EFECTOS CUARENTENA EN SEIS MODELOS ENDEMICOS

EFECTOS CUARENTENA EN SEIS MODELOSENDEMICOS POR ENFERMEDADES

INFECCIOSAS.EL MODELO SIQS CON LA INCIDENCIA SIMPLE DE ACCIÓN

DE MASAS.

ANDREY MAURICIO MONTOYA JURADO

ABRIL 2 DEL 2012

ANDREY MAURICIO MONTOYA JURADO ()EFECTOS CUARENTENA EN SEIS MODELOS ENDEMICOS POR ENFERMEDADES INFECCIOSAS.ABRIL 2 DEL 2012 1 / 19

RESUMEN

Umbrales, equilibrio y estabilidad se encuentran en los modelosepidemiológicos SIQS y SIQR con tres formas de incidencia (Simple deacción de masas, estandar, cuarentena ajustada). Para la mayoría de estosmodelos el equilibrio es asintoticamente estable, pero para el modeloSIQR con la incidencia ajustada a la cuarentena, el equilibrio endémico esajustado a una espiral inestable para algunos valores de los parámetrosdonde sus soluciones surgen por la bifurcación de Hopf.


INTRODUCCIÓN

Uno de los procedimientos de intervención para controlar la propagaciónde enfermedades infecciosas es aislar algunos infecciosos, con el �n dereducir las transmisiones de la infección a personas susceptibles.Durante siglos la cuarentena se ha utilizado para reducir la transmisión deenfermedades en humanos como la lepra, la peste, el cólera, el tifus, la�ebre amarilla, la viruela, la difteria, la tuberculosis, el sarampión, laspaperas, el virus de Ébola y la �ebre de Lassa. También se ha utilizado enanimales como la peste bobina, , la �ebre aftosa, psitacosis, enfermedadde Newcastle y la rabia.


¿QUE ES UNA EPIDEMIA?

Una epidemia es un brote de una enfermedad durante un corto período detiempo, se dice que es endémica si persiste en una población durante unlargo período de tiempo.Para algunas enfermedades más leves, las personas en cuarentena podríanser las personas que deciden quedarse en casa de la escuela o al trabajodebido a que están enfermos.Para otras enfermedades más graves, las personas en cuarentena podríanser aquellos que se ven obligados a aislamiento.


SUPUESTOS

1 S(t) es el número de personas susceptibles en el tiempo t.2 I (t) es el número de infecciosos en el tiempo t.3 Q(t) es el número de personas en cuarentena en el tiempo t.4 N(t) es el tamaño de la población total en el tiempo t.


EL MODELO SIQS CON INCIDENCIA SIMPLE DEACCION DE MASAS.


Las ecuaciones diferenciales para este modelo son:

S (́t) = A� dS � βSI + γI + εQ

I (́t) = [βS � (d + α+ δ+ γ)] I

Q (́t)=δI � (ε+ d + α)Q


¿QUE NOS INDICAN LAS CONSTANTES?

1 Los parametros A, d , β son constantes positivas, γ, δ, ε y α sonconstantes no negativas.

2 la constante A es la tasa de reclutamiento de personas susceptiblesque corresponde al nacimiento y la inmigración.

3 d es la tasa percapita natural de mortalidad.4 δ es la tasa constante de velocidad en la que los individuos pasan de Ia Q.

5 α es la enfermedad relacionada a la tasa de muerte constante en loscompartimientos I y Q.

6 γ y ε son las tasas con las que los individuos retornan a elcompartimiento S de los compartimientos I y Q.


POBLACIÓN Y REGIÓN DE SOLUCIÓN

El tamaño total de la población N(t) es variable conN (́t) = A� dN � α(I +Q). En ausencia de la enfermedad, el tamaño dela población N se aproxima a la capacidad de carga A/d . La ecuacióndiferencial de N implica que las soluciones del sistema comienzan en eloctante positivo de R3 y deben permanecer en el subconjunto de R3

de�nido por:

D = f(S , I ,Q) /S � 0, I � 0, Q � 0, S + I +Q � A/dg

como las soluciones permanecen en la region D el intervalo maximal estaentre [0,∞) . Así, el problema de valor inicial está bien planteado entérminos matemáticos y epidemiológicos.


SOLUCIONES ESTACIONARIAS

Cuando

dSdt= 0,

dIdt= 0,

dQdt= 0

tenemos que;

I = 0, S =γ+ δ+ d + α

β


SISTEMA LIBRE DE ENFERMEDAD

El sistema siempre tiene un equilibrio libre de enfermedadP0 = (A/d , 0, 0). De�nimos el numero de reproducción de la cuarentena

Rq =β (A/d)

γ+ δ+ d + α


SISTEMA CON ENFERMEDAD

Evaluando para;

S =γ+ δ+ d + α

β

de donde

Rq =β (A/d)

γ+ δ+ d + α

Así Rq es el número promedio de infecciones secundarias en una poblacióntotalmente susceptible.


RELACIÓN CON EL MODELO SIS Y PUNTO DEEQUILIBRIO CON INFECCIÓN

El número basico de reproducción seria R0 =β(A/d )γ+d+α para el modelo SIS

fuera de cuarentena (δ = 0). Si Rq > 1, Entonces D contiene un únicoequilibrio endemico positivo P� = (S�, I �,Q�), donde

S� =A/dRq

, I � =A (1� 1/Rq)

(d + α) [1+ δ/(ε+ d + α)], Q� =

δI �

ε+ d + α

note que

N� = S� + I � +Q� =Ad� Aα (1� 1/Rq)

d(d + α)


Así cuando la enfermedad esta relacionada con la tasa de mortalidad laconstante α es positiva, entonces el total de la población N� en elequilibrio endémico P� es menor que la enfermedad libre de capacidad decarga A/d .


EL MODELO SIQS CON INCIDENCIA ESTANDAR

S (́t) = A� βSIS + I +Q

� dS + γI + εQ

I (́t) =

�βS

S + I +Q� (γ+ δ+ d + α)

�I

Q (́t) = δI � (ε+ d + α)Q

El modelo tiene el mismo diagrama que la �gura 1, ecepto que la incidenciasimple de acción de masas βSI es reemplazada por la incidencia estandar

βSIS + I +Q


EL MODELO SIQS CON INCIDENCIA DECUARENTENA AJUSTADA

S (́t) = A� βSIS + I

� dS + γI + εQ

I (́t) =

�βSS + I

� (γ+ δ+ d + α)

�I

Q (́t) = δI � (ε+ d + α)Q

El modelo tiene el mismo diagrama que la �gura 1, ecepto que laincidencia simple de acción de masas βSI es reemplazada por:

βSIS + I


EL MODELO SIQR CON INCIDENCIA SIMPLE DEACCIÓN DE MASAS

S (́t) = A� βSI � dSI (́t) = [βS � (γ+ δ+ d + α1)] I

Q (́t) = δI � (ε+ d + α2)Q

R (́t) = γI + εQ � dRR(t) es el número de individuos permanentemente inmunes.


EL MODELO SIQR CON EL ESTANDAR DEINCIDENCIA

S (́t) = A� βSIN� dS

I (́t) =

�βSN� (γ+ δ+ d + α1)

�I

Q (́t) = δI � (ε+ d + α2)Q

R (́t) = γI + εQ � dR

El diagrama es similar al de la �gura 2, ecepto que la incidencia simple deacción de masas βSI es reemplazado por la incidencia estandar

βSIN


EL MODELO SIQR CON INCIDENCIA DECUARENTENA AJUSTADA

S (́t) = A� βSIS + I + R

� dS

I (́t) =

�βS

S + I + R� (γ+ δ+ d + α1)

�I

Q (́t) = δI � (ε+ d + α2)Q

R (́t) = γI + εQ � dR

La incidencia simple de acción de masas βSI es reemplazado por laincidencia de cuarentena ajustada

βSIS + I + R


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