Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de Matematica

Guıa N2 MAT023Ecuaciones diferenciales

Segundo semestre 2012

1. Dos muestras A y B, se convierten en un solo compuesto C. En el laboratorio se ha mostrado que para estassustancias se cumple la siguiente ley de conversion: la velocidad de variacion con el tiempo de la cantidadx del compuesto C es proporcional al producto de las sustancias no convertidas A y B. Supongase que lasunidades de medida se eligen de tal forma que una cantidad del compuesto C esta formado de la combinacionde una unidad de A con una unidad de B.

(a) Si en el tiempo t = 0 hay a unidades de la sustancia A, b unidades de la sustancia B y ninguna delcompuesto C presente, muestrese que la ley de conversion puede expresarse con la ecuacion:

x = k(a− x)(b− x) (1)

k > 0 es la constante de proporcionalidad.

(b) Haga la lınea de fase de la ecuacion anterior.

(c) Clasifique los puntos de equilibrios.

(d) Resolver esta ecuacion con la condicion dada. Investigue el comportamiento de x para t→∞.

2. Se tiene que un tanque contiene inicialmente q libras de sal disueltas en 10 galones de agua. Suponiendo queel agua contiene un cuarto de libra de sal por galon y entra al tanque a una razon de 3 galones por minutos,ademas la solucion desaloja el tanque a la misma razon.

(a) Plantee la ecuacion diferencial que determina la variacion de sal en el tanque.

(b) Haga la lınea de fase de la ecuacion anterior.

(c) Clasifique los puntos de equilibrios.

(d) Resolver esta ecuacion con la condicion dada. Investigue el comportamiento de la sal en el tanque cuandot→∞.

3. a la ecuacion diferencial (1 +xy− y2)dx+ (−1 +x2−xy)dy = 0 sabiendo que admite un factor de integracionque depende de x− y.

4. Resolver la ecuacion diferencial e indique el maximo subconjunto abierto de la recta real en donde la solucionesta definida.

(a) y(x)y′(x)− (y′(x))2x = 1 (b) 9x(y′(x))2 + (y(x))2 = 25

5. Se sabe que cierto material radiactivo decae con una rapidez que es proporcional a la cantidad presente. Unbloque de este material tiene originalmente una masa de 100 gramos y se observa que 20 anos despues tieneuna masa de 80 gramos. Determine la masa del material en funcion del tiempo.

6. Un isotopo radiactivo de carbono, conocido como carbono 14, obedece la ley de decaimiento radiactivo.Determine la constante de proporcionalidad si la vida media del carbono 14 es aproximadamente de 5568anos.

7. Un cuerpo de masa m es lanzado verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial v0 metros por segundosen un medio que presenta una resistencia proporcional a la magnitud de la velocidad instantanea de la masa.Determine la velocidad lımite de la masa.

8. Un objeto de masa m es lanzado desde la superficie de la Tierra, hacia arriba con una velocidad v0. Suponiendoque la unica fuerza que actua sobre la masa es el campo gravitacional de la Tierra. Determinar la menorvelocidad inicial (velocidad de escape) que se debe impartir al cuero para que este no retorne a la Tierra.

9. Hallar la solucion general de la ecuacion diferencial 5xy′+3y = 3x2y8/3, x > 0. Decir cual el maximo intervaloabierto I en el que esta definida la solucion que verifica y(1) = 1.

Coordinacion MAT023 1

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10. Un tanque de capacidad 500 litros contiene inicialmente 100 litros de agua en los que se disuelven 100 kilosde sal. Una salmuera que contiene medio kilo de sal por litro, se bombea al tanque con una rapidez de 6 litrospor minuto. La solucion bien mezclada se bombea enseguida hacia afuera del tanque con una rapidez de 4litros por minuto. Hallar la cantidad de sal en el tanque en el instante en que esta se llena.

11. Se sabe que el coeficiente de variacion de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entresu temperatura y la del medio ambiente. Si el medio se encuentra a 25 y el cuerpo pasa de 200 a 100 en40 minutos. Calcular el tiempo necesario para que el cuerpo pase de 200 a 50

12. Dado un circuito RL en serie, sean R = 20Ω, L = 0.03mH, i(0) = 0 conectados a una fuente constante E0.Hallar el tiempo necesario para que la corriente alcance el 99.9% de su valor final.

13. Dado un circuito RL en serie, sean R = 20Ω, L = 0.03mH, i(0) = 0 conectados a una fuente constante E0 los10 primeros segundos para despues permanecer desconectados a la fuente . Hallar la corriente para todo t.

14. Resolver

(a) (x+ 2y + 1)y′ = 4x− y + 1

(b) (x+ y2)dx− 2xydy = 0

(c) (x4 lnx− 2xy3)dx+ 3x2y2dy = 0

(d) y2 dx− (x2 + xy) dy = 0

(e)

(y

(x+ y)2− 1

)dx+

(1− x

(x+ y)2

)dy = 0

15. Resuelva la ecuacion (5x2y+ 6x3y2 + 4xy2)dx+ (2x3 + 3x4y+ 3x2y)dy = 0 sabiendo que admite un factor deintegracion de la forma xpy.

16. Resuelva la ecuacion (x2 + y2 + 1)dx − (xy + y)dy = 0 sabiendo que admite un factor de integracion de laforma (x+ 1)n

17. Un tanque de 50 galones de capacidad contiene inicialmente 10 galones de agua pura. Para , una solucionsalina que contiene 1 libra de sal por galon se vierte en el tanque a razon de 4 gal/ min, mientras que unasolucion bien mezclada sale del tanque a una razon de 2 gal/ min. Encuentre la cantidad de sal que hay enel tanque en el momento en que este se llena.

18. La vida media del cobalto radiactivo es de 5.27 anos. Suponga que un accidente nuclear ha elevado el nivelde cobalto radiactivo en la region a 100 veces el nivel aceptable para la vida humana. ¿Cuanto tiempo pasarapara que la region vuelva a ser habitable? (ignore la presencia de otros elementos radiactivos).

19. Considere las ecuaciones diferenciales ordinaria siguientes: y′ = b(y − a) y y′ = −py3. Clasifique segun losvalores reales p, b cuales de ellas son cualitativamente equivalentes.

20. Resuelva y bosqueje el campo de pendientes de las siguientes ecuaciones

(a) (x− y cos(y/x))dx+ x cos(y/x)dy = 0

(b) (x+ 2y − 1)dx+ (2x+ 5)dy = 0

(c) y′ = sen(x+ y)

21. Para que valores del parametro α el problema tiene solucion unica.

(a) y′ = yα, y(0) = 0 (b) y′ = y |ln y|α , α > 0, y(0) = 0

22. Resolver

(a) 4x− 3y + y′(2y − 3x) = 0

(b) xy′ = y +√y2 − x2

(c) 4x2 − xy + y2 + y′(x2 − xy + 4y2) = 0

(d) y′ =2xy

3x2 − y2

(e) (x− y + 3)dx+ (3x+ y + 1)dy = 0

(f) y cosxdx+ (2y − senx)dy = 0

(g) y′ =1

x sen y + 2 sen 2y

Coordinacion MAT023 2