precio. Sinembargo, por cada $500 que aumentemos la renta de cada departamento co-rremos el riesgo de que uno de ellos no se rente —Francesco hace una brevepausa para acomodarse los lentes y agrega—: Esta información está basadaen el comportamiento inmobiliario y en el índice de cotiza…
AGUZANDO EL INGENIO
¡Ole, torito!
MANOS A LA OBRA
DE BUENA FUENTE
Sentido numérico y pensamiento algebraico
80
La señora Chávez lo interrumpe en seco y dice:
—No me explique los detalles, entiendo las opciones. Usted sabe que la com-pañía necesita obtener un beneficio de $600 000 por el arrendamiento del edifi-cio, lo demás me tiene un poco sin cuidado —voltea hacia la ventana y hace unabreve pausa sin mirar a Sampietro—. Así que usted debe decirme qué opción seguircon tal de lograr ese objetivo.
¿Cuál es el monto en el que se deben rentar los departamentos para obtener elingreso que se requiere ($600 000)?
En general, cualquier ingreso puede calcularse mediante la expresión:
O bien, de forma simbólica: si I denota el ingreso, p el precio de la unidad y x el número de unidades ven-
didas, entonces el ingreso se calcula con I 5 p 3 x.
En particular, el ingreso por los departamentos alquilados en el problema anterior se puede calcular me-diante la igualdad:
Ingreso 5 precio de una unidad 3 el número de unidades vendidas
Ingreso 5 (alquiler por apartamento) 3 (número de departamentos alquilados).
La luz del entendimiento
Mireya contrata al arquitecto Legorreta para que diseñe la ventana de su estudio. Quiere que sea de formarectangular y adornar el contorno con una madera muy fina, de la que sólo tiene 10 m.
¿Cuáles deben ser las dimensiones de la ventana solicitada para obtener en la habitación la mayor canti-dad de luz?
Identificación de información relevante. La ventana del estudio de Mireya debe ser rectangular, así que puedesauxiliarte de un dibujo (como el que se muestra abajo) para hallar la función que se desea maximizar.
y
x
DE BUENA FUENTE
Ecuaciones no lineales5
81
1. Escribe la expresión algebraica que permite calcular el perímetro de esta figura:
2. Expresa con una ecuación el hecho de que el perímetro debe ser igual a 10 m:
3. Expresa la fórmula del área del rectángulo en función de x y y:
5. Reúnete con dos compañeros y traten de argumentar la validez de esta afirmación: “El problema de la ven-tana de Mireya se resuelve encontrando el valor o los valores de x que maximizan el área de un rectángulocuyo perímetro es de 10 m”.
6. Para aproximarse al valor de x que maximiza el área, llena la tabla y observa para qué valor de x el área esmás grande:
A 5 x(5 2 x)
7. Escribe en tu cuaderno cuáles son las dimensiones que debe tener la ventana y explica por qué lo hicistede este modo.
Funciones cuadráticas
4. Explica la razón por la que el área de la ventana se puede expresar como: A 5 x(5 2 x).
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
A
Las funciones de la forma f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, donde a, b y c son números constantes y a ?? 0, se llaman funcionescuadráticas. La función cuadrática más simple es f(x) 5 x2. (Observa que esta función se obtiene de la expre-sión f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, haciendo a 5 1, b 5 0, c 5 0).
Se debe tener en cuenta que en el planteamiento de problemas surgen funciones cuadráticas que, aparente-mente, no tienen la forma f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, pero haciendo algunos reacomodos es posible llegar a estaforma. Por ejemplo, la ecuación del área de la ventana del problema anterior es A(x) 5 x(5 2 x). Eliminandoparéntesis y reordenando los sumandos tiene la forma A(x) 5 2x2 1 5x; en este caso a 5 21, b 5 5, c 5 0.
Una ecuación cuadrática es una expresión de la forma ax2 1 bx 1 c 5 0.
Resolver esta ecuación significa encontrar los números que, sustituidos en el lugar de la x en la ecuación, hacenque la igualdad sea verdadera. Por ejemplo, 23 y 5 son soluciones de la ecuación x2 2 2x 215 5 0, ya que:
1. haciendo estas operaciones: (23)2 22(23) 2 15 , se obtiene cero, y
2. haciendo las operaciones siguientes: (5)2 22(5) 215, también se obtiene cero.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
82
1. En equipo formulen la ecuación cuadrática que modela la situación propuesta y llévenla a la formaax2 1 bx 1 c 5 0. Luego, traten de resolverla aplicando sus conocimientos generales de aritmética y álge-bra (métodos personales, raíces cuadradas, factorización, etcétera).
2. Las aristas de dos cubos difieren en 2 cm. Sus volúmenes difieren en 218 cm3. ¿Cuáles son las dimensionesde las aristas de los cubos?
3. Encuentra un número cuyo cubo menos 19 y luego multiplicado por su cubo es igual al cubo de 6. (Si sete complica demasiado, consulta la entrada de la siguiente lección.)
Utiliza esta fórmula para calcular la altura del objeto:
Donde h es la altura del cuerpo sobre el terreno, vo es la velocidad inicial, g la aceleración debida a lafuerza de gravedad (g 5 9.8 m/s2) y t el tiempo, que se mide a partir de que se ha lanzado el objeto. Parasimplificar los cálculos utiliza la aproximación g ù 10, en lugar de 9.8.
a) El terreno de un edificio es rectangular y su largo es el doble del ancho. El área del terreno es de 9 800 m2.¿Cuánto mide el ancho del terreno?
b) El cuadrado de un número menos 5 es igual a 220. ¿Cuál es ese número?
c) Desde el piso, se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una velocidad de 15 m/s. ¿Al cabo decuántos segundos el objeto se encontrará a 10 m de altura?
gt2
2h 5 vot 2
AGUZANDO EL INGENIO
MANOS A LA OBRA
DE BUENA FUENTE
Ecuaciones no lineales5
83
En esta lección se han propuesto problemas para que, empleando métodos de factorización, tú mismo resuel-vas algunas ecuaciones cuadráticas. Resolver la ecuación cuadrática ax2 1 bx 1 c 5 0 significa encontrar losnúmeros que sustituidos en el lugar de la x en la ecuación anterior y hechas las operaciones indicadas seobtenga, efectivamente, el cero.
Este método de solución por medio de factorización consiste en lo siguiente:
Dada una ecuación cuadrática como ax2 1 bx 1 c 5 0:
El problema es cómo encontrar los valores s y t, en caso de que existan. Para hacerlo se encuentran todaslas parejas de números cuyo producto es B (esto se hace considerando todos los factores primos de B y com-binarlos para encontrar las parejas). Después, se revisa la suma de cada pareja hasta encontrar una que sumeA. hay que tener cuidado con la combinación de signos que se puede hacer con cada pareja.
Debe hacerse hincapié en que tal vez no exista la solución entera, y entonces el procedimiento anterior notendrá éxito. Las ecuaciones cuadráticas de esta lección siempre tienen soluciones enteras.
Método para resolver ecuacionescuadráticas por factorización
1. Se dividen las dos partes de la igualdad entre a:
2. Si y son enteros, digamos A y B respectivamente, entonces se buscan dos números s y t tales que:
3. Los números 2s y 2t y son las soluciones de la ecuación, también llamadas raíces de la ecuación.
s 1 t 5 A y st 5 B
x2 1 x 1 5 0ba
ca
ba
ca
…tal que multiplicados dan B y sumados dan A
PROBLEMA
Un rectángulo mide 150 m2 de área y su largo es 5 m mayor que su ancho. ¿Cuáles son las dimensiones delrectángulo?
SOLUCIÓN
Si designamos con x el ancho del terreno, el largo es x 1 5. Como el área es largo por ancho, se tiene que:
x (x 1 5) 5 150
La anterior expresión es equivalente a x2 1 5x 2 150 5 0.
En esta ecuación, 150 tiene los factores primos 2, 3 y 5. Con ellos se pueden generar todas las parejas denúmeros que dan 2150, a saber:
2 y 275; 3 y 250; 5 y 230; 6 y –25; 10 y 215;
22 y 75; 23 y 50; 25 y 30; 26 y 25; 210 y 15;
DE BUENA FUENTE
AGUZANDO EL INGENIO
Sentido numérico y pensamiento algebraico
84
De las anteriores, sólo la pareja de 210 y 15 suma 5.
Entonces la parte derecha de la ecuación cuadrática x2 1 5x 2 150 5 0 se factoriza así:
(x 2 10) (x 1 15) 5 0; de donde las raíces son:
x1 5 10 y x2 5 215
La solución es 10, ya que por las características del problema no tiene sentido un valor negativo. Así, lasdimensiones del rectángulo son:
ancho 5 10; largo 5 15.
1. Resuelve las ecuaciones cuadráticas mediante el método de factorización.
a) x2 1 7x 1 6 5 0, factores: ( ) ( ) 5 0, raíces:
b) x2 2 4x 1 2 5 0, factores: ( ) ( ) 5 0, raíces:
c) x2 2 x 2 6 5 0, factores: ( ) ( ) 5 0, raíces:
d) x2 2 3x 2 4 5 0, factores: ( ) ( ) 5 0, raíces:
e) x2 1 2x 2 8 5 0, factores: ( ) ( ) 5 0, raíces:
f) x2 2 8x 1 16 5 0, factores: ( ) ( ) 5 0, raíces:
g) 5x2 1 15x 2 20 5 0, factores: ( ) ( ) 5 0, raíces:
h) 3x2 2 9x 2 30 5 0, factores: ( ) ( ) 5 0, raíces:
Las gráficas de las funciones cuadráticas y 5 ax2 1 bx 1 c (donde a, b y c son números constantes y a ° 0 )son curvas que tienen la forma de parábolas.*
Observando la gráfica de una parábola se puede extraer información relevante de la función. Para hacerloconviene hacerse las siguientes preguntas:
Si se conocen las respuestas a estas preguntas, es posible establecer relaciones con los valores de a, b y c enla expresión y 5 ax2 1 bx 1 c y con sus raíces. A continuación se verá con un ejemplo.
Gráficas de funciones cuadráticas y sus raíces
* Una parábola es una curva abierta simétrica respecto de un eje que resulta de cortar un cono circular recto por un plano para-lelo a una generatriz.
1. ¿La parábola abre hacia arriba o abre hacia abajo?
2. ¿Para qué valores de la variable x el valor de la variable y es igual a cero?
3. ¿Para qué valor de la variable y la variable x es cero?
4. ¿Para que valor de la variable x la variable y toma un valor máximo (o mínimo)?
MANOS A LA OBRA
Ecuaciones no lineales5
85
Anatomía de la gráfica de una función
La gráfica de la función y 5 x2 2 3x 1 2 se ve así:
Analizando la gráfica que se muestra arriba, contestaremos cada una de las preguntas formuladas en la sec-ción “Gráficas de funciones cuadráticas y sus raíces”:
-4 -3
-3
-4
-2
-2
-1
-1
1
2
3
4y
x
1 2 3
1 2
1. La gráfica abre hacia arriba.
a) Cuando la gráfica abre hacia arriba el signo del término x2 es positivo.
b) Cuando la gráfica abre hacia abajo el signo del término x2 es negativo.
2. La variable y es cero cuando x 5 1 y x 5 2.
a) Los valores de x en los que y se hace cero son las abscisas de los puntos de intersección de la parábo-la con el eje x, como se muestra en este acercamiento:
Tales valores de x son también las raíces de la ecuación:
x2 2 3x 1 2 5 0
Por tanto, estos valores con signo cambiado permiten factorizar el miembro izquierdo de la ecuación.Es decir, la anterior ecuación se puede expresar como:
(x 2 1)(x 2 2) 5 0
Sentido numérico y pensamiento algebraico
86
3. Cuando x 5 0 , la variable y toma el valor 2 (y 5 2), como se ve dentro del rectángulo del siguiente acer-camiento:
El valor de y cuando x 5 0 coincide con el término independiente de la función y 5 x2 2 3x 1 2.
1
1
1
2
3
–1–1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10–2–3–5 –4–7 –6–8–9–10
–2–3–4–5–6–7–8–9–10
234567
98
10
1
Y
X
4. El valor de y toma un valor mínimo para x 5 1.5, como se ve en el segmento de la gráfica:
El valor mínimo (o máximo en caso de que la parábola abra hacia abajo) se determina tomando el puntomedio de los puntos de intersección de la gráfica con el eje x.
1 2
1.5
1. Responde las cuatro preguntas de la sección “Gráficas de funciones cuadráticas y sus raíces” para esta gráfica:
AGUZANDO EL INGENIO
Ecuaciones no lineales5
87
2. De estas nueve funciones cuadráticas, determina cuáles tienen su gráfica en la tabla y anota en la segundacolumna la ecuación correspondiente. Observa el ejemplo:
f(x) 5 x2 1 9
f(x) 5 2x2 2 9
f(x) 5 x2 2 3x 2 4
f(x) 5 x2 1 10x
f(x) 5 x2 2 3x 1 2
f(x) 5 x2 2 100
f(x) 5 x2 1 x 1 1
f(x) 5 x2 2 1
f(x) 5 x2 1 3x 1 4
Gráficas Ecuaciones
y 5 x2 2 3x 1 2
a)
3. Para cada una de las ecuaciones de las gráficas anteriores encuentra sus raíces.
b)
c)
d)
e)
4y
x
3
2
1
–1 1 2 3 4–2–3–4
–2
–1
–3
–4
y
x
4
3
2
1
–1 1 2 3 4–2–3–4
–2
–1
–3
–4
y
x
108
6
4
2
–2 2 4 6 8 10–4–6–8–10–2
–4
–6
–8
–10
y
x–3 3
246810121416
–16–14–12–10–8–6–4–2 6 9 12–6–9–12
200
160
120
80
40
–40–10 10 20 30 40–20–30–40–50
–80
–120
–160
–200
y
x
Al torito por los cuernos
Sentido numérico y pensamiento algebraico
88
De nuevo bajando costos y aumentando volumenEl problema que tiene que resolver Jaime Ugalde es cómo hacer una caja conuna pieza de cartón de 21 cm 3 30 cm de manera que tenga volumen máximo.
Sabe que si x es la longitud del cuadrado que debe recortarse en cada esquinapodría obtener la fórmula para encontrar el volumen de la caja, y éste se calcu-la multiplicando el área de la base por la altura:
Área de la base 5 (21 2 2x)(30 2 2x)
Altura 5 x
Entonces: V 5 x(21 2 2x)(30 2 2x)
Así pues, desarrollando la expresión anterior tenemos que
V 5 4x3 2 102x2 1 630x
Después calculó valores de V para un intervalo x de 1 a 10:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
V 532 884 1080 1144 1100 972 784 560 324 100
Observó que el volumen máximo se da cuando x 5 4, es decir, cuando serecortan cuadrados de 4 cm en las esquinas.
En este caso las dimensiones de la caja deben ser éstas:
—Por fin encontré las dimensiones de la caja a la que le caben más maza-panes. Y lo mejor de todo es que casi no hay que modificar el diseño —le diceJaime a Pedro, su compañero.
Sin embargo, las buenas ideas y la felicidad siempre duran poco con losaguafiestas, y fue Pedro el que lo hizo dudar.
—¿Y cómo sabes que 4 es el valor que optimiza el volumen? Se ve que ni 3ni 5 son mejores que 4, pero qué tal si existe un número decimal entre 3 y 4 oentre 4 y 5 con el que se pueda obtener mayor volumen… —dijo Pedro con suhabitual franqueza.
22 cm
13 cm
4 cm
Progresímetroexperto
Ecuaciones no lineales5
89
Ayuda a Jaime Ugalde a verificar si 4 es el mejor número o si, como dice el aguafiestas de Pedro, existe unamejor aproximación al valor que maximiza el volumen. Utiliza la calculadora para encontrar los valores quese piden.
De nuevo cuando Luisa venció al aburrimiento
En la tabla de la página 80, el enunciado 1 se relaciona con C y d; el enunciado 2 se relaciona con E y b; elenunciado 3 se relaciona con D y e. Determina y verifica los dos últimos.
x 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4
V 1144
x 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
V
De nuevo el riesgo de decidirFrancesco Sampietro debe tener en cuenta estas dos condiciones:
a) Por cada $500 que aumente a la renta de $7 000, se quedará vacío un departamento.
b) El ingreso por la renta del condominio debe ser de $600 000.
Llama x al número de departamentos que quedarán vacíos e I(x) a la cantidad que ingresa por conceptode la renta de los departamentos. Entonces la condición del inciso a se expresa como:
I(x) 5 (7000 1 500x)(60 2 x)
La condición del inciso b se obtiene igualando la parte derecha de la ecuación anterior a 600 000:
(7000 1 500x)(60 2 x) 5 600 000
Quitando los paréntesis, pasando todo a un solo lado, sumando los términos independientes, multipli-cando por 21 y ordenando los términos por el grado de la incógnita, se obtiene:
500x2 2 23 000x 1 180 000 5 0
Si se divide toda la ecuación entre 500 se simplifica como:
x2 2 46x 1 360 5 0
Verifica que las soluciones son 10 y 36. Teniendo en cuenta que es preferible elegir el 10, los departamen-tos deben rentarse en $12 000, pues 12 000 5 7 000 1 500 (10).
Ugalde pensó que tendría que llenar una tabla como la siguiente para saber si un decimal cercano a 4podría aumentar el volumen:
Sentido numérico y pensamiento algebraico
90
1. En el plano cartesiano, dibuja la gráfica de la función del volumen de “Un torito al ruedo”, de esta lec-ción, desde x 5 0 hasta x 5 10:
V 5 4x3 2 102x2 1 630x
2. Con respecto al problema “De nuevo el riesgo de decidir”, p. 89, se obtuvo que la función de ingresoestaba dada por: I(x) 5 (7000 1 500x)(60 2 x).
3. El lado de un rectángulo es 17 m mayor que el otro, y la diagonal del rectángulo mide 25 m. ¿Cuálesson las dimensiones del rectángulo? (SUGERENCIA: utiliza el teorema de Pitágoras.)
Muestren que si se quiere saber el monto de la renta de los departamentos para obtener un ingreso de$653 500, se tiene que resolver la ecuación: x2 2 46x 1 465 5 0. Encuentra la solución y luego elmonto en que se deben rentar los departamentos para obtener ese ingreso.
1100
1200
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Una última faena
Ecuaciones no lineales5
91
4.
5. Resuelve estas ecuaciones cuadráticas mediante el método de factorización.
a) 10x2 1 20x 2 240 5 0, factores: ( ) ( ) 5 0, raíces:
b) 8x2 1 64x 1 56 5 0, factores: ( ) ( ) 5 0, raíces:
6. Analiza la siguiente gráfica, es decir, responde las cuatro preguntas de la sección “Gráficas de funciones cuadráticasy sus raíces”, p. 84. ¿Puedes determinar la función cuadrática que da origen a esta gráfica? Escríbela.
a) Llena la tercera fila de la tabla con la suma de los cubos de los números desde 1 hasta el número indicado porla columna respectiva (observa que se han llenado las tres primeras celdas).
b) Con ayuda de la tabla, observa que: 13 1 23 5 32 y que 13 1 23 1 33 5 62.
También, con ayuda de la tabla, verifica para los valores de x entre 4 y 10 que:
13 1 23 1 33 1 ... 1 k3 5
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x3 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000
S 1 9 36
k (k 1 1)
2( )2
10
8
6
4
2
–2–2 2 4 6 8 10–4–6–8–10
–4
–6
–8
–10
Forma, espacio y medida
Lección 6
92
Semejanza
Nuestro reto es:
Y necesitamos...
• Conocer los criterios de congruenciade triángulos (Matemáticas 2, lección13).
• Argumentar propiedades utilizandocriterios de congruencia de triángulos.
• Aplicar la semejanza de triángulos enel cálculo de distancias o alturas inac-cesibles.• Construir figuras semejantes y comparar
las medidas de los ángulos y de loslados.
• Determinar los criterios de semejanza detriángulos.
• Aplicar los criterios de semejanza detriángulos en el análisis de diferentespropiedades de los polígonos.
El fin y los medios
Con calculadora integrada
George P. Bidder nació en 1806 en Devonshire, Inglaterra. Desde muy pequeñoaprendió a contar y recontar piedras, botones y toda clase de objetos; así desarro-lló una extraordinaria habilidad para calcular. Por ejemplo, a los nueve años deedad le preguntaron: “Si la Luna dista de la Tierra 123 256 millas y el sonido setransmite a una velocidad de 4 millas por minuto,* ¿cuánto tiempo ha de transcu-rrir para que los habitantes de la Luna oigan la batalla de Waterloo?” En menos de
un minuto dio la respuesta: 21 días, 9 horas, 34 minutos. A los diez añosrespondió la siguiente pregunta: “¿Qué interés producen 11 111 libras durante11 111 días al 5% anual?” Dijo: “16 911 libras”, respuesta que dio justo en unminuto. “¿Cuál es la raíz cuadrada de 119 550 699 121?” En treinta segundosrespondió: “345 761”. A los catorce años le preguntaron: “Encuentra un
número cuyo cubo menos 19 y luego multiplicado por su cubo sea igual al cubode 6”. La respuesta fue casi instantánea: 3.
Bidder, a diferencia de otros calculistas, cultivó su innata capacidad a lo largo detoda su vida y la aprovechó en su profesión de ingeniero. Buscaba mejorar sumemoria, ya de por sí excepcional, y también desarrollaba estrategias para realizarcálculos cada vez más complejos. Con el tiempo logró mejorar su capacidad dememorizar y de resolver problemas, por ejemplo, hacer mentalmente cálculoscon logaritmos. De Bidder podemos aprender que la memoria y la habilidad paralas matemáticas no son sólo capacidades innatas sino que se pueden mejorar con-siderablemente si se cultiva el gusto por ellas.
* En realidad, la velocidad del sonido es de 1 807 pies (aproximadamente 551 m) porsegundo; la distancia media de la Tierra a la Luna es de 238 857 millas (más o menos384 403 km).
Semejanza6
93
Un torito al ruedo
Un tal Tales
Alguna narraciones cuentan que Tales de Mileto deslumbró al faraón Amasis cuan-do calculó la altura de la pirámide de Keops a partir de la longitud de la sombraque proyectaba la pirámide, comparándola con la sombra que proyectaba unbastón.*
La distancia es de 225 m. La sombra mide 154.8 m. El bastón tieneuna altura de 2 m y su sombra mide 3.6 m.
Y la pregunta es:
¿Cuál es la altura de la pirámide de Keops?
* Existen varios relatos de cómo Tales midió la altura de las pirámides. En el siglo II d.C.,Diógenes Laercio cita a Jerónimo: “Jerónimo dice que [Tales] tuvo éxito en medir laspirámides mediante la observación de la longitud de su sombra, en el momento en quenuestra sombra es igual a nuestra altura”. Esta afirmación parece no contener ningúnconocimiento específicamente geométrico, es más una observación empírica sobre elinstante en que la sombra de un objeto coincide con su altura y, por tanto, lo mismo debeser cierto para todos los demás objetos. Algo parecido relata Plinio.
Sin embargo, Plutarco cuenta la historia de una manera que, si es verídica, significaríaque Tales estaba cerca de la idea de triángulos semejantes:
Tales colocó una estaca en la extremidad de la sombra producida porla pirámide y habiendo realizado dos triángulos con la luz de los rayossolares, mostró que la altura de la pirámide guarda con respecto a laaltura de la estaca la misma proporción que muestra la sombra de lapirámide con respecto a la sombra de la estaca.
Fuentes de internet
Texto adaptado dehttp://www.astroseti.org/imprime.php?num=3568
S M P E O
K
H
OP HESP
Progresímetroaxiomático
Forma, espacio y medida
94
Tendiendo las redes
MANOS A LA OBRA
a) ¿Cuántos triángulos se pueden construir cuyos ángulos tengan esas medidas?
b) ¿Qué propiedades cumplen las medidas para que sea posible construir un triángulo?
Construcción de triángulos
1. A continuación se describe la forma en que se puede construir un triángulo cuyos ángulos miden 35º, 45ºy 100º:
PASO 1. Dado , en el extremo A se mide un ángulo de 35°
PASO 2. En el extremo B de se mide un ángulo de 45°
A
A
C
C
45o
45o 35o35o
45o
35o
100o
B
B AB
PASO 3. Se verifica que el tercer ángulo mida 100°
AB AB
AGUZANDO EL INGENIO
1. Responde las preguntas que se plantean acerca de la construcción anterior:
2. A continuación se presentan cinco ternas de ángulos. ¿Con cuáles se puede construir un triángulo y concuáles no?
a) ¿Es posible construir triángulos diferentes cuyos ángulos midan 35º, 45º y 100º?
b) ¿Qué propiedad debe cumplir una terna de ángulos de manera que se pueda construir un triángulocon ellos?
a) 30º, 60º, 90º Sí No ¿Por qué?
b) 25º, 50º, 75º Sí No ¿Por qué?
c) 10º, 30º, 120º Sí No ¿Por qué?
d) 50º, 50º, 50º Sí No ¿Por qué?
e) 60º, 60º, 60º Sí No ¿Por qué?
Semejanza6
95
Semejanza. Ésta es una idea informal sobre la semejanza de figuras:
DE BUENA FUENTE
Dos figuras son semejantes cuando sólo difieren en su tamaño, pero la forma y las proporciones semantienen; por ejemplo, una foto y la ampliación de esa misma foto son figuras semejantes.
AGUZANDO EL INGENIO
Con base en la idea anterior realiza las actividades que se proponen:
1. En la ilustración, identifica las parejas de rectángulos semejantes y completa los enunciados de abajo:
1
2
6
5
3
4
a) El rectángulo 1 es semejante al rectángulo
b) El rectángulo 2 es semejante al rectángulo
c) El rectángulo 3 es semejante al rectángulo
d) El rectángulo 4 es semejante al rectángulo
e) El rectángulo 5 es semejante al rectángulo
f) El rectángulo 6 es semejante al rectángulo
a) El triángulo a es semejante al triángulo
b) El triángulo b es semejante al triángulo
c) El triángulo c es semejante al triángulo
d) El triángulo d es semejante al triángulo
e) El triángulo e es semejante al triángulo
f) El triángulo f es semejante al triángulo
2. En este diagrama, ¿qué parejas de triángulos son semejantes?
a
e
c
b
f
d
Forma, espacio y medida
96
a) Señala qué triángulos son semejantes; abajo se ha identificado un par de ellos. Escribe las expresionesde las otras dos parejas:
DABC ù DOPQ
b) En cada pareja de triángulos semejantes determina los lados correspondientes.
c) Escribe un enunciado que exprese la propiedad común de las parejas de triángulos semejantes observa-dos en estos ejercicios:
3. Estos dos triángulos son semejantes. Establece la correspondencia entre los lados y los ángulos:
4. Observa las seis figuras y determina qué parejas son semejantes:
B A
C
Q R
P
B A J I
QP
O
S
T
N
L
M
R
C
60o
60o60o
30o
40.9o
120o
19.1o
60o
90o
19.1o
60o
60o
90o
30o
60o
60o
40.9o120o
H
FG
K
AB
BC
CA
�A
�B
�C
Semejanza6
97
Observa con atención las medidas de los lados de los triángulos semejantes. En la figura se tiene que:
DABC ù DLMN
Y se dan las dimensiones de los lados de cada triángulo:
Calcula los cocientes (utiliza tu calculadora):
Por ejemplo, estos dos polígonos son proporcionales:
Los lados correspondientes son:
Se puede comprobar que los ángulos correspondientes son iguales (mídelos para que te convenzas) y, tam-bién, se puede ver que:
Y los ángulos correspondientes:
¿Qué observas?
DE BUENA FUENTE
5.25
N
3.75
6M8
7
B A
5
C
7
4 4.22.4
R
S
PQ 4.88B A
D
5
3
C
5
5
Dos polígonos son semejantes si hay una correspondencia entre los lados de ambos polígonos, demanera que los lados correspondientes son proporcionales y los ángulos correspondientes soniguales.
4.8
85
4.2
75
3
55 0.6
2.4
4
Lo que significa que los lados correspondientes son proporcionales, por tanto, el polígono ABCD es seme-jante al polígono PQRS.
LM
AB5
MN
BC5
NL
CA
AB PQ BC QR CD RS DA SP
�A �P �B �Q �C �R �D �S
Forma, espacio y medida
98
Criterios de semejanza de triángulos. Aplicando la definición de semejanza de polígonos a los triángulos se tiene:
De la definición anterior se infiere que para comprobar que dos triángulos sean semejantes se debe dar unacorrespondencia y verificar que los lados correspondientes sean proporcionales y que los ángulos correspon-dientes sean iguales.
Dos triángulos son semejantes si hay una correspondencia entre los lados de ambos triángulos, demanera que los lados correspondientes son proporcionales y los ángulos correspondientes soniguales.
MANOS A LA OBRA
El libro del tío Ernesto
Boris le habla por teléfono a su tío Ernesto (quien es maestro de matemáti-cas en una prepa) para que le recomiende un libro en el que pueda encon-trar criterios de semejanza de triángulos.
—Como te gusta mucho la geometría, podrías leer algunas proposi-ciones de Geometría plana y del espacio, de Wentworth y Smith; es una obraun poco viejita, de 1915, pero a mí me sigue pareciendo genial —le dice eltío Ernesto—. Es más, te lo voy a prestar a condición de que me lo regre-ses pronto.
Boris llega al club y, mientras prepara sus materiales para la exposición que va a dar, Carlos y Natasha hojeanel libro del tío Ernesto y se quedan algo desconcertados. Éstos son algunos ejemplos de lo que encontraron:
1. Escribe con tus propias palabras lo que entiendes de la proposición XIII (transcrita arriba), utilizando lasiguiente pareja de triángulos semejantes y poniendo en ellos las marcas que consideres necesarias paraexpresar mejor el concepto:
PROPOSICIÓN XIII. TEOREMA:
“Si dos triángulos son mutuamente equiángulos, son semejantes” (Wentworth y Smith, p. 166).
PROPOSICIÓN XIV. TEOREMA:
“Si dos triángulos tienen un ángulo igual comprendido entre lados proporcionales, los dos trián-gulos son semejantes” (Wentworth y Smith, p. 167).
PROPOSICIÓN XV. TEOREMA:
“Si los tres lados de un triángulo son respectivamente proporcionales a los de otro, los dos trián-gulos son semejantes” (Wentworth y Smith, p. 168).
C
B C B’
C’
A’
Toma nota
Equiángulo significa"igual ángulo".
Semejanza6
99
2. Escribe con tus propias palabras lo que entiendes de la proposición XIV (transcrita antes), utilizando estapareja de triángulos semejantes y poniendo en ellos las marcas que consideres necesarias para expresarmejor el concepto:
C
B C B’
C’
A’
3. Escribe con tus propias palabras lo que entiendes de la proposición XV (transcrita antes), utilizando estapareja de triángulos semejantes y poniendo en ellos las marcas que consideres necesarias para expresarmejor el concepto:
C
B C B’
C’
A’
AGUZANDO EL INGENIO
En la siguiente serie de problemas debes:
• Construir los triángulos con regla, compás y, en su caso, transportador para descubrir si la respuesta esafirmativa o negativa, y
• utilizar alguna de las proposiciones anteriores para argumentar tu respuesta.
1. Las dimensiones de un triángulo son 3, 3 y 5 cm. Otro triángulo tiene un lado que mide 6 cm y otro quemide 10 cm. ¿Cuánto debe medir el tercer lado de este triángulo para que los triángulos sean semejantes?Argumenta tu respuesta:
2. Los lados de un triángulo son 2, 3 y 7 cm. Otro triángulo mide 3.5, 1 y 1.5 cm. ¿Son triángulos seme-jantes? Argumenta tu respuesta:
Forma, espacio y medida
100
3. Un triángulo tiene un ángulo de 60º y otro de 30º. Otro triángulo es rectángulo y también tiene un ángu-lo de 30º. ¿Son triángulos semejantes? Argumenta tu respuesta.
4. Dos lados de un triángulo miden 10 y 25 cm y el ángulo entre ellos es de 70º. Dos lados de otro triángu-lo miden 25 y 62.5 cm y el ángulo entre ellos es también de 70º. ¿Son triángulos semejantes? Argumentatu respuesta:
5. Los lados de un triángulo son 10, 20 y 30 cm. Los lados de otro triángulo son 40, 50 y 60 cm. ¿Son trián-gulos semejantes? Argumenta tu respuesta:
MANOS A LA OBRA
La sombra de Tales
1. Cada miembro del equipo hace una estimación a ojo de la altura del poste o del objeto cuya altura se hayadecidido medir.
2. Ahora procedan a colocar el bastón en una posición que les permita medir su sombra y la sombra del obje-to que van a medir, de manera parecida a la figura de abajo.
Rayo de sol
Poste
Bastón
Sombra de bastónSombre de poste
En equipo realicen esta actividad.
Necesitarán una cinta métrica; un bastón (un palo de escoba o unavarilla); un objeto alto que no se pueda medir directamente(puede ser un poste, un árbol o el asta bandera de su escuela). Lapráctica se tiene que hacer en un día soleado y a una hora en laque los objetos proyecten sombra.
Semejanza6
101
3. Midan la altura del bastón, la sombra del bastón y la sombra del poste.
4. Con esas medidas calculen la altura del poste. Para ello, identifiquen dos triángulos semejantes, los ladosque son proporcionales y la proporción de lados que es útil para calcular la longitud del lado que repre-senta la altura buscada.
5. Comparen sus resultados con los de otros equipos. ¿Obtienen aproximadamente la misma medida de laaltura? En caso de que sea muy diferente discutan qué métodos siguieron.
6. ¿Qué tan cercanos o lejanos estuvieron en sus estimaciones a ojo con respecto al resultado obtenido me-diante la actividad?
AGUZANDO EL INGENIO
1. Se desea medir el ancho de un río que no es posible cruzar. De cada lado del río hay una estaca muy cercade la orilla. ¿Cómo pueden utilizarse dichas estacas para estimar la anchura del río con ayuda de seme-janza? Observa el dibujo del río y el diagrama que se ha trazado sobre él. Como la vista viaja en línearecta, se puede determinar la dirección de las líneas y y sin necesidad de cruzar el río, ni de tenderun hilo (piensa cómo se puede hacer con ayuda de las estacas). Entonces es posible encontrar el punto Sde modo que . (Como se verá en el siguiente bloque, esto lleva a que DPQR y DRST sean semejantes.)
Las medidas de los segmentos son: 5 30 m; 5 3.5 m; 5 2 m. ¿Cuánto mide la distancia entrelas estacas?
PQ PR
RQ RS TS
PRRS 5
P
R Q
TS
Forma, espacio y medida
102
MANOS A LA OBRA
1. Dibujen un cuadrilátero cualquiera (no tiene que ser cuadrado, rectángulo o paralelogramo; uno com-pletamente irregular es conveniente).
2. Encuentren el punto medio de cada uno de los lados del cuadrilátero; nómbrenlos sucesivamente conP, Q, R y S.
3. ¿Qué clase de cuadrilátero es PQRS?
4. Repitan las acciones anteriores con otro cuadrilátero diferente.
5. Discutan lo que ocurre, formulen la proposición correspondiente y traten de explicar la razón.
Relación entre cuadriláterosy el paralelogramo inscrito
En equipo realicen esta actividad. Van a necesitar hojas de papel, regla graduada y lápiz.
Al torito por los cuernos
Semejanza6
103
S M P E O
K
H
¿Cómo midió Tales la altura de la pirámide?
Tales sabía que el DOMK ù DOEH.
Entonces , , y son proporcionales, es decir:
En equipo resuelve los problemas.
Y sustituyendo por los valores conocidos se encuentra la altura de la pirámide.Hazlo.
De nuevo un tal Tales
Una última faena Man
ejo de técnicas
1. Construyan dos triángulos diferentes pero que en ambos sus ángulos midan30º, 60º y 90º. ¿Cómo debe ser la relación entre sus lados si se quiere que elárea de un triángulo sea el cuádruplo del área del otro? Argumenten su respuesta:
2. En la siguiente figura los DDEC y DBAC son semejantes (es decir, DDEC ùDBAC ) y las medidas de los lados , y se indican en la figura. ¿Cuántomide ?
Explica cómo obtuviste el resultado:
D
E
9 m3 m
B
A
x
C1.5 m
5OM
OE
KM
HE
DEAB
DC CB
OM OE MK EH
Progresímetroaxiomático
Forma, espacio y medida
104
3. Diseñen una actividad para estimar la medida del ancho de una calle con la restricción de que sólo sepuede hacer desde la banqueta sin que sea posible cruzar la calle.
4. El cuadrilátero LMNO, está inscrito en una circunferencia con centro en C. Las diagonales y seintersecan en P. Los �MPN y �OPL son iguales.
4. En cada uno de los incisos se ha escrito algún enunciado sobre semejanza de triángulos o polígonos.Digan cuáles son verdaderos y cuáles falsos, y argumenten su respuesta.
a) “Dos triángulos cualesquiera son semejantes.”
Argumenten su respuesta:
L
C
P
MN
O
a) Si P es el punto medio de ; 5 30 cm. ¿Cuánto mide 3 ?
b) Si P es el punto medio de ; 5 30 cm; 5 20 cm y 5 8.8 cm, ¿cuánto mide ?
Verdadero Falso
b) “Si dos triángulos son isósceles y el ángulo desigual mide 45º, entonces los triángulos son semejantes.”
Argumenten su respuesta:
Verdadero Falso
c) “Si un lado y la hipotenusa de un triángulo rectángulo son proporcionales a un lado y la hipotenusade otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son semejantes.”
Argumenten su respuesta:
Verdadero Falso
MO MO
MO MO MN PN LO
PN PL
LN MO
Semejanza6
105
d) “Dos rectángulos cualesquiera son semejantes”.
Argumenten su respuesta:
Verdadero Falso
e) “Dos cuadrados cualesquiera son semejantes.”
Argumenten su respuesta:
Verdadero Falso
Manejo de la información
Lección 7
106
Porcentajes. Simulación
El fin y los medios
Nuestro reto es: Y necesitamos...
• Saber calcular porcentajes usandoexpresiones fraccionarias o decimales(Matemáticas 1, lección 11).
• Entender el concepto de probabilidadfrecuencial y el concepto de indepen-dencia estocástica (Matemáticas 1, lec-ción 11, y Matemáticas 2, lección 14).
• Conocer el concepto de media arit-mética o promedio (Matemáticas 2,lección 7).
• Interpretar y utilizar índices para ex-plicar el comportamiento de diversassituaciones.
• Utilizar la simulación para resolversituaciones probabilísticas.
Habilidades matemáticas innatas
Krutetskii*, un investigador ruso, describe a una niña llamada Sonya que fue obje-to de su interés debido a sus destacadas cualidades en matemáticas; a continuaciónseñalamos algunos fragmentos:
Sonya tiene ocho años de edad y estudia en segundo grado de primaria. Suspadres percibieron sus habilidades matemáticas desde que ella tenía cuatro años.Nadie le había enseñado aritmética, pero se sorprendieron cuando fue capaz deexplicarle a su hermano mayor cómo hacer la resta 27 – 14: “Primero debes quitarle
10 y obtienes 17; luego quítale 4 más y obtienes 13”. Cuando tenía cuatroaños y medio o cinco, por sí misma llegó a entender el concepto de fracción(simple). A los seis había comprendido la noción de números negativos.Ahora, a sus ocho años resuelve problemas que son difíciles para alumnosde quinto o sexto grado, por ejemplo: “¿Cuál es la longitud y la rapidez
de un tren que tarda 15 segundos en pasar frente a un poste y 45 segundos enatravesar un túnel de 540 metros de largo?” Respuesta: la longitud del tren es de270 m y su velocidad es de 64.8 km/h.
Kruteskii informa que, como Sonya, hay otros niños que pueden resolver pro-blemas difíciles sin que se les haya enseñado cómo hacerlo. Aunque esos casos sonespeciales, muestran que, en general, los niños tienen una facultad natural para lacreatividad matemática y son capaces, por sí mismos, de encontrar solucionesnovedosas. La escuela sólo debe contribuir a desarrollar esa facultad.
* V. A. Krutetskii, La psicología de las habilidades matemáticas de niños en edad escolar,Chicago, Universidad de Chicago, 1976.
Porcentajes. Simulación7
107
Un torito al ruedo
El rey de los deportes y de las estadísticas
Alessandra y Miguel son fanáticos del beisbol, y como buenos fansestán al tanto de los partidos y los resultados de sus equipos favoritosen la Liga Mexicana de Beisbol. Ahora, por ejemplo, están discutiendoquién es el mejor bateador de la liga; Alessandra dice que GerónimoGil, mientras que Miguel asegura que es Javier Robles. Los datos quetienen son los que se muestran en la tabla de abajo. Como puedenobservar, las dos últimas columnas aún no se llenan.
YY llaa pprreegguunnttaa eess::
¿Quién tiene razón: Alessandra o Miguel, o ambos?
(Recuerden que cualquiera que sea su respuesta, se debe argumentarpara convencer al resto de sus compañeros de grupo.)
NombreDerrick White
GerónimoGil
LuisSuárez
JavierRobles
BenjiGil
EquipoMexicali(Águilas)
México(Diablos)
Puebla(Tigres)
Puebla(Tigres)
Monterrey(Sultanes)
Posición Jardinero Catcher Jardinero Short-stop Short-stop
Juegosjugados
78 84 83 87 57
Veces al bat 285 310 275 323 198
Hits 116 120 105 123 74
Dobles: 2B 31 32 19 22 9
Triples: 3B 0 0 2 2 1
Jonrones 19 12 9 23 11
Slugging 0.716
Porcentajede bateo
0.407
Tabla 1. Líderes de bateo de la Liga Mexicana de Beisbol
Progresímetroautónomo
Manejo de la información
108
Tendiendo las redes
AGUZANDO EL INGENIO
En un informe publicado por el INEGI en 2005, se encuentra la siguiente información:
a) En México, casi un millón de personas de 12 a 17 años que residen en zonas urbanas son fumadoras(10.1% de este grupo de población). En las áreas rurales la proporción es de 232 mil (6.1%).
b) En el país, uno de cada cinco varones ya había consumido tabaco (fumadores más ex fumadores) al tér-mino de los 17 años de edad.
c) En México, casi 68 de cada 100 personas de 18 a 29 años de edad consumió tabaco en su vida.
Con base en esta información, responde las preguntas que se plantean:
1. Miguel le dice a Boris que hay más fumadores en la ciudad. Boris señala que eso es cierto pero que se debea que hay más habitantes en la ciudad que en las áreas rurales. ¿Qué opinas de lo que afirman Miguel yBoris? Escribe lo que piensas como si escribieras una carta a un compañero de tu escuela explicándole lainformación del inciso a.
2. Cuál o cuáles de las afirmaciones que vienen en la tabla dice lo mismo que el inciso b, que se repite a con-tinuación:
“En el país, uno de cada cinco varones ya había consumido tabaco (fumadores más ex fumadores) al tér-mino de los 17 años de edad.”
Pon una � en la columna de SÍ o de NO según consideres que la frase de ese renglón es equivalente a loafirmado en el inciso b. En la última columna expón en cada caso cuáles son tus argumentos.
Sí No ¿Por qué?
En el país, 17% de los varones ya habían consumidotabaco al término de los 17 años de edad.
En el país, 15 de cada 75 varones ya habían consumidotabaco al término de los 17 años de edad.
En el país, 10 de cada 50 varones ya habían consumidotabaco al término de los 17 años de edad.
En el país, 50% de los varones ya habían consumidotabaco al término de los 17 años de edad.
Una quinta parte de los varones en el país habíaconsumido tabaco al término de los 17 años de edad.
20% de los varones en el país había consumido tabacoal término de los 17 años de edad.
7
109
3. ¿Cómo le contarías esta noticia a tu papá? Escríbele un mensaje diciéndole lo que leíste:
4. ¿Cómo se lo explicarías a un niño más pequeño?
5. Escribe un mensaje a un compañero de tu clase explicándole, con otras palabras, la información del inciso c.
6. Supón que en una unidad habitacional viven 3 000 personas de 18 a 29 años de edad. De acuerdo con loexpresado en el inciso c, ¿puede saberse, más o menos, cuántas de ellas fuman?
MANOS A LA OBRA
Información es poder
En equipo realicen esta actividad. Abran algún periódico del día de hoy y busquen noticias que tenganinformación expresada en porcentajes. Analicen la información y respondan:
1. Determinen si quien escribió la nota muestra datos correctos y congruentes.
2. Inventen tres problemas a partir de esa información.
Porcentajes. Los problemas de porcentaje son muy comunes en la vida diaria, por ejemplo, en las compras, enlos negocios, en las estadísticas, etc. Recordemos que cuando se habla de porcentajes hay tres cantidadesinvolucradas, a saber:
B: Cantidad base,
R%: Razón o tanto por ciento,
P: Porcentaje (de la cantidad base).
El R% (se lee “R por ciento”) de B es P y se obtiene con la fórmula:
DE BUENA FUENTE
P � R � B
100
Porcentajes. Simulación
Manejo de la información
110
Por ejemplo, el 30% de 400 es 120, ya que � 120
Otro caso importante se presenta cuando se desconoce la cantidad inicial B, pero se conoce el “tanto porciento” (R%) y el porcentaje de la cantidad inicial (P). ¿Puedes determinar la fórmula para calcular B en tér-minos de R y P?
Un problema de este tipo es: “El papá de Juan invirtió una cantidad que le reditúa 1.25% mensual. En elprimer mes obtuvo $50 de ganancia. ¿Qué cantidad invirtió? (Resultado: $4 000.)
Finalmente, es importante cuando se tienen dos cantidades y se quiere saber qué razón (“tanto por cien-to”) representa una con respecto a la otra. En este caso los datos son B y P y se desea encontrar R%. ¿Puedesencontrar cuál es la fórmula para encontrar R% dados los valores de B y P?
Por ejemplo: “La mochila de Juan (junto con los libros que lleva a la escuela) pesa 5 kg y Juan pesa 53 kg.¿Qué ‘tanto por ciento’ del peso de Juan es el peso de su mochila?” (Respuesta: 9.43%.)
En muchas situaciones no es muy informativo saber una cantidad en sí misma; por ejemplo, sólo P puedeno ser suficiente, resulta más informativo tener el valor de R, ya que este valor es la proporción por cada 100.El valor R también es un índice.
Índices. Un índice es una razón entre dos cantidades que se utiliza con fines informativos y comparativos. Porejemplo, el “índice de bateo” de un jugador, el “índice de aprobación” de un examen de matemáticas, el“índice de precios”, etcétera.
Las situaciones en las que es importante calcular un índice son análogas a las de porcentaje y hay una can-tidad base (B) y otra cantidad (P), el índice es entonces R%. (A veces también escrito en forma decimal .)
DE BUENA FUENTE
30 � 400
100
R
100
AGUZANDO EL INGENIO
1. Considera de nuevo el inciso a del informe del INEGI referido arriba:
“En México, casi un millón de personas de 12 a 17 años que residen en zonas urbanas son fumadoras(10.1% de este grupo de población). En las áreas rurales la proporción es de 232 mil (6.1%)”.
a) Estima el número de personas de 12 a 17 años que residen en zonas urbanas de México.
b) Estima el número de personas de 12 a 17 años que residen en zonas rurales de México.
2. A continuación, se presentan dos tablas con los resultados de matemáticas de los exámenes Excale quediseñó y aplicó el INEE (Instituto Nacional de Evaluación de la Educación) a estudiantes de sexto grado deprimaria y tercero de secundaria. La primera muestra los valores absolutos (el porcentaje P) y la segundada las razones (R).
Tabla 1. Resultados de matemáticas de los exámenes Excale (en valores absolutos)
Por debajodel nivel básico
Nivel básico Nivel medio Nivel avanzado
Primaria 8 327 25 030 11 247 3 302
Secundaria 26 700 15 414 9 405 732
7
111
Tabla 2. Resultados de matemáticas de los exámenes Excale (en razones)
Por debajodel nivel básico
Nivel básico Nivel medio Nivel avanzado
Primaria 7.4% 52.3% 23.5% 6.9%
Secundaria 51.1% 29.5% 18.0% 1.4%
a) ¿Qué tabla es más fácil de entender? ¿Por qué?
b) ¿Cuál de las dos tablas crees que se utiliza en el informe del INEE? Explica por qué.
c) ¿Qué sistema, Primaria o Secundaria, tiene mejores índices en los cuatro niveles de desempeño?
MUESTRA: nivel primaria: 47 858 alumnos; nivel secundaria: 52 251 alumnos. Ambas tablas contienen la mismainformación.
Ahora es muy común encontrar información estadística en las seccionesde deportes de los periódicos y en las revistas deportivas especializadas.Sin embargo, esto no era común hace unos treinta años, excepto en elbeisbol. Algunos expertos en el tema consideran que el beisbol naciópara la estadística, y otros deportes han copiado y complejizado la ma-nera de llevar sus propias estadísticas. Además, para los fanáticos y paralas personas que se dedican a este deporte —jugadores, entrenadores,dueños de equipos, patrocinadores de equipos y otros— las estadísticasson muy importantes, ya sea para mejorar su desempeño deportivo obien para hacer las mejores contrataciones.
DE BUENA FUENTE
En una enciclopedia deportiva encontramos que el porcentaje de bateo es la proporción de hits entre elnúmero de veces al bat. Para calcularlo, se divide el número total de hits entre las veces al bat.
Fuentes de internet
El recuadro contieneinformación obtenida de:http://www.salondelafama.com.mx/salondelafama/beisbol/beisbol_historia.asp.
Porcentaje de bateo (indica consistencia de los bateadores. Un porcentajepor encima de 0.300 distingue al buen bateador).
Divida el número de hits entre el número de veces al bat. (Las veces al batno incluyen bases por bolas, pelotazos, sacrificios de toque o flys, interfe-rencias ni obstrucciones).
Otra medida de la eficiencia de un bateador es el slugging. Lo que mide este indicador es la proporción deextrabases (dobles, triples y jonrones) que conecta. Esto es, cuando el bateador pega un hit contribuye más aljuego y al equipo si es un extrabase. Por ejemplo, si hay un corredor en segunda y él da un doble, su compañeroprobablemente anotará una carrera. Mientras mayor sea este valor, mayor es la proporción de extrabases queconecta y, en consecuencia, mayor será también la cantidad de oportunidades de empujar carreras que secrearán siempre que haya corredores en base. Si hay un pelotero corriendo en primera, mientras más extrabasespegue el siguiente bateador, mayor será la probabilidad de que el corredor en la base anote; es más probableque anote con un triple que con un sencillo, y es 100% seguro que anotará si el bateador conecta un jonrón.
Porcentajes. Simulación
Manejo de la información
112
• Se anota el total de hits.
• Se suman los extrabases.
• A los hits totales se les restan los extrabases.
• Los extrabases se convierten en bases y se suman.
• Se suman los sencillos más las bases obtenidas por extrabases.
• Se divide el total de bases (sencillos más extrabases) entre el total de veces al bat.
Por ejemplo, en la tabla se presentan las estadísticas de Brandon Watson en sus juegos contra pitchers zur-dos y pitchers derechos:
El cálculo del primer slugging se hizo de la siguiente manera: al númerode hits (14) se le restan los extrabases (4) y queda 10, luego se suman lasbases de los extrabases (4 � 2) y se obtiene 18. Finalmente, se divide 18entre 48 y se obtiene un slugging de 0.375. Ahora obtén el slugging en losjuegos contra pitchers derechos.
Las marcas de slugging están en poder de jugadores famosísimos, comoBabe Ruth, quien conectó para un gigantesco 0.690 en su carrera, casi 60céntesimas de punto más que Ted Williams, quien está en segundo lugar.En una temporada, Barry Bonds es dueño del récord con 0.863 consegui-do en el 2001. Entre Ruth y Bonds se reparten las seis mejores marcasanuales.
a) Los dobles se multiplican por 2.
b) Los triples se multiplican por 3.
c) Los jonrones se multiplican por 4.
Tipo de juegos Turnos al bat Carreras Hits Base doble Triple base Slugging
Contra zurdos 48 5 14 4 0 0.375
Contra derechos 180 18 63 3 2
Babe Ruth, el Bambino de Oro,ídolo del beisbol profesional.
MANOS A LA OBRA
Beisbolmanía
En equipo comenten los siguientes puntos:
1. Si todos los integrantes del equipo conocen las reglas del beisbol, coméntenlas y aclaren dudas.
2. Si alguien no las conoce, los demás deben explicarles.
3. Si ninguno las conoce, pídanle a su maestro o a otra persona que se las explique. También pueden con-sultar enciclopedias o internet.
4. Algunos términos beisbolísticos suelen mantenerse en inglés como squeeze play, strike, out, hit, foul,balk, safe, wild pitch, etc., pues ésa es la convención que han adoptado los cronistas y comentaristas deeste deporte. Busquen en revistas, libros o en internet el significado de estos términos.
La manera de calcular el slugging de cada jugador se describe a continuación:
7
113
AGUZANDO EL INGENIO
1. Si T es el número de turnos al bat, H es el número de hits conectados en una temporada, b2, b3, b4 son losextrabases de 2, 3 y 4 bases, respectivamente, ¿con cuál de estas tres fórmula se calcula el slugging? Explicatu respuesta:
2. En la siguiente tabla se presentan las estadísticas de bateo de Brandon Watson de Columbus en la tempo-rada 2007. Calcula el slugging para cada fila (cada fila indica las estadísticas de una clase de juegos, porejemplo: la primera fila son juegos contra pitchers zurdos; la segunda, los juegos contra pitchers derechos;la tercera, los juegos en casa, etcétera).
La fórmula del slugging es el inciso , porque
a) c)H � (b2 � b3 � b4) � (2 � b2 � 3 � b3 � 4 � b4)
T
H � (b2 � b3 � b4) � (2 � b2 � 3 � b3 � 4 � b4)
T
T � (b2 � b3 � b4) � (2 � b2 � 3 � b3 � 4 � b4)
H
Tipo de juegos Turnos al bat Carreras Hits Base doble Triple base Slugging
Contra zurdos 48 5 14 4 0 0.375
Contra derechos 180 18 63 3 2
Juegos en casa 126 13 40 3 0
Juegos fuera de casa 102 10 37 4 2
Juegos diurnos 47 8 21 2 1
Juegos nocturnos 181 15 56 5 1
En pasto natural 215 23 73 7 2
En pasto artificial 13 0 4 0 0
Abril 53 4 14 1 1
Mayo 112 15 40 3 1
Junio 63 4 23 3 0
Pre estelares 228 23 77 7 2
Con bases vacías 160 0 54 6 2
Con corredores 68 23 23 1 0
Total temporada 228 23 77 7 2
3. De acuerdo con el slugging, ¿en qué tipo de juegos Brandon Watson tiene mejor desempeño? ¿En cuál espeor?
4. Con base en la tabla anterior, ¿cuál es el promedio de bateo en cada tipo de juego?
5. ¿Qué índice es más revelador de la calidad del jugador: el promedio de bateo o el slugging? Justifica turespuesta.
6. Si un jugador tiene 10 turnos al bat en un partido, ¿cuál es el máximo slugging que, en teoría, podríalograr? (La expresión en teoría se refiere a que sea matemáticamente posible, aunque en la realidad seaprácticamente imposible.)
b)
Porcentajes. Simulación
Manejo de la información
114
¡Ole, torito!
Supón que ambos van a disputar nuevamente la Serie Mundial. Supón, tam-bién, que ambos equipos tienen la misma probabilidad de ganar un juego entreellos, es decir, tienen probabilidad de de ganar un partido.
¿Cuál es la probabilidad de que la serie se decida en exactamente siete juegos?
El clásico de otoño
La Serie Mundial es una serie de juegos de campeonato entre los dos mejoresequipos de las Grandes Ligas de Beisbol de Estados Unidos; se juega en octubre,justo después de que terminan los campeonatos de liga. El ganador de la serie sedetermina cuando uno de los equipos completa cuatro partidos ganados.
Los Yanquis de Nueva York y los Dodgers de Los Ángeles han jugado cuatroseries mundiales en la historia del beisbol (datos hasta 2006), de las cuales cadauno ha ganado dos (véase la tabla de abajo).
Series Mundiales de beisbol jugadas entre Dodgers y Yanquis
1963 Dodgers de Los Ángeles Yanquis de Nueva York
1977 Dodgers de Los Ángeles Yanquis de Nueva York
1978 Dodgers de Los Ángeles Yanquis de Nueva York
1981 Dodgers de Los Ángeles Yanquis de Nueva York
Los problemas de cálculo de probabilidad son aquellos que se pueden resolver mediante procedimientos arit-méticos o algebraicos; sin embargo, en ocasiones tales procedimientos pueden ser difíciles de realizar. Algunosadmiten un método alternativo llamado simulación. La simulación de una situación consiste en un experi-mento que se puede llevar a cabo de forma práctica o virtual (en la computadora) y tiene una estructura si-milar a la situación original. El siguiente ejemplo ilustra en qué consiste la técnica de simulación.
DE BUENA FUENTE
1
2
� equipo ganador
Fuerza de ventas: o vendes o vendes
Un agente de ventas sale todas las mañanas a visitar a diferentes clientes. En cadavisita tiene de probabilidad de hacer la venta y de probabilidad de NO hacer-la. Para poder tener un ingreso aceptable, el vendedor debe cerrar por lo menostres ventas diarias, así que cada día hace tantas visitas como sea necesario hastaalcanzar tres ventas. ¿Cuál es el promedio de visitas que realiza diariamente?
Considera que habrá días en que las tres primeras visitas se traduzcan en ven-tas, en cuyo caso el vendedor se va a descansar temprano; pero habrá otros días enque tenga que hacer muchas visitas, incluso existe la posibilidad de que se con-
1
3
2
3
Simulación y probabilidad
7
115
De la tabla anterior se separan secuencias de resultados del siguiente modo: setoma la primera secuencia hasta que se obtenga el tercer valor 1 o 2, es decir, hastaque se obtiene “la tercera venta”. Se quita esa secuencia y con la lista restante se vuelvea hacer el mismo procedimiento. Esto se repite hasta agotar los 102 lanzamientos.
En la tabla de abajo se presentan las secuencias así separadas (en el extremo dere-cho se escribe “la longitud de la secuencia”):
1, 4, 3, 3, 4, 2, 1, 2, 1, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 3, 3, 4, 3, 2, 4, 5, 1, 6, 6, 2, 6, 4, 5, 5, 4, 3, 4, 4,
2, 2, 4, 1, 6, 5, 1, 2, 4, 1, 1, 1, 1, 5, 3, 3, 5, 6, 2, 1, 3, 2, 5, 1, 5, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 5, 2,
6, 6, 3, 2, 6, 4, 6, 4, 5, 6, 1, 4, 1, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 4, 3, 3, 1, 4, 3, 1, 6, 6, 4, 3, 1, 1, 4, 5
1
32
3
1, 4, 3, 3, 4, 2, 1 7
2, 1, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 3, 3, 4, 3, 2 13
4, 5, 1, 6, 6, 2, 6, 4, 5, 5, 4, 3, 4, 4, 2 15
2, 4, 1, 6, 5, 1 6
2, 4, 1, 1 4
1, 1, 5, 3, 3, 5, 6, 2 8
1, 3, 2, 5, 1 5
5, 1, 1, 2 4
3, 4, 3, 2, 5, 2, 6, 6, 3, 2 10
6, 4, 6, 4, 5, 6, 1, 4, 1, 1 10
2, 5, 1, 2 4
4, 4, 3, 3, 1, 4, 3, 1, 6, 6, 4, 3, 1 13
1, 4, 5 3
suma el día sin hacer ninguna venta. Este problema se puede calcular con reglas deprobabilidad, pero también es posible resolverlo por simulación como a conti-nuación se explica.
Cada visita que realiza el vendedor se puede simular con el lanzamiento de undado: si cae 1 o 2, se dice que se hizo una venta. Si cae 3, 4, 5 o 6, se dice que no hizola venta. (Se debe notar que la probabilidad de que el dado caiga 1 o 2 es , mien-tras que la probabilidad de que caiga 3, 4, 5 o 6 es , que son las condiciones estable-cidas en el enunciado del problema.)
Se lanza el dado 102 veces y se registran los resultados. En la tabla aparece lo quese obtuvo:
Se quita la última fila (1, 4 y 5), ya que no se completan las tres ventas. Si se orde-na el número de visitas que se hicieron antes de hacer una venta, se tiene:
4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 10, 13, 15
El promedio es de 7.45, o sea, en promedio el vendedor realiza aproximadamente7 visitas para cerrar una venta.
Porcentajes. Simulación
Manejo de la información
116
AGUZANDO EL INGENIO
1. En el ejemplo anterior se consideraron sólo 102 lanzamientos del dado. Haz un estudio semejante perocon los 300 registros de lanzamiento de un dado que se presentan en la tabla de abajo. Con ellos obten-drás una mejor aproximación a la respuesta.
2. Un jugador de basquetbol lleva el registro de sus aciertos en tiros libres en los juegos de la temporada. Seobserva que acierta, en promedio, 4 de cada 6 tiros que lanza, es decir, su probabilidad de encestar en cadatiro libre es de . El jugador se somete a un entrenamiento con una técnica nueva para aumentar la pro-babilidad de acertar los tiros libres. En el primer juego después de su entrenamiento, acierta 5 de 6 tiros.¿Se puede decir que mejoró su probabilidad de acertar un tiro?
Tabla A. Registro de los resultados de 300 lanzamientos de un dado generados por computadora.
1, 4, 3, 3, 4, 2, 1, 2, 1, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 3, 3, 4, 3, 2, 4, 5, 1, 6, 6, 2, 6, 4, 5, 5, 4, 3, 4, 4, 2, 2, 4, 1, 6, 5,
1, 2, 4, 1, 1, 1, 1, 5, 3, 3, 5, 6, 2, 1, 3, 2, 5, 1, 5, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 5, 2, 6, 6, 3, 2, 6, 4, 6, 4, 5, 6, 1, 4,
1, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 4, 3, 3, 1, 4, 3, 1, 6, 6, 4, 3, 1, 1, 4, 5, 2, 3, 5, 4, 6, 6, 3, 1, 6, 1, 1, 4, 5, 2, 4, 3, 4, 6,
3, 1, 2, 3, 3, 3, 2, 3, 6, 1, 3, 1, 6, 6, 4, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 2, 4, 4, 1, 1, 5, 6, 6, 1, 3, 4, 1, 5, 5, 3, 5, 5, 2, 4,
1, 4, 6, 5, 6, 2, 3, 2, 4, 3, 5, 6, 5, 4, 6, 3, 4, 5, 3, 3, 4, 5, 5, 1, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 2, 5, 1, 1, 4, 4,
6, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 6, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 5, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 5, 1, 2, 1, 5, 4, 4, 4, 4, 2, 3, 2, 2, 6, 6, 6,
5, 5, 6, 3, 2, 4, 1, 4 3, 3, 1, 6, 2, 4, 1, 2, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 3, 6, 3, 2, 2, 3, 5, 1, 6, 6, 4, 1, 2, 4,
5, 6, 2, 4, 3, 2, 6, 5, 1, 4, 6, 6, 1, 3, 6, 3, 3, 5, 4, 5.
Utiliza la tabla de 102 lanzamientos de un dado para observar qué tan frecuente es obtener 5 aciertos yuna falla, cuando se tiene de probabilidad de acertar un tiro. Para lo cual sigue las instrucciones:
a) Define los eventos ACIERTO y FALLA en términos de los resultados del dado, de manera que:
P(acierto) � P(falla) �
b) Cuenta en cada sucesión de 6 lanzamientos cuántas veces se obtiene acertar 5 tiros o más.
c) Si la frecuencia en que se obtienen 5 aciertos o más de cada 6 tiros es poca (menos de 10%) se dirá queel jugador aumentó su probabilidad. Explica por qué:
d) Si la frecuencia en que se obtienen 5 aciertos o más de cada 6 tiros no es pequeña (más de 10%) no sepuede afirmar que mejoró su probabilidad de tiro. Explica por qué:
1
3
2
3
La simulación de una experiencia aleatoria se puede diseñar cuando se conocen algunos elementos de lasituación original, como los resultados básicos y sus probabilidades. Por ejemplo, en el ejercicio “Fuerza deventas: o vendes o vendes” los resultados básicos son “hizo una venta en una visita” y “NO hizo una venta enuna visita” cuyas probabilidades son y , respectivamente. Las probabilidades básicas generalmente sedeterminan mediante estudios estadísticos; aunque en ocasiones se pueden suponer desde un principio, comoen el siguiente ejemplo.
DE BUENA FUENTE
1
3
2
3
2
3
1
3
7
117
MANOS A LA OBRA
Qué suerte tiene el que no se baña… ni estudia
De un tiempo a la fecha han estado de moda los exámenes de opción múltiple. En relación con estosexámenes, en el club Sigma Six Natasha le comenta a Carlos:
—Me pregunto cuántos alumnos pasan sus materias de chiripa, o sea, atinándole a la respuesta sin haberestudiado nada —Natasha se queda pensativa unos instantes y luego le propone a su compañero—: ¿Por quéno hacemos una simulación de esta experiencia aleatoria?
—No estaría mal —responde Carlos.
¿Cómo se podría hacer la simulación?
El grupo se puede dividir el trabajo que se describe más abajo.
Antes de iniciar, deben hacerse estas consideraciones:
a) Supongan que el examen es de diez preguntas con cuatro opciones.
b) Sólo una de las cuatro opciones es la respuesta correcta.
c) El alumno que no estudia elige al azar cualquiera de las respuestas, estoquiere decir que la probabilidad de que responda correctamente es .
d) El examen se aprueba si se obtienen seis o más respuestas correctas.
MATERIAL
• Una caja de cartón y cuatro canicas de la misma forma y tamaño (tres negras y una blanca).
• En un cuaderno, se dibuja una tabla en la que se representen las preguntas y las filas de 100 exámenes.
1
4
Preguntas P. 1 P. 2 P. 3 P. 4 P. 5 P. 6 P. 7 P. 8 P. 9 P. 10 CALIF.
Examen 1
Examen 2
Examen 99
Examen 100
PROCEDIMIENTO
1. Extraigan de la urna una bola al azar (sin ver, de modo que no se pueda anticipar la que va a salir).
2. Si la bola es negra se calificará con 7, que significa “respondió mal la pregunta”; si es blanca con 4, quesignifica “respondió bien la pregunta.)
3. Repitan la acción anterior 10 veces para completar un examen.
4. Anoten la calificación.
Las anteriores acciones permitirán tener la calificación de un examen. Se hizo una simulación y se obtuvo:
Preguntas P. 1 P. 2 P. 3 P. 4 P. 5 P. 6 P. 7 P. 8 P. 9 P. 10 CALIF.
Examen 1 7 7 4 4 4 7 7 7 7 7 3
Para estimar la probabilidad de “aprobar el examen” se debe repetir 100 veces el procedimiento y con estosdatos llenar la tabla. La razón de las veces que se obtenga calificación de 6 o más entre 100 será una esti-mación de la probabilidad de “aprobar el examen” sin estudiar.
Porcentajes. Simulación
Al torito por los cuernos
Manejo de la información
118
De nuevo el rey de los deportes y de las estadísticas
Para empezar, con la información sobre el porcentaje de bateo y el slugging com-pleta la tabla 1. Después, compara los valores obtenidos por Gil y Robles yayuda a Alessandra y a Miguel a resolver sus diferencias.
De nuevo el clásico de otoño
Este problema se puede resolver con una moneda, lápiz y papel y paciencia.La idea es hacerlo mediante un juego con monedas (volados repetidos). Enprimer lugar, ¿cuál es la probabilidad de obtener un águila (A) al lanzar unavez una moneda? ¿Y cuál es la probabilidad de obtener un sol (S)? Escríbeloa continuación:
Cada lanzamiento representará un juego y lo que ocurra se interpretará así:
Evento A: Ganan los Dodgers
Evento S: Ganan los Yanquis
Entonces se lanza la moneda varias veces para simular que se juega la SerieMundial, es decir, se lanza la moneda hasta que hayan ocurrido 4 águilas(ganan la serie los Dodgers) o 4 soles (ganan los Yanquis). Por ejemplo:
ASASSS = ganan los Yanquis la serie
ASSAAA = ganan los Dodgers la serie
El proceso anterior se repite muchas veces, de manera que se pueda observaren qué porcentaje se decide la serie en 4 partidos, con respecto a todas las seriesque se jueguen.
Los autores de este texto simulamos 10 Series Mundiales, las cuales no sonsuficientes para obtener una buena aproximación (ustedes tendrán la tarea dehacer más simulaciones para lograr una mejor aproximación):
P(A) � P(S) �
1. ASASSS (6) Yanquis
2. AASSSS (6) Yanquis
3. AASSSAS (7) Yanquis
4. SSAAASA (7) Dodgers
5. SASSAS (6) Yanquis
6. ASSSAAA (7) Dodgers
7. SASSAS (6) Yanquis
8. SSASAAS (7) Yanquis
9. SAASSS (6) Yanquis
10. SSASAAA (7) Dodgers
Progresímetroautónomo
7
119
1111.. SSSSSSAASS ((55)) Yanquis
1122.. AAAASSSSAASSAA ((77)) Dodgers
1133.. AASSAAAAAA ((55)) Dodgers
1144.. AASSSSSSAAAASS ((77)) Yanquis
1155.. SSSSAASSAAAAAA ((77)) Dodgers
1166.. SSAAAAAAAA ((55)) Dodgers
1177.. AAAASSSSSSAAAA ((77)) Dodgers
1188.. AAAASSSSSSAASS ((77)) Yanquis
1199.. SSAASSSSAASS ((66)) Yanquis
2200.. SSAASSAAAASSAA ((77)) Dodgers
Teniendo en cuenta la tabla anterior se puede observar que:
Longitud de la Serie Mundial 4 5 6 7
Frecuencia 0 3 6 11
La frecuencia relativa del evento “La Serie se decide en 7 juegos” es � 0.55.11
20
Una última faena
En equipo resuelvan los problemas planteados y lleven a cabo las actividades.
1. ¿Creen que el slugging es un porcentaje? Expliquen su respuesta y discútanla con otros equipos.
2. Tomen el título de tres películas que estén actualmente en cartelera. Realicen una encuesta en sugrupo; diseñen la encuesta para llenar una tabla como ésta:
PelículaPorcentaje de losque la han visto
Porcentaje de los quela ponen en el primer
lugar porque es laque más les gustó
Porcentaje de los quela ponen en el últimolugar porque es la que
menos les gustó
Nombre de la película 1
Nombre de la película 2
Nombre de la película 3
Porcentajes. Simulación
Manejo de la información
120
3. Francis compró un champú en la tienda. El envase tenía una etiqueta que decía: “Pague sólo un litroy llévese 20% más”.
4. En promedio, ¿en cuántos lanzamientos de un dado caen dos puntos?
Responde a la anterior pregunta teniendo en cuenta la tabla de 300 lanzamientos de un dado.
5. En promedio, ¿en cuántos lanzamientos de un dado se obtienen dos caras con números sucesivos?Responde a la pregunta teniendo en cuenta la tabla de 300 lanzamientos de un dado.
6. a) En el ejemplo de la Serie Mundial, sólo se consideraron 20 secuencias para ilustrar el procedimien-to; sin embargo, es conveniente hacer más secuencias, por ejemplo 100, para obtener una mejoraproximación.
Encuentren las frecuencias absolutas y relativas de la variable “longitud de juegos” considerando100 secuencias. Cada secuencia se obtiene arrojando una moneda hasta que se completen cuatrocaras iguales. Con los datos obtenidos completen la siguiente tabla:
b) Comparen las frecuencias relativas de los resultados que obtuvieron con los datos verdaderos re-gistrados en las cincuenta series mundiales que van de 1952 a 2002:
c) Hagan un comentario por escrito respondiendo a la pregunta: “¿La simulación ofrece una buenaaproximación de lo que ocurrió en la realidad?”
a) ¿Cuánto champú contiene el envase?
b) ¿Qué parte de lo que contiene el envase es gratis?
Longitud de la Serie Mundial 4 5 6 7
Frecuencias absolutas
Frecuencias relativas
Longitud de la SerieMundial
4 5 6 7
Frecuencias absolutas 8 8 10 24
Frecuencias relativas 0.16 0.16 0.20 0.48
Fuentes de internet
Consultado en:http://www.aip.org/isns/reports/2003/080.html
Matematograma
Llena el matematograma de modo que refleje tu desempeño en el bloque.
Planteamiento y resolución de problemas
Argumentación
Comunicación
Manejo de técnicas
A B C D E
Matematograma
Man
ejo de técnicas
Comunicación
Argumentación
Plante
amie
nt
o y resolución de problem
as
Bloque
3
121
En este bloque se continúa con el estudio tanto de funciones lineales como no lineales, peroasociadas a modelos de diferentes situaciones. Es muy importante saber que la matemáticatiene relación con situaciones de nuestra realidad, y cuando una función describe variables deuna situación del mundo real, se llama modelo. En el eje “Forma, espacio y medida” se vuelveal problema de la proporcionalidad con las situaciones de homotecia (como proyecciones decine) y el teorema de Tales, que relaciona el paralelismo con la proporcionalidad. En la leccióndel eje “Manejo de la información” se realiza el estudio de las representaciones gráficas de fun-ciones, tema este de suma utilidad para el estudio de todas las matemáticas por venir, pues elmundo gráfico, bien aprendido, se convierte en un poderoso instrumento para la comprensiónde las matemáticas.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Lección 8
122
Si te lo propones realmente, tú puedes participar.
Relaciones funcionales
y ecuaciones cuadráticas
Nuestro reto es: Y necesitamos...
• Entender el concepto de variaciónrelacionado con distintos fenómenosde la naturaleza.
• Saber interpretar el concepto deecuación cuadrática, así como lastransformaciones algebraicas que per-miten pasar de una expresión alge-braica a otra equivalente.
• Reconocer en diferentes situaciones yfenómenos de la física, la biología, laeconomía y otras disciplinas, la presen-cia de cantidades que varían una en fun-ción de la otra y representar la regla quemodela esta variación mediante unatabla o una expresión algebraica.
• Utilizar ecuaciones cuadráticas para mo-delar situaciones y resolverlas usando lafórmula general.
El fin y los medios
Olimpiada Mexicana de Matemáticas
El concurso anual de matemáticas más importante para estudiantes preuniversita-rios en nuestro país y en todo el mundo son las Olimpiadas de Matemáticas.Tienen como objetivo promover el estudio creativo de las matemáticas, buscandodesa-rrollar el razonamiento y la imaginación de los jóvenes. Anualmente, entreenero y noviembre, cada estado de la República lleva a cabo, en forma autónoma,su concurso estatal; los seleccionados de éste representan a su estado en el concur-so nacional, el cual se realiza en noviembre en alguna entidad de la República.
Los ganadores participan en los concursos internacionales. Participar en el con-curso ofrece la oportunidad de resolver gran cantidad de problemas matemáticosinteresantes, comenzando desde problemas sencillos hasta llegar a los de los con-cursos finales. Por ejemplo, en la sección de “Problemas introductorios” el primerproblema es:
1. Un pastel se corta quitando cada vez la tercera parte del pastel que hay en elmomento de cortar. ¿Qué fracción del pastel original quedó después de cortartres veces?
Fuentes de internet
La información de esteconcurso se encuentra en ladirección electrónica:http://ichi.fismat.umich.mx/omm/
a) b) c) d) e)2
3
4
3
4
9
8
9
8
27
a) b) c) d) 3 e) 41
15
1
3
1
2
El problema 100 es:
100. Encuentra el valor del producto (x)(y)(z) donde x, y y z son números posi-tivos que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones:
( ) ( ) ( )11
9 21
3 31
52 2 2xy
z xy
z xy
z+ + = + − = − + =
Relaciones funcionales y ecuaciones cuadráticas8
123
Un torito al ruedo
Fiebre específica
Carlos anda algo preocupado porque mañana tiene que entregar una tarea de físi-ca. Es un problema sobre cantidad de calor y le parece que está bastante difícil:“¿Cuánto calor se necesita para elevar la temperatura de 200 g de mercurio de 20 ºCa 100 ºC?”
“¿Y cómo diablos se mide el calor?”, se pregunta. Revisa sus apuntes y sóloencuentra algunas ideas sueltas que en ese momento le parecieron interesantes: “elcalor es la energía térmica perdida o ganada por los objetos” y “el calor también sepuede concebir como la energía asociada al movimiento molecular”.
“La verdad es que esto no me sirve de gran cosa para resolver problemas demedición de calor”, se dice y en ese instante aparece Luisa como tablita de sal-vación.
—Ah, es que el día que te enfermaste (y te dio mucha fiebre) vimos la fórmulapara calcular el calor (Q) en función del calor específico (c), de la masa (m) y del
incremento de la temperatura DT. La fórmula es bien sencilla: Q 5 m 3 c 3 DT—le dice Luisa a Carlos—. Del enunciado del problema se pueden obtener dosdatos, sólo falta el calor específico del mercurio.
—Y, por cierto, en el libro de física viene una tabla con los calores específicos dediferentes sustancias —señala Miguel, quien siempre se acuerda de datos y tablas.Abre su libro y les muestra la información:
Sustancia
920
Latón 390
Cobre 390
Alcohol 2 500
Vidrio 840
Oro 130
Hielo 2 300
Hierro 470
J
(kg 3 Cº)
Calor específico
Sustancia
Plomo 130
Mercurio 140
Plata 230
Vapor 2 000
Acero 480
Trementina 1 800
Zinc 390
Calores específicos de varias sustancias
—Mmm, así qué chiste. Yo pensé que el maestro nos había dejado un torito, ymira: el problema está archirrequetecontrafácil —dijo Carlos decepcionado y singanas ya de hacer la tarea.
Y la pregunta es:
¿Cuánto calor se necesita para elevar la temperatura de 200 g de mer-curio de 20 ºC a 100 ºC?
J
(kg 3 Cº)
Calor específico Progresímetroexperto
Sentido numérico y pensamiento algebraico
124
Tendiendo las redes
Relaciones funcionales
En los fenómenos de la naturaleza —y, en general, de la actividad humana—, casi siempre se pueden medirciertas cantidades, como el tiempo, volumen, masa o peso, temperatura, calor, demanda, precio, dinero, etc.;muchas de esas medidas se relacionan entre sí matemáticamente. Por ejemplo, de forma intuitiva cualquier per-sona sabe que a mayor masa de una sustancia, mayor volumen; a mayor calor, mayor temperatura; a mayor pre-sión ejercida sobre un gas, menor volumen; a mayor oferta de un producto, menor precio, etc. Es decir, ciertascantidades varían en función de las otras. La ciencias naturales buscan establecer la manera exacta en que dos omás variables se relacionan (una variable se representa por una literal que puede tomar diferentes valores), indi-cando además las condiciones precisas en que se da la relación. La matemática proporciona valiosos instrumen-tos para dicha tarea, en particular, estudia en su forma más general las relaciones funcionales y las ecuaciones.
Una relación funcional es una expresión que indica cómo se relacionan dos o más variables. Una de lasvariables es independiente y la otra, o las otras, es dependiente. Suele elegirse como variable independienteaquella que varía libremente (como el tiempo) o bien que el experimentador puede controlar, en tanto quela variable dependiente toma valores determinados por los valores que se asignan a la variable independiente.En el siguiente ejemplo pondrás a prueba tu comprensión de estos conceptos.
DE BUENA FUENTE
AGUZANDO EL INGENIO
En las preguntas 1-5 elige la expresión que describe mejor la relación funcional de las cantidades men-cionadas en el enunciado. Después de elegir la relación funcional, construye tablas sencillas para que veascómo se comportan las variables involucradas:
1. El precio (p) de un producto depende de la oferta (o). A partir de un precio tope (C), el precio disminuyesi la oferta aumenta:
2. El área (A) de un cuadrado en función de la longitud de su diagonal (d) es:
La oferta se da en unidades de un producto, o sea, el número de unidades que se ponen a la venta en elmercado; C es un precio y se da en $, supongamos que C 5 $1 000. Encuentra los precios del productoal crecer la oferta:
a) p 5 C 1 o b) p 5 C 3 o c) p 5 C 2 o d) p 5 C o
a) A 5 2 3 d b) A 5 c) A 5 p 3 d2 d) A 5
o 100 200 300 400 500 600 700 800 900
P
d2
2
2
d
Relaciones funcionales y ecuaciones cuadráticas8
125
A continuación obtén, con la fórmula elegida, el área de los cuadrados de acuerdo con la longitud de ladiagonal que se indica. Comprueba con tus conocimientos de geometría (recuerda el teorema dePitágoras) que la fórmula que escogiste proporciona en verdad el área del cuadrado correspondiente:
3. El volumen (V) de un cubo en función de la longitud de su diagonal (d) es:
4. La altura a partir del nivel del terreno (h), con respecto al tiempo transcurrido (t), de un cuerpo que sesuelta de una altura de 500 m.
5. Kobe Briant, jugador estrella de los Lakers de Los Ángeles, es especialista en tiros de tres puntos. En unjuego contra los Rockets, y casi al finalizar el encuentro —que además iban perdiendo por dos puntos—,Kobe lanzó la pelota hacia la canasta, desde la zona de tres puntos, con una velocidad inicial de 12 m/s.Se sabe que Kobe tiene una altura de 2.10 metros, y con los brazos extendidos alcanza una altura de 2.90 m.¿Cuánto tiempo tarda la pelota en alcanzar una altura de 6 m con respecto al nivel de la duela? Antes deresolver el problema contesta las preguntas:
a) En este problema existen cantidades variables y constantes. ¿Qué significa que una cantidad seaconstante?
b) ¿Qué significa que una cantidad sea variable?
c) En equipo identifiquen en este problema qué cantidades son variables y cuáles son constantes.Escríbanlas:
Se debe tener en cuenta que 3 3 5 ( 3)3 ù 5.2. Comprueba con tus conocimientos de geometría que lafórmula que elegiste proporciona el volumen de los cubos correspondientes.
d 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
d 1 2 3 4 5 6 7 8 9
V
t(s) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
h
a) b) c) d)
3 3
V d= ×3 V d= ×3 3 3 Vd
=3
3 3V
d=
3
a) b) c) d)h t= ×9 8
22.
h t= − ×5009 8
22.
h t= +5009 8
22.
h t= −9 8
22.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
126
d) ¿Cuál es la incógnita del problema?
e) En este problema interviene una constante especial debida a la fuerza de gravedad terrestre.Usualmente, en los libros de texto esa constante se simboliza con la letra g. Investiga cuál es el valor deesta constante gravitatoria. Escribe su valor:
El movimiento más sencillo es el movimiento rectilíneo con velocidad constante. En tu libro de Matemáticas 2,y seguramente en tu clase de física, viste ya que la distancia de un móvil que se mueve a velocidad constantese describe con la ecuación:
d 5 v 3 t donde v es la velocidad, t el tiempo y d la distancia.
Otro tipo de movimiento ocurre cuando el móvil va cambiando de velocidad durante su trayectoria. Laaceleración de un móvil en movimiento es el cambio de velocidad que experimenta. La aceleración media enun periodo de tiempo Dt se calcula encontrando la diferencia entre la velocidad final y la velocidad inicial ydividiéndola entre el incremento de tiempo, se tiene entonces:
donde Vf es la velocidad final, Vi la velocidad inicial y Dt 5 t2 2 t1 el incremento del tiempo (t1 es el tiem-po inicial y t2 el tiempo final).
Cuando la aceleración es constante, una ecuación del movimiento acelerado es la siguiente:
donde s es la distancia recorrida, v0 la velocidad inicial, a (una constante) es la aceleración y t el tiempo transcurrido. En particular, cuando se deja caer un objeto en forma vertical, la función del movimiento es similar a la del
movimiento uniformemente acelerado, pero ahora la constante de aceleración es la que ejerce la atraccióngravitatoria y es igual a g 5 9.8 y se toma con signo negativo cuando un objeto se mueve hacia arriba, quedaasí:
(Se debe tener presente que la unidad para la aceleración es m/s2, que se lee: “metros sobre segundos alcuadrado”.)
DE BUENA FUENTE
Movimiento uniformemente acelerado
m
s2
av v
tf i=−
av v
tf i=−
s v t a t= × + ×021
2
Relaciones funcionales y ecuaciones cuadráticas8
127
AGUZANDO EL INGENIO
1. Una lancha de motor comienza a moverse a partir del estado de reposo y alcanza una velocidad de50 km/h en 15s. ¿Cuál fue su aceleración media y qué tan lejos estaba a los 15s del punto del cual par-tió? Expresa la aceleración en m/s2.
2. Un tren que viaja inicialmente a 16 m/s se acelera constantemente a razón de 2m/s2. ¿Qué tan lejos via-jará en dos minutos (120s)?
3. Una pelota en estado de reposo se suelta de una altura de 30 m. Suponiendo que la caída es libre, ¿cuálserá su altura cuando han transcurrido 5s?
4. Plantea la ecuación del problema del jugador de basquetbol formulado arriba. Lo debes modelar como sifuera un movimiento rectilíneo hacia arriba.
Dos problemas que danorigen a una ecuación cuadrática
En los siguientes problemas se plantean sendas ecuaciones sin llegar aún a la solu-ción. Ésta se encontrará más adelante.
1. Un terreno de forma rectangular, cuyo fondo es el doble de su frente, se divide endos partes mediante una pared situada a 30 m del frente y paralela a éste. Si laparte trasera del terreno mide 3 500 m2, ¿cuáles son las dimensiones del terreno?
Observa los pasos que se siguen para resolver el problema y completa donde sepide. Es conveniente apoyarse en un esquema a fin de identificar con más claridadla información dada en el problema.
x
3500 m²
30 m
2x
Expresa simbólicamente los enunciados (observaque el primer enunciado se da como resuelto):
La longitud del frente del terreno: x
La longitud del fondo del terreno:
El largo de la parte trasera:
El área de la parte trasera:
La ecuación 5 21 se reduce a la ecuación x2 1 20x 2 12 000 5 0.
La ecuación 5 se reduce a la ecuación x2 1 21x 2 11 980 5 0.
¿Cuál de estas ecuaciones plantea correctamente la situación del problema?
Sentido numérico y pensamiento algebraico
128
De acuerdo con los datos del problema, el área de la parte trasera es iguala 3 500 m2 y se expresa con la ecuación x(2x 2 30) 5 3500.
Una vez planteada la ecuación cuadrática x(2x 2 30) 5 3500, se debe llevar a laforma general, para después aplicar una fórmula y resolverla (ver página siguiente).En seguida se muestra cómo hacerlo. Indica en cada paso, con tus propias pa-labras, qué se hizo para obtener la nueva expresión a partir de la anterior (obser-va el ejemplo):
a) x(2x 2 30) 5 3500 Se eliminó el paréntesis aplicando la ley distributiva
b) 2x2 2 30x 2 3500 5 0
c) x2 2 15x 2 1750 5 0
2. Los miembros de un club van a pagar una cuenta de $600 en partes iguales. Sihubiera habido 20 miembros más, cada quien habría pagado un peso menos.¿Cuántos miembros había en el club?
Coloca en las celdas de la columna de la derecha la expresión algebraica quesimboliza el enunciado correspondiente. Si tienes dificultades busca, entre lasexpresiones que vienen después de la tabla, la que creas que es correcta (se hallenado la primera celda):
Realiza las manipulaciones algebraicas necesarias en las dos ecuaciones delrecuadro anterior, a fin de comprobar que se reducen a ecuaciones cuadráticas,como se muestra a continuación:
Elige las expresiones convenientes para llenar la tabla anterior.
El número de miembros del club x
Pago de cada miembro
El número de miembros del club más 20
Lo que pagaría cada miembro si fueran 20 más
El pago de cada miembro es igual a lo quepagaría cada miembro, si fueran 20 más, menos 1
600
x 1 20
600x
x 1 20600
20
x 1 1
x600
600x
60020
6001
x x+= −
xx
+=
+20
60020
1
60020x +
x − 20600
x + 20
600 20x +
Relaciones funcionales y ecuaciones cuadráticas8
129
La ecuación ax2 1 bx 1 c 5 0 se llama ecuación general de segundo grado, donde a, b y c son constantes, y aes diferente de cero. Resolver esta ecuación cuadrática significa encontrar una expresión de x en términos dea, b y c, es decir, la solución es una igualdad en la que del lado izquierdo está la x y del lado derecho la expre-sión sólo en términos de a, b y c.
La solución de la ecuación general de segundo grado es:
El signo 6 significa que realizando la operación de suma (1) o la operación de resta (2), con ambas sellega a una solución. Es decir, se tienen las siguientes dos soluciones que se llamarán x1 y x2:
Resolución de la ecuación cuadrática 6x2 2 x 2 12 5 0 utilizando la fórmula general.
SOLUCIÓN:
Puesto que la ecuación que se quiere resolver ya tiene la forma estándar ax 2 1 bx 1 c 5 0, entonces se sabeque los valores de los parámetros son: a 5 6, b 5 21 y c 5 212.
De modo que al hacer las sustituciones respectivas:
Para comprobar que x1 5 es en efecto una solución se sustituye ese valor en lugar de x en la ecuaciónoriginal: 6x2 2 x 2 12 5 0, y queda de este modo: . Si haciendo las operaciones del ladoizquierdo se obtiene 0, la solución es correcta; en caso contrario, hay algún error en las operaciones o huboun error al encontrar la solución. En este caso se tiene que:
En parejas analicen el siguiente proceso de solución. Debe hacerse hincapié en que el uso de la fór-mula general de las ecuaciones de segundo grado es útil siempre y cuando se puedan identificar losvalores de las constantes a, b y c. Es importante que la ecuación cuadrática por resolver tenga laforma ax2 1 bx 1 c 5 0, para que puedan identificarse los valores de las constantes a, b y c.
DE BUENA FUENTE
y
Primera solución Segunda solución
3
2
xb b ac
a=− ± −2 4
2
xb b ac
a=− ± −2 4
2
x121 1 4 6 12
2 6=− − + − − −( ) ( ) ( )( )
( )x2
21 1 4 6 12
2 6=− − − − − −( ) ( ) ( )( )
( )
x1
1 1 288
12=
+ +x2
1 1 288
12=
− +
x1
1 289
12=
+x2
1 289
12=
−
x1
1 17
12=
+x2
1 17
12=
−
x1
3
2= x2
4
3=−
xb b ac
a2
2 4
2=− − −
32
32
12 02
− − =( ) ( )6 ×
632
32
12544
64
484
542
− − = − − =−− −
= =6 484
04
0( ) ( ) ( )
Sentido numérico y pensamiento algebraico
130
Con lo que se comprueba que x1 5 SÍ es una solución.
Verifica que el valor x2 5 2 también es solución de la ecuación
cuadrática 6x2 2 x 2 12 5 0 .
3
2
4
3
AGUZANDO EL INGENIO
1. Resuelve las ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general. Verifica que los resultados obtenidossean soluciones de la ecuación cuadrática en cuestión.
2. Resuelve las ecuaciones de los dos problemas que quedaron pendientes en la sección anterior, a saber:
3. En los problemas siguientes identifica la información relevante, dibuja un esquema, plantea la ecuacióncorrespondiente y resuélvela.
a) Si el radio de un círculo se incrementa en 4 unidades, entonces el área de este nuevo círculo es 9 vecesmayor que la original. ¿Cuál es el radio del círculo original?
b) El área de un terreno de forma triangular es de 42 m2. Se sabe que la altura de ese triángulo excede en5 m a su base. ¿Cuáles son las dimensiones de la base y de la altura de ese triángulo?
c) Un terreno rectangular tiene un perímetro de 64 m y un área de 252 m2. ¿Cuáles son las dimensionesde ese terreno?
a) 2x2 2 3x 2 2 5 0
b) 15x2 1 13x 2 20 5 0
c) 5x2 2 21x 1 4 5 0
d) x25 1
e) x22 3x 1 2 5 0
a) x2 2 15x 2 1750 5 0
b) x2 1 20x 1 12 000 5 0
c) Interpreta las soluciones en el contexto del problema.
Toma nota
Hay otras maneras de realizar las opera-ciones con las fracciones. Si se te ocurrealguna forma alternativa de realizaresta operación, anótala y discútela contu profesor(a).
Relaciones funcionales y ecuaciones cuadráticas8
131
MANOS A LA OBRA
En equipos lleven a cabo la actividad que se propone.
1. Utilicen la fórmula general para resolver esta ecuación cuadrática:
x2 1 6x 1 9 5 0 …….(1)
2. En comparación con las ecuaciones anteriores, hay ecuaciones cuadráticas que NO tienen soluciones reales.Por ejemplo, apliquen la fórmula general a esta ecuación:
x2 1 6x 1 10 5 0
3. En resumen, hay tres tipos de ecuaciones cuadráticas dependiendo de cómo son sus soluciones. Indiquencuántas soluciones tiene cada tipo y den un ejemplo (el ejemplo puede tomarse de las ecuaciones de estalección que se han visto arriba):
4. Identifiquen cuál de estas ecuaciones tiene cero soluciones, qué ecuación posee una solución y quéecuación tiene dos soluciones.
Primer tipo: Tiene soluciones Ejemplo:
Segundo tipo: Tiene soluciones Ejemplo:
Tercer tipo: Tiene soluciones Ejemplo:
Ahora resuelvan esta otra ecuacuación cuadrática:
x2 2 8x 1 16 5 0 …….(2)
¿Cuáles son las soluciones que encuentran? x1 5 x2 5
¿Cuáles son sus soluciones? x1 5 x2 5
Describe las características de las soluciones de las ecuaciones (1) y (2):
¿Qué observan?
Si el resultado que obtuvieron fue x1 5 24 y x2 5 22, han cometido una “infracción” algebraica. Paracomprobar que x 5 24 NO es solución se sustituye este valor en la parte izquierda de la ecuación y seobserva que no se obtiene cero:
(24)2 1 6(24) 1 10 5 16 2 24 1 10 5 2
Pueden comprobar que x 5 22 TAMPOCO es solución. Cualquier otro valor real que hayan encontrado NO
será solución.
Si estás de acuerdo en que cometieron una “infracción”, ¿pueden decir dónde?
¿Podrían explicar por qué es posible asegurar que ningún número real es solución?
a) x2 24x 1 3 5 0 b) x2 2 4x 1 5 5 0 c) x2 2 4x 1 5 5 0
Sentido numérico y pensamiento algebraico
132
La fórmula para obtener la solución de la ecuación cuadrática ax 2 1 bx 1 c 5 0 es:
La parte que está dentro del radical es b2 2 4ac y se llama discriminante.
El discriminante, como cualquier número que se obtiene de un cálculo, puede ser mayor que cero, igual acero o menor que cero. Como en la fórmula para obtener la solución a la ecuación de segundo grado se tieneque sacar raíz cuadrada al discriminante, conviene saber:
a) que la raíz cuadrada de un número positivo tiene dos soluciones
b) que la raíz cuadrada de cero es cero
c) que la raíz cuadrada de un número negativo no existe en los números reales. Esta idea se expresa de manerasintética con el siguiente enunciado:
Dada una ecuación cuadrática ax 2 1 bx 1 c 5 0, se cumple que:
DE BUENA FUENTE
a) si b2 2 4ac . 0, la ecuación tiene dos soluciones,
b) si b2 2 4ac 5 0, la ecuación tiene una solución, y
c) si b2 2 4ac , 0, la ecuación no tiene solución en los números reales.
AGUZANDO EL INGENIO
1. Resuelve las tres ecuaciones que aparecieron arriba. Utiliza la fórmula original.
2. Sin resolver las ecuaciones determina si tienen dos, una o ninguna solución:
Comprueba que el discriminante indica el número de soluciones que encontraste de acuerdo con la reglavista arriba.
a) x2 2 4x 1 3 5 0 b) x2 2 4x 1 4 5 0 c) x2 2 4x 1 5 5 0
a) x2 1 x 2 6 5 0 b) x2 1 4x 1 4 5 0 c) x2 2 2x 1 3 5 0
Partido no apto para cardiacos
1. Retomemos el problema formulado arriba sobre Kobe Briant. Este jugador delos Lakers de Los Ángeles es especialista en tiros de tres puntos. En un juegocontra los Rockets, y casi al finalizar el encuentro —que además iban perdien-do por dos puntos—, Kobe lanzó la pelota hacia la canasta, desde la zona detres puntos, con una velocidad inicial de 12 m/s. Se sabe que Kobe tiene unaaltura de 2.10 m, y con los brazos extendidos alcanza una altura de 2.90 m.¿Cuánto tiempo tarda la pelota en alcanzar una altura de 6 m con respecto alnivel de la duela?
La función que modela la trayectoria de la pelota es , suponiendoque el punto de origen es justamente cuando el jugador lanza la pelota. Esdecir, no se toma en cuenta ni la altura de Kobe, ni la de sus brazos extendidosen el momento del tiro.
xb b ac
a=− ± −2 4
2
d v t g to= −12
2
Relaciones funcionales y ecuaciones cuadráticas8
133
Explica por qué esta hipótesis conduce a la ecuación anterior. Anota tus comentarios:
Si se considera la altura de Kobe (2.10 m) y la de sus brazos extendidos en elmomento de lanzar la pelota (80 cm) como punto de origen, entonces la ecuaciónque modela el problema es:
donde el valor de x0 5 2.90 metros.
Explica por qué la afirmación anterior es cierta:
En este problema, además de conocer x0 5 2.90 metros, también se sabe que:V0 es la velocidad inicial de la pelota,
g 5 9.8 m/s2 es la aceleración de la pelota debida a la acción de la gravedadterrestre, yt es el tiempo transcurrido durante el desplazamiento de la pelota (variable).
Puesto que se desea saber el tiempo en el cual la pelota alcanza una altura de 6 m,basta con sustituir los datos en la ecuación de la trayectoria que describe la pelotaal ser lanzada, es decir:
6 metros 5 2.90 metros 1 12 metros/s2 t 2 9.8 metros/s2 t2
O, eliminando las unidades de medida, se tiene la ecuación:
6 5 2.90 1 12t 2 9.8t2
que finalmente puede escribirse como:
6 5 2.90 1 12t 2 4.9t2
Ecuación que, al escribirla en su forma estándar, nos queda:
24.9t2 1 12t 2 3.1 5 0
Al aplicar la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se encuentran lasraíces de la ecuación. Las raíces de esta ecuación son:
t1 5 0.29 segundos y t2 5 2.15 segundos
Interpreta estas dos soluciones de la ecuación en el contexto del problema.Elabora una gráfica del movimiento de la pelota y ubica el papel de las solucionesen la determinación de la altura de ella. Discute con tus compañeros las solu-ciones de este problema.
1
2
1
2
x t x v t g to( )= + −021
2
a)
Sentido numérico y pensamiento algebraico
134
Entonces, las dimensiones del terreno son:
Longitud del frente y de la parte trasera: x 5 50 m
Longitud del fondo: 2 3 50 5 100 m
Longitud de la parte trasera: 2 3 50 2 30 5 70 m
Verifica que las soluciones del problema satisfagan las condiciones dadas en éste.
Explica por qué x 2 5 235 no puede considerarse solución del problema:
2. A continuación se resolverá la ecuación x2 2 15x 2 1750 5 0 por el método decompletación de cuadrados. (Esta ecuación se planteó para encontrar lasdimensiones de un terreno rectangular, p. 128.) La idea subyacente en estemétodo de solución de ecuaciones cuadráticas es “construir” un trinomiocuadrado perfecto del lado izquierdo de la ecuación.
En pareja expresen con sus propias palabras las transformaciones algebraicasque se llevan a cabo en cada paso (observen el ejemplo):
Se sumó 1 750 de ambos lados de la igualdad del
inciso a y se hizo la operación 1 750 2 1 750 5 0
del lado izquierdo de la igualdad.
Se encuentra la primera solución tomando el signo positivodel 6 en la anterior ecuación, es decir:
x x2 15 1750 0− − =
b) x x2 15 1750− =
c) x x22
2
2
215152
1750152
− + = +
d) x − =152
72254
2
e) x − = ±152
852
f) x = ±152
852
g) x1
1002
50= =
h) x2702
35= − = −
152
852
1002+ =
Al torito por los cuernos
Relaciones funcionales y ecuaciones cuadráticas8
135
De nuevo, fiebre específica
“¿Cuánto calor se necesita para elevar la temperatura de 200 g de mercurio de 20 ºCa 100 ºC?”
El incremento de la temperatura es 100 ºC 2 20 ºC 5 80 ºC. (Se utiliza ºC parahablar de temperatura y Cº para referirse a intervalos de temperatura.) El calorespecífico del mercurio, de acuerdo con la tabla, es ;
finalmente la masa es m 5 200 g 5 0.2 kg; entonces, aplicando la fórmula
Q 5 m 3 c 3 DT, la cantidad de calor Q es:
Una última faena
1. Identifica en tu entorno dos o más cantidades —tanto variables como cons-tantes— que estén relacionadas de alguna forma. Plantea un problema en el cualinvolucres esas cantidades.
c 5 constante 5
x 5 variable 5
2. Utiliza los símbolos adecuados para expresar este fenómeno físico: “La fuerza deatracción de dos cuerpos es igual al producto de una constante k por el cocienteque resulta de dividir el producto de las masas de ambos cuerpos, por el cuadra-do de la distancia que los separa”.
SUGERENCIA. En el problema identifica qué cantidades varían y cuáles per-manecen constantes. Utiliza símbolos para representarlas y de este modo puedasplantear la igualdad (fórmula) entre tales cantidades.
3. Utiliza la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado para resolver laecuación:
4. Cierto número de personas compró un lote de libros en $1 200. El dinero quepagó cada quien excede en $194 al número de personas. ¿Cuántas personascompraron el lote de libros?
x2 5 1x
10
3
10
Q KgJ
Kg CC J=
×=( . )( )( )0 2 140 80 22400
0
140J
(kg 3 Co)
Progresímetroexperto
Texto del problema:
Forma, espacio y medida
Lección 9
136
Teorema de Tales
y homotecia
El fin y los medios
Nuestro reto es:
Y necesitamos...
• Entender el concepto de semejanza detriángulos y criterios de semejanza(Matemáticas 3, lección 6).
• Comprender el concepto de propor-cionalidad (Matemáticas 1, lecciones 7y 8).
Comprobar que una composición dehomotecias con el mismo centro esigual al producto de las razones.• Determinar el teorema de Tales mediante
construcciones con segmentos.
Aplicar el teorema de Tales en diversosproblemas geométricos.
• Determinar los resultados de unahomotecia cuando la razón es igual,menor o mayor que 1 o que 21.
Determinar las propiedades que per-manecen invariantes al aplicar unahomotecia a una figura.
Teorema de Tales y homotecia
La idea de la fotografía nace como síntesis de dos experiencias muyantiguas. La primera es el descubrimiento de que algunas sustancias sonsensibles a la luz. La segunda fue el descubrimiento de la cámara oscura.
Posiblemente nunca se sabrá con precisión quién descubrió la cámaraoscura y cuándo lo hizo; pero sí es posible asegurar que antes de que seutilizara para realizar imágenes fotográficas, se le consideró como unaherramienta útil para profundizar en el conocimiento. Por ejemplo, para
observar los eclipses sin exponer la vista.
En un principio se le usó con intereses científicos. Esto influyó en que conel paso del tiempo se perfeccionara. En nuestros días es un instrumento útil parala ciencia, pero también para el arte. Leonardo da Vinci diría de esta cámara:
Digo que si el frente de un edificio, o cualquier espacio abierto, iluminado por elsol tiene una vivienda frente a el mismo, y que si en la fachada que no enfrenta ael sol se hace una abertura redonda y pequeña, todos los objetos iluminadosproyectarán sus imágenes por ese orificio, y serán visibles dentro de la vivienda,sobre la pared opuesta, que deberá ser blanca, y allí estarán invertidos; y si se hacenaberturas similares en varios lugares de la misma pared se obtendrán idénticosresultados en cada caso. De donde se infiere que las imágenes de los objetos ilumi-nados están en toda la pared y todos en cada minúscula parte de ella. La razón esque este orificio debe admitir algo de luz en la ya mencionada vivienda, y la luzadmitida por él deriva de uno o de muchos cuerpos luminosos. Si éstos son de co-lores y formas, los rayos que forman las imágenes son de varios colores y formas,como también lo serán las representaciones en la pared.
Fuentes de internet
Información tomada de la páginadel ILCE y de: http://www.espaciosabiertos.com/historia1.html
Teorema de Tales y homotecia9
137
Un torito al ruedo
Cuando el resultado es lo de menos
—¿Y a ti por qué te gustan tanto las biografías de científicos y las anécdotas de susdescubrimientos? —le pregunta Natasha a Carlos, quien no sabe qué responder ysólo hace una mueca—. No sé cómo te puedes acordar de tantas historias y, lo mássorprendente, en qué momento las lees.
—Me sé algunas porque desde niño me ha gustado leer biografías. Peroreconozco que no soy tan bueno como ustedes en matemáticas. Me gustan, sí,pero no en abstracto, me interesa más saber cómo se llegó a un resultado o a unaecuación, ¿me explico? —dice Carlos dirigiéndose a sus compañeros del club—.Bueno, como habíamos quedado en que íbamos a proponer un problema en ver-dad difícil, les traigo uno que sí está grueso.
Cuando Carlos expone un problema o cuenta una historia, verdaderamente setransforma. Demuestra un aplomo inusual para su edad y se nota que lo disfruta,que se emociona y emociona a sus compañeros.
—¿Saben quién fue el primero en calcular la distancia de la Tierra al Sol y cómolo hizo? —pregunta Carlos, y sin esperar que nadie le responda, continúa—.Alrededor del año 260 a.C., el astrónomo griego Aristarco de Samos intentó medirlas distancias relativas de la Tierra al Sol y a la Luna. Su método fue muy inge-nioso. Observen el dibujo:
(Carlos pega en el pizarrón una cartulina y sigue con su relato.)
”Cuando la Luna está en cuarto creciente o en cuarto menguante, desde la Tierrase ve iluminada la mitad exacta del disco; en ese momento, el ángulo entre lasdirecciones Tierra-Luna y Luna-Sol es recto, o sea de 90º. Aristarco estimó que elángulo a entre las direcciones Tierra-Luna y Tierra-Sol, también en ese momento,era de 87º. Con esta información Aristarco concluyó que la distancia de la Tierraal Sol es 19 veces la distancia de la Tierra a la Luna.*
Luna
Tierra Sol
Y la pregunta es:
¿Cómo llegó Aristarco de Samos a esta conclusión?
* En realidad el Sol está 400 veces más lejos que la Luna. Este error tan grande de Aristarcose debió a la enorme dificultad para estimar el verdadero valor del ángulo a, pero elmétodo utilizado fue genial para su época y se aplicó posteriormente con estimacionesmucho más precisas.
Progresímetroaxiomático
Forma, espacio y medida
138
Tendiendo las redes
En el bloque anterior estudiaste el concepto de semejanza de figuras (triángulos,cuadriláteros, etc.). La proporcionalidad de lados que se presenta en los triángulossemejantes se relaciona con el paralelismo de algunos lados de los triángulos; larelación se establece en el teorema de Tales, uno de los temas de esta lección. Comointroducción a este tema conviene realizar la siguiente actividad.
MANOS A LA OBRA
Construcción de triángulos semejantes
1. Se necesitan dos conjuntos de tres tiras de madera cuya longitud sea proporcional. Por ejemplo:
2. ¿Por qué las tres tiras de madera de la izquierda son proporcionales a las tres tiras de la derecha?
3. Elige otras dos parejas de ternas proporcionales diferentes de las mostradas arriba y sigue el ejemplo.
4. Construye con cada terna de tiras un triángulo; procura que los lados del triángulo queden de la longituddada. Por ejemplo, con las tiras de madera de arriba se forman estos dos triángulos:
3 cm
5 cm
6 cm
4.5 cm
7.5 cm
9 cm
3 cm 5 cm
6 cm
4.5 cm 7.5 cm
9 cm
Teorema de Tales y homotecia9
139
5. Coloca un triángulo sobre el otro haciendo que coincidan en alguno de sus ángulos. Estos dibujos repre-sentan las tres posibilidades:
6. Toma como ejemplo este último triángulo. Cópialo en tu cuaderno formando dos triángulos —como semuestra en el dibujo de abajo— e identifica sus vértices:
Responde:
¿Estás de acuerdo en que los DABC y DA'B'C' son semejantes?
¿Por qué?
La propiedad geométrica más relevante de las rectas que contienen los y es que son:
C 5 C’
A’B’
B A
Sí
Separados Iguales Paralelos
No
¿Por qué?
AB A'B'
Forma, espacio y medida
140
En la figura se observa el DABC y una recta JK paralela al lado BC, donde J y K son los puntos en los que seinterseca la recta paralela con los lados del triángulo.
El teorema de Tales asegura que como los y son paralelos, entonces se cumple que .
DE BUENA FUENTE
Teorema de Tales
A
CB
J K
AGUZANDO EL INGENIO
1. Reúnete con dos compañeros y discutan de qué manera la fórmula anterior permite hallar un cuarto valorsi se dan los otros tres. Encuentren las longitudes que se piden:
a) A
C
B
K
JAB
JK BC
ACAJAK
= 5
= 7= 2.5=
es paralela a
Expliquen cómo obtuvieron el resultado:
b) A
B
C
J
K
L
AB
JK BC
= 5 cm
BC = 8.04 cm
AC = 7 cm
AJAB
=
es paralela a
KL ABes paralela a
JL ACes paralela a
12
¿Cuáles son las dimensiones del DJKL?
Expliquen cómo obtuvieron el resultado:
5AJ
AB
AK
ACJK BC
Teorema de Tales y homotecia9
141
c)
2. Utilicen una regla graduada y compás para dibujar en su cuaderno una figura como la que se presentaabajo y que cumpla las condiciones que se piden:
3. Dados el DABC y el punto P en el lado AB, tracen una paralela al lado BC que pase por P.
a) Considerando el DACE, calculen el .b) Calculen el y luego el .
Expliquen cómo obtuvieron el resultado:
A
B C
K
L
AB
AB KL
= 6 cm
AC = 12 cm
BC = 9 cm
BL =
AK =
BLBC
=
es paralela a
13
Con base en los datos (no en el dibujo) ¿Cuántomiden:
B
C
E FDA
DE BUENA FUENTE
Recíproco del teorema de Tales
Considera un DABC. Si un punto P divide al y un punto Q divide al de manera que , entoncesla recta que contiene al PQ es paralela a la recta que contiene al :
A
P
B
Q
C
AB BCBC
5AP
PB
AQQC
AB
AF EF
Forma, espacio y medida
142
AGUZANDO EL INGENIO
1. Supón que los segmentos tienen las medidas indicadas. ¿Son paralelos y ?
2. En el DPQR se han indicado las dimensiones de sus lados y, también, las de los lados y del DSQT.¿Son paralelos los y ?
D
30 20
C
B
E
6040
A70
60
35
35
15
Q
S T
RP
85
División de un segmento en partes iguales
¡Ni con teodolito!
Jaime y Marcela tienen un compás y un juego de escuadras (sin graduación).El maestro de matemáticas les pide que dividan un segmento en tres partes
iguales. No disponen, por cierto, de ningún otro instrumento de medición:
¿Cómo pueden dividirlo?
Sigue las instrucciones para lograrlo:
1. Toma el como el lado de un triángulo con vértices A, B y C, donde el vér-tice C se determinará en forma conveniente.
2. Traza una semirrecta desde A:
A B
A B
DE
QS QT
BA
ST PR
AB
Teorema de Tales y homotecia9
143
3. Con cualquier abertura del compás, marca tres distancias iguales sobre la semirrec-ta, partiendo del punto A. Al final de ellas se marca el punto C. Se forma entoncesel DABC:
4. Traza paralelas al que pasen por las otras dos marcas que se hicieron en la semi-rrecta:
Las paralelas dividen al en tres partes iguales. ¿Puedes explicar por qué?
AB
C
A B
C
División de un segmento en una razón dada
Considera el y un punto P sobre él, como se muestra en la figura:
Se dice que el punto P divide al en la razón r 5 . En la sección “División de un segmento en partesiguales”, por ejemplo, el segmento se dividió en tres partes iguales; si P es el primer punto de la división y Qel segundo:
DE BUENA FUENTE
A BP
A BQP
BC
AB
AB
ABAP
PB
Forma, espacio y medida
144
Entonces, P divide al en una razón de r 5 , se lee “P divide al en una razón de 1 a 2”. Por otra
parte, Q divide al segmento en la razón r '5 5 2.
¿Cómo se divide un en una razón r 5 ?
Sigue las instrucciones para lograrlo:
1. Divide el en a 1 b partes iguales.
2. Toma a partes a partir de punto A. El extremo derecho de la a-ésima parte es el punto que divide al
segmento en la razón r 5 .
1
2
4
1
1
0.25
a
b
a
b
a
b
2
1
—Aquí, el único que tiene la razón es el segmento
Encuentra el punto S que divide al en una razón de 1 a 0.25.
SOLUCIÓN
La razón es r 5 . Esta razón NO está dada en la forma , donde a y b son nú-
meros enteros. Pero se puede transformar multiplicando y dividiendo por 4:
Sabiendo que r 5 , se pueden seguir estos pasos:
1. Dividir el segmento en 5 (5 5 4 1 1) partes iguales:
2. Se cuentan cuatro subsegmentos a partir de P; S es el extremo derecho del cuartosubsegmento:
Entonces, S divide a en una razón r 5 4 .
P Q
M N
P Q
r 51
0.25
4
1
1 3 4
0.25 3 45 5
P QS
AGUZANDO EL INGENIO
1. Encuentra los puntos P, Q, R, S y T que dividan, respectivamente, en una razón de 1 , , , y
al . (Copia el segmento en tu cuaderno y trabaja ahí.)
2
3
3
5
4
7
5
7
AB AB
AB
PQ
PQ
MN
AB
Teorema de Tales y homotecia9
145
División de un segmentoen una razón negativa
Considera un y un punto P ubicado sobre la recta que determina el , pero fuerade éste. (Observa la figura de abajo.)
Se dice que P divide al en la razón r 5 , pero como y se toman ensentido contrario, r es un número negativo. Por ejemplo, en la siguiente figura, elpunto P se ha colocado a una distancia de B de , la razón en la que P divide a
es r 5 5 5 23.5.
En cada inciso determina la razón con la que el punto P divide al :
a)
c) Encuentra los puntos P y Q que dividan al en las razones 2 y 23,respectivamente.
A B P
A B P
A B P
b)
P A B
2
57
22
1
2
Homotecia
El niño de cabeza, por favor
Boris acompaña a su papá, que es fotógrafo, a tomar fotos en un bautizo. Después dehaber gastado dos rollos, el papá le explica a su hijo:
—La imagen que se refleja en una película fotográfica, cuando se enfoca a travésde la cámara, es idéntica a la original pero de diferente tamaño e invertida, es decir,de cabeza. ¿Te queda claro, hijo?
—Pues más o menos, papá —responde Boris, queriendo entender algo más.
¿Cómo se forma esta imagen y por qué está invertida?
AB
AB
AB
AB
AP
PB
AP
PB
AP PB
AB
AB
MN
Forma, espacio y medida
146
La cámara oscura es una caja en forma de paralelepípedo con un pequeño orificio en una de sus caras. Losrayos de luz reflejados por los objetos del exterior entran a través del orificio y se proyectan en la pared opues-ta formando una imagen invertida.
Fue en la antigua Grecia donde surgió la preocupación por encontrar una explicación para este fenómenoóptico. Esto condujo a observar los efectos de la luz en todas sus manifestaciones. Aristóteles construyó laprimera cámara oscura de la que se tiene noticia en la historia.
Para mejorar tu conocimiento sobre la cámara oscura lleva a cabo la siguiente actividad.
DE BUENA FUENTE
Eclipse solar observado en Lovaina mediante una cámara oscura, 1544.
MANOS A LA OBRA
En equipo construyan una cámara oscura (también llamada caja negra).
MATERIAL
• Una caja de cartón de un horno de microondas o de otro aparato electrodoméstico. Debe medir aproxi-madamente 50-80 cm de largo por 50 cm de alto y 50 cm de ancho.
• Hojas blancas tamaño carta u oficio para cubrir el interior de la cara opuesta en que estará el orificio.
• Cinta aislante negra de por lo menos 5 cm de ancho para tapar todas las rendijas de la caja con objeto deque no entre luz por ningún lado.
• Tijeras o cúter.
• Bolsas de basura negras tamaño jumbo o de tela, pero de malla cerrada y gruesa, para cubrir la entrada dela cabeza.
Orificio o diafragma de
0.5 cm
Pantalla interior forrada de hojas de papel blanco
La cabeza no debetapar el orificio y debe mirar hacia la pantalla
Teorema de Tales y homotecia9
147
INTRUCCIONES
1. Hagan un orificio (no mayor de 0.5 cm de diámetro) unos 5 cm más arriba del centro de una de las carasfrontales menores de la caja.
2. En la parte inferior de la caja y cerca de la pared donde está el orificio, hagan un agujero circular de unos20 cm de diámetro para introducir la cabeza. Cubran el agujero con la bolsa de plástico de modo que puedan introducir la cabeza y, a su vez, impedir la entrada de luz (vean la figura).
4. Sellen perfectamente todas las orillas y ranuras en la caja.
5. Ahora salgan al patio y observen diferentes objetos. Vayan con sus compañeros de equipo y digan en vozalta lo que observan. Uno debe ayudar al que está adentro de la cámara oscura para que no se tropiece y el otro tiene que apuntar lo que dice él.
Es importante que:
6. Después, intercambien de lugar para que todos estén dentro de la cámara por lo menos una vez.
a) observen un objeto que quede bien enfocado,
b) se acerquen al objeto unos pasos y vean qué pasa con la imagen,
c) se alejen del objeto y vean qué pasa esta vez con la imagen, y
d) dicten sus observaciones al compañero que está escribiendo.
Desmenuzando la homoteciaBoris está contándoles a sus compañeros de Sigma Six lo que su papá le explicó sobrela imagen reflejada en una película fotográfica:
—Lo que no logro entender bien-bien es que la imagen se invierta, así queinvestigué algunas cosas —explica dirigiéndose en particular a Carlos, como siéste lo fuera ayudar en cualquier momento—. Les voy a leer un pedacito de loque encontré: “La imagen que se forma en la cámara oscura es homotética a laoriginal y el centro de homotecia es el orificio de la cámara oscura. Unahomotecia es una trasformación geométrica que, a partir de un punto fijo,multiplica todas las distancias por un mismo factor. Es una reducción o ampli-ficación en combinación o no con una simetría”. ¿Entendieron todo? —les pre-gunta a sus amigos esperando tal vez que lo ayuden un poco.
—Pues sí; bueno, todo-todo, no. Tenemos que estudiar con más detenimiento este concepto —diceAlessandra que, en muchas ocasiones, rescata el sentido común del club.
DE BUENA FUENTE
Forma, espacio y medida
148
AGUZANDO EL INGENIO
1. Sigue las instrucciones:
2. Ahora realiza lo siguiente y responde las preguntas que se plantean:
a) Dibuja un triángulo ABC cualquiera en tucuaderno y un punto O a su derecha, como semuestra en la figura de la derecha:
b) Traza líneas rectas que conecten O y A, O y B, y O y C.
c) Sobre la recta OA marca un punto A' de modo que OA' 5 2 OA.d) Haz lo mismo para B y C, y llama a los puntos que encuentres B' y C', respectivamente.
e) Observa que por construcción: 5 5 5 2.
Tu dibujo debe verse como éste:
a) Mide los y , y escribe las medidas:
b) Obtén el cociente de A'B' entre AB y escríbelo:
c) Haz lo mismo con A'C' y AC, y con B'C' y BC.
d) ¿Cómo son los cocientes A'B' entre AB, A'C' entre AC y B'C' entre BC ?
e) ¿Cómo interpretas este hecho, desde el punto de vista de los tríangulos A'B'C' y ABC?
f) ¿Cómo son entre sí los y , y , y y ? (Para responder aplica el teorema deTales.)
A
0
B
C
A
B
C
C'
B'
A'
0
OA'
OA
OB'
OB
OC'
OC
AB
AB A'B' BC B'C' AC A'C'
A'B'
3. Realiza otra vez la misma actividad, pero estavez tomen A' del lado derecho de O, como en lafigura que se muestra a la derecha. Para estafigura respondan las preguntas a–d.
A
B
C
C''
B''
A''O
Teorema de Tales y homotecia9
149
Observa que en la figura de arriba OA y O'A' tienen sentidos opuestos. Para expresar esto se dice que
5 22. (El signo menos indica que OA y O'A' tienen sentidos opuestos.)
Lo mismo sucede con OB y O'B' y con los demás segmentos, incluso con AB y A'B', AC y A'C', y con BC yB'C'.
a) Señala si los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes (completa los espacios): ,porque
b) ¿Cuál es la razón de proporcionalidad que existe entre los lados del triángulo ABC y los del triánguloA'B'C'. (Considera el signo de los segmentos.)
OA'
OA
c) ¿Qué semejanzas y qué diferencias existen entre la relación de los triángulos de las dos figuras anteriores?
d) En cada caso, indica en qué se parecen el triángulo ABC y el triángulo A'B'C' y en qué se diferencian.
Si se tienen dos puntos P y O cualesquiera y un númerok, y sobre la prolongación del se toma un punto P' talque 5 k, se dice que O es el centro de homotecia, queP y P' son puntos homólogos con respecto a O y que larazón de homotecia es k. Por ejemplo, en la figura quesigue P y P' son homólogos con respecto a O y la razónde homotecia es igual a 2. (OP' es el doble que OP.)
DE BUENA FUENTE
Centro de homotecia, puntoshomólogos y razón de homotecia
OP'
OPP'PO
OP
En la siguiente figura P y P' son homólogos conrespecto a O y la razón de homotecia es 21.5 (OP' mide1.5 veces OP y tiene sentido opuesto).
POP'
Discutan en su equipo qué pasa con P' si k . 0 y quépasa si k , 0.
También se pueden considerar razones de homoteciamenores que 1 y 21. En este caso OP' es menor que OP.
Por ejemplo, en la siguiente figura la razón dehomotecia es 20.5 (OP' mide la mitad de OP y tiene sen-tido opuesto).
POP'
Forma, espacio y medida
150
En la figura la razón de homotecia es (OP' mide dosterceras partes que OP):
Junto con tu maestro y el resto del grupo traten de sacar algunas conclusiones de lo que han observado.
PP'O2
3
AGUZANDO EL INGENIO
En parejas consideren la figura que se muestra abajo:
1. Obtengan la razón de homotecia k 5 .
2. Obtengan y . ¿Qué observan?
OA'
OA
OB'
OB
OC'
OC
B
C C‘B‘
A‘
A
0
Dos triángulos ABC y A'B'C' son homotéticos con respecto a O y la razón de homotecia es k, si
5 5 5 k
DE BUENA FUENTE
OA'
OA
OB'
OB
OC'
OC
AGUZANDO EL INGENIO
1. En la figura, el triángulo A'B'C' es homotético al triángulo
ABC con respecto a O y la razón de homotecia es k 5 2.(Compruébalo midiendo OA y OA', OB y OB', y OC y OC'.
Calcula los cocientes , , .)
AA’
B
B’
C
0
C’
2. En la siguiente figura, el triángulo A'B'C' es homotéti-co al triángulo ABC con respecto a O si la razón dehomoteciak 5 22. Compruébalo. A A’
B
0
C
C’
B’
OA'
OA
OB'
OB
OC'
OC
3. Coloca una 4en el recuadro correspondiente para indicar si la afirmación es VERDADERA o FALSA.Argumenta tu respuesta:
b) Cuando la razón de homotecia es negativa, entonces AB y A'B', AC y A'C', y BC y B'C' tienen signosopuestos y los triángulos ABC y A'B'C' están en lados opuestos de O y en posición invertida.
a) Si la razón de homotecia es negativa, los lados AB, BC y CA tienen el mismo signo que A'B', B'C' yC'A', y los triángulos ABC y A'B'C' están en el mismo lado de O y en la misma posición.
Teorema de Tales y homotecia9
151
Verdadero Falso
¿Por qué?
Verdadero Falso
¿Por qué?
c) Si el valor absoluto de k es mayor que 1, el triángulo ABC es más grande que el triángulo A'B'C'.
Verdadero Falso
¿Por qué?
d) Cuando el valor absoluto de k es mayor que 1, entonces el triángulo ABC es más pequeño que eltriángulo A'B'C'.
Verdadero Falso
¿Por qué?
e) Si k es positiva, los lados correspondientes de dos triángulos homotéticos, cuya razón de homoteciaes k, son paralelos.
Verdadero Falso
¿Por qué?
f) Si k es negativa, los lados correspondientes de dos triángulos homotéticos, cuya razón de homoteciaes k, NO son paralelos.
Verdadero Falso
¿Por qué?
4. Los rayos de luz que pasan por el orificio O en la cámara oscura se pueden representar mediante unahomotecia:
Explica por qué se invierte la imagen en unacámara oscura.
AA
A’A’
BB
CC
C’C’
B’B’0
Cámara oscura
Al torito por los cuernos
Forma, espacio y medida
152
De nuevo cuando el resultado es lo de menos Para calcular la distancia al Sol S en términos de la distancia a la Luna se utilizaun triángulo semejante al triángulo formado por la Tierra, la Luna y el Sol.
A continuación, se traza un triángulo cuyo ángulo en L es recto y el ángulo enT es a 5 87º, las mismas dimensiones de los ángulos que Aristarco midió:
Explica cómo se puede usar el triángulo anterior para llegar a la conclusión deAristarco, a saber: que la distancia de la Tierra al Sol es 19 veces la distancia de laTierra a la Luna.
1. Un cálculo más preciso del ángulo que se forma entre la dirección Tierra-Lunay la dirección Tierra-Sol es a 5 88.6º. A continuación, se presentan las dimen-siones de un triángulo recto cuyo ángulo LTS 5 88.6º:
2. Calcula los segmentos que se piden:
Con estos datos, ¿cuántas veces se debe repetir la distancia de la Tierra a la Lunapara completar la distancia de la Tierra al Sol?
23.94 cmL
T0.6 cm
23.95 cmS
A
B C
K
L
AB
AB KL
= 6 cm
AC = 12 cm
BC = 9 cm
BL =
AK =
BLBC
=
es paralela a
13
Con base en los datos (no en el dibujo) ¿Cuántomiden:
14.31 cmL
T
0.75 cm14.33 cm
S
Una última faena
Progresímetroaxiomático
Teorema de Tales y homotecia9
153
3. Encuentra la figura homotética a la que se muestra, con respecto a O, y cuya razón de homotecia es k 5 3.Encuentra el homólogo de cada punto de la figura original y luego únelos.
4. Indica el centro y la razón de las dos homotecias (una positiva y otra negativa) que transforman eltrapecio pequeño en el grande.
5. Boris recordó un problema que encontró en el libro Cómo plantear y resolver problemas, de György Pólya,que lo impresionó porque aparentemente no tiene nada que ver con la homotecia y sin embargo esta he-rramienta se utiliza para resolverlo. El problema es éste: “Inscribe en el triángulo ABC un cuadrado, esdecir, determina los vértices del cuadrado (los vértices deben estar sobre los lados del triángulo)”.
A
B
0
D
CE
A
C
B
Manejo de la información
Lección 10
154
Nicole Oresme: fundador de larepresentación gráfica en matemáticas
Nicole Oresme fue uno de los matemáticos más prominentes en la Edad Media.Nació en Normandía (Francia) hacia 1320. De cuna humilde, su inteligencia ydedicación al estudio le valieron inicialmente una beca en el bachillerato deNavarra, y posteriormente cargos de alta jerarquía en la corte del rey Carlos V.Oresme tradujo del latín al francés la Política de Aristóteles, dándole una libreinterpretación al pensamiento del Estagirita para adaptarlo a la política de su tiem-po. Este trabajo fue de gran importancia para la época, pues Oresme tomó del latínmuchas palabras nuevas que desde entonces quedaron consagradas para su uso enmatemáticas y en economía. El espíritu liberal de Oresme rebasó con mucho elnivel intelectual de su época, y anunció las posibilidades creativas de los hom-bres del Renacimiento. Las principales contribuciones de Oresme a las matemáti-
cas están contenidas en su libro Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum(Tratado sobre las configuraciones de las cualidades y los movimientos). En estetrabajo Oresme concibió la idea de utilizar coordenadas rectangulares (lati-tudes y longitudes), y las resultantes figuras geométricas, para distinguir entredistribuciones uniformes y no uniformes de diversas cantidades. Oresme ayudóa establecer los fundamentos que posteriormente conducirían al descubrimien-
to de la geometría analítica de Descartes.
Representación
gráfica de relaciones
entre variablesEl fin y los medios
Nuestro reto es: Y necesitamos...
• Observar relaciones de dependenciaentre una magnitud y otra para trazarla gráfica que le corresponde.
• Reconocer las gráficas de relaciones fun-cionales asociadas a expresiones alge-braicas lineales y no lineales.
• Interpretar, construir y utilizar gráficasde relaciones funcionales no linealespara modelar diversas situaciones ofenómenos.
• Establecer la relación que existe entre laforma y la posición de la curva de fun-ciones no lineales y los valores de las li-terales de las expresiones algebraicas quedefinen a estas funciones.
• Interpretar y elaborar gráficas formadaspor secciones rectas y curvas que modelansituaciones de movimiento y llenado derecipientes.
Fuentes de internet
El texto sobre Nicole Oresme estábasado en extractos de dos sitiosen Internet:http://www.bmlisieux.com/normandie/oresme.htm y http://www.britannica.com/eb/article-9057342/Nicholas-Oresme
Representación gráfica de relaciones entre variables10
155
Un torito al ruedo
Actuando bajo presión
En el curso de física están viendo el tema de gases ideales.
Alessandra les propone a Natasha y Miguel que estaría bien que empezaran aestudiar ese tema por su propia cuenta.
—Mi hermana me prestó un libro de fisicoquímica y ahí encontré la ley deBoyle —Alessandra toma el libro y lee—: “El volumen de cualquier cantidaddefinida de gas a temperatura constante varía de forma inversamente propor-cional a la presión del gas”. Además viene una ecuación —y escribe en el pizarrónesta fórmula:
V 5
”Donde V es el volumen del gas, P la presión y K una constante que dependede la temperatura” —termina de exponerles a sus compañeros.
—Todo eso me queda más o menos claro, pero las gráficas que siguen estánpeliagudas, ¿no crees? —dice Natasha, que ha empezado a hojear el libro de fisi-coquímica de la hermana de Alessa; Carlos ve también las mismas gráficas y sólomueve la cabeza un poco desconcertado.
K
P
15
10
5
5 10 15
T 5 1000 K
P(e
nat
mó
sfer
as)
V (en litros)Gráficas de isotermas de P vs. V de acuerdo con la ley de Boyle (1 mol de gas)
T 5 800 KT 5 600 KT 5 400 KT 5 200 K
20 25
Y la pregunta es:
¿Cómo se construyen las gráficas de isotermas del esquema de arribaa partir de la ley de Boyle?
Progresímetroautónomo
Manejo de la información
156
Tendiendo las redes
En el libro Matemáticas 1 —de esta misma serie— se revisó la construcción de una gráfica a partir de listas dedatos o de tablas de valores. Si, por ejemplo, en la tabla aparecen asociados los números 2 y 3, a dicha pare-ja de valores se le hace corresponder con el punto del plano M(2, 3), en donde 2 es el valor de la abscisa y 3el de la ordenada, como se muestra abajo en la tabla y en la gráfica:
En las tablas que se ven en esta lección aparecen valores asociados entre sí por medio de una regla de corres-pondencia. Considera, por ejemplo, las tablas de valores que aparecen en la lección 8 de este mismo volumen.Recuerda que en los problemas de la sección “Aguzando el ingenio”, pp. 124 y 125, se pidió, en primer térmi-no, elegir la expresión que describiera de mejor manera la relación funcional en juego. En segundo lugar, sedebía llenar una tabla con los valores numéricos obtenidos luego de aplicar la expresión algebraica elegida.
En los contextos de los problemas de esa sección, las expresiones algebraicas desempeñan el papel de reglasde correspondencia pues, en general, a un valor dado le hacen corresponder un nuevo valor. Así, el primerproblema de la sección mencionada plantea:
1. El precio (p) de un producto depende de la oferta (o). A partir de un precio tope (C), el precio disminuyesi la oferta aumenta:
DE BUENA FUENTE
x 2 … …
y 3 … …
o 100 200 300 400 500 600 700 800 900
p
Gráfica cartesiana en la que se muestra la ubicación del punto M de abscisa 2 y ordenada 3
y
x
M (2, 3)
1
1
a) p 5 C 1 o b) p 5 C 3 o c) p 5 C 2 o d) p 5 Co
La oferta se da en unidades de un producto, o sea, el número de unidades que se ponen a la venta en elmercado; C es un precio y se da en pesos, supongamos que C = $1 000. Encuentra los precios del pro-ducto al crecer la oferta:
Representación gráfica de relaciones entre variables10
157
Una solución a este problema puede ser:
2. Se elige la fórmula p5 C 2 o, pues es la única que satisface que el precio tope disminuya si la oferta aumenta.Así, los valores con que se llena la tabla son:
Como C 5 1 000, entonces si o 5 100, p 5 1 000 2 100 5 900
si o 5 200, p 5 1 000 2 200 5 800
si o 5 300, p 5 1 000 2 300 5 700
si o 5 400, p 5 1 000 2 400 5 600
Finalmente, en la tabla aparecen estos valores:
Tales listas de valores forman parejas ordenadas: (100, 900), (200, 800), (300, 700), (400, 600), (500, 500),(600, 400), (700, 300), (800, 200) y (900, 100). Las parejas se ubican en el plano cartesiano formandoentonces los puntos de una gráfica. En la gráfica del lado izquierdo se marcan únicamente los puntos, y en ladel lado derecho, se traza una línea que une los puntos:
La gráfica de la derecha aumenta el número de puntos que, aunque no se tabularon, sí cumplen laecuación; por ejemplo, si x 5 155.7, la otra coordenada es y 5 844.3. A la acción de agregar o encontrar lospuntos que están entre dos puntos dados de una gráfica se le llama interpolación.
En síntesis, cada punto en la gráfica se forma por la asociación del primer valor de cada pareja con un valoren el eje de las abscisas, y por la asociación del segundo valor de la pareja con un valor en eje de las orde-nadas. Una vez graficados los puntos de la tabla se realiza una interpolación para ofrecer una imagen máscompleta de la gráfica.
o 100 200 300 400 500 600 700 800 900
p 900 800 700 600 500 400 300 200 100
Pre
cio
(p)
Oferta (o) Oferta (o)
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
(200, 800)
(100, 900)
(300, 700)
(400, 600)
(500, 500)
(700, 300)
(800, 200)
(900, 100)
(600, 400) Pre
cio
(p)
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
(155.7, (844.3)
Variable independiente y variable dependiente
En matemáticas, suele trabajarse con funciones que contienen las variables x y y. Losvalores de x corresponden a los de la variable independiente, en tanto que los valoresde y a los de la variable dependiente, puesto que al ir asignando valores a x se obtienenvalores de y. En el ejemplo del precio de un producto que depende de la oferta, a o sele dieron los valores de 100, 200, 300, etc., y por medio de cálculos se obtuvieron va-lores para p : 900, 800, 700, etc. (Vean las tablas y gráficas de arriba.) En este caso, oes la variable independiente y p la variable dependiente.
Manejo de la información
158
AGUZANDO EL INGENIO
1. Retoma los problemas 2-5 de la sección “Aguzando el ingenio” de la lección 8 de este mismo volumen,pp. 124 y 125. Después de elegir la expresión algebraica adecuada y llenar la tabla correspondiente:
a) Traza la gráfica asociada a las parejas de valores de la tabla.
b) Responde, en cada caso, cuál es la variable independiente y cuál la variable dependiente.
AGUZANDO EL INGENIO
1. ¿Cuál es la gráfica del crecimiento de la población en México? Según datosdel INEGI, el crecimiento de la población en México —de 1950 a 2005— se hacomportado de esta manera:
2. Durante 1999 la población en el mundo llegó a los 6 000 millones de habitantes. Se predice que la tasade crecimiento promedio anual será de 2%.
a) ¿Cuál es la variable independiente y cuál la variable dependiente?
b) Construye una tabla de valores y traza la gráfica correspondiente.
c) Encuentra una expresión algebraica que modele la situación de crecimiento de la población según lascantidades dadas.
Bosqueja una gráfica con esta información. ¿Cuál es la variable independiente y cuál la dependiente?
Esto significa que, de 0 g a 1 kg, el precio es de $233.04. Si el peso de los docu-mentos es mayor a 1 kg (digamos, 1.01 kg) pero menor o igual a 2 kg, el precioserá de $250.44. Si el peso rebasa los 2 kg (por ejemplo, 2.01 kg) pero es menor oigual a 3 kg, el precio será de $261.74, etc. ¿Cuál es la gráfica que corresponde a talinformación? ¿Cuál es la variable independiente y cuál la dependiente? ¿Cuálesson las reglas de correspondencia o las expresiones algebraicas (por ejemplo, porsegmento)?
Pierda peso y gane pesos
En julio del 2007, las tarifas de cierto servicio particular de entrega inmediata inter-nacional de documentos eran:
Kilogramos 1 2 3 4 5 6 7 8
Precio 233.04 250.44 261.74 286.09 307.83 326.09 346.09 358.26
Año 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2005
Población 25 791 017 34 923 129 48 225 238 81 249 645 91 158 290 97 483 412 103 263 388
Fuentes de internet
DHL, consultado en la página:http://www.dhl.com.mx/publish/content/mx/es/productos___servicios/servicios_de_mensajeria/servicios_nac_nuevos/TDDEntregaGarantizada830.low.html
Fuentes de internet
http://www.inegi.gob.mx/est/contenidos/espanol/rutinas/ept.asp?t=mpob01&c=3178
Representación gráfica de relaciones entre variables10
159
Gráficas de funciones no lineales
En segundo grado aprendiste que la ecuación de una recta en el plano tiene la forma y 5 ax 1 b, donde a y bson constantes, mientras que x y y son variables (independiente y dependiente, respectivamente). Es más, enla lección 10 de Matemáticas 2 se resolvieron problemas que indican cómo son las gráficas de las rectas deacuerdo con los valores de a y b. En las gráficas se pueden ver las relaciones:
La ecuación y 5 ax 1 b es sólo un tipo de función; hay muchos más. En esta sección realizarás actividades
que conducen a resultados análogos a los encontrados con la función y 5 ax 1 b, pero con funciones de las
formas: y 5 ax2 1 b y 5 ax 31 b y 5 a 1 b
DE BUENA FUENTE
y 5 x 1 3 y 5 2x
y 5 x
y 5 x
y 5 x
y 5 x 2 212
1
x( )
MANOS A LA OBRA
En equipos lean y discutan la información para llevar a cabo lo que se pide:
1. Observen que la tabla de la función y 5 x2 es:
Si se grafican los puntos anteriores y se hace una inter-polación conveniente (es decir, no con segmentos derecta sino con pedazos de curva), la gráfica tiene estaforma:
x 0 1 2 3 4
y 16 9 4 1 0 1 4 9 16
24 23 22 21
–1 10 2 3 4 5 6 7 8 9–2–3–4–5–6–7–8–9
1
23
45678910
11
1213
1415
Manejo de la información
160
a) Completen la tabla para la función y 5 x 2 1 3.
x 0 1 2 3 4
y
24 23 23 21
b) Completen la tabla para la función y 5 x 2 2 4.
x 0 1 2 3 4
y
24 23 22 21
c) Completen la tabla para la función y 5 x 2 .
x 0 1 2 3 4
y
24 23 22 21
1
2
1
2
d) Completen la tabla para la función y 5 2x 2.
e) Dibujen en su cuaderno un plano coordenado y bosquejen las gráficas de cada una de las funciones(incisos a-d).
b) Completen la tabla para la función y 5 x 3 .
d) Completen la tabla para la función y 5 2x3.
2. a) Completen la tabla con valores de la función y 5 x 3 . (Utilicen su calculadora.)
x 0 1 2 3 4
y
24 23 22 21
x 0 1 2 3 4
y
24 23 22 21
x 0 1 2 3 4
y
24 23 22 21
x 0 1 2 3 4
y
24 23 22 21
x 0 1 2 3 4
y
24 23 22 21
c) Completen la tabla para la función y 5 x 31 5.1
2
Representación gráfica de relaciones entre variables10
161
e) Completen la tabla para la función y 5 2x 3 2 15.
f) Bosquejen en el plano coordenado que se presenta a continuación las gráficas de las funciones dadasen los incisos a-d.
3. Redacten un informe de lo que realizaron en los dos puntos anteriores de esta actividad; asimismo,indiquen cómo graficar funciones de la forma:
y 5 ax2 1 b y y 5 ax3 1 b
conociendo los valores de a y b, y las funciones y 5 x2 y y 5 x3, respectivamente.
x 0 1 2 3 4
y
24 23 22 21
5
0
25
21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102223242526272829210
10
210
15
215
220
225
20
25
Yo interpolo, tú interpolas, él…—¿Cómo será la gráfica de la función y 5 ? —le pregunta Boris a Natasha.
—Pues no me parece que deba tener una forma especial —contesta Natasha conla seguridad que la caracteriza.
—Yo no recuerdo que hayamos visto una función así o más o menos parecida—interviene Carlos y sin pensarlo mucho propone—: ¿Y por qué no mejor la grafi-camos y resolvemos la controversia?
Cada quien tomó lápiz y papel, y tabularon los datos que se muestran abajo:
x 1 2 3 4 5
y 1 0.5 0.33 0.25 0.2
2425 23 22 21
20.2520.2 20.33 20.5 21
1
x
Manejo de la información
162
Graficaron los anteriores puntos, pero cada quien hizo interpolaciones diferentes.Éstas son las gráficas que propuso cada uno:
¿Quién trazó la gráfica correcta?
Interpolación de Natasha Interpolación de Boris Interpolación de Carlos
AGUZANDO EL INGENIO
1. Para conocer mejor la función y 5 conviene calcular los valores de la función cuando x toma valoresfraccionarios entre 21 y 1; por ejemplo, cuando x vale: 2 , 2 , 2 ,2 , , , , ; llena lasiguiente tabla (utiliza tu calculadora):
2. a) Ahora completa la tabla para la función y 5 .
Bosqueja en el plano cartesiano la función y 5 utilizando las parejas de la anterior tabulación y lospuntos de la tabulación de la p. 161.
1
x
1
2x
1
x
1
2
1
3
1
4
1
5
1
5
1
4
1
3
1
2
x
y
1
5
1
4
1
3
1
2
1
5
1
422
1
32
1
22
x
y
1
2
1
3
1
4
1
524 23 22 21 2 2 2 2
1
–1
–2
–3
–4
2
3
4
–1 10 2 3 4–2–3–4
Representación gráfica de relaciones entre variables10
163
y 1 2 3 4
x
1
5
1
4
1
3
1
2
b) Grafica los anteriores puntos en el plano cartesiano del problema 1 de esta sección.
c) Haz lo mismo que en los inciso a y b, pero para la función y 5 .
3. En el plano cartesiano de la derecha, las gráficas hiperbólicas se han identificado con las letras A, B, C. A
y la gráfica A le corresponde la expresión y 5 .
Señala a qué pareja de expresiones le corresponde la gráficaB y a cuál la C.
y 5
2
x
1
x
1
2xy 5
2
x
y 51
3xy 5
3
x
1
–1
–2
2
3
4
–11 2 3 4
A
A
C
C
–2–3–4
–4
–3
B
B
Movimiento rectilíneo y gráficas
Acercando la lejanía
Un móvil se desplaza del extremo izquierdo (O) al extremo derecho (Q) sobre la línearecta. El móvil se representa con el punto P. Observa que, a medida que P se mueve,las distancias de P a A y de P a B también cambian.
a) (Distancia de P al punto A, distancia de P al punto B)
b) (Distancia de P al punto O, distancia de P al punto A)
c) (Distancia de P al punto O, distancia de P al punto B)
d) (Distancia de P al punto O, (distancia a A 1 distancia a B)
¿Qué gráfica le corresponde a cada uno de los conjuntos de puntos descritos arriba?
O
A
P
B
Q
1
2
Manejo de la información
164
y
x
y
x
y
x
y
x
Una gráfica puede decir tanto como mil palabras si se sabe interpretar. Muchas gráficas se refieren a distan-cias recorridas en el tiempo o a la rapidez de móviles que se desplazan en el tiempo. Para sacar el máximoprovecho de las gráficas es necesario aprender tanto a interpretarlas como a representar gráficamente diver-sas situaciones. Repasemos un fragmento de lo que se vio en segundo grado acerca de la gráfica delmovimiento rectilíneo uniforme.
DE BUENA FUENTE
Imagina un móvil que corre en línea recta a 2 m por segundo. Se comienza a medir su distancia desde unpunto fijo (O) en cada momento y a partir de cierto tiempo (t 5 0).
Transcurrido un segundo habrá recorrido una distancia de 2 m, a los 2 segundos llevará 4 m, a los 3 segun-dos 6 m, etc. La tabla organiza los datos de los primeros 7 segundos:
La ecuación de movimiento del móvil es d 5 2t y unaparte de su gráfica (que representa el recorrido sólo en losprimeros 4 segundos) es la siguiente:
= 0t t = 1 t = 2 t = 3 t = 4
2 m04 m
6 m8 m
t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7
d (m) 0 2 4 6 8 10 12 14
2 m
4 m
6 m
8 m
1 2 43Tiempo (s)
Dis
tan
cia
reco
rrid
a(m
)
Representación gráfica de relaciones entre variables10
165
La gráfica representa el movimiento de un automóvil que, en el momento en que se empieza a observar,lleva una velocidad de 2 m/s y con esa velocidad continúa durante los segundos graficados. Sin embargo, si sepiensa en un automóvil que está parado y al comienzo de la observación arranca lentamente pero acelera enlos primeros segundos, la gráfica luce algo diferente. Eso quiere decir que conforme pasa el tiempo la veloci-dad aumenta y, por tanto, en lapsos iguales, la distancia recorrida aumenta. Por ejemplo, observa las canti-dades de la segunda fila de la tabla:
Se puede apreciar que en intervalos de tiempo iguales, la distancia recorrida va aumentando. En el planocoordenado de la izquierda se muestra la gráfica de la función, y a la derecha, la misma gráfica pero destacan-do la distancia recorrida cada dos unidades de tiempo:
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8
d1 0 0.125 0.5 1.125 2 3.125 4.5 6.125 8
t 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5
vm 0.125 0.325 0.625 0.875 1.125 1.375 1.625 1.875
Tiempo
Dis
tan
cia
9
10
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo
Dis
tan
cia
9
10
8
7
6
5
4
3
2
1
10 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Velocidad promedio por unidad
Considera de nuevo la situación anterior. Supón que ahora se desea saber cuál es lavelocidad media del vehículo en cada unidad de tiempo. La velocidad media (opromedio) es la distancia final menos la distancia inicial entre el tiempo final menosel tiempo inicial, es decir:
vm 5
Con base en esta expresión, es posible determinar la velocidad media por unidadde tiempo de la tabla de distancias anterior. A continuación se hacen las diferencias.
El tiempo final menos el tiempo inicial es igual a 1, ya que se toman unidades con-secutivas de tiempo. Entonces la tabla de velocidad queda así:
dfinal 2 dinicial
tfinal 2 tinicial
0 0. 125
0. 125 0.375 0.625 0.875 1.125 1.375 1.625 1.875
0.5 1.125 2 3.125 4.5 6.125 8
Manejo de la información
166
Observa que las velocidades medias se asignan a puntos localizados a la mitadde los intervalos de tiempo (discute y justifica con tus compañeros esta decisión).La gráfica se ve como sigue:
En conclusión:
1. Se pueden construir dos tipos de gráfica de un objeto en movimiento: la gráfi-ca de TIEMPO contra DISTANCIA y la gráfica de TIEMPO contra VELOCIDAD. Ambas serefieren al mismo fenómeno, pero una mide la distancia y otra la velocidad.
2. La gráfica de la velocidad se puede obtener a partir de la gráfica de distanciasteniendo en cuenta la definición de velocidad media.
3. Cuando el móvil va aumentando su velocidad, la gráfica tiene una forma de“curva hacia arriba”: cuanto más aumente su velocidad, mayor es la tendenciahacia arriba. Observa las siguientes gráficas que representan el movimiento devehículos con velocidad creciente:
4. Las gráficas de TIEMPO contra VELOCIDAD, asociadas a cada una de las gráficasanteriores, son:
Velo
cid
ad
Tiempo
5
4
3
2
1
0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5
Dis
tan
cia
Tiempo
Dis
tan
cia
Tiempo
Dis
tan
cia
Tiempo
Dis
tan
cia
Tiempo
Dis
tan
cia
Tiempo
Dis
tan
cia
Tiempo
Representación gráfica de relaciones entre variables10
167
MANOS A LA OBRA
En equipo lleven a cabo la actividad que se propone.
1. ¿Qué tipo de movimiento representa la curva de la gráfica?
Elijan el inciso que consideren apropiado para responder lapregunta:
Expliquen su respuesta:
3. Observen que la gráfica de TIEMPO contra VELOCIDAD debe tener la siguiente apariencia:
2. Una tabla de valores de la gráfica anterior es la siguiente:
Construyan la tabla de velocidad media y grafiquen los puntos en su cuaderno:
Tiempo
Dis
tan
cia
9
10
8
7
6
5
4
3
2
1
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a) Representa un móvil que va aumentando su velocidadconforme pasa el tiempo.
b) Representa un móvil que va disminuyendo su velocidadconforme pasa el tiempo.
c) Representa un móvil con velocidad constante conformepasa el tiempo.
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
d 0 2 2.83 3.46 4 4.47 4.9 5.29 5.66 6
t 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5
vm
Velo
cid
adm
edia
Tiempo
5
4
3
2
1
0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5
Manejo de la información
168
AGUZANDO EL INGENIO
1. Boris les propone un problema a sus compañeros del club: —¿Cómo es la gráfica de la distancia recorri-da por un coche, con respecto al poste más cercano (que está a 2 m de distancia), sabiendo que el cocheNO se mueve? Les doy una ayudadita. ¿Cuál de estas gráficas sería y por qué?
2. Alessandra camina de su casa a la tienda. A medio camino, se da cuenta de que olvidó el dinero, así queregresa a su casa, toma el dinero y vuelve a emprender el viaje a la tienda. Grafiquen el tiempo en el eje hori-zontal y la distancia de la casa al lugar del camino en que se encuentra Alessandra en cada momento:
Dis
tan
cia
Tiempo
A
Dis
tan
cia
Tiempo
B
Dis
tan
cia
Tiempo
C
Dis
tan
cia
Tiempo
D
Dis
tan
cia
Tiempo
3. El profesor de matemáticas llegó algo tarde a su clase. Les explicó a sus alumnos que venía por un nuevotramo de carre-tera. Estaba distraído y, sin darse cuenta, rebasó los límites de velocidad establecidos y unapatrulla de caminos lo detuvo. El profesor se paró, estuvo unos minutos detenido mientras el oficial le lev-antaba la infracción. Después de recibirla, el profesor continuó su viaje cuidando de no rebasar otra vez ellímite de velocidad. Grafiquen en el eje horizontal el tiempo desde que entró a ese tramo de la carreterahasta que llegó a la escuela, y en el eje vertical la velocidad a la que venía el auto:
Velo
cid
ad
Tiempo
Representación gráfica de relaciones entre variables10
169
¿Qué pasaría con la gráfica del nivel del agua si el recipiente fuera más delgado?¿Qué pasaría si fuera más ancho? Dibuja en el plano cartesiano de arriba las posiblesgráficas para tales situaciones.
Llenado de recipientesEn el libro de Matemáticas 2 se estudió el caso simple de llenado de recipientes, asaber: cuando el recipiente es cilíndrico y se llena uniformemente. Es decir, una llavesuministra la misma cantidad de agua (DV) por periodo de tiempo (t) en un reci-piente cilíndrico, como se muestra en la figura. Si se mide la altura del agua porunidad de tiempo (segundos) se forman parejas ordenadas, en las cuales la primeracomponente es el tiempo (t), y la segunda, la altura del agua (h). Ese conjunto depuntos permite trazar una gráfica que representa el nivel del agua durante el tiempoen que el recipiente se está llenando. Por ejemplo, en el dibujo se representa unallave llenando un recipiente cuando el incremento de la altura del nivel del agua esde 2.5 cm por segundo:
Alt
ura
del
agu
aen
elre
cip
ien
te(c
m)
Tiempo (s)
1
10
15
20
25
30
35
40
45
10 2 3 4 5 6 7 8 9
MANOS A LA OBRA
1. ¿Cómo es la gráfica del llenado de recipientes cuya forma NO es cilíndrica? Por ejemplo, los que se ven enestas dos figuras:
Para que lo deduzcas, responde:
a) ¿Cómo es la velocidad con que sube el nivel del agua en el recipiente A: aumenta, disminuye o es cons-tante? Justifica tu respuesta.
b) ¿Cómo es la velocidad con que sube el nivel del agua en el recipiente B: aumenta, disminuye o esconstante?
Recipiente A Recipiente B
Manejo de la información
170
c) Con base en las respuestas de los incisos a-b, y teniendo en cuenta el estudio de las gráficas de TIEMPO
contra DISTANCIA y de TIEMPO contra VELOCIDAD, ¿la gráfica del llenado del recipiente es un segmento derecta o una curva?
d) Bosquejen las gráficas del llenado de los recipiente A y B.
Recipiente A
Tiempo
Niv
eld
elag
ua
Recipiente B
Tiempo
Niv
eld
elag
ua
AGUZANDO EL INGENIO
1. La altura de los recipientes es la misma: 20 cm. Responde las preguntas:
20
10
0
Recipiente 1 Recipiente 2 Recipiente 3
a) ¿El volumen de agua en cada recipiente es el mismo?
¿Por qué?
b) Pasaron tres minutos para que el recipiente 1 alcanzara ese volumen de agua. ¿Cuánto tiempo, aproxi-madamente, crees que pasó para que el recipiente 2 alcanzara el volumen que contiene? ¿Cuánto tiempopara el recipiente 3?
c) ¿Qué recipiente tardó más tiempo en alcanzar el volumen que contiene?
Sí No
Representación gráfica de relaciones entre variables10
171
2. El siguiente frasco se llena con un suministro uniforme de agua. Bosquejen una gráfica en la que el ejehorizontal represente el tiempo de llenado, y el eje vertical, el volumen de agua en el recipiente:
3. Comparen las gráficas que obtuvieron con las de otros equipos, y en caso de NO tener formas similares,discutan las razones que llevan a esas diferencias. Corrijan sus gráficas cuando otros equipos argumentenbuenas razones para hacerlo.
Tiempo
Alt
ura
del
niv
eld
elag
ua
Al torito por los cuernos
Manejo de la información
172
De nuevo actuando bajo presión
Luego de examinar unos minutos la gráfica, Natasha se pregunta y les pregunta asus compañeros: —¿Qué relación existe entre la ley de Boyle y esta gráfica?
15
10
5
5 10 15
T 5 1000 K
P(e
nat
mó
sfer
as)
V (en litros)Gráficas de isotermas de P vs. V de acuerdo con la ley de Boyle (1 mol de gas)
T 5 800 KT 5 600 KT 5 400 KT 5 200 K
20 25
K
PLa ley de Boyle está dada por la fórmula V 5 , donde V es el volumen, P la
presión y K una constante que depende de la temperatura. Entonces para la tem-peratura T 5 200 ºK (aquí K son grados Kelvin), se va a tener una constante; si éstafuera 1 la ecuación sería V 5 ; si la variable P se sustituye por x y la variable Vpor y, la ecuación equivalente es y 5 . En la lección se estudió la gráfica de estafunción. También se vio cómo las funciones que tienen una constante diferenteproducen las otras gráficas.
1
x1
x
Una última faena
1. En cada una de las gráficas que sepresentan escribe la ecuación queda lugar a dicha gráfica:
10 2 3 4 5 6 7 8 9 102223242526272928210
5
10
15
20
25
225
220
215
210
25
21
Ecuación:
Progresímetroautónomo
Representación gráfica de relaciones entre variables10
173
21
1 2 3 4
2224
0
1
3
4
2
21
22
23
24
23
Ecuación:
15
14
13
12
11
10
1
21 1 2 3 4 5 6 7 8 9222324252628 2729
2
3
4
5
6
7
8
9
Ecuación:
2. Es bien sabido que el precio de los productos afecta las ventas. Es más, se sabe que si el precio sube, lasventas bajan. Identifica cuáles de las siguientes gráficas pueden representar la relación entre el precio ylas ventas de un producto.
a)
c)
b)
d)
Ventas
Precio
Ventas
Precio
Ventas
Precio
Ventas
Precio
Manejo de la información
174
3. Indica, en cada inciso, qué gráfica representa convenientemente el enunciado:
a) Un tren llega a una estación y se detiene.Ve
loci
dad
Tiempo
Velo
cid
ad
Tiempo
Velo
cid
ad
Tiempo
b) Se lanza una piedra hacia arriba y se observa su distancia al suelo.
Dis
tan
cia
Tiempo
Dis
tan
cia
TiempoD
ista
nci
aTiempo
c) La altura de un elevador que sube y se detiene unos segundos en cada piso.
Alt
ura
Tiempo
Alt
ura
Tiempo
Alt
ura
Tiempo
Matematograma
Llena el matematograma de modo que refleje tu desempeño en el bloque.
Planteamiento y resolución de problemas
Argumentación
Comunicación
Manejo de técnicas
A B C D E
Matematograma
Man
ejo de técnicas
Comunicación
Argumentación
Plante
amie
nt
o y resolución de problem
as
175
Bloque
4
En el eje “Sentido numérico y pensamiento algebraico” se vuelve al tema de las secuen-cias numéricas, pero ahora se incluyen secuencias no lineales. Es muy interesante descubrirla fórmula de una secuencia que no es lineal, pero es difícil encontrarla a simple vista y losprocedimientos que aprenderás para hacerlo te ayudarán de mil maneras en el estudiofuturo de las matemáticas superiores. Después, en el eje “Forma, espacio y medida” se estu-dia el imprescindible teorema de Pitágoras, lo único que diremos de él es que es una joya dela geometría. También, en el mismo eje, se introduce el estudio de la trigonometría, uninstrumento que se deriva de la semejanza pero que amplía enormemente su campo de apli-caciones. Para finalizar, se vuelve al estudio gráfico de funciones, pero ahora se incluye elcrecimiento exponencial, el cual es un tipo de crecimiento que puede comenzar muy lentopero una vez que despega tiende al “infinito y más allá”.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Lección 11
176
Representación partidista. Ni tan simple ni tan justa
El problema aritmético de la representación democrática en un Estado organizado porpartidos parecería ser un asunto sencillo. Sin embargo, en los hechos esto
plantea dificultades que ponen a prueba la solidez de la organización par-tidista. Imaginen un Estado con tres partidos que posean, respectivamente,47%, 44% y 9% de los escaños en el Congreso. Para facilitar el argumento,
supongan que hay exactamente 100 diputados: 47 del partido A, 44 del par-tido B y 9 del partido C. Imaginen, además, que las decisiones se toman pormayoría simple, es decir, con 51% de los votos de los diputados, algo que
suena “justo y natural”. Si bien cada uno de los primeros dos partidos tienen casi cincoveces más votantes que el tercero, los tres partidos tienen el mismo poder. Basta con quecualquier pareja de partidos forme coalición para sacar adelante una iniciativa, ya que la sumade ambos rebasa 51%.
Ahora supongan que hay cuatro partidos con 27, 26, 25 y 22 diputados, respectivamente, ylas decisiones se toman también con 51% de los votos. Con un argumento similar al anterior, sepuede ver fácilmente que, de los tres primeros partidos, cualquier pareja puede formar una coali-ción mayoritaria, mientras que el voto del último nunca será decisivo para ningún resultado,puesto que al sumar los 22 votos del último partido con cualquiera de los tres primeros no seobtiene mayoría. A pesar de que 22% no es poco ni está tan alejado de 25%, el partido con 22%es un figurante (o comparsa), mientras que el de 25% se divide el poder con los otros dos.
Lo anterior prueba que la fórmula de oro de tomar las decisiones por mayoría simple, enten-dida como 51% de votos, en la realidad no es tan “de oro” y puede conducir a cometer seriasinjusticias. Es por eso que las reglas para definir la representatividad, en muchos países, inclui-do México, son más complicadas que la mayoría simple.*
Patrones y fórmulas
El fin y los medios
Nuestro reto es:
• Haber trabajado con secuencias de núme-ros y reconocer cantidades que varían pro-porcionalmente (lección 8, Matemáticas 2).
Y necesitamos...
• Plantear y resolver sistemas de dosecuaciones con dos incógnitas (lección15, Matemáticas 2).
• Reconocer cantidades que varían unaen función de la otra y representarlas enuna tabla y con una regla de correspon-dencia (lección 8, Matemáticas 3).
• Determinar una expresión general cua-drática para definir el enésimo término ensucesiones numéricas y figurativas uti-lizando el método de diferencias.
* Para este polémico tema, puedes consultar el libro de John Allen Paulos, Un matemático lee el periódico,Barcelona, Tusquets, 1996.
Patrones y fórmulas11
177
Un torito al ruedo
Efeméride tauromatemática
En la sección “Secuencias y patrones”, del libro Ejercicios del calendario, Luisaencontró un problema que le pareció un auténtico reto y no dudó ni un segun-do en proponerlo para esa tarde en el club de matemáticas.
—Les confieso que todavía no he resuelto el problema —dice Luisa—, peroestoy segurísima de que a todos les va a entusiasmar tanto como a mí. Creo quees de esos problemas que se tienen que discutir muchas veces antes de llegar ala solución. Voy a escribir el enunciado y a dibujar las figuras.
Consideren la siguiente sucesión de figuras armadas con cuadritos. ¿Cuáles la expresión algebraica que describe el número de cuadraditos de laenésima figura?
—Les explico un poco de qué se trata —dice Luisa dirigiéndose a sus ami-gos de Sigma Six, quienes saben que Luisa es un hacha en problemas deálgebra—. Encontrar “cuál es la expresión algebraica que describe elnúmero de cuadritos de la enésima figura” equivale a hallar la expresiónalgebraica que permite llenar una tabla como ésta —y muestra la tabla deabajo.
Rectángulo 1 2 3 4 ...... N
Área 6 12 20 ...... ¿?
Y la pregunta es:
¿Cómo se puede encontrar la expresión algebraica que debe ir en lasegunda fila de la última columna?
Progresímetroexperto
MANOS A LA OBRA
Sentido numérico y pensamiento algebraico
178
Tendiendo las redes
Es interesante saber que las secuencias tienen un orden de crecimiento (o decrecimiento). Por ejemplo, unasecuencia constante, como 2, 2, 2…, no crece ni disminuye de elemento a elemento y se dice que es de orden 0.
El siguiente orden de crecimiento es el de las secuencias que aumentan una misma cantidad de elementoa elemento. Por ejemplo, la secuencia 1, 4, 7, 10,… tiene la propiedad de que cada elemento de la secuenciase obtiene del anterior sumando 3 unidades. En este caso, se dice que la secuencia es de orden 1. Lo impor-tante de las secuencias de orden 1 es que las diferencias entre elementos sucesivos son constantes.
Las secuencias que aumentan una cantidad que, a su vez, se incrementa de elemento a elemento —y esteaumento es de orden 1— son de orden 2. Por ejemplo, la secuencia 2, 5, 10, 17, 26,…, cuya ley de crecimien-to es más difícil de ver, tiene diferencias entre sus elementos que forman una secuencia de orden 1; observalas diferencias entre sus elementos sucesivos:
En las siguientes actividades tendrás oportunidad de trabajar con otras secuencias de orden 2.
DE BUENA FUENTE
2
1 2 3 4
5 10 17 26
3 5 7 9
En parejas sigan las instrucciones para responder las preguntas.
1. Observen las figuras numeradas del 1 al 4.
2. Ahora cuenten el número de rectángulos pequeños que hay en cada uno de los rectángulos numerados; sellama rectángulo pequeño a aquel que tiene el mismo tamaño que éste:
Completen la tabla:
Rectángulo 1 2 3 4
Número de rectángulos pequeños
Patrones y fórmulas11
179
3. Si se continuara la sucesión de rectángulos, ¿podrían encontrar el número de rectángulos para las sigu-ientes figuras de la sucesión?
4. Efectúen las primeras diferencias de la secuencia “Número de rectángulos pequeños”.
5. Realicen las segundas diferencias de la secuencia “Número de rectángulos pequeños”.
6. Escriban un informe de lo que observaron; incluyan la expresión general encontrada y expliquen cómo laobtuvieron:
Rectángulo 5 6 7 ... N
Número de rectángulos pequeños
¿?
Cuando una secuencia es de orden 1, o sea, cuando sus primeras diferencias son constantes, el término gene-
ral de la secuencia tiene la forma y 5 ax 1 b, donde a y b son constantes que deben determinarse.
La utilidad de esta información se verá en el ejemplo que sigue.
DE BUENA FUENTE
Indicios que se desvanecen
¿Cómo se puede encontrar la expresión algebraica que genera la secuencia 8, 15, 22,29,…?
Una manera conveniente es escribir las secuencias en una tabla para verla en formade función. A la primera variable se le llama índice:
Las diferencias de los elementos sucesivos de la secuencia forman una secuenciaconstante (7, 7, 7), así que es de orden 1 y, por tanto, debe tener la forma y 5 ax 1 b.
Para determinar los valores de a y b, las parejas (1, 8), (2, 15) y (3, 22), (4, 29)deben satisfacer la ecuación y 5 ax 1 b. Tomando las dos primeras parejas y susti-tuyendo se forma este sistema de ecuaciones:
a 1 b 5 8
2a 1 b 5 15
Índice 1 2 3 4 ... X
Término dela secuencia
8 15 22 29 ... ¿?
Sentido numérico y pensamiento algebraico
180
Cuya solución es a 5 7 y b 5 1. Entonces la expresión que genera la secuencia es:
y 5 7x 1 1
Sustituyendo el valor de x por 3 y 4, se generan los elementos 22 y 29:
7(3) 1 1 5 22 7(4) 1 1 5 29
Y se pueden determinar los que siguen, por ejemplo: 36, 43, 50, etcétera.
7(5) 1 1 7(6) 1 1 7(7) 1 1 etcétera
AGUZANDO EL INGENIO
En parejas resuelvan los problemas.
1. Escriban los seis primeros términos de las secuencias definidas por las expresiones de la forma y 5 ax 1 b.Después, indiquen en cada caso el valor de a y b y den la secuencia de las primeras diferencias (observenel ejemplo):
2. Comprueben que las secuencias son de orden 1 y encuentren, en cada caso, las constantes a y b de lasexpresiones algebraicas de la forma y 5 ax 1 b que las generan:
a) 2x 2 1 1, 3, 5, 7, 9, 11, a 5 2, b 5 21 2, 2, 2, 2, 2
b) 2x
c) 4x 2 5
d) x 1 1
e) 23x 1 2
a) 3, 6, 9, 12, 15, 18,…
b) 7, 10, 13, 16, 19, 25,…
c) 4, 9, 14, 19, 24, 29,…
d) 22, 26, 210, 214,218,222,…
1
2
Cuando una secuencia es de orden 2, o sea, cuando las segundas diferencias son constantes, el término gene-ral de la secuencia tiene la forma: y 5 ax2 1 bx 1 c.* Si se conocen los tres primeros elementos de la secuen-cia es posible determinar los valores de manera semejante a lo que se hizo en el apartado anterior. Sin embargo,el sistema de ecuaciones que se forma en estos casos es de tres ecuaciones con tres incógnitas, como se puedever en el ejemplo que sigue.
DE BUENA FUENTE
* Hugo Espinosa Pérez, Silvia García Peña y Marco Antonio García Juárez, Fichero de actividades didácticas. Matemáticas, en par-ticular, la lección “Patrones y ecuaciones”, México, Secretaría de Educación Pública, 1999, pp. 112-113.
Patrones y fórmulas11
181
El que busca, encuentra
Considera la secuencia 6, 12, 20,… ¿Cómo se puede encontrar la expresión algebraicaque genera dicha secuencia?
• En primer lugar, se debe verificar que es de orden 2. Observa que las diferenciasson 6, 8,…, cuya forma es la de una secuencia de orden 1.
• En segundo, el índice y el número de la secuencia se deben ver como parte de unafunción en una tabla como ésta:
• Se sustituyen las parejas (1, 6), (2, 12), (3, 20) en la ecuación de la forma
y 5 ax2 1 bx 1 c, como se ve enseguida:
6 5 a(1)2 1 b (1) 1 c
12 5 a(2)2 1 b (2) 1 c
20 5 a(3)2 1 b (3) 1 c
lo que da lugar a este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
a 1 b 1 c 5 6 .................... (1)
4a 1 2b 1 c 5 12 .................... (2)
9a 1 3b 1 c 5 20 .................... (3)
• La solución de este sistema es: a 5 1, b 5 3, c 5 2. (El método utilizado para deter-minar la solución se verá en el siguiente apartado.)
• Por tanto, la expresión que genera la secuencia es y 5 x2 1 3x 1 2.
Índice 1 2 3 ...
Número dela secuencia
6 12 20 ...
¿Cómo se resuelve un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas?
Los mismos métodos utilizados para un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se pueden aplicarpara un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Sin embargo, hay que hacer algunos ajustes debido alaumento de una ecuación y una incógnita.
Se verá aquí —mediante un ejemplo simple— el método de suma y resta. Tomemos el sistema:
6a 1 3b 2 5c 5 21……… (1)
3a 2 5b 1 6c 5 16 ……… (2)
4a 1 5b 2 3c 5 13 ……… (3)
El problema consiste en encontrar los valores de a, b y c que satisfagan las tres ecuaciones, y se sigue esteprocedimiento:
• Se eligen dos ecuaciones para reducirlas a una sola ecuación eliminando una incógnita.
DE BUENA FUENTE
Sentido numérico y pensamiento algebraico
182
Después de hallar los valores de a y c, se encuentra el valor de b sustituyendo a y c en la ecuación (1):
6a 1 3b 2 5c 5 21 ………(1)
4a 1 5b 2 3c 5 13 ………(3)
6(2) 1 3b 2 5(5) 5 21 3b 2 13 5 2 1 3b 5 12 b 5 4
Entonces la solución al sistema es: a 5 2, b 5 4 y c 5 5.
Observa que el coeficiente de b en la ecuación (2) es el simétrico del coeficiente de b en la ecuación (3).Entonces, sumando ambas ecuaciones se elimina la incógnita b y se obtiene:
7a 1 3c 5 29 ………(4)
Por ejemplo, se escogen las ecuaciones (1) y (3); que reproducimos a continuación:
6a 1 3b 2 5c 5 21 ………(1)
4a 1 5b 2 3c 5 13 ………(3)
Si las anteriores ecuaciones se suman o se restan, NO se elimina ninguna incógnita. Es necesario transfor-mar alguna de ellas. Además, como en la anterior reducción se eliminó la incógnita b, se debe eliminar lamisma incógnita al reducir las ecuaciones (1) y (3).
Se multiplican por 5 todos los sumandos de la ecuación (1), y por 23 todos los sumandos de la ecuación(3), obteniendo:
30a 1 15b 2 25c 5 25 ………(1´)
212a 2 15b 1 9c 5 239 ………(3´)
Sumando las ecuaciones (1’) y (3’) se obtiene:
18a 2 16c 5 244 ……… (5)
Con las dos ecuaciones reducidas (4) y (5) se tiene ahora un sistema de dos ecuaciones con dos incógni-tas, a saber:
7a 1 3c 5 29 ……… (4)
18a 2 16c 5 244 ……… (5)
Este sistema se puede resolver con cualquiera de los métodos aprendidos en segundo grado; mostramosaquí una secuencia que lleva a la solución:
• Se elige alguna de las dos ecuaciones que se utilizaron en el paso anterior y se combinan con la terceraecuación —que no se había escogido—, para reducirlas a una quinta ecuación, eliminando la incógnita b.
7a 1 3c 5 29
18a 2 16c 5 244} 112a 1 48c 5 464
54a 2 48c 5 2132} 112a 1 48c 5 464
54a 2 48c 5 2132 }
Sistema original Se multiplica (4) por 16
Se multiplica (5) por 3
Se suman ambas
ecuaciones y se obtiene:
a 5 a 5 2 c 5 5
Se despeja la incógnita: Se encuentra el valor dela incógnita a
Sustituyendo a 5 2 en (4)
y despejando se obtiene:332
166
166a 5 332
Patrones y fórmulas11
183
AGUZANDO EL INGENIO
1. Comprueba mediante sustitución que los valores a 5 2, b 5 4 y c 5 5 satisfacen las ecuaciones:
6a 1 3b 2 5c 5 21 ………(1)
3a 2 5b 1 6c 5 16 .………(2)
4a 1 5b 2 3c 5 13 ………(3)
2. Encuentra las soluciones al sistema de ecuaciones planteado en “El que busca, encuentra”, p. 181, que sereproduce a continuación:
a 1 b 1 c 5 6 ………(1)
4a 1 2b 1 c 5 12 ………(2)
9a 1 3b 2 c 5 20 ………(3)
3. ¿Coinciden los resultados que obtuviste en el ejercicio anterior con los que se sugirieron en “El que busca,encuentra”. Si no, revisa tu procedimiento.
4. Observa la secuencia de figuras y sigue las instrucciones para responder las preguntas.
a) Escribe en la tabla los términos de la secuencia, o sea, el número de rectángulos que contiene cada figu-ra y cuyo tamaño es igual a éste:
b) Realiza las diferencias para comprobar que la secuencia es de orden 2.
c) Utiliza los datos de la tabla y una expresión algebraica de la forma y 5 ax2 1 bx 1 c para obtener elsistema de ecuaciones que sirve para determinar a, b y c.
d) Resuelve el sistema de ecuaciones.
e) ¿Cuál es la expresión algebraica que genera los números triangulares?
A la secuencia anterior se le llama números triangulares.
Índice 1 2 3 ...
Número de la secuencia
...
Al torito por los cuernos
Sentido numérico y pensamiento algebraico
184
”Por último, propongo la función y 5 ax2 1 3x 1 2 para la figura que ocupa ellugar x.”
Por su lado, Luisa confirmó la conjetura de Boris al resolver el sistema de ecua-ciones que se genera a partir de los datos y suponiendo que la secuencia tiene laforma y 5 ax2 1 bx 1 c.
¿Puedes reproducir la demostración de Luisa?
De nuevo efeméride tauromatemática
Se trata de encontrar la expresión que permite generar la secuencia del “número decuadritos” en la secuencia de figuras que se presenta:
Boris, que tiene una intuición geométrica notable, propone:
—Si se fijan, cada una de las figuras se puede dividir en tres partes —toma ungis de color rojo y continúa explicando—. Voy a iluminar de rojo, sucesivamente,cada una de dichas partes.
”Primero, un cuadrado:
”Luego, un rectángulo de base 3 y cuya altura varía: 1, 2 y 3, respectivamente.Observen que no tomo en cuenta el cuadrado 'vacío' que se forma debajo del otrocuadrado.
”En tercer lugar, dos cuadrados más a un lado del cuadrado de arriba:
1 × 1 2 × 2 3 × 3
3 × 1 3 × 2 3 × 3
2 22
Progresímetroexperto
Patrones y fórmulas11
185
Una última faena
Los siguientes son números figurados: triangulares, cuadrangulares, pentagonales y hexagonales. En cada caso,encuentra la fórmula del enésimo término.
1. Números triangulares
N 1 2 3 4 ...
Tn ...
2. Números cuadrados
N 1 2 3 4 ...
Cn ...
3. Números pentagonales
N 1 2 3 4 ...
Pn ...
4. Números hexagonales
N 1 2 3 4 ...
Hn ...
Forma, espacio y medida
Lección 12
186
Teorema de Pitágoras
El fin y los medios
Nuestro reto es: Y necesitamos...
• Saber calcular áreas (lecciones 3, 6, 10 y16, Matemáticas 1).
• Saber utilizar el concepto de semejanza(lección de este libro).
• Entender el concepto de razón vistocomo cociente de dos cantidades quevarían.
• Saber interpretar el concepto de razónde las medidas de los lados de un trián-gulo rectángulo.
• Identificar triángulos rectángulos de unafamilia de triángulos dada.
• Aplicar el teorema de Pitágoras en la re-solución de problemas.
• Reconocer y determinar las razones trigo-nométricas en familias de triángulos rec-tángulos semejantes, como cocientes entrelas medidas de los lados.
• Calcular medidas de lados y de ángulos detriángulos rectángulos a partir de los va-lores de razones trigonométricas.
• Resolver problemas sencillos, en diversosámbitos, utilizando las razones trigo-nométricas.
Sin copyright ©
Aunque suene un poco ilógico, varias culturas conocieron mucho antes quePitágoras el teorema de Pitágoras. Existen evidencias de que los chinos loconocían desde el año 1100 a.C. y los babilonios desde el año 1700 a.C. Pitágorasvivió del año 582 al 507 a.C.
De acuerdo con estos investigadores, tanto la cabezacomo el cuerpo son rectángulos armónicos y las líneasimaginarias (horizontales y verticales que dividen lacara en donde están las facciones del rostro y el cin-turón) también guardan relaciones armónicas entre sí ycon las dimensiones del hacha. La investigadoraTomasini afirma que los olmecas manejaban el teoremade Pitágoras de manera empírica y consideraban sagra-do el uso de cuadrados de números.
Algunos investigadores afirman que este resultado eratambién conocido por algunas culturas americanas comola olmeca, que floreció entre el 1200 y el 400 a.C.
La prueba de esta afirmación radica en el cono-cimiento de ciertas relaciones numéricas usadas en suarte ritual y un ejemplo de ello son las dimensiones delhacha de jade, figura que se encuentra actualmente en elMuseo Británico.
Hacha de jade olmeca.
Fuentes de internet
(http://palermo.edu.ar/ingenieria/pdf/ElNumeroyloSagrado1P.pdf)
Teorema de Pitágoras12
187
Un torito al ruedo
2 o en busca de la armonía
Lluvia Pérez-Salas —coreógrafa— llega feliz a la casa de sus padres paradarles personalmente la noticia.
—¿Qué crees, papá? —le pregunta Lluvia a su padre, que da clases degeometría euclidiana en una universidad—. ¡El sábado estrenamosHarmo y Nía en Bellas Artes! Enrique Ballina, nuestro escenógrafo, medijo hoy en la mañana: “Todo debe conjuntarse de manera perfecta. Porello es tan importante lograr la armonía de los elementos: la música, elmovimiento de los bailarines y el poder visual y la movilidad de laescenografía”.
—¡Y vaya que tiene razón ese muchacho! En el arte hay muchas relacionesarmónicas que han sido estudiadas por la geometría —don Federico da un sorboa su café y continúa—: Me acuerdo que cuando tu mamá y yo éramos jóvenesíbamos a bailar a una pista muy bonita. Ahora sé que era “bonita” por la relaciónentre sus medidas. La pista era más o menos así:
Lluvia se queda viendo el dibujo de la pista y pregunta—: ¿Pero en dónde estásu armonía?
—Haciendo un poco de geometría se ve que la relación entre sus lados es iguala . Algunas culturas han considerado que esta relación es armónica, perfecta,bella. Desde luego que existen otras relaciones armónicas (como la relación áurea),pero de eso te hablaré otro día.
10 m
10 m
Pista de baile que dibujó don Federico
Y la pregunta es:
¿Por qué dice don Federico que la pista de baile de su juventud eraarmónica?
2
Progresímetroautónomo
Forma, espacio y medida
188
Tendiendo las redes
Recuerda que se llama triángulos rectángulos a los triángulos que tienen un ángulo recto, o de 90°, como losque aparecen enseguida:
En un triángulo rectángulo, a los lados del triángulo que forman el ángulo recto se les llama catetos, y allado opuesto al ángulo recto, hipotenusa.
DE BUENA FUENTE
90˚
90˚
90˚
Hipotenusa
CatetoCat
eto
Al calor de las respuestas
Esta tarde hace un calor insoportable y parece que Boris es el único que se siente agusto. Le toca conducir la sesión y empieza preguntándoles a sus compañeros:
—¿Qué propiedad tiene la terna de números 3, 4 y 5 que la hace muy interesante?
—Son números sucesivos y…, ¡qué bochorno!, ¿no? —contesta Luisa sinpensar mucho su respuesta y con ganas de tomar un vaso de agua fría.
—Porque el 3 y el 5 son números primos, mientras que el 4 es par —diceNatasha pensando en una respuesta menos obvia que la que dio Luisa.
—No es propiedad, pero debe hacerse notar que desde la antigüedad esta ter-na era conocida y utilizada por los babilonios, árabes, griegos, olmecas —aven-tura Carlos quien de plano se quita el suéter y se echa aire con su cuaderno.
—Los albañiles la utilizan para trazar ángulos rectos y eso les simplifica unchorro la chamba —contesta Miguel y abre una ventana de la biblioteca.
—Todos tienen razón en lo que afirman —dice Boris—, pero ninguno ha seña-lado cuál es la propiedad de estos tres números que, para la geometría, es la másimportante.
—Entonces, ¿cuál es esa propiedad? —preguntan todos al mismo tiempo unpoco azonzados por el calor.
MANOS A LA OBRA
Teorema de Pitágoras12
189
En equipo lleven a cabo la actividad.
1. En un papel cuadriculado, dibujen triángulos rectángulos de manera que los catetos tengan las longitudes:
2. Con un pedazo de hoja del mismo papel cuadriculado construyan unaregla y midan la longitud de la hipotenusa de cada uno de los triángu-los que dibujaron. Registren sus datos en la tabla y calculen a 2 , b 2 yc 2 para los diferentes valores de a, b y c (utilicen su calculadora):
a) 3 y 4 b) 5 y 12 c) 6 y 8 d) 7 y 24 e) 8 y 15
ac
b
Cateto 1 Cateto 2 HipotenusaCateto 1
al cuadradoCateto 2
al cuadradoHipotenusaal cuadrado
a b c a 2 b2 c 2
a) 3 4 9 16 25
b) 5 12
c) 6 8
d) 7 24
e) 8 15
Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado dela hipotenusa.
Este enunciado quiere decir que en cualquier triángulo rectángulo —donde a y b son los catetos y c lahipotenusa— como el siguiente:
se cumple que: a 2 1 b2 5 c 2 .
DE BUENA FUENTE
ac
b
Forma, espacio y medida
190
Gráficamente, el área de los dos cuadrados sobre los catetos es igual al área del cuadrado sobre lahipotenusa:
a2
b2
c2
Aplicaciones del teorema de Pitágoras
Pitágoras entre bambalinas
¿Cuánto mide una arista lateral de una pirámide regular recta cuya base es cuadra-da, y el lado de la base tiene una longitud de 10 cm y la altura mide 16 cm?
Observa los trazos que se destacan en la figura de abajo: a) el segmento de rectaque va del vértice superior al centro del cuadrado de la base, b) la mitad de una delas diagonales de la base, y c) la arista que se busca. Estos tres elementos formanun triángulo rectángulo:
16 cm
10 cm
?
Teorema de Pitágoras12
191
Lo que sí puede advertirse es que, aplicando el teorema de Pitágoras, la diagonal
del cuadrado mide 5 14.14. Por tanto, la mitad de esta diagonal mide 7.07 cm.
Así, la longitud de la arista que se busca se obtiene aplicando nuevamente el teo-rema de Pitágoras:
Arista
Un cateto de dicho triángulo es la altura (16 cm). Se desconocen la mitad de ladiagonal de la base y, desde luego, la arista que se anda buscando.
AGUZANDO EL INGENIO
1. Calcula la diagonal de un cuadrado de lado 10 cm.
2. Calcula la diagonal de un rectángulo cuya base mide 10 cm y cuya altura 15 cm.
3. Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado 18 cm.
4. La tabla de una mesa circular mide 2.7 m de diámetro. Se quiere hacer pasar la tabla por una puerta quesólo mide 2.5 m de altura por un metro de ancho. ¿Cabe la tabla de la mesa por esa puerta? ¿Por qué?
5. ¿Cuál es la máxima altura que puede alcanzar una escalera de 10 m de largo sobre la pared si la base dela escalera debe estar a 6 m de la pared?
Tabla de mesa Puerta
6 m
200
= + = =( ) ( . ) . .16 7 07 30598 17 492 2
Forma, espacio y medida
192
El teorema de Pitágoras es muy importante en la geometría del plano cartesiano. Considera el siguiente problema:
“Dadas las coordenadas de dos puntos en el plano, encuentra la distancia que separa dichos puntos.”
¿Cuál es la distancia que separa los dos puntos A y B cuyas coordenadas son (3, 1) y (1, 6)? Dicho de otramanera, ¿cuál es la longitud de ?
Para obtener dicha distancia, se observa que con segmentos paralelosa los ejes se forma un triángulo rectángulo en el que su tercer vértice es elpunto (1, 1):
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo cuyos catetos miden 2 y 4 se obtiene la longitud del :
DE BUENA FUENTE
1
10 6542 3
2
3
4
5
6
B
A
1
10 2 3
2
3
4
5
B
A
AGUZANDO EL INGENIO
1. Encuentra la longitud de , donde E 5 (3, 1) y D 5 (22, 5). (Observa la figura.)
1
‒11‒1 0 42‒2 3
2
3
4
5
6
E
D
AB
AB
DE
AB = + = =2 4 20 4 472 2 .
Teorema de Pitágoras12
193
2. Encuentra la longitud de , donde G 5 (21, 22) y F 5 (3, 1). (Observa la figura.)
3. Encuentra la distancia entre las siguientes parejas:
a) (25, 7) y (24, 29)
b) (3, 6) y (23, 210)
c) (22, 22) y (2, 2)
1
1‒1 0 42‒2 3
2
3
4
F
G
‒1
‒2
‒3
‒4
GF
Al torito por los cuernos
Forma, espacio y medida
194
De nuevo 2 o en busca de la armonía
La pregunta inicial es: “¿Por qué dice don Federico que la pista de baile de sujuventud es armónica?
El papá explica que si se hace una representación plana de la pista, se ve que estáformada por un cuadrado central que es la pista de baile y cuatro triángulos endonde se ubican las mesas. Los cuatro triángulos son triángulos rectángulos eisósceles.
La relación entre a y c es armónica cuando 5 . Este hecho se verifica fácil-mente aplicando el teorema de Pitágoras.
1. Observa los triángulos que se dibujan.
a) Pon el signo . (mayor que) o , (menor que) entre a 2 1 b2 y c2 de ma-nera que la relación en los dos últimos triángulos sea correcta:
b) ¿Puedes proponer algún argumento para convencer a un compañero deque la respuesta que diste es la correcta? Escríbelo.
c
a
a a a
b b bc
a2 + b2 = c2 a2 + b2 c2 a2 + b2 c2
c c
c
a
Una última faena
2
Progresímetroexperto
Teorema de Pitágoras12
195
2. Un triángulo es obtuso si tiene un ángulo mayor de 90º. Un triángulo es agudo si sus tres ángulos sonmenores de 90º. Teniendo en cuenta el resultado del ejercicio anterior, enuncia las proposiciones acercade las relaciones entre a 2 1 b2 y c2 para triángulos obtusos (a) y agudos (b).
a)
b)
c) Pídele a tu maestro que organice una sesión con todo el grupo (digamos en grupos de cuatro o cincoestudiantes) a fin de discutir la fórmula general para hallar la distancia entre dos puntos:
Si P1 5 (x1, y1) y P2 5 (x2, y2) son dos puntos en el plano, entonces la distancia entre ellos está dadapor la fórmula:
Verifíquenla con ejemplos.
PP x x y y1 2 2 12
2 12= − + −( ) ( )
Forma, espacio y medida
Lección 13
196
El fin y los medios
Trigonometría
Nuestro reto es: Y necesitamos...
• Entender el concepto de razón vistocomo cociente de dos cantidades quevarían.
• Saber interpretar el concepto de razónde las medidas de los lados de un trián-gulo rectángulo, y relacionarlo con elángulo que forman esos lados.
• Identificar triángulos rectángulos de unafamilia de triángulos dada.
• Reconocer y determinar las razones trigo-nométricas en familias de triángulos rec-tángulos semejantes, como cocientesentre las medidas de los lados.
• Calcular medidas de lados y de ángulosde triángulos rectángulos a partir de losvalores de razones trigonométricas.
• Resolver problemas sencillos, en diversosámbitos, utilizando las razones trigo-nométricas.
Siempre mágicos, siempre cuadradosUna actividad que puede resultar entretenida es la de acomodar los dígitos del 1al 9 en un arreglo de 3 3 3 casillas de tal manera que la suma de los dígitos queaparecen en cualquier fila, columna o diagonal dé el mismo resultado; ésta es unaforma de acomodar los dígitos:
A estos arreglos se les llama cuadrados mágicos. Los chinos los conocían yaen el año 3000 a.C y llegaron a la conclusión de que había ocho diferentes cuadra-dos mágicos de 3 3 3, los cuales se podían obtener a partir de rotaciones o refle-xiones del cuadrado anterior. ¿Puedes encontrar los otros siete cuadrados?
Muchos años después, en la India, se hicieron trabajos en los que se planteó elproblema de realizar cuadrados mágicos de 4 3 4, es decir, acomodar los dieciséisprimeros números en un arreglo como el siguiente:
¿Puedes resolver este problema?
Para un estudio detallado sobre los cuadrados mágicos y otras curiosidadesmatemáticas, consulta el libro Diversiones matemáticas, de Martin Gardner, publi-cado por Selector en 1989.
8 3 41 5 96 7 2
Trigonometría13
197
Un torito al ruedo
· · · — — — · · · (SOS en alta mar)
A los muchachos del club les gusta ir a la casa de Natasha, pues en oca-siones su bisabuelo les cuenta historias del mar. Son relatos que rayan enlo increíble, pero que todos (absolutamente todos) terminan creyendofascinados. Un día les contó un episodio que vivió en su juventud y, depaso, aprovechó la lucidez de sus noventa años para proponerles unproblema matemático:
—Se vivían los peores días de la Segunda Guerra, aunque ahora que lopienso bien todos los días fueron una alucinación, una pesadilla, y nuestro buquepartió de su base hacia el norte. Después de recorrer 2 millas marinas giramoshacia el este 135º, avanzando en esa dirección otras 5 millas marinas. Justo al tér-mino de estas 5 millas, el radiotelegrafista recibió la orden de regresar inmediata-mente a la base. ¡Santo Dios, sólo el almirante sabía el grave peligro en queestábamos y decidió abortar la misión…! —el bisabuelo de Natasha hace unapausa como si estuviera viviendo de nuevo aquel momento—. Como el almirantesabía que yo era bueno en matemáticas me preguntó cuántos grados debíamosgirar —sonrió el anciano satisfecho de su “hazaña de guerra”—. Sólo recuerdohaberle dicho…
Y la pregunta es:
¿Cuál es el ángulo a que debió girar el buque para encaminarse direc-tamente a su base? ¿Qué distancia debieron recorrer desde el puntoen que emprendieron el retorno hasta su base?
Progresímetroexperto
Forma, espacio y medida
198
Tendiendo las redes
A brazo partidoUna grúa es una máquina destinada a elevar y distribuir cargas en el espacio sus-pendidas de un gancho que cuelga del extremo de un brazo largo. La altura delbrazo está determinada por el ángulo a que forma con una recta horizontal imagi-naria; como se muestra en la figura:
Conforme aumenta o disminuye el ángulo a, varía la altura del brazo y,simultáneamente, su alcance, o sea, la distancia del punto de origen del brazo a laposición del objeto levantado.
Si se conoce la longitud del brazo, ¿cómo se pueden determinar la altura y elalcance del brazo de la grúa conociendo el ángulo de elevación?
La altura y el alcance logrados dependen del ángulo del brazo de la grúa en relación con la horizontal en supunto de apoyo. En este problema intervienen por tanto tres variables: el ángulo que forma el brazo con elpiso (ángulo de inclinación), la altura y el alcance. La longitud del brazo es una cantidad constante. A conti-nuación, se observa el esquema de diferentes ángulos y cómo cambian el alcance y la altura:
Para encontrar las relaciones entre ángulo, alcance y altura conviene llevar a cabo la actividad que se pro-pone. Antes, es preciso definir los términos cateto opuesto, cateto adyacente e hipotenusa.
DE BUENA FUENTE
30˚ 45˚ 70˚
Alcance Alcance Alcance
AlturaA
ltura
Altura
Trigonometría13
199
En los triángulos rectángulos, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Consideren ahora unode los ángulos diferentes del ángulo recto, al cual se le denomina ángulo de referencia. El lado opuesto alángulo de referencia se conoce como cateto opuesto. Finalmente, al tercer lado —que coincide con un ladodel ángulo de referencia— se le llama cateto adyacente. Observen la figura:
Cat
eto
op
ues
to
Cateto adyacente
Hipotenusa
MANOS A LA OBRA
Los objetivos de esta actividad son: a) observar que las relaciones entre los lados de un triángulo rectánguloson las mismas para cualquier otro triángulo semejante, y b) utilizar este hecho para definir las relacionestrigonométricas de un ángulo (seno, coseno y tangente).
1. Reúnete con tres compañeros y numeren los equipos que se forman.
2. Consideren las siguientes medidas de ángulos: 14º, 22º, 37º, 45º, 53º, 68º y 76º. (Abajo se describela actividad para el ángulo de 23.5º.)
3. Cada equipo debe elegir un ángulo diferente. Si se forman más de siete equipos en el grupo, los equiposdel ocho en adelante pueden escoger la medida de cualquiera de estos siete ángulos.
4. En el plano, los equipos deben trazar una recta que parta del origen (extremo inferior izquierdo) y for-mar un ángulo de la medida elegida. (Más adelante se trazará otro plano con una recta que forma unángulo de 23.5º.)
0 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Forma, espacio y medida
200
5. Elijan cuatro puntos en el eje horizontal (no necesariamente enteros). Llámenlos A1, A2, A3 y A4.
6. Tracen líneas verticales por cada uno de los puntos anteriores.
7. Marquen los puntos de intersección de las líneas verticales con la línea trazada.
8. Observen los triángulos formados y midan la longitud de sus catetos y de la hipotenusa con una regla mi-limétrica como ésta:
9. Construyan una tabla con las medidas de los cuatro triángulos. (Midan las hipotenusas de los triánguloso calcúlenlas a partir de sus lados. ¿Recuerdan cómo hacerlo?) Para los triángulos formados con el ángu-lo de 23.5º se muestra enseguida:
10. Elijan uno de los triángulos anteriores (teniendo en cuenta el ángulo de referencia, que en el ejemplo esde 23.5º) y calculen:
A continuación se observan los resultados para el ángulo de 23.5º.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1
1.95
3.26
4.34
2.3
B1
A1 A2 A4A3
B2
B2
B2
23.5º
4.5
7.5
10
TriánguloAltura
(cateto opuesto)Alcance
(cateto adyacente)Hipotenusa
DB1A1O 1 2.32.5
DB2A2O 1.95 4.5 4.9
DB3A3O 3.26 7.5 8.17
DB4A4O 4.34 10 10.9
Cateto opuesto
Hipotenusa
Cateto adyacente
Hipotenusa
Cateto opuesto
Cateto adyacente
11. Escojan ahora otro triángulo y calculen de nuevo los cocientes:
Cateto opuesto
Hipotenusa
Cateto adyacente
Hipotenusa
Cateto opuesto
Cateto adyacente
Trigonometría13
201
12. ¿Qué notan con respecto a los cocientes?
13. Discutan y expliquen por qué los cocientes anteriores serán iguales a los cocientes de cualquier triángulorectángulo cuyo ángulo de referencia sea de 23.5º.
Puesto que el cociente es el mismo para todo triángulo rectángulo con el mismo ángulo de referen-cia —designado como a—, a cada cociente se le da un nombre especial: seno, coseno y tangente. Las rela-ciones entre los lados son:
Debido a pequeños errores de medición, los valores encontrados son aproximaciones. Se deben escribir uti-lizando el signo <, que significa “aproximadamente igual a”:
sen 23.5º < 0.40 cos 23.5º < 0.92 tan 23.5º < 0.43
Si se desea mayor exactitud, se puede lograr con una calculadora. En el caso anterior, valores más exactos son:
sen 23.5º < 0.3987 cos 23.5º < 0.9170 tan 23.5º < 0.4348
Para cada ángulo se puede determinar el valor del seno, el coseno y la tangente. En los problemas que seproponen en esta lección tendrás la oportunidad de hacerlo para varios ángulos.
DE BUENA FUENTE
Cateto opuesto
Hipotenusa
Cateto opuestoHipotenusa
sena 5Cateto adyacente
Hipotenusacosa 5
Cateto opuesto
Cateto adyacentetana 5
AGUZANDO EL INGENIO
1. Con base en los resultados que obtuviste en la actividad anterior y los resultados de tus compañeros, com-pleta la tabla:
seno coseno tangente
14º
22º
37º
Forma, espacio y medida
202
seno coseno tangente
45º
53º
68º
76º
2. Utiliza tu calculadora y determina, para cada uno de los ángulos anteriores, el cuadrado del seno del ángu-lo más el cuadrado del coseno del mismo ángulo. ¿Qué observas?
3. Juan no tiene calculadora y quiere construir una tabla de senos, cosenos y tangentes de ángulos que sonmúltiplos de 5. ¿Puedes ayudarlo a construir su tabla?
Nada como tener buenas relaciones
1. Cuando se conocen las relaciones trigonométricas de un ángulo en un triángu-lo dado y un lado del triángulo, es posible entonces encontrar los otros lados.En el ejemplo de abajo se muestra cuál es el procedimiento para hacerlo.
¿Cuánto miden el lado adyacente y la hipotenusa de este triángulo en el que seconocen el ángulo y el cateto opuesto?
SOLUCIÓN:
Por un lado, se sabe que sena 5 y, por otro, que sen 23.5º < 0.40.
Sustituyendo en la primera ecuación el valor del seno y el valor del lado cono-cido, se tiene: 0.40 ù , de donde 0.40 3 h ù 8 y finalmente h ù 5 20 . Deeste modo se conoce la longitud de la hipotenusa.
23.50
a
8h
Cateto opuesto
Hipotenusa
8
h
8
0.40
Trigonometría13
203
Las calculadoras científicas y graficadoras tienen las funciones seno (SIN), coseno(COS) y tangente (TAN), en las que se introduce el ángulo y dan el valor de la relacióntrigonométrica. También tienen las funciones seno inverso (SEN21), coseno inverso(COS21) y tangente inversa (TAN21); en estas funciones se introduce el valor de larelación trigonométrica y la respuesta es el ángulo correspondiente. Hace años, cuan-do no había calculadoras, sólo se disponía de tablas trigonométricas parecidas a laque construiste pero más completas; vean la tabla del ejercicio 2 de “Una últimafaena” en esta lección.
Para calcular el cateto adyacente, se
considera que el cosa 5 y que
el cos 2 3.5º ù 0.92, además del reciéncalculado valor de la hipotenusa.
Sustituyendo se tiene 0.92 < , de
donde: 0.90 3 20 ù a, es decir,a ù 18.4.Así, el triángulo posee estas medidas:
2. Conociendo la relación de los lados de un triángulo, es posible determinar losángulos del triángulo si se emplean las relaciones trigonométricas. En el ejemplose muestra cómo hacerlo.
Encuentra (sin medirlos directamente) los ángulos a y b de este triángulo:
SOLUCIÓN:
Tomando en cuenta que cosa 5 y que 5 .8658, se debe buscar un
ángulo a en el que cosa 5 0.8658. Se encuentra que cos30º5 0.8660. Así pues, el
ángulo buscado es a 5 30º. De lo anterior se deduce que b 5 60º.
Cateto adyacente
Hipotenusa
Cateto adyacente
Hipotenusa
a
20
7.1
8.2
23.50
18.4
820
B
8.2
7.1AC
AGUZANDO EL INGENIO
1. Encuentra el valor de h y a en el triángulo:
h 5
a 5
23.50
10
ah
Forma, espacio y medida
204
2. Determina cuánto mide el ángulo a utilizando la relación tangente. Después, encuentra el valor de lahipotenusa de dos maneras distintas:
18
24
3. Encuentra la longitud del lado y la hipotenusa en cada uno de los triángulos:
a14˚ 22˚
21
5b
dc
a14˚ 22˚
21
5b
dc
MANOS A LA OBRA
En la segunda lección de Matemáticas 2, se vio cómo se podía construir un clinómetro. Este aparato sirve paradeterminar el ángulo en que se debe levantar la vista para ver un objeto, en particular, la punta de un árbolo de un edificio.
1. Construyan un clinómetro (o recuperen el que hicieron en segundo grado).
2. Elijan un objeto cuya altura quieran determinar. Debe ser un objeto en el que se pueda determinar el pie,y medir desde el pie hasta el lugar en que se tomará el ángulo de elevación (poste, árbol, edificio).
3. Determinen el ángulo de elevación y la distancia del pie al sitio en que tomaron la medida.
4. Hagan un esquema con los datos obtenidos.
5. Encuentren la altura del objeto utilizando una relación trigonométrica (utilicen calculadora para encon-trar el valor de la relación trigonométrica del ángulo).
6. Si otro equipo calculó la altura del mismo objeto, comparen sus resultados.
7. Hagan un reporte de esta actividad y entréguenlo a su maestro.
En equipos realicen esta actividad.
a 5
Hipotenusa 5
a 5 b 5 c 5 d 5
f 5 e 5 h 5 g 5
37° 45°
35h
g
25f
e
45°
Al torito por los cuernos
Trigonometría13
205
De nuevo · · · — — — · · · (SOS en alta mar)
El buque recorrió 2 millas marinas al norte y luego giró hacia el este 135º. Se debedeterminar el ángulo de giro para reencauzar su ruta a la base y también calcularla longitud del recorrido de regreso. La información se representa en el esquemade abajo:
Supongamos que P es el punto de partida, A el punto en cual el buque da elprimer giro y B el punto al sureste donde tiene que dar el segundo giro para llegara su base.
Se traza una línea auxiliar que pase por P y sea perpendicular al . Sea D elpunto de intersección de esta perpendicular con la segunda recta. Luego, se pro-longa el hacia abajo y se traza una recta paralela a que pase por el punto B.Sea C el punto de intersección de la recta que contiene al con esta paralela.Llamemos x 5 , y 5 y z 5 . Con todo lo anterior, el diagrama queda deesta manera:
Basta con determinar z y y para tener la tangente del ángulo B. Para hacerlo con-viene determinar x, puesto que es la hipotenusa del DAPD y éste es semejante alDACB.
135°Oeste
Norte
Este
Sur
5
2
Punto de partida
?
?
45°
2
5
A
P
z
C y B
d
x
PA
PAPA
PD
AD CB PC
Progresímetroexperto
Forma, espacio y medida
206
Con base en esta tabla, verifica con casos particulares que se cumplan las siguientes igualdades (ten en cuen-ta que los resultados numéricos NO siempre son exactos debido a que se omiten algunos decimales):
a) sen2 a 1 cos2 a 5 1 b) tana 5 c) sen a 5 cos(90 2 a)sen a
cos a
A continuación, se indican los pasos y argumentos para determinar los valores:
1. El DAPD es isósceles, porque el �ADP debe ser de 45º; por tanto, 5 2.
2. x 5 , por el teorema de Pitágoras en el triángulo ADP.
3. y 5 , porque el DAPD es semejante al DACB y: 5 . (Con ayuda de una calculadora se tiene
y 5 3.5353.)
4. z 5 22, porque el DACB es isósceles y 5 . (Con ayuda de una calculadora se tiene z 5 1.5355).
tan (�PBC) 5 5 5 0.4343
10 y
2
z
y
1.5355
3.5355
Con ayuda de una calculadora se obtiene que �PBC 5 23.47º.
De donde se encuentra que �DBP 5 45º 223.47 5 21.53º.
Finalmente, como 180º 2 21.53º 5 158.47º. Esto significa que el buque tiene que girar a la derecha158.47º.
Se deja como ejercicio determinar la distancia del .
Una última faena
1. Encuentra la distancia del , en el problema del buque, utilizando la función coseno.
2. En el ejercicio 1 de “Aguzando el ingenio”, p. 201, se pidió completar una tabla. Debió haberse obtenidouna tabla como ésta:
seno coseno tangente
14º 0.2419 0.9703 0.2493
21º 0.3746 0.9272 0.4040
37º 0.6018 0.7986 0.7535
45º 0.7071 0.7071 1.0000
53º 0.7986 0.6018 1.3270
68º 0.9272 0.3746 1.4750
76º 0.9703 0.2419 4.0107
AC CD
PB
PB
PD
8
8
10
8
5
8
Trigonometría13
207
3. Un maestro de tercer grado de secundaria les deja de tarea a sus alumnos que midan la altura del asta ban-dera que está en el zócalo de su ciudad. No tienen una escalera tan alta como para medirla directamente,pero saben que en la escuela hay un clinómetro que les permite medir ángulos con respecto a la horizon-tal. La altura a la que colocan el clinómetro es de 1.40 m, con respecto al piso, y a 30 m del pie del astabandera. Al medir con el clinómetro el ángulo que se forma con la parte más alta del asta banderaobtienen una medida de 35°. ¿Cuál es la altura del asta bandera?
4. Utiliza la tabla del problema 2 de esta sección y encuentra los ángulos de los siguientes triángulos rec-tángulos:
5.05 m
4.33 m
6.45 m
5.98 m
5.00 m
1.26
m
4.00
m
5.74
m
5. Si se sabe que el seno de un ángulo es igual a un medio, es decir: sena 5 , ¿cuál es el coseno del mismo
ángulo? , ¿a qué es igual cosa?
1
2
Manejo de la información
Lección 14
208
Crecimiento exponencial
y sus gráficas
El fin y los medios
Nuestro reto es: Y necesitamos...
• Identificar la expresión algebraica dela relación de proporcionalidad directay 5 kx, asociando los significados delas variables con las cantidades queintervienen en dicha relación (Mate-máticas 1).
• Reconocer la presencia de cantidadesque varían una en función de la otra yrepresentar esta relación mediante unatabla o expresión algebraica de la for-ma y 5 ax 1 b (Matemáticas 1).
• Interpretar y comparar las representa-ciones gráficas de crecimiento aritméticoo lineal y geométrico o exponencial dediversas situaciones.
• Analizar la relación entre datos de distin-ta naturaleza, pero referidos a un mismofenómeno o estudio que se presenta enrepresentaciones diferentes para producirnueva información.
Con premios o sin ellos, el talento resplandece
En 1887, el rey Óscar II de Suecia ofreció un premio de 2 500 coronas a quienrespondiera una pregunta fundamental de la astronomía: “¿Es estable el sis-tema solar?” Que un sistema sea estable significa que no cambia cuando esperturbado por cambios pequeños. En el caso del sistema solar las preguntasserían, entre otras: ¿seguirán los planetas moviéndose en sus órbitasindefinidamente? ¿Podría Plutón estrellarse contra el Sol?
Henri Poincaré (1854-1912), matemático y filósofo francés, se interesó porresolver la pregunta de la estabilidad del sistema solar, y aunque no lo logró porque es una preguntamuy difícil, sí ganó el premio del rey Óscar II por sus aportaciones en la resolución de dicho problema.Durante el desarrollo teórico que intentaba responder a la pregunta sobre la estabilidad del sistemasolar, creó una nueva rama de las matemáticas a la que bautizó como “la geometría de la superficie dehule”, conocida hoy como topología. Poincaré planteó un problema conocido como conjetura dePoincaré. Se llama conjetura a un resultado que parece plausible, pero no se ha demostrado. El proble-ma es de topología y en términos sencillos puede plantearse así: en tres dimensiones es imposible defor-mar una dona, sin romperla, para convertirla en una esfera.
En 2003, Grigory Perelman (1966), matemático ruso, resolvió el problema y la Unión MatemáticaInternacional le otorgó la Medalla Fields, el máximo galardón que puede ganar un matemático (ya queno existe premio Nobel de matemáticas). Pero Perelman rechazó la medalla y el premio en efectivo(alrededor de 150 mil pesos mexicanos), así como un millón de libras que ofrecía el gobierno británi-co a quien resolviera la conjetura de Poincaré. Al parecer, al matemático ruso no le interesan losreconocimientos oficiales y económicos ni el glamour. Lo único que ha dicho es que el reconocimientoque le interesa es el de saber que sus pruebas son ciertas.
Crecimiento exponencial y sus gráficas14
209
Un torito al ruedo
Cuánto vales, cuánto ahorras
El tío Fabricio es gerente de un banco y, para no desentonar con su profesión, tam-bién es un ahorrador empedernido. (“Todo en la vida es previsión. Y por eso megustaría inculcarte la virtud cardinal del ahorro”, le dice su tío a Luisa. “Sí,reconozco que soy un ahorrador empedernido, pero eso no significa que seaavaro o tacaño”, le aclara siempre.)
—He decidido abrirte una cuenta de ahorros y depositarte cierta cantidad dedinero cada año a partir de que cumplas catorce años —le dice el tío Fabricio conla seriedad con que siempre habla de asuntos monetarios—. La única condiciónes que sólo podrás disponer del dinero ahorrado cuando te cases o bien cuandocumplas treinta años.
Para probar sus habilidades matemáticas, el tío le pide que escoja entre unode estos dos planes de ahorro:
Plan A: Te depositaré $1000 cuando cumplas catorce años y $100 más en cadacumpleaños subsecuente.
Plan B: Te depositaré un peso cuando cumplas catorce años (sí, Luisa, es correc-to lo que estás leyendo. ¡Comenzarás con un peso!). Al año siguiente te depositaré$2.00, al siguiente cumpleaños $4.00, en el que sigue serán $8.00 y así sucesiva-mente.*
Luisa está convencidísima de que se casará después de cumplir veintiocho años;antes de esta edad, nunca.
Y la pregunta es:
¿Cuál es el plan que más le conviene a Luisa? ¿Habrá una gráfica quemuestre el comportamiento de ambos planes?
* Se asume que, en ninguno de estos dos planes, el banco entrega intereses. Por tanto,Luisa sólo tiene el dinero que deposita su tío Fabricio.
Progresímetroaxiomático
Manejo de la información
210
Tendiendo las redes
Cuando se observa la evolución de los fenómenos a lo largo del tiempo, puede resultar clave determinar cuáles el crecimiento o el decrecimiento de sus variables cuantitativas. Los estudios sobre demografía, o el com-portamiento de los mercados financieros o bien el desarrollo anatómico de niños y adolescentes son ejemplosen los cuales las variables cuantitativas se transforman con el tiempo. En estos fenómenos es fundamental el con-cepto de tasa de crecimiento, pues proporciona una manera de calcular en cada periodo de tiempo el estado dela cantidad a partir del conocimiento del estado anterior.
En la actividad que se propone podrás descubrir cómo se calculan las tasas de crecimiento.
DE BUENA FUENTE
MANOS A LA OBRA
En la tabla, se muestra el número de habitantes de la República Mexicana en 1990 y 1995, así como la canti-dad de población de otros estados. Además de los años, esta tabla contiene otros dos encabezados:“Incremento absoluto” y “Tasa de crecimiento”. Sin embargo, de estas dos variables sólo se presentan los datosde la República Mexicana y de Aguascalientes.
En equipo realicen las tareas que se piden y respondan las preguntas:
1. Observen las cantidades que aparecen en la tabla y descubran cómo se calculó el “Incremento absoluto” yla “Tasa de crecimiento” para la República Mexicana y Aguascalientes.
2. Utilicen el procedimiento descubierto para calcular esas variables con los otros estados de la República.
3. ¿Qué estado tiene la mayor tasa de crecimiento?
4. ¿Qué estado tiene la menor tasa de crecimiento?
Estado 1990 1995 Incremento absoluto Tasa de crecimiento
República Mexicana 81 249 645 91 158 290 9 908 645 12.2%
Aguascalientes 719 659 862 720 143 061 19.9%
Baja California 1 660 855 2 112 140
Baja California Sur 317 764 375 494
Campeche 535 185 642 516
Coahuila 1 972 340 2 173 775
Población de la República Mexicana por entidad federativa, 1990 y 1995.
Crecimiento exponencial y sus gráficas14
211
Estado 1990 1995 Incremento absoluto Tasa de crecimiento
Colima 428 510 488 028
Chiapas 3 210 496 3 584 786
Chihuahua 2 441 873 2 793 537
Distrito Federal 8 235 744 8 849 007
Durango 1 349 378 1 431 748
Guanajuato 3 982 593 4 406 568
Si una cantidad inicial es C0 y después de un lapso aumenta a C1, entonces su incremento absoluto es C1 – C0.
Esta diferencia se suele indicar con el símbolo DC1, es decir, se tiene la expresión:
DC1 5 C12 C0
El incremento relativo (dado en porcentaje) es 3 100. A este número se le llama tasa.
DE BUENA FUENTE
¿Jugosos rendimientos? ¡A poco!
1. Durante un mes, una cuenta bancaria aumentó de $18 500 a $18 870. ¿Cuál es latasa de crecimiento que tuvo esta cuenta?
SOLUCIÓN:
Su incremento absoluto fue:
DC1 5 18 870 2 18 500 5 370
Entonces, la tasa de crecimiento es:
2. Si la cantidad de dinero en la cuenta se deja depositada en el banco, ¿a cuántoascenderá el capital en el segundo periodo si crece con la misma tasa?
SOLUCIÓN:
Tenemos que C0 5 18 500 y C1 5 18 870; si esta última cantidad se deja inalterada enla cuenta bancaria con una tasa de 2%, entonces
C2 5 C1 1 0.02 3 C1 5 18 870 1 0.02 3 18 870 5 19 274.4
Entonces el capital será de $19 274.4 en el segundo periodo.
Es decir, la cantidad se incrementó con una tasa de 2% en el periodo correspondiente.
DC1
C0
370
18 5005 3 100 5 2%
DC1
Co
Manejo de la información
212
El crecimiento aritmético es la forma más simple de crecimiento de una variable, pues aumenta una cantidadfija en cada periodo. Por ejemplo, si a un capital de $100 se le aumentan $50 mensuales, la secuencia creceasí: 100, 150, 200, 250,…
El crecimiento exponencial (o geométrico) es un tipo de crecimiento más complejo que el anterior,aunque se pueda expresar en forma sencilla en términos del concepto de tasa. Por ejemplo, si $100 crecen auna tasa fija de 5% se obtiene la secuencia: 100, 105, 110.25, 115.76, 121.55,…
DE BUENA FUENTE
AGUZANDO EL INGENIO
1. Llena las celdas vacías correspondientes a la cantidad inicial, cantidad final, incremento absoluto, incre-mento relativo y tasa de crecimiento, teniendo en cuenta la información dada en cada fila.
Cantidad inicial Cantidad finalIncremento
absolutoIncremento
relativoTasa de crecimiento
$25 000 $30 000 $5 000 0.2 20%
750 550
75 000 kg 25%
450 000 habitantes 0.15
600 100%
1 500 0.50
2 400 tons 600 tons
3 000
$1 200 10%
27 0.03
2500
Crecimiento aritmético y crecimiento exponencial
¡Súper, la inversión de mi vida!
Ramiro quiere invertir $10 000 por un año completo. Se le presentan dos opciones:a) invertir en la empresa de su amigo Raúl, quien le ofrece incrementar de manerasegura su capital $500 cada mes, o b) invertir su dinero en una casa de bolsa quele ofrece rendimientos de 4.5% mensual.
Crecimiento exponencial y sus gráficas14
213
Desde luego, a Ramiro le conviene más la segunda opción.
Ambos crecimientos se pueden graficar en el plano cartesiano y de este modo seaprecia más claramente la diferencia entre ellos. El crecimiento aritmético se represen-ta mediante un recta, en tanto que el crecimiento geométrico se representa con unacurva que al principio crece más lentamente que la recta pero que a la larga la supera.
Con la primera opción su dinero se incrementa en forma aritmética; en esta tablase puede observar:
Periodo 0 1 2 3 4 5
Capital 10 000 10 500 11 000 11 500 12 000 12 500
6 7 8 9 10 11 12
13 000 13 500 14 000 14 500 15 000 15 500 16 000
Periodo 0 1 2 3 4 5
Capital 10 000 10 450 10 920.25 11 411.66 11 925.18 12 461.82
6 7 8 9 10 11 12
13 022.60 13 608.61 14 221.00 14 860.95 15 529.69 16 228.53 16 958.81
Con la segunda, su dinero se incrementa de forma geométrica:
1
10 000
11 000
12 000
13 000
14 000
15 000
16 000
17 000
2 4 6 8 10 12 14
Manejo de la información
214
El corazón de las grutas
Itzia y José Ramón leen, en una enciclopedia, esta información sobre lasgrutas en México.
Las grutas y cavernas se forman por la filtración del agua en las rocas, alas que va disolviendo en un proceso que dura miles de años. Dentro delas grutas, las infiltraciones dan forma a acumulaciones de sales minerales:
¡Ole, torito!
AGUZANDO EL INGENIO
1. De acuerdo con proyecciones de la Organización de las Naciones Unidas (ONU), la población mundial cre-cerá, en el periodo comprendido entre 2000 y 2025, a una tasa de 1.27% anual.
Si consideramos que en el año 2000 la población mundial era de 6 073 millones, haz una proyeccióndel número de habitantes en el planeta para el periodo 2001-2010 utilizando la tasa de crecimiento esti-mada por la ONU.
Año Población estimada en millones de habitantes
2000 6 073
2001 6 150
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Año 2000
6800
6700
6600
6500
6400
6300
6200
6100
6000
2001 2002 2003 2004 2005 2007 2009 20102006 2008
Pob
laci
ón
mu
nd
ial(
enm
illo
nes
de
hab
itan
tes)
Crecimiento exponencial y sus gráficas14
215
En estas tablas se presenta un ejemplo de cómo crece una estalactita y su corres-pondiente estalagmita.
Número de años desdela primera medición
0 1 2 3 4 5 6
Longitud en cm 70 72 75 76 78 80 82
Número de años desdela primera medición
0 1 2 3 4 5 6
Longitud en cm 80 83 85 88 90 92 94
Tabla 1. Registro del crecimiento de una estalactita
Tabla 2. Registro del crecimiento de una estalagmita
Itzia le pregunta a José Ramón: —¿Te imaginas cuándo se juntarán la estalacti-ta y la estalagmita?
—No sé, pero eso depende de la altura de la gruta —contesta J. R.
—A ver, supongamos que la altura de la gruta es de dos metros —propone Itzia.
Si la gruta mide dos metros de altura y la estalactita se encuentra exacta-mente arriba de la estalagmita (vean el diagrama de abajo), ¿cuánto tiem-po tardarán en unirse la estalactita y la estalagmita según los registros decrecimiento de las tablas 1 y 2?
En México, existen muchascuevas y grutas con estalactitas yestalagmitas como las famosasgrutas de Cacahuamilpa, enGuerrero, consideradas las másgrandes del mundo; las grutas deGarcía, en Nuevo León; las grutas de Tolantongo, enHidalgo, y muchas más.
En los dos grados anteriores se vio cómo estudiar una relación funcional. Esto puede hacerse utilizando tablas,gráficas o una expresión algebraica. En muchas situaciones de la realidad se trabaja con funciones, como sevio en esta lección.
DE BUENA FUENTE
Diagrama transversal de la gruta en el que se muestranla estalactita y la estalagmita la primera vez que se tomó la medición.
Estalactita
Estalagmita
80 cm
2 m
70 cm
las estalactitas nacen de los techos de las grutas, ya que al escurrir el agua van quedan-do sedimentos, que son acumulaciones de sales minerales que suelen hallarse en elinterior de la caverna, mientras que las estalagmitas nacen del suelo por la evapo-ración del agua que escurre de arriba por las estalactitas. Así que las estalactitas pare-cen colgar del techo de la gruta, es decir, de arriba abajo como puntas de aguja; y encontraste, las estalagmitas parecen dirigirse del suelo hacia la parte superior.
Al torito por los cuernos
Manejo de la información
216
De nuevo cuánto vales, cuánto ahorras
Se trata de saber cuál de los dos planes es mejor: el A o el B. Aparentemente, el planA es más ventajoso, pero las apariencias engañan. La forma más fácil de estarseguro es calculando la cantidad que se obtendrá al final de los catorce años paracada uno de los planes. Llena las tablas que se presentan a continuación:
Luego, traza la gráfica de ambos planes. La gráfica debe tener una aparienciacomo ésta:
Ahora sí puedes responder: ¿cuál de los dos planes del tío Fabricio le convienemás a Luisa?
Plan A
Año 1 2 3 4 5 6 7
Cantidad 1 000 1 200 1 300
Año 8 9 10 11 12 13 14
Cantidad
Plan B
Año 1 2 3 4 5 6 7
Cantidad 1 2 4
Año 8 9 10 11 12 13 14
Cantidad
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Número de años
x
5 000
4 000
3 000
2 000
1 000
Progresímetroaxiomático
Crecimiento exponencial y sus gráficas14
217
De nuevo el corazón de las grutas
Para el crecimiento de la estalactita, se puede hacer una gráfica con los registros de crecimiento:
Número de años desde la primera medición 0 1 2 3 4 5 6
Longitud en cm 70 72 75 76 78 80 82
La gráfica se debe ver más o menos así. (Observa que para que cupiera en esta página hemos “recortado” el ejevertical, que se indica con dos rayitas. De otro modo no se podría poner el 70 inmediatamente después del 0.)
Como se puede observar, excepto por el punto que corresponde al segundo año (2, 75), todos los demásestán en una recta. Este tipo de relaciones funcionales ya se han estudiado. La expresión algebraica que re-presenta este crecimiento de una manera bastante aproximada es:
y 5 2x 1 70
La expresión sería completamente exacta si la medición real del segundo año hubiera sido de 74 cm.
Utilicen los datos del crecimiento de la estalagmita y hagan una gráfica que represente lo que aparece enla tabla. El punto en el cual se interseca la gráfica anterior con la que vas a trazar es la solución al problema.Para mayor exactitud, encuentra la expresión algebraica que describe el crecimiento de la estalagmita yencuentra la solución al sistema formado por cada ecuación.
Gráfica de la longitud de una estalactita con el tiempo.
0
70
72
7476
78
8082
84
86
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Una última faena
1. ¿Cuál es la tasa de crecimiento de la secuencia del plan B que el tío le propone a Luisa en la sección “Untorito al ruedo”? Es decir, la secuencia: 1, 2, 4, 8, 16,…
Manejo de la información
218
2. Se depositan $10 000 en el banco A que ofrece una tasa de rendimiento de 1.5% mensual. En el banco Bse agregan $100 cada mes al capital ahorrado. ¿Qué banco le conviene más a un ahorrador?
3. Alonso Izaguirre es basquetbolista profesional y además es muy observador. Se hadado cuenta de que al dejar caer la pelota ésta bota varias veces, pero en cadarebote alcanza una altura menor. Alguna vez leyó que si una pelota se dejara caerdesde cierta altura, cada vez que la pelota rebotara la altura alcanzada sería lamitad de la anterior. Claro que esto depende del material con que esté hecha lapelota, la presión del aire que contiene, las características del suelo donde reb-ota y otras condiciones, como la velocidad del viento, etcétera.
Si suponemos que cuando una pelota se deja caer desde cualquier altura, acada rebote la altura alcanzada es la mitad que la anterior y dejamos caer la pelota desde una altura de 20m, ¿cuántos rebotes tendrá que dar la pelota hasta que alcance una altura de 20 cm? Haz la gráfica que rep-resenta la altura de la pelota en cada rebote.
Haz una gráfica del comportamiento del capital en cada caso.
Año 1 2 3 4 5 6
Cantidad $10 000
Año 7 8 9 10 11 12
Cantidad
20
15
10
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de rebotes
Alt
ura
delr
ebot
e(m
etro
s)
Matematograma
Llena el matematograma de modo que refleje tu desempeño en el bloque.
Planteamiento y resolución de problemas
Argumentación
Comunicación
Manejo de técnicas
A B C D E
Matematograma
Man
ejo de técnicas
Comunicación
Argumentación
Plante
amie
nt
o y resolución de problem
as
219219219
Por mucho tiempo el núcleo del álgebra de la secundaria fue el tema de ecuaciones. Ahorasigue siendo muy importante, pero su comprensión se facilita si se estudia ligado a los concep-tos de funciones lineales. Como éstas ya las has estudiado en los bloques anteriores, ahora seretoma el tema de ecuaciones, también en contextos interesantes. En el eje “Forma, espacio ymedida” se introducen elementos de la geometría del espacio. Las propiedades de los cuerposgeométricos y las maneras de calcular volúmenes son el objeto del bloque. Terminamos con losconceptos de mediana, cuartiles y diagramas de caja-brazos; se proporciona una forma muyinteresante de simplificar la información para representarla sin tener que leer todos los datos y,no obstante, entenderlos de un rápido vistazo. Con este tema se termina el estudio de lasmatemáticas de este año, pero —te recomendamos— repasar los temas anteriores para tu ingre-so al nivel educativo superior.
Bloque
5
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Lección 15
220
La resolución de problemas
y las ecuaciones
El fin y los medios
Nuestro reto es: Y necesitamos...
• Entender el significado de las variablesutilizadas al plantear ecuaciones quemodelan problemas verbales.
• Interpretar los conceptos de raíz de unaecuación cuadrática y solución de sis-temas de ecuaciones lineales.
• Dado un problema, determinar la ecua-ción lineal, cuadrática o sistema de ecua-ciones con que se puede resolver, y vice-versa, proponer una situación que semodele con una de esas representaciones.
Lo anterior explicaría por qué en invierno hace fríoy en verano calor. Aunque eso está de acuerdo connuestro sentido común, no es la explicación correcta.Basta constatar que cuando en los países al norte delecuador es verano, en los países al sur del ecuador esinvierno y viceversa. El modelo anterior es incapaz deexplicar este hecho.
En realidad, la causa de las estaciones es que el ejede rotación de la Tierra forma un ángulo de 23.5º enrelación con el plano que contiene la órbita que siguealrededor del Sol. En el solsticio de verano, el polonorte se inclina hacia el Sol; en el invierno, se aleja delSol. Con el polo sur ocurre exactamente lo contrario.Reflexionen sobre el esquema siguiente (que porsupuesto no guarda las proporciones reales) y enten-derán que esta explicación es más poderosa que laanterior:
Ciencia, sí; sentido común, no
¿Por qué hace frío en invierno y calor en verano? La opinión másextendida es que como la Tierra gira en torno al Sol a lo largo de unaelipse (donde el Sol es uno de sus focos), nuestro planeta pasa porpuntos más cercanos y más alejados al Sol a lo largo del año, el tiem-po que tarda precisamente en darle una vuelta completa al Sol. Sepensó entonces que cuando la Tierra está cerca del Sol es verano, ycuando está lejos, invierno.
Verano Invierno
Solsticio deverano
Solsticio deinvierno
La resolución de problemas y las ecuaciones15
221
Un torito al ruedo
La Vuelta Ciclista de México
Karen va a participar en la Vuelta Ciclista de México y está entrenando intensa-mente todos los días. Recorre a diario en su bici el trayecto de San Andrés a SanBartolo. Este recorrido lo hace a una velocidad promedio de 24 km/h. Llegando aSan Bartolo, Karen se regresa inmediatamente a San Andrés a una velocidadpromedio de 18 km/h. El tiempo que Karen tarda en regresar (San Bartolo–SanAndrés) es de una hora más que lo que tarda en ir de San Andrés a San Bartolo.
Y la pregunta es:
¿Cuál es el tiempo que tarda Karen en sus viajes de ida y vuelta?¿Cuál es la distancia total que recorre Karen, es decir, la distancia enlos trayectos San Andrés-San Bartolo y San Bartolo-San Andrés?
Progresímetroautónomo
Sentido numérico y pensamiento algebraico
222
Tendiendo las redes
Los datos del problema son las velocidades promedio de Karen, tanto en el viajede ida como en el de regreso. En el siguiente apartado se explica cómo calcular lavelocidad promedio.
Aprendiendo a resolver problemas
En el problema de “La Vuelta Ciclista de México” debe quedar claro que tanto ladistancia recorrida por Karen como el tiempo empleado para recorrerla consti-tuyen las incógnitas. En estas incógnitas existen relaciones implícitas y explícitas.
1. Por ejemplo, ¿cómo es la distancia que recorre Karen en la ida, es decir, en eltrayecto San Andrés–San Bartolo, comparada con la distancia que recorre deregreso, es decir, en el trayecto San Bartolo–San Andrés?
En pareja comenten esta pregunta; escriban sus conclusiones:
2. En los tiempos empleados por Karen para recorrer las distancias de ida y deregreso hay una relación explícita. ¿Cuál es?
3. Supongan que el tiempo utilizado en la ida se simboliza con la variable t 1 y el
tiempo de regreso se simboliza con la variable t 2 . ¿Cómo se relacionan estas
variables?
4. Propongan ahora una expresión simbólica que describa la relación explícitaentre las variables t 1 y t 2 .
La fórmula más simple del movimiento uniforme es v 5 , donde v representa la velocidad, d la distancia yt el tiempo. Si se recorren tramos a distinta velocidad, la velocidad media o velocidad promedio se calculasumando las distancias recorridas y dividiéndolas entre la suma de los tiempos parciales. Suponiendo que lasdistancias son d1, d2 , d3 , y d4 , recorridas respectivamente en los tiempo t 1 , t 2 , t 3 , y t 4 , entonces la velocidad
media es:
DE BUENA FUENTE
d
t
vd d d dt t t t
=+ + ++ + +
1 2 3 4
1 2 3 4
La resolución de problemas y las ecuaciones15
223
Tipos de variables en los problemasEn matemáticas, es importante identificar el tipo de variables que intervienen enexpresiones algebraicas. Si tales expresiones se dan como funciones de dos variables,entonces se debe saber cuál es la variable independiente y cuál la variable depen-diente (vean página 128 de este libro).
Por ejemplo, en la función cuadrática y 5 x2 2 3x 1 2, ¿cuál es la variable indepen-diente y cuál la dependiente?
Cuando se tiene la expresión algebraica de una función de dos variables, puedeverse de qué manera una de sus variables varía en términos de la otra. Esto es, a unade las variables, a la variable independiente, se le asignan valores libremente y los va-lores de la otra variable, la dependiente, se calculan usando los valores que previa-mente se asignaron a la variable independiente.
Por ejemplo, en la función cuadrática y 5 x2 2 3x 1 2, para observar cómo ocurrela variación de x y de y, te sugerimos que completes la tabla de valores:
¿En qué valores de x la variable y es igual a cero? En y en .
Los valores de x que hacen que y sea igual a cero se pueden encontrar resolviendola ecuación de segundo grado x2 2 3x 1 2 5 0. Resuélvela con cualesquiera de losmétodos estudiados en este libro (lección 5).
El uso de gráficas
En la lección 10 de este libro se ven las gráficas de funciones cuadráticas. Habrásobservado que tales gráficas son curvas a las que se les llama parábolas. Estas gráficasse pueden obtener con una calculadora graficadora o un paquete graficador, o bienconstruyendo una tabla de valores.
La gráfica de la derecha se trazó con un paquete graficador. Identifica los valores dex donde la función cuadrática y 5 x2 2 3x 1 2 se hace cero. Esto lo puedes hacer yasea observando la intersección de la gráfica con el eje de las abscisas o resolviendo laecuación con la fórmula general. Escribe esos valores: y .
Variable independiente: Variable dependiente:
x 0 1 2 3 4
y
23 22 21
121
22
2324
25
22 21232425 2 3 4 5
54
32
y
x1
Sentido numérico y pensamiento algebraico
224
Los valores de x en los que la función cuadrática y 5 x2 2 3x 1 2 se hace cero sellaman raíces o soluciones de la ecuación. Las raíces de la ecuación cuadrática ante-rior son enteras, pero NO siempre sucede así. Hay ecuaciones cuadráticas cuyas solu-ciones se aproximan con números decimales. Veamos el siguiente ejemplo.
Aproximación de las raícesde una ecuación cuadráticaDetermina las raíces de la ecuación cuadrática x2 2 2x 2 4 5 0 utilizando una tablade valores y la gráfica asociada a la función y 5 x2 2 2x 2 4. Las raíces deben tenerpor lo menos una aproximación de dos números decimales.
Solución mediante el uso de tabla de valores.
Observa la tabla de valores:
Ahora, une en forma “suave” los puntos encontrados. Después de trazar la gráfica dela función cuadrática, te puedes dar cuenta de que tiene dos raíces reales al ver las inter-secciones con el eje de las abscisas: una está entre 22 y 21, y la otra está entre 3 y 4,pues en efecto, en esos intervalos la parábola “corta” al eje de las abscisas. Para localizarla raíz que está entre 3 y 4, usemos la siguiente tabla de valores:
Ubica en los ejes coordenados los puntos de la tabla anterior:
x 0 1 2 3 4
y 11 4 4
Puntos
23 22 21
21 24 25 24 21
(21, 21)(22, 4)(23, 11) (0, 24) (1, 25) (2, 24) (3, 21) (4, 4)
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
32 4 5 76 8 92121
0
22
23
24
25
26
27
28
29
2223242526272829
x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
y 0.29 0.76 1.25 1.76 2.29 2.84 3.4120.59 20.16
La resolución de problemas y las ecuaciones15
225
¿Qué valor de x hace que y esté más cerca de cero? Escribe una propuesta:
En realidad el valor exacto de x que se está buscando está entre 3.2 y 3.3.
Ahora, para hallar la raíz de y 5 x2 22x 2 4, con una aproximación de dos deci-males, te sugerimos completar la tabla de valores e identificar el valor de x donde yestá más cerca de cero.
Así, la raíz de la función y 5 x2 22x 2 4 —con una aproximación de dos deci-males— es:
A continuación, se muestra la gráfica de la función cuadrática y 5 x2 22x 2 4 uti-lizando un paquete graficador. Identifica las dos raíces de la función; aproxima suvalor al menos dos decimales.
x 3.21 3.22 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 3.28 3.29
y 0.0625 0.244120.1159
Escribe el valor de las raíces de la ecuación x2 5 22x 2 4 5 0.
x1 5 y x2 5
123456789
1011
12
y
213212211210
29282726252423222121 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x2223242526272829210
AGUZANDO EL INGENIO
Considera este par de funciones:
y1 5 x 2 23x 1 2
y2 5 2x 1 2
¿En qué valores de x se satisface que y1 5 y2?
Sentido numérico y pensamiento algebraico
226
Para resolver este problema responde las preguntas que se plantean:
1. Desde el punto de vista algebraico, es preciso resolver la ecuación cuadrática x 223x 1 2 5 2x 1 2.Argumenta por qué esta afirmación es verdadera. Escribe tus comentarios.
2. Resuelve la ecuación cuadrática x 223x 1 2 5 2x 1 2 por medio de cualquiera de los métodos ya estu-diados en este libro. Si deseas utilizar la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado:
, tienes que reescribir la ecuación cuadrática x 2 23x 1 2 5 2x 1 2 de la forma
ax 2 1 bx 1 c 5 0 e identificar los valores de los parámetros a, b y c.
3. La resolución de una ecuación cuadrática utilizando las gráficas de las funciones cuadrática y linealasociadas a la conformación de dicha ecuación, implica trazar las gráficas de cada una de las funcionessi éstas están dadas en la forma y1 5 y2; en este caso, y1 5 x 2 2 3x 1 2y y y2 5 2x 2 1 2. La figura deabajo corresponde a las gráficas de y1 y y2 , trazadas en un mismo sistema de ejes coordenados, utilizan-do un paquete graficador. Identifica y escribe los valores de x en los que se satisface la igualdad y1 5 y2.
4. Enseguida, se muestran las gráficas de y1 5 x2 2 3x 1 2 y de y2 5 2x.
21
21
22
23
24
25
1
1
2
3
4
5
2 3 4 522232425
y
x
2121
1
1
2
3
4
5
2 3 4 5x
y
22
23
24
25
22232425
xb b bc
a=− ± −2 4
2
y1 5 x 2 2 3x 1 2
y2 5 2x 1 2
y1 5 x2 2 3x 1 2
y2 5 2x
La resolución de problemas y las ecuaciones15
227
5. En equipo traten de argumentar por qué la siguiente afirmación es verdadera. “La ecuación cuadrática
x 2 2 3x 1 2 5 2x NO tiene raíces reales”.
6. Considera las funciones cuadráticas y1 5 x 2 1 3x 1 2 y y2 5 2x 2 1 4x. Utilizando el método algebraicodetermina los valores de x que satisfacen la igualdad y1 5 y2.
7. Abajo se muestran las gráficas de las dos funciones anteriores. Identifica cuál es la gráfica de y1 y la de y2.
Apóyate en estas gráficas para dar los valores de x que satisfacen la igualdad y1 5 y2.
SUGERENCIA:
Para resolver este problema debes resolver la ecuación cuadrática: x2 1 3x 1 2 5 2x2 1 4x
De nueva cuenta, utiliza la fórmula general para resolverla.
SUGERENCIA:
Resuelvan la ecuación cuadrática con la fórmula general. Reescriban la ecuación x 2 2 3x 1 2 5 2x en suforma general y después identifiquen los valores de los parámetros a, b y c ; luego, utilicen la fórmula ge-neral que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado:
¿Por qué basta con analizar el signo del discriminante de la ecuación cuadrática, D 5 b2 2 4ac , para sabersi tiene o no raíces reales?
‒1‒1‒2‒3‒4‒5‒2‒3‒4‒5‒6‒7‒8‒9
5
123456789
5 5 5 5
y
x
Una de las tareas que se realizan a menudo en el álgebra es la de traducir relaciones que se expresan en formaverbal a una forma algebraica. Las ecuaciones son la forma algebraica de una amplia clase de problemas, tanamplia que es difícil abarcar todas las formas en una lección o incluso en un libro. Es por ello que desde primergrado de secundaria —a lo largo de diferentes lecciones— se han formulado problemas y situaciones en formaverbal y se ha buscado expresarlas con simbolismo algebraico. A continuación, se dan ejemplos y ejercicios paraque desarrolles la habilidad de traducir relaciones expresadas en forma verbal a una forma algebraica.
DE BUENA FUENTE
Problemas verbales
xb b ac
a=− ± −2 4
2
Sentido numérico y pensamiento algebraico
228
MANOS A LA OBRA
Marcela tiene un expendio de semillas y el kilogramo de cacahuates lo da en$14, mientras que el kilogramo de almendras en $32. Al finalizar las ventasde marzo, se da cuenta de que los cacahuates no se han vendido bien ydecide hacer una mezcla de cacahuates con almendras. Logró producir 90kilogramos de una mezcla de “cacahualmendras”, que venderá a $20 el kilo.¿Cuántos kilogramos de cacahuates y cuántos de almendra deberá mezclarpara mantener los mismos ingresos?
a) Las incógnitas del problema son: el número de kilogramos de cacahuates y el número de kilos de almen-dra que debe contener la mezcla.
b) Ingreso por la venta de cacahuates 1 Ingreso por la venta de almendras 5 Ingreso de la mezcla de ca-cahualmendras.
Escriban sus comentarios:
Llamemos c al número de kilogramos de cacahuate de la mezcla y a al número de kilogramos de almendrade la mezcla. Discute con tu compañero por qué las siguientes igualdades son verdaderas:
Utilizando esta información es posible plantear el sistema de ecuaciones que permita resolver el problema,a saber:
c 1 a 5 90
14c 1 32a 5 1800
Resuelve este sistema de ecuaciones por medio de cualquiera de los métodos estudiados en la lección 15 deMatemáticas 2. Escribe las soluciones del problema:
Número de kilogramos de cacahuate en la mezcla de cacahualmendras:
Número de kilogramos de almendra en la mezcla de cacahualmendras:
a) c 1 a 5 90:
b) Ingreso por la venta de cacahuates: I1 5 14c :
c) Ingreso por la venta de almendra: I2 5 32a:
d) Ingreso total por la mezcla: $90 3 20 5 $ 1800:
En parejas discutan la validez de las siguientes afirmaciones:
{
La resolución de problemas y las ecuaciones15
229
AGUZANDO EL INGENIO
1. Los Pérez-Azcona —10 niños y 6 adultos— fueron al teatro y en total pagaron $650.00 por las entradas.A ese mismo teatro y a esa misma función fueron los Pérez-Cortina —4 niños y un adulto— y en totalpagaron $190.00 de entradas. ¿Cuánto cuesta la entrada por niño y cuánto la entrada por adulto?
2. Hay sustancias medicinales que son una mezcla de agua con una concentración de yodo puro. Se quiereobtener una mezcla al 12% de concentrado de yodo, pero no se tiene concentrado de yodo puro, sino unamezcla con 30% de concentrado de yodo y otra con 3%. ¿Qué proporción de cada mezcla se debe agre-gar para obtener la mezcla deseada con 12% de concentrado de yodo?
SUGERENCIA:
Por cada parte de la mezcla de 30%, se debe tomar una parte de la mezcla al 3%. ¿Qué ecuación dará eseresultado?
3. a) En cierto momento Mirely tiene $800 y decide ahorrar $300 al mes, mientras que su hermana Karendispone de $4800 y gasta $200 al mes. ¿En qué momento el saldo de Karen será el doble del saldo deMirely? ¿Es posible que, en algún mes, el saldo de Mirely sea el doble del saldo de Karen? ¿Cuándo elsaldo de Karen es igual al saldo de Mirely?
b) En un mismo sistema de ejes coordenados bosqueja las gráficas de las funciones que modelan el pro-blema anterior, es decir, las funciones tanto del saldo de Mirely como del de Karen. Responde las mis-mas preguntas con ayuda de dichas gráficas.
SUGERENCIA:
Considera que los ahorros constituyen cantidades positivas, mientras que los gastos son cantidadesnegativas.
Al torito por los cuernos
Sentido numérico y pensamiento algebraico
230
De nuevo la Vuelta Ciclista de México
De la fórmula v 5 se despeja d, que es: distancia 5 velocidad 3 tiempo. Búsqueda de la relación explícita de los tiempos utilizados por Karen en sus viajes de
ida y vuelta. Si el tiempo del recorrido de ida se simboliza con la variable t1 y el de
regreso con t2 , entonces la expresión verbal “El tiempo que Karen tarda en regresar
(San Bartolo–San Andrés) es de una hora más que lo que tarda en ir de San Andrés a
San Bartolo” se simboliza como t 2 1 1 5 t1. Explica por qué esta afirmación es cierta:
Búsqueda de la relación implícita de las distancias recorridas por Karen en sus viajesde ida y vuelta. El viaje de ida es de San Andrés a San Bartolo y el de regreso de SanBartolo a San Andrés, lo cual significa que las distancias recorridas son iguales. Ensímbolos, si d1 significa la distancia recorrida en la ida y d2 la distancia recorridaen el regreso, entonces d1 5 d2.
Ahora bien, d15 velocidad promedio de ida 3t1 , mientras que d2 5 velocidadpromedio de regreso 3t 2 .
Utilizando estas igualdades y el hecho de que d1 5 d2 , se tiene que:
velocidad promedio de ida 3t1 5 velocidad promedio de regreso 3t 2
O bien 24t 1 5 18t 2 , pero ya sabemos que t 2 1 1 5 t1. Utilizando estas dos igual-dades, se puede plantear la igualdad 24t 1 5 18(t 1 2 1) en términos de la incógni-ta t 1 , la cual permite hallar los tiempos de ida y de regreso en el recorrido diario deKaren.
Resuelve la ecuación 24t 15 18(t 1 2 1). Después de hallar el valor de t 1 encuen-tra el valor de t 2 . Escribe los resultados:
Tiempo utilizado por Karen en su viaje de ida:
Tiempo utilizado por Karen en su viaje de regreso:
Con cualquiera de estos tiempos, calcula la distancia de ida recorrida por Karen,lo mismo que la de regreso, escríbelas: y .
Como la distancia total 5 distancia de ida 1 distancia de regreso, entonces:
d1 1 d2 5
1. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación (x 1 1)3 2 (x 2 1)3 5 8x? Justifica turespuesta resolviendo la ecuación. Usa el método algebraico para resolver ecua-ciones cuadráticas.
SUGERENCIA: Reescribe la ecuación (x 1 1)3 2 (x 2 1)3 5 8x en la formaax2 1 bx 1 c 5 0 , y después usa la fórmula general para resolverla.
Recuerda que (x 1 1)3 5 (x 1 1)(x 1 1)(x 1 1);
de igual forma, (x 2 1)3 5 (x 2 1)(x 2 1)(x 2 1).
d
t
Una última faena
Progresímetroautónomo
La resolución de problemas y las ecuaciones15
231
2. Después de reescribir la ecuación (x � 1)3 � (x � 1)3 � 8x en la forma ax2 � bx � c � 0, utiliza una cal-culadora graficadora y bosqueja la gráfica de la función cuadrática asociada a esa función cuadrática.Identifica las raíces de la ecuación en la gráfica y compáralas con las obtenidas por el método algebraico.
3. Resuelve la ecuación cuadrática 7x � 3 (x 2 � 5) � x � 3 utilizando la información que proporcionan
las gráficas de y1 � 7x � 3(x2 � 5) y y2 � x � 3.
4. Un lingote de 20 kg está formado por una aleación de oro y plata; este lingote tiene un volumen de1.5 dm 3. Se sabe que las densidades del oro y de la plata son 19.64 y 10.50, respectivamente. Determinalas masas del oro y de la plata que constituyen este lingote.
5. Un ciclista recorre una trayectoria de A hacia B, que comprende tramos horizontales, subidas y bajadas.En las partes horizontales su velocidad es de 12 km/h, en las subidas la velocidad es de 8 km/h y en lasbajadas la velocidad es de 15 km/h. En el recorrido de A hacia B, el ciclista hace 5 horas, mientras que deB hacia A hace 4 horas y 39 minutos. Se sabe que las partes horizontales tienen una longitud total de28 km. ¿Cuál es la longitud total de las subidas (sentido de A hacia B)? ¿Y cuál es la longitud total de lasbajadas?
y
x
�1 2 3 4 5 6 7�2�3�4�5�6�7 �1�3�5�7�9
�13�15�17�19
�11
1
135791113151719
Forma, espacio y medida
Lección 16
232
Volúmenes de cuerpos
geométricos
El fin y los medios
Nuestro reto es:
Y necesitamos...
• Saber calcular y estimar volúmenes decubos, prismas rectos y pirámides.
• Identificar las propiedades de los trián-gulos semejantes.
• Construir las fórmulas para calcular elvolumen de cilindros y conos.
• Estimar y calcular el volumen de cilin-dros y conos.
Calcular datos desconocidos dadosotros relacionados con las fórmulas delcálculo de volumen.
• Anticipar las características de los cuerposque se generan al girar o trasladar figuras.
Construir desarrollos planos de conos ycilindros rectos.
Anticipar y reconocer las secciones que seobtienen al realizar cortes a un cilindro oa un cono recto.
Determinar la variación que se da en elradio de los diversos círculos que seobtienen al hacer cortes paralelos en unaesfera o cono recto.
Este número se representa con la letra griega � (fi), su valor es aproximadamente 1.618034… y se le deno-mina razón áurea. Esta razón se presenta como relación entre las dimensiones de muchas pinturas y esculturasy también en la naturaleza.
Razón áurea, belleza por siempre
En todas las épocas ha habido construcciones, obras de arte, objetos de la naturaleza, personas y otrascosas consideradas bellas per se. Uno de los factores que se ponderan para decidir si un objeto es bello estávinculado a las relaciones numéricas entre sus diferentes magnitudes. A estas relaciones, cuando resultanagradables, se les llama armónicas.
Una razón que se considera armónica es la que se obtiene al dividir la longitud del lado mayor de cier-tos rectángulos entre la longitud de su lado menor. Veamos cómo se construye uno de estos rectángulos. Separte de un cuadrado ABCD, se toma M como el punto medio del . Con centro en M y radio , se trazauna circunferencia y se llama O a la intersección de la prolongación del con la circunferencia. El es labase del rectángulo que nos interesa y es su altura.
Veamos cuál es la relación entre los y . (Para simplificar los cálculos supongamos que el mide 1.)
a) Como ABCD es un cuadrado y el mide 1 se tiene que el � 1.
b) El triángulo BMC es un triángulo rectángulo (¿por qué?) y = (¿por qué?).Aplicando el teorema de Pitágoras:
c) � (¿por qué?).
d) Y como � � , se tiene que:
D CP
A M B O
AO AD
AD1
2
AO
AD
MC12
1114
54
52
22
+ = + == =
AOAB
AM MO=
+=
+=
+1
12
52
11 5
2
AB
AB
MB
ABAD
MC
MC MO
AO AM MO
Volúmenes de cuerpos geométricos16
233
Un torito al ruedo
Gira que gira, la geometría
Gerardo Saiz está trabajando en su taller de torno unas piezas de metal para unaprensa hidráulica.
En ese momento, entra Boris al taller de su primo y, luego de un larguííííísimosaludo que termina en choque de nudillos, Gerardo le explica:
—Lo que voy a hacer es bajar poco a poco la cuchilla para ir cortando el cilin-dro de metal, hasta que el borde horizontal de la cuchilla quede a la misma alturade la superficie superior del cilindro —Boris escucha atento lo que le dice su primoy va imaginando cómo quedará la pieza torneada—. El borde horizontal de lacuchilla mide treinta centímetros, justo lo que mide el radio de la base del cilindro.
”Lo malo es que se va a desperdiciar mucho material —se lamenta Gerardo—.Como la mitad, ¿no, primo?
Boris está a punto de contestarle a su primo cuánto material del cilindro se des-perdiciará, pero decide que es mejor que lo descubra el propio Gerardo.
—Pues algo así, Ger —contesta Boris, embebido en el giro de la cuchilla y en lafigura que va surgiendo del cilindro de acero.
Esta varillagira a granvelocidad
Ésta es lacuchilla que corta metal,unida a lavarilla
30 cm
10 cm
Éste es elcilindro demetal que se va a cortar
10 cm
Y la pregunta es:
¿Qué tanto de su volumen va a perder el cilindro después de queGerardo acabe de hacer la pieza con el torno?
Progresímetroexperto
Forma, espacio y medida
234
Tendiendo las redes
MANOS A LA OBRA
En equipo lleven a cabo las actividades que se proponen.
1. Imaginen un punto P en el espacio de tres dimensiones y un plano S que NO contiene a dicho punto.
¿Existe un punto Q en el plano S tal que el sea perpendicular a cualquier recta del plano?
La respuesta es afirmativa. En la figura de abajo se muestra un que es perpendicular a una recta del
plano S:
Cualquier otra recta en el plano que pase por Q será perpendicular al . Se dice entonces que el esperpendicular al plano.
a) Imaginen un círculo en el plano S con centro en el punto Q. Si se trazan todas las rectas que pasanpor la circunferencia y por el punto P, ¿qué figura se forma?
PQ
PQ
PQ PQ
PQ
∑
P
∑
P
Q
i) Un cilindro ii) Una circunferencia iii) Un cono
b) Imaginen un círculo en el plano con centro en el punto Q. ¿Qué figura se formará si se traslada el círcu-lo de manera que se conserve paralelo al plano y el centro del círculo se mueva a lo largo del ?
i) Un cilindro ii) Una circunferencia iii) Un cono
Volúmenes de cuerpos geométricos16
235
c) Imaginen que el punto P se mueve por todas partes pero siempre conservando la distancia PQ. ¿Quéfigura se forma?
i) Un cilindro ii) Una circunferencia iii) Un cono
d) Dibuja en cada figura cómo se vería un cono, un cilindro y una circunferencia con las característicasque se describen, respectivamente, en los incisos a, b y c.
2. En cada celda responde si es posible obtener la forma que se indica en la primera fila (círculo, rectángu-lo o triángulo) con alguna intersección de un plano con la figura de la primera columna (cilindro, conoy esfera). Se han llenado tres celdas como ejemplo:
Cono Cilindro Circunferencia
Círculo Rectángulo Triángulo Otro
No es posible obtenerlo
No es posibleobtenerlo
Forma, espacio y medida
236
Construcción de un cilindro
El objetivo de esta actividad es construir un cilindro de cartulina.
• Reproduce en una cartulina un dibujo como el que se muestra abajo, pero detamaño más grande, por ejemplo, con h 5 12 cm y r 52.5 cm. Observa que ellargo del rectángulo tiene que ser igual al perímetro de la circunferencia, es decir,debe medir:
Largo 5 2pr
• Recorta y dobla cuidadosamente los picos yla ceja; al final, pega.
El volumen de un cilindro es el producto delárea de la base por la altura:
Vcilindro 5 pr2h
donde h es la altura y r el radio de la base circular.
La representación en tercera dimensión del cilindro es:
r
h
AGUZANDO EL INGENIO
1. Encuentra la fórmula del área de la superficie exterior del cilindro. El desarrollo plano del cilindro generauna superficie como se ve en la siguiente figura:
2. Calcula el volumen y el área de la superficie de un cilindro cuya altura es de 12 cm y cuyo radio de la basemide 2.5 cm.
3. Calcula el área de la superficie y el volumen de un cilindro cuya altura es de 10 cm y cuyo radio de la basemide 5 cm.
MANOS A LA OBRA
Volúmenes de cuerpos geométricos16
237
Construcción de un cono
• Recorta y dobla cuidadosamente los picos y la ceja; al final, pega.
El volumen del cono es un tercio del producto de la base por la altura:
Vcono 5 pr2h
donde h es la altura y r el radio de la base circular.
La representación en la tercera dimensión del cono es:
r
g
AGUZANDO EL INGENIO
1. Si el cono se corta con planos paralelos a la base, se forman círculos en loscortes. En la figura no están dibujados los cortes. ¿Los puedes dibujar?
2. Representa los cortes de un cono circular recto con planos perpendiculares a la base. ¿Cómo es la figuraque se forma con esos cortes?
3. Representa una esfera con cortes hechos con varios planos paralelos. ¿Qué figuras se forman en los cortes?
1
3
El objetivo de esta actividad es construir un cono de cartulina.
• Reproduce en una cartulina un dibujo como el que se muestra en la figura de abajo, pero de tamaño másgrande, por ejemplo, con h 5 15.5 cm y r 5 3.5 cm. Observa que la longitud del arco (que en la figura tiene“dientes” para el pegado) debe ser igual al perímetro de la circunferencia, es decir:
Longitud de arco 5 2pr
Forma, espacio y medida
238
En la lección 6 del libro de Matemáticas 2, se vio la fórmula para obtener el volumen de un prisma. Utilizandosemillas, descubriste que el volumen de una pirámide con la misma base y la misma altura que un prismadado es igual a un tercio del volumen del prisma.
Las fórmulas para calcular el volumen de un prisma y de una pirámide son:
Volumen del prisma 5 área de la base 3 altura
Volumen de una pirámide 5 (área de la base 3 altura)
Además de cubos, prismas y pirámides, existen otros cuerpos geométricosconocidos como cuerpos redondos: el cilindro, el cono y la esfera.
Por otra parte, en el estudio de los polígonos se observó que si se aumenta-ba el número de lados de un polígono regular inscrito, éste se acercaba cadavez más a la circunferencia:
Así pues, la circunferencia puede considerarse un polígono con un número infinito de lados.
Extrapolando esta idea, un cilindro podría considerarse un prisma con un número infinito de caras; uncono, verse como una pirámide con un número infinito de caras, y una esfera, como un poliedro regular conun número infinito de caras.
Los cuerpos redondos también pueden verse como sólidos de revolución, esto es, sólidos generados al giraruna curva.
En la figura de abajo (izquierda) se ve una curva, y a la derecha, el sólido de revolución generado por dichacurva al hacerla girar con respecto al eje horizontal.
Para comprender mejor esta idea, imagina el cuerpo que se genera en el espa-cio al hacer girar un semicírculo. Como se ve en la figura de la derecha.
Para llevar a cabo este experimento, recorta un semicírculo de cartulina y pegaen los extremos del diámetro una liga. Haz girar el semicírculo varias veces hastaque la liga quede lo suficientemente torcida y luego suéltalo. El cuerpo que“aparece” al hacer girar el semicírculo es una esfera. ¿Puedes verla?
DE BUENA FUENTE
1
3
Curva
Eje de rotación
Liga
Liga
Semicírculo decartón
Volúmenes de cuerpos geométricos16
239
AGUZANDO EL INGENIO
En pareja realicen las actividades que se proponen:
1. Si en lugar de un semicírculo colocas un rectángulo, ¿qué sólido de revolución se formará? ¿Y si lo quepones es un triángulo rectángulo?
2. Intenten hacer el ejercicio anterior utilizando alguna figura que ustedes inventen en lugar del triángulo oel cuadrado, e imaginen el sólido de revolución correspondiente.
3. ¿Qué figura tendrían que recortar en cartulina si quieren que el sólido de revolución tenga forma de campana?
4. ¿Qué figura tendrían que hacer girar si quieren generar una dona?
5. Consigan un recipiente de avena cilíndrico. Con un pliego de cartoncillo hagan un cono cuya altura y cuyabase sean iguales a las del recipiente de avena. Llenen el cono de arena y vacíenlo en el recipiente de avena.Repitan este procedimiento hasta llenar el bote de avena. ¿Qué es lo que observan?
6. Repitan el experimento anterior con otras dos parejas de conos y cilindros diferentes. Cada pareja de cuer-pos debe tener la misma base y la misma altura. ¿Qué es lo que observan?
7. Comenten con otros compañeros si se obtiene el mismo resultado en todos los casos.
8. En párrafos anteriores se mencionó que el cilindro podía considerarse un prisma con un número infinitode lados, y un cono, una pirámide con un número infinito de lados. ¿Qué relación encuentran entre estasafirmaciones y el resultado que encontraron en el punto 5?
Forma, espacio y medida
240
Imagina que estás viendo un cilindro desde arriba y vas inscribiendo prismas. Primero uno triangular, luegouno de cuatro caras, uno de nueve, doce, diecinueve…, veinticinco y así hasta llegar al círculo que es la basedel cilindro.
El volumen de esta secuencia de prismas va aumentando hasta llegar al del cilindro. Por tanto, se puedeafirmar que el volumen de un cilindro es igual al área de la base por la altura. Igual que el de un prisma, sóloque el área de la base es el área de un círculo. Así que si se tiene un cilindro de radio r y altura h, su volumenV está dado por la fórmula:
V 5 p 3 r2 3 h
DE BUENA FUENTE
AGUZANDO EL INGENIO
En equipo discutan las preguntas planteadas.
1. Utilicen la fórmula del volumen de un cilindro y los resultados que han obtenido anteriormente paraescribir la fórmula del volumen de un cono de radio r y altura h.
¿De qué forma será el hueco que quede en el cilindro cuando Gerardo lo termine de cortar en su torno?
¿Cuál es el volumen del cilindro de metal original?
¿Cuál es el volumen de la pieza que queda después de cortar?
Al torito por los cuernos
Volúmenes de cuerpos geométricos16
241
De nuevo gira que gira, la geometría Si respondieron correctamente a las anteriores preguntas habrán notado que elhueco que se forma en el cilindro es un cono de 30 cm de radio y 10 cm de altura.
El volumen del cilindro original se obtiene sustituyendo, en la fórmula del volu-men de un cilindro, r 5 30 y h 5 10.
El hueco corresponde al volumen de un cono de la misma base y la mismaaltura (pero de cabeza), así que es igual a un tercio del resultado anterior.
Lo que se desperdicia de material es la tercera parte del cilindro original y quedauna pieza de del volumen inicial.2
3
Una última faena
En parejas lleven a cabo las actividades propuestas:
1. Llenen la tabla:
¿Cambia el radio de cada cuerpo?
¿Cuánto aumenta la altura del primero al segundo renglón? veces.
¿Y del primero al tercero? veces.
Completen el enunciado que expresa la relación ejemplificada por la tabla anterior.
“Si el radio de un cilindro o de un cono permanece y laaltura aumenta n veces, entonces el volumen del cilindro y del cono respectivosaumentan veces.”
Radio de la base AlturaVolumen
del cilindroVolumen del cono
3 1
3 2
3 3
3 99p
3 45p
Man
ejo de técnicas
Progresímetroexperto
Forma, espacio y medida
242
3. ¿Qué le sucede al volumen de un cilindro si su altura aumenta al doble y su radio también al doble?
¿Y al de un cono?
2. Llenen la tabla:
¿Cambia la altura de los cuerpos descritos en la tabla?
¿Cuánto aumenta el radio del primero al segundo renglón? veces. ¿Y del primero al tercero?veces.
Completen el enunciado que expresa la relación ejemplificada por la tabla anterior.
“Si la altura de un cilindro o de un cono permanece y el radio de la base aumen-ta n veces, entonces el volumen del cilindro y del cono respectivos aumentan veces.”
4. Se quiere calcular el volumen del sólido de revolución generado por el triángulo ABC al hacerlo giraralrededor del eje indicado:
SUGERENCIA
a) Prolonguen el lado AB del triángulo como se muestra en la figura de la si-guiente página.
b) Llamen B' al punto en el que el interseca al eje de rotación.
c) Tracen por el punto B una paralela al .
d) Llamen D al punto donde esta paralela interseca al eje de rotación.
Radio de la base AlturaVolumen
del cilindroVolumen del cono
1 5
2 5
3 5
5 60p
5 320p
Eje de rotación
2 u 1 u
1 u
AC
B
AB
CA
Volúmenes de cuerpos geométricos16
243
e) Imaginen los cuatro cuerpos que se forman al rotar, respectivamente, los triángulos CAB', DBB', CAB yCBD (un cono grande de altura CB', un cono mediano de altura DB', la pieza cuyo volumen quere-mos calcular, y un cono pequeño —de cabeza— de altura CD).
f) Observen que los triángulos PAB y CAB’ son semejantes. ¿Cuál es la razón de semejanza?
g) Se puede conocer el sabiendo que PB 5 1 y la razón de semejanza CB' 5
h) Calculen los volúmenes de los tres conos mencionados.
i) Con estos volúmenes se puede calcular el volumen de la pieza que se va a obtener con el torno.
5. Inventen un problema en el cual se tengan que calcular los volúmenes de un cono y de un cilindro.
6. Indica con cuáles de estos dibujos se puede construir un cilindro.
B’
D
C2 u 1 u
1 u
B
P
A
EJE de rotación
CB'
Manejo de información
Lección 17
244
Mediana, cuartiles
y diagramas
de caja-brazos
El fin y los medios
Nuestro reto es: Y necesitamos...
• Conocer y saber calcular las medidasde tendencia central (media, moda,mediana) a partir de un conjunto dedatos dado (Matemáticas 1, lección 17,y Matemáticas 2, lección 7).
• Interpretar, elaborar y utilizar gráficas decaja-brazos de un conjunto de datospara analizar su distribución a partir dela mediana o de la media de dos o máspoblaciones.
A primera vista parecería que la situación de los anillos enlazados essimilar a la de los niños enlazados, sin embargo, son fundamental-mente diferentes, pues —repetimos— los anillos no se pueden separarsin romperlos, mientras que los niños sí se pueden separar sin romperel cordel ni desatar los cordeles de las muñecas. ¿Cómo se puede lle-var a cabo esta hazaña houdinesca? Inténtenlo.
Para profundizar en este tipo de problemas, consulten el libroMatemáticas e imaginación, de Edward Kasner y James Newman, edita-do en México por la Compañía Editorial Continental en 1981.
Por simple topología
Cuando se tienen dos anillos enganchados —como semuestra en la figura— no se pueden separar sinromperlos.
Un problema similar consiste en atar un trozo de cordel a las muñecas de un niñoy otro tramo cordel a las muñecas de un segundo niño de tal manera que éste seenlace con el primero. La idea es que los brazos y el cordel atado a las muñecas del
primer niño formen uno de los anillos, y los brazos y el cordel del segundo niño for-men el otro anillo. Así, la manera en que están enlazados los niños es semejante a lamanera en que están enlazados los anillos. Vean la figura de la izquierda inferior:
Mediana, cuartiles y diagrama de caja-brazos17
245
Progresímetroexperto
Un torito al ruedo
Estadística para ufólogos
Y justo el día en que se inauguraba el CL Congreso Mundial sobre Ovnis, ocurrióel gran acontecimiento de la historia: ¡desde la galaxia de Andrómeda una civi-lización entró en contacto con los científicos de la Tierra!
La interlocutora del espacio se identificó como Urania, y antes de que la comu-nicación se desvaneciera, pidió información específica sobre nuestro sistema solar.Deseaba saber el valor típico del número de lunas que tienen los planetas del sis-tema solar y, como era de suponerse, quería esa información de manera resumida.
Los datos que se tienen al respecto aparecen en esta tabla:
Posición que ocupa el planeta en el sistema solar
Planeta Número de lunas
1 Mercurio 0
2 Venus 0
3 Tierra 1
4 Marte 2
5 Júpiter 16
6 Saturno 23
7 Urano 15
8 Neptuno 8
9 Plutón* 1
Y la pregunta es:
¿Qué es lo que los científicos de la Tierra deben responderle a Urania?O, planteado de otro modo: ¿cuál es el valor típico del número delunas de los planetas del sistema solar?
* Actualmente, se considera que Plutón no es un planeta de la misma categoría que losotros del sistema; para distinguirlo se le ha denominado planeta enano.
Forma, espacio y medida
246
Tendiendo las redes
Media y mediana de un conjunto de datos
Hemos visto que la media de un conjunto de datos es la suma de todos los datos dividida entre el número deellos; por ejemplo, la media de la longitud de los días en los planetas de nuestro sistema solar —de acuerdocon la tabla que se presenta abajo— es:
La mediana es el valor que está a la mitad de la lista de datos después de haberla ordenado de manera cre-ciente o decreciente.
Por ejemplo, para encontrar la mediana de la longitud de los días en los planetas de nuestro sistema solar,se enlistan las diferentes longitudes en orden creciente y se toma el quinto valor, que deja cuatro valores porabajo y cuatro valores por arriba:
Es un hecho curioso y circunstancial que la mediana sea la longitud del día terrestre.
Se tienen dos números completamente diferentes:
Media 5 844 y Mediana 5 24
En estadística, es importante hacerse esta pregunta: ¿qué valor representa mejor al conjunto de datos? En estecaso, la mediana parece más representativa pues 24 es un número relativamente cercano a la longitud del día enseis planetas, mientras que la media (844) no es cercana a ninguna de las longitudes del día en los planetas.
10 11 16 17 2244 24.5 153 1416 5932
DE BUENA FUENTE
1416 1 5932 1 24 1 24.5 1 10 1 11 1 17 1 16 1 153
95 844
Posición que ocupa el planeta en el sistema solar
PlanetaLongitud del día en horas
terrestres
1 Mercurio 1416
2 Venus 5932
3 Tierra 24
4 Marte 24.5
5 Júpiter 10
6 Saturno 11
7 Urano 17
8 Neptuno 16
9 Plutón 153
Volúmenes de cuerpos geométricos17
247
La razón de dicha diferencia estriba en que el conjunto de datos contiene valores atípicos; en el casoque nos ocupa, las longitudes del día en Mercurio (1416) y sobre todo la de Venus (5932) son canti-dades extremadamente grandes comparadas con las longitudes del día en los otros planetas. Se puedenhacer estas dos observaciones:
1. La media es muy sensible a los valores atípicos. Esto significa que si en un conjunto de datos hay un valoratípico la media puede no ser un buen representante del conjunto.
2. La mediana puede ser un buen representante del conjunto cuando existen valores atípicos.
AGUZANDO EL INGENIO
1. En la clase de geometría se formaron siete equipos para medir la altura del asta bandera de la escuela. Losresultados se muestran en la tabla:
Entre la moda y la mediana, ¿qué valor es más conveniente para tomarlo como representante del conjunto?
2. Hagan una lista con los datos de las frecuencias de los meses en que nacieron los estudiantes de su grupo.Dibujen en el pizarrón una tabla como ésta:
Cada alumno dice en qué mes nació. Dependiendo de su respuesta se dibuja una rayita en la celda delmes correspondiente de la primera fila. Después de que todos digan su nombre, en la segunda fila seponen los números totales de cada mes. Por ejemplo, la tabla de abajo podría ser la de un grupo de 23estudiantes:
Luego de que terminen la tabla, encuentren la mediana.
(Más adelante utilizarán los datos obtenidos en esta actividad.)
Equipo 1 2 3 4 5 6 7
Medida 4.90 5.25 5.10 18.0 4.85 5.20 5.00
Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.
Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.
3 2 0 4 3 1 1 0 0 2 4 3
DE BUENA FUENTE
Como hemos visto, tanto la media como la mediana son valores que pueden representar a un conjun-to de datos, pero se paga un precio por la simplificación pues hay información que se pierde. Por ejem-plo, al decir que la duración promedio de un día en los planetas de nuestro sistema solar es de 24 horas,
Cuartiles
Forma, espacio y medida
248
se está perdiendo información precisa, como que la duración del día en Venus es de 5932 horas. Siempreque se quiera reducir o representar un conjunto de datos con un solo número se presentará el proble-ma de pérdida de información, muchas veces de información relevante.
Los diagramas de caja-brazos son una forma de simplificar los datos sin perder tanta informacióncomo en ocasiones se pierde con la mediana o la media. El concepto de cuartil es necesario para sabercómo construir diagramas de caja-brazos.
Los cuartiles de una lista de datos son tres datos de esta misma lista que se encuentran de la siguientemanera:
a) Se ordena la lista de datos de menor a mayor.
b) Se encuentra la mediana (la mediana es el segundo cuartil). En los casos en que el número de datos seapar, se tomará como mediana el punto medio de la pareja de datos que se encuentran en medio.
c) El primer cuartil es el dato que se encuentra a la mitad de la lista de los datos que la mediana deja porabajo (en la lista son los que están a la izquierda de la mediana).
d) El tercer cuartil es el dato que se encuentra a la mitad de la lista de los datos que la mediana deja porarriba (en la lista son los que están a la derecha de la mediana).
e) En el siguiente esquema, se representa con una 3 cada dato y se señalan los extremos y los cuartiles:
Valormínimo
Primercuartil
Tercercuartil
Valormáximo
Mediana
AGUZANDO EL INGENIO
1. En la tabla se muestra la lista de presidentes de México desde Porfirio Díaz hasta Felipe Calderón. En lasegunda columna se observa la fecha de nacimiento de cada presidente, en la tercera se registra el día quetomaron posesión, y finalmente, en la cuarta columna, la edad de cada presidente en el momento en queasumió el cargo. ¿Cómo se pueden representar las edades de los presidentes de México de manera simpli-ficada? Para hacerlo, responde las preguntas de cada uno de los incisos que vienen después de la tabla:
Presidente Fecha de nacimiento Fecha de nombramiento Edad
Porfirio Díaz 15-09-1830 29-11-1876 46
Francisco I. Madero 30-10-1873 06-11-1911 38
Pedro Lascuráin Paredes 08-05-1856 18-02-1913 56
Victoriano Huerta 23-12-1850 18-02-1913 62
Francisco Carbajal 09-12-1870 15-07-1914 43
Venustiano Carranza 29-12-1859 01-05-1917 57
Adolfo de la Huerta 26-05-1881 01-06-1920 39
Volúmenes de cuerpos geométricos17
249
Presidente Fecha de nacimiento Fecha de nombramiento Edad
Álvaro Obregón19-02-1880 01-12-1920 40
Plutarco Elías Calles 25-09-1877 01-12-1924 47
Emilio Portes Gil 03-10-1880 01-12-1928 48
Pascual Ortiz Rubio 10-03-1877 05-02-1930 52
Abelardo L. Rodríguez 12-05-1889 02-09-1932 43
Lázaro Cárdenas del Río 21-05-1889 01-12-1934 45
Manuel Ávila Camacho 24-04-1897 01-12-1940 43
Miguel Alemán Valdés 29-09-1900 01-12-1946 46
Adolfo Ruiz Cortines 30-12-1890 01-12-1952 61
Adolfo López Mateos 26-05-1910 01-12-1958 48
Gustavo Díaz Ordaz 12-03-1911 01-12-1964 53
Luis Echeverría Álvarez 17-01-1922 01-12-1970 48
José López Portillo 16-06-1920 01-12-1976 56
Miguel de la MadridHurtado
12-12-1934 01-12-1982 47
Carlos Salinas de Gortari 03-04-1948 01-12-1988 40
Ernesto Zedillo Ponce de L. 27-12-1951 01-12-1994 42
Vicente Fox Quesada 02-07-1942 01-12-2000 58
Felipe Calderón Hinojosa 18-08-1962 01-12-2006 44
a) De la lista de edades de los presidentes, ¿cuál es la edad mínima?
b) ¿Cuál es la edad máxima?
c) Encuentra la mediana de las edades.
d) Encuentra el primer cuartil.
e) Encuentra el tercer cuartil.
Si tienes dificultades para responder lo anterior, lee el siguiente ejemplo.
Forma, espacio y medida
250
Ya están grandecitos, ya saben lo que hacen 1. Se ordenan los números del valor mínimo al valor máximo. Para lo cual se puede
utilizar un diagrama de tronco-hojas como el que se observa:
2. De este modo, es más fácil dar la lista de edades de menor a mayor:
3. Se encuentra el valor de la mediana. Como hay 25 números, la mediana es el valorque ocupa el lugar 13, es decir: 47.
4. Se encuentra el primer cuartil. Como quedan 12 valores a la izquierda de la media-na, el primer cuartil (que es la mediana de estos 12 valores) es un número entreel sexto y el séptimo valor; este número en la lista de edades es 43.
5. Se encuentra el tercer cuartil. Como quedan 12 valores a la derecha de la mediana,el tercer cuartil (la mediana de estos 12 valores) es un número entre el decimoc-tavo y decimonoveno valor de la lista; en la lista de las edades es 54.5.
6. Se encuentra el valor de los extremos: 38 y 62.
Diagrama de caja-brazos
38, 39, 40, 40, 42, 43, 43, 43, 44, 45, 46, 46, 47,
47, 48, 48, 48, 52, 53, 56, 56, 57, 58, 61, 62
Diagrama de tronco-hojas de las edades de los presidentes
3 8 9
4 0 0 2 3 3 3 4 5 6 6 7 7 8 8 8
5 2 3 6 6 7 8
6 1 2
Un diagrama de caja-brazos es una representación de un conjunto de datos que se construye con cinco va-lores, a saber: valor mínimo, primer cuartil, mediana, segundo cuartil y valor máximo.
Por ejemplo, el diagrama de caja-brazos de las edades de los presidentes se ve como sigue:
DE BUENA FUENTE
Edades de los presidentes
Edad40 45 50 55 60 65
Volúmenes de cuerpos geométricos17
251
¿Cómo se construyó el diagrama anterior? ¿Qué significa?
Para construirlo se tienen en cuenta los cinco valores de los datos mencionados arriba, que para el caso de lasedades de los presidentes se ve como sigue:
Los cinco valores son:
Valor mínimo 5 38
Primer cuartil 5 43
Mediana 5 47
Segundo cuartil 5 54.5
Valor máximo 5 62
Estos valores se ubican en una recta numérica y con ellos se construye el diagrama de caja-brazos como semuestra a continuación:
La longitud horizontal del rectángulo representa la distancia entre el primer cuartil y el segundo cuartil, y enese intervalo se encuentra 50% de los datos. En cambio, la distancia vertical se toma de manera arbitraria, esdecir, al gusto del diseñador de la caja. El segmento de la izquierda (brazo izquierdo) va del valor mínimo alprimer cuartil, mientras que el segmento de la derecha (brazo derecho) va del tercer cuartil al valor máximo.
35 38 40 43 45 47 50 54.5 60 62
AGUZANDO EL INGENIO
1. Observa los diagramas de caja-brazos de las temperaturas promedio mensuales de cinco ciudades. Res-ponde las preguntas que se plantean:
5 10 15 20 25 30 35Temperatura (ºC)
Toluca
Distrito Federal
Monclova
Hermosillo
Campeche
Diagrama de caja-brazos de las temperaturas promedioMensuales de cinco ciudades de la República Mexicana
Forma, espacio y medida
252
a) En la tabla se presentan los datos de las temperaturas promedio mensuales de las cinco ciudades cuyosdiagramas se muestran arriba. Identifica a qué ciudad corresponde cada fila de datos.
b) ¿Qué ciudad es más fría?
c) ¿Qué ciudades tienen climas extremosos, es decir, qué ciudades presentan mayor variación de tempe-ratura a lo largo del año?
2. En el diagrama se representan dos familias de datos: los promedios de temperatura máxima y los prome-dios de temperatura mínima durante el año. Analiza con cuidado el diagrama de caja-brazos y respondelas preguntas.
3. Considerando tanto la definición de cuartiles como la de diagrama de caja-brazos de la edad de los pre-sidentes de México, responde los incisos:
a) ¿Cuál fue la temperatura máxima a lo largo del año en Monclova?
b) ¿Cuál es la mediana de las temperaturas máximas?
c) ¿Cuáles son el primero y el tercer cuartil de las temperaturas máximas?
d) Haz lo mismo para las temperaturas mínimas.
a) ¿Qué porcentaje de los presidentes tenía una edad por debajo de la mediana de edades cuando asumióla presidencia?
b) ¿Qué porcentaje de los presidentes tenía una edad por abajo del primer cuartil?
Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.
1 13.6 15.6 20.2 24.6 27.4 29.4 29.6 29.2 26.2 22.1 17.2 14.3
2 9.7 11.0 12.9 14.3 14.7 14.5 13.4 13.4 13.2 12.5 11.3 10.1
3 23.1 23.9 25.9 27.8 28.5 28.8 28 27.9 27.5 26.2 24.4 23.2
4 16.1 17.5 19.4 23.5 26.7 30.7 31.9 31.3 30.9 26.8 20.6 16.7
5 13.5 15 17.1 18.4 18.8 18.4 17.2 17.3 16.7 15.8 14.4 13.3
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Temperatura
Mín
ima
Máx
ima
Promedio de temperatura máxima y mínima en Monclovaa lo largo del año
Volúmenes de cuerpos geométricos17
253
c) ¿Qué porcentaje de los presidentes tenía una edad por abajo del tercer cuartil?
d) ¿Qué porcentaje de los presidentes tenía una edad por encima del tercer cuartil?
e) ¿Qué porcentaje de los presidentes tenía una edad entre el primero y el tercer cuartil?
4. Construyan un diagrama de caja-brazos con los datos obtenidos sobre las frecuencias de los meses en quenacieron los alumnos de su grupo. Recuerden que primero llenaron una tabla como la siguiente:
5. A continuación, se presentan las temperaturas máxima, mínima y promedio de los meses del año enHermosillo. Elabora un diagrama de caja-brazos triple para comparar las tres listas de datos:
Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.
Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.
Máx. 23.7 25.7 27.8 32.5 35.8 39.2 38.9 38.1 37.8 34.7 28.5 24.2
Mín. 8.6 9.3 11.1 14.5 17.7 22.3 25.0 24.5 24.0 18.9 12.8 9.2
Prom. 16.1 17.5 19.4 23.5 26.7 30.7 31.9 31.3 30.9 26.8 20.6 16.7
Hermosillo
Al torito por los cuernos
Progresímetroautónomo
Forma, espacio y medida
254
De nuevo estadística para ufólogos
• ¿Cuál es la media del número de lunas en nuestro sistema solar?
• ¿Cuál es la mediana del número de lunas en nuestro sistema solar?
• ¿Cuáles son los tres planetas más diferentes en lo que concierne al número delunas?
¿Piensas que los científicos de la Tierra podrían haberle dado a Urania unamedida más precisa del valor típico del número de lunas de los planetas del sis-tema solar diferente de la media o la mediana? ¿Existe otro número que resumade modo más preciso este conjunto de datos?
1. Entre México y Estados Unidos, ¿en qué país tienen más edad los presidentesen el momento en que comienzan a ejercer su cargo? Para responder a esta pre-gunta, se proporciona una lista en la que aparecen las edades de los presidentesde Estados Unidos. Compara ambas poblaciones elaborando diagramas decaja-brazos.
Edades de los presidentes de los Estados Unidos
0 5 10 15 20 25Lunas
Número de lunas del sistema solar
Una última faena
Nombre Nacimiento Mandato Edad
GeorgeWalker Bush
06-07-1946 20-01-2001 55
William Jefferson Clinton
19-08-1946 20-01-1993 47
George HerbertWalker Bush
12-06-1924 20-01-1989 65
Ronald Wilson Reagan
06-02-1911 20-01-1981 70
James Earl Carter, Jr.
01-10-1924 20-01-1977 53
Volúmenes de cuerpos geométricos17
255
Nombre Nacimiento Mandato Edad
Gerald Rudolph Ford, Jr.
14-06-1913 09-08-1974 61
Richard Milhous Nixon
09-01-1913 20-01-1969 56
LyndonBaines Johnson
27-08-1908 22-11-1963 55
John Fitzgerald Kennedy 29-05-1917 20-01-1961 44
Dwight David Eisenhower 14-10-1980 20-01-1953 73
Harry S. Truman 1884 1945 61
Franklin Delano Roosevelt 1882 1933 51
Herbert Clark Hoover 1874 1929 55
John Calvin Coolidge Jr. 1872 1923 51
Warren Gamaliel Harding 1865 1921 56
Woodrow Wilson 1856 1913 57
William Howard Taft 1857 1909 52
Theodore Roosevelt 1858 1901 42
2. La tabla presenta la “Humedad relativa media” de Mérida y Morelia.
3. Actividad:
Elabora un diagrama de caja-brazos doble para comparar la humedad relativa media en Mérida y Morelia.¿Es mayor la humedad en uno de ellos o es relativamente la misma?
a) ¿Qué grupo de tu escuela obtiene mejores calificaciones en matemáticas?
b) En equipo diseñen una actividad que les permita decir qué grupo de tu escuela obtuvo mejores cali-ficaciones en cierto mes.
c) Si no es posible obtener los datos de todos los estudiantes de cada grupo, seleccionen una muestrade por lo menos de cada grupo y obtengan la información.
Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.
Mérida 73 69 66 65 67 73 76 76 79 78 75 74
Morelia 60 54 49 48 54 67 72 72 73 69 66 65
1
3
Forma, espacio y medida
256
d) No es necesario que cada equipo recopile la información de todo el grupo. Sería conveniente que se divi-dieran el trabajo y cada equipo encuestara a un solo grupo. Al final, reúnan los datos de todos los equipos.
e) Una vez recolectados los datos elaboren diagramas de caja-brazos y comparen.
f) Elaboren conclusiones tratando de responder estas preguntas: ¿existen diferencias significativas entre lascalificaciones en matemáticas de los grupos? En caso de que la respuesta sea positiva, ¿qué explicacionesposibles hay? ¿Su grupo estuvo entre los mejores, en medio o entre los peores? ¿Los resultados puedenestar sesgados debido a algún factor que intervino negativamente?
g) Cada equipo debe escribir un reporte de la investigación y entregarlo al maestro.
Matematograma
Llena el matematograma de modo que refleje tu desempeño en el bloque.
Planteamiento y resolución de problemas
Argumentación
Comunicación
Manejo de técnicas
A B C D E
Matematograma
Man
ejo de técnicas
Comunicación
Argumentación
Plante
amie
nt
o y resolución de problem
as
257
Bibliografía
Para el maestro:
• Batanero, María del Carmen, Didáctica de la estadística, España, Universidad de Granada, 2001. [Se puede bajarde la red en http://www.ugr.es/~batanero/publicaciones.htm]
• Díaz Godino, Juan, Didáctica de las matemáticas para maestros, España, Universidad de Granada, 2002. [Se puedebajar de la red en http://www.ugr.es/~batanero/publicaciones.htm]
• Kasner, Edward, y James R. Newman, Matemáticas e imaginación, México, Compañía Editorial Continental, 1981.
• Morris, Kline (comp.), Matemáticas en el mundo moderno. Selecciones del Scientific American, México, Blume, 1974.
• Newman, James R., El mundo de las matemáticas, 6 tomos, México, Grijalbo, 1983.
• Polya, George, Cómo plantear y resolver problemas, México, 1989.
• Tanur, Judith. M., La estadística. Una guía de lo desconocido, Madrid, Alianza Editorial, 1992.
Para el alumno:
• Perelman, Yakov Isidorovich, Aritmética recreativa, México, Ediciones de Cultura Popular, 1975.
• Wells, David, El curioso mundo de las matemáticas, Barcelona, Gedisa, 2000.
• Holt, Michael, Matemáticas recreativas, 3 vols., México, Martínez de la Roca, 1991.
• Summers, George J., Juegos de ingenio, 2 vols., México, Martínez de la Roca, 1992.
• Camous, Henri, Problemas y juegos con la matemática, Barcelona, Gedisa, 1995.
• Sánchez, Ernesto, Verónica Hoyos, José Guzmán y Mariana Sáiz, Matemáticas 1, 2 y 3, México, Patria, 2001.
• Sánchez, Ernesto, Roberto Ávila y Gabriel Yáñez, Matemáticas. Cuaderno de trabajo 1, 2 y 3, México, Patria, 2002.
• Díaz Godino, Juan, María del Carmen Batanero y María de Jesús Cañizares, Azar y probabilidad, Madrid, Síntesis,1987.
• Tahan, Malba, El hombre que calculaba, México, Limusa, 2002.
Obras de Estadística:
• Aguayo, Sergio, El almanaque mexicano, México, Aguilar, 2007.
• INEGI, Agenda estadística de los Estados Unidos Mexicanos, 1998, México, Instituto Nacional de Estadística,Geografía e Informática, 1998.
• INEGI, Cuadernos de Información Oportuna, núm. 317, agosto de 1999, México, Instituto Nacional de Estadística,Geografía e Informática.
• INEGI, Estadísticas de educación. Cuaderno 4, México, Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática.
