Ejercicio Controlabilidad-Observabilidad 1. Para el sistema discreto definido por las siguientes matrices:

0100

1000;

10

00

00

01

;

1.0100

03.010

002.01

0004.0

=

=

−−

−−

= CBA

Determinar: a) ¿Si el sistema es totalmente controlable y observable?

rank(ctrb(A, B)) = 4 Sistema totalmente controlab le rank(obsv(A, C)) = 4 Sistema totalmente observabl e

b) Número de estados controlables con cada una de las entradas. rank(ctrb(A, B(:,1))) = 4 Sistema totalmente cont rolable con u1 rank(ctrb(A, B(:,2))) = 1 Un estado controlable c on u2

c) Índices de controlabilidad de cada entrada y global del sistema. rank([B(:,1) B(:,2)]) = 2 rank([B(:,1) B(:,2) A*B(:,1)]) = 3 rank([B(:,1) B(:,2) A*B(:,1) A*B(:,2)]) = 3 rank([B(:,1) B(:,2) A*B(:,1) A^2*B(:,1)]) = 4

Se obtiene: 31 =µ , 12 =µ , ( ) 3,max 21 == µµµ

d) Número de estados observables con cada una de las salidas. rank(obsv(A, C(1,:))) = 4 Sistema totalmente obse rvable con y1 rank(obsv(A, C(2,:))) = 3 Tres estados observable s con y2

e) Índices de observabilidad de cada salida y global del sistema. rank([C(1,:); C(2,:)]) = 2 rank([C(1,:); C(2,:); C(1,:)*A]) = 2 rank([C(1,:); C(2,:); C(2,:)*A]) = 3 rank([C(1,:); C(2,:); C(2,:)*A; C(1,:)*A^2]) = 3 rank([C(1,:); C(2,:); C(2,:)*A; C(2,:)*A^2]) = 4

Se obtiene: 11 =µ , 32 =µ , ( ) 3,max 21 == µµµ

f) La secuencia de acciones de control y el esfuerzo de control que se deben aplicar para llevar el sistema desde un estado inicial x(0) = [0.5 0.5 0.5 0.5]T hasta un estado final x(N) = [0 0 0 0]T,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ]( )

( )

−⋅⋅⋅⋅+=

⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=⋅+⋅=

⋅+⋅⋅+⋅=⋅+⋅=

⋅+⋅=

−−

1

0

0

2100223

100112

001

21

23

2

Nu

u

BBABABAxANx

uBuBAuBAxAuBxAx

uBuBAxAuBxAx

uBxAx

NNNMK

( )

( )[ ] ( ) ( )( )0

1

0121 xANxBBABABA

Nu

uNNN −⋅⋅⋅⋅=

−

−−−KM

En los siguientes casos:

- En tiempo mínimo: coincide con el índice de controlabilidad del siste ma.

U=inv([A^2*B(:,1) A*B(:,1) B(:,1) B(:,2)])*(xN-(A^3 )*x0)

( )( )( )( )

−

=

=

0.2645

0.0071

0.0851

0.3685

2

2

1

0

2

1

1

1

u

u

u

u

U

Esf_cont = sum(U.^2) = 0.2130

- Utilizando sólo una de las entradas: en 4 instantes se controlan los 4 estados, utilizan do la entrada u1 por ser la única que puede controlar los 4 estad os.

U=inv([A^3*B(:,1) A^2*B(:,1) A*B(:,1) B(:,1)])*(xN- (A^4)*x0)

( )( )( )( )

=

=

0.0006

0.0140

0.1089

0.3950

3

2

1

0

1

1

1

1

u

u

u

u

U

Esf_cont = sum(U.^2) = 0.1680

- En cuatro instantes de muestreo. U=pinv([A^3*B A^2*B A*B B])*(xN-(A^4)*x0)

( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

−−−

−−

=

=

1714000350

0171003110

0017004690

0002022180

33

22

11

00

8:7

6:5

4:3

2:1

21

21

21

21

..

..

..

..

uu

uu

uu

uu

U

U

U

U

Esf_cont = sum(U.^2) = 0.0821

- En cinco instantes de muestreo. U=pinv([A^4*B A^3*B A^2*B A*B B])*(xN-(A^5)*x0)

( )( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

−

−−−

−

=

=

0954000160

0095001070

0010000420

0001009440

0000009530

44

33

22

11

00

10:9

8:7

6:5

4:3

2:1

21

21

21

21

21

..

..

..

..

..

uu

uu

uu

uu

uu

U

U

U

U

U

Esf_cont = sum(U.^2) = 0.0273