Educación Matemática en las Américas 2015

Educacin Matemtica en lasAmricas 2015Volumen 7: Investigacin

2015 Comit Interamericano de Educacin Matemtica (CIAEM)

Paseo de la Reforma 383., 7 Piso, Colonia Cuauhtmoc, Delegacin Cuauhtmoc,

Mxico D.F. CP 06500, MXICO

www.ciaem-iacme.org [email protected]

Educacin Matemtica en las Amricas 2015

Volumen 7: Investigacin Editado por Patrick (Rick) Scott y ngel Ruiz

Colaboradora: Sarah Gonzlez.

ISBN Volumen: 978-9945-603-04-0 ISBN Obra Completa: 978-9945-415-97-1

El Comit Interamericano de Educacin Matemtica (CIAEM) es una organizacin fundada en 1961 asociada a la International Commission on Mathematical Instruction. Busca potenciar la

enseanza y aprendizaje de las Matemticas en las Amricas.

Se permite la reproduccin de cualquier parte de este libro para fines no lucrativos siempre que se consignen los crditos a los autores y al Comit Interamericano de Educacin Matemtica.

Para citar este libro y este volumen: Comit Interamericano de Educacin Matemtica (2015). Educacin Matemtica en las Amricas: 2015. Volumen 7: Investigacin. Editores: Patrick (Rick) Scott y ngel Ruz. Repblica Dominicana.

mailto:[email protected]

Tabla de Contenidos

Presentacin

A conceitualizao de volume como grandeza luz da teoria dos campos conceituais Leonardo Morais-BR

A formao do pedagogo para o ensino de matemtica nos anos iniciais do ensino fundamental: reflexes dedutiva e epistemolgica

Maria Jos Costa dos Santos-BR

A incongruncia entre as palavras do enuciado do problema e a operao usada para resov-lo: uma contribuio para o debate

Sandra Magina-BR, Eurivalda Santana-BR, Vera Merlini-BR

A no congruncia das palavras nas situaes de comparao multiplicativa: quando vezes mais vira diviso

Vera Merlini-BR, Rogrio Pires-BR, Eurivalda Santana-BR

A Sequncia Fedathi na formao inicial do pedagogo para o ensino de Geometria bsica: a importncia da sesso didtica

Romilson dos Santos-BR, Maria Jos dos Santos-BR, Marta da Silva-BR

A Sequncia Fedathi para uma aprendizagem significativa da funo afim: uma proposta didtica com o uso do software Geogebra

Antonio Marcos de Souza-BR, Joilson Pedrosa-BR, Maria Jos Santos-BR

Abordagem da formalizao do conceito de rea em livros do 6 ano do ensino fundamental

Walenska Santana-BR, Amanda Silva-BR

Actividad de aprendizaje de estudiantes de 6o grado: las medidas de tendencia central desde las actividades orientadoras de enseanza

Luz Agudelo-Palacio-CO, Diana Jaramillo Quiceno-CO

Alguns exemplos da relao entre o pensamento matemtico avanado e asiIdeias de Fischbein

William Vieira-BR, Vera Helena Giusti de Souza-BR, Roberto Seidi Imafuku-BR

Ambiente informal: saberes e fazeres matemticos presentes na construo civil Edelaine Andrade-BR, Sergio Arruda-BR, Marinez Passos-BR

Anlise das justificativas de alunos em questes de frao envolvendo os invariantes ordem e equivalncia.

Raquel Canova-BR, Anglica Garcia Silva-BR, Tnia Maria Campos-BR, Rosivaldo Santos-BR

i-iii

1-12

13-21

22-31

32-43

44-52

53-62

63-71

72-83

84-94

95-104

105-115

Anlise diagnstica do uso da pergunta pelo professor de Matemtica dos anos iniciais do ensino fundamental, luz da Sequncia Fedathi

Francisco de Sousa-BR, Hermnio Borges Neto-BR, Marta Alves da Silva-BR

Aproximacin a las concepciones usadas en la resolucin de problemas de variacin y cambio

Edwin Lpez Velandia-CO, Jorge Fiallo Leal-CO

As aplicaes da Matemtica como um ver-como wittgensteiniano Paulo da Silva-BR, Valdomiro Teixeira Jnior-BR, Joo Malheiro-BR

Atividades investigativas para o ensino mdio por meio do uso de um material didtico manipulvel

Renata Geromel Meneghetti-BR, Ricardo Kucinskas-BR,Tiago Santos Junior-BR

Baixo rendimento dos alunos do 6 ano na disciplina de matemtica em uma escola pblica de ji-Paran, Rondnia, Brasil: falta de motivao?

Enoque da Silva Reis-BR, Simone dos Santos Frana-BR, Nei Araujo Silva-BR

Cambio de concepciones sobre la gestin del proceso enseanza-aprendizaje Luis Bohrquez-CO

Caractersticas dos Trs Mundos da Matemtica que emergem na resoluo de um problema de proporcionalidade direta

Maria Elisa Galvo-BR, Vera Helena De Souza-BR, Ana Maria Poggio-BR

Caracterizacin de la actividad argumentativa de estudiantes de educacin media cuando trabajan en procesos de matematizacin de situaciones

Oscar Gonzalez Pinilla-CO, Camilo Arvalo Vanegas-CO

Clasificando provas de alunos do ensino mdio segundo a tipologia de Balacheff Leonardo Da Silva-BR, Alexis Silveira-BR, Gesse Ferreira-BR

Comportamiento de estudiantes universitarios al usar definiciones matemticas Valeria Aguirre Holgun-US

Concepciones de profesores de bachillerato sobre la demostracin matemtica en contexto escolar

Mara Ramos Abundio-MX, Gema Moreno Alejandri-MX, Efrn Marmolejo-MX

Construccin de la matriz cambio de base: un anlisis cognitivo en trminos de la Teora APOE

Esteban Mendoza-MX, Solange Roa Fuentes-MX, Flor M. Rodrguez-MX

116-126

127-136

137-144

145-154

155-162

163-174

175-186

187-198

199-208

209-215

216-226

227-237

Creencias y una aproximacin de la concepcin de los profesores de pre-clculo sobre el proceso de enseanza e aprendizaje de la funcin exponencial

Ivn Velsquez Millones-PE, Norma Rubio Goycochea-PE

Cuando la Matemtica se deja fotografiar-un viaje del lenguaje visual al lenguaje matemtico

Miguel ngel Martnez-AR, Silvia Fachal-AR

De la estimacin aproximada de la magnitud a la conformacin de la precisin, base del valor discreto numrico.

Mara Martnez de la Mora-MX

Diseo de categoras de aprendizaje en matemticas Patricia Camarena Gallardo-MX, Irma Flores Allier-MX

El impacto del lenguaje matemtico en el aprendizaje. Una experiencia con alumnos del nivel superior.

Ana Vozzi-AR, Mnica Caserio-AR

El tipo de cantidad en proporcionalidad con problemas de valor faltante Juan Ramrez Maciel-MX, Claudia Acua Soto-MX

Errores y concepciones de los alumnos en lgebra Nora Olmedo-AR, Marcela Galndez-AR, Javier Peralta-AR, Miryam Di Brbaro-

AR

Explorando una consecuencia de la comprensin matemtica Asela Carln Monroy-MX, Sergio Cruz Contreras-MX

Fraes, decimais e porcentagem: possvel trabalhar de forma integrada? Janilson Lotrio-BR

Geometra escolar: una batalla entre percepcin versus lgica y razonamiento. Melissa Andrade-Molina-DK

Habilidades inherentes al pensamiento variacional de estudiantes de nuevo ingreso a la universidad

Nelson Rueda Rueda-CO, Sandra Parada Rico-CO, Jorge Fiallo Leal-CO

Interpretacin de grficas cartesianas sobre el movimiento desde una visin de construccin social

Jos Zaldvar Rojas-MX

Interpretacin de la relacin funcional en estudiantes de grado noveno Enzo Fabian Marines Lamprea-CO, Cristian Jair Ayala Vargas-CO

238-250

251-259

260-271

272-283

284-292

293-303

304-316

317-328

329-339

340-348

349-357

358-369

370-379

Investigaes matemtica sobre Anlise Combinatria por alunos do ensino mdio do Instituto Federal do Tocantins Albano Dias Pereira Filho-BR, Nielce Lobo Da Costa-BR, Elias Junior-BR La constitucin de la unidad similar a partir de las formas geomtricas de la seccin urea concebida como proceso de matematizacin Liz Acero Molina-CO, Angello Chaparro Fonseca-CO La construccin continua de la demostracin como medio para ensear y aprender a validar matemticamente Vctor Larios Osorio-MX La maestra Luna y la enseanza de la multiplicacin Lorena Trejo Guerrero-MX, Marta Elena Valdemoros lvarez-MX La transmisin del conocimiento matemtico en la formacin de profesores en Matemtica

Daniela Emmanuele-AR, Marta Risso-AR, Florencia Rodil-AR, Cintia Vernazza-AR

Linguagem matemtica e traduo: movimentos e discusses acerca da polissemia Janeisi Meira-BR, Robson Barata de Medeiros-BR, Marisa Abreu da Silveira-BR Los usos del conocimiento matemtico en un escenario de educacin no formal Placido Hernndez Snchez-MX, Gabriela Buenda Abalos-MX Matriz asociada a una transformacin lineal. Una Mirada desde la Teora APOE. Isabel Maturana Pea-CL, Marcela Parraguez G-CL, Mara Trigueros Gaisman-MX O desempenho de alunos do 6 ano em questes que envolvem a decomposio de um nmero em fatores primos e seu uso para simplificar clculos Gabriela Barbosa-BR, Sandra Maria Magina-BR O laboratorio de educao matemtica e a microinvestigao: aliados na formao do professor pesquisador Amrico Junior Silva-BR O mtodo jigsaw e a mobilizao de estilos de pensamento matemtico por estudantes de engenharia Eloiza Gomes-BR, Benedito Silva-BR, Gabriel Lima-BR O uso de materiais manipulativos no ensino da subtrao: uma experincia com material dourado e dinheiro chins Ariana Costa Silva-BR, Jos Lamartine da Costa Barbosa-BR

380-392 393-398 399-412 413-422 423-435 436-443 444-455 456-466 467-477 478-488 489-500 501-510

Representaciones dinmicas como apoyo para la interiorizacin del concepto de transformacin lineal

Csar Fabin Romero Flix-MX, Asuman Okta-MX

Roles, organizaciones e interacciones en el aula de Matemticas Rossmajer Guataquira Lpez-CO, Jorge Lurduy Ortegn-CO

Subjetividad del profesor de matemtica. Discursos que circulan Alex Montecino Muoz-DK

Uma anlise dos artigos que tratam da formao de professores em matemtica a partir de critrios de cientificidade

Carla Tambarussi-BR, Edson Reginaldo-BR, Paulo Wichnoski-BR, Tiago Klber-BR

Uma reviso crtica da tendncia investigao Matemtica no Brasil Paulo Wichnoski-BR, Tiago Klber-BR

Un taller de matemticas para Ingeniera Estadstica de una universidad pblica en Chile

Claudia Vargas Daz-CL, Nicolas Thriault-CL

Una mirada al proceso matemtico de elaboracin, comparacin y ejercitacin de procedimientos en la resolucin de problemas con el que ingresan los estudiantes a la universidad

Claudia Barajas Arenas-CO, Sandra Parada Rico-CO

511-522

523-530

531-538

539-547

548-556

557-569

570-580

i

Presentacin XIV CIAEM-IACME, Chiapas, Mxico, 2015.

Presentacin

La XIV Conferencia Interamericana de Educacin Matemtica realizada en Tuxtla Gutirrez, Chiapas, Mxico, del 3 al 7 de mayo del 2015, cont con la participacin de cerca de 1000 personas de 23 pases y la presentacin de ms de 500 trabajos (conferencias plenarias y paralelas, mesa redonda, minicurso, dilogos, comunicaciones, talleres y posters) Esta fue una reunin regional de la International Commission on Mathematical Instruction (ICMI). El CIAEM es la organizacin afiliada al ICMI con mayor antigedad. Su creacin se remonta al ao 1961 cuando se realiz la primera conferencia en Bogot, Colombia.

Un gran nivel cientfico domin los trabajos, en un ambiente cultural muy especial, con una gran hospitalidad por parte de los colegas de Chiapas.

Los conferencistas plenarios fueron Michle Artigue (Francia), Carlos Vasco (Colombia), Diane Briars (USA), Abraham Arcavi (Israel-Argentina), Celia Hoyles (Reino Unido), Mara Teresa Tatto (USA) y Alicia vila (Mxico). Ellos tambin desarrollaron Dilogos especiales, espacios adicionales de conversacin e intercambio.

Una mesa plenaria organizada por la Red de Educacin Matemtica de Amrica Central y El Caribe cont con la participacin de Carlos Snchez (Cuba), Nelly Len (Venezuela), Edison de Fara (Costa Rica), Luis Carlos Arboleda y Jhony Villa (Colombia).

El evento tuvo conferencias paralelas y minicursos impartidos por acadmicos invitados, entre ellos: Gabriele Kaiser (Alemania), Richard Noss (Reino Unido), Manuel Santos (Mxico), Gert Schubring (Alemania), Jos Chamoso (Espaa), Jos Luis Lupiez (Espaa), Arthur Powell (USA), Alessandro Ribeiro (Brasil), Roberto Araya (Chile), Gilberto Obando (Colombia), Uldarico Malaspina (Per).

Los dos temas principales fueron la Preparacin de docentes que ensean matemticas y el Uso de tecnologas en la Educacin Matemtica.

El congreso tuvo el valioso patrocinio de varias instituciones internacionales y nacionales: International Commission on Mathematical Instruction; Universidade Luterana do Brasil; Centro de Investigaciones Matemticas y Metamatemticas, y Centro de Investigacin y Formacin en Educacin Matemtica de la Universidad de Costa Rica; Secretara de Educacin del Estado de Chiapas; Universidad del Valle de Mxico; Sindicato de Trabajadores de la Educacin de Mxico; Centro Regional de Formacin Docente e Investigacin Educativa (CRESUR); Oficina de Convenciones y Visitantes de Chiapas; Asociacin Nacional de Profesores de Matemticas de Mxico; Escuela Normal Superior de Chiapas; Universidad de Costa Rica; HP; CASIO; y EduSystems.

Desde el 2007 el CIAEM ha logrado, entre otras cosas:

Potenciar la calidad acadmica en los trabajos, la organizacin eficiente y la proyeccin de las conferencias interamericanas

Consolidar la publicacin de trabajos seleccionados de la Conferencias en la revista Cuadernos de Investigacin y Formacin en Educacin Matemtica (editada en Costa Rica)

ii


Fortalecer la relacin del CIAEM con la comunidad internacional de Educacin Matemtica, especialmente con el ICMI y la International Mathematical Union.

Crear y consolidar la Medalla Luis Santal Apoyar el desarrollo del Capacity and Networking Project del ICMI en Amrica Latina

(Costa Rica 2012, Per 2016) Auspiciar la creacin y las actividades de la Red de Educacin Matemtica de Amrica

Central y El Caribe Apoyar la organizacin del I Congreso de Educacin Matemtica de Amrica Central y El

Caribe, celebrado en Santo Domingo, Repblica Dominicana, en noviembre del 2013 Consolidar el uso intenso de tecnologas de la comunicacin en todas las actividades del

CIAEM Crear una comunidad virtual del CIAEM de gran proyeccin tanto a travs de su sitio web

principal como de su pgina en Facebook Fundar en Mxico el Comit Interamericano de Educacin Matemtica con personalidad

jurdica para atender los mltiples compromisos formales que posee Traducir al espaol y publicar algunos textos del NCTM relacionados con la temtica

Principles to actions y continuar una lnea importante de colaboracin con el National Council of Teachers of Mathematics de los USA En la XIV CIAEM fue confirmada la decisin de tener la XV CIAEM en Medelln,

Colombia, en el 2019. Ser desde har 58 aos la segunda ocasin en que se realizar una CIAEM en tierra colombiana.

CIAEM es el evento internacional ms importante en Educacin Matemtica en Amrica Latina. Constituye un punto de referencia para investigadores, docentes y estudiantes en todo el continente.

La mayora de los textos de base para las presentaciones plenarias o paralelas ha sido incluidas en el nmero 15 de los Cuadernos de Investigacin y Formacin en Educacin Matemtica que se edita en Costa Rica: http://revistas.ucr.ac.cr/index.php/cifem.

Las comunicaciones, talleres, minicursos y posters han sido incluidas en esta coleccin digital de volmenes que titulamos La Educacin Matemtica en las Amricas: 2015. Los trabajos se han organizado de la siguiente manera:

Volumen 1 Educacin Matemtica en las Amricas 2015: Formacin Inicial para Primaria

Volumen 2 Educacin Matemtica en las Amricas 2015: Formacin Inicial para Secundaria

Volumen 3 Educacin Matemtica en las Amricas 2015: Formacin Continua Volumen 4 Educacin Matemtica en las Amricas 2015: Uso de Tecnologa Volumen 5 Educacin Matemtica en las Amricas 2015: Etnomatemtica y Sociologa Volumen 6 Educacin Matemtica en las Amricas 2015: Currculum, Evaluacin y

Competencias Volumen 7 Educacin Matemtica en las Amricas 2015: Investigacin Volumen 8 Educacin Matemtica en las Amricas 2015: Estadstica y Probabilidad Volumen 9 Educacin Matemtica en las Amricas 2015: Geometra Volumen 10 Educacin Matemtica en las Amricas 2015: lgebra y Clculo

http://revistas.ucr.ac.cr/index.php/cifem

iii


Volumen 11 Educacin Matemtica en las Amricas 2015: Educacin Primaria Volumen 12 Educacin Matemtica en las Amricas 2015: Historia y Epistemologa Volumen 13 Educacin Matemtica en las Amricas 2015: Nuevos Enfoques y Relacin

con Otras reas Volumen 14 Educacin Matemtica en las Amricas 2015: Necesidades Especiales Volumen 15 Educacin Matemtica en las Amricas 2015: Resolucin de Problemas Volumen 16 Educacin Matemtica en las Amricas 2015: Modelacin Volumen 17 Educacin Matemtica en las Amricas 2015: Talleres y Minicursos Volumen 18 Educacin Matemtica en las Amricas 2015: Posters

El CIAEM desea agradecer a todos los autores que presentaron sus trabajos en la XIV CIAEM y que incluimos en esta coleccin de volmenes. Y a todos los revisores, directores de tema, y colaboradores que participaron en la revisin cientfica de las ponencias de este magno evento.

La organizacin detallada y la edicin en sus diversas dimensiones fue realizada por nuestro segundo vicepresidente Patrick Scott (Estados Unidos) quien dedic un esfuerzo extraordinario para tener estas Memorias disponibles. Quiero expresar en nombre de nuestra organizacin nuestro agradecimiento a Rick. Nuestra compaera Sarah Gonzlez (Vocal para El Caribe) se encarg de tramitar su registro en Repblica Dominicana que cont con el apoyo de la Pontificia Universidad Catlica Madre y Maestra de ese pas, a las que tambin expresamos nuestra gratitud.

Los enlaces de estos volmenes se han colocado en las pginas web oficiales del CIAEM.

Esperamos que la publicacin de todos estos trabajos contribuya al progreso de la investigacin y la accin de aula en la Educacin Matemtica de las Amricas.

Angel Ruiz Presidente Comit Interamericano de Educacin Matemtica

1

Comunicacin XIV CIAEM-IACME, Chiapas, Mxico, 2015.

A conceitualizao de volume como grandeza luz da teoria dos campos conceituais

Leonardo Bernardo de Morais Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia do Serto Pernambucano Brasil [email protected]

Resumo

O presente artigo um recorte de uma pesquisa de dissertao que investigou a abordagem da grandeza volume nos livros didticos brasileiros de Matemtica para o ensino mdio. Usou-se como aporte terico a teoria dos campos conceituais de Gerrd Vergnaud (1990) e o modelo terico de quadros propostos por Rgine Douady e Perrin-Glorian (1989) para a conceituao de rea como grandeza. Neste artigo, analisaram-se os possveis teoremas em ao passveis de serem formulados pelos alunos diante das situaes de comparao e de produo de volume elencadas nos livros didticos analisados. Dentre os resultados, constatou-se que as situaes de comparao e de produo possibilitam o desenvolvimento de estratgias variadas, bem como a formulao de teoremas em ao que conduzem a conceituao de volume como grandeza.

Palavras chave: grandezas e medidas, ensino mdio, livro didtico, volume, teoria dos campos conceituais.

Introduo

O presente artigo um recorte de uma investigao mais ampla na qual se investigou a abordagem da grandeza volume em livros didticos de Matemtica brasileiros para o ensino mdio.

O campo das grandezas e medidas h mais de dez anos vem recebendo notria ateno ao ser colocado em publicaes curriculares brasileiras (Brasil, 1998) como um dos grandes blocos de contedos do ensino fundamental ao lado de Nmeros e Operaes, Espao e Forma e Tratamento da Informao. Alm disso, o mesmo tem despertado, mais recentemente, a realizao de diversos estudos por inmeras razes, dentre as quais elencamos duas: o baixo desempenho dos alunos diante de situaes que envolvem grandezas e sua importncia no meio social e cientfico.

O campo das grandezas e medidas extremamente vasto e sua anlise remete identificao de grandezas de naturezas diversas como temperatura, massa, tempo, entre outras. Nesse campo, destacam-se as grandezas geomtricas comprimento, rea, volume e ngulo, pois alm serem recorrentes em atividades cotidianas, possibilitam a articulao com outros contedos matemticos e com outras reas do conhecimento.

Nosso interesse em investigaes no campo das grandezas e medidas se volta para as grandezas geomtricas e mais especificamente para volume.


A conceitualizao de volume como grandeza luz da teoria dos campos conceituais 2


Na pesquisa acima mencionada, usamos como aporte terico a teoria dos campos conceituais de Gerard Vergnaud (1990) e tendo como objetivos mapear e classificar as situaes que abordam a grandeza volume nos livros didticos de Matemtica de ensino mdio e identificar as propriedades do conceito de volume e as representaes simblicas exploradas nesses livros didticos.

Dentre os resultados constatados nessa investigao mais ampla, elencamos os tipos de situaes menos frequentes observadas nos livros didticos analisados, a fim de fazer um estudo mais minucioso, cujos resultados so apresentados neste artigo. Diante disso, delimitamos como objetivo deste estudo, identificar as propriedades do conceito de volume exploradas nos livros didticos de Matemtica do ensino mdio que podem ser exploradas em situaes de comparao e de produo da grandeza volume.

Consideraes de volume como grandeza

A anlise das instrues curriculares nacionais oficiais mostra que volume est presente desde a educao infantil at o ensino mdio. Inicialmente, o ensino foca o conceito de capacidade (volume interno de recipientes) e mais tarde incorpora o volume de slidos macios. Nos 3 e 4 ciclos, so sugeridas atividades envolvendo as unidades de medida mais usuais como metro cbico, centmetro cbico, litro e mililitro, alm de clculo do volume de paraleleppedos retngulos por contagem de cubinhos e de prismas retos por composio/decomposio (Brasil, 1998). Por fim, no ensino mdio, recomenda-se a identificao de instrumentos mais adequados para medir o volume de objetos geomtricos e a explorao das frmulas de volume mais usuais (Brasil, 2002b).

No que tange abordagem de comprimento, rea, volume e ngulo, estudos tm defendido o ensino dos referidos conceitos na perspectiva de grandeza, que consiste em associar/dissociar o slido, o numrico e a grandeza. Essa proposta fundamenta-se nas pesquisas desenvolvidas por Rgine Douady e Marie-Jeanne Perrin-Glorian (1989), as quais elaboraram e experimentaram uma engenharia didtica, em que investigaram a construo da noo de rea como grandeza por alunos com idade entre nove e 12 anos.

Segundo essas pesquisadoras, a construo desse conceito requer a compreenso de rea como grandeza autnoma, fazendo-se necessrio fazer duas distines bsicas: a) rea, que uma grandeza, e a superfcie, que um objeto geomtrico; b) a grandeza rea e sua medida que nesse modelo, um nmero. Esse modelo tem influenciado diversos estudos, os quais confirmaram sua pertinncia (Lima, 1995; Baltar, 1996; Bellemain & Lima, 2002; Teles, 2007) e o estenderam para a conceituao de outras grandezas como comprimento (Barbosa, 2002), volume (Oliveira, 2002, 2007; Barros, 2002; Anwandter-Cuellar, 2008) e ngulo (Lima & Bellemain, 2010).

Assim por analogia, compreender volume como grandeza consiste em distinguir volume do slido geomtrico e volume de sua medida, que um nmero real positivo.

Estudos realizados por Oliveira (2002) e Barros (2002) constataram que alunos dos anos finais do ensino fundamental revelaram uma compreenso insuficiente de volume como grandeza, uma vez que os sujeitos investigados pouco articularam/dissociaram os trs componentes: o nmero, o slido e a grandeza. Ainda nessa etapa de ensino, Anwandter-cuellar (2008) verificou, no ensino francs, que os alunos tm uma concepo predominantemente numrica de volume, ou seja, prevalece a identificao do volume a um nmero e no a uma



grandeza. Figueiredo (2013) verificou que alunos do ensino mdio brasileiro apresentam dificuldades na conceituao de volume quando o representaram utilizando unidades de reas. Alm disso, alguns no reconhecem as frmulas adequadas para o clculo de volume de um slido.

Esses resultados sugerem novos estudos que possibilitem aos alunos uma construo pertinente do conceito de volume. Para tanto, optamos por analisar a abordagem dessa grandeza nos livros didticos de Matemtica brasileiros do ensino mdio, tendo em vista a relevncia desse recurso didtico para alunos e professores no ensino de conceitos matemticos, em particular o de volume.

No que tange ao livro didtico, alguns estudos (Grard & Roegiers, 1998; Carvalho & Lima, 2010) apontam sua relevncia no ensino. O primeiro ressalta que o livro didtico dotado de conceitos matemticos e de escolhas didticas (sequncias didticas), uma vez que traz para esse contexto o seu autor, o qual passa a interagir com o aluno e com o professor, reforando, portanto, a importncia em ter nesses livros uma abordagem que favorea o ensino dos contedos matemticos.

Volume como componente de um campo conceitual

Usamos como aporte terico a teoria dos campos conceituais de Grard Vergnaud (1990), a qual conduz, em nossa investigao, na identificao de situaes, de invariantes operatrios e de representaes simblicas em problemas sobre volume explorados nos livros didticos analisados. Ainda na perspectiva da teoria dos campos conceituais, volume situa-se no campo conceitual das grandezas geomtricas, no qual, por um lado, so estabelecidas relaes com comprimentos, reas, ngulos, funo linear, proporcionalidade, frmulas, figuras geomtricas planas e espaciais, nmeros, instrumentos de medida, entre outros conceitos e procedimentos matemticos. Por outro lado, no mbito desse campo conceitual, articulam-se grandezas fsicas bsicas como massa, temperatura, velocidade e muitas outras.

O entendimento da grandeza volume como componente de um campo conceitual remete identificao de tipos de situaes, de propriedades (frmulas, definies, etc.) e de representaes simblicas que permitem dar sentido ao referido conceito.

As situaes que possibilitam d sentido a volume como grandeza so medio, comparao e produo, desenvolvidas a partir de estudos realizados por Baltar (1996) e Anwandter-cuellar (2008). As situaes de medio consistem em atribuir um nmero, numa dada unidade, ao volume de um slido. As situaes de comparao consistem em decidir, em um dado conjunto de slidos, qual deles tem maior/menor volume ou se tm volumes iguais. E, por fim, as situaes de produo caracterizam-se pela produo de um slido com volume menor, maior ou igual a um volume dado.

Situaes de produo e de comparao

Conforme dito antes, neste artigo analisaremos apenas as situaes de comparao e de produo, por serem menos frequentes em relao s situaes de medio.

Aqui, seguem as estratgias e variaes que podem ser mobilizadas e/ou interferir na resoluo dos problemas de comparao e de produo.

Nas situaes de comparao podem ser usadas estratgias como visual (perceptiva), incluso, decomposio/recomposio, imerso; medio e comparao das medidas,



comparao das massas e princpio de Cavalieri. Para tanto, h como variaes a quantidade de slidos, sua natureza (slidos ocos X slidos macios) e sua representao (ausncia da figura, figura em perspectiva, vistas planas, planificaes, presena da figura que permite gerar o slido, presena de slidos concretos).

Na comparao do volume de trs ou mais slidos suficiente compar-los dois a dois e por transitividade, orden-los segundo seus volumes. Portanto, essa estratgia faz intervir o conceito em ao da transitividade.

Em se tratando de slidos macios e/ou ocos, est em jogo o conceito de volume propriamente dito ou o conceito de volume interno (capacidade). Nesse caso, cabe enfatizar que volume um atributo de slidos ocos e macios, enquanto capacidade associa-se apenas ao primeiro.

Em se tratando de slidos ocos e macios, em que pelo menos um dos slidos for oco, favorece-se a estratgia de incluso, na qual um slido pode ser inserido no outro, o que permite levantar o teorema em ao volume e capacidades so grandezas de mesma natureza.

O teorema em ao acima mencionado decorre da ao do sujeito ao comparar o volume dos slidos. E mesmo sem estar consciente dessa propriedade, ele est comparando uma capacidade com um volume (ou seja, est implcito na ao do sujeito que capacidade e volume so comparveis e, portanto so de mesma natureza). Isso permite afirmar que o sujeito est mobilizando o teorema em ao, segundo o qual volume e capacidade so grandezas de mesma natureza, embora esse sujeito no seja necessariamente capaz de explicitar essa propriedade, mesmo se a utiliza na ao.

A ausncia/presena da figura ou dos objetos concretos que permite a visualizao ou manipulao pode conduzir a estratgias como a visual perceptiva, na qual a comparao feita do ponto de vista geomtrico e a composio-recomposio, em que um slido decomposto e recomposto.

A comparao das massas possibilita comparar o volume de slidos em se tratando de objetos de mesma densidade. Esse tipo de situao, sobretudo sem a interferncia da medida, possibilita dissociar o slido e a grandeza como nas atividades com argila e as que permitem decompor e recompor um slido. Esse tipo de estratgia favorece o teorema em ao slidos diferentes podem ter mesmo volume, o que conduz a distino entre o slido e a grandeza volume.

Em se tratando das situaes de produo, as mesmas possibilitam o uso de estratgias como composio, decomposio-recomposio e princpio de Cavalieri.

Assim como nos problemas de comparao, esse tipo de situao favorece a distino entre o slido e a grandeza que permite observar a independncia entre volume e o objeto geomtrico.

A estratgia de composio consiste em produzir um slido compondo as unidades de medida; e o princpio de Cavalieri caracteriza-se pela construo de uma figura a partir do que afirma tal princpio. O uso das referidas estratgias pode remeter ao teorema em ao diferentes slidos podem ter o mesmo volume, o qual favorece a compreenso de volume enquanto grandeza.

A estratgia de decomposio-recomposio versa sobre a produo de um novo slido com volume maior/menor ou igual ao volume de um slido dado.



Com isso, foram analisados o que os exerccios propostos nos referidos livros didticos permitem explorar no que se referem s estratgias, variaes e elaborao de possveis teoremas em ao e propriedades subjacentes ao conceito de volume.

Mtodo

Para a coleta dos dados, foram analisadas as sete colees aprovadas no PNLD 2012 (Brasil, 2011), explicitadas na tabela 1:

Tabela 1 Colees aprovadas no PNLD 2012 Coleo Autor (a) Editora Conexes com a Matemtica Juliane Matsubara Barroso Moderna Matemtica- Contexto e Aplicaes Luiz Roberto Dante tica Matemtica Paiva Manoel Paiva Moderna Matemtica Cincia e Aplicaes David Degenszajn, Gelson Iezzi, Nilze de

Almeida, Osvaldo Dolce, Roberto Prigo Saraiva

Matemtica Cincia, Linguagem e Tecnologia

Jackson Ribeiro Scipione

Matemtica Ensino Mdio Maria Ignez Diniz, Ktia Stocco Smole Saraiva Novo Olhar Matemtica Joamir Souza FTD

Nas anlises as colees no foram identificadas, pois nosso interesse no de natureza comparativa.

Foram elaborados critrios que nortearam a anlise minuciosa dos livros didticos. Esses critrios emergiram de indicaes pontuadas no Guia do PNLD 2012 (Brasil, 2011), de sugestes propostas nos documentos de orientaes curriculares brasileiros, de pesquisas sobre o ensino e a aprendizagem da grandeza volume (e de modo geral das grandezas geomtricas) e da fundamentao didtica e matemtica do conceito de volume.

Tendo em vista o objetivo deste artigo, ou seja, a identificao de possveis teoremas em ao que possibilitam conceituar volume como grandeza em situaes de comparao e produo, delimitaram para a conduo das anlises, as questes seguintes, as quais permitem compreender o conceito de volume luz do trip da teoria dos campos conceituais (Vergnaud, 1990) e do modelo didtico de quadros (Douady & Perrin-Glorian,1989).

Questes

Que propriedades da grandeza volume os livros didticos exploram ou permitem trabalhar?

Que representaes simblicas referentes grandeza volume so exploradas?

H articulao entre os quadros geomtrico, numrico e da grandeza? Foi feito um mapeamento minucioso nos livros didticos analisados a fim de identificar os

captulos em que volume objeto de estudo. Feito isso, foram analisadas tanto as explicaes como os exerccios propostos.



Aps a listagem dos exerccios propostos, os mesmos foram categorizados em situaes de medio, comparao ou produo, conforme definidas anteriormente.

Principais resultados

Conforme mostra a tabela 2, as situaes de medio so as mais exploradas nos livros didticos analisados. Para a contagem dos tipos de situaes usamos como unidade de anlise os exerccios propostos e quando uma atividade trazia itens (a, b, c, etc.), eles eram contados como um exerccio.

Elencamos as situaes de comparao e de produo para a anlise mais minuciosa, tendo em vista a menor ocorrncia das mesmas quando comparadas com as situaes de medio.

Tabela 2 Quantidade de situaes identificadas1

Coleo Total Medio Comparao Produo # % # % # % A 98 94 95,9 3 3,1 1 1,0 B 111 105 94,6 3 2,7 3 2,7 C 92 81 88,0 7 7,6 4 4,3 D 97 93 95,9 2 2,1 2 2,1 E 122 111 91,0 4 3,3 7 5,7 F 71 68 95,8 1 1,4 2 2,8 G 113 100 88,5 8 7,1 5 4,4 Total 704 652 92,6 28 4,0 24 3,4

Conforme dito antes, as situaes de comparao consistem em comparar o volume de dois ou mais slidos e as de produo em produzir slidos com volumes menor/maior ou igual a volumes dados.

Foram elencados exerccios dos livros didticos analisados categorizados em situaes de comparao e de produo, a fim de identificarmos os invariantes operatrios que favorecem a conceituao de volume enquanto grandeza.

Situaes de comparao

De acordo com a tabela 2, foram listados apenas 28 exerccios classificados como de comparao, o que consideramos insuficiente, sobretudo, em relao aos de mediao.

Para a inferncia dos possveis teoremas em ao nas situaes de comparao, selecionamos os exerccios mostrados nas figuras 1, 2, 3, 4 e 5.

1A soma das quantidades de situaes dos trs tipos no o total, porque h situaes que no foram

classificadas e que sero comentadas adiante.



Figura 1. Situao de comparao, coleo C (2010, p. 156).

Nesse exemplo, est em jogo a comparao no numrica de volume, o que pode remeter ao quadro geomtrico. possvel tambm que sejam mobilizadas estratgias do ponto de vista algbrico. De todo modo, a no explicitao de medidas um dado relevante, uma vez que as mesmas so demasiadamente recorrentes em situaes de medio. A imagem auxilia o sujeito na mobilizao de conceito em ao, como o princpio de Cavalieri. Alm disso, a quantidade de recipientes remete ao conceito em ao da transitividade, em que o aluno compara os volumes dos slidos dois a dois e, por transitividade, decido qual deles tm maior/menor volume.

Destaca-se, portanto, nesse exerccio a possibilidade da comparao de volumes sem necessariamente medi-lo, o que leva ao desenvolvimento de estratgias no convencionais (manipulaes algbricas) e, sobretudo, a ideia de que os recipientes podem ser comparados segundo suas capacidades ou volume interno, o que leva ao teorema em ao o volume se distingue do slido.

Figura 2. Situao de comparao, coleo C (2010, p. 146).



Nesse exerccio, alm da comparao no numrica, relacionam-se os volumes do cilindro e do cone (para o caso em que ambos tm bases de mesma rea). Aqui, novamente valorizam-se estratgias do quadro geomtrico, ou seja, sem uso de procedimentos numricos-algbrico. Como no exemplo anterior, a presena da imagem favorece o desenvolvimento de estratgias variadas. Comparaes no campo algbrico podem aparecer, uma vez que o volume de um cone (mantida as condies dadas no problema) equivale a um tero do volume do cilindro. Essa atividade possibilita tambm a verificao emprica, o que leva a consolidao da relao entre o volume dos recipientes em jogo. Cabe ressaltar a no necessidade da medio dos volumes, mostrando que nem sempre o interesse determinar o volume dos slidos.

O exemplo seguinte compara o volume de dois recipientes com bases e alturas iguais (de mesma rea e mesmo comprimento, respectivamente).

Figura 3. Situao de comparao, coleo F (2009, p. 224).

Nessa atividade, explicitam-se as alturas dos recipientes, o que pode levar ao uso de procedimentos algbricos. No entanto, o princpio de Cavalieri uma estratgia favorecida, uma vez que se toma como hiptese a igualdade das reas das bases dos slidos. Do ponto de vista do modelo de quadros (Douady & Perrin-Glorian, 1989), esse exerccio permite explorar tambm o invariante operatrio slidos diferentes podem ter mesmo volume. Novamente, como no exemplo 1, a comparao dos recipientes feita segundo seus volumes, o que possibilita concluir que tal grandeza um atributo do recipiente e, portanto, se distingue do mesmo.

Os exemplos das situaes de comparao mostrados anteriormente revelam a no necessidade de recorrer a medies e que nem sempre o interesse medir.

Essas situaes destacam-se tambm por favorecer o uso de estratgias variadas. Na figura 1, por exemplo, possvel comparar os volumes dos slidos a partir do quadro geomtrico e na figura 3, recorrendo ao princpio de Cavalieri. Alm disso, situaes dessa natureza permitem explorar outras caractersticas da grandeza, como slidos diferentes podem ter mesmo volume, sem necessariamente recorrer a procedimentos numricos-algbricos, os quais so exaustivamente trabalhados em situaes de medio.



Diante das estratgias variadas e dos possveis teoremas em ao que podem emergir nas situaes de comparao, consideramos insuficiente a quantidade observadas nos livros didticos analisados, principalmente aquelas que dispensam procedimentos numricos-algbricos, pois constatamos tambm exerccios nos quais necessrio recorrer a medies para comparar os volumes, como mostram as figuras 4 e 5.

Figura 4. Situao de comparao, coleo D (2010, p. 226).

A tarefa principal desse exerccio comparar o espao interno das caixas. Para isso, recorre-se a medies tendo em vista a explicitao dos comprimentos das caixas. Embora esteja em jogo a comparao do volume das caixas, a estratgia favorecida o uso de frmulas, o que remete situao de medio. Tal estratgia valorizada tambm na atividade seguinte.

Figura 5: Situao de comparao, coleo D (2010, p. 261).

Nessa atividade, o uso da frmula e, portanto a medio, claramente valorizada, tendo em vista o domnio numrico do volume das colheradas de sorvete, a saber, 16 /3. A comparao emprica, ainda que improvvel, torna-se invivel, pois as medidas em jogo so nmeros irracionais.

Embora no apresentamos todas as situaes de comparao observadas nos livros didticos analisados, explicitamos aquelas que contemplam as demais. A partir dos exemplos apresentados possvel perceber que essas situaes tm um papel relevante para a construo do conceito de volume como grandeza que dificilmente pode ser explorado nas situaes, por exemplo, de medio. A distino entre o slido e seu volume claramente favorecida nas situaes de comparao, assim como o desenvolvimento de estratgias variadas, a exemplo do princpio de Cavalieri.



Situaes de produo

As situaes de produo tambm so pouco abordadas, uma vez que identificamos apenas 24 exerccios desse tipo para um total de 704 exerccios classificados (ou analisados). Alm disso, constatamos ocorrncias de atividades de produo que remetem a procedimentos numricos-algbricos como mostra o exemplo seguinte.

Figura 6. Situao de produo, Coleo D (2010, p. 222).

Nessa atividade dado um volume e pede-se o comprimento da aresta de uma caixa que o contenha. Tendo em vista que o volume dado em litros, para a obteno do slido so requeridos procedimentos numricos-algbricos. A ausncia de imagem e a especificidade do slido a ser obtido pode favorecer o uso de frmulas. Porm, tem-se uma atividade importante por explorar a produo de um slido dado o seu volume. possvel tambm que sejam produzidos slidos com volume maior que o volume dado, pois suficiente que tal slido contenha 8000 l de gua. Por exemplo, um recipiente cbico com 2,5 m de aresta contm 15 625 litros de gua e, portanto, contm 8000 litros.

No exerccio mostrado na figura 7, tem-se uma situao de produo que possibilita explorar estratgias e teoremas em ao diversos.

Figura 7. Situao de produo, coleo E (2010, p. 283).

Esse exerccio envolve a produo de slidos com volume menor que um volume dado. Estratgias numrico-algbricas no so favorecidas, pois no so dadas as medidas das arestas da caixa. No item a, por exemplo, possvel fazer diferentes cortes de modo que a caixa contenha meio litro como: um corte com um plano que contm a diagonal do prisma e perpendicular ao plano tomado como base; e outro, cujo plano de corte paralelo ao plano tomado como base intersectando as arestas em seus respectivos pontos mdios. A produo de diferentes slidos com mesmo volume possibilita distinguir o objeto geomtrico da grandeza.

Bem como nas situaes de comparao, elencamos os exerccios que representam o conjunto daqueles observados nos livros didticos. Constatamos tambm para as situaes de produo, a possibilidade de formular teoremas em ao e o uso de estratgias que auxiliam na conceituao de volume como grandeza, que em outras situaes no so evidenciadas.



Concluses

As situaes de comparao e de produo contempladas neste artigo so necessrias para a conceituao de volume enquanto grandeza, assim como as de medio. Entretanto, esta ltima predomina em relao s demais.

Como j mencionado, as situaes de comparao e de produo favorecem o desenvolvimento de estratgias diversas e a formulao de teoremas em ao verdadeiros, os quais auxiliam na conceituao de volume como grandeza, ou seja, que consiste em distinguir o slido (recipiente, em se tratando de capacidade) de seu volume e da medida do volume, numa dada unidade. Essa distino/associao demasiadamente favorecida nas situaes aqui analisadas, conforme mostram as anlises em que, por exemplo, dois slidos qualitativamente diferentes podem ter mesmo volume (figura 3) e a possibilidade da produo de diferentes slidos com mesmo volume (figura 7).

Diante disso, sugerimos que seja dada mais nfase as situaes de comparao e de produo nos livros didticos de matemtica analisados, pois entendemos que as mesmas so importantes para a compreenso de volume como grandeza e o enfoque dado nesses manuais escolares so insuficientes. Alm disso, a efetiva abordagem das situaes mencionadas pode contribuir significantemente para a superao de entraves e dos baixos desempenhos constatados por Oliveira (2002), Barros (2002), Anwandter-Cuellar (2008) e Figueiredo (2013) na construo do conceito de volume.

Referncias e bibliografia Anwandter-Cuellar, N. (2008). Etude de conceptions dlves propos du concept de volume (Mmoire

de master - 2 HPDS, Histoire Philosophie et Didactique des Sciences). Universit Montpellier 2.

Barroso, J. M. (2011). Conexes com a Matemtica (Vol. 1, 2, 3). Ed. Moderna.

Baltar, P. M. (1996). Enseignement et apprentissage de la notion d'aire de surfaces planes: une tude de l'acquisition des relations entre les longueurs et les aires au collge (Tese de Doutorado). Universit Joseph Fourier, Grenoble.

Barros, J. S. (2002). Investigando o conceito de volume no ensino fundamental: um estudo exploratrio (Dissertao de Mestrado em Educao). Programa de Ps Graduao em Educao, Centro de Educao, UFPE, Recife.

Brasil. Ministrio da Educao. Secretaria de Educao Fundamental. (1998). Parmetros Curriculares para o Ensino Fundamental. Braslia.

Brasil. Ministrio da Educao. Secretaria da Educao Mdia e Tecnolgica. (2002b). PCN+: Ensino Mdio orientaes educacionais complementares aos Parmetros Curriculares Nacionais. Braslia.

Carvalho, J. B. P., & Lima, P. F. (2010). Escolha e uso do livro didtico (Vol.17, pp.15-30). Braslia,

Dante, L. R. (2010). Matemtica: contexto e aplicaes (Vol. 1, 2 e 3). So Paulo: tica.

Douady, R., & Perrin-Glorian. M-J. (1989). Un processus dapprentissage du concept daire de surface plane. Educational Studies in Mathematics, 20(4), 387 424.

Figueiredo, A. P. N. B. (2013). Resoluo de problemas sobre a grandeza volume por alunos do ensino mdio: um estudo sob a tica da Teoria dos Campos Conceituais (Dissertao de Mestrado em Educao Matemtica). Programa de Ps Graduao em Educao Matemtica e Tecnolgica, Centro de Educao, UFPE, Recife.



Grard, F.M., & Roegiers, X. (1998). Conceber e avaliar manuais escolares. Porto: Porto Editora.

Iezzi, G., Dolce, O., Degenszajn, D., Rrigo, R., & Almeida, N. 92010). Matemtica: cincia e aplicaes (Vol. 1, 2 e 3, 6 ed.). So Paulo: Saraiva.

Lima, P.F. (1995). Consideraes sobre o conceito de rea. In Anais da Semana de Estudos em Psicologia da Educao Matemtica. Recife.

Morais, L. B. (2013). Anlise da abordagem da grandeza volume em livros didticos de Matemtica do ensino mdio (Dissertao de Mestrado em Educao Matemtica). Programa de Ps Graduao em Educao Matemtica e Tecnolgica, Centro de Educao, UFPE, Recife.

Oliveira, G. R. F. (2002). Construo do Conceito de Volume no Ensino Fundamental: um estudo de caso (Dissertao de Mestrado em Educao). Programa de Ps Graduao em Educao, Centro de Educao, Universidade Federal de Pernambuco, Recife.

Ribeiro, J. (2010). Matemtica: cincia, linguagem e tecnologia (Vol. 1, 2 e 3). So Paulo: Scipione.

Paiva, M. (2009). Matemtica Paiva (Vol. 1, 2 e 3). So Paulo: Moderna.

Smole, K. C. S., & Diniz, I. S. V. (2010). Matemtica: ensino mdio (Vol. 1, 2 e 3, 6 ed.). So Paulo: Saraiva.

Souza, J. R. (2010). Novo olhar matemtica (Vol. 1, 2 e 3, 1 ed.). So Paulo: FTD. Teles, R. (2007). Imbricaes entre campos conceituais na matemtica escolar: um estudo sobre as

frmulas de rea de figuras geomtricas planas (Tese de Doutorado em Educao). Universidade Federal de Pernambuco (UFPE), Recife.

Vergnaud, G. (1990). La thorie des champs conceptuels. Recherches em Didactique des Mathmatiques RDM, 10(2, 3), 133 170. Grenoble.

13


A formao do pedagogo para o ensino de Matemtica nos anos iniciais do ensino fundamental: reflexes dedutiva e epistemolgica

Maria Jose Costa dos Santos Universidade Federal do Cear Brasil [email protected]

Resumo Objetivamos com esse estudo compreender a epistemologia do pedagogo para o ensino de Matemtica nos anos iniciais do Ensino Fundamental, a fim de propormos um modelo epistemolgico, para que esse profissional se reconhea tambm como professor de Matemtica. Para contemplar nosso objetivo, observamos, analisamos e mediamos prtica pedaggica de alunos do curso de Pedagogia, nas salas de aulas das disciplinas que envolvem os contedos matemticos, tais como as disciplinas de Ensino de Matemtica (96h/a) e Tpicos em Educao Matemtica (64h/a) da Faculdade Educao/FACED da Universidade Federal do Cear/UFC. Os resultados apontaram que o pedagogo compreende que no detm os conceitos matemticos elementares para ensinar matemtica, apresentando dficit epistemolgico, pois cursa apenas uma disciplina obrigatria, sendo a outra optativa, portanto, no so suficientes. Consideramos as anlises sobre o desenvolvimento da epistemologia do pedagogo pertinentes para propormos modelos epistemolgicos adequados.

Palavras chave: conhecimento, saber matemtico, epistemologia, pedagogo, metodologia, modelo.

Introduo O ensino de Matemtica, em pleno sculo XXI, ainda constitui um grande desafio ao

pedagogo, que o responsvel pelo ensino nos anos iniciais do Ensino Fundamental. O pedagogo para desenvolver bem sua docncia, enfrenta desafios que podem ser de cunho didtico ou epistemolgico. Didtico, porque o professor ainda apresenta uma metodologia instrucional, e menos construtivista, epistemolgico porque faz-se necessrio desenvolver conhecimentos matemticos ainda elementares desde sua escolarizao bsica.

A Matemtica, por sua complexidade, exige um pouco mais de ateno, Machado (1994, p. 8), sobre isso, assinala que ...a falta de clareza com relao ao papel que a matemtica deve desempenhar no corpo de conhecimentos sistematizados pode ser o principal responsvel pelas dificuldades crnicas de que padece seu ensino. Dessa forma, esses desafios refletem diretamente nos processos de ensino e de aprendizagem dos conceitos matemticos, cuja concepo tem sua confirmao na prxis das salas de aulas e que precisam ser mais bem compreendidos para serem melhores trabalhados.

Ensinar Matemtica ainda uma tarefa difcil de ser realizada, pelo pedagogo, mesmo no sculo XXI. Segundo Borges Neto & Santos(2006), preciso uma boa formao para os


A formao do pedagogo para o ensino de Matemtica nos anos iniciais do ensino fundamental: ... 14


professores de uma forma geral e constatamos que essa formao precisa ser mais bem elaborada nos cursos de Pedagogia, pois esses profissionais vo lecionar Matemtica nos anos iniciais do Ensino Fundamental, com alguns conceitos construdos de forma equivocada, ainda na educao bsica, podemos destacar por exemplo, o contedo das operaes fundamentais, especficamente, a subtrao, quando ao invs de trabalhar com as trocas, desagrupamentos, usam pedir emprestado.

No Brasil, no final do sculo XX, nos anos 90, diante dos insucessos no ensino e na aprendizagem (de Linguagem e Matemtica), foram criadas propostas pedaggicas e polticas pblicas, visando habilitar os professores da rede pblica para a melhoria em sua formao docente. Assim, a formao dos professores, se tornou alvo das reflexes e alteraes nas vises das instituies de Ensino Superior-IES. Desse modo, ressaltamos a LDBEN/9394/96, que visa um ensino regido pelos princpios de uma formao mais prxima da realidade epistemolgica do aprendiz. Nesse sentido, algumas propostas vm se implementando na educao brasileira, dentre elas podemos destacar alm da LDBEN (Brasil), os Parmetros Curriculares Nacionais de Matemtica-PCNM, (Brasil, 1997), o programa Fundo de Manuteno e Desenvolvimento do Ensino Fundamental e de Valorizao do Magistrio, conhecido como FUNDEF (BRASIL, 1998), as Novas Diretrizes para a Formao de Professores da Educao Bsica, instituda pela da Resoluo CNE/CP N 1, de 18 de fevereiro de 2002 e o Fundo de Manuteno e Desenvolvimento da Educao Bsica e de Valorizao dos Profissionais da Educao FUNDEB (substituto do FUNDEF) que foi criado pela Emenda Constitucional n 53/2006 e regulamentado pela Lei n 11.494/2007 e pelo Decreto n 6.253/2007 que vigor no perodo de 2007-2020. Todas essas polticas pblicas educacionais foram criadas com o objetivo de melhoria do ensino e da aprendizagem nas escolas de Educao Bsica, pblicas do Brasil.

Ainda , nessa perspectiva, o Governo Federal, apresenta o Programa Nacional da Alfabetizao na Idade Certa-PNAIC (Brasil, 2013), embora no concordando com a ideia de que existe a idade certa para aprender, como ressalta o referido programa, assinalamos que do 1. ao 3. ano seria a idade adequada para a criana aprender no somente a ler, mas a calcular, interpretar dados da realidade, de sua vivncia.

As propostas de mudanas no mbito educacional, no somente pelos documentos oficiais, mas tambm pelas prprias necessidades sociohistoricasculturais, provocam uma reflexo sobre a formao dos profesores nas licenciaturas, e nos instiga questionar sobre quais habilidades profissionais so necessrias para que o pedagogo exera com competncia a docncia, como professor de Matemtica dos anos iniciais do Ensino Fundamental.

Visando entender a importncia desse questionamento, pensamos outras formas de propor uma reorganizao (construo/recosntruo) conceitual, para contribuir na formao epistemolgica do pedagogo para o ensino de Matemtica.

Concepes epistemolgicas para o ensino de Matemtica As pesquisas sobre a epistemologia do professor tm evoludo de modo no s

quantitativo, mas tambm qualitativo. Com base nessas pesquisas, podemos afirmar que epistemologia um conjunto de convices, crenas de conhecimentos e de saberes cientficos, os quais tendem a descrever os

Saberes dos sujeitos ou de grupos de pessoas, para constituir sua legitimidade, verificando como aprendem e como ensinam, assim, a epistemologia uma tentativa de identificar e de



unificar percepes epistemolgicas distintas e concernentes a determinadas cincias e movimentos intelectuais, de grupos de pessoas, de instituies, ou de culturas. (DAmore, 2007)

Com base no pargrafo anterior, ressaltamos aqui o lugar e o papel da epistemologia docente, pois o professor desenvolve suas concepes, crenas, conhecimentos, processualmente ao longo da carreira profissional e no importa com que qualidade desenvolvemos os programas de formao, pois sempre os professores estaro em processo de construo epistemolgica. 1(Santos, 2014).

importante que a formao do professor para o ensino de Matemtica considere a sua epistemologia, seus modelos epistemolgicos, e que esses modelos venham contribuir de forma eficaz para subsidiar a relao da teoria com a prtica, fazendo-os vivenciar experincias que lhes possibilitem associar o que aprendem com o que ensinam.

Segundo Lorenzato (2006), o ato de ensinar difere da ao de dar aulas e prope 25 aes que para o professor de Matemtica, das quais selecionamos: ensinar com o devido conhecimento; investir em sua formao; aproveitar o conhecimento do aluno; valorizar os erros dos alunos; propiciar a experimentao; favorecer a redescoberta; historiar o ensino; e assumir a melhor atitude profissional, nessas aes propostas pelo autor, ressaltamos que relevante considerar, ainda, o modelo epistemolgico que o professor se prope a seguir.

Encontramos a partir de nossos estudos que os modelos epistemolgicos mais presentes na prtica docente do pedagogo, no que diz respeito s aulas de matemtica, so polarizados, de um lado o Instrucionismo (tradicional) e de outro Construtivismo (Intuicionista). Considerando os modelos ora apresentados, Fossa (2001) retrata dois modelos de salas de aula em que cada professor assume um papel diferenciado. Na sala de aula tradicional, o professor d aos alunos vrios exemplos do conceito a ser aprendido; o professor define o conceito; o professor insere no processo vrios exerccios de fixao e depois, por meio de uma avaliao objetiva, verifica se os alunos aprenderam.

No outro modelo de sala de aula, que o autor caracteriza como intuicionista, os alunos so os protagonistas, o professor organiza as atividades estruturadas; trabalha o erro com contraexemplos; estimula a criao de outros conceitos; estimula outras formas de trabalhar o contedo e avalia os alunos por meio dos dilogos e projetos. Nesse mesmo pressuposto, destacamos a metodologia Sequncia Fedathi, (Santos, 2007) a qual contempla as concepes epistemolgicas do professor que tem como crena um ensino baseado na construo, reflexo, investigao, no fazer matemtico, tendo o aluno como protagonista e o professor como mediador dos processos de ensino e de aprendizagem.

Para assumir a melhor posio, o professor precisa ter definido que papel quer exercer diante do processo de ensinar, se de um professor tradicional ou intuicionista. O modelo epistemolgico de professor construtivista (Intuicionista) ainda raro nas salas de aula de matemtica, pois ainda presenciamos professores retratando modelos que em sua formao lhes foram repassados/transferidos. Desse modo, enquanto os professores no forem os protagonistas de seu desenvolvimento profissional, enquanto a formao do professor no assumir uma

1 Construo epistemolgica a construo perene de crenas e conhecimentos, nas esferas: sociais, culturais, polticas, histricas, entre outras, a partir do desenvolvimento profissional do professor. (Santos, 2014).



identidade, definir o modelo epistemolgico mais adequado, o docente seguir carente de reflexes sobre a sua prxis.

O fracasso na Matemtica, de acordo com os ndices de programas avaliadores, como o Programa Internacional de Avaliao de Estudantes-PISA (2012) apontou que de 65 pases, o Brasil assumiu a 58 posio em Matemtica. Os resultados apontaram que 2 em cada 3 alunos brasileiros de 15 anos no conseguem interpretar situaes que exigem apenas dedues diretas da informao dada, no so capazes de entender percentuais, fraes ou grficos.

Esses ndices refletem os problemas de aprendizagem dos alunos em Matemtica, principalmente, porque a Matemtica uma das reas do conhecimento mais difceis de compreenso, por ser baseada em raciocnio crtico e lgico, contudo ela uma disciplina onde se buscam os resultados dentro de si, para desenvolver o senso crtico e autonomia.

Sobre as concepes epistemolgicas que cercam a formao do professor de Matemtica, DAmbrosio (1993) aponta algumas caractersticas relevantes para esse profissional que vai atuar no sculo XXI, que so a viso do que vem a ser a Matemtica; do que constitui a atividade Matemtica; do que constitui a aprendizagem Matemtica; do que constitui um ambiente propcio aprendizagem Matemtica. Analisando essas proposies, podemos dizer que o conceito de formao de professores algo que precisa sempre ser prensado e repensado, pois relevante que a formao contemple o desenvolvimento do raciocnio lgico- matemtico, fundamental para todas as reas do conhecimento, capital at para a resoluo dos problemas cotidianos, comuns, de um cidado normal que nos leva refletir sobre as seguintes questes - possvel ensinar sem conhecimento? Qual o modelo epistemolgico assumido pelo pedagogo no ensino de matemtica?

Por considerarmos essa discusso relevante que entendemos ser preciso tambm uma mudana de atitude dos professores, pois muitos ainda partem do automatismo para a compreenso, colocando os alunos diante de regras e frmulas sem significados, sem fazer relao alguma com a realidade do aluno, atingindo somente a parte superficial do aprendizado, e como resultado temos um aprendizado imediatista, com pouca compreenso.

Os alunos sentem necessidade de coisas novas, de atividades que lhes tragam algum significado. So curiosos o suficiente para iniciar um processo investigativo, bastando que o professor direcione atividades que sejam significativas e do interesse do aluno, pois h uma necessidade de os novos professores compreenderem a Matemtica como uma disciplina de investigao. Uma disciplina em que o avano se d como consequncia do processo de investigao e resoluo de problemas.(DAmbrosio, 1993).

Para enfatizar esse modelo de ensino Mendes diz (2001, p.23): A pesquisa em Educao tem apresentado sugestes de alternativas para a superao das dificuldades encontradas por professores e alunos em relao ao ensino-aprendizagem da Matemtica, procurando enfatizar o carter investigatrio do processo de construo do edifcio matemtico afim de levar alguns estudiosos dessa rea, a elaborao, testagem e avaliao de atividades de ensino centradas na utilizao de informaes histricas relacionadas aos tpicos que pretendem investigar.

Para sentir que o contedo faz sentido em sua vida, que faz parte de suas vivncias e no mais de uma situao alheia a sua realidade, ... importante que o professor entenda que a



matemtica estudada deve de alguma forma, ser til aos alunos, ajudando-os a compreender, explicar ou organizar sua realidade (DAmbrosio, 1993).

Os cursos de Pedagogia e Magistrio que se propem trabalhar com o ensino de matemtica devem refletir sobre ensino a partir de um modelo epistemolgico adequado, compreendendo o profissional como sujeito autnomo. A Matemtica ainda vista como uma Cincia nobre, perfeita, e que nem todos esto aptos a tomar posse desses saberes e, portanto, tero que escolher carreiras em que no sejam necessrios esses conhecimentos.

A ideia de que alguns dos alunos que procuram os cursos de Pedagogia sentem desprazer em aprender Matemtica, traz embutida a concepo de que essa disciplina para mentes brilhantes, tal concepo permeia de forma nefasta e impede o sucesso dos alunos que sero os professores nos anos iniciais do Ensino Fundamental. preciso democratizar o ensino dessa disciplina, pois ela um componente importante na consolidao da cidadania e contribui para transformar a realidade dos sujeitos.

Nesse sentido, segundo Perrenoud (2000) competncia do professor verificar se os programas esto a anos-luz dos alunos, para ento adapt-los, alm de torn-la compreensvel com base nessa afirmao to pertinente que devemos analisar previamente as habilidades e inabilidades do professor que vai lecionar Matemtica, alm de conhecer sua epistemologia. Assim, de acordo com Moreira e David (2005), a formao precisa fazer relao do conhecimento acadmico (cientfico) com o conhecimento escolar (saberes).

Segundo Perraudeau (1996) as dificuldades em aprender Matemtica so gritantes e, no entanto, no so vistas com a mesma seriedade como so as dificuldades com a linguagem. Perraudeau coloca ainda que a ideia central de Henri Planchon consistia em fazer compreender que falhar em Matemtica no nenhuma fatalidade, muito pelo contrrio, o insucesso nessa disciplina deve ser interpretado como uma disfuno passageira de uma construo, que sempre possvel remodelar; e que o principal objetivo em reaprender est em domnios como o raciocnio, a abstrao, a organizao e a mentalizao. Mesmo com toda essa concepo de reeducao e de reaprendizagem, o ensino de Matemtica depende da epistemologia do professor.

A prxis e a epistemologia do pedagogo Constatamos que ao longo desta pesquisa (e tambm em outras investigaes, como a de

Lima (2007) ao afirmar que o pedagogo em sua grande maioria no gosta, no entende, no compreende os contedos matemticos de uma forma geral) ainda na Educao Bsica o professor d muita nfase parte instrumentalista e no se preocupa muito com o raciocnio matemtico (Borges Neto, 1997).

Por conta destas falhas, ainda detectadas na Educao Bsica, que Borges Neto (1997), aponta que os pedagogos chegam ao curso apenas com noes da Aritmtica elementar. Ele aconselha que esses conhecimentos sejam ampliados para os estudos sobre Geometria e lgebra, para maximizar tambm o raciocnio, trabalhando assim, a passagem do pensamento geomtrico para o algbrico. As contribuies de ferramentas como o computador, o conhecimento sobre o contedo ajudam a instigar a criatividade do sujeito.

Propomos que o pedagogo possa desenvolver uma epistemologia no sentido de mostrar a relevncia da prtica investigativa que lhe far compreender melhor os fenmenos ocorridos em



seu contexto de atuao, proporcionando-lhe uma ao reflexiva, fazendo uma correlao entre o trip:

Com isso, a partir de Becker (2009, p. 92-99) vale ressaltar trs modelos epistemolgicos e as tendncias pedaggicas que se apresentam com a mesma concepo e relao dos processos de ensino e de aprendizagem: 1) Empirismo e a Pedagogia Diretiva: O conhecimento transmitido, o aluno aprende o que o professor ensina. O aluno considerado uma tbula rasa. Diante de um novo contedo, considera-se que o aluno no possui nenhum conhecimento prvio. O sujeito apenas recebe o que o objeto lhe reproduz. S reproduz o que j est pronto, o aluno no aprende a pensar, criar, questionar e ter segurana em suas aes. 2) O Apriorismo e a Pedagogia No-Diretiva: O aluno tem em sua bagagem hereditria conhecimentos. O professor apenas auxilia e interfere o mnimo possvel, para que o aluno aprenda por si mesmo. A aprendizagem julga-se absoluta, autossuficiente, desautorizando o ensino, que no deve interferir, pois prejudica o aluno. Essas dificuldades so relacionadas cultura socioeconmico, em que a marginalizao da sociedade considerada sinnimo de problemas cognitivos. 3) O Construtivismo e a Pedagogia Relacional: O aluno incentivado a pensar, questionar.

Assim, constri seu conhecimento em uma relao mtua com o professor: ambos ensinam e aprendem. A partir da assimilao de algo do meio em que se vive, o aluno busca respostas para desenvolver seu conhecimento, refazendo-se sobre si mesmo. Neste momento acontece a acomodao, um equilbrio, onde aumenta-se o nvel do conhecimento cognitivo do sujeito ao criar uma ideia ou conceito novo. Para o professor, o aluno sempre pode aprender, recriar o que j sabe e criar conhecimentos novos, "novas respostas para antigas perguntas e novas perguntas refazendo antigas respostas".

Este o modelo epistemolgico que consideramos mais adequado e que, portanto, seguimos - o construtivismo. Pois possvel construir por meio de investigao, a partir do protagonismo do aluno, novos conhecimentos (no apenas reproduzi-los, mas [re]elabor-los), sendo possvel transformar, reconstruir, agir e desafiar-se, fazendo histria e ajudando a ser e formar cidados na/para a cidadania.

Conforme Becker (2001) tem-se aqui a superao dos dogmas impostos pelos modelos

citados anteriormente, pois professor e aluno desenvolvem juntos o trabalho, numa contnua troca de experincias e saberes.



Resultados Como vimos Becker (2001) apresenta trs diferentes formas de ensinar e de aprender em

sala de aula, cabe ao pedagogo desenvolver sua epistemologia a partir de um modelo de ensino que mobilize seu raciocnio e, portanto, seu pensamento matemtico, que em algumas vezes ainda governado pelo outro heteronomia.

Nesse sentido, a seguir apresentamos algumas falas dos pedagogos (alunos) que discutem sobre como deve o professor de matemtica no sculo XXI, vejamos:

O professor do sculo XXI est sendo desafiado de tantas maneiras perante o processo de dinamizao e na construo de conhecimentos,valores ticos,sociais,polticos.. que esto presentes na sociedade e que interferem na prtica educativa.Vale ressaltar que esse profissional da educao tem que ter um olhar crtico perante a produo intelectual e educativa dos anos ou sculos anteriores com o intuito de refletir sobre o seu fazer pedaggico e a realidade vigente.O professor tem que assumir a postura de mediador e no como mero transmissor de conhecimento.Aliar o conhecimento instrucional com a realidade vivenciada buscando despertar a criticidade por parte dos educandos (aluno A).

Mesmo com todas as mudanas que ocorreram ao longo dos anos dentro da educao, fato que a matemtica ainda vista de forma bastante tradicional, sem muito dinamismo, pela grande maioria dos alunos e at mesmo dos professores. Vale ressaltar que alguns casos se destacam no avano desta disciplina, procurando alinhar o conhecimento do aluno a fim de que ele possa investigar e assim resolver as situaes problemas de maneira til. Um exemplo o Enem, que em suas questes notrio o envolvimento da matemtica nas questes como um desafio para o aluno proporcionando uma viso matemtica. No meu ponto de vista percebo que em nossa formao como futuros pedagogos, precisamos aprender a ter esse olhar da viso matemtica. Um olhar que nos possibilite reconstruir os conceitos matemticos (aluno B).

Eu penso que um dos grande entraves enfrentados ainda no ensino da matemtica sejam os mtodos anacrnicos, que findam por tornar enfadonho o seu aprendizado. De nada adiantar o uso das TIC ou qualquer outra ferramenta, sem a proporcionalidade de uma aula diferenciada, e aqui, refiro-me a uma aula que possa contemplar dinmicas que explorem a curiosidade dos alunos, que possa captar a ateno desse aluno na aula de matemtica, sem margem para o tpico: "cansei dessa matria chata! (Aluno C).

Temos um grande problema ainda hoje no ensino de matemtica no Brasil. A maioria dos educadores trabalham com a metodologia tradicional e no fazem os alunos a pensar a matemtica de forma a mexer com o seu raciocnio lgico e mental. O trabalho realizado com frmulas e contedo para decorar. Isso torna a disciplina um terror para grande parte dos alunos que sentem dificuldade e no gostam. Existe um desafio tanto dos licenciados em matemtica como dos pedagogos em desenvolver metodologias para uma matemtica que mexa com o imaginrio e a mente dos estudantes tornando a matemtica uma cincia criativa e produtiva. S que nas universidades a formao do matemtico baseada no mtodo tradicional e no valoriza novas forma de ensino e didtica e alguns professores fogem essa regra. E na pedagogia o ensino de matemtica insuficiente para uma educao de qualidade de fato. O desafio que dentro dessas limitaes os educadores encontrem formas eficazes para melhorar o ensino de matemtica (Aluno D).

Diante dos depoimentos acima, vale ressaltar que o entendimento e o desenvolvimento da prxis pedaggica e seus modelos epistemolgicos, precisam ser melhores trabalhados durante as



disciplinas matemticas, enfatizando no s os contedos, que so fundamentais, mas tambm despert-los para o desenvolvimento de suas construes epistemolgicas.

Consideraes Consideramos que a formao do pedagogo deve ter seus pressupostos na raiz

epistemolgica da Pedagogia, e fundar-se na premissa de que essa a cincia que deve organizar a concretizao dos meios e processos educativos por meio da investigao dos conhecimentos e saberes que se constituem historicamente, fundamentando as bases epistemolgicas das diretrizes e orientaes da prxis educativa. Assim, conclumos em linhas gerais que a formao matemtica do pedagogo deve permear questo da prxis pedaggica, como descrita nesse texto, visando o pedagogo como um professor de matemtica, preocupado com a realidade educativa, com os processos de inovao a partir de modelos epistemolgicos capazes de proporcionar uma formao do pedagogo como pesquisador, mediador dos processos de ensino e de aprendizagem. Por fim, caber ao pedagogo transformar o senso comum pedaggico, em atos cientficos, sob a luz de valores educacionais, para assim, interpretar sua prxis pedaggica sob a epistemologia dos contedos matemticos, do 1 ao 5 ano dos anos iniciais do Ensino Fundamental.

Referncias e bibliografia Becker, F. (2012). Epistemologia do professor de matemtica. Petrpolis, RJ: Vozes.

Becker, F. (2009). Epistemologia do professor: o cotidiano da escola (14 Edio). Petrpolis, RJ: Vozes.

Becker, F. (2001). Educao e construo do conhecimento. So Paulo: Artmed.

Borges Neto, H., & Santos, M. J. C. (2006). O Desconhecimento das Operaes Concretas e os Nmeros Fracionrios. In Entre Tantos: Diversidade na Pesquisa educacional (Vol.1, pp. 190-199). ed. Fortaleza: Editora UFC.

Brasil. (1997). Secretaria da Educao Fundamental. Parmetros Curriculares Nacionais/PCN: Matemtica. Braslia: MEC/SEF.

Brasil. (1999, 2001, 2003). Sistema de Avaliao da Educao Bsica. Braslia: MEC/SEF.

Brasil. (1998). Fundo de Manuteno e Desenvolvimento do Ensino Fundamental e de Valorizao do

Magistrio/FUNDEF. Braslia: MEC/SEF.

Carvalho, D. L. (1994). Metodologia do ensino Matemtica (2 Edio). So Paulo: Cortez.

DAmbrosio, B. S. (1993). Formao de professores de matemtica para o sculo XXI: o grande desafio. Pr-posies, v. 4, 1(10), 35-41.

Machado, N.J. (1994). Matemtica e realidade (3 ed.). So Paulo-SP: Cortez.

Machado, O, S. D. A. (1999). Engenharia Didtica. In A. Franchi, et al, Educao Matemtica: Uma introduo (1 ed.). So Paulo-SP. EDUC.

Moreira, M. A. (1999). Aprendizagem significativa (1 ed.). Braslia-DF: Universidade de Braslia.

Mendes, Iran Abreu. (2001). O uso da Histria da Matemtica: reflexes tericas e experincias. EDUEPA. Belm.

Miguel, A., & Miorim, M. A. (1986). Ensino de Matemtica. So Paulo: Atual.

Nunes, T. (1997). Crianas fazendo Matemtica/ Terezinha Nunes e Peter Bryant (Trad. Sandra Costa). Porto Alegre: Artes Mdicas.



Nunes, T. (2003). Por que ainda h Quem no aprende?: A Teoria/ Esther Pillar Gossi, (Organizadora). Petrpolis, RJ: Vozes.

Piaget, J. (1976). A equilibrao das estruturas cognitivas. Zahar Editores: RJ.

Perraudeau, M. (1996). Aprender de Outra Forma na Escola (Traduo de Joana Chaves, 1 ed.). Lisboa-Portugal: Armand Colin diteur.

22


A incongruncia entre as palavras do enunciado do problema e a operao usada para resov-lo: uma contribuio para o debate

Sandra Magina Universidade Estadual de Santa Cruz Brasil [email protected] Eurivalda Ribeiro Santana Universidade Estadual de Santa Cruz Brasil [email protected] Vera Lucia Merlini Universidade Estadual de Santa Cruz Brasil [email protected]

Resumo O objetivo do presente estudo foi investigar a possvel influncia que a incongruncia entre o enunciado de situaes aditivas e a operao a ser realizada exerce sobre o desempenho de estudantes da 3 srie do Ensino Fundamental. Para tanto consideramos a Teoria dos Campos Conceituais e nas ideias de Vygostky no que tange formao de conceitos espontneos e no espontneos. A amostra era de 98 estudantes da 3 srie do Ensino Fundamental, que responderam quatro situaes-problema do Campo Aditivo, duas de menor complexidade e duas de maior nvel de complexidade cognitiva. Em cada nvel de complexidade havia situao-problema com incongruncia entre palavras do enunciado e a operao a ser realizada e outra no. Os resultados mostram que a incongruncia influencio mais no desempenho dos estudantes do que o nvel de complexidade das situaes-problema. Sobre os tipos de erro, o procedimento mais frequente foi o uso da operao inversa.

Palavras chave: Situaes-problema, Campo Aditivo, incongruncia, formao de conceitos, Ensino Fundamental.

Introduo Nas ltimas dcadas, vrios estudos, na rea de Educao Matemtica, buscam

compreender o baixo desempenho de estudantes das sries iniciais do Ensino Fundamental1 ao resolverem situaes-problema2 que envolvem adio e/ou subtrao. No Brasil, desde os idos

1 Na poca da recolha dos dados deste estudo o Ensino Fundamental brasileiro era composto por 8 sries,

sendo que as quatro primeiras eram ensinadas por professores generalistas, que tinham responsabilidade pelo ensino de todos os contedos. Essas primeiras quatro sries eram chamadas de sries iniciais do Ensino Fundamental.

2 Para este estudo, adotamos os termos situao-problema e situao como sinnimos. Usamos as duas formas durante todo o texto para nos referir aos problemas matemticos em questo.

A incongruncia entre as palavras do enuciado do problema e a operao usada para resov-lo:... 23


dos anos 70 do sculo passado, Franchi (1977, p. 123-124) j identificava tais desempenhos e os justificava explicando que a criana, costuma utilizar a experincia cotidiana que ela j tem com as palavras contidas no enunciado da situao-problema para ajuda-la a resolver essa situao, afirmando que [...] condies do uso da linguagem produzem uma associao entre os significados dos termos mais e juntar, acrescentar, ..., menos e tirar. Na dcada seguinte Hudson (1983) divulga estudo na mesma direo. Ele realiza uma pesquisa com 94 crianas de 4 a 8 anos, explorando situaes de comparaes cujos enunciados faziam uso de termos quantos a mais, quantos a menos e conclui que a dificuldade da criana est na compreenso lingustica.

Na dcada seguinte Vasconcelos (1998) publica um artigo em que abordou modelos tericos e prticas de ensino para a resoluo de situaes-problema aditivas. A autora colocava que as dificuldades dos estudantes na resoluo das situaes aditivas surgiam desde o 1o ano do Ensino Fundamental, continuavam nas sries seguintes e tinham parte de sua origem na forma como o ensino escolar estava estruturado. Essa autora enfatizava que a prtica de ensino de resoluo de situaes-problemas de maneira geral se caracterizava por alguns aspectos, dentre esses, estava o trabalho com as palavras-dica, a partir de regras fornecidas para a criana, como:

Se a situao [...] envolve ganhar, [...], a operao a ser realizada adio e, quando [...] for perder, [...], a operao subtrao. Esse recurso tenta evitar a famosa pergunta: tia essa conta de mais ou de menos?, e permite que diversos problemas sejam resolvidos [...], essa resoluo fruto no da compreenso das relaes entre os dados do problema, mas, sim, da dica da palavra-chave. (Vasconcelos, 1998, p. 55).

Em seu estudo Vasconcelo (Ibid) j se apoiava nas consideraes de Figueiredo (1985) que argumentava que, se o estudante aprendesse a resolver as situaes por meio dessa prtica, quando ele fosse defrontado com situao-problema em que a palavra-dica era incongruente com a operao a ser realizada, ele no conseguiria resolv-la.

Mais recentemente, Campos et al. (2007), ao realizarem um estudo com o objetivo de comparar os desempenhos de estudantes de 1a a 4a srie dos estados de So Paulo e Bahia, no que se refere resoluo de situaes-problema aditivas, detectou que, em ambos os grupos, as crianas partem de patamares de sucesso muito baixos em situaes que envolvem os conceitos de transformao de quantidades. As autoras justificaram tal resultado pela incongruncia semntica que a situao-problema apresenta. O estudo ainda detectou que, enquanto o crescimento no percentual de acertos, por srie, das crianas baianas pequeno, esse crescimento significativo entre as crianas do grupo paulista. Essa trajetria crescente mostrada pelos estudantes de So Paulo pode significar que esses, atravs da instruo, conseguem cada vez mais superar essa armadilha, o que parece no ter acontecido com os estudantes da Bahia (Campos et al., 2007, p. 234).

Na mesma direo dos estudos acima referidos, nossa pesquisa, que investigava os vrios aspectos da apropriao e extenso do campo conceitual aditivo por estudantes de 3 srie, tambm encontraram comportamentos similares desses estudantes aos descritos pelos estudos acima. Por essa razo decidimos investigar especificamente a possvel influncia que a incongruncia entre o enunciado de situaes aditivas e a operao a ser realizada exerce sobre o desempenho de estudantes da 3 srie do Ensino Fundamental. O estudo se prope, ainda, a



analisar os tipos de erros cometidos pelos estudantes quando a incongruncia est presente ou quando est ausente3.

Fundamentao Terica A Teoria dos Campos Conceituais (TCC) uma teoria cognitivista que foi desenvolvida

pelo psiclogo, professor e pesquisador francs Grard Vergnaud. Essa teoria tem uma forte herana da teoria de Piaget e, tambm, alguns pontos da teoria de Vygotsky.

Ela possibilita um diagnstico referente aprendizagem e oferece elementos por meio dos quais possvel basear a anlise do desenvolvimento de competncias e da aprendizagem de competncias dos estudantes, as quais so consideradas complexas. Dessa forma, a sua finalidade principal fornecer informaes que tornam possvel estudar as filiaes e rupturas entre os conhecimentos4 do ponto de vista do saber fazer e dos saberes expressos envolvidos.

Para Vergnaud (1982) o conhecimento pode ser visto dentro de Campos Conceituais e pode ser entendido como um conjunto informal e heterogneo de problemas, situaes, conceitos, relaes estruturas, contedos e operaes do pensamento, conectados uns com os outros e, provavelmente, entrelaados durante o perodo de aquisio (Vergnaud, 1982, p.40). Assim, o domnio de um campo conceitual que ocorre dentro de um longo perodo de tempo, envolve a maturao, experincia e aprendizagem da pessoa.

Para Vergnaud (1996, 2009), um conceito no pode ser reduzido a sua definio, pelo menos quando nos interessa a sua aprendizagem e o seu ensino. Nesse sentido, estamos assumindo o termo conceito como a formulao de uma ideia atravs das palavras e do pensamento; e o termo definio como o ato de determinar a extenso e os limites de um objeto ou assunto. Um conceito no tem sentido em si mesmo, mas adquire sentido quando est envolvido numa situao-problema a ser resolvida (Ibid. 1996).

Na TCC, a construo de um conceito envolve uma terna de conjuntos, a qual representada simbolicamente por C=(S, I, R), em que:

S um conjunto de situaes que tornam o conceito significativo; I um conjunto de invariantes (propriedades e relaes) que podem ser reconhecidos e usados pelo sujeito para analisar e dominar essas situaes; R conjunto de formas pertencentes e no pertencentes linguagem que permitem representar simbolicamente o conceito, as suas propriedades, as situaes e os procedimentos de tratamento (o significante). (Vergnaud, 1996, p. 166).

O conjunto de situaes o referente do conceito, os invariantes so os significados do conceito, enquanto que as representaes simblicas so os significantes.

Na TCC, a situao colocada no sentido de tarefa, de modo que toda situao complexa pode ser vista como uma combinao de tarefas. Quando nos referimos ao desempenho dos estudantes nas tarefas com as quais so confrontados, somos direcionados a analisar esse

3 Estamos utilizando o termo incongruncia como o antnimo de congruncia, isto , a ausncia do ato de concordncia, de coincidncia; a inexistncia de uma relao direta entre uma coisa ou fato com o fim a que se destina (Michaelis, 1998, p. 562). 4 Podemos pensar, por exemplo, na filiao entre os conhecimentos relativos s estruturas aditivas e s multiplicativas, considerando que uma das filiaes poderia ser a ideia de que multiplicar formar grupos de mesma quantidade de elementos repetidas vezes, o que envolve uma estrutura aditiva nessa contagem de grupos.



processo a partir de cada subtarefa, pois o desempenho em cada subtarefa afeta o desempenho global.

Dessa forma, so as situaes que do sentido aos conceitos, tornando-se o ponto de entrada para um dado Campo Conceitual. Contudo, um s conceito precisa de uma variedade de situaes para tornar-se significativo. Da mesma maneira, uma s situao precisa de vrios conceitos para ser analisada. Ao organizar a sua ao diante de uma dada situao, o estudante est lanando mo de esquemas de ao que, de acordo com Vergnaud (1996), so geralmente compostos, de forma essencial, por invariantes operatrios.

A partir dessa viso geral da TCC, focaremos, na sequncia, no campo conceitual aditivo, ou simplesmente estruturas aditivas, j que nosso artigo restringiu-se a essas estruturas.

As Estruturas Aditivas De acordo com Vergnaud (1996) as estruturas aditivas so, ao mesmo tempo, o conjunto

das situaes cujo tratamento implica uma ou vrias adies ou subtraes, e o conjunto dos conceitos e teoremas que permitem analisar essas situaes como tarefas matemticas. Nessa direo, ele coloca que a anlise da aprendizagem dessas estruturas requer que se leve em considerao as mudanas ao longo do tempo e, tambm, o uso do modelo de uma operao unria. Alm disso, deve-se considerar que existem fatores inatos a prpria criana, dentre eles podemos citar os procedimentos e os erros.

Dessa forma, ao analisar o desempenho do estudante preciso considerar os fatores: mudanas que ocorrem com o passar do tempo, bem como a dimenso (unidimensional, bidimensional, tridimensional) na qual o estudante opera os elementos envolvidos na situao.

A classificao, em categorias de relaes, para as situaes-problema aditivas, foi feita com vistas a ajudar na interpretao dos procedimentos e, consequentemente, dos erros que os estudantes fazem ao tentar resolver as situaes. Segundo Vergnaud (1982), essa classificao oferece uma estrutura terica que permite entender o significado das diferentes representaes simblicas da adio e da subtrao, alm de servir como base para o desenho de experimentos sobre esses processos matemticos.

Vergnaud restringe a anlise das relaes aditivas a seis relaes ternrias5 fundamentais, e deixa explcita tal restrio: as relaes aditivas so relaes ternrias que podem ser encadeadas de diversas maneiras e resultar em uma grande variedade de estruturas aditivas (Vergnaud, 2009, p. 200).

Compreendemos que as seis categorias apresentadas pelo autor esto baseadas na relao entre trs elementos que podem ser estados, transformaes ou relaes que se entrelaam de maneira a gerar a estrutura de situaes-problema aditivas. Seguindo essa concepo, o autor as nomeou da seguinte maneira: composio; transformao; comparao; composio de duas transformaes; transformao de uma relao; e composio de duas relaes.

Tomando como base os seis esquemas ternrios fundamentais apresentados na Teoria dos Campos Conceituais e conservando os raciocnios bsicos definidos por Vergnaud (1982, 1991, 1996), Magina e cols. (2008) ampliaram as possibilidades de relaes dentro de cada situao-problema e, consequentemente, dentro de cada categoria.

5 Relaes ternrias so aquelas que relacionam trs elementos entre si. (Vergnaud, 1991, p. 16).



Magina et al. (2008) apresentou uma subdiviso das trs primeiras categorias determinadas por Vergnaud (1982, 1991, 1996) (composio, transformao e comparao) em subcategorias, as quais vo de prottipos a extenses. Para a classificao em extenses, as autoras colocam: [...] as extenses no tratam de nveis de desenvolvimento estanques a serem alcanados, mas, sim, de um conjunto de situaes-problema que possibilitaro criana ampliar sua representao sobre essas estruturas.

Educación Matemática en las Américas 2015

Documents

Transcript of Educación Matemática en las Américas 2015