Efecto de las fronteras de grano en la tenacidad a la ...

1

Wilmer Velilla-Diacuteaz

Efecto de las fronteras de grano

en la tenacidad a la fractura de

materiales nano-cristalinos fisurados Tesis doctoral

Para el grado de Doctor en Ingenieriacutea Mecaacutenica

Barranquilla Mayo 2019

Universidad del Norte

Divisioacuten de Ingenieriacuteas

Departamento de Ingenieriacutea Mecaacutenica

2

UNINORTE Universidad del Norte

Tesis para el grado de Doctor en Ingenieriacutea Mecaacutenica



i

Agradecimientos

El proyecto de investigacioacuten presentado en esta tesis fue desarrollado durante los antildeos 2015-2019

en el departamento de Ingenieriacutea Mecaacutenica de la Universidad del Norte Barranquilla Colombia

Este proyecto fue financiado por Colciencias a traveacutes del programa nacional de doctorados

nacionales convocatoria Ndeg 647 (2015) y la Universidad del Norte bajo el nuacutemero de contrato UN-

OJ-2015-29312

Gracias al PhD Habib Zambrano por ensentildearme un enfoque adecuado de investigacioacuten en el aacuterea

de mecaacutenica de la fractura y por el gran apoyo recibido en este proyecto

Gracias al PhD Alejandro Pacheco por su guiacutea para desarrollar esta investigacioacuten fundamentando

en teoriacuteas de la mecaacutenica del medio continuo y de dinaacutemica molecular agradecido tambieacuten por

su apoyo en las pasantiacuteas realizadas en la Universidad Teacutecnica Federico Santa Mariacutea es la

experiencia profesional maacutes enriquecedora en lo corrido de mi vida

Gracias al PhD Harvey Zambrano por su disposicioacuten para realizar charlas teacutecnicas y cientiacuteficas

Gracias a mis amigos Roger Pinzoacuten agradecido con Dios por contar con tu apoyo y amistad

incondicional Gracias Diego Mendoza por tus recomendaciones apoyo consejos y asesoriacuteas sin

intereacutes durante este proceso le pido a Dios que los guarde siempre y los mantenga en el correcto

vivir para que sigan siendo testimonio mostrando con sus vidas que el trabajo fuerte y realizado

con excelencia e integridad siempre trae grandes recompensas

Gracias a mi Suegra Lesbia Garciacutea una mujer que me ha aceptado y amado como un hijo cuanto

agradezco a Dios por su vida gracias nuevamente por su apoyo incondicional en este proceso

Gracias a mi Padre Carlos Velilla por tus consejos y apoyo a pesar de los momentos difiacuteciles

vividos con tu salud ahora eres milagro y testimonio del poder de Dios

Gracias a mi Madre Emilse Diaz todos los logros que he alcanzado sin dudas alguna ha sido en

gran parte gracias a ti mamaacute tu amor tu guiacutea tu constancia y apoyo en todas las aacutereas de mi vida

es incondicional

Victoria hija miacutea eres el motivo por el cual lucho maacutes cada diacutea me has hecho mejor persona me

has ensentildeado un nuevo significado de amor me esmerareacute por ser un buen ejemplo para ti espero

poder ensentildearte y guiarte para que alcances tus objetivos Te amo

Gracias a mi esposa Melissa Parejo por el apoyo la paciencia el amor y los sacrificios que has

tenido que hacer para que yo logre este objetivo Le doy gracias a Dios por bendecirme maacutes de lo

que yo esperaba con tu vida Te amo

Por uacuteltimo y el maacutes importante eres tu mi Dios quiero agradecerte y dedicarte este tiacutetulo Gracias

por darme sabiduriacutea y conocimiento para desarrollar este trabajo Gracias por darme el querer

como el hacer en tiempos de dificultad durante esta investigacioacuten sin ti mi Dios nada de esto

hubiera sido posible Toda la gloria sea para Ti

ii

Iacutendice General

AGRADECIMIENTOS I

RESUMEN VIII

NOMENCLATURA IX

CAPIacuteTULO 1 1

INTRODUCCIOacuteN 1

11 OBJETIVO PRINCIPAL Y MOTIVACIOacuteN 1

12 MATERIALES NANO-CRISTALINOS 1

13 PARAacuteMETROS DE LA MECAacuteNICA DE LA FRACTURA 2

14 ORGANIZACIOacuteN DE LA TESIS 3

CAPIacuteTULO 2 5

SIMULACIONES MOLECULARES 5

21 INTRODUCCIOacuteN 5

22 MECAacuteNICA ESTADIacuteSTICA 5

221 Ensambles termodinaacutemicos 6

23 DINAacuteMICA MOLECULAR 6

231 Caacutelculo de posiciones y velocidades de los aacutetomos 7

232 Lista de aacutetomos vecinos y cutoff 8

233 Algoritmos de integracioacuten usados en DM 9

234 Condiciones de frontera perioacutedicas 9

234 Caacutelculo de propiedades 10

24 POTENCIAL INTERATOacuteMICO EN ALUMINIO 11

241 Potencial de pares 12

242 Campos de fuerzas para materiales bioloacutegicos y poliacutemeros 13

243 Meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para metales 13

25 SELECCIOacuteN DEL POTENCIAL INTERATOacuteMICO 14

iii

CAPIacuteTULO 3 15

CONSTRUCCIOacuteN Y EJECUCIOacuteN DE EXPERIMENTOS COMPUTACIONALES 15


32 CONSTRUCCIOacuteN DE LAS GEOMETRIacuteAS 15

33 ETAPAS DE LA SIMULACIOacuteN DEL ENSAYO DE TENSIOacuteN UNIAXIAL 16

34 MODELACIOacuteN PRELIMINAR PARA VALIDAR EL CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN EL MONOCRISTAL

17

35 MODELACIOacuteN DEL MONOCRISTAL Y BICRISTAL 17

36 RESULTADOS DE LA MODELACIOacuteN DEL ENSAYO DE TENSIOacuteN UNIAXIAL EN MONOCRISTAL Y

BICRISTAL DE ALUMINIO 19

37 DISCUSIOacuteN 22

38 CONCLUSIONES 22

CAPIacuteTULO 4 23

TENSOR DE ESFUERZOS LOCAL 23


42 CAMPO DE ESFUERZOS LOCAL PARA NANOCRISTALES DE ALUMINIO 23

43 VERIFICACIOacuteN DE LOS ESFUERZOS LOCALES EN MONOCRISTAL 25

44 RESULTADOS DE ESFUERZOS LOCALES EN MONOCRISTAL Y BICRISTAL 28


46 CONCLUSIONES 29

CAPIacuteTULO 5 30

MECAacuteNICA DE LA FRACTURA 30


52 MECAacuteNICA DE LA FRACTURA 30

53 ESTIMACIOacuteN DE 119870119868 31

54 ESTIMACIONES DE 119869 33

541 Velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten 33

542 Integral 119869 de contorno 34

543 Desplazamiento de la abertura de la punta de la fisura CTOD 36

iv

55 PROPAGACIOacuteN DE LAS NANO-FISURAS 37

56 RASGAMIENTO Y FRACTURA 37


58 CONCLUSIONES 39

CAPIacuteTULO 6 41

METODOLOGIacuteA PARA ESTIMAR LA TENACIDAD A LA FRACTURA EN CRISTALES Y

BICRISTALES DE ALUMINIO 41


62 TENACIDAD A LA FRACTURA 119870119862 41



65 CONCLUSIONES 44

CAPIacuteTULO 7 45

CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS 45

71 CONCLUSIONES 45

72 TRABAJO FUTUROS 45

BIBLIOGRAFIacuteA 47

v

Listado de Figuras

Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas 7

Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas 10

Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff 12

Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120651 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales 12

Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre 13

Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas 16

Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y

(c) sistema atomiacutestico 17

Fig 8 (a) Inclinacioacuten del arreglo del grano 2 para GB inclinada y (b) rotacioacuten del grano 2 en GB rotada

18

Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 119949120782 = 120783120787119938 18

Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano 19

Fig 11 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para el bicristal con 119949120782 = 120787119938 parte superior comportamiento del

monocristal y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA

implementado en OVITO 19




Fig 13 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para bicristal con 119949120782 = 120783120787119938 Parte superior comportamiento del monocristal

y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO 21

Fig 14 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para bicristal con 119949120782 = 120784120782119938 Parte superior presenta comportamiento del

monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO 21

Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales 24

Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal 26

Fig 17 Campo de esfuerzos 120648prime119963119963 en monocristales con diferentes 119949120782 28

Fig 18 Campo de esfuerzos 120648prime119963119963 en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de

aluminio 29

Fig 19 Modo de carga I 31

Fig 20 120648 vs 120634119963119963 para un monocristal sin defectos 32

Fig 21 120648 vs 120634119963119963 para monocristal y bicristal 33

Fig 22 119934 y 119932 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 119949120782 = 120784120782119938 33

vi

Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119921 de contorno 34

Fig 24 120648119963119963120490120785 para (a) monocristal a 120634119963119963 = 120788 120791 (b) bicristal a 120634119963119963 = 120788 120788 35

Fig 25 CTOD (a) monocristal con 119949120782 = 120783120782119938 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 119949120782 =

120783120782119938 36

Fig 26 CTOD vs 120634119963119963 para (a) monocristales y (b) bicristales 36

Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120634119963119963 = 120788 120790 (b) primer rasgamiento a 120634119963119963 = 120788 120787

y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120634119963119963 = 120785120782 37

Fig 28 Valores maacuteximos de 119921 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales 37

Fig 29 DXA en bicristales con 119949120782 = 120783120782119938 (a) antes del primer rasgamiento (120634119963119963 = 120788 120788) y (b) despueacutes

del primer rasgamiento (120634119963119963 = 120788 120789) 38

Fig 30 Maacuteximos 119921 para monocristales (SC) y bicristales (BC) 38

Fig 31 Esfuerzo normalizado 120648119963119963119930119932 vs 119949120782119923 para estimar 119922119914 42

Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD 43

vii

Listado de tablas

Tabla 1 Funciones del potencial interatomico propuesto por Mendelev et al 14

Tabla 2 Comparacioacuten entre 120648prime119963119963 y 120648119963119963 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos 27

Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos 27

Tabla 4 119922119920 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal 32

Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119921 39

Tabla 6 Valores maacuteximos de 119921 39

Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal 43

Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo 44

viii

Resumen

Las limitaciones de la mecaacutenica del medio continuo para predecir el comportamiento de materiales

a escala nanomeacutetrica han conducido al desarrollo de modelos a nivel atoacutemico para describir su

comportamiento mecaacutenico La solucioacuten de un modelo atoacutemico para describir el comportamiento

del material permite conocer sus posibles configuraciones de equilibrio haciendo posible calcular

a traveacutes de la mecaacutenica estadiacutestica propiedades fiacutesicas y quiacutemicas a nivel macroscoacutepico El poder

de prediccioacuten de los resultados obtenidos en simulaciones a nivel atoacutemico estaacute determinado por la

exactitud de la descripcioacuten de la energiacutea en el material ie potencial interatoacutemico en el caso de las

simulaciones de Dinaacutemica Molecular los meacutetodos de solucioacuten utilizados para integrar el sistema

de ecuaciones resultante bajo diferentes tipos de ensamble (NVE NPT) y el tamantildeo del sistema

mismo (nuacutemero de partiacuteculas) Se han desarrollado muacuteltiples trabajos basados en simulaciones a

nivel atoacutemico para describir la resistencia de materiales poli-cristalinos en funcioacuten del tamantildeo de

grano Simulaciones de pruebas cuasi-estaacuteticas de carga por nano-indentacioacuten han permitido

constatar los iacutendices de resistencia para materiales con tamantildeos de grano a escala nanomeacutetrica

Para el estudio del comportamiento de nano-materiales fisurados se han utilizado una serie de

metodologiacuteas derivadas en su mayoriacutea de la Teoriacutea de la Mecaacutenica de Fractura desplazamiento de

la abertura de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) la integral 119869 y la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea de deformacioacuten (ERR por sus siglas en ingleacutes) Los resultados de

simulaciones implementando dinaacutemica molecular ha evidenciado un incremento de hasta 10 veces

el valor de algunas propiedades de los nano-materiales respecto al valor de la misma propiedad en

el material con tamantildeo de grano convencional tal es el caso de la resistencia de la fluencia Debido

a la presencia de la energiacutea de las fronteras de grano aparece una contribucioacuten energeacutetica no tenida

en cuenta en la teoriacutea claacutesica del continuo La influencia energeacutetica de las fronteras de grano

aumenta a medida que el tamantildeo promedio de grano disminuye haciendo que la fraccioacuten

volumeacutetrica de estas estructuras puede llegar a ser hasta la mitad del volumen para una muestra

con tamantildeo de grano de aproximadamente1-4 nm

Actualmente la tenacidad a la fractura ha sido estimada en escala nano-meacutetrica usando los modelos

CTOD integral 119869 y ERR para un tamantildeo especiacutefico de fisura inicial en cristales simples bicristales y policristales Incluso han surgido nuevas teoriacuteas que intentan conciliar las observaciones

experimentales con los modelos teoacutericos que describen el comportamiento de materiales

fracturados Dentro de estas aproximaciones al problema podemos encontrar la teoriacutea de mecaacutenica

de la fractura discreta (DFM por sus siglas en ingleacutes) y la teoriacutea de mecaacutenica de la fractura cuaacutentica

(QFM por sus siglas en ingleacutes) [12] En la presente investigacioacuten se desarrolloacute una nueva

metodologiacutea para estimar un valor de tenacidad a la fractura que sea vaacutelido para cualquier tamantildeo

de fisura inicial en un cristal simple y en un bicristal sujeto a cargas en modo I Los resultados

permitieron identificar que la tenacidad a la fractura en el bicristal es casi cinco veces el valor de

del observado en el cristal simple

ix

Nomenclatura

Abreviaturas

BC bicristal

CTOD desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura

DM dinaacutemica molecular

EAM meacutetodo del aacutetomo embebido

ERR velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten J m-2

FCC cubica centrada en las caras

FT primer rasgamiento

GB frontera de grano

LEFM mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica

NC nanocristalino

NEMS sistemas nano-electromecaacutenicos

NPT ensamble isoteacutermico-isobaacuterico

NVE ensamble microcanoacutenico

NVT ensamble canoacutenico

120583119881119879 ensamble macrocanoacutenico

SC monocristal

Letras latinas

119886 paraacutemetro de red m

119860 propiedad del material

119861 funcioacuten de enlace

119890 119902 nuacutemeros enteros

119864 moacutedulo de elasticidad Pa

119891 factor geomeacutetrico de la fisura

119865120572120573 fuerza en la partiacutecula 120572 ejercida por la partiacutecula 120573 N

ℎ longitud de suavizado m

119867 energiacutea total del sistema J

119869 integral 119869 J m-2

119869119862 tenacidad a la fractura J m-2

119896119861 constante de Boltzmann J K-1

119870 energiacutea cineacutetica J

119870119868 factor de intensificacioacuten de esfuerzos modo I MParadicm

119870119862 tenacidad a la fractura MParadicm

119897 tamantildeo de la fisura m

1198970 tamantildeo de fisura inicial m

119871 longitud de la caja de simulacioacuten m

1198711 1198712 vectores de los bordes de la caja de simulacioacuten m

119901 cantidad de movimiento kg ms

119875 presioacuten del sistema Pa

x

119898 masa del aacutetomo kg

119899 vector unitario normal a una trayectoria

119873 nuacutemero de aacutetomos en el sistema

119903 posicioacuten del aacutetomo m

velocidad del aacutetomo ms

aceleracioacuten del aacutetomo ms2

119903120572120573 distancia relativa entre aacutetomos 120572 y 120573 m

119877 punto material m

119878119880 esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten Pa

119905 espesor m

119879 temperatura K

119879119894 vector de traccioacuten Pa

119906119894 componentes del vector de desplazamientos m

119880 energiacutea potencial J

119880119889 Energiacutea de deformacioacuten liberada J

119907 velocidad del aacutetomo ms

119881 volumen m3

119908 densidad de energiacutea de deformacioacuten Pa

119882 trabajo externo J

Letras griegas

Γ camino para evaluar la integral 119869 120576 deformacioacuten unitaria

120576 velocidad de deformacioacuten s-1

120577 aacutengulo de frontera de grano torcida

120578 120598 coeficientes de potencial de Lennard-Jones

120579 aacutengulo de frontera de grano inclinada

120582 variable de integracioacuten de Hardy

120584 coeficiente de Poisson

120585 altura del sistema atomiacutestico a una deformacioacuten dada m

Π energiacutea potencial del sistema

120588120572 contribucioacuten del aacutetomo 120572-eacutesimo a la densidad local de electrones

120590119909119909 120590119910119910 120590119911119911 esfuerzo global del sistema Pa

120590119894119895prime tensor de esfuerzos de Cauchy local calculado con meacutetodo de Hardy

119894119895prime promedio de los tensores de esfuerzos de Cauchy locales

120590119900 esfuerzo maacuteximo global del sistema durante el ensayo de tensioacuten

120591 variable temporal s

120593 contribucioacuten del potencial de pares a la energiacutea de cohesioacuten J

Φ energiacutea de embebimiento J

120595 contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572

120569 funcioacuten de localizacioacuten

xi

Subiacutendice y superiacutendice

0 inicial

119891 final

119901 segmento de camino para evaluar la integral 119869 119894 119895 componentes vectoriales

119909 119910 119911 direcciones

120572 120573 aacutetomos o partiacuteculas

1

Capiacutetulo 1

Introduccioacuten

11 Objetivo principal y motivacioacuten

Los materiales nano-cristalinos (tamantildeo promedio de grano menor a 100 nm) han permitido el

desarrollo de sistemas nano-electromecaacutenicos (NEMS por sus siglas en ingleacutes) los cuales tienen

un gran espectro de aplicaciones en diversos campos [3ndash8] En el aacuterea de la salud se han

desarrollado nano-robots empleados en procedimientos quiruacutergicos molecular y la dosificacioacuten de

medicamentos para el tratamiento de enfermedades consideradas terminales como el caacutencer [6]

Otra aplicacioacuten a resaltar por su impacto es el arreglo de nano-canales para obtener agua potable

a partir de agua salada [9] y el desarrollo de micro-motores de diaacutemetro de 250 120583m para

aplicaciones meacutedicas [10] El gran rango de aplicaciones y las propiedades mecaacutenicas

excepcionales de este tipo de materiales ha hecho que el estudio de materiales nano-cristalinos sea

un campo de investigacioacuten muy activo A pesar de sus evidentes ventajas la prediccioacuten de las

propiedades fiacutesicas y quiacutemicas de estos materiales sigue siendo un reto en la actualidad debido a

la ausencia de una teoriacutea que explique y permita predecir la dinaacutemica de su deformacioacuten bajo

diferentes condiciones de carga Trabajos previos han demostrado que sus propiedades mecaacutenicas

(eg esfuerzo uacuteltimo a tensioacuten 119878119880 y la tenacidad a la fractura 119870119862 119869119862) a medida que disminuye el

tamantildeo promedio de grano son de orden de magnitud superior al compararlas con materiales de

mayor tamantildeo de grano de la misma especie (119878119880 del orden de 1GPa) [11ndash19] Incluso se ha

demostrado que teoriacuteas como la relacioacuten tradicional de Hall-Petch no describe correctamente la

relacioacuten del tamantildeo de grano con su resistencia a la tensioacuten en esta escala [2021] Asiacute mismo se

ha demostrado que la presencia de defectos y fronteras de grano (GBs por sus siglas en ingleacutes) en

la estructura determina el comportamiento mecaacutenico [22ndash31]

El principal objetivo de esta tesis es estimar el efecto de la GB en la tenacidad a la fractura mediante

la comparacioacuten de la tenacidad a la fractura de un bicristal con la de un monocristal de aluminio

Para estimar la tenacidad a la fractura a escala nano-meacutetrica se desarrolloacute una metodologiacutea

novedosa para obtener un valor de tenacidad que fuera valido para cualquier tamantildeo de fisura Con

esta metodologiacutea se propone un procedimiento para estimar un valor de tenacidad a la fractura en

materiales NC el cual no depende del tamantildeo inicial de fisura

12 Materiales nano-cristalinos

Los materiales nano-cristalinos (NC) se caracterizan por tener una alta fraccioacuten volumeacutetrica de

frontera de grano que altera significativamente sus propiedades fiacutesicas mecaacutenicas y quiacutemicas en

comparacioacuten con los materiales policristalinos de tamantildeo de grano convencional [2131ndash35]

Razoacuten por la cual existen algunas teoriacuteas de la Mecaacutenica de medios continuos que no son

suficientes Para explicar los diferentes fenoacutemenos que se dan en la escala nanomeacutetrica como es el

2

caso de la relacioacuten de Hall-Petch [36ndash38] En este sentido el objetivo de muchas investigaciones

ha sido validar o encontrar nuevas teoriacuteas que describan el comportamiento de los materiales NC

En especial las teoriacuteas que incluyen irreversibilidades en los soacutelidos NC (rompimiento de enlaces

atoacutemicos) como es el caso de la deformacioacuten plaacutestica y fluencia [39ndash42] el comportamiento frente

a cargas de fatiga [1943ndash45] y la mecaacutenica de la fractura [22946ndash50] La investigacioacuten actual

abarca la uacuteltima temaacutetica mencionada y se concentra en estudiar el comportamiento de

monocristales y bicristales de aluminio con defectos iniciales para estimar la tenacidad a la fractura

y la alteracioacuten de esta propiedad debido a la presencia de fronteras de grano

13 Paraacutemetros de la Mecaacutenica de la fractura

La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento de las fisuras en los soacutelidos [51] La

resistencia de un material a la propagacioacuten inestable de una fisura en su interior (fractura fraacutegil)

estaacute medida por la tenacidad a la fractura Cuando la fractura es duacutectil la propagacioacuten se

caracteriza por estar acompantildeada de una deformacioacuten plaacutestica significativa y algunas veces del

proceso de rasgamiento [51]

Histoacutericamente se desarrollaron primero dos enfoques para el anaacutelisis de la fractura fraacutegil los

cuales conforman la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica (LEFM por sus siglas en ingleacutes) El

primero es el criterio de la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea (ERR) y el segundo consiste en la

aproximacioacuten del intensificador de esfuerzos (119870119868) Estos dos enfoques son equivalentes en ciertas circunstancias ERR plantea que la propagacioacuten de la fisura ocurre de forma inestable cuando la

energiacutea invertida para el crecimiento de una fisura es mayor a la resistencia del material

Inicialmente Griffith en 1920 propuso este enfoque energeacutetico basado en un nuevo criterio de

ruptura el estado de equilibrio (miacutenima energiacutea) debe ser despueacutes de una ruptura del soacutelido

acompantildeada de una reduccioacuten continua en su energiacutea potencial Griffith consideroacute que la energiacutea

potencial total en un material fisurado estaba compuesta por la energiacutea potencial asociada a la

deformacioacuten y la energiacutea requerida para crear una nueva superficie A partir de este balance

planteoacute una metodologiacutea para estimar el esfuerzo requerido para que la fisura se propague de forma

inestable en un material Sin embargo Irwin [52] en 1956 desarrolloacute el concepto de ERR a partir

de la teoriacutea planteada por Griffith ERR resultoacute ser maacutes uacutetil para resolver los problemas de

ingenieriacutea de esa eacutepoca y comenzoacute a ser conocido como el paraacutemetro de la mecaacutenica de la fractura

requerido para calcular la tenacidad a la fractura [53] El segundo meacutetodo utiliza una aproximacioacuten

del intensificador de esfuerzos 119870119868 en este meacutetodo se asume que el material fallaraacute localmente

debido a una combinacioacuten criacutetica de esfuerzo y deformacioacuten en la punta de la fisura el

intensificador de esfuerzos en este punto criacutetico se define como la tenacidad a la fractura (119870119862) [53]

Posteriormente en los 1960s se comenzoacute a observar que la LEFM no predeciacutea correctamente el

inicio de la propagacioacuten de la fisura cuando se presentaba una deformacioacuten plaacutestica significativa

antes de la falla Esto dio inicio al desarrollo de nuevos paraacutemetros para la mecaacutenica de la fractura

de materiales elasto-plaacutesticos En 1961 Wells [54] desarrolloacute el concepto de tamantildeo de la apertura

de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingles) y planteoacute una relacioacuten entre 119870119868 y la CTOD Y en ese mismo antildeo Irwing [55] establecioacute una correccioacuten en la zona plaacutestica para establecer una

relacioacuten entre el CTOD y la ERR [53] En 1968 Rice [56] desarrolloacute otro paraacutemetro de la mecaacutenica

de la fractura para materiales no lineales Rice generalizoacute la ERR para materiales no lineales y

demostroacute que esta ERR no lineal podiacutea ser expresada como una integral de liacutenea a lo largo de

cualquier camino que envolviera a la fisura a este paraacutemetro Rice lo llamoacute la integral 119869

3

14 Organizacioacuten de la tesis

El trabajo actual estaacute escrito en el orden que se presenta a continuacioacuten El capiacutetulo 2 contiene una

introduccioacuten a los conceptos y teoriacuteas usadas en la teacutecnica de simulacioacuten de dinaacutemica molecular

(DM) Ademaacutes se presentan los diferentes potenciales interatoacutemicos utilizados en las simulaciones

DM junto con las ecuaciones que los gobiernan y se detalla el funcionamiento del potencial

implementado para los metales conocido como el meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) En el

capiacutetulo 3 inicialmente se indican los procedimientos seguidos para la construccioacuten de los

especiacutemenes y la estrategia de simulacioacuten para el ensayo de tensioacuten uniaxial bajo control de

desplazamiento asimismo se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten para los diferentes

monocristales y bicristales mediante sus curvas de esfuerzo vs deformacioacuten En el capiacutetulo 4 se

presenta el procedimiento para realizar el caacutelculo del tensor de esfuerzos de Cauchy local a partir

de los resultados de las simulaciones de DM usando el meacutetodo propuesto por Hardy [57] En el

capiacutetulo 5 se hace una introduccioacuten a las teoriacuteas usadas para estimar los paraacutemetros de la mecaacutenica

de la fractura 119870119868 integral 119869 CTOD y ERR Ademaacutes se introduce el concepto de primer

rasgamiento para el primer cristal en los bicristales y los criterios para considerar la falla del

material durante los ensayos computacionales El capiacutetulo 6 contiene la metodologiacutea para estimar

la tenacidad a la fractura vaacutelida para todos los tamantildeos de fisura inicial evaluados en monocristales y bicristales de aluminio Inicialmente en este capiacutetulo se estudia el efecto de la GB sobre la

tenacidad 119870119862 y se observa que el 119870119862 estimado para el monocristal coincide con las magnitudes

reportadas por otros investigadores seguidamente se obtiene que 119870119862 para el bicristal es casi 25

veces el 119870119862 del monocristal Posteriormente se estimoacute la tenacidad a la fractura considerando

fractura elasto-plaacutestica en funcioacuten de 119869 y se encontroacute que la tenacidad a la fractura 119869119862 para el monocristal coincidiacutea con el orden de magnitud reportado en la literatura asimismo se observoacute

que 119869119862 para el bicristal es de casi cinco veces el 119869119862 para el monocristal Esta metodologiacutea fue publicada en el journal ldquoComputational Materials Sciencerdquo bajo el tiacutetulo ldquoThe role of the grain

boundary in the fracture toughness of aluminum bicrystalrdquo [58] Finalmente en el capiacutetulo 7 se

presentan las conclusiones y sugerencias en trabajos futuros A continuacioacuten se relacionan los

productos de esta tesis hasta el momento

PONENCIAS EN CONGRESOS INTERNACIONALES

XVI Jornadas de Mecaacutenica Computacional

Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia de las fronteras de grano en la propagacioacuten de nano-fisurasrdquo

Lugar La Serena Chile Antildeo 2017

XVII Congreso Chileno de Ingenieriacutea Mecaacutenica | COCIM 2017

Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia del tamantildeo de fisuras en la distribucioacuten de esfuerzos locales

durante la propagacioacuten de fisuras en materiales nano-cristalinosrdquo

Lugar Santiago de Chile Chile Antildeo 2017

IX Congreso Internacional de Ingenieriacutea Mecaacutenica y Mecatroacutenica VII Congreso

Internacional de Ingenieriacutea Mecatroacutenica y Automatizacioacuten

4

Tiacutetulo de la ponencia ldquoComportamiento mecaacutenico de bicristales de aluminio con nano-fisuras

sujetos a tensioacuten uniaxialrdquo

Lugar Bogotaacute Colombia Antildeo 2019

PUBLICACIOacuteN EN JOURNAL ISISCOPUS

Nombre del Journal Computational Materials Science

Tiacutetulo de la publicacioacuten ldquoThe role of the grain boundary in the fracture toughness of aluminum

bicrystalrdquo [58]

ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41

5

Capiacutetulo 2

Simulaciones moleculares

21 Introduccioacuten

Las simulaciones moleculares representan los sistemas fiacutesicos (gas liacutequido o soacutelido) como una

coleccioacuten de partiacuteculas (aacutetomos considerados como partiacuteculas) y utilizan un potencial interatoacutemico

para estimar el comportamiento entre dichas partiacuteculas El meacutetodo de dinaacutemica molecular (DM)

comienza a ser implementado en los antildeos 1950rsquos con Alder y Wainwright quienes estudiaron las

interacciones entre esferas soacutelidas considerando que la fuerza en una partiacutecula dentro de un

sistema de muacuteltiples partiacuteculas en cualquier instante debe considerar la influencia de cada

partiacutecula vecina [5960] Posteriormente en 1964 Rahman y Stillinger en 1974 hicieron las

primeras simulaciones usando DM para estudiar el comportamiento de fluidos [6162] Los

primeros estudios que incluyeron simulaciones de DM para modelar el proceso fractura fue en los

1970s cuando Ashurt y Hoover estudiaron cristales de 512 partiacuteculas con defectos y encontraron

que los resultados para la energiacutea entropiacutea concentracioacuten de esfuerzos y comportamiento de la

fisura era consistente con las teoriacuteas macroscoacutepicas de elasticidad [63] En 1983 Yip et al usaron

DM para estudiar la propagacioacuten de fisuras y el comportamiento de la punta de la fisura en hierro-

120572 y cobre en este trabajo encontraron que se formaban dislocaciones parciales en la punta de la

fisura [64] En 1998 Shastry y Farkas usaron estaacutetica molecular para estudiar la propagacioacuten de

fisuras en CoAl y FeAl con los resultados de las simulaciones estimaron la energiacutea de superficie

por el meacutetodo de Griffith [65] Posteriormente Farkas et al encontraron la influencia de la

orientacioacuten cristalograacutefica en el factor de intensificacioacuten de esfuerzos en modo I (119870119868) usando simulaciones de DM en Fe [66] y hasta la actualidad se ha utilizado la DM para obtener indicadores

del comportamiento mecaacutenico de los materiales NC En este capiacutetulo se hace una introduccioacuten de

los principios fundamentales de la teacutecnica de DM los algoritmos de integracioacuten numeacuterica las

condiciones de frontera la hipoacutetesis Ergoacutedica y la importancia de la seleccioacuten del potencial

interatoacutemico para obtener una descripcioacuten correcta de los fenoacutemenos estudiados Finalmente se

discute en la seccioacuten 25 la seleccioacuten del meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para estudiar el

proceso de la propagacioacuten de nano-fisuras

22 Mecaacutenica estadiacutestica

Esta teoriacutea permite estimar propiedades macroscoacutepicas de los materiales a partir de las propiedades

microscoacutepicas de sus aacutetomos es decir la mecaacutenica estadiacutestica utiliza las posiciones y cantidad de

movimiento de los aacutetomos de un sistema para estimar propiedades macroscoacutepicas tales como

presioacuten temperatura tensor de esfuerzo tensor de deformacioacuten energiacutea entre otros El teorema

que se utiliza para relacionar las propiedades microscoacutepicas con las macroscoacutepicas de un sistema

es la hipoacutetesis Ergoacutedica de Boltzman la cual plantea que el promedio de una propiedad 119860 en el

tiempo es igual a su promedio en un ensamble El promedio en un ensamble hace referencia al

promedio sobre todas las configuraciones posibles del sistema consideradas simultaacuteneamente

6

(Los tipos de ensambles termodinaacutemicos se mostraraacuten maacutes adelante) El siacutembolo lang rang describe una variable promediada

lang119860rang119879119894119890119898119901119900 = lang119860rang119864119899119904119886119898119887119897119890 (1)

En la teoriacutea de ensambles termodinaacutemicos cada propiedad macroscoacutepica estaacute conectada

directamente a una funcioacuten de las coordenadas y momento lineal de las partiacuteculas que conforman

el sistema Para una simulacioacuten de DM se tiene entonces

lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1

119873sum119860(119901 119903)

119873

119894=1

(2)

donde 119873 es el nuacutemero de partiacuteculas 119901 = 119901120572119894 y 119903 = 119903120572

119894 son el conjunto de los momentos lineales y el conjunto de los vectores de posicioacuten de todas las partiacuteculas en el sistema respectivamente

119901120572119894 = 119898120572119907120572

119894 es el momento lineal de la partiacutecula 120572 119898120572 y 119907120572 son la masa y velocidad del aacutetomo 120572

respectivamente

221 Ensambles termodinaacutemicos

La temperatura o la presioacuten de un sistema se pueden estimar a partir de las posiciones y velocidades

de los aacutetomos que conforman dicho sistema gracias al concepto de ensamble introducido por

Gibbs Un ensamble es una coleccioacuten de sistemas descritos por el mismo conjunto de interacciones

microscoacutepicas que comparten un mismo conjunto de propiedades macroscoacutepicas (eg la misma

energiacutea total volumen o nuacutemero de moles) [67] Entre los diferentes ensambles se encuentran el

microcanoacutenico tambieacuten conocido como ensamble 119873119881119864 lo cual significa que el nuacutemero de

partiacuteculas 119873 el volumen del sistema 119881 y la energiacutea total del sistema se mantienen constantes este

ensamble considera un sistema aislado El ensamble isoteacutermico-isobaacuterico (119873119875119879) considera

sistemas nuacutemero de partiacuteculas presioacuten y temperatura constantes El ensamble canoacutenico (119873119881119879) en el cual el sistema es cerrado con nuacutemero de partiacuteculas volumen y temperatura constante y el

ensamble macrocanoacutenico (120583119881119879) en el cual se considera que el sistema es abierto En el presente

estudio se desea un sistema que se acerque maacutes a la realidad razoacuten por la cual las simulaciones

se desarrollan con un ensamble 119873119875119879

23 Dinaacutemica molecular

La dinaacutemica molecular es un meacutetodo basado en simulaciones moleculares que permite determinar

el movimiento de cada aacutetomo 120572 a traveacutes de sus posiciones 119903120572119894(120591) velocidades 120572

119894(120591) y aceleraciones

120572119894(120591) donde 120591 es la variable temporal (ver figura 1) Esta teacutecnica (DM) considera los aacutetomos

como partiacuteculas razoacuten por la cual se puede solucionar numeacutericamente las ecuaciones de

movimiento planteadas por Newton para todas las partiacuteculas de un sistema claacutesico de muchos

cuerpos

7

Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas

El esquema de integracioacuten de las ecuaciones de Newton y la seleccioacuten del paso de tiempo son

definidos de tal forma que se cumpla la conservacioacuten de la energiacutea impliacutecita en las ecuaciones de

Newton La energiacutea total o el Halmitoniano (119867) de un sistema es

119867 = 119870 + 119880 (3)

donde 119870 es la energiacutea cineacutetica del sistema y 119880 la energiacutea potencial 119870 es funcioacuten de la energiacutea

cineacutetica de todos los 119873 aacutetomos que conforman el sistema

119870 =1

2sum119898120572(120572

119894)2119873

120572=1

(4)

Se puede observar que la energiacutea cineacutetica depende solamente de las velocidades o momento lineal

de los aacutetomos La energiacutea potencial es la suma de la energiacutea potencial de todas las partiacuteculas

119880 = sum119880120572(119903)

119873

120572=1

(5)

En este punto es importante notar que la energiacutea potencial de cada aacutetomo 119880120572 es funcioacuten solamente

de su vector de posicioacuten y de los vectores de posiciones de todas las partiacuteculas que estaacuten en el

sistema estos uacuteltimos expresados como 119903 = 119903120572119894

231 Caacutelculo de posiciones y velocidades de los aacutetomos

Las etapas que se realizan en las simulaciones atomiacutesticas implementando DM para obtener en

cada paso de tiempo la actualizacioacuten de las posiciones y velocidades de las partiacuteculas del sistema

se pueden resumir en los siguientes pasos

Paso 1 Estimacioacuten de la fuerza sobre cada aacutetomo Inicialmente cada aacutetomo tiene una posicioacuten

y velocidad especificada en el sistema atomiacutestico La posicioacuten depende del arreglo de la estructura

cristalina para el caso de los metales Debido a que se conocen las posiciones de las partiacuteculas se

puede calcular la fuerza en cada aacutetomo mediante el gradiente de la energiacutea potencial entre aacutetomos

(119880) el cual depende solamente de la distancia relativa entre aacutetomos

8

119865120572119894 = minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(6)

Donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente del vector de fuerza resultante en el aacutetomo 120572 119903120572120573

119894 es el vector

de posiciones relativa entre el aacutetomo 120572 y sus vecinos 120573

Paso 2 Estimacioacuten de las velocidades de los aacutetomos Aplicando la definicioacuten de la segunda ley

de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572

119894 se puede reescribir la ecuacioacuten como

119898120572

d2119903120572119894

d1205912= minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(7)

A partir del gradiente de la energiacutea potencial y considerando que la fuerza es constante en un paso

de tiempo el cambio en la velocidad de cada aacutetomo se toma esencialmente como el producto entre

la aceleracioacuten de cada aacutetomo y el paso de tiempo implementado en la simulacioacuten Despueacutes de que

todas las velocidades de los aacutetomos han sido calculadas se implementa un termostasto para escalar

las velocidades y garantizar que la energiacutea total (en caso de que el ensamble sea 119873119881119864) o la

temperatura (en caso de que el ensamble sea 119873119875119879) del sistema se mantenga constante Generalmente el termostato implementado en sistemas atomiacutesticos es el de Nose-Hoover el cual

es un algoritmo determinista para mantener la temperatura alrededor del valor establecido

previamente en la simulaciones de DM [6869]

Paso 3 Actualizacioacuten de los vectores de posicioacuten de los aacutetomos Una vez estimada la fuerza

sobre cada aacutetomo y escaladas las velocidades usando el termostato los vectores de posicioacuten (119903120572119894)

de cada aacutetomo 120572 pueden ser estimados a partir de algoritmos de integracioacuten de Leap-Frog o Verlet

debido a la segunda ley de Newton

119865120572119894 = 119898120572

d2119903120572119894

d1205912 (8)

Paso 4 Proceso iterativo Una vez actualizado los vectores de posicioacuten estos se convierten en

los datos de entrada para repetir el paso 1 nuevamente hasta el paso 3 Mientras maacutes aacutetomos tenga

el sistema de la simulacioacuten el costo computacional se incrementaraacute

232 Lista de aacutetomos vecinos y cutoff

Existen estrategias para reducir los costos computacionales en las simulaciones de DM tal como

se presentoacute en la seccioacuten anterior el caacutelculo de la fuerza implica que se deben visitar todos los

aacutetomos del sistema para calcular el aporte de cada aacutetomo del sistema en la fuerza resultante sobre

un aacutetomo Para reducir esta cantidad de caacutelculos se implementa la estrategia de realizar una lista

de vecinos basado en una distancia de corte (cutoff) La distancia de corte considera un radio de

distancia en el cual los aacutetomos comprendidos en esta regioacuten aportan una fuerza significativa sobre

la fuerza resultante en el aacutetomo de estudio Los aacutetomos dentro del cutoff conformaraacuten la lista de

vecinos Lo primero que se hace en la simulacioacuten antes de realizar el caacutelculo de fuerzas es

identificar la lista de los vecinos maacutes cercanos para cada aacutetomo para posteriormente ejecutar los

pasos mencionados en el proceso de simulacioacuten de DM

9

233 Algoritmos de integracioacuten usados en DM

La funcioacuten que deben cumplir los meacutetodos de integracioacuten es generar nuevas coordenadas (119903120572119894) y

velocidades (120572119894) de los aacutetomos a partir de los valores actuales es decir

119903120572119894(1205910) rarr 119903120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572

119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)

y

120572119894(1205910) rarr 120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572

119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)

Los meacutetodos de integracioacuten maacutes implementados en las simulaciones de DM se relacionan a

continuacioacuten

Algoritmo de Leap-Frog

Las posiciones de las partiacuteculas en la simulacioacuten son actualizadas como

119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +

1

2Δ120591)Δ120591 (11)

y

120572119894 (120591 +

1

2Δ120591) = 120572

119894 (120591 minus1

2Δ120591) + 120572

119894(120591)Δ120591 (12)

Algoritmo de velocidades de Verlet

En este algoritmo las posiciones son actualizadas de la forma

119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +

1

2120572119894(120591)Δ1205912 (13)

donde

120572119894(120591 + Δ120591) = 120572

119894(120591) +1

2(120572119894(120591) + 120572

119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)

Una vez integradas las ecuaciones presentadas (correspondientes a la mecaacutenica de Newton) en esta

seccioacuten el ensamble termodinaacutemico seraacute el 119873119881119864 Modificando las ecuaciones de movimiento se

pueden obtener diferentes ensambles termodinaacutemicos Para el caso del 119873119875119879 se debe seleccionar un termostato y un baroacutestato para garantizar que la presioacuten y temperatura sean constantes durante

la simulacioacuten [70]

234 Condiciones de frontera perioacutedicas

El concepto de fronteras perioacutedicas es ampliamente usado en simulaciones de DM y es utilizado

para estudiar propiedades en volumen (bulk) lo cual significa que no hay superficies libres en las

direcciones que se aplican estaacutes condiciones La figura 2 presenta el caso en 2D donde los aacutetomos

de la configuracioacuten original de trabajo son los que se encuentran dentro de la caja punteada las

condiciones de frontera perioacutedicas consisten en hacer reacuteplicas de la configuracioacuten original de

trabajo En cada caja de reacuteplica los aacutetomos se mueven exactamente igual que los aacutetomos de la caja

original

10

Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas

Con la finalidad de entender las posiciones de las partiacuteculas en las reacuteplicas inicialmente se debe

considerar que cada partiacutecula en la caja de simulacioacuten (liacutenea punteada) estaacute interactuando con las

partiacuteculas dentro de la misma caja y con las partiacuteculas cercanas que se encuentran dentro de las

cajas de reacuteplicas Las posiciones de los aacutetomos que se mueven fuera de la caja principal (en las

reacuteplicas) estaacuten dadas por

119903119894119903119890119901

= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)

donde 1 y 2 son vectores que corresponden a los bordes de la caja de simulacioacuten 119890 y 119902 son

cualquier entero que va desde minusinfin a infin En los sistemas estudiados se verificoacute que la cantidad de partiacuteculas en la caja de simulacioacuten era suficiente para representar los fenoacutemenos de propagacioacuten

de fisuras al compararlo con los resultados obtenidos en otros estudios

234 Caacutelculo de propiedades

A continuacioacuten se mencionan la forma de calcular algunas propiedades de intereacutes en el trabajo

actual

2341 Caacutelculo de la temperatura

La temperatura 119879 se encuentra definida en funcioacuten de la energiacutea cineacutetica del sistema 119870 tal como

se presenta a continuacioacuten

119879 =2

3

lang119870rang

119873119896119861 (16)

donde el valor numeacuterico de la constante de Boltzmann es 119896119861 = 13806503 times 10minus23J Kminus1

2342 Calculo de la presioacuten

La presioacuten estaacute dada por la ecuacioacuten

119875 =119873119896119861119879

119881minus1

3

1

119881sum sum lang 119903120572120573

d119880

d119903120572120573rang

119873

120573=1120573lt120572

119873

120572=1

(17)

11

donde el primer teacutermino proviene de la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas y el

segundo termino de las fuerzas de interaccioacuten entre las partiacuteculas 120572 y 120573 en el volumen total del

sistema 119881

2343 Tensor de esfuerzos en sistemas atomiacutesticos

El concepto de esfuerzo es propio de la teoriacutea de mecaacutenica de medios continuos y es usado en

muchos casos para estimar las propiedades mecaacutenicas de los materiales en escala convencional

(microscoacutepica y macroscoacutepica) Cuando se calculan cantidades macroscoacutepicas a partir de los

resultados de simulaciones atomiacutesticas se estaacute realizando un proceso de modelamiento de

fenoacutemenos usando multi-escala El concepto de tensor de esfuerzos en escala nanomeacutetrica es

diferente al planteado en la teoriacutea del continuo El teorema de Virial usado para estimar el tensor

de esfuerzos de un sistema que tiene partiacuteculas que interactuacutean entre siacute en un volumen fijo fue

propuesto inicialmente por Clausius [71] y Maxwell [7273] Esta cantidad es vaacutelida para estimar

esfuerzos globales en un sistema atomiacutestico y estaacute definida en [74] Generalmente es conocido

como el tensor de esfuerzo de Virial este tensor es definido como el negativo del tensor de

presiones promedios del sistema tal como se presenta en la siguiente ecuacioacuten

120590119894119895 =1

119881(minussum119865120572

119894119903120572119895 minus

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

=1

119881

(

minus1

2sumsum

120597119880

120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573

119895

119903120572120573 minus

119873

120573=1120573ne120572

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

(18)

donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente de la fuerza sobre el aacutetomo 120572 119903120572

119895 es la 119895-esima componente del

vector de posicioacuten del aacutetomo 120572 Los teacuterminos 119907120572119894 119907120572

119895 son la 119894-esima y la 119895-esima componente del

vector de velocidades del aacutetomo 120572 respectivamente 119903120572120573119894 119903120572120573

119895 son la 119894-esima y la 119895-esima

componente del vector de posiciones relativas entre los aacutetomos 120572 y 120573 La primera parte de la ecuacioacuten del tensor de esfuerzos de Virial hace referencia al aporte configuracional y el segundo

a la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas que conforman el sistema Sin embargo

esta cantidad es promediada en el espacio y tiempo por lo que es inapropiada para estimar

esfuerzos locales (en cada partiacutecula) En la presente investigacioacuten se hace una estimacioacuten del tensor

de esfuerzos de Cauchy local basado en el meacutetodo propuesto por Hardy para estimar propiedades

locales a partir de los resultados de simulaciones atomiacutesticas [57] El detalle del proceso realizado

se encuentra en el capiacutetulo 4

24 Potencial interatoacutemico en aluminio

En las simulaciones moleculares el potencial interatoacutemico determina el comportamiento

energeacutetico del sistema en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos La seleccioacuten del

potencial adecuado depende de las caracteriacutesticas de los materiales De forma general los

potenciales interatoacutemicos pueden ser clasificados de la siguiente forma

12

241 Potencial de pares

Esta es la descripcioacuten maacutes sencilla de la energiacutea potencial entre aacutetomos debido a que 119880 depende

solo de la distancia entre dos partiacuteculas La energiacutea potencial de un sistema estaacute dada por

119880 =1

2sum sum 120593(119903120572120573)

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(19)

donde 120593 es la energiacutea potencial del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 El valor de frac12 es debido a que la sumatoria de la energiacutea potencial de enlaces considera la interaccioacuten de cada aacutetomo con todos

los aacutetomos dentro de un volumen representativo limitado por un radio de corte conocido como

rcutoff En la figura 3 se explica graacuteficamente la situacioacuten mencionada

Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff

Los potenciales interatoacutemicos son funciones matemaacuteticas que describen la energiacutea potencial de un

par de aacutetomos en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos en la siguiente figura se presenta

uno de los posibles esquemas de 120593

Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120593 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales

Uno de los potenciales de pares maacutes usado es el potencial de Lennard-Jones (LJ-12)[75] A

continuacioacuten se presenta la funcioacuten matemaacutetica de este potencial

120593 = 4120598 [(120578

119903120572120573)

12

minus (120578

119903120572120573)

6

] (20)

13

donde 120598 es la profundidad del potencial y 120578 en esta ecuacioacuten hace referencia a la distancia entre

los aacutetomos donde 120593 = 0

242 Campos de fuerzas para materiales bioloacutegicos y poliacutemeros

Estos potenciales describen las interacciones entre aacutetomos basados en una combinacioacuten de

teacuterminos energeacuteticos Un ejemplo es el potencial de CHARMM el cual es usado en proteiacutenas y

biofiacutesica [70]

119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)

243 Meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para metales

Estos potenciales consideran el entorno de un aacutetomo es decir los aacutetomos cercanos al aacutetomo del

cual se desea estimar su resistencia de enlace La ecuacioacuten que gobierna estos potenciales es de la

siguiente forma

119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)

119873

120572=1

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(22)

donde Φ es la funcioacuten de embebimiento y 120588120572 es la contribucioacuten del aacutetomo 120572 a la densidad local de electrones

120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572

(23)

aquiacute 120595120573 es la contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572 Este tipo de

potencial considera que la energiacutea del enlace entre dos aacutetomos depende de la distancia entre los

dos aacutetomos y de las posiciones de los aacutetomos vecinos esta suposicioacuten corrige la falencia del

potencial de pares en los aacutetomos cercanos a la superficie de cristales debido a que estos cambian

su energiacutea a pesar de tener la misma distancia entre ellos este efecto se puede ver en la figura 5

Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre

14

25 Seleccioacuten del potencial interatoacutemico

En la presente investigacioacuten se estudia la influencia de defectos estructurales presentes en el

material de estudio (aluminio) El potencial EAM es el maacutes adecuado para simular el proceso de

propagacioacuten de fisuras en este tipo de materiales NC [4776ndash78] ademaacutes dada la naturaleza del aluminio y el fenoacutemeno de propagacioacuten de fisuras el potencial a utilizar es el EAM obtenido por

Mendelev et al [77] el cual ya ha sido utilizado para simulaciones asociadas a la propagacioacuten de

fisuras en bicristales de aluminio [2979] A continuacioacuten se presentan las ecuaciones analiacuteticas

del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al

Tabla 1 Funciones del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al [77]

Funcioacuten Valor Cutoffs

120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)

15 minus 23

+ 13695567100510(32 minus 119903)4

minus44514029786506(32 minus 119903)5 +95853674731436(32 minus 119903)6

minus83744769235189(32 minus 119903)7

+29906639687889(32 minus 119903)8

23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32

minus23612121457801(48 minus 119903)4

+25279092055084(48 minus 119903)5

minus 33656803584012(48 minus 119903)6

+ 094831589893263(48 minus 119903)7

minus020965407907747(48 minus 119903)8


+024809459274509(65 ndash 119903)4

minus054072248340384(65 minus 119903)5

+046579408228733(65 minus 119903)6

minus018481649031556(65 ndash 119903)7

+0028257788274378(65 minus 119903)⁸


120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4

+ 010046665347629(26 minus 119903)4 +010054338881951(27 minus 119903)4 +0099104582963213(28 minus 119903)4 +0090086286376778(30 minus 119903)4 +00073022698419468(34 minus 119903)4 +0014583614223199(42 minus 119903)4 minus00010327381407070(48 minus 119903)4 +00073219994475288(56 minus 119903)4 +00095726042919017(65 minus 119903)4

0 minus 25 0 minus 26 0 minus 27 0 minus 28 0 minus 30 0 minus 34 0 minus 42 0 minus 48 0 minus 560 minus 65

Φ(120588) minus 12058812057212 0 minusinfin

15

Capiacutetulo 3

Construccioacuten y ejecucioacuten de experimentos

computacionales


Los sistemas atomiacutesticos deben ser construidos de tal forma que la cantidad de partiacuteculas que

conforman el sistema sean suficientes para describir correctamente el fenoacutemeno que se estaacute

estudiando En esta investigacioacuten se construyoacute un sistema para estudiar la propagacioacuten de nano-

fisuras con un nuacutemero de partiacuteculas que ha demostrado en investigaciones anteriores ser

suficiente para describir el fenoacutemeno de estudio correctamente en monocristales y bicristales

[122829] Estos sistemas contaron con ca 194000 partiacuteculas Adicionalmente para las pruebas

iniciales del caacutelculo de esfuerzos locales usando el meacutetodo de Hardy (el cual requiere un alto costo

computacional) se construyoacute otro sistema de ca 16000 partiacuteculas con dimensiones 20119886 times 20119886 times

10119886 donde el paraacutemetro de red para el aluminio es 119886 = 405 Å estas dimensiones se tomaron

considerando que Zimmerman [80] realizoacute un estudio similar donde implementoacute la misma teoriacutea

de Hardy para un material con estructura FCC y trabajoacute un sistema con dimensiones 20119886 times 20119886 times

3119886 Despueacutes de verificado los coacutedigos para estimar los esfuerzos locales en los sistemas pequentildeos

se continuoacute con el caacutelculo de los esfuerzos locales en los monocristales y bicristales con ca

195000 partiacuteculas En este capiacutetulo inicialmente se presenta la metodologiacutea para construir los

monocristales y bicristales de aluminio seguido del protocolo de simulacioacuten para las pruebas

mecaacutenicas de deformacioacuten Despueacutes se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial

acompantildeado de un anaacutelisis de las dislocaciones presentes para el sistema con ca 194000

partiacuteculas donde se logra observar que las fronteras de grano actuacutean como una barrera a la

propagacioacuten de la fisura y que una vez que la fisura llega a la frontera de grano se inicia un

comportamiento de fractura duacutectil

32 Construccioacuten de las geometriacuteas

La representacioacuten fiacutesica de los metales en escala nanomeacutetrica se hace a partir de su estructura

cristalina para el aluminio se utiliza la estructura cristalina cubica centrada en las caras (FCC por

sus siglas en ingles) En el caso de la mecaacutenica cuaacutentica se utiliza la estructura electroacutenica en los

campos de fases se utiliza una representacioacuten de las fases y en el continuo se consideran los

materiales como soacutelidos sin imperfecciones En la figura 6 se ilustra un esquema con los tamantildeos

y tiempos que se usan en cada escala para una mejor comprensioacuten

16

Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas

La representacioacuten del aluminio utilizado en la presente investigacioacuten se llevoacute a cabo a partir de la

generacioacuten de reacuteplicas de celdas FCC en las direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] para el monocristal

y el primer cristal de los bicristales de aluminio Para esto se desarrolloacute un coacutedigo en Matlabcopy en

el cual se debe definir el nuacutemero de celdas a replicar en cada direccioacuten

33 Etapas de la simulacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial

Todas las simulaciones del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada fueron

realizadas en el presente usando una velocidad de deformacioacuten constante de 1 times 10minus4ps y un paso

de tiempo de 0001 ps bajo el siguiente protocolo

Etapa 1 Equilibrio Inicial En esta etapa se desarrolloacute un algoritmo para minimizar la energiacutea del

sistema usando el meacutetodo del gradiente conjugado con las siguientes condiciones tolerancia

miacutenima de 1 times 10minus15 y maacuteximo nuacutemero de iteraciones de 10000 En la primera parte de este

algoritmo se otorgan valores de velocidad a los aacutetomos para generar una temperatura de 300 K y

se re-escalan estas en 10000 pasos Posteriormente se utiliza el ensamble isoteacutermico-isobaacuterico

NPT para equilibrar el sistema a 300 K y una presioacuten de 101 bares en 20000 pasos de tiempo

Etapa 2 Proceso de deformacioacuten El sistema se deforma 001 de su longitud inicial a una

velocidad constante de deformacioacuten usando 10000 pasos de tiempo

Etapa 3 Proceso de equilibrio En esta etapa el sistema fue equilibrado a la temperatura y presioacuten

seleccionados mediante el ensamble NPT en 20000 pasos de tiempo Adicionalmente la longitud

del sistema se mantuvo fija en la direccioacuten de deformacioacuten del sistema

Etapa 4 Las etapas 2 y 3 se repiten hasta la fractura final de los cristales Las posiciones y

velocidades de los aacutetomos en las etapas de equilibrio y deformacioacuten fueron actualizadas en cada

17

paso de tiempo implementando un termostato de tipo Noseacute-Hoover [6869] El coacutedigo para las

simulaciones del ensayo fue desarrollado y ejecutado en LAMMPS [81]

34 Modelacioacuten preliminar para validar el caacutelculo de esfuerzos en el

monocristal

Debido al alto costo computacional requerido para calcular los esfuerzos locales de un sistema de

partiacuteculas (procedimiento detallado en el capiacutetulo 4) inicialmente se ensayaron sistemas con pocas

partiacuteculas para validar que el esfuerzo local calculado era correcto El sistema seleccionado para

realizar los ensayos de tensioacuten uniaxial fue un monocristal simple con ca 16000 partiacuteculas

considerando que Zimmerman [80] utilizoacute un sistema con menos partiacuteculas (ca 5000 partiacuteculas)

para estimar la integral 119869 usando el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales en un material FCC

Se construyeron en total siete especiacutemenes uno de ellos sin fisura inicial y los otros seis con una

fisura inicial de 1198970 = 4119886 5119886 6119886 7119886 8119886 9119886 unidades de celda Donde el paraacutemetro de red para el

aluminio es 119886 = 405 Å Con el espeacutecimen sin defectos iniciales (sin fisura inicial) se verificoacute que

el esfuerzo uacuteltimo de tensioacuten era acorde al orden de magnitud reportado por Tang y Yang [82] para

una velocidad de deformacioacuten de 1 times 10minus4ps Para el caso del monocristal sin defecto se consideraron condiciones de frontera perioacutedicas en todas las direcciones En el caso de los

especiacutemenes con fisura inicial se implementaron condiciones de superficie libre en la direccioacuten 119909

y condiciones de frontera perioacutedicas en las direcciones 119910 119911 Las dimensiones del sistema de

partiacuteculas fueron 119871119909 = 20119886 119871119910 = 10119886 y 119871119911 = 20119886 las cuales se presentan en la figura 7 junto con

el monocristal una vez pasado la etapa de equilibrio

Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y (c)

sistema atomiacutestico

35 Modelacioacuten del monocristal y bicristal

Los bicristales se diferencian de los monocristales por tener una frontera de grano entre dos

cristales con orientacioacuten diferente Es decir el bicristal estaacute conformado por dos granos o cristales

El primer cristal se construye de igual forma que un monocristal (reacuteplicas de la celda FCC en las

direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1]) y el segundo cristal se construye a partir de una matriz de rotacioacuten

para generar los vectores de posicioacuten de las partiacuteculas que conforman el segundo grano en la

orientacioacuten deseada Existen varios tipos de fronteras de grano y son clasificados de acuerdo a su

orientacioacuten los dos comuacutenmente estudiados son frontera de grano inclinada la cual se puede

18

definir como 120579 lang1 0 0rang y frontera de grano rotada que se puede definir como 120577 lang0 1 0rang En la figura 8 se presenta un esquema para comprender mejor el concepto de la orientacioacuten en el segundo grano

acorde al tipo de frontera de grano presente


Igualmente puede presentarse una frontera de grano tipo mixta la cual se presenta cuando se

variacutean los aacutengulos 120579 120577 del grano 2 respecto al grano 1 para el mismo sistema atomiacutestico El caso

de estudio en la presente investigacioacuten consiste en un bicristal con aacutengulo de inclinacioacuten 120579 = 30deg fisura inicial 1198970 y dimensiones de caja de simulacioacuten en funcioacuten del paraacutemetro de red tal como se presenta en la figura 9

(a) (b)

Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 1198970 = 15119886

Para el sistema del monocristal con ca 195000 partiacuteculas se implementaron las mismas

dimensiones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] es decir no se rotaron las posiciones de las partiacuteculas del sistema

Para visualizar las dislocaciones y el paraacutemetro de centro-simetriacutea el cual es definido en [83] se

implementoacute el anaacutelisis de dislocaciones DXA [84] en OVITO [85] El paraacutemetro de centro-

simetriacutea es importante debido a que puede ser usado para evidenciar cuando un aacutetomo hace parte

de una red perfecta de un defecto local o de una superficie En la figura 10 se presenta un bicristal

sin imperfecciones y con la GB definida despueacutes de la etapa de equilibrio

19

Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano

Las simulaciones del ensayo de tensioacuten con deformacioacuten controlada ejecutadas en LAMMPS se

corrieron en estaciones de trabajo de 40 procesadores 80 procesadores y en una suacuteper computadora

con disponibilidad de 600 procesadores Para el caacutelculo del volumen de cada aacutetomo se

implementaron las teselaciones de Voronoi propuestas originalmente por Georgy Voronoi [86] e

implementadas en el algoritmo voro++ [87]

36 Resultados de la modelacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial en monocristal

y bicristal de aluminio

Las curvas de esfuerzo-deformacioacuten para los diferentes ensayos de tensioacuten se construyeron con

los resultados de las simulaciones de DM y en los picos de la curva se realizoacute un anaacutelisis de

dislocaciones usando DXA en OVITO Junto con la curva de los bicristales se presenta la curva

del monocristal con el mismo tamantildeo de fisura inicial 1198970 A continuacioacuten se presentan los casos

para los monocristales y los bicristales La liacutenea roja es el comportamiento del monocristal (SC) y

la liacutenea azul el del bicristal (BC)

Fig 11 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 5119886 parte superior comportamiento del monocristal

y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en

OVITO

20

Para el caso del monocristal se observa un comportamiento de fractura fraacutegil debido a la

propagacioacuten inestable de la fisura Sin embargo en el caso del bicristal se puede observar que 120590119911119911 cae varias veces En cada paso de deformacioacuten se le realizoacute un DXA para observar que ocurriacutea en

la caiacuteda del esfuerzo la primera caiacuteda ocurre en 120576119911119911 = 0065 al realizar el DXA se observa la aparicioacuten de dislocaciones (que coinciden con la orientacioacuten de los planos de deslizamiento y

pueden asociarse con la deformacioacuten plaacutestica) en el segundo cristal Para 120576119911119911 = 0083 se observa

la interaccioacuten entre dislocaciones generadas desde la punta de la fisura y la la frontera de grano

En 120576119911119911 = 0108 se observa la coalescencia de varias vacancias pequentildeas en los dos cristales

(proceso tiacutepico de la fractura duacutectil) y finalmente en 120576119911119911 = 02 se observa que la coalescencia de vacancias ha formado defectos de mayor tamantildeo en los dos granos del bicristal (confirmando el

comportamiento duacutectil del material para este tamantildeo de 1198970)



OVITO

Para el tamantildeo de fisura inicial 1198970 = 10119886 se observa fractura fraacutegil en el monocristal al igual que a lo largo del grano 1 del bicristal Se considera comportamiento fraacutegil en el primer rasgamiento

(propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1 y posterior detencioacuten de la propagacioacuten inestable

al alcanzar la frontera de grano) debido a la ausencia de dislocaciones en los dos cristales antes y

justo despueacutes de detenerse la propagacioacuten de la fisura al alcanzar la frontera de grano tal como se

observa para 120576119911119911 = 0066 Para producir la fractura del grano 2 se debioacute continuar la modelacioacuten con el respectivo aumento progresivo de la deformacioacuten en la direccioacuten z para los siguientes

valores de deformacioacuten se observa el tiacutepico comportamiento de fractura duacutectil es decir nucleacioacuten

de vacancias coalescencia y crecimiento de vacancias Para 1198970 = 15119886 20119886 el comportamiento es

similar al observado para 1198970 = 10119886 tal como se observa en las figuras 13 y 14

21

Fig 13 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 15119886 Parte superior comportamiento del monocristal y

la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO


monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO

22

37 Discusioacuten

Las curvas esfuerzo-deformacioacuten muestran claramente como las caiacutedas en los esfuerzos se deben

a la liberacioacuten de energiacutea para crear una nueva superficie (monocristal o primer rasgamiento) o

energiacutea de deformacioacuten plaacutestica (en el bicristal) debido al movimiento de los planos de

deslizamientos estos defectos se representan como dislocaciones mediante el anaacutelisis DXA Para

el caso de los monocristales fisurados las fisuras se propagan de forma inestable sin que exista

oportunidad de que se observen dislocaciones es decir sin presentacioacuten de deformacioacuten plaacutestica

Para el caso de 1198970 = 5119886 se observa que antes de la propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1

aparecen dislocaciones generadas desde la punta de la fisura hacia la frontera de grano y en

viceversa es decir desde la frontera de grano hacia la punta de la fisura Adicionalmente se

encuentra que el esfuerzo global maacuteximo disminuye a medida que 1198970 es mayor A su vez se observa

que a mayor 1198970 aparecen menos dislocaciones en el grano 2 a medida que se deforma el material

Los ensayos en este capiacutetulo se llevaron hasta 120576119911119911 = 20 con la finalidad de observar el

comportamiento mecaacutenico antes y despueacutes del primer rasgamiento En el capiacutetulo 5 se presentan

las simulaciones completas hasta la fractura final del bicristal

38 Conclusiones

De los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada implementando

simulaciones DM se encontraron los siguientes hallazgos

Las fronteras de grano son zonas de nucleacioacuten de defectos Estos defectos interactuacutean con las dislocaciones provenientes de la punta de la fisura produciendo una barrera estructural

para la propagacioacuten de la misma Es posible que la fisura se detiene en la frontera de grano

debido al cambio en la orientacioacuten de los planos de deslizamiento en el segundo cristal

Independiente del tamantildeo inicial de la fisura si no hay frontera de grano la propagacioacuten es inestable Se evidencia que la ductilidad experimentada por el material fisurado proviene

de la interaccioacuten de las dislocaciones generadas desde los diferentes defectos en la

estructura (fronteras de grano y punta de la fisura)

En ausencia de una frontera de grano la disminucioacuten del esfuerzo promedio maacuteximo se debe a la disminucioacuten del aacuterea efectiva de la probeta

23

Capiacutetulo 4

Tensor de esfuerzos local


En las uacuteltimas deacutecadas las simulaciones atomiacutesticas han ayudado a entender el comportamiento

de materiales nano-cristalinos [17222347707888ndash90] Varias investigaciones han logrado

calcular medidas del continuo con los resultados de simulaciones de DM Tal es el caso de

Zimmerman et al [91] que implementaron el meacutetodo propuesto por Hardy [57] el cual propone

cuantificar medidas de la mecaacutenica del medio continuo (tensor de esfuerzos de Cauchy) a partir de

los resultados de DM usando funciones de localizacioacuten La propuesta de Hardy acaboacute con los

siguientes tres inconvenientes que existiacutean hasta ese momento (I) La validez de las leyes de

conservacioacuten para el continuo dependiacutean de un ensamble en particular (II) la formula obtenida

para la parte configuracional del tensor de esfuerzo contiene una suma infinita que debe truncarse

(III) la dificultad en la evaluacioacuten de expresiones que contuvieran la funcioacuten delta de Dirac Batra

y Pacheco tambieacuten plantearon una funcioacuten de localizacioacuten para determinar el tensor de esfuerzos

de Cauchy para un nano-cristal de Au con FCC [17] sin embargo la fuerza interatoacutemica se estima

a partir del gradiente del potencial interatoacutemico el cual cambia de acuerdo al tipo de material y

fenoacutemeno de estudio Para el caso del EAM se deben hacer caacutelculos con los vecinos para estimar

las fuerzas interatoacutemicas y las componentes del tensor [57] lo que hace que sea alto el costo

computacional sin embargo estas medidas del continuo son relevantes en esta escala dado que

con este tensor de esfuerzos locales se pueden verificar teoriacuteas de escala convencional tal como

lo hizo Zimmerman et al para estimar la integral 119869 en un monocristal de Al [80] En el presente

capiacutetulo se estima el campo de esfuerzo para un monocristal de Al usando el meacutetodo de Hardy

para el potencial EAM de Mendelev [77] Inicialmente se trabaja con un sistema de ca 16000

aacutetomos para poder validar los coacutedigos implementados dado el alto costo computacional y una vez

verificado los caacutelculos del tensor de Cauchy local se procede a implementar los coacutedigos en los

sistemas de ca 195000 aacutetomos La diferencia entre el esfuerzo global y el esfuerzo promedio de

los esfuerzos locales del sistema fue menor al 2 para los sistemas con ca 195000 aacutetomos

42 Campo de esfuerzos local para nanocristales de aluminio

Usualmente el tensor de esfuerzos de Cauchy ha sido considerado como la parte del tensor de

esfuerzos de Virial que corresponde solamente a la energiacutea potencial del sistema Zimmerman et

al [92] demostraron que al usar el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales la

contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica solo es significativa para sistemas sujetos a una temperatura

mayor a un-octavo de la temperatura de fusioacuten por lo cual queda la siguiente expresioacuten para el

tensor de Cauchy

120590(119903) = minus1

2119881sum 119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895

(24)

24

El meacutetodo propuesto por Hardy estima las contribuciones de las fuerzas entre aacutetomos al tensor

local de Cauchy mediante una funcioacuten de longitud de enlace entre los aacutetomos La funcioacuten de enlace

119861 permite definir coeficientes apropiados para la evaluacioacuten de un polinomio cuacutebico que hace maacutes eficiente el caacutelculo de la fuerza o la energiacutea del sistema atomiacutestico Al agregar la funcioacuten de enlace

para hacer el caacutelculo de tensor de esfuerzos locales de Cauchy 120590119894119895prime queda la ecuacioacuten propuesta por

Hardy [57]

120590119894119895prime = minus

1

2sum119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)

119877 denota el punto material donde se determinaraacute el esfuerzo y 119861 tiene la forma propuesta por

Hardy [57]

119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573

1

0

+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)

Esta ecuacioacuten representa la fraccioacuten del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 contenida en un volumen

representativo de un punto material (ver figura 15) 120569 denota la funcioacuten de localizacioacuten o kernel

que se define en la ecuacioacuten 27 y 120582 es la variable de integracioacuten de Hardy Las cantidades de la

mecaacutenica del medio continuo que se calculan para el punto material 119877 dependen solamente de las propiedades de los aacutetomos dentro del volumen representativo El volumen estaacute definido por un

radio de dos veces el paraacutemetro de red 119886 = 405 Å en el caso del aluminio Para entender el

volumen representativo se presenta la siguiente figura en la cual se presentan los aacutetomos a tener

en cuenta por su contribucioacuten 119877 es la posicioacuten del aacutetomo al que se va a calcular la propiedad los

aacutetomos 120572 son los aacutetomos de la lista de vecinos del aacutetomo con posiciones 119877 y los aacutetomos 120573 son los

que conforman la lista de vecinos de los aacutetomos 120572

Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales

Hardy propone un procedimiento de suavizado el cual considera que las partiacuteculas de un sistema

poseen una distancia espacial denominada longitud de suavizado en la cual se puede implementar

una funcioacuten kernel para suavizar las propiedades de las partiacuteculas Por lo tanto para cualquier

punto material 119877 del sistema se puede obtener una propiedad al sumar todas las contribuciones

relevantes de las partiacuteculas 120572 120573 presentes en el rango de la funcioacuten kernel Para cada contribucioacuten

25

de las partiacuteculas 120572 120573 sobre el punto material 119877 debe ponderarse la distancia entre 119877 y la partiacutecula

120572 o 120573 (esto lo realiza la funcioacuten kernel) En la presente investigacioacuten debido a que el material

tiene estructura cristalina FCC se implementoacute la funcioacuten kernel propuesta por Batra y Pacheco

[17]

120569(119877) =1

120587ℎ3

(1 minus

3

21199042 +

3

41199043) 119904 le 1

1

4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2

0 otros valores de 119904

119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|

ℎ

(27)

aquiacute ℎ es la longitud de suavizado que determina el tamantildeo del soporte compacto de la funcioacuten de

localizacioacuten La longitud de suavizado de la funcioacuten de localizacioacuten es 2119886 Para evaluar la integral de la funcioacuten de enlace se utilizoacute la cuadratura de Gauss de 5-puntos [17] Tal como se mencionoacute

anteriormente para calcular el tensor de esfuerzos locales se necesita el gradiente del potencial

interatoacutemico Para el caso del potencial EAM el gradiente es de la siguiente forma

119865120572120573119894 = minusnablari 119880 = minusnablari 119880120572

= minussum [120597Φ120572(120588120572)

120597120588120572

120597120595120573(119903120572120573)

120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)

120597120588120573

120597120595120572(119903120572120573)

120597119903120572120573120573ne120572

+120597120593120572120573(119903120572120573)

120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573

119894

119903120572120573)

(28)

Las funciones analiacuteticas de 120593120595 Φ se tomaron del trabajo de Mendelev et al [77] A partir de las ecuaciones analiacuteticas del potencial de Mendelev se calculoacute el gradiente del potencial entre

partiacuteculas Debido al costo computacional se desarrolloacute un coacutedigo paralelizado en Fortran 90

usando OpenMP

43 Verificacioacuten de los esfuerzos locales en monocristal

Para verificar los resultados del campo de esfuerzos locales estimado usando las proyecciones de

Hardy se calculoacute el promedio de los esfuerzos calculados de todas las partiacuteculas del sistema a una

deformacioacuten 120576119911119911 = 85 y se comparoacute con el esfuerzo global obtenido de las simulaciones de DM

(esfuerzo de Virial) La figura 16 presenta los esfuerzos promedios desviacioacuten estaacutendar y esfuerzo

maacuteximo calculado con las funciones de enlace para diferentes tamantildeos iniciales de fisura

26

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886 1198970 = 7119886

1198970 = 8119886 1198970 = 9119886

Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal

La tabla 1 presenta los valores estimados con los resultados de DM (120590119911119911 DM) y los promedios de los calculados con el meacutetodo de Hardy (120590 prime119911119911) junto con la diferencia entre estos valores a una

deformacioacuten unitaria de 85

27

Tabla 2 Comparacioacuten entre 120590 prime119911119911 y 120590119911119911 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos

1198970

120590119911119911 DM

120590 prime119911119911 Meacutetodo de

Hardy

Diferencia

porcentual ()

4119886 293 282 375

5119886 279 266 466

6119886 27 258 444

7119886 245 218 1102

8119886 186 168 967

9119886 169 152 1005

Al revisar la diferencia porcentual se observa que todos los valores estaacuten por debajo 111 lo cual

es aceptable considerando el nuacutemero de caacutelculos que se deben hacer para poder estimar los

esfuerzos locales de un sistema a pesar de que se trabajoacute con doble precisioacuten Una vez verificado

que el procedimiento es aceptable se investigoacute la influencia del tamantildeo de la fisura en el esfuerzo

ultimo del monocristal La tabla 2 presenta la reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo tomando

como referencia el 119878119880 = 618 GPa de un monocristal de aluminio sin defecto

Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos

1198970

Esfuerzo

global maacuteximo

DM

reduccioacuten

4119886 314 4919

5119886 297 5194

6119886 289 5324

7119886 251 5939

8119886 236 6181

9119886 217 6489

Como se puede observar en la tabla 3 la inclusioacuten de una fisura en el monocristal sin defecto

reduce de golpe el esfuerzo uacuteltimo a menos del 49 de su resistencia sin defectos Con la finalidad

de observar las variaciones en el campo de esfuerzos locales 120590119911119911prime para los monocristales con

diferentes tamantildeos de fisura inicial se graficaron los esfuerzos para cada aacutetomo usando OVITO a

una 120576119911119911 = 85 En la figura 17 se puede observar la distribucioacuten de los esfuerzos locales para los

diferentes tamantildeos de fisura usando las funciones de Hardy

28

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886

1198970 = 7119886

1198970 = 8119886

1198970 = 9119886

Fig 17 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en monocristales con diferentes 1198970

Con la aproximacioacuten estimada de los esfuerzos locales se puede apreciar como la regioacuten con

valores de esfuerzos iguales a cero se encuentra en la misma regioacuten planteada por Griffith al usar

el anaacutelisis de esfuerzo de Inglis [93] en su balance de energiacutea para estimar el esfuerzo de falla

44 Resultados de esfuerzos locales en monocristal y bicristal

Para el sistema de ca 195000 aacutetomos se observoacute una diferencia porcentual entre el esfuerzo Virial

y el promedio de los locales menor al 2 Esto significa que mientras maacutes aacutetomos contenga el

sistema mejor seraacute la aproximacioacuten sin embargo la mayor limitante es el costo computacional

A continuacioacuten se presentan los campos de esfuerzos locales 120590119911119911prime para el monocristal y bicristal

con 1198970 = 10119886

29

Fig 18 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de

aluminio

45 Discusioacuten

El campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura para 1198970 lt 7119886 presentoacute esfuerzos maacuteximos mayores en aproximadamente 10 lo cual denota que hay mayor energiacutea en la punta de la fisura

para los tamantildeos de fisuras maacutes pequentildeos (1198970 lt 7119886) esto se podriacutea relacionar con lo observado en

el capiacutetulo 3 en el cual para un tamantildeo de fisura pequentildeo (1198970 = 5119886) se generan dislocaciones

desde la punta de la fisura (ver figura 11) y las dislocaciones son generadas desde los puntos con

mayor energiacutea en el sistema

46 Conclusiones

A partir de los campos de esfuerzos calculados para el monocristal se encontraron los siguientes

hallazgos

Para 1198970 = 4119886 el esfuerzo maacuteximo en la punta de la fisura aumenta en casi un 17 del

calculado para 1198970 = 9119886

La energiacutea de deformacioacuten liberada estaacute relacionada con el tamantildeo de la fisura inicial y el volumen del material tal como se puede observar en la figura 17 Donde se considera que

el volumen con energiacutea de deformacioacuten liberada es donde los esfuerzos son cero

El promedio de los esfuerzos locales calculados usando el meacutetodo de Hardy es acorde al esfuerzo global del sistema La diferencia fue menor al 2 para sistemas con ca 195000

partiacuteculas y menor a 12 para sistemas con ca 16000 partiacuteculas

La inclusioacuten de una fisura inicial reduce el esfuerzo maacuteximo a tensioacuten del espeacutecimen en

menos de un 49 como puede observarse en la tabla 3

30

Capiacutetulo 5

Mecaacutenica de la fractura


La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento mecaacutenico de los materiales con fisuras o

defectos internos y establece la tenacidad a la fractura como la propiedad con la cual se puede

cuantificar la resistencia que tiene un material a fallar por propagacioacuten inestable de fisuras [5153]

La dinaacutemica de defectos estructurales tales como dislocaciones y fronteras de grano en materiales

NC determina sus propiedades mecaacutenicas [1-3] En general estos defectos actuacutean como barreras

oponieacutendose a la propagacioacuten de fisuras tal como se observoacute en el capiacutetulo 3 Actualmente se han

realizado muacuteltiples investigaciones usando la teacutecnica de DM para estimar paraacutemetros de mecaacutenica

de la fractura para diferentes tipos de nano-materiales [48498994ndash100] La mecaacutenica de la

fractura lineal elaacutestica es una de las teoriacuteas maacutes implementadas para estimar la falla fraacutegil de los

componentes debido a la facilidad y precisioacuten de sus caacutelculos sin embargo cuando el

comportamiento del material es muy duacutectil esta teoriacutea pierde validez por lo que es necesario el

uso de la mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica Dos de los meacutetodos maacutes usados dentro de la

mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica son el Desplazamiento de la apertura de la punta de la

fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) y la integral 119869 La aplicabilidad de estos dos meacutetodos a

nivel atomiacutestico han sido estudiada en las uacuteltimas deacutecadas basados en simulaciones de DM En el

presente trabajo con los resultados de las simulaciones de ensayos mecaacutenicos usando el potencial

EAM de Mendelev [77] (capitulo 3) y los tensores de esfuerzo de Cauchy locales para los

monocristales y bicristales de aluminio (capitulo 4) se calcularon los paraacutemetros de la mecaacutenica

de la fractura En este capiacutetulo se presenta el procedimiento para calcular el intensificador de

esfuerzos 119870119868 la velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten ERR el desplazamiento de la

apertura de la punta de la fisura CTOD y la integral 119869 a partir de los resultados de las simulaciones de las pruebas mecaacutenicas usando DM Adicionalmente se verificaron las consideraciones de Rice

para estimar la integral 119869 usando los esfuerzos locales obtenidos en el capiacutetulo 4 y los gradientes

de deformacioacuten calculados con OVITO

52 Mecaacutenica de la fractura

La propiedad mecaacutenica maacutes importante en elementos fisurados es la tenacidad a la fractura Esta

propiedad mecaacutenica puede ser estimada en materiales predominantemente lineales elaacutesticos a

partir del intensificador de esfuerzos 119870119862 o en materiales elasto-plasticos por medio de la integral

119869119862 o del Desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura CTODc Griffith planteoacute el primer

criterio de ruptura en un material predominantemente lineal elaacutestico si 119870119868 gt 119870119862 la fisura se

propaga Griffith llegoacute a esta conclusioacuten a traveacutes de un balance energeacutetico y aplicando parte del

trabajo de Inglis [93] Mientras que Rice planteoacute la estrategia para obtener otro paraacutemetro para la

tenacidad para materiales no lineales 119869119862 [56] A su vez Wells tambieacuten propuso un paraacutemetro basado en la CTOD [54] para medir la tenacidad en materiales duacutectiles donde no es posible aplicar

31

la LEFM Adicionalmente Irwing propuso una modificacioacuten para poder realizar el caacutelculo de las

zonas plaacutesticas [5355] Estas teoriacuteas han funcionado bien para estimar propiedades macroscoacutepicas

en materiales con tamantildeo de grano convencional En el caso de los nanomateriales se ha

evidenciado que existen nuevos efectos que deben ser considerados como es el caso de las

fronteras de grano cuya fraccioacuten volumeacutetrica genera una energiacutea considerable que afecta el valor

de las propiedades estimadas En el presente capitulo se estiman el intensificador de esfuerzos 119870119868 la integral 119869 y la CTOD a partir de simulaciones en modo de carga I (ver figura 19)

Adicionalmente se establece una metodologiacutea para obtener la tenacidad 119870119862 y 119869119862

Fig 19 Modo de carga I

53 Estimacioacuten de 119922119920

119870119868 es conocido como uno de los paraacutemetros de la LEFM que permite estimar el campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura en materiales predominantemente elaacutesticos En la presente

investigacioacuten con el fin de tener en cuenta un comportamiento elasto-plaacutestico el 119870119868 se estimoacute a

partir de el esfuerzo global maacuteximo 120590119900 la CTOD (paraacutemetro elasto-plaacutestico) el coeficiente de

Poisson 120584 y el moacutedulo de elasticidad 119864 bajo consideraciones de deformacioacuten plana tal como aparece en [53]

119870119868 = radic120587

4∙ 119862119879119874119863 ∙

119864

1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)

Las propiedades 119864 y 120584 se obtienen de los resultados de una simulacioacuten de un ensayo de tensioacuten uniaxial para un monocristal de aluminio sin defecto (ver figura 20) implementando el mismo

procedimiento de desplazamiento controlado con escalones de equilibrio tal como se presentoacute en

el capiacutetulo 3 en la seccioacuten 33 La curva esfuerzo-deformacioacuten construida a partir del esfuerzo de

Virial se presenta en la figura 20

32

Fig 20 120590 vs 120576119911119911 para un monocristal sin defectos

Las constantes que se obtuvieron fueron 120584 = 036 y 119864 = 6058 GPa Este valor de moacutedulo de

elasticidad se encontroacute acorde a los resultados experimentales reportados por Haque y Saif [101]

Con estos resultados primero se estimoacute el 119870119868 necesario para propagar la fisura a traveacutes del primer

cristal (a este punto se le llama primer rasgamiento) y luego el 119870119868 necesario para propagar la fisura

despueacutes del primer rasgamiento a traveacutes del segundo grano produciendo la rotura final del

material Adicionalmente se estimaron los valores para el monocristal de aluminio con la

finalidad de comparar resultados obtenidos en la literatura El 120590119900 se tomoacute de las curvas esfuerzo-

deformacioacuten del ensayo de tensioacuten presentadas en la figura 21 el CTOD se estimoacute de la abertura

de la fisura justo antes de que se propagaraacute este procedimiento se explica con mayor detalle en la

seccioacuten 543 En la tabla 4 se presentan los valores estimados para el intensificador de esfuerzos

para diferentes tamantildeos de fisura inicial

Tabla 4 119870119868 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal

1198970

119870119868 (MParadicm)

Falla monocristal

119870119868 (MParadicm)

Primer rasgamiento

119870119868 (MParadicm)

Falla bicristal

5119886 047 044

098

10119886 044 043

0933

15119886 042 041

0931

20119886 040 042

0869

33

Fig 21 120590 vs 120576119911119911 para monocristal y bicristal

54 Estimaciones de 119921

541 Velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten

La estimacioacuten de la velocidad de liberacioacuten de energiacutea estaacute definida como la energiacutea invertida en

la generacioacuten de una nueva fisura y su estimacioacuten se hace conforme a la formula [5389]

119869-ERR= minus119889Π

119889119905Δ119897= minus

Δ(119880minus119882)

119889119905Δ119897= minus

(119880119891minusU0)minus(119882119891minusW0)

119905Δ119897 (30)

donde Π es la energiacutea potencial 119880 es la energiacutea de deformacioacuten almacenada en el soacutelido 119882 es el

trabajo externo aplicado y (119905Δ119897) representa el aacuterea de la fisura 119905 es el espesor del sistema Δ119897 es la

longitud de la nueva fisura creada Para estimar 119869 maacutexima en el primer rasgamiento 119882119891 119880119891 Δ119897 y

119905 fueron obtenidas justo despueacutes que 1198970 comenzoacute a propagarse y para el valor de 119869 maacutexima

alcanzada durante toda la simulacioacuten 119882119891 119880119891 Δ119897 y 119905 fueron estimadas en la fractura final tal como

se presenta en la figura 21 para el caso especiacutefico del bicristal con 1198970 = 20119886

Fig 22 119882 y 119880 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 1198970 = 20119886

La fractura final se considera cuando 119880 o 120590119911119911 desciende hasta un valor constante cercano a cero

(ver figuras 21 y 22) Es importante tener en cuenta que Buehler et al [89] usoacute esta misma

metodologiacutea pero despreciando la diferencia en la energiacutea de deformacioacuten La energiacutea de

deformacioacuten en la presente investigacioacuten se calculoacute como la diferencia entre la energiacutea potencial

34

antes y despueacutes del proceso de deformacioacuten del sistema El trabajo externo requerido para alcanzar

una deformacioacuten unitaria especifica 120576119911119911prime se calcula como se propone en [51] para un ensayo de

tensioacuten uniaxial En este sentido 119882 se calculoacute numeacutericamente como la integral de la curva

esfuerzo global del sistema vs deformacioacuten y se multiplicoacute posteriormente por el volumen del

sistema

119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911

120576119911119911prime

0

(31)

542 Integral 119921 de contorno

Rice propuso la siguiente expresioacuten [5356] para calcular 119869 alrededor de un camino cualquiera que

envuelve la punta de la fisura (Γ)

119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909

119889119904)Γ

(32)

donde Γ es seleccionado y dividido en cinco segmentos (Γ119901 donde 119901 = 12 hellip 5) tal como se

muestra en la figura 23

Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119869 de contorno

119906119894 en la ecuacioacuten 32 denota las componentes del vector de desplazamientos d119904 es el incremento

de longitud a lo largo de Γ 119908 es la densidad de energiacutea de deformacioacuten y 119879119894 hace referencia a las

componentes del vector de traccioacuten [53] el cual estaacute definido para cada camino como

119879119894

Γ119901= 120590

119894119895

Γ119901119899119895 (33)

donde 120590119894119895

Γ119901 es el tensor de esfuerzos a lo largo de Γ119901 119894 119895 son las 119909 119910 119911 componentes y 119899119895 con las

componentes del vector unitario normal al camino Γ119901 Finalmente la densidad de energiacutea de

deformacioacuten estaacute dada por [53]

119908Γ119901 = int 120590119894119895

Γ119901

120576119894119895

0

119889120576119894119895 (34)

donde 120576119894119895 es el tensor de deformaciones a lo largo del camino Γ119901 En este punto se necesita conocer

120590119894119895

Γ119901 para poder determinar 119908Γ119901 Implementando el meacutetodo de Hardy para calcular el tensor de

esfuerzos local 120590119894119895prime (explicado en el capiacutetulo anterior) se calcularon el tensor de esfuerzos 120590

119894119895

Γ119901

35

como el promedio de los 120590119894119895prime a lo largo de cada Γ119901 Los resultados de estos caacutelculos permitieron

confirmar las consideraciones de Rice propuestas en [56] y las cuales se enumeran a continuacioacuten

1 En las porciones del camino a lo largo de las superficies de la fisura 119879119894 = 0 y d119911 = 0

por lo tanto acorde a la figura 119869 = 1198691 + 1198692 + 1198693 + 1198694 + 1198695

2 En los caminos uno (Γ1) y cinco (Γ5) se calculoacute 120590119894119895Γ15 y se verifico que 120590119894119895

Γ15 = 0 por

lo cual 119908 = 0 y 119879119894 = 0 entonces queda 1198691 = 1198695 = 0

3 En los caminos dos (Γ2) y cuatro (Γ4) claramente d119911 = 0 En adicioacuten 119879119894Γ24 =

(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)

Γ24 = (120597119906119909120597119909 0 0)Γ24 donde las componentes del gradiente de

deformacioacuten (119863119894119895) fueron estimadas mediante OVITO luego 119879119894 ∙ 120597119906119894120597119909 = 0 y 1198692 =

1198694 = 0

4 Debido a las condiciones de superficie libre a lo largo del camino tres 119879119894Γ3 = 0

En la ecuacioacuten 34 solo la componente 120590119911119911Γ3 es considerada puesto que las magnitudes de las

componentes restantes en el tensor 120590119894119895Γ3 son despreciables Por lo tanto la integral de contorno para

el camino seleccionado queda dada por 119869 = 1198693

119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585

0

= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 Γ3

(35)

donde 120585 es la altura del sistema (ver figura 23) Con la finalidad de verificar que 120590119911119911Γ3 es constante

y tiende a tener la misma magnitud que el esfuerzo global del sistema 120590119911119911 a una 120576119911119911 especiacutefica se

realizoacute el caacutelculo de 120590119911119911Γ3 y se comproboacute la afirmacioacuten anterior tal como se presenta en la siguiente

figura para el caso del monocristal y el bicristal con 1198970 = 10119886

Fig 24 1205901199111199111205483 para (a) monocristal a 120576119911119911 = 69 (b) bicristal a 120576119911119911 = 66

36

La diferencia entre 120590119911119911Γ3 y 120590119911119911 fue menor a 5 Por lo tanto 119908Γ3 para el primer rasgamiento y para

la fractura final se calculoacute a partir de la integral numeacuterica de la curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 del ensayo de tensioacuten uniaxial Es decir

119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110

119889120576119911119911 (36)

543 Desplazamiento de la abertura de la punta de la fisura CTOD

Este meacutetodo tambieacuten considera que ERR es equivalente a 119869 [53] y usando las ecuaciones propuestas por Irwing que relaciona el CTOD con la ERR [53102] se puede obtener que

119869-CTOD=4

120587∙CTOD∙120590119900 (37)

donde 120590119900 es el esfuerzo global maacuteximo en la direccioacuten 119911 durante toda la simulacioacuten y CTOD es estimado como la distancia entre dos aacutetomos seleccionados tal como se presenta en la figura 25

para el caso del monocristal y despueacutes del primer rasgamiento en el bicristal

Fig 25 CTOD (a) monocristal con 1198970 = 10119886 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 1198970 = 10119886

Skogsrud y Thaulow [103] tambieacuten usaron una metodologiacutea similar para estimar el CTOD en

simulaciones moleculares Los valores obtenidos para el CTOD de los resultados de las

simulaciones del ensayo de tensioacuten se presentan en la figura 26 para los monocristales (SC) y

bicristales (BC) con diferentes tamantildeos de fisura inicial

(a)

(b)

Fig 26 CTOD vs 120576119911119911 para (a) monocristales y (b) bicristales

37

55 Propagacioacuten de las nano-fisuras

Para bicristales la nano-fisura comienza a propagar en valores de 120576119911119911 similares a los del cristal

simple para 1198970 gt 5119886 Luego la nano-fisura en los bicristales se detiene en la frontera de grano

(esto es lo que consideramos la etapa del primer rasgamiento y que solo se da en los bicristales)

Despueacutes que la nano-fisura llega a la frontera de grano comienza un proceso de falla muy similar

al de los materiales duacutectiles viz nucleacioacuten de vacancias seguido por su crecimiento y

coalescencia En el caso de los monocristales La propagacioacuten de las nano-fisuras a traveacutes de todo

el cristal fue inestable similar a la fractura en materiales fraacutegiles La figura 27 muestra la

propagacioacuten de la nano-fisura para 1198970 = 15119886 usando el paraacutemetro de centro-simetriacutea

- (a) (b) (c)

Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120576119911119911 = 68 (b) primer rasgamiento a 120576119911119911 = 65

y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120576119911119911 = 30

56 Rasgamiento y fractura

Los valores maacuteximos de 119869 alcanzados antes del primer rasgamiento (fenoacutemeno observado

solamente en los bicristales) fueron comparados con los valores maacuteximos de 119869 durante toda la

simulacioacuten para el caso de los monocristales tal como se muestra en la figura 28

Fig 28 Valores maacuteximos de 119869 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales

Valores similares se obtuvieron usando los tres meacutetodos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 ademaacutes es importante mencionar que no se observaron dislocaciones generadas al interior de los cristales

38

antes y en un paso de tiempo despueacutes del primer rasgamiento (para 1198970 gt 5119886) tal como se muestra

en la figura 29 para el caso de 1198970 = 10119886

Fig 29 DXA en bicristales con 1198970 = 10119886 (a) antes del primer rasgamiento (120576119911119911 = 66) y (b) despueacutes

del primer rasgamiento (120576119911119911 = 67)

Por un lado para 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 los valores maacuteximos de 119869 antes del primer rasgamiento estimados mediante ERR no fueron acordes con los resultados del monocristal para los mismos

tamantildeos de nano-fisura inicial Por otro lado para 1198970 = 5119886 se obtuvo la misma inconsistencia al implemen1tar el meacutetodo de la integral de contorno Sin embargo solo los resultados del meacutetodo

CTOD fueron consistentes dando valores similares de 119869 para el primer rasgamiento en los

bicristales y el maacuteximo 119869 en los monocristales con las mismas 1198970 Las dislocaciones comenzaron a

aparecer en los bicristales con 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 cuando 120576119911119911 = 81 y 120576119911119911 = 55

respectivamente y despueacutes del primer rasgamiento cuando 120576119911119911 = 201 y 120576119911119911 = 71 La figura

30 muestra los valores maacuteximos de 119869 calculados para monocristal y el bicristal durante todo el

proceso de deformacioacuten hasta la fractura final con diferentes 1198970

Fig 30 Maacuteximos 119869 para monocristales (SC) y bicristales (BC)

Los valores usados para estimar 119869-CI 119869-ERR y 119869-CTOD son presentados en la tabla 5

39

Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119869

119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)

Fractura

final en

monocristal

5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9

10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9

15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9

20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9

Primer

rasgamiento

en bicristal

5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9

10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9

15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9

20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9

Fractura

final en

bicristal

5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9

10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9

15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9

20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9

Al reemplazar estos valores en las respectivas ecuaciones se encontraron los valores de 119869 presentados en la tabla 6

Tabla 6 Valores maacuteximos de 119869

119949120782 Fractura final en monocristal Primer rasgamiento en bicristal Fractura final en bicristal

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400

10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252

15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246

20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085

57 Discusioacuten

Los valores estimados del 119870119868 son similares para el monocristal y el primer rasgamiento en el

bicristal lo mismo pasa para 119869-CTOD para 119869-CI fueron los mismos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 sin

embargo 119869-ERR para 1198970 = 5119886 tiene un valor que se aleja significativamente del primer

rasgamiento esto se considera debido al comportamiento duacutectil en el bicristal para 1198970 = 5119886 esta

fisura es muy pequentildea para generar un rasgamiento fraacutegil como ocurrioacute con el resto de los 1198970 y

esto es debido a que el meacutetodo ERR no es recomendable para la descripcioacuten de la fractura duacutectil

58 Conclusiones

Durante el proceso de estimacioacuten de los indicadores de la tenacidad a la fractura 119870119868 119869-ERR 119869-CI

y 119869-CTOD a partir de los resultados de las simulaciones DM se encontraron los siguientes

hallazgos

Los esfuerzos locales promediados a lo largo de los caminos para evaluar la 119869-CI coinciden

con las suposiciones de Rice

40

Los valores de 119869 y del 119870119868 para el monocristal coinciden con el orden de magnitud de los

valores reportados en la literatura para tamantildeos de fisura similares

Por valores de 1198970 = 5119886 se observoacute un comportamiento duacutectil en el primer cristal y para

valores mayores de 1198970 el comportamiento en el cristal fue fraacutegil

En un bicristal existe un tamantildeo criacutetico de 1198970 por encima del cual se obtendraacute fractura fraacutegil y por debajo una fractura duacutectil en el cristal con fisurado

41

Capiacutetulo 6

Metodologiacutea para estimar la tenacidad a la

fractura en cristales y bicristales de

aluminio


La tenacidad a la fractura en escala nanometrica se ha estimado como el valor criacutetico de los

paraacutemetros 119870119868 119869 ERR CTOD (valor maacuteximo alcanzado justo antes de la fractura) sin embargo los valores criacuteticos han sido estimados para un solo tamantildeo de fisura Tal es el caso de Jin y Yuan

[100] que estimaron un 119869119862 con el meacutetodo de la integral de contorno y ERR para grafeno usando resultados de simulaciones DM El valor criacutetico de la ERRC ha sido usado como la tenacidad en

esta escala debido a su formulacioacuten energeacutetica [50104ndash107] en materiales sin frontera de grano

La ERR no es apropiada para describir el comportamiento de materiales duacutectiles y tal como se

presentoacute en el capiacutetulo 3 los monocristales siempre se comportaron como materiales fraacutegiles y la

ductilidad de un material se debe a la dinaacutemica de dislocaciones generadas por la inclusioacuten de una

GB El meacutetodo del CTOD ha sido implementado de igual forma para estimar la tenacidad a la

fractura [50108109] sin embargo nuevamente lo hacen para monocristales sin frontera de grano

En este capiacutetulo se desarrolla una metodologiacutea novedosa para estimar un valor de la tenacidad a la

fractura que es vaacutelido para todos los tamantildeos de fisura en un monocristal o bicristal La

metodologiacutea fue implementada usando por separado los resultados de los paraacutemetros de la

mecaacutenica de la fractura Todos los meacutetodos ajustaron de forma correcta en la estimacioacuten de la

tenacidad a la fractura del monocristal y del bicristal Sin embargo al estudiar el primer

rasgamiento en el cual el valor del paraacutemetro evaluado debiacutea ser similar al valor de la tenacidad

del monocristal se encontroacute que solo el CTOD arrojoacute resultados acordes con la tenacidad a la

fractura del monocristal Los valores de los indicadores 119869-CI y 119869-ERR se alejaron del valor

esperado para 1198970 = 5119886 Esto se considera debido a la dinaacutemica de dislocaciones presentes durante el primer rasgamiento propio de los materiales duacutectiles

62 Tenacidad a la fractura 119922119914

Para estimar la tenacidad a la fractura usando 119870119868 se realizoacute un graacutefico adimensional de 120590119911119911119878119880 vs

1198970119871 (con 119871 = 60119886) Donde el esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten (119878119880) para el monocristal sin defecto se

obtiene de la figura 20 119878119880 = 6182 Gpa valor que coincide con el reportado por Tang y Yang en [82] para las mismas velocidades de deformacioacuten Implementando la teoriacutea de la mecaacutenica de la

fractura lineal elaacutestica (LEFM) usando la forma alternativa como plantea [51]

42

120590119911119911 =119870119868

119891radic120587 ∙ 1198970 (38)

Los valores de 119870119868 son los reportados en la tabla 4 y tomando que 119891 para una fisura de borde estaacute dado por [53]

119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574

(1 minus 120574)32

(39)

donde 120574 = 119897060119886 En la figura 31 se presenta con ciacuterculos y triaacutengulos los valores normalizados

de la ecuacioacuten 38 (120590119911119911119878119880) con los 119870119868 para la falla del bicristal y los 119870119868 para la falla del monocristal

respectivamente (ver tabla 4) Para ajustar un uacutenico valor de 119870119868 en la funcioacuten de la ecuacioacuten 38 normalizada se utilizoacute el meacutetodo de los miacutenimos cuadrados y el valor que mejor ajustoacute todos los

puntos de la graacutefica para el caso del monocristal fue 119870119862 = 045 MParadicm el cual coincide con el valor encontrado por Chandra [15] usando el meacutetodo de Griffith sin embargo hay que tener en

cuenta que Chandra et al hicieron el estimado con un solo tamantildeo de fisura Para el caso del

bicristal (BC) al compararlo con los resultados obtenido mediante DM el valor que mejor ajustoacute

fue 119870119862 = 095 MParadicm

Fig 31 Esfuerzo normalizado 120590119911119911119878119880 vs 1198970119871 para estimar 119870119862


Con la finalidad de caracterizar la tenacidad a la fractura en funcioacuten de 119869 se implementaron las

ecuaciones de la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica que relaciona el intensificador de esfuerzos

en modo I con la integral 119869 con condiciones de deformacioacuten plana [51] Las condiciones de

frontera perioacutedicas en la direccioacuten 119910 del espeacutecimen garantizan la deformacioacuten plana puesto que se considera un material con espesor infinito La ecuacioacuten queda de la siguiente forma

119870119868 = radic119869 ∙119864

1 minus 1205842 (40)

43

en esta ecuacioacuten 119870119868 se reemplaza por [51]

119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)

Igualando las ecuaciones 40 y 41 se puede obtener la siguiente expresioacuten para 120590119911119911119890119902

120590119911119911119890119902= radic

119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)

1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)

Con la finalidad de normalizar el esfuerzo equivalente 120590119911119911119890119902

de la ecuacioacuten 42 se usa nuevamente

119878119880 del monocristal sin defecto de la figura 20 La estrategia para ajustar un valor uacutenico de 119869 valido para todos los tamantildeos de fisura inicial consistioacute en construir una graacutefica del esfuerzo normalizado

(120590119911119911119890119902119878119880) vs 1198970119871 En esta grafica se ubican los puntos del esfuerzo normalizado al evaluar los

valores maacuteximos de la integral 119869 calculados utilizado por los meacutetodos de CTOD ERR y CI para

los diferentes tamantildeos de fisura inicial 1198970 = 5119886 10119886 15119886 20119886 Posteriormente se ajusta la

ecuacioacuten 42 normalizada a los puntos con un solo valor de 119869 que es el considerado como la tenacidad a la fractura para cualquier tamantildeo de fisura inicial A continuacioacuten se presentan los

resultados de las curvas ajustadas con sus respectivos valores de 119869119862 para el caso del monocristal

y del bicristal

Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD

Las curvas fueron ajustadas a los datos usando el meacutetodo de miacutenimos cuadrados Chandra et al

[15] reportoacute valores similares de la tenacidad para monocristales pero para un solo tamantildeo

especifico de 1198970 En la siguiente tabla se presentan los valores de tenacidad a la fractura para cada meacutetodo

Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal

119921119940 ndash CI (Jm-2) 119921119940 ndash ERR (Jm-2) 119921119940 ndash CTOD (Jm-2)

Monocristal 236 234 297

Bicristal 1361 1237 1324

64 Discusioacuten

Al comparar los valores de la tenacidad a la fractura del monocristal y el bicristal se puede

observar que 119869119862 del bicristal se aumenta en un 577 529 and 445 del valor de 119869119862 del monocristal para los meacutetodos CI ERR y CTOD respectivamente En este sentido la frontera de

44

grano aumenta la tenacidad del material de forma significativa Con la finalidad de determinar cuaacutel

de los meacutetodos tiene menor error se calcula el error de las curvas ajustadas en comparacioacuten a los

datos usando miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo Los valores se presentan en la tabla 8

Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo

CI ERR CTOD

Monocristal 000352869 000249363 000211611

Primer rasgamiento 004447074 465584299 000194489

Bicristal 003016880 000723650 000614448

65 Conclusiones

En este capiacutetulo se desarrolloacute e implementoacute una nueva metodologiacutea para estimar la tenacidad a la

fractura en materiales NC que es vaacutelida para cualquier tamantildeo de la fisura inicial y se encontraron

los siguientes hallazgos

El CTOD es el meacutetodo que menor error residual tiene para todos los casos monocristal primer rasgamiento y bicristal

La metodologiacutea propuesta permite estimar un valor uacutenico de tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal que es vaacutelido para cualquiera de los tamantildeos de fisuras evaluados

El CTOD es el uacutenico meacutetodo de los tres usados que permite estimar un valor de 119869 y de 119870119868 durante el primer rasgamiento acorde a la tenacidad calculada del monocristal

La inclusioacuten de una frontera de grano aumenta significativamente la tenacidad a la fractura del material NC

45

Capiacutetulo 7

Conclusiones y trabajos futuros

71 Conclusiones

En este proyecto se desarrollaron simulaciones implementando DM para estudiar la tenacidad a la

fractura en monocristales y bicristales de aluminio a partir de ensayos simulados de tensioacuten

uniaxial 119869119862 del monocristal y bicristal fueron calculados y comparados para establecer el efecto de la frontera de grano Los principales hallazgos de esta investigacioacuten se resumen a continuacioacuten

El monocristal fisurado presentoacute un comportamiento de fractura fraacutegil sin evidencia de

emisioacuten de dislocaciones El mismo comportamiento fraacutegil fue observado durante el primer

rasgamiento de los bicristales con 1198970 = 10119886 1198970 = 15119886 y 1198970 = 20119886 Sin embargo las

dislocaciones aparecieron antes del primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 5119886 Por lo cual existe un tamantildeo criacutetico para el tamantildeo de fisura inicial por debajo del cual el

material se comporta como duacutectil en el primer cristal

La frontera de grano actuoacute como una barrera que frenoacute el crecimiento inestable de la fisura

despueacutes del primer rasgamiento cuando la fisura llegoacute a la frontera de grano comenzoacute un

proceso de fractura duacutectil dando lugar a la nucleacioacuten de vacancias seguido por

crecimiento y coalescencia de estas hasta la fractura final

La tenacidad a la fractura 119869119862 del monocristal coincide con la maacutexima 119869 alcanzada durante

el primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 para los tres meacutetodos

empleados Sin embargo para el meacutetodo del CTOD todos los valores coincidieron para

todos los 1198970

119869119862 del bicristal de aluminio es casi cinco veces el valor del 119869119862 del monocristal basado en

los resultados del meacutetodo del CTOD

119870119862 del bicristal de aluminio es casi 25 veces el valor de 119870119862 del monocristal

La metodologiacutea desarrollada para la estimacioacuten de la tenacidad a la fractura permite estimar

un 119869119862 valido para cualquier tamantildeo de fisura inicial en los monocristales y los bicristales de aluminio

72 Trabajo futuros

Debido a la naturaleza del proyecto de investigacioacuten existieron efectos en las propiedades de

los materiales que no lograron ser estudiados Estos efectos pueden ser desarrollados por otros

investigadores en el aacuterea

El efecto de la variacioacuten en los aacutengulos de la frontera de grano En este punto se pueden

hacer ensayos con bicristales con diferentes aacutengulos con la finalidad de observar la

46

variacioacuten en la tenacidad Se pueden evaluar fronteras de grano mixtas y rotadas en

cualquier otro NC

El efecto del tamantildeo de grano En este iacutetem se pueden desarrollar policristales y realizar

las mismas pruebas con la finalidad de cuantificar la tenacidad y observar el cambio de la

tenacidad a la fractura en un policristal y cualquier otro tipo de NC

Se puede estudiar el efecto del incremento en la densidad de dislocaciones y el movimiento

de los planos de deslizamiento durante cada paso de deformacioacuten en el ensayo de tensioacuten

para establecer correlaciones con la tenacidad a la fractura

Se puede intentar desarrollar experimentos del ensayo de tensioacuten con filamentos de cristal

simple de aluminio para tener resultados experimentales propios aparte de los encontrados

en la literatura

47

Bibliografiacutea

[1] NM Pugno dagger RS Ruoff Dagger Quantized fracture mechanics Philos Mag 84 (2004) 2829ndash

2845 doi10108014786430412331280382

[2] T Shimada K Ouchi Y Chihara T Kitamura Breakdown of Continuum Fracture

Mechanics at the Nanoscale Sci Rep 5 (2015) 8596 doi101038srep08596

[3] D Berman J Krim Surface science MEMS and NEMS Progress and opportunities for

surface science research performed on or by microdevices Prog Surf Sci 88 (2013) 171ndash

211 doi101016jprogsurf201303001

[4] O Auciello A V Sumant Status review of the science and technology of

ultrananocrystalline diamond (UNCD) films and application to multifunctional devices

Diam Relat Mater 19 (2010) 699ndash718 doi101016jdiamond201003015

[5] A Herrera-May LA Aguilera-Corteacutes E Manjarrez M Gonzaacutelez-Palacios Sistemas

Nanoelectromecaacutenicos Origen Aplicaciones Y Desafiacuteos Interciencia 35 (2010) 163ndash170

[6] R a Freitas Jr Progress in nanomedicine and medical nanorobotics Handb Theor

Comput Nanotechnol 6 (2005) 1ndash25 doi101166jctn200501

[7] M Imboden P Mohanty Dissipation in nanoelectromechanical systems Phys Rep 534

(2014) 89ndash146 doi101016jphysrep201309003

[8] JS Murday RW Siegel J Stein JF Wright Translational nanomedicine status

assessment and opportunities Nanomedicine Nanotechnology Biol Med 5 (2009) 251ndash

273 doi101016jnano200906001

[9] Z Wang L Ci L Chen S Nayak PMA And N Koratkar Polarity-Dependent

Electrochemically Controlled Transport of Water through Carbon Nanotube Membranes

Nano Lett 7 (2007) 697ndash702 doi101021NL062853G

[10] B Watson J Friend L Yeo Piezoelectric ultrasonic resonant motor with stator diameter

less than 250 microm the Proteus motor J Micromechanics Microengineering 19 (2009)

22001 doi1010880960-1317192022001

[11] HN Wu DS Xu H Wang R Yang Molecular Dynamics Simulation of Tensile

Deformation and Fracture of γ-TiAl with and without Surface Defects J Mater Sci

Technol 32 (2015) 1ndash10 doi101016jjmst201512001

[12] T Shimokawa M Tanaka K Kinoshita K Higashida Roles of grain boundaries in

48

improving fracture toughness of ultrafine-grained metals Phys Rev B - Condens Matter

Mater Phys 83 (2011) 1ndash13 doi101103PhysRevB83214113

[13] D Hou T Zhao P Wang Z Li J Zhang Molecular dynamics study on the mode I fracture

of calcium silicate hydrate under tensile loading Eng Fract Mech 131 (2014) 557ndash569

doi101016jengfracmech201409011

[14] J Petucci C Leblond M Karimi Molecular dynamics simulations of brittle fracture in fcc

crystalline materials in the presence of defects Comput Mater Sci 86 (2014) 130ndash139

doi101016jcommatsci201401049

[15] S Chandra NN Kumar MK Samal VM Chavan RJ Patel Molecular dynamics

simulations of crack growth behavior in Al in the presence of vacancies Comput Mater

Sci 117 (2016) 518ndash526 doi101016jcommatsci201602032

[16] T Hanlon ED Tabachnikova S Suresh Fatigue behavior of nanocrystalline metals and

alloys Int J Fatigue 27 (2005) 1147ndash1158 doi101016jijfatigue200506035

[17] RC Batra AA Pacheco Changes in internal stress distributions during yielding of square

prismatic gold nano-specimens Acta Mater 58 (2010) 3131ndash3161

doi101016jactamat201001054

[18] YC Wang A Misra RG Hoagland Fatigue properties of nanoscale CuNb multilayers

Scr Mater 54 (2006) 1593ndash1598 doi101016jscriptamat200601027

[19] HAP Ii BL Boyce A Review of Fatigue Behavior in Nanocrystalline Metals Exp

Mech 50 (2010) 5ndash23 doi101007s11340-009-9301-2

[20] RW Armstrong 60 Years of Hall-Petch Past to Present Nano-Scale Connections Mater

Trans 55 (2014) 2ndash12 doi102320matertransMA201302

[21] EN Hahn MA Meyers Grain-size dependent mechanical behavior of nanocrystalline

metals Mater Sci Eng A (2015) doi101016jmsea201507075

[22] MA Tschopp HA Murdoch LJ Kecskes KA Darling Bulk nanocrystalline metals

Review of the current state of the art and future opportunities for copper and copper alloys

Miner Met Mater Soc 66 (2014) 1000ndash1019 doi101007s11837-014-0978-z

[23] CJ Ruestes G Bertolino M Ruda D Farkas EM Bringa Grain size effects in the

deformation of [0 0 0 1] textured nanocrystalline Zr Scr Mater 71 (2014) 9ndash12

doihttpdxdoiorg101016jscriptamat201309010

[24] D Terentyev F Gao Blunting of a brittle crack at grain boundaries An atomistic study in

49

BCC Iron Mater Sci Eng A 576 (2013) 231ndash238 doi101016jmsea201304012

[25] W Peng X Yang P Di Molecular dynamics investigation of the grain boundary migration

hysteresis of nanocrystalline Ni under cyclic shear loading Model Simul Mater Sci Eng

Model 25 (2017) 0ndash18 doi1010881361-651Xaa533

[26] W Fang H Xie F Yin J Li DF Khan Q Fang Molecular dynamics simulation of grain

boundary geometry on crack propagation of bi-crystal aluminum Mater Sci Eng A

(2016) doi101016jmsea201604077

[27] N Gao D Perez GH Lu ZG Wang Molecular dynamics study of the interaction

between nanoscale interstitial dislocation loops and grain boundaries in BCC iron J Nucl

Mater 498 (2018) 378ndash386 doi101016jjnucmat201710069

[28] S Chandra MK Samal VM Chavan RJ Patel An atomistic study of resistance offered

by twist grain boundaries to incoming edge dislocation in FCC metals Mater Lett 180

(2016) 11ndash14 doi101016jmatlet201605074

[29] S Chandra NN Kumar MK Samal VM Chavan S Raghunathan An atomistic insight

into the fracture behavior of bicrystal aluminum containing twist grain boundaries Comput

Mater Sci 130 (2017) 268ndash281

[30] J Kacher BP Eftink B Cui IM Robertson Dislocation interactions with grain

boundaries Curr Opin Solid State Mater Sci 18 (2014) 227ndash243

doi101016jcossms201405004

[31] MA Meyers A Mishra DJ Benson Mechanical properties of nanocrystalline materials

Prog Mater Sci 51 (2006) 427ndash556 doi101016jpmatsci200508003

[32] E Arzt Size effects in materials due to microstructural and dimensional constraints  a

comparative review Acta Mater 46 (1998) 5611ndash5626

[33] R Birringer Nanocrystalline Materials Mater Sci Eng A 117 (1989) 33ndash43

[34] S Yip The strongest size Nature 391 (1998) 532ndash533

[35] C Suryanarayana Nanocrystalline materials Int Mater Rev 40 (1995) 41ndash64

[36] AH Chokshi A Rosen J Karch H Gleiter On the validity of the hall-petch relationship

in nanocrystalline materials Scr Metall 23 (1989) 1679ndash1684

[37] K Lu ML Sui An explanation to the abnormal hall-petch relation in nanocrystalline

materials Scr Metall 28 (1993) 1465ndash1470

[38] CS Pande KP Cooper Progress in Materials Science Nanomechanics of Hall ndash Petch

50

relationship in nanocrystalline materials Prog Mater Sci 54 (2009) 689ndash706

doi101016jpmatsci200903008

[39] FA Mohamed Y Li Creep and superplasticity in nanocrystalline materials  current

understanding and future prospects Mater Sci Eng A 298 (2001) 1ndash15

[40] N Wang Z Wang KT Aust U Erb Room temperature creep behavior of nanocrystalline

produced by an electrodeposition technique Mater Sci Eng A 237 (1997) 150ndash158

[41] H Hahn P Mondal KA Padmanabhan Plastic deformation of nanocrystalline materials

Acta Metall 9 (1997) 603ndash606

[42] V Yamakov D Wolf SR Phillpot H Gleiter Grain-boundary diffusion creep in

nanocrystalline palladium by molecular-dynamics simulation dagger Acta Mater 50 (2002) 61ndash

73

[43] GP Potirniche MF Horstemeyer PM Gullett B Jelinek Atomistic modelling of fatigue

crack growth and dislocation structuring in FCC crystals Proc R Soc A Math Phys Eng

Sci 462 (2006) 3707ndash3731 doi101098rspa20061746

[44] L Ma S Xiao H Deng W Hu Molecular dynamics simulation of fatigue crack

propagation in bcc iron under cyclic loading Int J Fatigue 68 (2014) 253ndash259

doi101016jijfatigue201404010

[45] X Li B Bhushan Fatigue studies of nanoscale structures for MEMSNEMS applications

using nanoindentation technique Surf Coatings Technol 163ndash164 (2003) 521ndash526

doi101016S0257-8972(02)00662-X

[46] IA Ovid Review on the fracture processes in nanocrystalline materials J Mater Sci 42

(2007) 1694ndash1708 doi101007s10853-006-0968-9

[47] D Farkas Fracture toughness from atomistic simulations brittleness induced by emission

of sessile dislocations Scr Mater 39 (1998) 533ndash536 doi101016S1359-6462(98)00193-

6

[48] J Han D Sohn W Woo D-K Kim Molecular dynamics study of fracture toughness and

trans-intergranular transition in bi-crystalline graphene Comput Mater Sci 129 (2017)

323ndash331 doi101016jcommatsci201612023

[49] H Gao B Ji Modeling fracture in nanomaterials via a virtual internal bond method Eng

Fract Mech 70 (2003) 1777ndash1791 doi101016S0013-7944(03)00124-3

[50] SF Ferdous A Adnan Mode-I Fracture Toughness Prediction of Diamond at the

51

Nanoscale J Nanomechanics Micromechanics 7 (2017) 1ndash10

doi101061(ASCE)NM2153-54770000130

[51] N Dowling Mechanical Behavior of Materials Fourth PEARSON 2012

[52] GR Irwin Onset of Fast Crack Propagation in High Strength Steel and Aluminum Alloys

in Sagamore Res Conf Proc 1956 pp 289ndash305

[53] TL Anderson Fracture mechanics Third Taylor amp Francis 2005

[54] A Wells Unstable Crack Propagation in Metals Cleavage and Fast Fracture in Proc

Crack Propag Symp Cranfield UK 1961 p Paper 84

[55] G Irwing Plastic Zone Near a Crack and Fracture Toughness in Sagamore Res Conf

Proc 1961 pp 63ndash78

[56] JR Rice A Path Independent Integral and the Approximate Analysis of Strain

Concentration by Notches and Cracks J Appl Mech 35 (1968) 379ndash386

doi10111513601206

[57] RJ Hardy Formulas for determining local properties in molecular-dynamics simulations

Shock waves J Chem Phys 76 (1982) 622ndash628 doi1015713insmmj3

[58] W Velilla-Diacuteaz A Pacheco-sanjuan HR Zambrano The role of the grain boundary in the

fracture toughness of aluminum bicrystal Comput Mater Sci 167 (2019) 34ndash41


[59] BJ Alder TE Wainwright Phase Transition for a Hard Sphere System J Chem Phys

27 (1957) 1208 doi10106311743957

[60] BJ Alder TE Wainwright Studies in Molecular Dynamics I General Method J Chem

Phys 31 (1959) 459 doi10106311730376

[61] A Rahman Correlations in the Motion of Atoms in Liquid Argon Phys Rev 136 (1964)

A 405-A 411

[62] FH Stillinger A Rahman Improved simulation of liquid water by molecular dynamics J

Chem Phys 60 (1974) 1545ndash1557

[63] WT Ashurst WG Hoover Microscopic fracture studies in the two-dimensional triangular

lattice Phys Rev B 14 (1976) 1465ndash1473

[64] B DeCelis AS Argon S Yip Molecular dynamics simulation of crack tip processes in

alphairon and copper J Appl Phys 54 (1983) 4864ndash4878 doi1010631332796

[65] V Shastry D Farkas Atomistic simulation of fracture in CoAl and FeAl Intermetallics 6

52

(1998) 95ndash104

[66] IR Vatne E Oslashstby C Thaulow D Farkas Quasicontinuum simulation of crack

propagation in bcc-Fe Mater Sci Eng A 528 (2011) 5122ndash5134

doi101016jmsea201103006

[67] ME Tuckerman Statistical Mechanics Theory and Molecular Simulation Oxford

University Press 2013

[68] S Noseacute A unified formulation of the constant temperature molecular dynamics methods

J Chem Phys 81 (1984) 511 doi1010631447334

[69] S Noseacute ML Klein Constant pressure molecular dynamics for molecular systems Mol

Phys 50 (1983) 1055ndash1076

[70] MJ Buehler Atomistic Modeling of Materials Failure Springer US Boston MA 2008

doi101007978-0-387-76426-9

[71] R Clausius On a mechanical theorem applicable to heat London Edinburgh Dublin

Philos Mag J Sci 40 (1870) 122ndash127

[72] JC Maxwell Van der Waals on the Continuity of the Gaseous and Liquid States Nature

x (1874) 407ndash415

[73] JC Maxwell On reciprocal figures frames and diagrams of forces in R Soc

EDINBURGH 1870 pp 53ndash55

[74] AP Thompson SJ Plimpton W Mattson General formulation of pressure and stress

tensor for arbitrary many-body interaction potentials under periodic boundary conditions

J Chem Phys 131 (2009) 1ndash6 doi10106313245303

[75] JE Jones PRSL A On the Determination of Molecular Fields II From the Equation

of State of a Gas in Proc R Soc A Math Phys Eng Sci 1924 pp 463ndash477

doi101098rspa19240082

[76] V Shastry D Farkas molecular statics simulation of crack propagation in a-Fe using eam

potentials 409 (1996) 75ndash80

[77] MI Mendelev MJ Kramer CA Becker M Asta Analysis of semi-empirical interatomic

potentials appropriate for simulation of crystalline and liquid Al and Cu Philos Mag 88

(2008) 1723ndash1750 doi10108014786430802206482

[78] MF Horstemeyer D Farkas S Kim T Tang G Potirniche Nanostructurally small cracks

(NSC) A review on atomistic modeling of fatigue Int J Fatigue 32 (2010) 1473ndash1502

53



boundary geometry on crack propagation of bi-crystal aluminum Mater Sci Eng A 666

(2016) 314ndash319 doi101016jmsea201604077

[80] RE Jones JA Zimmerman The construction and application of an atomistic J-integral

via Hardy estimates of continuum fields J Mech Phys Solids 58 (2010) 1318ndash1337

doi101016jjmps201006001

[81] S Plimpton Fast Parallel Algorithms for Short ndash Range Molecular Dynamics J Comput

Phys 117 (1995) 1ndash19 doi101006jcph19951039

[82] B Tang R Yang Molecular Dynamics Study of Uniaxial Deformation in Perfect and

Defective Aluminum Chinese J Phys VOL 53 (2015) 1ndash13

doi106122CJP20150928A

[83] CL Kelchner SJ Plimpton JC Hamilton Dislocation nucleation and defect structure

during surface indentation 58 (1998) 85ndash88

[84] A Stukowski V V Bulatov A Arsenlis Automated identification and indexing of

dislocations in crystal interfaces Model Simul Mater Sci Eng 20 (2012) 085007

doi1010880965-0393208085007

[85] A Stukowski Visualization and analysis of atomistic simulation data with OVITO-the

Open Visualization Tool Model Simul Mater Sci Eng 18 (2010) doi1010880965-

0393181015012

[86] G Voronoi Nouvelles applications des paramegravetres continus agrave la theacuteorie des formes

quadratiques J Fuumlr Die Reine Und Angew Math (1908) 198ndash211

[87] CH Rycroft VORO ++  A three-dimensional Voronoi cell library in C ++ Chaos 19

(2009) 041111 doi10106313215722

[88] D Farkas M Willemann B Hyde Atomistic Mechanisms of Fatigue in Nanocrystalline

Metals Phys Rev Lett 94 (2005) 165502 doi101103PhysRevLett94165502

[89] G Jung Z Qin MJ Buehler Molecular mechanics of polycrystalline graphene with

enhanced fracture toughness Extrem Mech Lett 2 (2015) 52ndash59

doi101016jeml201501007

[90] S Cranford MJ Buehler Coarse-Graining Parameterization and Multiscale Simulation of

Hierarchical Systems Part I Theory and Model Formulation Multiscale Model From

54

Atoms to Devices (2010) 13ndash34

[91] JA Zimmerman EB Webb JJ Hoyt RE Jones PA Klein DJ Bammann Calculation

of stress in atomistic simulation Model Simul Mater Sci Eng 12 (2004)

doi1010880965-0393124S03

[92] RE Jones JA Zimmerman J Oswald T Belytschko An atomistic J-integral at finite

temperature based on Hardy estimates of continuum fields J Phys Condens MATTER

23 (2011) 1ndash12 doi1010880953-8984231015002

[93] AA Griffith The Phenomena of Rupture and Flow in Solids Philos Trans Ser A 221

(1920) 163ndash198

[94] Y Yeh C Hwu A modified molecular-continuum model for estimating the strength and

fracture toughness of graphene and carbon nanotube Eng Fract Mech 176 (2017) 326ndash

342

[95] Y Zhang S Jiang X Zhu Y Zhao A molecular dynamics study of intercrystalline crack

propagation in nano-nickel bicrystal films with (010) twist boundary Eng Fract Mech 168

(2016) 147ndash159 doi101016jengfracmech201610008

[96] L Brochard IG Tejada K Sab From yield to fracture failure initiation captured by

molecular simulation J Mech Phys Solids 95 (2016) 632ndash646

doi101016jjmps201605005

[97] XH Zeng A Hartmaier Modeling size effects on fracture toughness by dislocation

dynamics Acta Mater 58 (2010) 301ndash310 doi101016jactamat200909005

[98] W Wu Z Yao Molecular dynamics simulation of stress distribution and microstructure

evolution ahead of a growing crack in single crystal nickel Theor Appl Fract Mech 62

(2012) 67ndash75 doi101016jtafmec201301008



doi101016jjmps201006001

[100] Y Jin FG Yuan Atomistic simulations of J-integral in 2D graphene nanosystems J

Nanosci Nanotechnol 5 (2005) 2099ndash2107 doi101166jnn2005414

[101] MA Haque MTA Saif Mechanical behavior of 30 ndash 50 nm thick aluminum films under

uniaxial tension Scr Mater 47 (2002) 863ndash867

[102] CT Sun Z-H Jin Fracture Mechanics Fracture Mechanics Elsevier Inc 2012

55

doihttpsdoiorg101016C2009-0-63512-1

[103] J Skogsrud C Thaulow Application of CTOD in atomistic modeling of fracture Eng

Fract Mech 150 (2015) 153ndash160 doi101016jengfracmech201508043

[104] M Karimi T Roarty T Kaplan Molecular dynamics simulations of crack propagation in

Ni with defects Model Simul Mater Sci Eng 14 (2006) 1409ndash1420 doi1010880965-

0393148008

[105] H Kikuchi RK Kalia A Nakano P Vashishta PS Branicio F Shimojo H Kikuchi

Brittle dynamic fracture of crystalline cubic silicon carbide ( 3C-SiC ) via molecular

dynamics simulation J Appl Phys 98 (2005) 1ndash4 doi10106312135896

[106] JG Swadener MI Baskes M Nastasi Molecular Dynamics Simulation of Brittle Fracture

in Silicon Phys Rev Lett 89 (2002) doi101103PhysRevLett89085503

[107] XR Zhuo JH Kim HG Beom R -curve Evaluation of Copper and Nickel Single

Crystals Using Atomistic Simulations Crystals 8 (2018) 1ndash10 doi103390cryst8120441



[109] J Skogsrud C Thaulow Effect of crystallographic orientation on nanomechanical

modelling of an iron single crystal cracked cantilever beam Mater Sci Eng A 685 (2017)

274ndash283 doi101016jmsea201612060

2

UNINORTE Universidad del Norte

Tesis para el grado de Doctor en Ingenieriacutea Mecaacutenica



i

Agradecimientos





OJ-2015-29312



















es incondicional











ii

Iacutendice General

AGRADECIMIENTOS I

RESUMEN VIII

NOMENCLATURA IX

CAPIacuteTULO 1 1

INTRODUCCIOacuteN 1





CAPIacuteTULO 2 5
















iii

CAPIacuteTULO 3 15






17





38 CONCLUSIONES 22

CAPIacuteTULO 4 23







46 CONCLUSIONES 29

CAPIacuteTULO 5 30









iv




58 CONCLUSIONES 39

CAPIacuteTULO 6 41







65 CONCLUSIONES 44

CAPIacuteTULO 7 45


71 CONCLUSIONES 45



v

Listado de Figuras










18

















aluminio 29





vi




120783120782119938 36










vii

Listado de tablas









viii

Resumen



































ix

Nomenclatura

Abreviaturas

BC bicristal









NC nanocristalino






SC monocristal

Letras latinas










119869 integral 119869 J m-2












x










119905 espesor m







119881 volumen m3



Letras griegas




















xi


0 inicial

119891 final


119909 119910 119911 direcciones


1

Capiacutetulo 1

Introduccioacuten


































2










































3




































4







bicrystalrdquo [58]

ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41

5

Capiacutetulo 2




































6






lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1

119873sum119860(119901 119903)

119873

119894=1

(2)



119901120572119894 = 119898120572119907120572


respectivamente





















cuerpos

7





119867 = 119870 + 119880 (3)



119870 =1

2sum119898120572(120572

119894)2119873

120572=1

(4)



119880 = sum119880120572(119903)

119873

120572=1

(5)













8

119865120572119894 = minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(6)


119894 es el vector



de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572


119898120572

d2119903120572119894

d1205912= minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(7)













119865120572119894 = 119898120572

d2119903120572119894

d1205912 (8)















9




119903120572119894(1205910) rarr 119903120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572

119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)

y

120572119894(1205910) rarr 120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572

119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)


continuacioacuten



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +

1

2Δ120591)Δ120591 (11)

y

120572119894 (120591 +

1

2Δ120591) = 120572

119894 (120591 minus1

2Δ120591) + 120572

119894(120591)Δ120591 (12)



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +

1

2120572119894(120591)Δ1205912 (13)

donde

120572119894(120591 + Δ120591) = 120572

119894(120591) +1

2(120572119894(120591) + 120572

119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)












original

10







119903119894119903119890119901

= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)






actual




119879 =2

3

lang119870rang

119873119896119861 (16)




119875 =119873119896119861119879

119881minus1

3

1

119881sum sum lang 119903120572120573

d119880

d119903120572120573rang

119873

120573=1120573lt120572

119873

120572=1

(17)

11



sistema 119881













120590119894119895 =1

119881(minussum119865120572

119894119903120572119895 minus

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

=1

119881

(

minus1

2sumsum

120597119880

120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573

119895

119903120572120573 minus

119873

120573=1120573ne120572

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

(18)



















12




119880 =1

2sum sum 120593(119903120572120573)

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(19)











120593 = 4120598 [(120578

119903120572120573)

12

minus (120578

119903120572120573)

6

] (20)

13






biofiacutesica [70]

119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)




siguiente forma

119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)

119873

120572=1

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(22)


120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572

(23)







14










120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)

15 minus 23

+ 13695567100510(32 minus 119903)4


minus83744769235189(32 minus 119903)7

+29906639687889(32 minus 119903)8


minus23612121457801(48 minus 119903)4

+25279092055084(48 minus 119903)5

minus 33656803584012(48 minus 119903)6

+ 094831589893263(48 minus 119903)7

minus020965407907747(48 minus 119903)8


+024809459274509(65 ndash 119903)4

minus054072248340384(65 minus 119903)5

+046579408228733(65 minus 119903)6

minus018481649031556(65 ndash 119903)7

+0028257788274378(65 minus 119903)⁸


120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4




15

Capiacutetulo 3


computacionales





























16























17




monocristal


























18







(a) (b)









19

















OVITO

20











OVITO









21





22

37 Discusioacuten















38 Conclusiones










23

Capiacutetulo 4

































tensor de Cauchy

120590(119903) = minus1

2119881sum 119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895

(24)

24





Hardy [57]

120590119894119895prime = minus

1

2sum119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)


Hardy [57]

119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573

1

0

+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
















25




[17]

120569(119877) =1

120587ℎ3

(1 minus

3

21199042 +

3

41199043) 119904 le 1

1

4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2


119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|

ℎ

(27)






= minussum [120597Φ120572(120588120572)

120597120588120572

120597120595120573(119903120572120573)

120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)

120597120588120573

120597120595120572(119903120572120573)

120597119903120572120573120573ne120572

+120597120593120572120573(119903120572120573)

120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573

119894

119903120572120573)

(28)



usando OpenMP







26

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886 1198970 = 7119886

1198970 = 8119886 1198970 = 9119886




27


1198970

120590119911119911 DM


Hardy

Diferencia

porcentual ()

4119886 293 282 375

5119886 279 266 466

6119886 27 258 444

7119886 245 218 1102

8119886 186 168 967

9119886 169 152 1005








1198970

Esfuerzo

global maacuteximo

DM

reduccioacuten

4119886 314 4919

5119886 297 5194

6119886 289 5324

7119886 251 5939

8119886 236 6181

9119886 217 6489







28

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886

1198970 = 7119886

1198970 = 8119886

1198970 = 9119886










con 1198970 = 10119886

29


aluminio

45 Discusioacuten






46 Conclusiones


hallazgos









30

Capiacutetulo 5



































31














119870119868 = radic120587

4∙ 119862119879119874119863 ∙

119864

1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)





32














1198970

119870119868 (MParadicm)

Falla monocristal

119870119868 (MParadicm)

Primer rasgamiento

119870119868 (MParadicm)

Falla bicristal

5119886 047 044

098

10119886 044 043

0933

15119886 042 041

0931

20119886 040 042

0869

33






119869-ERR= minus119889Π

119889119905Δ119897= minus

Δ(119880minus119882)

119889119905Δ119897= minus


119905Δ119897 (30)












34





sistema

119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911

120576119911119911prime

0

(31)




119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909

119889119904)Γ

(32)







119879119894

Γ119901= 120590

119894119895

Γ119901119899119895 (33)

donde 120590119894119895




119908Γ119901 = int 120590119894119895

Γ119901

120576119894119895

0

119889120576119894119895 (34)


120590119894119895



119894119895

Γ119901

35






Γ15 = 0 por



(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)



1198694 = 0





119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585

0

= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 Γ3

(35)






36



119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110

119889120576119911119911 (36)



119869-CTOD=4

120587∙CTOD∙120590119900 (37)








(a)

(b)


37










- (a) (b) (c)









38















39


119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)

Fractura

final en

monocristal

5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9

10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9

15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9

20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9

Primer

rasgamiento

en bicristal

5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9

10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9

15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9

20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9

Fractura

final en

bicristal

5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9

10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9

15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9

20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9




119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400

10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252

15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246

20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085

57 Discusioacuten







58 Conclusiones



hallazgos



40






41

Capiacutetulo 6



aluminio

























42

120590119911119911 =119870119868

119891radic120587 ∙ 1198970 (38)


119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574

(1 minus 120574)32

(39)







fue 119870119862 = 095 MParadicm







119870119868 = radic119869 ∙119864

1 minus 1205842 (40)

43


119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)


120590119911119911119890119902= radic

119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)

1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)









y del bicristal








Bicristal 1361 1237 1324

64 Discusioacuten



44





CI ERR CTOD

Monocristal 000352869 000249363 000211611


Bicristal 003016880 000723650 000614448

65 Conclusiones








45

Capiacutetulo 7


71 Conclusiones
















todos los 1198970






72 Trabajo futuros






46


cualquier otro NC









en la literatura

47

Bibliografiacutea


2845 doi10108014786430412331280382





211 doi101016jprogsurf201303001












273 doi101016jnano200906001






22001 doi1010880960-1317192022001





48




















Mech 50 (2010) 5ndash23 doi101007s11340-009-9301-2












49







(2016) doi101016jmsea201604077

























50











73









doi101016S0257-8972(02)00662-X


(2007) 1694ndash1708 doi101007s10853-006-0968-9



6







51


doi101061(ASCE)NM2153-54770000130











doi10111513601206







27 (1957) 1208 doi10106311743957


Phys 31 (1959) 459 doi10106311730376


A 405-A 411


Chem Phys 60 (1974) 1545ndash1557






52

(1998) 95ndash104



doi101016jmsea201103006




J Chem Phys 81 (1984) 511 doi1010631447334


Phys 50 (1983) 1055ndash1076


doi101007978-0-387-76426-9




x (1874) 407ndash415








doi101098rspa19240082





(2008) 1723ndash1750 doi10108014786430802206482



53




(2016) 314ndash319 doi101016jmsea201604077



doi101016jjmps201006001





doi106122CJP20150928A





doi1010880965-0393208085007



0393181015012




(2009) 041111 doi10106313215722





doi101016jeml201501007



54




doi1010880965-0393124S03



23 (2011) 1ndash12 doi1010880953-8984231015002


(1920) 163ndash198



342






doi101016jjmps201605005








doi101016jjmps201006001






55






0393148008












274ndash283 doi101016jmsea201612060

i

Agradecimientos





OJ-2015-29312



















es incondicional











ii

Iacutendice General

AGRADECIMIENTOS I

RESUMEN VIII

NOMENCLATURA IX

CAPIacuteTULO 1 1

INTRODUCCIOacuteN 1





CAPIacuteTULO 2 5
















iii

CAPIacuteTULO 3 15






17





38 CONCLUSIONES 22

CAPIacuteTULO 4 23







46 CONCLUSIONES 29

CAPIacuteTULO 5 30









iv




58 CONCLUSIONES 39

CAPIacuteTULO 6 41







65 CONCLUSIONES 44

CAPIacuteTULO 7 45


71 CONCLUSIONES 45



v

Listado de Figuras










18

















aluminio 29





vi




120783120782119938 36










vii

Listado de tablas









viii

Resumen



































ix

Nomenclatura

Abreviaturas

BC bicristal









NC nanocristalino






SC monocristal

Letras latinas










119869 integral 119869 J m-2












x










119905 espesor m







119881 volumen m3



Letras griegas




















xi


0 inicial

119891 final


119909 119910 119911 direcciones


1

Capiacutetulo 1

Introduccioacuten


































2










































3




































4







bicrystalrdquo [58]

ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41

5

Capiacutetulo 2




































6






lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1

119873sum119860(119901 119903)

119873

119894=1

(2)



119901120572119894 = 119898120572119907120572


respectivamente





















cuerpos

7





119867 = 119870 + 119880 (3)



119870 =1

2sum119898120572(120572

119894)2119873

120572=1

(4)



119880 = sum119880120572(119903)

119873

120572=1

(5)













8

119865120572119894 = minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(6)


119894 es el vector



de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572


119898120572

d2119903120572119894

d1205912= minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(7)













119865120572119894 = 119898120572

d2119903120572119894

d1205912 (8)















9




119903120572119894(1205910) rarr 119903120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572

119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)

y

120572119894(1205910) rarr 120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572

119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)


continuacioacuten



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +

1

2Δ120591)Δ120591 (11)

y

120572119894 (120591 +

1

2Δ120591) = 120572

119894 (120591 minus1

2Δ120591) + 120572

119894(120591)Δ120591 (12)



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +

1

2120572119894(120591)Δ1205912 (13)

donde

120572119894(120591 + Δ120591) = 120572

119894(120591) +1

2(120572119894(120591) + 120572

119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)












original

10







119903119894119903119890119901

= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)






actual




119879 =2

3

lang119870rang

119873119896119861 (16)




119875 =119873119896119861119879

119881minus1

3

1

119881sum sum lang 119903120572120573

d119880

d119903120572120573rang

119873

120573=1120573lt120572

119873

120572=1

(17)

11



sistema 119881













120590119894119895 =1

119881(minussum119865120572

119894119903120572119895 minus

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

=1

119881

(

minus1

2sumsum

120597119880

120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573

119895

119903120572120573 minus

119873

120573=1120573ne120572

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

(18)



















12




119880 =1

2sum sum 120593(119903120572120573)

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(19)











120593 = 4120598 [(120578

119903120572120573)

12

minus (120578

119903120572120573)

6

] (20)

13






biofiacutesica [70]

119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)




siguiente forma

119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)

119873

120572=1

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(22)


120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572

(23)







14










120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)

15 minus 23

+ 13695567100510(32 minus 119903)4


minus83744769235189(32 minus 119903)7

+29906639687889(32 minus 119903)8


minus23612121457801(48 minus 119903)4

+25279092055084(48 minus 119903)5

minus 33656803584012(48 minus 119903)6

+ 094831589893263(48 minus 119903)7

minus020965407907747(48 minus 119903)8


+024809459274509(65 ndash 119903)4

minus054072248340384(65 minus 119903)5

+046579408228733(65 minus 119903)6

minus018481649031556(65 ndash 119903)7

+0028257788274378(65 minus 119903)⁸


120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4




15

Capiacutetulo 3


computacionales





























16























17




monocristal


























18







(a) (b)









19

















OVITO

20











OVITO









21





22

37 Discusioacuten















38 Conclusiones










23

Capiacutetulo 4

































tensor de Cauchy

120590(119903) = minus1

2119881sum 119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895

(24)

24





Hardy [57]

120590119894119895prime = minus

1

2sum119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)


Hardy [57]

119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573

1

0

+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
















25




[17]

120569(119877) =1

120587ℎ3

(1 minus

3

21199042 +

3

41199043) 119904 le 1

1

4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2


119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|

ℎ

(27)






= minussum [120597Φ120572(120588120572)

120597120588120572

120597120595120573(119903120572120573)

120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)

120597120588120573

120597120595120572(119903120572120573)

120597119903120572120573120573ne120572

+120597120593120572120573(119903120572120573)

120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573

119894

119903120572120573)

(28)



usando OpenMP







26

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886 1198970 = 7119886

1198970 = 8119886 1198970 = 9119886




27


1198970

120590119911119911 DM


Hardy

Diferencia

porcentual ()

4119886 293 282 375

5119886 279 266 466

6119886 27 258 444

7119886 245 218 1102

8119886 186 168 967

9119886 169 152 1005








1198970

Esfuerzo

global maacuteximo

DM

reduccioacuten

4119886 314 4919

5119886 297 5194

6119886 289 5324

7119886 251 5939

8119886 236 6181

9119886 217 6489







28

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886

1198970 = 7119886

1198970 = 8119886

1198970 = 9119886










con 1198970 = 10119886

29


aluminio

45 Discusioacuten






46 Conclusiones


hallazgos









30

Capiacutetulo 5



































31














119870119868 = radic120587

4∙ 119862119879119874119863 ∙

119864

1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)





32














1198970

119870119868 (MParadicm)

Falla monocristal

119870119868 (MParadicm)

Primer rasgamiento

119870119868 (MParadicm)

Falla bicristal

5119886 047 044

098

10119886 044 043

0933

15119886 042 041

0931

20119886 040 042

0869

33






119869-ERR= minus119889Π

119889119905Δ119897= minus

Δ(119880minus119882)

119889119905Δ119897= minus


119905Δ119897 (30)












34





sistema

119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911

120576119911119911prime

0

(31)




119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909

119889119904)Γ

(32)







119879119894

Γ119901= 120590

119894119895

Γ119901119899119895 (33)

donde 120590119894119895




119908Γ119901 = int 120590119894119895

Γ119901

120576119894119895

0

119889120576119894119895 (34)


120590119894119895



119894119895

Γ119901

35






Γ15 = 0 por



(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)



1198694 = 0





119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585

0

= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 Γ3

(35)






36



119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110

119889120576119911119911 (36)



119869-CTOD=4

120587∙CTOD∙120590119900 (37)








(a)

(b)


37










- (a) (b) (c)









38















39


119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)

Fractura

final en

monocristal

5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9

10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9

15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9

20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9

Primer

rasgamiento

en bicristal

5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9

10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9

15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9

20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9

Fractura

final en

bicristal

5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9

10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9

15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9

20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9




119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400

10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252

15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246

20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085

57 Discusioacuten







58 Conclusiones



hallazgos



40






41

Capiacutetulo 6



aluminio

























42

120590119911119911 =119870119868

119891radic120587 ∙ 1198970 (38)


119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574

(1 minus 120574)32

(39)







fue 119870119862 = 095 MParadicm







119870119868 = radic119869 ∙119864

1 minus 1205842 (40)

43


119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)


120590119911119911119890119902= radic

119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)

1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)









y del bicristal








Bicristal 1361 1237 1324

64 Discusioacuten



44





CI ERR CTOD

Monocristal 000352869 000249363 000211611


Bicristal 003016880 000723650 000614448

65 Conclusiones








45

Capiacutetulo 7


71 Conclusiones
















todos los 1198970






72 Trabajo futuros






46


cualquier otro NC









en la literatura

47

Bibliografiacutea


2845 doi10108014786430412331280382





211 doi101016jprogsurf201303001












273 doi101016jnano200906001






22001 doi1010880960-1317192022001





48




















Mech 50 (2010) 5ndash23 doi101007s11340-009-9301-2












49







(2016) doi101016jmsea201604077

























50











73









doi101016S0257-8972(02)00662-X


(2007) 1694ndash1708 doi101007s10853-006-0968-9



6







51


doi101061(ASCE)NM2153-54770000130











doi10111513601206







27 (1957) 1208 doi10106311743957


Phys 31 (1959) 459 doi10106311730376


A 405-A 411


Chem Phys 60 (1974) 1545ndash1557






52

(1998) 95ndash104



doi101016jmsea201103006




J Chem Phys 81 (1984) 511 doi1010631447334


Phys 50 (1983) 1055ndash1076


doi101007978-0-387-76426-9




x (1874) 407ndash415








doi101098rspa19240082





(2008) 1723ndash1750 doi10108014786430802206482



53




(2016) 314ndash319 doi101016jmsea201604077



doi101016jjmps201006001





doi106122CJP20150928A





doi1010880965-0393208085007



0393181015012




(2009) 041111 doi10106313215722





doi101016jeml201501007



54




doi1010880965-0393124S03



23 (2011) 1ndash12 doi1010880953-8984231015002


(1920) 163ndash198



342






doi101016jjmps201605005








doi101016jjmps201006001






55






0393148008












274ndash283 doi101016jmsea201612060

ii

Iacutendice General

AGRADECIMIENTOS I

RESUMEN VIII

NOMENCLATURA IX

CAPIacuteTULO 1 1

INTRODUCCIOacuteN 1





CAPIacuteTULO 2 5
















iii

CAPIacuteTULO 3 15






17





38 CONCLUSIONES 22

CAPIacuteTULO 4 23







46 CONCLUSIONES 29

CAPIacuteTULO 5 30









iv




58 CONCLUSIONES 39

CAPIacuteTULO 6 41







65 CONCLUSIONES 44

CAPIacuteTULO 7 45


71 CONCLUSIONES 45



v

Listado de Figuras










18

















aluminio 29





vi




120783120782119938 36










vii

Listado de tablas









viii

Resumen



































ix

Nomenclatura

Abreviaturas

BC bicristal









NC nanocristalino






SC monocristal

Letras latinas










119869 integral 119869 J m-2












x










119905 espesor m







119881 volumen m3



Letras griegas




















xi


0 inicial

119891 final


119909 119910 119911 direcciones


1

Capiacutetulo 1

Introduccioacuten


































2










































3




































4







bicrystalrdquo [58]

ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41

5

Capiacutetulo 2




































6






lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1

119873sum119860(119901 119903)

119873

119894=1

(2)



119901120572119894 = 119898120572119907120572


respectivamente





















cuerpos

7





119867 = 119870 + 119880 (3)



119870 =1

2sum119898120572(120572

119894)2119873

120572=1

(4)



119880 = sum119880120572(119903)

119873

120572=1

(5)













8

119865120572119894 = minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(6)


119894 es el vector



de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572


119898120572

d2119903120572119894

d1205912= minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(7)













119865120572119894 = 119898120572

d2119903120572119894

d1205912 (8)















9




119903120572119894(1205910) rarr 119903120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572

119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)

y

120572119894(1205910) rarr 120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572

119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)


continuacioacuten



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +

1

2Δ120591)Δ120591 (11)

y

120572119894 (120591 +

1

2Δ120591) = 120572

119894 (120591 minus1

2Δ120591) + 120572

119894(120591)Δ120591 (12)



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +

1

2120572119894(120591)Δ1205912 (13)

donde

120572119894(120591 + Δ120591) = 120572

119894(120591) +1

2(120572119894(120591) + 120572

119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)












original

10







119903119894119903119890119901

= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)






actual




119879 =2

3

lang119870rang

119873119896119861 (16)




119875 =119873119896119861119879

119881minus1

3

1

119881sum sum lang 119903120572120573

d119880

d119903120572120573rang

119873

120573=1120573lt120572

119873

120572=1

(17)

11



sistema 119881













120590119894119895 =1

119881(minussum119865120572

119894119903120572119895 minus

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

=1

119881

(

minus1

2sumsum

120597119880

120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573

119895

119903120572120573 minus

119873

120573=1120573ne120572

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

(18)



















12




119880 =1

2sum sum 120593(119903120572120573)

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(19)











120593 = 4120598 [(120578

119903120572120573)

12

minus (120578

119903120572120573)

6

] (20)

13






biofiacutesica [70]

119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)




siguiente forma

119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)

119873

120572=1

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(22)


120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572

(23)







14










120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)

15 minus 23

+ 13695567100510(32 minus 119903)4


minus83744769235189(32 minus 119903)7

+29906639687889(32 minus 119903)8


minus23612121457801(48 minus 119903)4

+25279092055084(48 minus 119903)5

minus 33656803584012(48 minus 119903)6

+ 094831589893263(48 minus 119903)7

minus020965407907747(48 minus 119903)8


+024809459274509(65 ndash 119903)4

minus054072248340384(65 minus 119903)5

+046579408228733(65 minus 119903)6

minus018481649031556(65 ndash 119903)7

+0028257788274378(65 minus 119903)⁸


120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4




15

Capiacutetulo 3


computacionales





























16























17




monocristal


























18







(a) (b)









19

















OVITO

20











OVITO









21





22

37 Discusioacuten















38 Conclusiones










23

Capiacutetulo 4

































tensor de Cauchy

120590(119903) = minus1

2119881sum 119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895

(24)

24





Hardy [57]

120590119894119895prime = minus

1

2sum119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)


Hardy [57]

119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573

1

0

+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
















25




[17]

120569(119877) =1

120587ℎ3

(1 minus

3

21199042 +

3

41199043) 119904 le 1

1

4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2


119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|

ℎ

(27)






= minussum [120597Φ120572(120588120572)

120597120588120572

120597120595120573(119903120572120573)

120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)

120597120588120573

120597120595120572(119903120572120573)

120597119903120572120573120573ne120572

+120597120593120572120573(119903120572120573)

120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573

119894

119903120572120573)

(28)



usando OpenMP







26

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886 1198970 = 7119886

1198970 = 8119886 1198970 = 9119886




27


1198970

120590119911119911 DM


Hardy

Diferencia

porcentual ()

4119886 293 282 375

5119886 279 266 466

6119886 27 258 444

7119886 245 218 1102

8119886 186 168 967

9119886 169 152 1005








1198970

Esfuerzo

global maacuteximo

DM

reduccioacuten

4119886 314 4919

5119886 297 5194

6119886 289 5324

7119886 251 5939

8119886 236 6181

9119886 217 6489







28

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886

1198970 = 7119886

1198970 = 8119886

1198970 = 9119886










con 1198970 = 10119886

29


aluminio

45 Discusioacuten






46 Conclusiones


hallazgos









30

Capiacutetulo 5



































31














119870119868 = radic120587

4∙ 119862119879119874119863 ∙

119864

1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)





32














1198970

119870119868 (MParadicm)

Falla monocristal

119870119868 (MParadicm)

Primer rasgamiento

119870119868 (MParadicm)

Falla bicristal

5119886 047 044

098

10119886 044 043

0933

15119886 042 041

0931

20119886 040 042

0869

33






119869-ERR= minus119889Π

119889119905Δ119897= minus

Δ(119880minus119882)

119889119905Δ119897= minus


119905Δ119897 (30)












34





sistema

119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911

120576119911119911prime

0

(31)




119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909

119889119904)Γ

(32)







119879119894

Γ119901= 120590

119894119895

Γ119901119899119895 (33)

donde 120590119894119895




119908Γ119901 = int 120590119894119895

Γ119901

120576119894119895

0

119889120576119894119895 (34)


120590119894119895



119894119895

Γ119901

35






Γ15 = 0 por



(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)



1198694 = 0





119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585

0

= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 Γ3

(35)






36



119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110

119889120576119911119911 (36)



119869-CTOD=4

120587∙CTOD∙120590119900 (37)








(a)

(b)


37










- (a) (b) (c)









38















39


119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)

Fractura

final en

monocristal

5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9

10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9

15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9

20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9

Primer

rasgamiento

en bicristal

5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9

10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9

15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9

20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9

Fractura

final en

bicristal

5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9

10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9

15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9

20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9




119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400

10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252

15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246

20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085

57 Discusioacuten







58 Conclusiones



hallazgos



40






41

Capiacutetulo 6



aluminio

























42

120590119911119911 =119870119868

119891radic120587 ∙ 1198970 (38)


119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574

(1 minus 120574)32

(39)







fue 119870119862 = 095 MParadicm







119870119868 = radic119869 ∙119864

1 minus 1205842 (40)

43


119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)


120590119911119911119890119902= radic

119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)

1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)









y del bicristal








Bicristal 1361 1237 1324

64 Discusioacuten



44





CI ERR CTOD

Monocristal 000352869 000249363 000211611


Bicristal 003016880 000723650 000614448

65 Conclusiones








45

Capiacutetulo 7


71 Conclusiones
















todos los 1198970






72 Trabajo futuros






46


cualquier otro NC









en la literatura

47

Bibliografiacutea


2845 doi10108014786430412331280382





211 doi101016jprogsurf201303001












273 doi101016jnano200906001






22001 doi1010880960-1317192022001





48




















Mech 50 (2010) 5ndash23 doi101007s11340-009-9301-2












49







(2016) doi101016jmsea201604077

























50











73









doi101016S0257-8972(02)00662-X


(2007) 1694ndash1708 doi101007s10853-006-0968-9



6







51


doi101061(ASCE)NM2153-54770000130











doi10111513601206







27 (1957) 1208 doi10106311743957


Phys 31 (1959) 459 doi10106311730376


A 405-A 411


Chem Phys 60 (1974) 1545ndash1557






52

(1998) 95ndash104



doi101016jmsea201103006




J Chem Phys 81 (1984) 511 doi1010631447334


Phys 50 (1983) 1055ndash1076


doi101007978-0-387-76426-9




x (1874) 407ndash415








doi101098rspa19240082





(2008) 1723ndash1750 doi10108014786430802206482



53




(2016) 314ndash319 doi101016jmsea201604077



doi101016jjmps201006001





doi106122CJP20150928A





doi1010880965-0393208085007



0393181015012




(2009) 041111 doi10106313215722





doi101016jeml201501007



54




doi1010880965-0393124S03



23 (2011) 1ndash12 doi1010880953-8984231015002


(1920) 163ndash198



342






doi101016jjmps201605005








doi101016jjmps201006001






55






0393148008












274ndash283 doi101016jmsea201612060

iii

CAPIacuteTULO 3 15






17





38 CONCLUSIONES 22

CAPIacuteTULO 4 23







46 CONCLUSIONES 29

CAPIacuteTULO 5 30









iv




58 CONCLUSIONES 39

CAPIacuteTULO 6 41







65 CONCLUSIONES 44

CAPIacuteTULO 7 45


71 CONCLUSIONES 45



v

Listado de Figuras










18

















aluminio 29





vi




120783120782119938 36










vii

Listado de tablas









viii

Resumen



































ix

Nomenclatura

Abreviaturas

BC bicristal









NC nanocristalino






SC monocristal

Letras latinas










119869 integral 119869 J m-2












x










119905 espesor m







119881 volumen m3



Letras griegas




















xi


0 inicial

119891 final


119909 119910 119911 direcciones


1

Capiacutetulo 1

Introduccioacuten


































2










































3




































4







bicrystalrdquo [58]

ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41

5

Capiacutetulo 2




































6






lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1

119873sum119860(119901 119903)

119873

119894=1

(2)



119901120572119894 = 119898120572119907120572


respectivamente





















cuerpos

7





119867 = 119870 + 119880 (3)



119870 =1

2sum119898120572(120572

119894)2119873

120572=1

(4)



119880 = sum119880120572(119903)

119873

120572=1

(5)













8

119865120572119894 = minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(6)


119894 es el vector



de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572


119898120572

d2119903120572119894

d1205912= minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(7)













119865120572119894 = 119898120572

d2119903120572119894

d1205912 (8)















9




119903120572119894(1205910) rarr 119903120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572

119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)

y

120572119894(1205910) rarr 120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572

119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)


continuacioacuten



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +

1

2Δ120591)Δ120591 (11)

y

120572119894 (120591 +

1

2Δ120591) = 120572

119894 (120591 minus1

2Δ120591) + 120572

119894(120591)Δ120591 (12)



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +

1

2120572119894(120591)Δ1205912 (13)

donde

120572119894(120591 + Δ120591) = 120572

119894(120591) +1

2(120572119894(120591) + 120572

119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)












original

10







119903119894119903119890119901

= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)






actual




119879 =2

3

lang119870rang

119873119896119861 (16)




119875 =119873119896119861119879

119881minus1

3

1

119881sum sum lang 119903120572120573

d119880

d119903120572120573rang

119873

120573=1120573lt120572

119873

120572=1

(17)

11



sistema 119881













120590119894119895 =1

119881(minussum119865120572

119894119903120572119895 minus

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

=1

119881

(

minus1

2sumsum

120597119880

120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573

119895

119903120572120573 minus

119873

120573=1120573ne120572

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

(18)



















12




119880 =1

2sum sum 120593(119903120572120573)

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(19)











120593 = 4120598 [(120578

119903120572120573)

12

minus (120578

119903120572120573)

6

] (20)

13






biofiacutesica [70]

119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)




siguiente forma

119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)

119873

120572=1

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(22)


120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572

(23)







14










120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)

15 minus 23

+ 13695567100510(32 minus 119903)4


minus83744769235189(32 minus 119903)7

+29906639687889(32 minus 119903)8


minus23612121457801(48 minus 119903)4

+25279092055084(48 minus 119903)5

minus 33656803584012(48 minus 119903)6

+ 094831589893263(48 minus 119903)7

minus020965407907747(48 minus 119903)8


+024809459274509(65 ndash 119903)4

minus054072248340384(65 minus 119903)5

+046579408228733(65 minus 119903)6

minus018481649031556(65 ndash 119903)7

+0028257788274378(65 minus 119903)⁸


120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4




15

Capiacutetulo 3


computacionales





























16























17




monocristal


























18







(a) (b)









19

















OVITO

20











OVITO









21





22

37 Discusioacuten















38 Conclusiones










23

Capiacutetulo 4

































tensor de Cauchy

120590(119903) = minus1

2119881sum 119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895

(24)

24





Hardy [57]

120590119894119895prime = minus

1

2sum119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)


Hardy [57]

119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573

1

0

+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
















25




[17]

120569(119877) =1

120587ℎ3

(1 minus

3

21199042 +

3

41199043) 119904 le 1

1

4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2


119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|

ℎ

(27)






= minussum [120597Φ120572(120588120572)

120597120588120572

120597120595120573(119903120572120573)

120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)

120597120588120573

120597120595120572(119903120572120573)

120597119903120572120573120573ne120572

+120597120593120572120573(119903120572120573)

120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573

119894

119903120572120573)

(28)



usando OpenMP







26

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886 1198970 = 7119886

1198970 = 8119886 1198970 = 9119886




27


1198970

120590119911119911 DM


Hardy

Diferencia

porcentual ()

4119886 293 282 375

5119886 279 266 466

6119886 27 258 444

7119886 245 218 1102

8119886 186 168 967

9119886 169 152 1005








1198970

Esfuerzo

global maacuteximo

DM

reduccioacuten

4119886 314 4919

5119886 297 5194

6119886 289 5324

7119886 251 5939

8119886 236 6181

9119886 217 6489







28

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886

1198970 = 7119886

1198970 = 8119886

1198970 = 9119886










con 1198970 = 10119886

29


aluminio

45 Discusioacuten






46 Conclusiones


hallazgos









30

Capiacutetulo 5



































31














119870119868 = radic120587

4∙ 119862119879119874119863 ∙

119864

1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)





32














1198970

119870119868 (MParadicm)

Falla monocristal

119870119868 (MParadicm)

Primer rasgamiento

119870119868 (MParadicm)

Falla bicristal

5119886 047 044

098

10119886 044 043

0933

15119886 042 041

0931

20119886 040 042

0869

33






119869-ERR= minus119889Π

119889119905Δ119897= minus

Δ(119880minus119882)

119889119905Δ119897= minus


119905Δ119897 (30)












34





sistema

119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911

120576119911119911prime

0

(31)




119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909

119889119904)Γ

(32)







119879119894

Γ119901= 120590

119894119895

Γ119901119899119895 (33)

donde 120590119894119895




119908Γ119901 = int 120590119894119895

Γ119901

120576119894119895

0

119889120576119894119895 (34)


120590119894119895



119894119895

Γ119901

35






Γ15 = 0 por



(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)



1198694 = 0





119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585

0

= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 Γ3

(35)






36



119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110

119889120576119911119911 (36)



119869-CTOD=4

120587∙CTOD∙120590119900 (37)








(a)

(b)


37










- (a) (b) (c)









38















39


119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)

Fractura

final en

monocristal

5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9

10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9

15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9

20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9

Primer

rasgamiento

en bicristal

5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9

10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9

15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9

20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9

Fractura

final en

bicristal

5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9

10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9

15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9

20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9




119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400

10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252

15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246

20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085

57 Discusioacuten







58 Conclusiones



hallazgos



40






41

Capiacutetulo 6



aluminio

























42

120590119911119911 =119870119868

119891radic120587 ∙ 1198970 (38)


119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574

(1 minus 120574)32

(39)







fue 119870119862 = 095 MParadicm







119870119868 = radic119869 ∙119864

1 minus 1205842 (40)

43


119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)


120590119911119911119890119902= radic

119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)

1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)









y del bicristal








Bicristal 1361 1237 1324

64 Discusioacuten



44





CI ERR CTOD

Monocristal 000352869 000249363 000211611


Bicristal 003016880 000723650 000614448

65 Conclusiones








45

Capiacutetulo 7


71 Conclusiones
















todos los 1198970






72 Trabajo futuros






46


cualquier otro NC









en la literatura

47

Bibliografiacutea


2845 doi10108014786430412331280382





211 doi101016jprogsurf201303001












273 doi101016jnano200906001






22001 doi1010880960-1317192022001





48




















Mech 50 (2010) 5ndash23 doi101007s11340-009-9301-2












49







(2016) doi101016jmsea201604077

























50











73









doi101016S0257-8972(02)00662-X


(2007) 1694ndash1708 doi101007s10853-006-0968-9



6







51


doi101061(ASCE)NM2153-54770000130











doi10111513601206







27 (1957) 1208 doi10106311743957


Phys 31 (1959) 459 doi10106311730376


A 405-A 411


Chem Phys 60 (1974) 1545ndash1557






52

(1998) 95ndash104



doi101016jmsea201103006




J Chem Phys 81 (1984) 511 doi1010631447334


Phys 50 (1983) 1055ndash1076


doi101007978-0-387-76426-9




x (1874) 407ndash415








doi101098rspa19240082





(2008) 1723ndash1750 doi10108014786430802206482



53




(2016) 314ndash319 doi101016jmsea201604077



doi101016jjmps201006001





doi106122CJP20150928A





doi1010880965-0393208085007



0393181015012




(2009) 041111 doi10106313215722





doi101016jeml201501007



54




doi1010880965-0393124S03



23 (2011) 1ndash12 doi1010880953-8984231015002


(1920) 163ndash198



342






doi101016jjmps201605005








doi101016jjmps201006001






55






0393148008












274ndash283 doi101016jmsea201612060

iv




58 CONCLUSIONES 39

CAPIacuteTULO 6 41







65 CONCLUSIONES 44

CAPIacuteTULO 7 45


71 CONCLUSIONES 45



v

Listado de Figuras










18

















aluminio 29





vi




120783120782119938 36










vii

Listado de tablas









viii

Resumen



































ix

Nomenclatura

Abreviaturas

BC bicristal









NC nanocristalino






SC monocristal

Letras latinas










119869 integral 119869 J m-2












x










119905 espesor m







119881 volumen m3



Letras griegas




















xi


0 inicial

119891 final


119909 119910 119911 direcciones


1

Capiacutetulo 1

Introduccioacuten


































2










































3




































4







bicrystalrdquo [58]

ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41

5

Capiacutetulo 2




































6






lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1

119873sum119860(119901 119903)

119873

119894=1

(2)



119901120572119894 = 119898120572119907120572


respectivamente





















cuerpos

7





119867 = 119870 + 119880 (3)



119870 =1

2sum119898120572(120572

119894)2119873

120572=1

(4)



119880 = sum119880120572(119903)

119873

120572=1

(5)













8

119865120572119894 = minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(6)


119894 es el vector



de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572


119898120572

d2119903120572119894

d1205912= minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(7)













119865120572119894 = 119898120572

d2119903120572119894

d1205912 (8)















9




119903120572119894(1205910) rarr 119903120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572

119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)

y

120572119894(1205910) rarr 120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572

119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)


continuacioacuten



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +

1

2Δ120591)Δ120591 (11)

y

120572119894 (120591 +

1

2Δ120591) = 120572

119894 (120591 minus1

2Δ120591) + 120572

119894(120591)Δ120591 (12)



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +

1

2120572119894(120591)Δ1205912 (13)

donde

120572119894(120591 + Δ120591) = 120572

119894(120591) +1

2(120572119894(120591) + 120572

119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)












original

10







119903119894119903119890119901

= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)






actual




119879 =2

3

lang119870rang

119873119896119861 (16)




119875 =119873119896119861119879

119881minus1

3

1

119881sum sum lang 119903120572120573

d119880

d119903120572120573rang

119873

120573=1120573lt120572

119873

120572=1

(17)

11



sistema 119881













120590119894119895 =1

119881(minussum119865120572

119894119903120572119895 minus

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

=1

119881

(

minus1

2sumsum

120597119880

120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573

119895

119903120572120573 minus

119873

120573=1120573ne120572

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

(18)



















12




119880 =1

2sum sum 120593(119903120572120573)

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(19)











120593 = 4120598 [(120578

119903120572120573)

12

minus (120578

119903120572120573)

6

] (20)

13






biofiacutesica [70]

119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)




siguiente forma

119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)

119873

120572=1

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(22)


120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572

(23)







14










120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)

15 minus 23

+ 13695567100510(32 minus 119903)4


minus83744769235189(32 minus 119903)7

+29906639687889(32 minus 119903)8


minus23612121457801(48 minus 119903)4

+25279092055084(48 minus 119903)5

minus 33656803584012(48 minus 119903)6

+ 094831589893263(48 minus 119903)7

minus020965407907747(48 minus 119903)8


+024809459274509(65 ndash 119903)4

minus054072248340384(65 minus 119903)5

+046579408228733(65 minus 119903)6

minus018481649031556(65 ndash 119903)7

+0028257788274378(65 minus 119903)⁸


120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4




15

Capiacutetulo 3


computacionales





























16























17




monocristal


























18







(a) (b)









19

















OVITO

20











OVITO









21





22

37 Discusioacuten















38 Conclusiones










23

Capiacutetulo 4

































tensor de Cauchy

120590(119903) = minus1

2119881sum 119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895

(24)

24





Hardy [57]

120590119894119895prime = minus

1

2sum119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)


Hardy [57]

119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573

1

0

+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
















25




[17]

120569(119877) =1

120587ℎ3

(1 minus

3

21199042 +

3

41199043) 119904 le 1

1

4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2


119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|

ℎ

(27)






= minussum [120597Φ120572(120588120572)

120597120588120572

120597120595120573(119903120572120573)

120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)

120597120588120573

120597120595120572(119903120572120573)

120597119903120572120573120573ne120572

+120597120593120572120573(119903120572120573)

120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573

119894

119903120572120573)

(28)



usando OpenMP







26

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886 1198970 = 7119886

1198970 = 8119886 1198970 = 9119886




27


1198970

120590119911119911 DM


Hardy

Diferencia

porcentual ()

4119886 293 282 375

5119886 279 266 466

6119886 27 258 444

7119886 245 218 1102

8119886 186 168 967

9119886 169 152 1005








1198970

Esfuerzo

global maacuteximo

DM

reduccioacuten

4119886 314 4919

5119886 297 5194

6119886 289 5324

7119886 251 5939

8119886 236 6181

9119886 217 6489







28

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886

1198970 = 7119886

1198970 = 8119886

1198970 = 9119886










con 1198970 = 10119886

29


aluminio

45 Discusioacuten






46 Conclusiones


hallazgos









30

Capiacutetulo 5



































31














119870119868 = radic120587

4∙ 119862119879119874119863 ∙

119864

1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)





32














1198970

119870119868 (MParadicm)

Falla monocristal

119870119868 (MParadicm)

Primer rasgamiento

119870119868 (MParadicm)

Falla bicristal

5119886 047 044

098

10119886 044 043

0933

15119886 042 041

0931

20119886 040 042

0869

33






119869-ERR= minus119889Π

119889119905Δ119897= minus

Δ(119880minus119882)

119889119905Δ119897= minus


119905Δ119897 (30)












34





sistema

119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911

120576119911119911prime

0

(31)




119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909

119889119904)Γ

(32)







119879119894

Γ119901= 120590

119894119895

Γ119901119899119895 (33)

donde 120590119894119895




119908Γ119901 = int 120590119894119895

Γ119901

120576119894119895

0

119889120576119894119895 (34)


120590119894119895



119894119895

Γ119901

35






Γ15 = 0 por



(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)



1198694 = 0





119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585

0

= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 Γ3

(35)






36



119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110

119889120576119911119911 (36)



119869-CTOD=4

120587∙CTOD∙120590119900 (37)








(a)

(b)


37










- (a) (b) (c)









38















39


119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)

Fractura

final en

monocristal

5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9

10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9

15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9

20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9

Primer

rasgamiento

en bicristal

5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9

10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9

15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9

20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9

Fractura

final en

bicristal

5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9

10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9

15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9

20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9




119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400

10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252

15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246

20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085

57 Discusioacuten







58 Conclusiones



hallazgos



40






41

Capiacutetulo 6



aluminio

























42

120590119911119911 =119870119868

119891radic120587 ∙ 1198970 (38)


119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574

(1 minus 120574)32

(39)







fue 119870119862 = 095 MParadicm







119870119868 = radic119869 ∙119864

1 minus 1205842 (40)

43


119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)


120590119911119911119890119902= radic

119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)

1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)









y del bicristal








Bicristal 1361 1237 1324

64 Discusioacuten



44





CI ERR CTOD

Monocristal 000352869 000249363 000211611


Bicristal 003016880 000723650 000614448

65 Conclusiones








45

Capiacutetulo 7


71 Conclusiones
















todos los 1198970






72 Trabajo futuros






46


cualquier otro NC









en la literatura

47

Bibliografiacutea


2845 doi10108014786430412331280382





211 doi101016jprogsurf201303001












273 doi101016jnano200906001






22001 doi1010880960-1317192022001





48




















Mech 50 (2010) 5ndash23 doi101007s11340-009-9301-2












49







(2016) doi101016jmsea201604077

























50











73









doi101016S0257-8972(02)00662-X


(2007) 1694ndash1708 doi101007s10853-006-0968-9



6







51


doi101061(ASCE)NM2153-54770000130











doi10111513601206







27 (1957) 1208 doi10106311743957


Phys 31 (1959) 459 doi10106311730376


A 405-A 411


Chem Phys 60 (1974) 1545ndash1557






52

(1998) 95ndash104



doi101016jmsea201103006




J Chem Phys 81 (1984) 511 doi1010631447334


Phys 50 (1983) 1055ndash1076


doi101007978-0-387-76426-9




x (1874) 407ndash415








doi101098rspa19240082





(2008) 1723ndash1750 doi10108014786430802206482



53




(2016) 314ndash319 doi101016jmsea201604077



doi101016jjmps201006001





doi106122CJP20150928A





doi1010880965-0393208085007



0393181015012




(2009) 041111 doi10106313215722





doi101016jeml201501007



54




doi1010880965-0393124S03



23 (2011) 1ndash12 doi1010880953-8984231015002


(1920) 163ndash198



342






doi101016jjmps201605005








doi101016jjmps201006001






55






0393148008












274ndash283 doi101016jmsea201612060

v

Listado de Figuras










18

















aluminio 29





vi




120783120782119938 36










vii

Listado de tablas









viii

Resumen



































ix

Nomenclatura

Abreviaturas

BC bicristal









NC nanocristalino






SC monocristal

Letras latinas










119869 integral 119869 J m-2












x










119905 espesor m







119881 volumen m3



Letras griegas




















xi


0 inicial

119891 final


119909 119910 119911 direcciones


1

Capiacutetulo 1

Introduccioacuten


































2










































3




































4







bicrystalrdquo [58]

ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41

5

Capiacutetulo 2




































6






lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1

119873sum119860(119901 119903)

119873

119894=1

(2)



119901120572119894 = 119898120572119907120572


respectivamente





















cuerpos

7





119867 = 119870 + 119880 (3)



119870 =1

2sum119898120572(120572

119894)2119873

120572=1

(4)



119880 = sum119880120572(119903)

119873

120572=1

(5)













8

119865120572119894 = minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(6)


119894 es el vector



de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572


119898120572

d2119903120572119894

d1205912= minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(7)













119865120572119894 = 119898120572

d2119903120572119894

d1205912 (8)















9




119903120572119894(1205910) rarr 119903120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572

119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)

y

120572119894(1205910) rarr 120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572

119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)


continuacioacuten



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +

1

2Δ120591)Δ120591 (11)

y

120572119894 (120591 +

1

2Δ120591) = 120572

119894 (120591 minus1

2Δ120591) + 120572

119894(120591)Δ120591 (12)



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +

1

2120572119894(120591)Δ1205912 (13)

donde

120572119894(120591 + Δ120591) = 120572

119894(120591) +1

2(120572119894(120591) + 120572

119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)












original

10







119903119894119903119890119901

= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)






actual




119879 =2

3

lang119870rang

119873119896119861 (16)




119875 =119873119896119861119879

119881minus1

3

1

119881sum sum lang 119903120572120573

d119880

d119903120572120573rang

119873

120573=1120573lt120572

119873

120572=1

(17)

11



sistema 119881













120590119894119895 =1

119881(minussum119865120572

119894119903120572119895 minus

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

=1

119881

(

minus1

2sumsum

120597119880

120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573

119895

119903120572120573 minus

119873

120573=1120573ne120572

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

(18)



















12




119880 =1

2sum sum 120593(119903120572120573)

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(19)











120593 = 4120598 [(120578

119903120572120573)

12

minus (120578

119903120572120573)

6

] (20)

13






biofiacutesica [70]

119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)




siguiente forma

119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)

119873

120572=1

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(22)


120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572

(23)







14










120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)

15 minus 23

+ 13695567100510(32 minus 119903)4


minus83744769235189(32 minus 119903)7

+29906639687889(32 minus 119903)8


minus23612121457801(48 minus 119903)4

+25279092055084(48 minus 119903)5

minus 33656803584012(48 minus 119903)6

+ 094831589893263(48 minus 119903)7

minus020965407907747(48 minus 119903)8


+024809459274509(65 ndash 119903)4

minus054072248340384(65 minus 119903)5

+046579408228733(65 minus 119903)6

minus018481649031556(65 ndash 119903)7

+0028257788274378(65 minus 119903)⁸


120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4




15

Capiacutetulo 3


computacionales





























16























17




monocristal


























18







(a) (b)









19

















OVITO

20











OVITO









21





22

37 Discusioacuten















38 Conclusiones










23

Capiacutetulo 4

































tensor de Cauchy

120590(119903) = minus1

2119881sum 119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895

(24)

24





Hardy [57]

120590119894119895prime = minus

1

2sum119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)


Hardy [57]

119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573

1

0

+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
















25




[17]

120569(119877) =1

120587ℎ3

(1 minus

3

21199042 +

3

41199043) 119904 le 1

1

4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2


119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|

ℎ

(27)






= minussum [120597Φ120572(120588120572)

120597120588120572

120597120595120573(119903120572120573)

120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)

120597120588120573

120597120595120572(119903120572120573)

120597119903120572120573120573ne120572

+120597120593120572120573(119903120572120573)

120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573

119894

119903120572120573)

(28)



usando OpenMP







26

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886 1198970 = 7119886

1198970 = 8119886 1198970 = 9119886




27


1198970

120590119911119911 DM


Hardy

Diferencia

porcentual ()

4119886 293 282 375

5119886 279 266 466

6119886 27 258 444

7119886 245 218 1102

8119886 186 168 967

9119886 169 152 1005








1198970

Esfuerzo

global maacuteximo

DM

reduccioacuten

4119886 314 4919

5119886 297 5194

6119886 289 5324

7119886 251 5939

8119886 236 6181

9119886 217 6489







28

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886

1198970 = 7119886

1198970 = 8119886

1198970 = 9119886










con 1198970 = 10119886

29


aluminio

45 Discusioacuten






46 Conclusiones


hallazgos









30

Capiacutetulo 5



































31














119870119868 = radic120587

4∙ 119862119879119874119863 ∙

119864

1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)





32














1198970

119870119868 (MParadicm)

Falla monocristal

119870119868 (MParadicm)

Primer rasgamiento

119870119868 (MParadicm)

Falla bicristal

5119886 047 044

098

10119886 044 043

0933

15119886 042 041

0931

20119886 040 042

0869

33






119869-ERR= minus119889Π

119889119905Δ119897= minus

Δ(119880minus119882)

119889119905Δ119897= minus


119905Δ119897 (30)












34





sistema

119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911

120576119911119911prime

0

(31)




119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909

119889119904)Γ

(32)







119879119894

Γ119901= 120590

119894119895

Γ119901119899119895 (33)

donde 120590119894119895




119908Γ119901 = int 120590119894119895

Γ119901

120576119894119895

0

119889120576119894119895 (34)


120590119894119895



119894119895

Γ119901

35






Γ15 = 0 por



(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)



1198694 = 0





119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585

0

= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 Γ3

(35)






36



119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110

119889120576119911119911 (36)



119869-CTOD=4

120587∙CTOD∙120590119900 (37)








(a)

(b)


37










- (a) (b) (c)









38















39


119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)

Fractura

final en

monocristal

5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9

10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9

15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9

20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9

Primer

rasgamiento

en bicristal

5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9

10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9

15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9

20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9

Fractura

final en

bicristal

5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9

10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9

15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9

20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9




119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400

10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252

15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246

20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085

57 Discusioacuten







58 Conclusiones



hallazgos



40






41

Capiacutetulo 6



aluminio

























42

120590119911119911 =119870119868

119891radic120587 ∙ 1198970 (38)


119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574

(1 minus 120574)32

(39)







fue 119870119862 = 095 MParadicm







119870119868 = radic119869 ∙119864

1 minus 1205842 (40)

43


119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)


120590119911119911119890119902= radic

119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)

1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)









y del bicristal








Bicristal 1361 1237 1324

64 Discusioacuten



44





CI ERR CTOD

Monocristal 000352869 000249363 000211611


Bicristal 003016880 000723650 000614448

65 Conclusiones








45

Capiacutetulo 7


71 Conclusiones
















todos los 1198970






72 Trabajo futuros






46


cualquier otro NC









en la literatura

47

Bibliografiacutea


2845 doi10108014786430412331280382





211 doi101016jprogsurf201303001












273 doi101016jnano200906001






22001 doi1010880960-1317192022001





48




















Mech 50 (2010) 5ndash23 doi101007s11340-009-9301-2












49







(2016) doi101016jmsea201604077

























50











73









doi101016S0257-8972(02)00662-X


(2007) 1694ndash1708 doi101007s10853-006-0968-9



6







51


doi101061(ASCE)NM2153-54770000130











doi10111513601206







27 (1957) 1208 doi10106311743957


Phys 31 (1959) 459 doi10106311730376


A 405-A 411


Chem Phys 60 (1974) 1545ndash1557






52

(1998) 95ndash104



doi101016jmsea201103006




J Chem Phys 81 (1984) 511 doi1010631447334


Phys 50 (1983) 1055ndash1076


doi101007978-0-387-76426-9




x (1874) 407ndash415








doi101098rspa19240082





(2008) 1723ndash1750 doi10108014786430802206482



53




(2016) 314ndash319 doi101016jmsea201604077



doi101016jjmps201006001





doi106122CJP20150928A





doi1010880965-0393208085007



0393181015012




(2009) 041111 doi10106313215722





doi101016jeml201501007



54




doi1010880965-0393124S03



23 (2011) 1ndash12 doi1010880953-8984231015002


(1920) 163ndash198



342






doi101016jjmps201605005








doi101016jjmps201006001






55






0393148008












274ndash283 doi101016jmsea201612060

vi




120783120782119938 36










vii

Listado de tablas









viii

Resumen



































ix

Nomenclatura

Abreviaturas

BC bicristal









NC nanocristalino






SC monocristal

Letras latinas










119869 integral 119869 J m-2












x










119905 espesor m







119881 volumen m3



Letras griegas




















xi


0 inicial

119891 final


119909 119910 119911 direcciones


1

Capiacutetulo 1

Introduccioacuten


































2










































3




































4







bicrystalrdquo [58]

ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41

5

Capiacutetulo 2




































6






lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1

119873sum119860(119901 119903)

119873

119894=1

(2)



119901120572119894 = 119898120572119907120572


respectivamente





















cuerpos

7





119867 = 119870 + 119880 (3)



119870 =1

2sum119898120572(120572

119894)2119873

120572=1

(4)



119880 = sum119880120572(119903)

119873

120572=1

(5)













8

119865120572119894 = minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(6)


119894 es el vector



de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572


119898120572

d2119903120572119894

d1205912= minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(7)













119865120572119894 = 119898120572

d2119903120572119894

d1205912 (8)















9




119903120572119894(1205910) rarr 119903120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572

119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)

y

120572119894(1205910) rarr 120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572

119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)


continuacioacuten



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +

1

2Δ120591)Δ120591 (11)

y

120572119894 (120591 +

1

2Δ120591) = 120572

119894 (120591 minus1

2Δ120591) + 120572

119894(120591)Δ120591 (12)



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +

1

2120572119894(120591)Δ1205912 (13)

donde

120572119894(120591 + Δ120591) = 120572

119894(120591) +1

2(120572119894(120591) + 120572

119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)












original

10







119903119894119903119890119901

= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)






actual




119879 =2

3

lang119870rang

119873119896119861 (16)




119875 =119873119896119861119879

119881minus1

3

1

119881sum sum lang 119903120572120573

d119880

d119903120572120573rang

119873

120573=1120573lt120572

119873

120572=1

(17)

11



sistema 119881













120590119894119895 =1

119881(minussum119865120572

119894119903120572119895 minus

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

=1

119881

(

minus1

2sumsum

120597119880

120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573

119895

119903120572120573 minus

119873

120573=1120573ne120572

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

(18)



















12




119880 =1

2sum sum 120593(119903120572120573)

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(19)











120593 = 4120598 [(120578

119903120572120573)

12

minus (120578

119903120572120573)

6

] (20)

13






biofiacutesica [70]

119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)




siguiente forma

119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)

119873

120572=1

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(22)


120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572

(23)







14










120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)

15 minus 23

+ 13695567100510(32 minus 119903)4


minus83744769235189(32 minus 119903)7

+29906639687889(32 minus 119903)8


minus23612121457801(48 minus 119903)4

+25279092055084(48 minus 119903)5

minus 33656803584012(48 minus 119903)6

+ 094831589893263(48 minus 119903)7

minus020965407907747(48 minus 119903)8


+024809459274509(65 ndash 119903)4

minus054072248340384(65 minus 119903)5

+046579408228733(65 minus 119903)6

minus018481649031556(65 ndash 119903)7

+0028257788274378(65 minus 119903)⁸


120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4




15

Capiacutetulo 3


computacionales





























16























17




monocristal


























18







(a) (b)









19

















OVITO

20











OVITO









21





22

37 Discusioacuten















38 Conclusiones










23

Capiacutetulo 4

































tensor de Cauchy

120590(119903) = minus1

2119881sum 119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895

(24)

24





Hardy [57]

120590119894119895prime = minus

1

2sum119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)


Hardy [57]

119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573

1

0

+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
















25




[17]

120569(119877) =1

120587ℎ3

(1 minus

3

21199042 +

3

41199043) 119904 le 1

1

4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2


119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|

ℎ

(27)






= minussum [120597Φ120572(120588120572)

120597120588120572

120597120595120573(119903120572120573)

120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)

120597120588120573

120597120595120572(119903120572120573)

120597119903120572120573120573ne120572

+120597120593120572120573(119903120572120573)

120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573

119894

119903120572120573)

(28)



usando OpenMP







26

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886 1198970 = 7119886

1198970 = 8119886 1198970 = 9119886




27


1198970

120590119911119911 DM


Hardy

Diferencia

porcentual ()

4119886 293 282 375

5119886 279 266 466

6119886 27 258 444

7119886 245 218 1102

8119886 186 168 967

9119886 169 152 1005








1198970

Esfuerzo

global maacuteximo

DM

reduccioacuten

4119886 314 4919

5119886 297 5194

6119886 289 5324

7119886 251 5939

8119886 236 6181

9119886 217 6489







28

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886

1198970 = 7119886

1198970 = 8119886

1198970 = 9119886










con 1198970 = 10119886

29


aluminio

45 Discusioacuten






46 Conclusiones


hallazgos









30

Capiacutetulo 5



































31














119870119868 = radic120587

4∙ 119862119879119874119863 ∙

119864

1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)





32














1198970

119870119868 (MParadicm)

Falla monocristal

119870119868 (MParadicm)

Primer rasgamiento

119870119868 (MParadicm)

Falla bicristal

5119886 047 044

098

10119886 044 043

0933

15119886 042 041

0931

20119886 040 042

0869

33






119869-ERR= minus119889Π

119889119905Δ119897= minus

Δ(119880minus119882)

119889119905Δ119897= minus


119905Δ119897 (30)












34





sistema

119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911

120576119911119911prime

0

(31)




119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909

119889119904)Γ

(32)







119879119894

Γ119901= 120590

119894119895

Γ119901119899119895 (33)

donde 120590119894119895




119908Γ119901 = int 120590119894119895

Γ119901

120576119894119895

0

119889120576119894119895 (34)


120590119894119895



119894119895

Γ119901

35






Γ15 = 0 por



(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)



1198694 = 0





119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585

0

= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 Γ3

(35)






36



119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110

119889120576119911119911 (36)



119869-CTOD=4

120587∙CTOD∙120590119900 (37)








(a)

(b)


37










- (a) (b) (c)









38















39


119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)

Fractura

final en

monocristal

5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9

10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9

15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9

20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9

Primer

rasgamiento

en bicristal

5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9

10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9

15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9

20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9

Fractura

final en

bicristal

5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9

10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9

15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9

20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9




119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400

10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252

15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246

20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085

57 Discusioacuten







58 Conclusiones



hallazgos



40






41

Capiacutetulo 6



aluminio

























42

120590119911119911 =119870119868

119891radic120587 ∙ 1198970 (38)


119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574

(1 minus 120574)32

(39)







fue 119870119862 = 095 MParadicm







119870119868 = radic119869 ∙119864

1 minus 1205842 (40)

43


119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)


120590119911119911119890119902= radic

119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)

1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)









y del bicristal








Bicristal 1361 1237 1324

64 Discusioacuten



44





CI ERR CTOD

Monocristal 000352869 000249363 000211611


Bicristal 003016880 000723650 000614448

65 Conclusiones








45

Capiacutetulo 7


71 Conclusiones
















todos los 1198970






72 Trabajo futuros






46


cualquier otro NC









en la literatura

47

Bibliografiacutea


2845 doi10108014786430412331280382





211 doi101016jprogsurf201303001












273 doi101016jnano200906001






22001 doi1010880960-1317192022001





48




















Mech 50 (2010) 5ndash23 doi101007s11340-009-9301-2












49







(2016) doi101016jmsea201604077

























50











73









doi101016S0257-8972(02)00662-X


(2007) 1694ndash1708 doi101007s10853-006-0968-9



6







51


doi101061(ASCE)NM2153-54770000130











doi10111513601206







27 (1957) 1208 doi10106311743957


Phys 31 (1959) 459 doi10106311730376


A 405-A 411


Chem Phys 60 (1974) 1545ndash1557






52

(1998) 95ndash104



doi101016jmsea201103006




J Chem Phys 81 (1984) 511 doi1010631447334


Phys 50 (1983) 1055ndash1076


doi101007978-0-387-76426-9




x (1874) 407ndash415








doi101098rspa19240082





(2008) 1723ndash1750 doi10108014786430802206482



53




(2016) 314ndash319 doi101016jmsea201604077



doi101016jjmps201006001





doi106122CJP20150928A





doi1010880965-0393208085007



0393181015012




(2009) 041111 doi10106313215722





doi101016jeml201501007



54




doi1010880965-0393124S03



23 (2011) 1ndash12 doi1010880953-8984231015002


(1920) 163ndash198



342






doi101016jjmps201605005








doi101016jjmps201006001






55






0393148008












274ndash283 doi101016jmsea201612060

vii

Listado de tablas









viii

Resumen



































ix

Nomenclatura

Abreviaturas

BC bicristal









NC nanocristalino






SC monocristal

Letras latinas










119869 integral 119869 J m-2












x










119905 espesor m







119881 volumen m3



Letras griegas




















xi


0 inicial

119891 final


119909 119910 119911 direcciones


1

Capiacutetulo 1

Introduccioacuten


































2










































3




































4







bicrystalrdquo [58]

ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41

5

Capiacutetulo 2




































6






lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1

119873sum119860(119901 119903)

119873

119894=1

(2)



119901120572119894 = 119898120572119907120572


respectivamente





















cuerpos

7





119867 = 119870 + 119880 (3)



119870 =1

2sum119898120572(120572

119894)2119873

120572=1

(4)



119880 = sum119880120572(119903)

119873

120572=1

(5)













8

119865120572119894 = minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(6)


119894 es el vector



de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572


119898120572

d2119903120572119894

d1205912= minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(7)













119865120572119894 = 119898120572

d2119903120572119894

d1205912 (8)















9




119903120572119894(1205910) rarr 119903120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572

119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)

y

120572119894(1205910) rarr 120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572

119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)


continuacioacuten



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +

1

2Δ120591)Δ120591 (11)

y

120572119894 (120591 +

1

2Δ120591) = 120572

119894 (120591 minus1

2Δ120591) + 120572

119894(120591)Δ120591 (12)



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +

1

2120572119894(120591)Δ1205912 (13)

donde

120572119894(120591 + Δ120591) = 120572

119894(120591) +1

2(120572119894(120591) + 120572

119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)












original

10







119903119894119903119890119901

= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)






actual




119879 =2

3

lang119870rang

119873119896119861 (16)




119875 =119873119896119861119879

119881minus1

3

1

119881sum sum lang 119903120572120573

d119880

d119903120572120573rang

119873

120573=1120573lt120572

119873

120572=1

(17)

11



sistema 119881













120590119894119895 =1

119881(minussum119865120572

119894119903120572119895 minus

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

=1

119881

(

minus1

2sumsum

120597119880

120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573

119895

119903120572120573 minus

119873

120573=1120573ne120572

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

(18)



















12




119880 =1

2sum sum 120593(119903120572120573)

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(19)











120593 = 4120598 [(120578

119903120572120573)

12

minus (120578

119903120572120573)

6

] (20)

13






biofiacutesica [70]

119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)




siguiente forma

119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)

119873

120572=1

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(22)


120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572

(23)







14










120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)

15 minus 23

+ 13695567100510(32 minus 119903)4


minus83744769235189(32 minus 119903)7

+29906639687889(32 minus 119903)8


minus23612121457801(48 minus 119903)4

+25279092055084(48 minus 119903)5

minus 33656803584012(48 minus 119903)6

+ 094831589893263(48 minus 119903)7

minus020965407907747(48 minus 119903)8


+024809459274509(65 ndash 119903)4

minus054072248340384(65 minus 119903)5

+046579408228733(65 minus 119903)6

minus018481649031556(65 ndash 119903)7

+0028257788274378(65 minus 119903)⁸


120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4




15

Capiacutetulo 3


computacionales





























16























17




monocristal


























18







(a) (b)









19

















OVITO

20











OVITO









21





22

37 Discusioacuten















38 Conclusiones










23

Capiacutetulo 4

































tensor de Cauchy

120590(119903) = minus1

2119881sum 119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895

(24)

24





Hardy [57]

120590119894119895prime = minus

1

2sum119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)


Hardy [57]

119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573

1

0

+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
















25




[17]

120569(119877) =1

120587ℎ3

(1 minus

3

21199042 +

3

41199043) 119904 le 1

1

4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2


119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|

ℎ

(27)






= minussum [120597Φ120572(120588120572)

120597120588120572

120597120595120573(119903120572120573)

120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)

120597120588120573

120597120595120572(119903120572120573)

120597119903120572120573120573ne120572

+120597120593120572120573(119903120572120573)

120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573

119894

119903120572120573)

(28)



usando OpenMP







26

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886 1198970 = 7119886

1198970 = 8119886 1198970 = 9119886




27


1198970

120590119911119911 DM


Hardy

Diferencia

porcentual ()

4119886 293 282 375

5119886 279 266 466

6119886 27 258 444

7119886 245 218 1102

8119886 186 168 967

9119886 169 152 1005








1198970

Esfuerzo

global maacuteximo

DM

reduccioacuten

4119886 314 4919

5119886 297 5194

6119886 289 5324

7119886 251 5939

8119886 236 6181

9119886 217 6489







28

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886

1198970 = 7119886

1198970 = 8119886

1198970 = 9119886










con 1198970 = 10119886

29


aluminio

45 Discusioacuten






46 Conclusiones


hallazgos









30

Capiacutetulo 5



































31














119870119868 = radic120587

4∙ 119862119879119874119863 ∙

119864

1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)





32














1198970

119870119868 (MParadicm)

Falla monocristal

119870119868 (MParadicm)

Primer rasgamiento

119870119868 (MParadicm)

Falla bicristal

5119886 047 044

098

10119886 044 043

0933

15119886 042 041

0931

20119886 040 042

0869

33






119869-ERR= minus119889Π

119889119905Δ119897= minus

Δ(119880minus119882)

119889119905Δ119897= minus


119905Δ119897 (30)












34





sistema

119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911

120576119911119911prime

0

(31)




119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909

119889119904)Γ

(32)







119879119894

Γ119901= 120590

119894119895

Γ119901119899119895 (33)

donde 120590119894119895




119908Γ119901 = int 120590119894119895

Γ119901

120576119894119895

0

119889120576119894119895 (34)


120590119894119895



119894119895

Γ119901

35






Γ15 = 0 por



(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)



1198694 = 0





119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585

0

= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 Γ3

(35)






36



119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110

119889120576119911119911 (36)



119869-CTOD=4

120587∙CTOD∙120590119900 (37)








(a)

(b)


37










- (a) (b) (c)









38















39


119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)

Fractura

final en

monocristal

5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9

10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9

15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9

20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9

Primer

rasgamiento

en bicristal

5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9

10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9

15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9

20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9

Fractura

final en

bicristal

5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9

10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9

15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9

20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9




119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400

10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252

15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246

20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085

57 Discusioacuten







58 Conclusiones



hallazgos



40






41

Capiacutetulo 6



aluminio

























42

120590119911119911 =119870119868

119891radic120587 ∙ 1198970 (38)


119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574

(1 minus 120574)32

(39)







fue 119870119862 = 095 MParadicm







119870119868 = radic119869 ∙119864

1 minus 1205842 (40)

43


119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)


120590119911119911119890119902= radic

119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)

1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)









y del bicristal








Bicristal 1361 1237 1324

64 Discusioacuten



44





CI ERR CTOD

Monocristal 000352869 000249363 000211611


Bicristal 003016880 000723650 000614448

65 Conclusiones








45

Capiacutetulo 7


71 Conclusiones
















todos los 1198970






72 Trabajo futuros






46


cualquier otro NC









en la literatura

47

Bibliografiacutea


2845 doi10108014786430412331280382





211 doi101016jprogsurf201303001












273 doi101016jnano200906001






22001 doi1010880960-1317192022001





48




















Mech 50 (2010) 5ndash23 doi101007s11340-009-9301-2












49







(2016) doi101016jmsea201604077

























50











73









doi101016S0257-8972(02)00662-X


(2007) 1694ndash1708 doi101007s10853-006-0968-9



6







51


doi101061(ASCE)NM2153-54770000130











doi10111513601206







27 (1957) 1208 doi10106311743957


Phys 31 (1959) 459 doi10106311730376


A 405-A 411


Chem Phys 60 (1974) 1545ndash1557






52

(1998) 95ndash104



doi101016jmsea201103006




J Chem Phys 81 (1984) 511 doi1010631447334


Phys 50 (1983) 1055ndash1076


doi101007978-0-387-76426-9




x (1874) 407ndash415








doi101098rspa19240082





(2008) 1723ndash1750 doi10108014786430802206482



53




(2016) 314ndash319 doi101016jmsea201604077



doi101016jjmps201006001





doi106122CJP20150928A





doi1010880965-0393208085007



0393181015012




(2009) 041111 doi10106313215722





doi101016jeml201501007



54




doi1010880965-0393124S03



23 (2011) 1ndash12 doi1010880953-8984231015002


(1920) 163ndash198



342






doi101016jjmps201605005








doi101016jjmps201006001






55






0393148008












274ndash283 doi101016jmsea201612060

viii

Resumen



































ix

Nomenclatura

Abreviaturas

BC bicristal









NC nanocristalino






SC monocristal

Letras latinas










119869 integral 119869 J m-2












x










119905 espesor m







119881 volumen m3



Letras griegas




















xi


0 inicial

119891 final


119909 119910 119911 direcciones


1

Capiacutetulo 1

Introduccioacuten


































2










































3




































4







bicrystalrdquo [58]

ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41

5

Capiacutetulo 2




































6






lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1

119873sum119860(119901 119903)

119873

119894=1

(2)



119901120572119894 = 119898120572119907120572


respectivamente





















cuerpos

7





119867 = 119870 + 119880 (3)



119870 =1

2sum119898120572(120572

119894)2119873

120572=1

(4)



119880 = sum119880120572(119903)

119873

120572=1

(5)













8

119865120572119894 = minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(6)


119894 es el vector



de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572


119898120572

d2119903120572119894

d1205912= minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(7)













119865120572119894 = 119898120572

d2119903120572119894

d1205912 (8)















9




119903120572119894(1205910) rarr 119903120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572

119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)

y

120572119894(1205910) rarr 120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572

119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)


continuacioacuten



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +

1

2Δ120591)Δ120591 (11)

y

120572119894 (120591 +

1

2Δ120591) = 120572

119894 (120591 minus1

2Δ120591) + 120572

119894(120591)Δ120591 (12)



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +

1

2120572119894(120591)Δ1205912 (13)

donde

120572119894(120591 + Δ120591) = 120572

119894(120591) +1

2(120572119894(120591) + 120572

119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)












original

10







119903119894119903119890119901

= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)






actual




119879 =2

3

lang119870rang

119873119896119861 (16)




119875 =119873119896119861119879

119881minus1

3

1

119881sum sum lang 119903120572120573

d119880

d119903120572120573rang

119873

120573=1120573lt120572

119873

120572=1

(17)

11



sistema 119881













120590119894119895 =1

119881(minussum119865120572

119894119903120572119895 minus

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

=1

119881

(

minus1

2sumsum

120597119880

120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573

119895

119903120572120573 minus

119873

120573=1120573ne120572

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

(18)



















12




119880 =1

2sum sum 120593(119903120572120573)

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(19)











120593 = 4120598 [(120578

119903120572120573)

12

minus (120578

119903120572120573)

6

] (20)

13






biofiacutesica [70]

119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)




siguiente forma

119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)

119873

120572=1

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(22)


120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572

(23)







14










120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)

15 minus 23

+ 13695567100510(32 minus 119903)4


minus83744769235189(32 minus 119903)7

+29906639687889(32 minus 119903)8


minus23612121457801(48 minus 119903)4

+25279092055084(48 minus 119903)5

minus 33656803584012(48 minus 119903)6

+ 094831589893263(48 minus 119903)7

minus020965407907747(48 minus 119903)8


+024809459274509(65 ndash 119903)4

minus054072248340384(65 minus 119903)5

+046579408228733(65 minus 119903)6

minus018481649031556(65 ndash 119903)7

+0028257788274378(65 minus 119903)⁸


120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4




15

Capiacutetulo 3


computacionales





























16























17




monocristal


























18







(a) (b)









19

















OVITO

20











OVITO









21





22

37 Discusioacuten















38 Conclusiones










23

Capiacutetulo 4

































tensor de Cauchy

120590(119903) = minus1

2119881sum 119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895

(24)

24





Hardy [57]

120590119894119895prime = minus

1

2sum119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)


Hardy [57]

119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573

1

0

+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
















25




[17]

120569(119877) =1

120587ℎ3

(1 minus

3

21199042 +

3

41199043) 119904 le 1

1

4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2


119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|

ℎ

(27)






= minussum [120597Φ120572(120588120572)

120597120588120572

120597120595120573(119903120572120573)

120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)

120597120588120573

120597120595120572(119903120572120573)

120597119903120572120573120573ne120572

+120597120593120572120573(119903120572120573)

120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573

119894

119903120572120573)

(28)



usando OpenMP







26

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886 1198970 = 7119886

1198970 = 8119886 1198970 = 9119886




27


1198970

120590119911119911 DM


Hardy

Diferencia

porcentual ()

4119886 293 282 375

5119886 279 266 466

6119886 27 258 444

7119886 245 218 1102

8119886 186 168 967

9119886 169 152 1005








1198970

Esfuerzo

global maacuteximo

DM

reduccioacuten

4119886 314 4919

5119886 297 5194

6119886 289 5324

7119886 251 5939

8119886 236 6181

9119886 217 6489







28

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886

1198970 = 7119886

1198970 = 8119886

1198970 = 9119886










con 1198970 = 10119886

29


aluminio

45 Discusioacuten






46 Conclusiones


hallazgos









30

Capiacutetulo 5



































31














119870119868 = radic120587

4∙ 119862119879119874119863 ∙

119864

1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)





32














1198970

119870119868 (MParadicm)

Falla monocristal

119870119868 (MParadicm)

Primer rasgamiento

119870119868 (MParadicm)

Falla bicristal

5119886 047 044

098

10119886 044 043

0933

15119886 042 041

0931

20119886 040 042

0869

33






119869-ERR= minus119889Π

119889119905Δ119897= minus

Δ(119880minus119882)

119889119905Δ119897= minus


119905Δ119897 (30)












34





sistema

119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911

120576119911119911prime

0

(31)




119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909

119889119904)Γ

(32)







119879119894

Γ119901= 120590

119894119895

Γ119901119899119895 (33)

donde 120590119894119895




119908Γ119901 = int 120590119894119895

Γ119901

120576119894119895

0

119889120576119894119895 (34)


120590119894119895



119894119895

Γ119901

35






Γ15 = 0 por



(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)



1198694 = 0





119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585

0

= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 Γ3

(35)






36



119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110

119889120576119911119911 (36)



119869-CTOD=4

120587∙CTOD∙120590119900 (37)








(a)

(b)


37










- (a) (b) (c)









38















39


119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)

Fractura

final en

monocristal

5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9

10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9

15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9

20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9

Primer

rasgamiento

en bicristal

5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9

10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9

15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9

20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9

Fractura

final en

bicristal

5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9

10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9

15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9

20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9




119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400

10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252

15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246

20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085

57 Discusioacuten







58 Conclusiones



hallazgos



40






41

Capiacutetulo 6



aluminio

























42

120590119911119911 =119870119868

119891radic120587 ∙ 1198970 (38)


119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574

(1 minus 120574)32

(39)







fue 119870119862 = 095 MParadicm







119870119868 = radic119869 ∙119864

1 minus 1205842 (40)

43


119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)


120590119911119911119890119902= radic

119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)

1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)









y del bicristal








Bicristal 1361 1237 1324

64 Discusioacuten



44





CI ERR CTOD

Monocristal 000352869 000249363 000211611


Bicristal 003016880 000723650 000614448

65 Conclusiones








45

Capiacutetulo 7


71 Conclusiones
















todos los 1198970






72 Trabajo futuros






46


cualquier otro NC









en la literatura

47

Bibliografiacutea


2845 doi10108014786430412331280382





211 doi101016jprogsurf201303001












273 doi101016jnano200906001






22001 doi1010880960-1317192022001





48




















Mech 50 (2010) 5ndash23 doi101007s11340-009-9301-2












49







(2016) doi101016jmsea201604077

























50











73









doi101016S0257-8972(02)00662-X


(2007) 1694ndash1708 doi101007s10853-006-0968-9



6







51


doi101061(ASCE)NM2153-54770000130











doi10111513601206







27 (1957) 1208 doi10106311743957


Phys 31 (1959) 459 doi10106311730376


A 405-A 411


Chem Phys 60 (1974) 1545ndash1557






52

(1998) 95ndash104



doi101016jmsea201103006




J Chem Phys 81 (1984) 511 doi1010631447334


Phys 50 (1983) 1055ndash1076


doi101007978-0-387-76426-9




x (1874) 407ndash415








doi101098rspa19240082





(2008) 1723ndash1750 doi10108014786430802206482



53




(2016) 314ndash319 doi101016jmsea201604077



doi101016jjmps201006001





doi106122CJP20150928A





doi1010880965-0393208085007



0393181015012




(2009) 041111 doi10106313215722





doi101016jeml201501007



54




doi1010880965-0393124S03



23 (2011) 1ndash12 doi1010880953-8984231015002


(1920) 163ndash198



342






doi101016jjmps201605005








doi101016jjmps201006001






55






0393148008












274ndash283 doi101016jmsea201612060

ix

Nomenclatura

Abreviaturas

BC bicristal









NC nanocristalino






SC monocristal

Letras latinas










119869 integral 119869 J m-2












x










119905 espesor m







119881 volumen m3



Letras griegas




















xi


0 inicial

119891 final


119909 119910 119911 direcciones


1

Capiacutetulo 1

Introduccioacuten


































2










































3




































4







bicrystalrdquo [58]

ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41

5

Capiacutetulo 2




































6






lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1

119873sum119860(119901 119903)

119873

119894=1

(2)



119901120572119894 = 119898120572119907120572


respectivamente





















cuerpos

7





119867 = 119870 + 119880 (3)



119870 =1

2sum119898120572(120572

119894)2119873

120572=1

(4)



119880 = sum119880120572(119903)

119873

120572=1

(5)













8

119865120572119894 = minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(6)


119894 es el vector



de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572


119898120572

d2119903120572119894

d1205912= minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(7)













119865120572119894 = 119898120572

d2119903120572119894

d1205912 (8)















9




119903120572119894(1205910) rarr 119903120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572

119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)

y

120572119894(1205910) rarr 120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572

119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)


continuacioacuten



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +

1

2Δ120591)Δ120591 (11)

y

120572119894 (120591 +

1

2Δ120591) = 120572

119894 (120591 minus1

2Δ120591) + 120572

119894(120591)Δ120591 (12)



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +

1

2120572119894(120591)Δ1205912 (13)

donde

120572119894(120591 + Δ120591) = 120572

119894(120591) +1

2(120572119894(120591) + 120572

119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)












original

10







119903119894119903119890119901

= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)






actual




119879 =2

3

lang119870rang

119873119896119861 (16)




119875 =119873119896119861119879

119881minus1

3

1

119881sum sum lang 119903120572120573

d119880

d119903120572120573rang

119873

120573=1120573lt120572

119873

120572=1

(17)

11



sistema 119881













120590119894119895 =1

119881(minussum119865120572

119894119903120572119895 minus

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

=1

119881

(

minus1

2sumsum

120597119880

120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573

119895

119903120572120573 minus

119873

120573=1120573ne120572

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

(18)



















12




119880 =1

2sum sum 120593(119903120572120573)

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(19)











120593 = 4120598 [(120578

119903120572120573)

12

minus (120578

119903120572120573)

6

] (20)

13






biofiacutesica [70]

119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)




siguiente forma

119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)

119873

120572=1

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(22)


120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572

(23)







14










120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)

15 minus 23

+ 13695567100510(32 minus 119903)4


minus83744769235189(32 minus 119903)7

+29906639687889(32 minus 119903)8


minus23612121457801(48 minus 119903)4

+25279092055084(48 minus 119903)5

minus 33656803584012(48 minus 119903)6

+ 094831589893263(48 minus 119903)7

minus020965407907747(48 minus 119903)8


+024809459274509(65 ndash 119903)4

minus054072248340384(65 minus 119903)5

+046579408228733(65 minus 119903)6

minus018481649031556(65 ndash 119903)7

+0028257788274378(65 minus 119903)⁸


120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4




15

Capiacutetulo 3


computacionales





























16























17




monocristal


























18







(a) (b)









19

















OVITO

20











OVITO









21





22

37 Discusioacuten















38 Conclusiones










23

Capiacutetulo 4

































tensor de Cauchy

120590(119903) = minus1

2119881sum 119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895

(24)

24





Hardy [57]

120590119894119895prime = minus

1

2sum119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)


Hardy [57]

119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573

1

0

+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
















25




[17]

120569(119877) =1

120587ℎ3

(1 minus

3

21199042 +

3

41199043) 119904 le 1

1

4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2


119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|

ℎ

(27)






= minussum [120597Φ120572(120588120572)

120597120588120572

120597120595120573(119903120572120573)

120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)

120597120588120573

120597120595120572(119903120572120573)

120597119903120572120573120573ne120572

+120597120593120572120573(119903120572120573)

120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573

119894

119903120572120573)

(28)



usando OpenMP







26

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886 1198970 = 7119886

1198970 = 8119886 1198970 = 9119886




27


1198970

120590119911119911 DM


Hardy

Diferencia

porcentual ()

4119886 293 282 375

5119886 279 266 466

6119886 27 258 444

7119886 245 218 1102

8119886 186 168 967

9119886 169 152 1005








1198970

Esfuerzo

global maacuteximo

DM

reduccioacuten

4119886 314 4919

5119886 297 5194

6119886 289 5324

7119886 251 5939

8119886 236 6181

9119886 217 6489







28

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886

1198970 = 7119886

1198970 = 8119886

1198970 = 9119886










con 1198970 = 10119886

29


aluminio

45 Discusioacuten






46 Conclusiones


hallazgos









30

Capiacutetulo 5



































31














119870119868 = radic120587

4∙ 119862119879119874119863 ∙

119864

1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)





32














1198970

119870119868 (MParadicm)

Falla monocristal

119870119868 (MParadicm)

Primer rasgamiento

119870119868 (MParadicm)

Falla bicristal

5119886 047 044

098

10119886 044 043

0933

15119886 042 041

0931

20119886 040 042

0869

33






119869-ERR= minus119889Π

119889119905Δ119897= minus

Δ(119880minus119882)

119889119905Δ119897= minus


119905Δ119897 (30)












34





sistema

119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911

120576119911119911prime

0

(31)




119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909

119889119904)Γ

(32)







119879119894

Γ119901= 120590

119894119895

Γ119901119899119895 (33)

donde 120590119894119895




119908Γ119901 = int 120590119894119895

Γ119901

120576119894119895

0

119889120576119894119895 (34)


120590119894119895



119894119895

Γ119901

35






Γ15 = 0 por



(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)



1198694 = 0





119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585

0

= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 Γ3

(35)






36



119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110

119889120576119911119911 (36)



119869-CTOD=4

120587∙CTOD∙120590119900 (37)








(a)

(b)


37










- (a) (b) (c)









38















39


119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)

Fractura

final en

monocristal

5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9

10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9

15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9

20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9

Primer

rasgamiento

en bicristal

5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9

10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9

15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9

20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9

Fractura

final en

bicristal

5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9

10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9

15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9

20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9




119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400

10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252

15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246

20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085

57 Discusioacuten







58 Conclusiones



hallazgos



40






41

Capiacutetulo 6



aluminio

























42

120590119911119911 =119870119868

119891radic120587 ∙ 1198970 (38)


119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574

(1 minus 120574)32

(39)







fue 119870119862 = 095 MParadicm







119870119868 = radic119869 ∙119864

1 minus 1205842 (40)

43


119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)


120590119911119911119890119902= radic

119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)

1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)









y del bicristal








Bicristal 1361 1237 1324

64 Discusioacuten



44





CI ERR CTOD

Monocristal 000352869 000249363 000211611


Bicristal 003016880 000723650 000614448

65 Conclusiones








45

Capiacutetulo 7


71 Conclusiones
















todos los 1198970






72 Trabajo futuros






46


cualquier otro NC









en la literatura

47

Bibliografiacutea


2845 doi10108014786430412331280382





211 doi101016jprogsurf201303001












273 doi101016jnano200906001






22001 doi1010880960-1317192022001





48




















Mech 50 (2010) 5ndash23 doi101007s11340-009-9301-2












49







(2016) doi101016jmsea201604077

























50











73









doi101016S0257-8972(02)00662-X


(2007) 1694ndash1708 doi101007s10853-006-0968-9



6







51


doi101061(ASCE)NM2153-54770000130











doi10111513601206







27 (1957) 1208 doi10106311743957


Phys 31 (1959) 459 doi10106311730376


A 405-A 411


Chem Phys 60 (1974) 1545ndash1557






52

(1998) 95ndash104



doi101016jmsea201103006




J Chem Phys 81 (1984) 511 doi1010631447334


Phys 50 (1983) 1055ndash1076


doi101007978-0-387-76426-9




x (1874) 407ndash415








doi101098rspa19240082





(2008) 1723ndash1750 doi10108014786430802206482



53




(2016) 314ndash319 doi101016jmsea201604077



doi101016jjmps201006001





doi106122CJP20150928A





doi1010880965-0393208085007



0393181015012




(2009) 041111 doi10106313215722





doi101016jeml201501007



54




doi1010880965-0393124S03



23 (2011) 1ndash12 doi1010880953-8984231015002


(1920) 163ndash198



342






doi101016jjmps201605005








doi101016jjmps201006001






55






0393148008












274ndash283 doi101016jmsea201612060

x










119905 espesor m







119881 volumen m3



Letras griegas




















xi


0 inicial

119891 final


119909 119910 119911 direcciones


1

Capiacutetulo 1

Introduccioacuten


































2










































3




































4







bicrystalrdquo [58]

ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41

5

Capiacutetulo 2




































6






lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1

119873sum119860(119901 119903)

119873

119894=1

(2)



119901120572119894 = 119898120572119907120572


respectivamente





















cuerpos

7





119867 = 119870 + 119880 (3)



119870 =1

2sum119898120572(120572

119894)2119873

120572=1

(4)



119880 = sum119880120572(119903)

119873

120572=1

(5)













8

119865120572119894 = minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(6)


119894 es el vector



de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572


119898120572

d2119903120572119894

d1205912= minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(7)













119865120572119894 = 119898120572

d2119903120572119894

d1205912 (8)















9




119903120572119894(1205910) rarr 119903120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572

119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)

y

120572119894(1205910) rarr 120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572

119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)


continuacioacuten



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +

1

2Δ120591)Δ120591 (11)

y

120572119894 (120591 +

1

2Δ120591) = 120572

119894 (120591 minus1

2Δ120591) + 120572

119894(120591)Δ120591 (12)



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +

1

2120572119894(120591)Δ1205912 (13)

donde

120572119894(120591 + Δ120591) = 120572

119894(120591) +1

2(120572119894(120591) + 120572

119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)












original

10







119903119894119903119890119901

= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)






actual




119879 =2

3

lang119870rang

119873119896119861 (16)




119875 =119873119896119861119879

119881minus1

3

1

119881sum sum lang 119903120572120573

d119880

d119903120572120573rang

119873

120573=1120573lt120572

119873

120572=1

(17)

11



sistema 119881













120590119894119895 =1

119881(minussum119865120572

119894119903120572119895 minus

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

=1

119881

(

minus1

2sumsum

120597119880

120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573

119895

119903120572120573 minus

119873

120573=1120573ne120572

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

(18)



















12




119880 =1

2sum sum 120593(119903120572120573)

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(19)











120593 = 4120598 [(120578

119903120572120573)

12

minus (120578

119903120572120573)

6

] (20)

13






biofiacutesica [70]

119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)




siguiente forma

119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)

119873

120572=1

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(22)


120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572

(23)







14










120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)

15 minus 23

+ 13695567100510(32 minus 119903)4


minus83744769235189(32 minus 119903)7

+29906639687889(32 minus 119903)8


minus23612121457801(48 minus 119903)4

+25279092055084(48 minus 119903)5

minus 33656803584012(48 minus 119903)6

+ 094831589893263(48 minus 119903)7

minus020965407907747(48 minus 119903)8


+024809459274509(65 ndash 119903)4

minus054072248340384(65 minus 119903)5

+046579408228733(65 minus 119903)6

minus018481649031556(65 ndash 119903)7

+0028257788274378(65 minus 119903)⁸


120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4




15

Capiacutetulo 3


computacionales





























16























17




monocristal


























18







(a) (b)









19

















OVITO

20











OVITO









21





22

37 Discusioacuten















38 Conclusiones










23

Capiacutetulo 4

































tensor de Cauchy

120590(119903) = minus1

2119881sum 119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895

(24)

24





Hardy [57]

120590119894119895prime = minus

1

2sum119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)


Hardy [57]

119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573

1

0

+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
















25




[17]

120569(119877) =1

120587ℎ3

(1 minus

3

21199042 +

3

41199043) 119904 le 1

1

4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2


119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|

ℎ

(27)






= minussum [120597Φ120572(120588120572)

120597120588120572

120597120595120573(119903120572120573)

120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)

120597120588120573

120597120595120572(119903120572120573)

120597119903120572120573120573ne120572

+120597120593120572120573(119903120572120573)

120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573

119894

119903120572120573)

(28)



usando OpenMP







26

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886 1198970 = 7119886

1198970 = 8119886 1198970 = 9119886




27


1198970

120590119911119911 DM


Hardy

Diferencia

porcentual ()

4119886 293 282 375

5119886 279 266 466

6119886 27 258 444

7119886 245 218 1102

8119886 186 168 967

9119886 169 152 1005








1198970

Esfuerzo

global maacuteximo

DM

reduccioacuten

4119886 314 4919

5119886 297 5194

6119886 289 5324

7119886 251 5939

8119886 236 6181

9119886 217 6489







28

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886

1198970 = 7119886

1198970 = 8119886

1198970 = 9119886










con 1198970 = 10119886

29


aluminio

45 Discusioacuten






46 Conclusiones


hallazgos









30

Capiacutetulo 5



































31














119870119868 = radic120587

4∙ 119862119879119874119863 ∙

119864

1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)





32














1198970

119870119868 (MParadicm)

Falla monocristal

119870119868 (MParadicm)

Primer rasgamiento

119870119868 (MParadicm)

Falla bicristal

5119886 047 044

098

10119886 044 043

0933

15119886 042 041

0931

20119886 040 042

0869

33






119869-ERR= minus119889Π

119889119905Δ119897= minus

Δ(119880minus119882)

119889119905Δ119897= minus


119905Δ119897 (30)












34





sistema

119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911

120576119911119911prime

0

(31)




119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909

119889119904)Γ

(32)







119879119894

Γ119901= 120590

119894119895

Γ119901119899119895 (33)

donde 120590119894119895




119908Γ119901 = int 120590119894119895

Γ119901

120576119894119895

0

119889120576119894119895 (34)


120590119894119895



119894119895

Γ119901

35






Γ15 = 0 por



(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)



1198694 = 0





119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585

0

= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 Γ3

(35)






36



119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110

119889120576119911119911 (36)



119869-CTOD=4

120587∙CTOD∙120590119900 (37)








(a)

(b)


37










- (a) (b) (c)









38















39


119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)

Fractura

final en

monocristal

5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9

10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9

15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9

20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9

Primer

rasgamiento

en bicristal

5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9

10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9

15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9

20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9

Fractura

final en

bicristal

5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9

10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9

15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9

20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9




119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400

10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252

15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246

20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085

57 Discusioacuten







58 Conclusiones



hallazgos



40






41

Capiacutetulo 6



aluminio

























42

120590119911119911 =119870119868

119891radic120587 ∙ 1198970 (38)


119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574

(1 minus 120574)32

(39)







fue 119870119862 = 095 MParadicm







119870119868 = radic119869 ∙119864

1 minus 1205842 (40)

43


119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)


120590119911119911119890119902= radic

119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)

1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)









y del bicristal








Bicristal 1361 1237 1324

64 Discusioacuten



44





CI ERR CTOD

Monocristal 000352869 000249363 000211611


Bicristal 003016880 000723650 000614448

65 Conclusiones








45

Capiacutetulo 7


71 Conclusiones
















todos los 1198970






72 Trabajo futuros






46


cualquier otro NC









en la literatura

47

Bibliografiacutea


2845 doi10108014786430412331280382





211 doi101016jprogsurf201303001












273 doi101016jnano200906001






22001 doi1010880960-1317192022001





48




















Mech 50 (2010) 5ndash23 doi101007s11340-009-9301-2












49







(2016) doi101016jmsea201604077

























50











73









doi101016S0257-8972(02)00662-X


(2007) 1694ndash1708 doi101007s10853-006-0968-9



6







51


doi101061(ASCE)NM2153-54770000130











doi10111513601206







27 (1957) 1208 doi10106311743957


Phys 31 (1959) 459 doi10106311730376


A 405-A 411


Chem Phys 60 (1974) 1545ndash1557






52

(1998) 95ndash104



doi101016jmsea201103006




J Chem Phys 81 (1984) 511 doi1010631447334


Phys 50 (1983) 1055ndash1076


doi101007978-0-387-76426-9




x (1874) 407ndash415








doi101098rspa19240082





(2008) 1723ndash1750 doi10108014786430802206482



53




(2016) 314ndash319 doi101016jmsea201604077



doi101016jjmps201006001





doi106122CJP20150928A





doi1010880965-0393208085007



0393181015012




(2009) 041111 doi10106313215722





doi101016jeml201501007



54




doi1010880965-0393124S03



23 (2011) 1ndash12 doi1010880953-8984231015002


(1920) 163ndash198



342






doi101016jjmps201605005








doi101016jjmps201006001






55






0393148008












274ndash283 doi101016jmsea201612060

xi


0 inicial

119891 final


119909 119910 119911 direcciones


1

Capiacutetulo 1

Introduccioacuten


































2










































3




































4







bicrystalrdquo [58]

ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41

5

Capiacutetulo 2




































6






lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1

119873sum119860(119901 119903)

119873

119894=1

(2)



119901120572119894 = 119898120572119907120572


respectivamente





















cuerpos

7





119867 = 119870 + 119880 (3)



119870 =1

2sum119898120572(120572

119894)2119873

120572=1

(4)



119880 = sum119880120572(119903)

119873

120572=1

(5)













8

119865120572119894 = minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(6)


119894 es el vector



de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572


119898120572

d2119903120572119894

d1205912= minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(7)













119865120572119894 = 119898120572

d2119903120572119894

d1205912 (8)















9




119903120572119894(1205910) rarr 119903120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572

119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)

y

120572119894(1205910) rarr 120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572

119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)


continuacioacuten



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +

1

2Δ120591)Δ120591 (11)

y

120572119894 (120591 +

1

2Δ120591) = 120572

119894 (120591 minus1

2Δ120591) + 120572

119894(120591)Δ120591 (12)



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +

1

2120572119894(120591)Δ1205912 (13)

donde

120572119894(120591 + Δ120591) = 120572

119894(120591) +1

2(120572119894(120591) + 120572

119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)












original

10







119903119894119903119890119901

= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)






actual




119879 =2

3

lang119870rang

119873119896119861 (16)




119875 =119873119896119861119879

119881minus1

3

1

119881sum sum lang 119903120572120573

d119880

d119903120572120573rang

119873

120573=1120573lt120572

119873

120572=1

(17)

11



sistema 119881













120590119894119895 =1

119881(minussum119865120572

119894119903120572119895 minus

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

=1

119881

(

minus1

2sumsum

120597119880

120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573

119895

119903120572120573 minus

119873

120573=1120573ne120572

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

(18)



















12




119880 =1

2sum sum 120593(119903120572120573)

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(19)











120593 = 4120598 [(120578

119903120572120573)

12

minus (120578

119903120572120573)

6

] (20)

13






biofiacutesica [70]

119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)




siguiente forma

119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)

119873

120572=1

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(22)


120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572

(23)







14










120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)

15 minus 23

+ 13695567100510(32 minus 119903)4


minus83744769235189(32 minus 119903)7

+29906639687889(32 minus 119903)8


minus23612121457801(48 minus 119903)4

+25279092055084(48 minus 119903)5

minus 33656803584012(48 minus 119903)6

+ 094831589893263(48 minus 119903)7

minus020965407907747(48 minus 119903)8


+024809459274509(65 ndash 119903)4

minus054072248340384(65 minus 119903)5

+046579408228733(65 minus 119903)6

minus018481649031556(65 ndash 119903)7

+0028257788274378(65 minus 119903)⁸


120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4




15

Capiacutetulo 3


computacionales





























16























17




monocristal


























18







(a) (b)









19

















OVITO

20











OVITO









21





22

37 Discusioacuten















38 Conclusiones










23

Capiacutetulo 4

































tensor de Cauchy

120590(119903) = minus1

2119881sum 119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895

(24)

24





Hardy [57]

120590119894119895prime = minus

1

2sum119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)


Hardy [57]

119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573

1

0

+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
















25




[17]

120569(119877) =1

120587ℎ3

(1 minus

3

21199042 +

3

41199043) 119904 le 1

1

4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2


119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|

ℎ

(27)






= minussum [120597Φ120572(120588120572)

120597120588120572

120597120595120573(119903120572120573)

120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)

120597120588120573

120597120595120572(119903120572120573)

120597119903120572120573120573ne120572

+120597120593120572120573(119903120572120573)

120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573

119894

119903120572120573)

(28)



usando OpenMP







26

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886 1198970 = 7119886

1198970 = 8119886 1198970 = 9119886




27


1198970

120590119911119911 DM


Hardy

Diferencia

porcentual ()

4119886 293 282 375

5119886 279 266 466

6119886 27 258 444

7119886 245 218 1102

8119886 186 168 967

9119886 169 152 1005








1198970

Esfuerzo

global maacuteximo

DM

reduccioacuten

4119886 314 4919

5119886 297 5194

6119886 289 5324

7119886 251 5939

8119886 236 6181

9119886 217 6489







28

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886

1198970 = 7119886

1198970 = 8119886

1198970 = 9119886










con 1198970 = 10119886

29


aluminio

45 Discusioacuten






46 Conclusiones


hallazgos









30

Capiacutetulo 5



































31














119870119868 = radic120587

4∙ 119862119879119874119863 ∙

119864

1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)





32














1198970

119870119868 (MParadicm)

Falla monocristal

119870119868 (MParadicm)

Primer rasgamiento

119870119868 (MParadicm)

Falla bicristal

5119886 047 044

098

10119886 044 043

0933

15119886 042 041

0931

20119886 040 042

0869

33






119869-ERR= minus119889Π

119889119905Δ119897= minus

Δ(119880minus119882)

119889119905Δ119897= minus


119905Δ119897 (30)












34





sistema

119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911

120576119911119911prime

0

(31)




119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909

119889119904)Γ

(32)







119879119894

Γ119901= 120590

119894119895

Γ119901119899119895 (33)

donde 120590119894119895




119908Γ119901 = int 120590119894119895

Γ119901

120576119894119895

0

119889120576119894119895 (34)


120590119894119895



119894119895

Γ119901

35






Γ15 = 0 por



(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)



1198694 = 0





119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585

0

= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 Γ3

(35)






36



119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110

119889120576119911119911 (36)



119869-CTOD=4

120587∙CTOD∙120590119900 (37)








(a)

(b)


37










- (a) (b) (c)









38















39


119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)

Fractura

final en

monocristal

5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9

10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9

15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9

20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9

Primer

rasgamiento

en bicristal

5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9

10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9

15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9

20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9

Fractura

final en

bicristal

5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9

10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9

15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9

20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9




119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400

10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252

15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246

20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085

57 Discusioacuten







58 Conclusiones



hallazgos



40






41

Capiacutetulo 6



aluminio

























42

120590119911119911 =119870119868

119891radic120587 ∙ 1198970 (38)


119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574

(1 minus 120574)32

(39)







fue 119870119862 = 095 MParadicm







119870119868 = radic119869 ∙119864

1 minus 1205842 (40)

43


119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)


120590119911119911119890119902= radic

119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)

1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)









y del bicristal








Bicristal 1361 1237 1324

64 Discusioacuten



44





CI ERR CTOD

Monocristal 000352869 000249363 000211611


Bicristal 003016880 000723650 000614448

65 Conclusiones








45

Capiacutetulo 7


71 Conclusiones
















todos los 1198970






72 Trabajo futuros






46


cualquier otro NC









en la literatura

47

Bibliografiacutea


2845 doi10108014786430412331280382





211 doi101016jprogsurf201303001












273 doi101016jnano200906001






22001 doi1010880960-1317192022001





48




















Mech 50 (2010) 5ndash23 doi101007s11340-009-9301-2












49







(2016) doi101016jmsea201604077

























50











73









doi101016S0257-8972(02)00662-X


(2007) 1694ndash1708 doi101007s10853-006-0968-9



6







51


doi101061(ASCE)NM2153-54770000130











doi10111513601206







27 (1957) 1208 doi10106311743957


Phys 31 (1959) 459 doi10106311730376


A 405-A 411


Chem Phys 60 (1974) 1545ndash1557






52

(1998) 95ndash104



doi101016jmsea201103006




J Chem Phys 81 (1984) 511 doi1010631447334


Phys 50 (1983) 1055ndash1076


doi101007978-0-387-76426-9




x (1874) 407ndash415








doi101098rspa19240082





(2008) 1723ndash1750 doi10108014786430802206482



53




(2016) 314ndash319 doi101016jmsea201604077



doi101016jjmps201006001





doi106122CJP20150928A





doi1010880965-0393208085007



0393181015012




(2009) 041111 doi10106313215722





doi101016jeml201501007



54




doi1010880965-0393124S03



23 (2011) 1ndash12 doi1010880953-8984231015002


(1920) 163ndash198



342






doi101016jjmps201605005








doi101016jjmps201006001






55






0393148008












274ndash283 doi101016jmsea201612060

1

Capiacutetulo 1

Introduccioacuten


































2










































3




































4







bicrystalrdquo [58]

ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41

5

Capiacutetulo 2




































6






lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1

119873sum119860(119901 119903)

119873

119894=1

(2)



119901120572119894 = 119898120572119907120572


respectivamente





















cuerpos

7





119867 = 119870 + 119880 (3)



119870 =1

2sum119898120572(120572

119894)2119873

120572=1

(4)



119880 = sum119880120572(119903)

119873

120572=1

(5)













8

119865120572119894 = minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(6)


119894 es el vector



de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572


119898120572

d2119903120572119894

d1205912= minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(7)













119865120572119894 = 119898120572

d2119903120572119894

d1205912 (8)















9




119903120572119894(1205910) rarr 119903120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572

119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)

y

120572119894(1205910) rarr 120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572

119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)


continuacioacuten



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +

1

2Δ120591)Δ120591 (11)

y

120572119894 (120591 +

1

2Δ120591) = 120572

119894 (120591 minus1

2Δ120591) + 120572

119894(120591)Δ120591 (12)



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +

1

2120572119894(120591)Δ1205912 (13)

donde

120572119894(120591 + Δ120591) = 120572

119894(120591) +1

2(120572119894(120591) + 120572

119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)












original

10







119903119894119903119890119901

= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)






actual




119879 =2

3

lang119870rang

119873119896119861 (16)




119875 =119873119896119861119879

119881minus1

3

1

119881sum sum lang 119903120572120573

d119880

d119903120572120573rang

119873

120573=1120573lt120572

119873

120572=1

(17)

11



sistema 119881













120590119894119895 =1

119881(minussum119865120572

119894119903120572119895 minus

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

=1

119881

(

minus1

2sumsum

120597119880

120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573

119895

119903120572120573 minus

119873

120573=1120573ne120572

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

(18)



















12




119880 =1

2sum sum 120593(119903120572120573)

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(19)











120593 = 4120598 [(120578

119903120572120573)

12

minus (120578

119903120572120573)

6

] (20)

13






biofiacutesica [70]

119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)




siguiente forma

119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)

119873

120572=1

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(22)


120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572

(23)







14










120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)

15 minus 23

+ 13695567100510(32 minus 119903)4


minus83744769235189(32 minus 119903)7

+29906639687889(32 minus 119903)8


minus23612121457801(48 minus 119903)4

+25279092055084(48 minus 119903)5

minus 33656803584012(48 minus 119903)6

+ 094831589893263(48 minus 119903)7

minus020965407907747(48 minus 119903)8


+024809459274509(65 ndash 119903)4

minus054072248340384(65 minus 119903)5

+046579408228733(65 minus 119903)6

minus018481649031556(65 ndash 119903)7

+0028257788274378(65 minus 119903)⁸


120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4




15

Capiacutetulo 3


computacionales





























16























17




monocristal


























18







(a) (b)









19

















OVITO

20











OVITO









21





22

37 Discusioacuten















38 Conclusiones










23

Capiacutetulo 4

































tensor de Cauchy

120590(119903) = minus1

2119881sum 119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895

(24)

24





Hardy [57]

120590119894119895prime = minus

1

2sum119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)


Hardy [57]

119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573

1

0

+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
















25




[17]

120569(119877) =1

120587ℎ3

(1 minus

3

21199042 +

3

41199043) 119904 le 1

1

4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2


119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|

ℎ

(27)






= minussum [120597Φ120572(120588120572)

120597120588120572

120597120595120573(119903120572120573)

120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)

120597120588120573

120597120595120572(119903120572120573)

120597119903120572120573120573ne120572

+120597120593120572120573(119903120572120573)

120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573

119894

119903120572120573)

(28)



usando OpenMP







26

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886 1198970 = 7119886

1198970 = 8119886 1198970 = 9119886




27


1198970

120590119911119911 DM


Hardy

Diferencia

porcentual ()

4119886 293 282 375

5119886 279 266 466

6119886 27 258 444

7119886 245 218 1102

8119886 186 168 967

9119886 169 152 1005








1198970

Esfuerzo

global maacuteximo

DM

reduccioacuten

4119886 314 4919

5119886 297 5194

6119886 289 5324

7119886 251 5939

8119886 236 6181

9119886 217 6489







28

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886

1198970 = 7119886

1198970 = 8119886

1198970 = 9119886










con 1198970 = 10119886

29


aluminio

45 Discusioacuten






46 Conclusiones


hallazgos









30

Capiacutetulo 5



































31














119870119868 = radic120587

4∙ 119862119879119874119863 ∙

119864

1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)





32














1198970

119870119868 (MParadicm)

Falla monocristal

119870119868 (MParadicm)

Primer rasgamiento

119870119868 (MParadicm)

Falla bicristal

5119886 047 044

098

10119886 044 043

0933

15119886 042 041

0931

20119886 040 042

0869

33






119869-ERR= minus119889Π

119889119905Δ119897= minus

Δ(119880minus119882)

119889119905Δ119897= minus


119905Δ119897 (30)












34





sistema

119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911

120576119911119911prime

0

(31)




119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909

119889119904)Γ

(32)







119879119894

Γ119901= 120590

119894119895

Γ119901119899119895 (33)

donde 120590119894119895




119908Γ119901 = int 120590119894119895

Γ119901

120576119894119895

0

119889120576119894119895 (34)


120590119894119895



119894119895

Γ119901

35






Γ15 = 0 por



(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)



1198694 = 0





119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585

0

= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 Γ3

(35)






36



119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110

119889120576119911119911 (36)



119869-CTOD=4

120587∙CTOD∙120590119900 (37)








(a)

(b)


37










- (a) (b) (c)









38















39


119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)

Fractura

final en

monocristal

5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9

10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9

15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9

20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9

Primer

rasgamiento

en bicristal

5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9

10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9

15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9

20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9

Fractura

final en

bicristal

5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9

10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9

15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9

20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9




119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400

10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252

15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246

20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085

57 Discusioacuten







58 Conclusiones



hallazgos



40






41

Capiacutetulo 6



aluminio

























42

120590119911119911 =119870119868

119891radic120587 ∙ 1198970 (38)


119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574

(1 minus 120574)32

(39)







fue 119870119862 = 095 MParadicm







119870119868 = radic119869 ∙119864

1 minus 1205842 (40)

43


119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)


120590119911119911119890119902= radic

119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)

1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)









y del bicristal








Bicristal 1361 1237 1324

64 Discusioacuten



44





CI ERR CTOD

Monocristal 000352869 000249363 000211611


Bicristal 003016880 000723650 000614448

65 Conclusiones








45

Capiacutetulo 7


71 Conclusiones
















todos los 1198970






72 Trabajo futuros






46


cualquier otro NC









en la literatura

47

Bibliografiacutea


2845 doi10108014786430412331280382





211 doi101016jprogsurf201303001












273 doi101016jnano200906001






22001 doi1010880960-1317192022001





48




















Mech 50 (2010) 5ndash23 doi101007s11340-009-9301-2












49







(2016) doi101016jmsea201604077

























50











73









doi101016S0257-8972(02)00662-X


(2007) 1694ndash1708 doi101007s10853-006-0968-9



6







51


doi101061(ASCE)NM2153-54770000130











doi10111513601206







27 (1957) 1208 doi10106311743957


Phys 31 (1959) 459 doi10106311730376


A 405-A 411


Chem Phys 60 (1974) 1545ndash1557






52

(1998) 95ndash104



doi101016jmsea201103006




J Chem Phys 81 (1984) 511 doi1010631447334


Phys 50 (1983) 1055ndash1076


doi101007978-0-387-76426-9




x (1874) 407ndash415








doi101098rspa19240082





(2008) 1723ndash1750 doi10108014786430802206482



53




(2016) 314ndash319 doi101016jmsea201604077



doi101016jjmps201006001





doi106122CJP20150928A





doi1010880965-0393208085007



0393181015012




(2009) 041111 doi10106313215722





doi101016jeml201501007



54




doi1010880965-0393124S03



23 (2011) 1ndash12 doi1010880953-8984231015002


(1920) 163ndash198



342






doi101016jjmps201605005








doi101016jjmps201006001






55






0393148008












274ndash283 doi101016jmsea201612060

2










































3




































4







bicrystalrdquo [58]

ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41

5

Capiacutetulo 2




































6






lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1

119873sum119860(119901 119903)

119873

119894=1

(2)



119901120572119894 = 119898120572119907120572


respectivamente





















cuerpos

7





119867 = 119870 + 119880 (3)



119870 =1

2sum119898120572(120572

119894)2119873

120572=1

(4)



119880 = sum119880120572(119903)

119873

120572=1

(5)













8

119865120572119894 = minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(6)


119894 es el vector



de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572


119898120572

d2119903120572119894

d1205912= minus

120597119880(119903)

120597119903120572120573119894

(7)













119865120572119894 = 119898120572

d2119903120572119894

d1205912 (8)















9




119903120572119894(1205910) rarr 119903120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572

119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)

y

120572119894(1205910) rarr 120572

119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572

119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)


continuacioacuten



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +

1

2Δ120591)Δ120591 (11)

y

120572119894 (120591 +

1

2Δ120591) = 120572

119894 (120591 minus1

2Δ120591) + 120572

119894(120591)Δ120591 (12)



119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572

119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +

1

2120572119894(120591)Δ1205912 (13)

donde

120572119894(120591 + Δ120591) = 120572

119894(120591) +1

2(120572119894(120591) + 120572

119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)












original

10







119903119894119903119890119901

= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)






actual




119879 =2

3

lang119870rang

119873119896119861 (16)




119875 =119873119896119861119879

119881minus1

3

1

119881sum sum lang 119903120572120573

d119880

d119903120572120573rang

119873

120573=1120573lt120572

119873

120572=1

(17)

11



sistema 119881













120590119894119895 =1

119881(minussum119865120572

119894119903120572119895 minus

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

=1

119881

(

minus1

2sumsum

120597119880

120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573

119895

119903120572120573 minus

119873

120573=1120573ne120572

119873

120572=1

sum119898120572119907120572119894119907120572

119895

119873

120572=1

)

(18)



















12




119880 =1

2sum sum 120593(119903120572120573)

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(19)











120593 = 4120598 [(120578

119903120572120573)

12

minus (120578

119903120572120573)

6

] (20)

13






biofiacutesica [70]

119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)




siguiente forma

119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)

119873

120572=1

119873

120573=120572+1

119873minus1

120572=1

(22)


120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572

(23)







14










120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)

15 minus 23

+ 13695567100510(32 minus 119903)4


minus83744769235189(32 minus 119903)7

+29906639687889(32 minus 119903)8


minus23612121457801(48 minus 119903)4

+25279092055084(48 minus 119903)5

minus 33656803584012(48 minus 119903)6

+ 094831589893263(48 minus 119903)7

minus020965407907747(48 minus 119903)8


+024809459274509(65 ndash 119903)4

minus054072248340384(65 minus 119903)5

+046579408228733(65 minus 119903)6

minus018481649031556(65 ndash 119903)7

+0028257788274378(65 minus 119903)⁸


120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4




15

Capiacutetulo 3


computacionales





























16























17




monocristal


























18







(a) (b)









19

















OVITO

20











OVITO









21





22

37 Discusioacuten















38 Conclusiones










23

Capiacutetulo 4

































tensor de Cauchy

120590(119903) = minus1

2119881sum 119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895

(24)

24





Hardy [57]

120590119894119895prime = minus

1

2sum119865120572120573

119894

120572120573

119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)


Hardy [57]

119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573

1

0

+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
















25




[17]

120569(119877) =1

120587ℎ3

(1 minus

3

21199042 +

3

41199043) 119904 le 1

1

4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2


119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|

ℎ

(27)






= minussum [120597Φ120572(120588120572)

120597120588120572

120597120595120573(119903120572120573)

120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)

120597120588120573

120597120595120572(119903120572120573)

120597119903120572120573120573ne120572

+120597120593120572120573(119903120572120573)

120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573

119894

119903120572120573)

(28)



usando OpenMP







26

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886 1198970 = 7119886

1198970 = 8119886 1198970 = 9119886




27


1198970

120590119911119911 DM


Hardy

Diferencia

porcentual ()

4119886 293 282 375

5119886 279 266 466

6119886 27 258 444

7119886 245 218 1102

8119886 186 168 967

9119886 169 152 1005








1198970

Esfuerzo

global maacuteximo

DM

reduccioacuten

4119886 314 4919

5119886 297 5194

6119886 289 5324

7119886 251 5939

8119886 236 6181

9119886 217 6489







28

1198970 = 4119886

1198970 = 5119886

1198970 = 6119886

1198970 = 7119886

1198970 = 8119886

1198970 = 9119886










con 1198970 = 10119886

29


aluminio

45 Discusioacuten






46 Conclusiones


hallazgos









30

Capiacutetulo 5



































31














119870119868 = radic120587

4∙ 119862119879119874119863 ∙

119864

1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)





32














1198970

119870119868 (MParadicm)

Falla monocristal

119870119868 (MParadicm)

Primer rasgamiento

119870119868 (MParadicm)

Falla bicristal

5119886 047 044

098

10119886 044 043

0933

15119886 042 041

0931

20119886 040 042

0869

33






119869-ERR= minus119889Π

119889119905Δ119897= minus

Δ(119880minus119882)

119889119905Δ119897= minus


119905Δ119897 (30)












34





sistema

119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911

120576119911119911prime

0

(31)




119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909

119889119904)Γ

(32)







119879119894

Γ119901= 120590

119894119895

Γ119901119899119895 (33)

donde 120590119894119895




119908Γ119901 = int 120590119894119895

Γ119901

120576119894119895

0

119889120576119894119895 (34)


120590119894119895



119894119895

Γ119901

35






Γ15 = 0 por



(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)



1198694 = 0





119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585

0

= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3

120576119894119895

0

119889120576119894119895) 120585 Γ3

(35)






36



119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110

119889120576119911119911 (36)



119869-CTOD=4

120587∙CTOD∙120590119900 (37)








(a)

(b)


37










- (a) (b) (c)









38















39


119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)

Fractura

final en

monocristal

5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9

10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9

15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9

20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9

Primer

rasgamiento

en bicristal

5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9

10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9

15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9

20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9

Fractura

final en

bicristal

5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9

10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9

15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9

20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9




119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

119869-CI

(Jm-2)

119869-ERR

(Jm-2)

119869-CTOD

(Jm-2)

5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400

10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252

15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246

20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085

57 Discusioacuten







58 Conclusiones



hallazgos



40






41

Capiacutetulo 6



aluminio

























42

120590119911119911 =119870119868

119891radic120587 ∙ 1198970 (38)


119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574

(1 minus 120574)32

(39)







fue 119870119862 = 095 MParadicm







119870119868 = radic119869 ∙119864

1 minus 1205842 (40)

43


119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)


120590119911119911119890119902= radic

119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)

1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)









y del bicristal








Bicristal 1361 1237 1324

64 Discusioacuten



44





CI ERR CTOD

Monocristal 000352869 000249363 000211611


Bicristal 003016880 000723650 000614448

65 Conclusiones








45

Capiacutetulo 7


71 Conclusiones
















todos los 1198970






72 Trabajo futuros






46


cualquier otro NC









en la literatura

47

Bibliografiacutea


2845 doi10108014786430412331280382





211 doi101016jprogsurf201303001












273 doi101016jnano200906001






22001 doi1010880960-1317192022001





48




















Mech 50 (2010) 5ndash23 doi101007s11340-009-9301-2












49







(2016) doi101016jmsea201604077

























50











73









doi101016S0257-8972(02)00662-X


(2007) 1694ndash1708 doi101007s10853-006-0968-9



6







51


doi101061(ASCE)NM2153-54770000130











doi10111513601206







27 (1957) 1208 doi10106311743957


Phys 31 (1959) 459 doi10106311730376


A 405-A 411


Chem Phys 60 (1974) 1545ndash1557






52

(1998) 95ndash104



doi101016jmsea201103006




J Chem Phys 81 (1984) 511 doi1010631447334


Phys 50 (1983) 1055ndash1076


doi101007978-0-387-76426-9




x (1874) 407ndash415








doi101098rspa19240082





(2008) 1723ndash1750 doi10108014786430802206482



53




(2016) 314ndash319 doi101016jmsea201604077



doi101016jjmps201006001





doi106122CJP20150928A





doi1010880965-0393208085007



0393181015012




(2009) 041111 doi10106313215722





doi101016jeml201501007



54




doi1010880965-0393124S03



23 (2011) 1ndash12 doi1010880953-8984231015002


(1920) 163ndash198



342






doi101016jjmps201605005








doi101016jjmps201006001






55






0393148008












274ndash283 doi101016jmsea201612060

Efecto de las fronteras de grano en la tenacidad a la ...

Documents

Transcript of Efecto de las fronteras de grano en la tenacidad a la ...