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pág Reflexiones Errores y Aproximación . . . . . . . . . . .2

FISICOM Energía Solar Fotovoltaica . . . . . . . . . . 3

Tips Matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

¡A Jugar … A Jugar!

Juegos de Consola . . . . . . . . . . . . . . 4

Concurso Desafío a tu Ingenio . . . . . . . . . . . . . 5

Hashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

Alumnos Participantes . . . . . . . . . . . 5

El Teorema del Mapa de Cuatro Colores

Coloreando Mapas on line. . . . . . . .6

La Teoría de Grafos y el Mapa de

Cuatro Colores. . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Un Mapa Difícil de Pintar . . . . . . . . . .7

Kenneth Appel – Wolfgang Haken . . 7

¿Por Qué Sólo Cuatro Colores?. . . . 8

Anécdotas de la Ciencia . . . . . . . . . . . . . 8

ABAQUIM Composición Química del “Virus

Ébola”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Ciencia Entrete Números Chinos. . . . . . . . . . . . . . . 10 ¿Sabías que? . . . . . . . . . . . . . . . . .10

Enredos en Alta Mar. . . . . . . . . . . . .11

Curiosidades del Lenguaje. . . . . . . .11

Humor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

Sonriendo Con – Ciencia . . . . . . . . .11

Noticias En Los Ríos el Talento está en ALTA

UACh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

En Noviembre la Ciencia Mochilea por

la Región de Los Ríos . . . . . . . . . . . 12

En nuestro lenguaje diario, cuando nos referimos a cosas redondas, es común usar indistintamente las palabras circun-ferencia y círculo, pero son diferentes. La Real Academia de la Lengua Española (R.A.E.) hace la diferencia en forma muy clara:

Circunferencia: curva plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes de otro, el centro, situado en el mismo plano.

Círculo: área o superficie plana conteni-da dentro de una circunferencia.

La confusión nace, seguramente, debido a que en los polígonos no se hace dife-rencia entre la línea poligonal y la región encerrada por ésta. Así cuando se habla de un pentágono por ejemplo, puede ser que nos refiramos a la línea cerrada for-mada por cinco segmentos o a la región que ésta contiene. Por el contexto se de-duce a cuál de las acepciones se refiere. De igual forma se produce tal confusión en los poliedros y también en la esfera, la que se puede considerar como un cuerpo sólido o sólo como una superficie – la que encierra a tal sólido. En este caso la R.A.E. no hace la distinción y con la misma palabra – esfera – designa a am-bos. La primera acepción es: sólido ter-minado por una superficie curva cuyos puntos equidistan todos de otro interior llamado centro. Y como segunda acep-ción: superficie de este sólido. En este caso es correcto usar la misma palabra – esfera – para ambas, la región sólida y la superficie que la limita.

Lo anterior hace que se cometan errores también al referirse a ciertas característi-cas de las figuras geométricas que co-mentamos. Por ejemplo es común pre-guntar: ¿Cuál es el perímetro de una cir-cunferencia de radio 5 centímetros? , cuando lo correcto sería: ¿Cuál es la lon-gitud de una circunferencia de radio 5 centímetros? Puesto que la circunferen-

cia es una curva, ésta tiene una cierta longitud, como un cordel o un alambre. Para hablar de perímetro necesitamos referirnos a una región, como un círculo. También estaría incorrecto preguntar por el área de una circunferencia.

De todas formas, como educadores, de-bemos preocuparnos de usar la termino-logía adecuada en cada caso, aunque en algunas ocasiones se debe hacer ver a los estudiantes que ciertas nomenclaturas no son universales, pudiendo usarse diferen-tes formas de nombrar las mismas cosas.

Lo más importante es ser coherentes y claros en el lenguaje que se elija, así co-mo Humpty Dumpty le dice a Alicia – en Alicia en el País de las Maravillas 1 – : “Cuando uso una palabra, ella significa exactamente aquello que yo decidí que significase, ni más ni menos”, claro que … no debemos olvidar de informar a nuestros estudiantes cuál es ese significa-do que hemos elegido.

1 Obra literaria creada por el matemático,

lógico y escritor británico Charles Dodg-son, más conocido por su seudónimo Lewis Carroll (1832 – 1898). Esta historia está basada en juegos de lógica y ha tenido mucha popularidad en diferentes tipos de lectores, desde niños hasta matemáticos.

Nº 52 Año 13

Noviembre 2014

Editorial

¿CIRCUNFERENCIA … O CÍRCULO?

N O V I E M B R E 2 0 1 4

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Carlos Alarcón Guerrero Profesor de Matemáticas del Centro de Docencia de CCBB Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh

REFLEXIONES

A lo largo de la historia de la humanidad, error y aproximación son dos conceptos con los cuales de alguna u otra manera se ha tenido que lidiar. A grandes rasgos, cuando tenemos un proble-ma cabe la posibilidad que su solución como tal no se pueda co-nocer o explicitar y ante cierta necesidad, dependiente del pro-blema, se intenta buscar una representación (aproximación) de tal forma que ajuste en cierto sentido a la solución exacta del problema. La medida de ajuste entre la solución exacta y una aproximación o esa medida de lo que se equivoca una aproxima-ción respecto a la solución exacta es lo que se llama error. Es decir, el error asociado a una aproximación es una tolerancia que se está dispuesto a aceptar para usar adecuadamente una aproxi-mación en lugar de la solución exacta. Pero, observemos que ante todo, construir una aproximación puede ser todo un desafío tanto o más que demostrar existencia de una solución exacta. Más aún, si es que tal aproximación se consigue, su uso puede conllevar ciertas consecuencias.

Brevemente, una aproximación puede tener asociados errores en medición de datos y errores en procesos intermedios (propagación de error) que pueden producir grandes cambios finales tanto así como provocar que la aproximación no satisfaga el error global a tolerar. (En este caso se dice que la propagación de error afecta la estabilidad del problema). De hecho, la estabili-dad de un problema y la propagación de error asociadas a proce-sos intermedios pueden ser determinantes para decidir entre va-rias aproximaciones de un problema.

Si bien es cierto, la descripción anterior puede ser algo abstracta, sin ir tan lejos, en la cotidianidad se tienen ejemplos como: a) repartir un alimento, con cierta uniformidad, de 1 kg en tres

partes iguales involucra que cada parte debe pesar 1/3 kg = kg y medir el peso exacto de cada parte no es claro aun-

que sea una pesa digital moderna la cual por sí misma ya tiene una restricción importante, relacionada con la finitud de di-mensión de su pantalla y por lo tanto, ya no puede mostrar los infinitos decimales y al aproximar alguien puede quedar con una porción menor a los demás, aunque tal vez la diferencia no sea perceptible;

b) viajar desde casa al trabajo en auto, en hora punta, cualquier mínimo retraso desde la salida no implica mínimo retraso en la llegada, este es un problema de estabilidad;

c) en un curso, un estudiante obtiene las notas 3,4 ; 3,5 ; 4,0 ; 3,0 en las distintas pruebas y un 5,0 en el examen. El proceso de cálculo de nota final involucra el promedio de las pruebas, con un decimal, el cual pondera un 70% y la nota de examen un 30%. La nota final, obtenida como la suma de las ponderacio-nes anteriores, se aproxima por redondeo a un decimal y se considera como aprobado si la nota final es mayor o igual a 4,0. Por otro lado, las notas se cargan en un sistema compu-tacional en el cual las ponderaciones de cada nota son 17,5% y 30% para el examen, considerando dos decimales por re-dondeo y en la nota final se redondea a un decimal. Al revisar

la situación de tal estudiante, bajo el primer proceso aparece aprobado, con un 4,0, mientras que en el otro aparece repro-bado con 3,9. (Ambas procesos de aproximación son válidos, pero bajo ciertos criterios hay que decidirse por alguno).

Los ejemplos anteriores muestran que por sí mismo el estudio de errores y aproximación siempre ha estado vigente y sin duda en las últimas décadas con la masificación de las tecnologías, del uso de computadores y softwares, el área de Análisis Numérico, disciplina que se encarga, entre otras cosas, de la teoría de error y procesos de aproximación, ha tomado gran importancia. Como caso particular importante, la teoría desarrollada en esta área per-mite entender cómo funcionan los procesos de aproximación de un computador. En la práctica, un computador transforma un número en una representación binaria (0 y 1) a lo largo de un número finito de casilleros (32 bits o 64 bits por lo general), por lo que un computador solo maneja una cantidad finita de núme-ros. Esto suena fácil, pero una equivocación en el uso de las aproximaciones y transformaciones puede producir problemas serios como lo fueron el lanzamiento de un antimisil Patriot en la guerra del Golfo, donde la trayectoria se desvío de su objetivo, produciendo más muertes de las esperadas, por errores de redon-deo bajo un sistema de 24 bits y la explosión del cohete Ariane, donde se erró en la velocidad horizontal al tratar de convertir un número de 64 bits en 16 bits.

En resumen, analizar el error asociado a una aproximación, una demostración de ciertos acotamientos del problema en cuestión, son muy importantes y dan un mayor respaldo a una simulación computacional del problema, aunque también es cierto que tal análisis puede ser muy complejo y la verificación de una aproxi-mación vía uso computacional se transforma en una gran ayuda. En cualquier caso, mantenerse en alerta ante la presencia de pro-pagación de error y problemas de estabilidad constituye una es-trategia para prepararse a controlar el error y visualizar probables inconsistencias computacionales.

ERRORES Y APROXIMACIÓN:

“PUEDE SER CONVENIENTE MANTENERSE EN ALERTA”

0, 3

3

ABACOM Boletín Matemático

Dentro de las energías renovables no convencionales (ERNC) están, por nombrar algunas, la geotérmica, eólica, mareomotriz, solar, etc. En un sistema solar fotovoltaico de generación de electricidad la radiación solar, incidente en paneles de silicio, es convertida en energía que se puede ocupar directamente, almacenar en baterías o bien inyectar a la red. Cuando la energía de un sistema no se inyecta a la red, como por ejemplo el sistema interconectado central (SIC), sino que se ocupa en el hogar se denomina sistema aislado de red.

Sistema aislado de red detalle de cada elemento. Generador fotovoltaico (panel): Convierte energía proce-

dente del sol en corriente continua. Una Célula Fotovol-taica está compuesta fundamentalmente por dos láminas o semiconductores de silicio. Los tipos más comunes son: Monocristalinas y Policristalinas.

Regulador: Dispositivo de protección de sobre carga de la batería o corriente en exceso hacia ella. A su vez cumple la función de cuidado de sobre descarga ya que se usan baterías especiales de ciclo profundo

Baterías: Almacenan la energía eléctrica generada por los

módulos fotovoltaicos durante los periodos de sol. Nor-malmente, las baterías se utilizan durante las noches o períodos nublado. El intervalo que incluye un período de carga y uno de descarga, recibe el nombre de ciclo. Idealmente las baterías se recargan al cien por ciento de su capacidad durante el periodo de carga de cada ciclo, pero no deben descargarse completamente. Para siste-mas solares se usan las llamadas de ciclo profundo.

Cargas: Elementos eléctricos como lámparas, notebooks, etc. a los cuales se quiere alimentar. Es importante el uso de cargas más eficiente, por ejemplo ampolletas led o electrodomésticos del tipo A+ o superior.

Aplicaciones:

Alumbrado: Sistema muy utilizado en lugares rurales o donde la conexión al sistema general no está disponible. Placa-regulador-batería-lámpara.

Bombas Hidráulicas: Bombeo de agua en lugares aislados.

Estaciones de telecomunicación.

Estaciones de monitoreo de ruido-paisaje sonoro.

Señalización terrestre, marítima, ferroviaria.

Consumo domiciliario: Cabañas-Casas-Edificios. Ley 20.571: Regula el Pago de las Tarifas Eléctricas de las Generadoras Residenciales. Artículo 149 bis: “Los usuarios finales sujetos a fijación de precios, que dispongan para su propio consumo de equipamiento de generación de ener-gía eléctrica por medios renovables no convencionales o de instalaciones de cogeneración eficiente, tendrán derecho a inyectar la energía que de esta forma generen a la red de distribución a través de los respectivos empalmes”

Referencias: Centro de Energías Renovables:

http://cer.gob.cl/tecnologias/solar/fotovoltaica-pv/

Ley 20571: http://bcn.cl/1m9nt

Energía Solar Fotovoltaica

FF II SS II OO MM CC

Oscar Pilichi Cerón

DIAGRAMA DE UN SISTEMA AISLADO

Impreso en IMPRENTA AMÉRICA

Publicación destinada a Estudiantes y

Profesores de Enseñanza Media.

Proyecto auspiciado por la Facultad de

Ciencias de la Ingeniería UACh.

Centro de Docencia de CCBB para Ingeniería Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh. Casilla 567 Valdivia Fono 632221828 Fax 632293730

abacom@uach.cl www.uach.cl/abacom

Director: Juan Leiva V. Redacción Periodística: Julio Morales M. Web Master: Edinson Contreras R. Colaboradores: Sebastián Acevedo A., Carlos Alarcón G., Eduardo Carrasco H., Raimundo Elicer C., M. Gricelda Iturra L.,

Oscar Pilichi C.

N O V I E M B R E 2 0 1 4

4

EL COEFICIENTE DE DISPERSIÓN DE PEARSON

Supongamos que queremos comparar los resultados de aprendizaje de un grupo de estudiantes a quienes se les ha medido con notas del 1,0 al 7,0, y otro grupo que se ha medido con notas del 0 al 10. ¿Qué indicadores pode-mos usar?

Existen medidas de tendencia central, co-mo la media aritmética ( ), que nos per-miten conocer un comportamiento promedio o agregado de la muestra, sin información sobre cómo están distribuidos.

Usando este indicador, se obtienen una media aritmética de 5,5 para el Gru-po 1 y 6,8 para el Grupo 2.

¿A cuál de los dos grupos le fue mejor en promedio? Aparentemente al Gru-po 2, pues su media es mayor. Pero están en distintas escalas, por lo que podemos ver qué razón del rango es cada resultado. Podemos llamar a esto una media ajustada ( ):

Es decir, que el Grupo 1 alcanzó cerca de un 75% de logro, mientras que el Grupo 2 alcanzó un 68%.

También existen medidas de dispersión, para conocer la variabilidad de las muestras respecto a su comportamiento promedio. Por ejemplo, la varianza se calcula como el promedio de las variaciones respecto al promedio, al cua-drado.

La desviación estándar corresponde a su raíz cuadrada, y sirve para corregir la escala, pues las desviaciones están elevadas al cuadrado:

Si se obtienen desviaciones estándar de 1,4 para el Grupo 1 y de 1,6 para el Grupo 2, aparentemente el segundo grupo es más “disperso”. Pero el que se midan en distintas escalas nuevamente nos hace difícil la comparación. Una solución a esta situación es el Coeficiente de Variación (CV) creado por el matemático británico Karl Pearson (1857 - 1936), que se calcula co-mo:

En este caso obtendríamos una medi-da de dispersión que se corrige por la media de la muestra:

Es decir que los resultados del Grupo 1 se desvían aproximadamente un 25% de su media, mientras que para el Grupo 2 un 24%. Según esta me-dida, el primer grupo sería más disperso que el segundo.

Tips

MATEMÁTICOS

Raimundo Elicer Coopman ¡A JUGAR,

...A JUGAR!

Julio Morales Muñoz

JUEGOS DE CONSOLA

¿Nos vuelven tontos o

inteligentes?

Partiendo de la base que los humanos no somos ni ton-tos ni inteligentes, sino que tenemos la capacidad de entrenar nuestro cerebro y desarrollar habilidades, sin embargo hay personas que caen en la pregunta de nuestro título. ¿Qué opinas tú sobre los juegos de con-sola? ¿Nos permitirán desarrollar habilidades? Para comenzar este artículo quiero contarte que una encuesta realizada por Autodesk revela que el 84% de los entusiastas de la tecnología creen que jugando vi-deojuegos desarrollan habilidades que usan en su vida diaria. Recuerdo la primera vez que jugué Nintendo. Saltaba junto con el Mario y levantaba el control más alto para no caer. Desde allí hasta hoy la evolución tecnológica nos ha llevado a increíbles adelantos, cada vez más realistas. Pareciera que cuando dejamos los controles, seguimos jugando en la vida cotidiana. Dicha realidad virtual se manifiesta prácticamente en tres líneas de consolas que tienen el protagonismo hoy en día: Playstation, videoconsola lanzada por Sony Computer que en la actualidad tiene su cuarta versión, Nintendo Wii, de Nintendo y Xbox 360, de Microsoft. Dichas consolas son las llamadas de octava generación de videoconsolas. Pero éstas no son sólo consolas, también son medios de comunicación que tienen el prin-cipio clásico de entretener, educar e informar. Uno elige con qué se entretiene, educa e informa. Pero ¿qué pasa si buscamos las tres? Partiendo de la idea anterior, es que vamos a mostrar el

juego Endless Ocean 1, uno de los nuevos programas

de entretenimiento y educación que introdujo el Centro de Videojuegos para consolas Nintendo, Playstation y Xbox. El juego consiste en adoptar el personaje de un submarinista que ayuda a una científica, que no sabe nadar, a rellenar un acuario de peces y a hacer una guía para buceadores inexpertos, todo considerando su nom-bre y familia biológica.

Otro juego pertinente es Machinarium 2, una aventura

de puzles donde el jugador guía a un robot en busca de su amada, mientras desarrolla habilidades matemáticas. Éste es un juego de Playstation 3.

Por otro lado está el juego Smart As 3… el reto Mental

de la Generación Social, el cual es portátil para PSVita. Con él podrás descubrir todo el potencial mental que posees para continuar estimulándolo y compararte con otros hasta ser el más listo de tu ciudad o país. Como se puede apreciar juegos hay por montones, es tarea tuya investigar y motivarte con el aprendizaje, nosotros te damos el primer empujón. Va en el juicio de cada uno ver si los juegos estimulan o no nuestras habilidades. En la elección está el desafío. Ha sido un agrado compartir otro año más contigo pero es momento de decir ¡bolaca! Felices fiestas de fin de año y que las Matemáticas y la Ciencia te acompañen. Hasta el próximo año. Si quieres proponer un tema de artículos que cruce matemáticas y alguna otra actividad escribe a: jules.moralesm@gmail.com . . . GAME OVER 1 http://www.3djuegos.com/juegos/wii/1869/endless-ocean/ 2 http://www.3djuegos.com/10970/machinarium/ 3 http://es.playstation.com/smartas/

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Grupo 1 Grupo 2

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ABACOM Boletín Matemático

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RESOLUCIÓN PROBLEMAS EDICIÓN Nº 51

Problema 1: ¿Qué hora es? María le pregunta la hora a Julia. Ésta, que gusta de los acertijos, le responde: – Hace 8 minutos faltaban 9/5 de lo que falta en este instante para el mediodía. Podrías tú decir ¿qué hora es?

Solución: Sea x la cantidad de minutos que faltan para el mediodía.

Según los datos se cumple que: , es decir x = 10.

Así: faltan 10 minutos para el mediodía.

Problema 2: El Número Incógnito Un número entero positivo de dos cifras es tal que él mismo y el número obtenido al invertir sus dígitos están en razón 7:4. Hallar todos los números que cumplen con esto.

Solución: Sean x, y los dígitos de las decenas y de las unidades del nú-mero, respectivamente. Según el dato, se cumple que , de donde se obtiene , es decir .

Así la cifra de las decenas debe ser el doble que la de las unida-des y por tanto hay cuatro números que cumplen esto: 21, 42, 63 y 84.

98

5 x x

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10 4

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ALUMNOS PARTICIPANTES

Los estudiantes siguientes han participado enviando soluciones a los problemas que se han propuesto en este concurso.

Los felicitamos a todos ellos por su entusiasmo y los incentivamos a continuar enfrentando desafíos y a vencer obstáculos, que es la forma como los gran-des científicos comenzaron.

Instituto Alemán Carlos Andwanter. Valdivia

Alberto Dünner (III Medio C), Pedro Godoy (II Medio C), Enzo Meneses (II Medio C) y Eduardo Schild (II Medio C).

Liceo San Felipe Benicio. Coyhaique

Nicole Aguayo (3° Medio B), Alejandro Arteaga (2° Medio D), Nicolás Calderón (3° Medio B), Nicolás Carrasco (2° Medio D), Belén Cerda (1° Medio B), Oscar del Río (4° Medio B), Manuel Echaveguren (2° Medio D), Gustavo Espinoza (1° Medio B), Tania Gallardo (2° Medio D), Amanda González (2° Medio D), Felipe Higuera (2° Medio D), Gladys Molina (4° Medio A), José Luis Mora (3° Medio B), Constanza Morrison (3° Medio B), Camila Oyarzo (2° Medio D), Constanza Palacios (2° Medio D), Javiera Palacios (3° Medio B), Sebastián Schonffeldt (3° Medio B), Fernando Solar (3° Medio B), Bastián Soto (2° Medio D), Raúl Vásquez (3° Medio B) e Ignacio Vega (3° Medio B).

Juan Leiva Vivar

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N O V I E M B R E 2 0 1 4

Este teorema afirma que bastan cuatro colores para pintar cualquier mapa de modo que no queden dos regiones adyacentes con el mismo color. Fue planteado por un estudiante a mediados del si-glo XIX y sólo fue demostrado, con la ayuda de computadores, en el año 1976.

Este teorema establece que dado cual-quier mapa geográfico con regiones cone-xas, éste puede ser coloreado con cuatro colores diferentes, de forma que no que-den regiones adyacentes con el mismo color.

La condición que las regiones sean cone-xas (también suele decirse continuas) es obligatoria, de lo contrario el teorema no es verdadero. En la realidad no todas las regiones (o países) tienen esta caracterís-tica; por ejemplo Estados Unidos tiene una parte separada del resto – Alaska – , esto la hace que no sea un mapa con re-giones conexas. Se entiende por regiones adyacentes aquéllas que tienen frontera común, pero ésta es un segmento (no sólo un punto).

El teorema de los cuatro colores surgió como una conjetura, cuando en 1852, el estudiante Francis Guthrie, se la planteara

a su profesor Augustus De Morgan (1806 – 1871). No pudiendo probarla, De Morgan se la comunicó a William Ha-milton (1805 – 1865), quien tampoco pudo con este acertijo. La conjetura se hizo conocida y famosa en 1878, cuando Arthur Cayley (1821 – 1895) la dio a conocer al mundo matemático de la épo-ca.

En 1879 Alfred Kempe (1849 – 1922) anunció en la revista Nature que tenía una demostración para la conjetura, pero ésta resultó ser errónea, lo que fue com-probado por Percy John Heawood (1861 – 1955) en 1890. Heawood intentó probar que la conjetura era falsa, lo que no pudo demostrar. Siguió trabajando en el colo-reo de mapas, pudiendo probar que con cinco colores se podía colorear cualquier mapa (Teorema del Mapa de los Cinco Colores, que es verdadero, pero después

que se probó el de cuatro colores, perdió importancia).

Una gran cantidad de demostraciones erradas y falsos contraejemplos aparecie-ron en los siguientes casi cien años, hasta que en 1976 la conjetura tuvo su demos-tración, gracias a Kenneth Appel y Wolfgang Haken, quiénes utilizaron una computadora para realizar la demostra-ción, lo cual generó múltiples controver-sias en el ambiente matemático, pero fi-nalmente se aceptó como una prueba co-rrecta. Por el hecho de haberse apoyado en una máquina para realizarla, la califi-caron de “poco elegante”.

En la época en que se presentó la demos-tración alguien expresó:

“Una buena demostración matemática es similar a un poema, pero … ¡esto es una guía telefónica!”

Problemas con Historia

Según el Teorema del Mapa de los Cuatro Colores, para cual-quier mapa, por complicado que éste sea, bastan cuatro colores para pintarlo. Eso es en la teo-ría, pero … en la práctica ¿serías capaz de hacerlo con un mapa cualquiera?

Puedes probar con mapas co-nocidos, como por ejemplo el mapa de Sudamérica, lo que es relativamente sencillo.

Un juego en línea permite que te pongas a prueba, se trata del

Flood Fill, el que te propone mapas de dificultad creciente los que debes colorear, usando sólo cuatro colores.

El juego no es trivial, a medida que subes de nivel se hace ca-da vez más difícil resolverlo. Como ejemplo te mostramos un mapa propuesto en el nivel 14.

Acá te damos el link para jugar: http://www.gimme5games.com/play-game/flood-fill pero … cuidado, que este juego es adictivo.

Coloreando mapas on lineColoreando mapas on line

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ABACOM Boletín Matemático

La Teoría de Grafos y el La Teoría de Grafos y el

Mapa de Cuatro ColoresMapa de Cuatro Colores

El Teorema del Mapa de los Cuatro Colores corresponde a un rama dentro de la Matemática, denominada Teoría de Grafos (ver ABACOM Nº 28) y específicamente a “Coloración en Grafos”.

Recordemos que un grafo (plano) es un conjunto de puntos (vértices) y líneas (aristas), en el plano, que unen pares de puntos. Dos vértices se dicen adyacentes si están unidos por una arista. Asignar una k – coloración de un grafo G, consiste en dividir sus vérti-ces en k conjuntos sin adyacencias entre ellos. Esto es equivalente a pintar los vértices del grafo con k colores , de modo que cada par de vértices adyacentes tengan color diferente. El número cromático de un grafo G, denotado por k (G), es el menor número natural k de modo que G admite una k – coloración.

Así el Teorema del Mapa de Cuatro Colores puede enunciarse, usando Teoría de Grafos, del modo siguiente:

Pero ¿cómo se relaciona esto con pintar mapas? Observemos que a todo mapa se le puede asociar un grafo del modo siguiente: cada región se representa por un vértice y las aristas unen vértices que corresponden a regiones con frontera común. Como ejemplo veamos un mapa y el grafo (G) asociado a él:

Como el mapa tiene 6 regio-nes, el grafo G tiene 6 vérti-ces. El vértice V1, por ejem-plo, es adyacente a los vérti-ces V2 y V3 , ya que la re-gión R1 tiene frontera co-mún con las regiones R2 y R3 , análogamente se esta-blecen las otras adyacencias. Para este grafo G, una 3 – coloración es:

Observar que se ha dividido el conjunto de vértices de G en 3 conjuntos de vértices que no tienen adyacencia entre ellos, esto permite pintar con 3 colores diferentes los vértices de este grafo, de modo que vértices adyacentes quedan con colores diferentes. No es posible hacerlo con menos colores, así el número cromático de G es 3, o sea k (G) = 3. Así este mapa puede ser pintado con sólo tres colores diferentes. Una forma de hacerlo es la siguiente:

UN MAPA DIFÍCIL DE PINTARUN MAPA DIFÍCIL DE PINTAR

Martin Gardner (U.S.A. 1914 – 2010) fue un divulgador de la ciencia que se hizo famoso por su columna Juegos Matemáticos que publicó en la revista nor-teamericana Scientific American por casi treinta años. El 1 de Abril de 1975 publicó un mapa con 110 regiones afirmando que se requerían 5 colores para pintarlo. El 1 de Abril en muchos países, in-cluido Estados Unidos, es el equivalente a nuestro día de los inocentes, en que se gastan bromas, y ésta, claramente, lo era. A continuación el mapa propuesto por Gardner. Intenten colorearlo con sólo 4 colores, como afir-ma el teorema. (RESPUESTA EN PÁGINA 8)

KENNETH APPEL -

WOLFGANG HAKEN

Kenneth Appel nació en New York, Estados Unidos, el 8 de Octubre de 1932 y falleció en New Hampshire, Estados Unidos, el 19 de Abril del año recién pasado.

Wolfgang Haken nació en Berlín, Ale-mania, el 21 de Junio de 1928, todavía está vivo.

Estos dos matemáticos que se desempe-ñaban en la Universidad de Illinois, junto con demostrar el Teorema del Mapa de los Cuatro Colores, introduje-ron un nuevo paradigma en las Mate-máticas, que es el uso del computador en la demostración de ciertas conjetu-ras.

Para llevar a cabo esta prueba necesita-ron de cuatro años para escribir el pro-grama y de 1.200 horas de funciona-miento del computador para que éste comprobara las 1.936 configuraciones en que subdividieron el problema.

En 1994 otro grupo de investigadores realizó otra prueba, también valiéndose de un computador, con lo que la de-mostración de Appel y Haken quedó definitivamente exenta de dudas.

En relación a la demostración, Appel afirmó: “Fue muy tedioso el trabajo, pero espe-ro que éste muestre a los matemáticos que para algunos problemas no existe una respuesta dada por Dios, sino que sólo pueden resolverse tras un exhausti-vo trabajo, aunque algunos piensen que es mejor dejarlos sin resolver”.

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Appel y Haken en los años ‘70

Si G es un grafo plano cualquiera entonces

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Mapa con 6 regiones Grafo asociado al mapa

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ANÉCDOTAS DE LA CIENCIA

El filósofo, matemático, lógico y escritor británico Bertrand Russell (1872 – 1970) fue invitado a exponer una conferencia política en un club de mujeres conservadoras. Debido al discurso izquierdista de Russell, las damas comenzaron a arrojarle todo lo tenían a mano. Para evitar males mayores y rescatar al filósofo, un guardia intentó apaci-

guar a la masa enfurecida. – ¡Señoras, pero es un gran matemá-

tico! – exclamó. – ¡Pero es un gran filósofo! – insis-

tió, sin ningún éxito. Finalmente, el guardia gritó: – ¡Pero su hermano es conde! – lo

que no era verdad. La calma volvió a la sala y Russell pudo salvar el pellejo.

Aunque su mujer le tenía totalmente prohibido realizar experimentos en casa, el químico alemán Christian Schönbein (1799 – 1868), que traba-jaba en el mundo textil, aprovechó su ausencia para experimentar en la co-cina con una mezcla de ácido sulfúri-co y nítrico. El desobediente esposo derramó ac-cidentalmente parte del ácido y, para recogerlo, echó mano de lo primero

que vio, el delantal de su esposa. Tras enjuagarlo, lo puso a secar so-bre la estufa. Cuando el delantal se secó, ardió de súbito, como si se tra-tara de un material altamente infla-mable. Schönbein había dado, accidental-mente, con la nitrocelulosa o algodón de pólvora, en 1846. Este fue el pri-mer paso hacia la obtención de la dinamita por Alfred Nobel, en 1862.

BENDITA DESOBEDIENCIA

MENTIRA SALVADORA

Es posible que nos preguntemos ¿por qué queremos mi-nimizar el número de colores para pintar un mapa? ¿No quedaría más vistoso y atractivo un mapa con múltiples colores y no sólo con cuatro de ellos? Además: ¿Por qué se dedicó tanto tiempo en demostrar esta conjetura que sólo tiene aplicación en pintar mapas? La respuesta a la primera de estas inquietudes es que no se trata de un problema de estética, sino de optimización de recursos. En relación a la segunda, el colorear un ma-pa en realidad es sólo una situación genérica y puede ser aplicada y diversas situaciones de la vida diaria en que se requiere separar ciertos objetos en grupos, así como se separan las regiones de un mapa en grupos en que cada uno tiene un color diferente. Para ver un ejemplo concreto imaginemos que se ha or-ganizado una cena a la que asistirán una cierta cantidad de personas, pero se sabe que algunas de ellas no están en buenas relaciones entre sí. El problema a resolver es: ¿Cómo organizar las mesas en que cenarán, de modo que no queden en una misma mesa dos personas que están enemistadas? ¿Cuál es el mínimo de mesas nece-sarias para distribuir así a los comensales? La Teoría de Grafos, y en particular el número cromático de un grafo nos permite resolver este problema. Veamos

cómo. Se forma un grafo en que los vértices están representa-dos por cada uno de los invitados y las aristas unen dos vértices corres-pondientes a per-sonas enemista-das. Así el núme-ro cromático de este grafo será el número mínimo de mesas necesa-rias, ya que equi-vale a asignar un color a cada per-sona de modo que queden con colo-res diferente dos personas enemis-tadas. Acá los co-lores diferentes son en realidad las mesas diferen-tes que se tendrán que usar.

¿POR QUÉ SÓLO CUATRO COLORES?

RESPUESTA AL PROBLEMA PLANTEADO POR MARTIN

GARDNER (Página 7)

9

ABACOM Boletín Matemático

Como ya se sabe los virus no son seres vivos, sino par-

tículas inertes formadas por compuestos químicos que

sólo se reproducen dentro de las células vivas, apode-

rándose de las enzimas y de la maquinaria biosintética

de sus hospedadores. Virus es una palabra de origen

latino, cuyo significado es “veneno” o “toxina” y biológi-

camente se define como “un agente infeccioso micros-

cópico acelular que solo puede autorreplicarse dentro de

las células de otros organismos”. ¿Químicamente, qué

es un virus? Es un fragmento del ácido desoxirribo-

nucleico (ADN) o del ácido ribonucleico (ARN) que les

permitirá reproducirse, envuelto dentro de una o más

capas de proteínas.

Últimamente hemos recibido bastante información sobre

un virus en particular, descrito como uno de los más

mortíferos que existe, el Virus Ébola. Forma parte de

la familia de los “filovirus”, virus con estructura filamen-

tosa. Son pleomórficos (de morfología variable), pueden

ser: rectas, curvadas,

coleadas, o encontrarse

en formas configurativas

de “6” o de “U”. Causa

una fiebre hemorrágica

severa, una enfermedad

con una letalidad de has-

ta el 90%, e infecta el

endotelio capilar y varios

tipos de células inmunes,

permitiendo que los flui-

dos escapen de los vasos sanguíneos.

¿Qué contiene el virus ébola que lo hace más se-

vero que otros virus? ¿Por qué es tan letal?

El estadounidense Christopher Basler, un microbiólogo

nacido en Nueva York en 1966, detectó una proteína del

virus ébola capaz de desactivar las defensas del orga-

nismo y dejar limpio el

camino para la inva-

sión del cuerpo hu-

mano. En la actuali-

dad, el científico busca

un fármaco que blo-

quee dicha proteína en

colaboración con el

virólogo Thomas Geis-

bert, que trabaja ro-

deado de monos con

ébola en el Laboratorio

Nacional de Galveston,

en el estado de Texas.

Estos científicos identi-

ficaron el mecanismo

por el cual el virus

bloquea el sistema

inmune. Una de las claves es que bloquea las defensas

que tiene el organismo para detener las infecciones víri-

cas. Esto permite al virus diseminarse por todo el cuer-

po y desencadena una respuesta inmune muy perjudi-

cial, que es lo que probablemente provoca la muerte al

hospedador.

¿Cuál es la composición química del virus ébola?

Los virus del ébola se componen de una hebra única de

ARN lineal. Ésta se rodea por un nucleoide formado

por dos tipos de proteínas: NP, cuya función es estruc-

tural y L, una ARN polimerasa; ambas forman un tubo

de unos 25 nm de diámetro. A su vez está recubierto

por una cápside helicoidal, formado por cinco proteí-

nas: N, VP30, VP35, VP24 y VP40, estás dos últimas

son las que mantienen la estructura unida. Finalmente

la cápside está envuelta en una membrana formada por

una única glicoproteína (ver composición en la figura).

A modo de resumen, el genoma es un ARN lineal, de

cadena única y sentido negativo (19,1 kb) que tiene la

información codificada para siete proteínas estructurales

que forman el virión:

3 proteínas que forman parte de la membrana:

VP24, VP40, GP

4 proteínas que forman la nucleocápside:

L, NP, VP35, VP30.

¿Cuál de estos componentes químicos es el res-

ponsable de la agresividad del virus ébola?

El equipo de Basler descubrió que la proteína viral

VP35 resulta clave en la desactivación del sistema in-

munitario. El Dr. Basler y sus colaboradores han encon-

trado que cuando la VP35 interactúa con una importan-

te proteína celular llamada PACT, bloquea la capacidad

de ésta para poner en "estado de guerra" al sistema

inmunitario, permitiendo que el virus se disemine.

Por otro lado un

equipo, liderado por

Gaya Amarasinghe,

ha descubierto que

la proteína VP35

del virus del Ébola

en realidad enmas-

cara la replicación

del ácido ribonuclei-

co (ARN) viral, de

forma que la célula

no reconoce que

hay un virus inva-

sor. Si la célula no

sabe que hay una

infección, no puede

desplegar respues-

ta alguna.

A B A Q U I M

Composición Química del “Virus Ébola”

M. Gricelda Iturra Lara

VIRION Minor Nucleoprotein

(VP30)

Glycopro- tein (GP)

Nucleoprotein(NP)

Polymerase Com- plex Protein (VP35)

Polymerase (L)

Genomic RNA

Matrix (VP40)

VP24

Imagen microscópica ampliada del virus ébola

N O V I E M B R E 2 0 1 4

10

¿Sabías que?¿Sabías que?......

El francés François Viète (1540 – 1603) fue el primero en emplear letras para simbolizar las incógnitas y constantes en las ecuaciones algebraicas. Además Viète descifraba con toda facilidad los mensajes secretos de los ejércitos españoles de Felipe II (que serían bastante ingenuos, da-do lo que había). Los españoles no lo dudaron ni un ins-tante y acusaron a Viète, ante el Papa, de estar aliado con el diablo.

????? John Théophile Desaguliers (1683 – 1744), físico inglés de origen francés, fue el primer autor que empleó la pala-bra conductor, para designar los cuerpos que permiten el paso de la corriente eléctrica, y aislante para referirse a los que oponen gran resistencia al paso de dicha corrien-te.

????? Leonhard Euler (1707 – 1783), matemático suizo, simboli-zó, en 1777, la raíz cuadrada de –1 con la letra i (inicial de imaginario).

????? Jacques Charles (1746 – 1823), inventor, científico y ma-temático francés, conocido por la Ley de Charles (“Si la presión es constante, entonces el volumen es proporcio-nal a la temperatura”) fue el primer hombre, sin propo-nérselo, en subir en un globo cuando su ayudante lo soltó por accidente. La primera ascensión en globo con propó-sitos científicos la realizaron, en 1804, Joseph Gay – Lus-sac (1778 – 1850), y Jean Baptiste Biot (1774 – 1862).

????? "¡Eureka! num = Δ + Δ + Δ". Esta enigmática inscripción es lo que escribió en su cuaderno de notas el destacadísi-mo matemático francés Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) cuando descubrió que todo número entero positi-vo es la suma de tres números triangulares, que son los números de la forma n (n+1) / 2.

????? El físico austríaco Ludwig Boltzmann (1844 –1906), abati-do y perturbado por la idea de que el trabajo de su vida, acerca del átomo, no servía para nada, se suicidó en 1906. A las pocas décadas, el átomo se estableció como realidad, y el logro brillante de Boltzmann fue reconocido como fundamental.

????? Enrico Fermi (1901 – 1954), físico estadounidense, fue una de las grandes figuras en el desarrollo de la bomba atómica. Después de haber trabajado durante años con la radiación, murió de cáncer a la edad de 53 años.

NÚMEROS CHINOS

Eduardo Carrasco Henríquez A veces nos parece sorprendente que Nicanor Parra, quien estudiara Física, terminara escribiendo poemas. Pareciera que la Matemática y la Poesía no se llevaran. Sin embargo no fue siempre así. Por ejemplo, los matemáticos chinos, acostum-braban escribir de modo poético. Una muestra de ello es la explicación sobre uno de sus sistemas de numeración. Tuvieron dos sistemas de representación de números. China construyó una notación posicional de base 10, igual que la nuestra. Es decir se contaba con unidades, decenas, centenas, millares, etc. Sin embargo tenían dos formas de escribir los dígitos. La más conocida es la representación ideográfica de la figura. Pero hay otra que era usada para diversos cálculos y que pare-ce ser más antigua que la figura. Ésta se basaba en un conjun-to de varillas con las cuales se podían escribir números. Ahora la explicación de cómo usar estas varillas, todas de igual tamaño, para construir números es escrita de modo muy poético en el texto “Manual Matemático” del maestro Xiahou Yang (400 – 470 d.C.):

“Las Unidades se mantienen verticales, las Decenas horizontales. Las Centenas de pie, los Millares tumbados. Millares y Decenas parecen los mismos. Miríadas y Centenas parecen los mismos. Una vez sobrepasado el Seis, Cinco está arriba; Seis no acumula, Cinco no permanece solo.”

Antes de seguir: ¿Puede hacer el ejercicio de escribir un nú-mero siguiendo el poema? Si no pudo, no se preocupe, estamos acostumbrados a enten-der explicaciones sólo en prosa. Así los números quedarían escritos para las unidades y centenas:

Y para las decenas y miles:

Por ejemplo el número 3228 quedaría escrito:

3 2 2 8

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ABACOM Boletín Matemático

Sonriendo

Con - Ciencia

H U M O RH U M O RH U M O R

ENREDOS EN ALTA MARENREDOS EN ALTA MARENREDOS EN ALTA MAR

En 1858, se llevó a cabo un intento fallido de tender un cable por el fondo del Atlántico para unir las redes telegráficas de los con-tinentes americano y europeo. Con este propósito zarparon, de la costa americana el buque Niágara, con la mitad del cable, y de la inglesa, el buque Agamemnon, con la otra mitad. Cuando en medio del océano se intentó empalmar los cables, se percataron de que los hilos de revestimiento estaban tejidos en direcciones opuestas. La torpeza costó medio millón de libras esterlinas y un retraso de casi ocho años en el tendido del cable. Cualquier semejanza con el puente basculante del río Cau Cau es pura coincidencia.

Un veterinario va al médico por una moles-tia que tenía en el estómago. – Doctor, me duele aquí – dice tocándose la

barriga. – Veamos ... tendré que hacerle un examen

de sangre y otro de orina, para ver qué tratamiento aplicamos.

– Oiga, un momento. Yo soy veterinario y me basta echar un vistazo a mis animales para saber qué es lo que tienen.

– Ningún problema, ya tengo una sospecha de lo que Ud. tiene. Así que le daré una receta y si no nota mejoría en unos días, … lo sacrificamos.

Un Filósofo, un Físico, un Biólogo y un Matemático conversan animadamente en un bar, cuando de repente ven que dos personas entran en una camioneta estacionada enfren-te del local. Al cabo de un rato salen de ella no dos, sino tres individuos. Éstas fueron las impresiones de los tertulianos: – El Filósofo: “¡Esto es increíble! ¿Si la

camioneta estaba vacía, cómo es posible que salga una persona más de las que han entrado?”.

– El Físico: “Claramente, nuestras medicio-nes son erróneas”.

– El Biólogo: “Han debido de reproducirse dentro del vehículo”.

– El Matemático: “¡No veo dónde está el problema! Cuando entre una persona más, … la camioneta volverá a estar vacía”.

¿Cuánto es 2 + 2? : Ingeniero: 3,9968743 Físico: 4,000000004 +/–0,00000006 Matemático: Espere unos minutos. Ya he probado que la solución existe y es única, ahora la estoy calculando. Filósofo: ¿Qué quiere decir 2 + 2? Contador: Tras cerrar puertas y ventanas, susurra lo siguiente: “¿Cuánto quiere que sea el resultado?”

CURIOSIDADES DEL LENGUAJE

De aucedro con ivsentigcienoas en una uviserdanid iglesna,

no itrompa en que ordern etsén las larets en una plaraba, lo

úcnio iprotmatne es que la prerima y úmitla ltrea etésn en el

laugr cecorrto. El rteso peude ser un doderesn total y uetsd

aún pduee lelera sin núginn plomerba. Esto se dbee a que

no loemes cdaa ltrea por si sloa snio la pablara celtompa.

ESTUVO BUENA LA CAZA. AHORA VAMOS A COMER.

ESPERA, VOY A PUBLICARLO EN MI MURO ...

12

N O V I E M B R E 2 0 1 4

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Julio Morales Muñoz, Periodista y Comunicador Social

En Los Ríos el Talento está en ALTA UACh Ubicada en el Campus Isla Teja de la Universidad Austral de Chile se encuentra Alta UACh la Escuela de Talentos de la Universidad Austral de Chile, la cual ya cumple cinco años potenciando talentos de niños y niñas de estableci-mientos municipales de todas las comunas de la Región de Los Ríos.

La misión de ALTA UACh, desde el año 2009, es entregar la oportunidad de desarrollar el talen-to natural de niñas y niños con potencial académico y así po-der satisfacer sus necesidades educa-

tivas especiales. El programa está destinado a estudiantes desde sexto año de Enseñanza Básica, hasta cuarto año de Enseñanza Media. Patricia Monarca, Coordinadora de Docencia ALTA UACh comen-tó que “ALTA UACh espera convertirse en una herramienta de apoyo al sistema educativo tradicional, con un diseño de enrique-cimiento extracurricular que se enfoca en el desarrollo integral de los estudiantes, entregándoles instrumentos de índole cognitivo, social y afectivos. Esperamos potenciar el talento académico en la zona sur de Chile. En este momento tenemos 250 alumnos regu-lares de la Región de Los Ríos y desarrollamos dos experiencias piloto, una en Castro y otra en el Campus Patagonia de la Univer-sidad Austral en Coyhaique” finalizó. Respecto del programa, éste incentiva la autonomía en sus alum-nos a través de la posibilidad de elegir los cursos y así formar su propia malla curricular de acuerdo a sus intereses. De esta mane-ra el programa provee cursos enfocados en diversas disciplinas, considerando equilibrar las áreas de Ciencias y Matemáticas, con las de Humanidades y Ciencias Sociales. Los talleres apuntan a las Artes, los Deportes y el desarrollo personal. En el área de Ciencias y Matemáticas, algunos de los cursos que se ofrecen este semestre son:

Nivel 1 (estudiantes de 6° y 7° básico):

La Ciencia del Pasado; Paleontólogos del Presente, que rela-ciona la historia de la vida y los procesos geológicos en el pla-neta Tierra.

Las Matemáticas no Siempre Suman 33, presenta una forma lúdica de apreciar esta disciplina.

El Misterio de lo Impalpable, un curso de microbiología con mucho trabajo en laboratorio.

Conexiones de Partículas LED: Jugando en Serio con la Elec-trónica, donde los alumnos aprenden electrónica.

Nivel 2 (estudiantes de 8° básico y I° medio):

El Ataque de los Números en Serie, que explora el maravillo-

so mundo de los números.

Sistema Nervioso: Nuestra Conectividad con el Mundo Exte-rior, estudia este sistema desde la Anatomía y la Fisiología.

En el curso Preparados para Ganar, los alumnos conocen juegos de estrategia de diferentes lugares del mundo, como el Bag Chal, Mancala, Goshi, Go, Tablut, Fanorama, entre otros.

Nivel 3 y 4 (estudiantes de II°, III° y IV° medio):

Formando Constelaciones Geométricas, curso que apunta a comprender formas geométricas tanto en un mundo virtual (el computador) como en uno real (maquetas de figuras con-cretas hechas de cartón).

Los 42 Errores Matemáticos que no Debes Cometer, busca analizar los errores más comunes que se cometen en la PSU Matemática, descubriendo e identificando el error, ya sea conceptual o de cálculo.

Star Trek es un curso de introducción a la Astronomía.

Más información en www.alta-uach.cl

En Noviembre la Ciencia Mochilea por la Región de Los Ríos Ciencia In Ríos 2014: Exposiciones Científicas Itinerantes Regionales, es el nombre de la actividad que organiza el Proyecto Asociativo Regional (PAR) EXPLORA Los Ríos y Universidad Austral de Chile.

El evento se realiza entre el 3 y el 28 de Noviembre en distintas comunas de la XIV Región y tiene por objetivo promover y difun-dir la participación de niños, jóvenes y adultos de distintas comu-nas de la región, a través de un ciclo de itenerancias expositivo científico desarrollado por el PAR EXPLORA Los Ríos y la UACh. Las exposiciones se están realizando todo el mes de Noviembre con muestras como “Gabinete de Patología Animal” en Panguipu-lli (3 al 7 de Noviembre) y Futrono (10 al 14 de Noviembre); “La Aventura de Nacer” en San José de la Mariquina (3 al 7 de No-viembre) y Lago Ranco (10 al 14 de Noviembre); “Abbysalia: Habi-tantes del Océano Profundo” en Paillaco (17 al 21 de Noviembre) y Explorando con los Sentidos” en Máfil (24 al 28 de Noviembre). Los profesores interesados en asistir a alguna de estas muestras interactivas con algún curso, deben descargar la ficha de inscrip-ción en www.explora.cl/rios y enviar el documento a explo-ra14.enlaces@uach.cl de acuerdo a las fechas estipuladas de cie-rre de cada actividad. La invitación es abierta a todos los colegios porque la ciencia mochilea sin descanso este Noviembre.