7/23/2019 EDO TAREA 1

1/11

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

TAREA N1

ESCUELA PROFESIONAL DE

ELECTRONICA

ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES

GRUPO/TURNO: 01L

PROFESOR: DOC. LIC. CASTRO VIDAL,RAUL P.

INTEGRANTE: CODIGO

VACA TELLEZ, ALEX FABIO KEVIN 1313210171

7/23/2019 EDO TAREA 1

2/11

1. ANALICE Y DE EJEMPLOS DE LA EXISTENCIA Y UNICIDAD DE PROBLEMAS DE

VALOR INICIAL (PVI) DE PRIMER ORDEN.

MARCO TEORICO

Problema de valores iniciales En el caso de EDOs de primer orden, un (PVI)presenta una sola condicion y lo podemos expresar de la siguientemanera.

(PVI){y'=F(x , y)

y(x0 )=y 0

esultaimportante saber cuandoun (P V I) tienesoluciony tambiensi estaes unica, aun!ueno podamos conseguir expl"citamente la solucion.

#eorema Picard (de existencia y unicidad local)$ea el problema de valores iniciales

(PVI){y

'

=F(x , y)y(x0 )=y 0

donde (x% , y%) & 'a,b( 'c, d(.

$i * y *y son continuas en , existe un intervalo abierto I con centro en x% y contenido

en 'a,b( y una unica +uncion de+inida en I !ue satis+ace el problema (PVI).

Observacion Es claro !ue es una +uncion derivable en I y su derivada es una +uncion

continua en I ya !ue -(x) & * (x, (x)) es continua para todo x I . uego la gr a+icade es

una curva suave.

Observacion /n PVI puede no tener solucion,tener una solucionunicao muc0as (aunin+initas soluciones).

EJEMPLOS

7/23/2019 EDO TAREA 1

3/11

2.

7/23/2019 EDO TAREA 1

4/11

2. DAR EJEMPLOS DE CAMPOS DIRECCIONALES Y CONSTRUYE DICHOS

CAMPOS.

MARCO TEORICO

Campo de pendientes

a observacion anterior nos sugiere una interesante interpretacion geometrica de una

EDO de la +orma y-& * (x, y). a gr a+icade una solucionde una ecuaciondi+erencial

se denomina curva solucion o curva integral de la ecuacion. $upongamos !ue la +uncion es una solucion de y

-& * (x, y) esto es

-(x) & * (x, (x)), resulta entonces !ue

la recta tangente a la gr a+icade en cada punto (x, y) tienependiente* (x, y).

Entonces desde el punto de vista geometrico una curva solucion es una curva en el

plano cuya rectatangenteen cada punto (x, y) tienependientem & * (x, y).

1onsideramos un punto (x, y) y tra2amos por dic0a punto un pe!uen3o segmento de

recta con pendiente m & * (x, y) o bien una direccion. El con4unto de todos estos

segmentos se llama campo de pendientes o campo de direcciones parala ecuaci

ony-& * (x, y). EJEMPLOS

5.

6.

7/23/2019 EDO TAREA 1

5/11

7. y '=cosx

seny

3. DADA UNA FAMILIA DE FUNCIONES CONSTRUYA SU ECUACION

DIFERENCIAL ORDINARIA (EDO) CORRESPENDIENTE.

EJEMPLOS

5. Determine una ecuaci8n di+erencial cuya soluci8n general sea la +amilia de curvas.

Derivando dos veces la ecuaci8n de la +amilia

9 observe !ue es la ecuaci8n di+erencial buscada

6. Encontrar una ecuaci8n di+erencial cuya soluci8n general sea la +amilia de c:rculos con

centros sobre la recta 9&; y tangentes al e4e 9

Operando

7/23/2019 EDO TAREA 1

6/11

Derivando con respecto a ;

Despe4ando < y reempla2ando en la ecuaci8n de la +amilia

7. Encontrar una ecuaci8n di+erencial cuya soluci8n general sea la +amilia de c:rculos con

radio 5 y centro en (=)

Derivando impl:citamente

4. INVESTIGAR LEYES EN FISICA, MATEMATICA, INGENIERIA, ECONOMIA YBIOLOGIA UE INVOLUCRAN ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA(EDO)

7/23/2019 EDO TAREA 1

7/11

Aplicaciones a la Biologa:

/no de los campos m?s +ascinante del conocimiento al cual los m@todos matem?ticos 0an sido

aplicados es el de la =iolog:a. a posibilidad de !ue las matem?ticas pudieran aun ser aplicadasexitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivos desde os

microorganismos m?s elementales 0asta la misma 0umanidad sorprende a la imaginaci8n.

Crecimiento Biolgico:

/n problema +undamental en la biolog:a es el crecimiento, sea este el crecimiento de una c@lula,

un organismo, un ser 0umano, una planta o una poblaci8n. a ecuaci8n di+erencial +undamental

era

dy A dt & y

con soluci8n

y & ce

Donde c es una constante arbitraria. De esto vemos !ue el crecimiento ocurre si B % mientras

!ue el decaimiento (o encogimiento) ocurre s: C %.

/n de+ecto obvio de dic0a ecuaci8n di+erencial anteriormente planteada y de su soluci8n

correspondiente es !ue si B % entonces tenemos !ue y si t , as: !ue a medida !ue el tiempo

transcurre el crecimiento es limitado. Esto esta en con+licto con la realidad, ya !ue despu@s de

transcurrir cierto tiempo sabemos !ue una c@lula o individuo de4a de crecer, 0abiendoconseguido el tamaFo m?ximo.

*ormulaci8n Gatem?tica

$upongamos !ue Hy denota la altura de un ser 0umano (aun!ue como ya se 0a mencionado,

esto tambi@n puede re+erirse a otras cosas tales como el tamaFo de las c@lulas). #endr:amos

entonces

dy A dx & *(y) y & 9o para t&%

Donde H9o representa la altura en algJn tiempo especi+icado t & %, y donde * es una +unci8n

apropiada pero aun desconocida. Puesto !ue la +unci8n lineal *(y) & y no es apropiada,

ensayemos como una aproximaci8n de orden superior dada por la +unci8n cuadr?tica

*(y) & y > yK , y & 9o para t & %.

Puesto !ue la ecuaci8n *(y) & y > yK es de variables separables, tenemos

dy A y > yK & dt dy A y ( > y) & t L c

esto es, 5A '5Ay L A > ydy & t L c

& 5A 'ln y > ln (> y) & t L c

7/23/2019 EDO TAREA 1

8/11

/sando la condici8n y resolviendo en y & 9o en t & % se obtiene !ue

5 L '9o > 5 e

$i tomamos el limite de la ecuaci8n anterior tenemos !ue 1uando t, vemos, ya !ue B %, !ue

9max & lim 9

Por simple ?lgebra encontramos

ma! " lim " #$o % &o& ' #&(

Aplicaciones a la Economa:

En aFos recientes 0a 0abido un inter@s creciente por la aplicaci8n de las matem?ticas a la

econom:a. $in embargo, puesto !ue la econom:a involucra muc0o +actores impredecibles, tales

como decisiones psicol8gicas o pol:ticas, la +ormulaci8n matem?tica de sus problemas es di+:cil.

$e deber:a 0acer @n+asis !ue, como en los problemas de ciencia e ingenier:a, cual!uier resultado

obtenido te8ricamente debe +inalmente ser probado a la lu2 de la realidad.

O)erta * +emanda

$uponga !ue tenemos un bien tal como trigo o petr8leo. $eap el precio de este bien por alguna

unidad especi+icada ( por e4emplo un barril de petr8leo) en cual!uier tiempo t. Entonces

podemos pensar !uep es una +unci8n de t as: !ue p(t) es el precio en el tiempo t.

El numero de unidades del bien !ue desean los consumidores por unidad de tiempo en cual!uier

tiempo t se llama la demanda y se denota por D(t), o brevemente D. Esta demanda puede

depender no solo del preciop en cual!uier tiempo t, esto es, p(t), sino tambi@n de la direcci8n en

la cual los consumidores creen !ue tomaran los precios, esto es, la tasa de cambio del precio o

derivada p(t). Por e4emplo, si los precios est?n altos en tiempo t pero los consumidores creen

!ue pueden subir, la demanda tiende a incrementar. En s:mbolos esta dependencia de D en p(t) y

p(t) puede escribirse

D & (p(t)),p(t)

lamamos la +unci8n de demanda.

$imilarmente, el numero de unidades del bien !ue los productores tienen disponible por unidad

de tiempo en cual!uier tiempo t se llama o+erta y se denota por $(t), o brevemente $. 1omo en

el caso de la demanda, $ tambi@n depende de p(t) y p(t). Por e4emplo, si los precios est?n altos

en tiempo t pero los productores creen !ue estos pueden subir mas, la o+erta disponible tiende a

incrementar anticip?ndose a precios m?s altos. En s:mbolo esta dependencia de $ en p(t) y p(t)

puede escribirse

$ & g(p(t), p(t)

7/23/2019 EDO TAREA 1

9/11

lamamos g a la +unci8n o+erta.

Principio econmico de la o)erta * la demanda:

El precio de un bien en cual!uier tiempo t, esto es, p(t), esta determinada por la condici8n de

!ue la demanda en t sea igual a la o+erta en t, en +orma matem?tica esto !uiere decir

(p(t),p(t)) & g(p(t),p(t))

as +ormas !ue deber:a tener y g son las siguientes

D & (p(t),p(t)) & (=7> 6p(t) L 7p(t), $

& 7% L p(t) L Mp(t), respectivamente. $i en t &% el precio del bien es 5% unidades, encuentre (a)

El precio en cual!uier tiempo t B % y (b) $i 0ay estabilidad o inestabilidad de precio.

Solucin: El precio p(t) esta determinado al igualar la o+erta con la demanda, esto es,

MN > 6p(t) L 7p(t) & 7% L p(t) L Mp(t) & p(t) L 7 p(t) & 5N

7/23/2019 EDO TAREA 1

10/11

esolviendo la ecuaci8n del primer orden lineal su4eta a p & 5% en t & % da como resultado

p(t) & L Me

Aplicaciones a la ,sica

Mo-imiento .i/ratorio Amortig0ado:

El estudio del movimiento arm8nico libre es un tanto irreal puesto !ue el movimiento descrito

por la ecuaci8n - kx + mg - ks = - kx supone !ue no actJan +uer2as retardados sobre la masa en

movimiento. < menos !ue la masa est@ suspendida en un vac:o per+ecto, por lo menos 0abr? una

+uer2a opuesta debida al medio !ue la rodea. Por e4emplo, como muestra la +igura .N, la

masa mpodr:a estar suspendida en un medio viscoso o conectada a un mecanismo de

amortiguaci8n.

Ecuacin diferencial del movimiento con amortiguacin:

En los estudios de mec?nica se supone !ue las +uer2as de amortiguaci8n !ue actJan sobre un

cuerpo son proporcionales a una potencia de la velocidad instant?nea. En particular,

supondremos en el estudio !ue sigue !ue esta *uer2a est? dad por un mJltiplo constante de

dxAdt. 1uando no actJan otras +uer2as exteriores sobre el sistema, se tiene, por la segunda ley de

QeRton, !ue

m dKxAdtK & >Sx > dxAdt

En donde es una constante de amortiguacinpositiva y el signo negativo se debe a !ue la

+uer2a amortiguadora actJa en direcci8n opuesta al movimiento.

Dividiendo m dKxAdtK & >Sx >dxAdt entre la masa m se obtiene la ecuaci8n di+erencial

del mo-imiento -i/ratorio amortig0ado li/re.

dKxAdtK L dxA m dt L(SAm)x & %

o bien dKxAdtK L 6 dxAdt L Kx &%

En la ecuaci8n dKxAdtK L dxA m dt L(SAm)x & % identi+icamos

Podemos distinguir tres casos posibles. Puesto !ue cada soluci8n contendr? el factor de

amortiguacin e ,siendo B %, los despla2amientos de la masase volver?n insigni+icantes para

valores grandes del tiempo.

Ejemplo:

/n cuerpo !ue pesa Nlb. estira un resorte 6 pie. $uponiendo !ue una +uer2a de amortiguaci8n

num@ricamente igual a dos veces la velocidad instant?nea actJa sobre el sistema y !ue el peso

se suelta desde la posici8n de e!uilibrio con una velocidad dirigida 0acia arriba de 7pieAs,

determinar la ecuaci8n del movimiento.

solucin:

Por la ley de TooSe tenemos

7/23/2019 EDO TAREA 1

11/11

N & S (6), S & MlbApie

y por m = !g

m& NA76 & 5AMslug.

En consecuencia, la ecuaci8n di+erencial del movimiento es

5AM dKxAdtK & > Mx > 6 dxAdy 8 bien dKxAdtK L N dxAdt L 5x & %

as condiciones iniciales son

x(%) & %, dxAdtU & > 7

Ut & %

M. Por lo tanto, el sistema est? cr:ticamente amortiguado y x(t) & >

7te es la ec0acin de mo-imiento.

REFERENCIAS

http://usuarios.fceia.unr.edu.ar/~dirce/Apunte_EDOs_primer_orden_10.pdf

http://www.dma.uvigo.es/~aurea/TR_!_EDO.pdf

https://tecdigita".tec.ac.cr/revistamatematica/cursos#

"inea/EcuacionesDiferencia"es/EDO#$eo/edo#cap1#geo/node%.htm" http:// /ap"icaciones#de#"as#ecuaciones#diferencia"es#de#primer#'#

segundo#orden.htm"