Ej Ded Natural LPO

Ejercicios de deduccin natural

Jos A. Alonso Jimnez

Grupo de Lgica ComputacionalDpto. de Ciencias de la Computacin e Inteligencia ArtificialUniversidad de SevillaSevilla, 26 de Abril de 2007 (versin de 20 de mayo de 2011)

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ndice general

1. Ejercicios resueltos en clase 4

2. Ejercicios propuestos 19

3. Ejercicios de exmenes 50

3

Captulo 1

Ejercicios resueltos en clase

4

Jos A. Alonso Jimnez 5

Ejercicio 1 Demostrar mediante deduccin naturalP(c),x[P(x) Q(x)]` Q(c)

Solucin:

1 P(c) Premisa

2 x[P(x) Q(x)] Premisa3 P(c) Q(c) E 24 Q(c) E 3, 1

6 Ejercicios de deduccin natural

Ejercicio 2 Demostrar mediante deduccin naturalx[P(x) Q(x)],xP(x)` xQ(x)

Solucin:

1 x[P(x) Q(x)] Premisa2 xP(x) Premisa3 parametro x0 Supuesto

4 P(x0) Q(x0) E 1, 35 P(x0) E 2, 36 Q(x0) E 4, 57 xQ(x) I 3 6


Ejercicio 3 Demostrar mediante deduccin naturalxP(x)` xP(x)

Solucin:

1 xP(x) Premisa2 P(x0) E 13 xP(x) I 2


Ejercicio 4 Demostrar mediante deduccin naturalx[P(x) Q(x)],xP(x)` xQ(x)

Solucin:

1 x[P(x) Q(x)] Premisa2 xP(x) Premisa3 parametro x0, P(x0) Supuesto

4 P(x0) Q(x0) E 1, 35 Q(x0) E 4, 36 xQ(x) I 57 xQ(x) E 2, 3 6


Ejercicio 5 Demostrar mediante deduccin naturalx[Q(x) R(x)],x[P(x) Q(x)]` x[P(x) R(x)]

Solucin:

1 x[Q(x) R(x)] Premisa2 x[P(x) Q(x)] Premisa3 parametro x0, P(x0) Q(x0) Supuesto4 P(x0) E 35 Q(x0) R(x0) E 16 Q(x0) E 37 R(x0) E 5, 68 P(x0) R(x0) I 4, 79 x[P(x) R(x)] I 810 x[P(x) R(x)] E 2, 3 9


Ejercicio 6 Demostrar mediante deduccin naturalxP(x),xy[P(x) Q(y)]` yQ(y)

Solucin:

1 xP(x) Premisa2 xy[P(x) Q(y)] Premisa3 parametro y0 Supuesto

4 parametro x1, P(x1) Supuesto

5 y[P(x1) Q(y)] E 2, 46 P(x1) Q(y0) E 5, 37 Q(y0) E 6, 48 Q(y0) E 1, 4 79 yQ(y) I 3 8


Ejercicio 7 Demostrar mediante deduccin natural` xP(x) xP(x)

Solucin:En primer lugar, se prueba el Lema 1: xP(x) ` xP(x)

1 xP(x) Premisa2 xP(x) Supuesto3 parametro x0 Supuesto

4 P(x0) Supuesto5 xP(x) I 4, 36 E 2, 57 P(x0) RAA 4 68 xP(x) I 3 79 E 1, 810 xP(x) RAA 2 9

En segundo lugar, se prueba el Lema 2: xP(x) ` xP(x)

1 xP(x) Premisa2 xP(x) Supuesto3 parametro x0, P(x0) Supuesto4 xP(x) E 25 P(x0) E 46 E 3, 57 E 1, 3 68 xP(x) RAA 2 7

Finalmente se demuesta el ejercicio


1 xP(x) Supuesto2 xP(x) Lema 13 xP(x) xP(x) I 1 24 xP(x) Supuesto5 xP(x) Lema 26 xP(x) xP(x) I 4 57 xP(x) xP(x) I 3, 6


Ejercicio 8 Demostrar mediante deduccin natural` x[P(x) Q(x)] xP(x) xQ(x)

Solucin:En primer lugar se demuestra el Lema 3:

x[P(x) Q(x)] ` xP(x) xQ(x)

1 x[P(x) Q(x)] Premisa2 parametro x0 Supuesto

3 P(x0) Q(x0) E 1, 24 P(x0) E 35 xP(x) I 2 46 parametro x1 Supuesto

7 P(x1) Q(x1) E 1, 68 Q(x1) E 79 xQ(x) I 6 810 xP(x) xQ(x) I 5, 9

En segundo lugar se demuestra el Lema 4:xP(x) xQ(x) ` x[P(x) Q(x)].

1 xP(x) xQ(x) Premisa2 parametro x0 Supuesto

3 xP(x) E 14 P(x0) E 3, 25 xQ(x) E 16 Q(x0) E 57 P(x0) Q(x0) I 4, 68 x[P(x) Q(x)] I 2 7

Finalmente se demuestra el ejercicio


1 x(P(x) Q(x)) Supuesto2 xP(x) xQ(x) Lema 33 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x) I 1 24 xP(x) xQ(x) Supuesto5 x(P(x) Q(x)) Lema 46 xP(x) xQ(x) x(P(x) Q(x)) I 4 57 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x) I 3, 6


Ejercicio 9 Demostrar mediante deduccin natural` xP(x) xQ(x) x[P(x) Q(x)]


xP(x) xQ(x) ` x[P(x) Q(x)]

1 xP(x) xQ(x) Premisa2 xP(x) Supuesto3 parametro x0, P(x0) Supuesto

4 P(x0) Q(x0) I 35 x[P(x) Q(x)] I 4, 36 x[P(x) Q(x)] E 2, 3 57 xQ(x) Supuesto8 parametro x1, Q(x1) Supuesto

9 P(x1) Q(x1) I 810 x[P(x) Q(x)] I 9, 811 x[P(x) Q(x)] E 7, 8 1012 x[P(x) Q(x)] E 1 , 2 6, 7 11

En segundo lugar se demuestra el Lema 6:

x[P(x) Q(x)] ` xP(x) xQ(x)


1 x[P(x) Q(x)] Premisa2 parametro x0, P(x0) Q(x0) Supuesto3 P(x0) Supuesto

4 xP(x) I 3, 25 xP(x) xQ(x) I 46 Q(x0) Supuesto

7 xQ(x) I 6, 28 xP(x) xQ(x) I 79 xP(x) xQ(x) E 2, 3 5, 6 810 xP(x) xQ(x) E 1, 2 9


1 xP(x) xQ(x) Supuesto2 x[P(x) Q(x)] Lema 53 xP(x) xQ(x) x[P(x) Q(x)] I 1 24 x[P(x) Q(x)] Supuesto5 xP(x) xQ(x) Lema 66 x[P(x) Q(x)] xP(x) xQ(x) I 4 57 xP(x) xQ(x) x[P(x) Q(x)] I 3, 6


Ejercicio 10 Demostrar mediante deduccin natural` xyP(x, y) yxP(x, y)


xyP(x, y) ` yxP(x, y)

1 xyP(x, y) Premisa2 parametro x0, yP(x0, y) Supuesto3 parametro y0, P(x0, y0) Supuesto

4 xP(x, y0) I 3, 25 yxP(x, y) I 4, 36 yxP(x, y) E 2, 3 57 yxP(x, y) E 1, 2 6

En segundo lugar se demuestra el Lema 8:

xyP(x, y) ` yxP(x, y)


4 xP(x, y0) I 3, 25 yxP(x, y) I 4, 36 yxP(x, y) E 2, 3 57 yxP(x, y) E 1, 2 6



1 xyP(x, y) Supuesto2 yxP(x, y) Lema 73 xyP(x, y) yxP(x, y) I 1 24 yxP(x, y) Supuesto5 xyP(x, y) Lema 86 yxP(x, y) xyP(x, y) I 4 57 xyP(x, y) yxP(x, y) I 3, 6

Captulo 2

Ejercicios propuestos

19


Ejercicio 11 Demostrar mediante deduccin naturalx[P(x) Q(x)]` xP(x) xQ(x)

Solucin:

1 x[P(x) Q(x)] Premisa2 xP(x) Supuesto3 parametro x0 Supuesto

4 P(x0) Q(x0) E 1, 35 P(x0) E 2, 36 Q(x0) E 4, 57 xQ(x) I 3 68 xP(x) xQ(x) I 2 7



Solucin:

1 xP(x) Premisa2 xP(x) Supuesto3 parametro x0, P(x0) Supuesto4 P(x0) E 2, 35 E 3, 2, 46 E 1, 3 57 xP(x) I 2 6


Ejercicio 13 Demostrar mediante deduccin naturalxP(x)` yP(y)

Solucin:

1 xP(x) Premisa2 parametro y0 Supuesto

3 P(y0) E 1, 24 yP(y) I 2 3


Ejercicio 14 Demostrar mediante deduccin naturalx[P(x) Q(x)]` xQ(x) xP(x)

Solucin:

1 x[P(x) Q(x)] Premisa2 xQ(x) Supuesto3 parametro x0 Supuesto

4 P(x0) Q(x0) E 1, 35 Q(x0) E 2, 36 P(x0) MT 4, 57 xP(x) I 3 68 xQ(x) xP(x) E 2 7


Ejercicio 15 Demostrar mediante deduccin naturalx[P(x) Q(x)]` x[P(x) Q(x)]

Solucin:

1 x[P(x) Q(x)] Premisa2 x[P(x) Q(x)] Supuesto3 parametro x0, P(x0) Q(x0) Supuesto4 Q(x0) E 35 P(x0) Q(x0) E 1, 36 P(x0) E 37 Q(x0) E 5, 68 E 7, 49 E 2, 3 810 x[P(x) Q(x)] I 2 9


Ejercicio 16 Demostrar mediante deduccin naturalxyP(x, y)` (u)(v)P(u, v)

Solucin:

1 xyP(x, y) Premisa2 parametro u0 Supuesto

3 parametro v0 Supuesto

4 yP(u0, y) E 1, 25 P(u0, v0) E 4, 36 (v)P(u0, v) I 3 57 (u)(v)P(u, v) I 2 6


Ejercicio 17 Demostrar mediante deduccin naturalxyP(x, y)` (u)(v)P(u, v)

Solucin:


4 (v)P(x0, v) I 3, 35 (u)(v)P(u, v) I 4, 26 (u)(v)P(u, v) E 2, 3 57 (u)(v)P(u, v) E 1, 2 6


Ejercicio 18 Demostrar mediante deduccin naturalxyP(x, y)` yxP(x, y)

Solucin:

1 xyP(x, y) Premisa2 parametro x0, yP(x0, y) Supuesto3 parametro y0 Supuesto

4 P(x0, y0) E 2, 35 xP(x, y0) I 4, 26 yxP(x, y) I 3 57 yxP(x, y) E 1, 2 6


Ejercicio 19 Demostrar mediante deduccin naturalx[P(a) Q(x)]` P(a) xQ(x)

Solucin:

1 x[P(a) Q(x)] Premisa2 P(a) Supuesto

3 parametro x0, P(a) Q(x0) Supuesto4 Q(x0) E 3, 25 xQ(x) I 4, 36 xQ(x) E 1, 3 57 P(a) xQ(x) I 2 6


Ejercicio 20 Demostrar mediante deduccin naturalP(a) xQ(x),` x[P(a) Q(x)]

Solucin:

1 P(a) xQ(x) Premisa2 parametro x0 Premisa

3 P(a) P(a) LEM4 P(a) Supuesto

5 xQ(x) E 1, 46 parametro x1, Q(x1) Supuesto

7 P(a) Supuesto

8 Q(x1) Hipotesis 6

9 P(a) Q(x1) I 7 810 x[P(a) Q(x)] I 9, 611 x[P(a) Q(x)] E 15, 212 P(a) Supuesto13 P(a) Supuesto

14 E 12, 1315 Q(x0) E 1416 P(a) Q(x0) I 13 1517 x[P(a) Q(x)] I 16, 218 x[P(a) Q(x)] E 3, 4 11, 12 17


Ejercicio 21 Demostrar mediante deduccin naturalxP(x) Q(a)` x[P(x) Q(a)]

Solucin:

1 xP(x) Q(a) Premisa2 parametro x0 Supuesto

3 P(x0) Supuesto

4 xP(x) I 3, 25 Q(a) E 1 , 46 P(x0) Q(a) I 3 57 x[P(x) Q(a)] I 2 6


Ejercicio 22 Demostrar mediante deduccin naturalx[P(x) Q(a)],` x[P(x) Q(a)]

Solucin:

1 x[P(x) Q(a)] Premisa2 parametro x0 Premisa

3 P(x0) Q(a) E 1, 24 x[P(x) Q(a)] I 3, 2


Ejercicio 23 Demostrar mediante deduccin naturalxP(x) xQ(x)` x[P(x) Q(x)]

Solucin:

1 xP(x) xQ(x) Premisa2 xP(x) Supuesto3 parametro x0 Supuesto

4 P(x0) E 2, 35 P(x0) Q(x0) I 46 x[P(x) Q(x)] I 3 57 xQ(x) Supuesto8 parametro x1 Supuesto

9 Q(x1) E 7, 810 P(x1) Q(x1) I 911 x[P(x) Q(x)] I 8 1012 x[P(x) Q(x)] E 1, 2 6, 7 11



Solucin:

1 x[P(x) Q(x)] Premisa2 parametro x0, P(x0) Q(x0) Supuesto3 P(x0) E 24 xP(x) I 3, 25 Q(x0) E 26 xQ(x) I 5, 27 xP(x) xQ(x) I 4, 68 xP(x) xQ(x) E 1, 2 7


Ejercicio 25 Demostrar mediante deduccin naturalxy[P(y) Q(x)]` yP(y) xQ(x)

Solucin:

1 xy[P(y) Q(x)] Premisa2 yP(y) Supuesto3 parametro x0 Supuesto

4 parametro y0, P(y0) Supuesto

5 y[P(y) Q(x0)] E 1, 36 P(y0) Q(x0) E 5, 47 Q(x0) E 6, 48 Q(x0) E 2, 4 99 xQ(x) I 3 810 yP(y) xQ(x) I 2 9


Ejercicio 26 Demostrar mediante deduccin naturalxP(x),` xP(x)

Solucin:

1 xP(x) Premisa2 parametro x0 Premisa

3 xP(x) Supuesto4 parametro x1 Supuesto

5 P(x1) Supuesto

6 xP(x) I 5, 47 E 3, 68 P(x1) I 5 79 xP(x) I 4 810 E 1, 911 xP(x) RAA 3 10



Solucin:

1 xP(x) Premisa2 xP(x) Supuesto3 parametro x0, P(x0) Supuesto

4 P(x0) E 1, 35 E 4, 36 E 2, 3 57 xP(x) I 2 6



Solucin:

1 xP(x) Premisa2 xP(x) Supuesto3 parametro x0, P(x0) Supuesto

4 P(x0) E 1, 35 E 4, 36 E 1, 3 57 xP(x) I 2 6


Ejercicio 29 Demostrar mediante deduccin naturalP(a) xQ(x)` x[P(a) Q(x)]

Solucin:

1 P(a) xQ(x) Premisa2 parametro x0 Supuesto

3 P(a) Supuesto

4 xQ(x) E 1, 35 Q(x0) E 4, 26 P(a) Q(x0) I 3 57 x[P(a) Q(x)] I 2 6


Ejercicio 30 Demostrar mediante deduccin naturalxyz[R(x, y) R(y, z) R(x, z)],xR(x, x)` xy[R(x, y) R(y, x)]

Solucin:

1 xyz[R(x, y) R(y, z) R(x, z)] Premisa2 xR(x, x) Premisa3 parametro x0 Supuesto

4 parametro y0 Supuesto

5 R(x0, y0) Supuesto

6 R(y0, x0) Supuesto

7 R(x0, x0) E 2, 38 yz[R(x0, y) R(y, z) R(x0, z)] E 1, 39 z[R(x0, y0) R(y0, z) R(x0, z)] E 8, 410 R(x0, y0) R(y0, x0) R(x0, x0) E 9, 311 R(x0, y0) R(y0, x0) I 5, 612 R(x0, x0) E 10, 1113 E 7, 1214 R(y0, x0) I 6 1315 R(x0, y0) R(y0, x0) I 5 1416 y[R(x0, y) R(y, x0)] I 4 1517 xy[R(x, y) R(y, x)] I 3 16


Ejercicio 31 Demostrar mediante deduccin naturalx[P(x) Q(x)],xQ(x),x[R(x) P(x)]` xR(x)

Solucin:

1 x[P(x) Q(x)] Premisa2 xQ(x) Premisa3 x[R(x) P(x)] Premisa4 parametro x0, Q(x0) Supuesto5 P(x0) Q(x0) E 1, 46 P(x0) Supuesto

7 R(x0) P(x0) E 3, 48 P(x0) I 69 R(x0) MT 7, 810 xR(x) I 9, 411 Q(x0) Supuesto

12 E 4, 1113 xR(x) E 1214 xR(x) E 5, 6 10, 11 1315 xR(x) E 2, 4 14


Ejercicio 32 Demostrar mediante deduccin naturalx[P(x) (Q(x) R(x))],x[P(x) R(x)]` x[P(x) Q(x)]

Solucin:

1 x[P(x) (Q(x) R(x))] Premisa2 x[P(x) R(x)] Premisa3 parametro x0 Supuesto

4 P(x0) Supuesto

5 P(x0) (Q(x0) R(x0)) E 1, 36 Q(x0) R(x0) E 5, 47 Q(x0) Supuesto

8 R(x0) Supuesto

9 P(x0) R(x0) I 4, 810 x[P(x) R(x)] I 9, 311 E 2, 1012 Q(x0) E 1113 Q(x0) E 6,7 7,8 1214 P(x0) Q(x0) I 4 1315 x[P(x) Q(x)] I 3 14


Ejercicio 33 Demostrar mediante deduccin naturalxy[R(x, y) R(y, x)]` xyR(x, y)

Solucin:

1 xy[R(x, y) R(y, x)] Premisa2 parametro x0, y[R(x0, y) R(y, x0)] Supuesto3 parametro y0, R(x0, y0) R(y0, x0) Supuesto4 R(x0, y0) Supuesto

5 yR(x, y0) I 4, 36 xyR(x, y) I 5, 27 R(y0, x0) Supuesto

8 yR(y0, y) I 7, 29 xyR(x, y) I 8, 310 xyR(x, y) E 3, 4 6, 7 911 xyR(x, y) E 2, 3 1012 xyR(x, y) E 1, 2 11


Ejercicio 34 Demostrar mediante deduccin naturalt1 = t2,t2 = t3` t1 = t3

Solucin:

1 t1 = t2 Premisa

2 t2 = t3 Premisa

3 t1 = t3 E= 2, 1


Ejercicio 35 Demostrar mediante deduccin naturalt1 = t2` t2 = t1

Solucin:

1 t1 = t2 Premisa

2 t1 = t1 I=

3 t2 = t1 E= 1, 2


Ejercicio 36 Demostrar mediante deduccin naturalP(a)` x(x = a P(x))

Solucin:1 P(a) Premisa

2 x0 Supuesto

3 x0 = a Supuesto

4 P(x0) E= 3, 1

5 x0 = a P(x0) I 3 46 x(x = a P(x)) I 2 5


Ejercicio 37 Demostrar mediante deduccin naturalxy(R(x, y) R(y, x))xR(x, x)` xy(x = y)

Solucin:1 xy(R(x, y) R(y, x)) Premisa2 xR(x, x) Premisa3 parametro x0, y(R(x0, y) R(y, x0)) Supuesto4 parametro y0, R(x0, y0) R(y0, x0) Supuesto5 x0 = y0 Supuesto

6 R(x0, y0) Supuesto

7 R(y0, y0) I= 5, 6

8 xR(x, x) I 7, 49 E 2, 810 R(y0, x0) Supuesto

11 R(y0, y0) I= 5, 10

12 xR(x, x) I 11, 413 E 2, 1214 E 4, 6 9, 10 1315 (x0 = y0) I 5 1416 y(x0 = y) I 15, 417 xy(x = y) I 16, 318 xy(x = y) E 3, 4 1719 xy(x = y) E 1, 3 18


Ejercicio 38 Demostrar mediante deduccin naturalxP(a, x, x),xyz(P(x, y, z) P( f (x), y, f (z))` P( f (a), a, f (a)

Solucin:1 xP(a, x, x) Premisa2 xyz(P(x, y, z) P( f (x), y, f (z)) Premisa3 xP(a, a, a) E 14 yz(P(a, y, z) P( f (a), y, f (z)) E 25 z(P(a, a, z) P( f (a), a, f (z)) E 46 P(a, a, a) P( f (a), a, f (a) E 57 P( f (a), a, f (a) E 6, 3


Ejercicio 39 Demostrar mediante deduccin naturalxP(a, x, x),xyz(P(x, y, z) P( f (x), y, f (z))` zP( f (a), z, f ( f (a)))

Solucin:1 xP(a, x, x) Premisa2 xyz(P(x, y, z) P( f (x), y, f (z)) Premisa3 P(a, f (a), f (a)) E 14 yz(P(a, y, z) P( f (a), y, f (z)) E 25 z(P(a, f (a), z) P( f (a), f (a), f (z)) E 46 P(a, f (a), f (a)) P( f (a), f (a), f ( f (a)) E 57 P( f (a), f (a), f ( f (a))) E 6, 38 zP( f (a), z, f ( f (a))) I 7


Ejercicio 40 Demostrar mediante deduccin naturalyQ(a, y),xy(Q(x, y) Q(s(x), s(y)))` z(Q(a, z) Q(z, s(s(a))))

Solucin:1 yQ(a, y) Premisa2 xy(Q(x, y) Q(s(x), s(y))) Premisa3 Q(a, s(a)) E 14 y(Q(a, y) Q(s(a), s(y))) E 25 Q(a, s(a)) Q(s(a), s(s(a))) E 46 Q(s(a), s(s(a))) E 5, 37 Q(a, s(a)) Q(s(a), s(s(a))) I 3, 68 z(Q(a, z) Q(z, s(s(a)))) I 7

Captulo 3

Ejercicios de exmenes

50


Ejercicio 41 Demostrar mediante deduccin naturalxP(x) xQ(x)` x[P(x) Q(x)]

Solucin:

1 xP(x) xQ(x) Premisa2 xP(x) Supuesto3 parametro x0 Supuesto

4 P(x0) E 2, 35 P(x0) Q(x0) I 46 x[P(x) Q(x)] I 3 57 xQ(x) Supuesto8 parametro x1 Supuesto

9 Q(x1) E 7, 810 P(x1) Q(x1) I 911 x[P(x) Q(x)] I 8 1012 x[P(x) Q(x)] E 1, 2 6, 7 11



Solucin:

1 x[P(x) Q(x)] Premisa2 parametro x0, P(x0) Q(x0) Supuesto3 P(x0) E 24 xP(x) I 3, 25 Q(x0) E 26 xQ(x) I 5, 27 xP(x) xQ(x) I 4, 68 xP(x) xQ(x) E 1, 2 7


Ejercicio 43 Demostrar mediante deduccin naturalx[R(x) Q(x)],x[P(x) Q(x)]` x[P(x) R(x)]

Solucin:

1 x[R(x) Q(x)] Premisa2 x[P(x) Q(x)] Premisa3 parametro x0, P(x0) Q(x0) Supuesto4 P(x0) E 35 Q(x0) E 36 R(x0) Q(x0) E 1, 37 R(x0) MT 6, 58 P(x0) R(x0) I 4, 79 x[P(x) R(x)] I 8, 310 x[P(x) R(x)] E 2, 3 9


Ejercicio 44 Demostrar mediante deduccin naturalx[P(x) Q(x)],y[P(y) R(y)]` x[R(x) Q(x)]

Solucin:

1 x[P(x) Q(x)] Premisa2 y[P(y) R(y)] Premisa3 parametro x0, P(x0) Q(x0) Supuesto4 P(x0) E 35 P(x0) R(x0) E 2, 36 R(x0) E 5, 47 Q(x0) E 38 R(x0) Q(x0) I 6,79 x[R(x) Q(x)] I 8, 310 x[R(x) Q(x)] E 1, 3 9


Ejercicio 45 Demostrar mediante deduccin naturalxR(x, x),xyz[R(x, y) R(y, z) R(x, z)]` xy[R(x, y) R(y, x)]

Solucin:

1 xR(x, x) Premisa2 xyz[R(x, y) R(y, z) R(x, z)] Premisa3 parametro x0 Supuesto


5 (R(x0, y0) R(y0, x0)) Supuesto6 yz[R(x0, y) R(y, z) R(x0, z)] E 2, 37 z[R(x0, y0) R(y0, z) R(x0, z)] E 6, 48 R(x0, y0) R(y0, x0) R(x0, x0) E 7, 39 R(x0, y0) Supuesto

10 R(x0, y0) R(y0, x0) I 911 E 5, 1012 R(x0, y0) I 9 1113 R(y0, x0) Supuesto

14 R(x0, y0) R(y0, x0) I 1315 E 5, 1416 R(y0, x0) I 13 1517 R(x0, y0) R(y0, x0) I 12, 1618 R(x0, x0) E 8, 1719 R(x0, x0) E 1, 320 E 18, 1921 R(x0, y0) R(y0, x0) RAA 5 2022 y[R(x0, y) R(y, x0)] I 4 2123 xy[R(x, y) R(y, x)] I 3 22


Ejercicio 46 Demostrar mediante deduccin naturalxy[R(x, y) R(y, x)]` xyR(x, y)

Solucin:

1 xy[R(x, y) R(y, x)] Premisa2 parametro x0, y[R(x0, y) R(y, x0)] Supuesto3 parametro y0, R(x0, y0) R(y0, x0) Supuesto4 R(x0, y0) Supuesto

5 yR(x0, y) I 4, 36 xyR(x, y) I 5, 27 R(y0, x0) Supuesto

8 yR(y0, y) I 7, 29 xyR(x, y) I 8, 310 xyR(x, y) E 3, 4 6, 7 911 xyR(x, y) E 2, 3 1012 xyR(x, y) E 1, 2 11


Ejercicio 47 Demostrar mediante deduccin naturalx[P(x) yQ(y)],` xy[P(x) Q(y)]

Solucin:

1 x[P(x) yQ(y)] Premisa2 parametro a Premisa

3 parametro x0 Supuesto

4 P(x0) P(x0) LEM5 P(x0) Supuesto

6 P(x0) yQ(y) E 1, 37 yQ(y) E 6, 58 parametro y0, Q(y0) Supuesto

9 P(x0) Supuesto

10 Q(y0) Hipotesis

11 P(x0) Q(y0) I 9 1012 y[P(x0) Q(y)] I 11, 813 y[P(x0) Q(y)] E 8, 9 1214 P(x0) Supuesto15 P(x0) Supuesto

16 E 14, 1517 Q(a) E 1618 P(x0) Q(a) I 15 1719 y[P(x0) Q(y)] I 18, 220 y[P(x0) Q(y)] E 4, 5 13,14 1921 xy[P(x) Q(y)] I 3 20


Ejercicio 48 Demostrar mediante deduccin naturalx[P(x) C(x)],x[C(x) B(x)]` x[B(x) P(x)]

Solucin:

1 x[P(x) C(x)] Premisa2 x[C(x) B(x)] Premisa3 parametro x0, C(x0) B(x0) Supuesto4 B(x0) E 35 P(x0) Supuesto

6 P(x0) C(x0) E 1, 37 C(x0) E 6, 58 C(x0) E 39 E 7, 810 P(x0) I 5 911 B(x0) P(x0) I 4, 1012 x[B(x) P(x)] I 11, 313 x[B(x) P(x)] E 2, 3 12


Ejercicio 49 Demostrar mediante deduccin naturalxy[P(x) Q(y)]` x[P(x) yQ(y)]

Solucin:

1 xy[P(x) Q(y)] Premisa2 parametro x0 Supuesto

3 P(x0) Supuesto

4 y[P(x0) Q(y)] E 1, 25 parametro y0, P(x0) Q(y0) Supuesto6 Q(y0) E 5, 37 yQ(y) I 6, 58 yQ(y) E 4, 5 79 P(x0) yQ(y) I 3 810 x[P(x) yQ(y)] I 2 9


Ejercicio 50 Demostrar mediante deduccin naturalx[P(x) Q(a)]` xP(x) Q(a)

Solucin:

1 x[P(x) Q(a)] Premisa2 (xP(x) Q(a)) Supuesto3 parametro x0 Supuesto

4 P(x0) Supuesto

5 Q(a) Supuesto6 xP(x) I 4, 37 xP(x) Q(a) I 6, 58 E 2, 79 Q(a) RAA 5 810 P(x0) Q(a) I 4 911 x[P(x) Q(a)] I 3 1012 E 1, 1113 xP(x) Q(a) RAA 2 12


Ejercicio 51 Demostrar mediante deduccin naturalxP(x),x[P(x) Q(x) R(x)],xQ(x)` xR(x)

Solucin:

1 xP(x) Premisa2 x[P(x) Q(x) R(x)] Premisa3 xQ(x) Premisa4 parametro x0, Q(x0) Supuesto5 P(x0) Q(x0) R(x0) E 2, 46 P(x0) E 1, 47 Q(x0) R(x0) E 5, 68 Q(x0) Supuesto

9 E 4, 810 R(x0) E 911 R(x0) Supuesto

12 R(x0) E 7, 8 10, 11 1113 xR(x) I 12, 414 xR(x) E 3, 4 13


Ejercicio 52 Demostrar mediante deduccin naturalxy[R(x, y) R(y, x)],xy[R(x, y) R(y, x)]` xyz[R(x, y) R(y, z) R(x, z)]

Solucin:

1 xy[R(x, y) R(y, x)] Premisa2 xy[R(x, y) R(y, x)] Premisa3 parametro x0 Supuesto


5 parametro z0 Supuesto

6 R(x0, y0) R(y0, z0) Supuesto7 y[R(x0, y) R(y, x0)] E 2, 38 R(x0, y0) R(y0, x0) E 7, 49 R(x0, y0) Supuesto

10 R(x0, y0) E 611 E 10, 912 R(x0, z0) E 1113 R(y0, x0) Supuesto

14 y[R(y0, y) R(y, y0)] E 1, 415 R(y0, x0) R(x0, y0) E 14, 316 R(x0, y0) E 15, 1317 R(x0, y0) E 618 E 17, 1619 R(x0, z0) E 1820 R(x0, z0) E 8,9 12, 13 1921 R(x0, y0) R(y0, z0) R(x0, z0) I 6 2022 z[R(x0, y0) R(y0, z) R(x0, z)] I 5 2123 yz[R(x0, y) R(y, z) R(x0, z)] I 4 2224 xyz[R(x, y) R(y, z) R(x, z)] I 3 23



Solucin:

1 (x)P(x) Premisa2 xP(x) Supuesto3 parametro x0 Supuesto

4 P(x0) Supuesto5 xP(x) I 4, 36 E 2, 57 P(x0) RAA 4 68 xP(x) I 3 79 E 1, 810 xP(x) RAA 2 9


Ejercicio 54 Demostrar mediante deduccin naturalxy[(zR(y, z)) R(x, y)],xyR(x, y)` xyR(x, y)

Solucin:

1 xy[(zR(y, z)) R(x, y)] Premisa2 xyR(x, y) Supuesto3 parametro x0 Supuesto


5 parametro x1, yR(x1, y) Supuesto6 parametro y1, R(x1, y1) Supuesto

7 y[(zR(y, z)) R(x0, y)] E 1, 38 (zR(y0, z)) R(x0, y0) E 7, 49 y[(zR(y, z)) R(y0, y)] E 1, 410 (zR(x1, z)) R(y0, x1) E 9, 511 R(y0, x1) E 10, 512 zR(y0, z) I 11, 513 R(x0, y0) E 8, 1214 R(x0, y0) E 5, 6 1315 R(x0, y0) E 2, 5 1416 yR(x0, y) I 4 1517 xyR(x, y) I 3 16


Ejercicio 55 Demostrar mediante deduccin naturalx[P(x) Q(x)] y[P(y) R(y)],x[P(x) S(x)],x[P(x) R(x)]` x[S(x) Q(x)]

Solucin:

1 x[P(x) Q(x)] y[P(y) R(y)] Premisa2 x[P(x) S(x)] Premisa3 x[P(x) R(x)] Premisa4 parametro i, P(i) S(i) Supuesto5 S(i) E 46 Q(i) Supuesto7 P(i) E 48 P(i) Q(i) I 7, 69 x[P(x) Q(x)] I 7, 610 y[P(y) R(y)] E 1, 911 P(i) R(i) E 10, 412 P(i) R(i) E 3, 413 R(i) E 11, 714 R(i) E 12, 715 E 13, 1416 Q(i) RAA 6 1517 S(i) Q(i) I 5, 1618 x[S(x) Q(x)] I 17, 419 x[S(x) Q(x)] E 2, 4 18


Ejercicio 56 Demostrar mediante deduccin natural` xy[P(y, x) P(y, y)]

Solucin:

1 xy[P(y, x) P(y, y)] Supuesto2 parametro i, y[P(y, i) P(y, y)] Supuesto3 P(i, i) P(i, i) E 24 P(i, i) P(i, i) LEM5 P(i, i) Supuesto

6 P(i, i) P(i, i) E 37 P(i, i) E 6, 58 E 5, 79 P(i, i) Supuesto10 P(i, i) P(i, i) E 311 P(i, i) E 10, 912 E 11, 913 E 4, 5 8, 9 1214 E 1, 2 1315 xy[P(y, x) P(y, y)] E 1 14


Ejercicio 57 Demostrar mediante deduccin naturalx[yR(x, y) y[zR(y, z) R(x, y)]],xyR(x, y)` xyR(x, y)

Solucin:

1 x[yR(x, y) y[z.R(y, z) R(x, y)]] Premisa2 xyR(x, y) Premisa3 parametro x0, yR(x0, y) Supuesto4 yR(x0, y) y[zR(y, z) R(x0, y)] E 1, 25 yzR(y, z) R(x0, y)) E 4, 26 parametro y0, zR(y0, z) R(x0, y0) Supuesto7 zR(y0, z) E 68 xyR(x, y) I 79 xyR(x, y) E 6 810 xyR(x, y) E 2, 3 9


Ejercicio 58 Demostrar mediante deduccin naturalx[P(x) y[Q(y) R(x, y)]],x[P(x) yR(x, y)]` xQ(x)

Solucin:

1 x[P(x) y[Q(y) R(x, y)]] Premisa2 x[P(x) yR(x, y)] Premisa3 xQ(x) Supuesto4 parametro x0, P(x0) yR(x0, y) Supuesto5 yR(x0, y) E 46 parametro y0, R(x0, y0) Supuesto7 P(x0) y[Q(y) R(x0, y)] E 1, 48 P(x0) E 49 y[Q(y) R(x0, y)] E 7, 810 Q(y0) R(x0, y0) E 9, 611 Q(y0) E 3, 612 R(x0, y0) E 10, 1113 E 5, 1214 E 5, 6 1315 E 2, 4 1416 xQ(x) I 3 15


Ejercicio 59 Demostrar mediante deduccin naturalx[P(x) yQ(y)]` xy[P(x) Q(y)]

Solucin:

1 x[P(x) yQ(y)] Premisa2 parametro x0, P(x0) yQ(y) Supuesto3 parametro y0 Supuesto

4 P(x0) Supuesto

5 yQ(y) E 2, 46 Q(y0) E 5, 37 P(x0) Q(y0) I 4 68 y[P(x0) Q(y)] I 3 79 xy[P(x) Q(y)] I 8, 210 xy[P(x) Q(y)] E 1, 2 9


Ejercicio 60 Demostrar mediante deduccin naturalyz[xR(x, y) xR(x, z)]` yzx[R(x, y) R(x, z)]

Solucin:

1 yz[xR(x, y) xR(x, z)] Premisa2 yzx[R(x, y) R(x, z)] Supuesto3 parametro y0, z[xR(x, y0) xR(x, z)] Supuesto4 parametro z0, xR(x, y0) xR(x, z0) Supuesto5 xR(x, y0) Supuesto6 zx[R(x, y0) R(x, z)] E 2, 37 x[R(x, y0) R(x, y0)] E 6, 38 parametro x1, R(x1, y0) R(x1, y0) Supuesto9 R(x1, y0) E 5, 810 R(x1, y0) E 811 E 9, 1012 E 7,8 1113 xR(x, z0) Supuesto14 zx[R(x, y0) R(x, z)] E 2, 415 x[R(x, y0) R(x, z0)] E 14, 316 parametro x2, R(x2, y0) R(x2, z0) Supuesto17 R(x2, y0) E 1618 R(x2, y0) E 13, 1619 E 17, 1820 E 15, 16 1921 E 4, 5 12, 13 2022 E 3, 4 2123 E 1, 3 2224 yzx[R(x, y) R(x, z)] I 2 23


Ejercicio 61 Demostrar mediante deduccin naturalx[P(x) y[P(y) Q(y)]],xQ(x)` xP(x)

Solucin:

1 x[P(x) y[P(y) Q(y)]] Premisa2 xQ(x) Premisa3 xP(x) Supuesto4 parametro x0, P(x0) y[P(y) Q(y)] Supuesto5 P(x0) E 3, 46 y[P(y) Q(y)] E 4, 57 P(x0) Q(x0) E 6, 48 Q(x0) E 5, 79 xQ(x) I 8, 410 E 2, 911 E 1, 4 1012 xP(x) I 3 11


Ejercicio 62 Demostrar mediante deduccin naturalx[P(x) y[Q(y) R(x, y)]],x[P(x) yR(x, y)]` xQ(x)

Solucin:

1 x[P(x) y[Q(y) R(x, y)]] Premisa2 x[P(x) yR(x, y)] Premisa3 parametro x0, P(x0) yR(x0, y) Supuesto4 yR(x0, y) E 35 parametro y0, R(x0, y0) Supuesto6 Q(y0) Supuesto

7 P(x0) E 38 y[Q(y) R(x0, y)] Supuesto9 Q(y0) R(x0, y0) E 8, 510 Q(y0) MT 9, 511 E 10, 612 y[Q(y) R(x0, y)] I 8 1113 P(x0) y[Q(y) R(x0, y)] I 7, 1214 E 1, 1415 Q(y0) I 6 1516 xQ(x) I 16, 517 xQ(x) E 4, 5 1718 xQ(x) E 2, 3 18


Ejercicio 63 Demostrar mediante deduccin naturalxy[z[R(z, y) R(x, z)] R(x, y)],xR(x, x)` xy[R(y, x) R(x, y)]

Solucin:

1 xy[z[R(z, y) R(x, z)] R(x, y)] Premisa2 xR(x, x) Premisa3 parametro x0 Supuesto


5 R(y0, x0) Supuesto6 R(x0, y0) Supuesto

7 y[z[R(z, y) R(y0, z)] R(y0, y)] E 1, 48 z[R(z, y0) R(y0, z)] R(y0, y0) E 7, 49 R(x0, y0) R(y0, x0) I 6, 510 z[R(z, y0) R(y0, z)] I 9, 311 R(y0, y0) E 8, 1012 xR(x, x) I 11, 413 E 2, 1214 R(x0, y0) I 6 1315 R(y0, x0) R(x0, y0) I 5 1416 y[R(y, x0) R(x0, y)] I 4 1517 xy[R(y, x) R(x, y)] I 3 16


Ejercicio 64 Demostrar mediante deduccin naturalP(a) xR(x),` x[R(x) P(a)]

Solucin:

1 P(a) xR(x) Premisa2 parametro b Premisa

3 x[R(x) P(a)] Supuesto4 R(b) P(a) E 3, 25 P(a) E 46 xR(x) E 1, 57 parametro x0 Supuesto

8 R(x0) P(a) E 3, 79 R(x0) E 810 xR(x) I 5 811 E 4, 1012 x[R(x) P(a)] I 3 11


Ejercicio 65 Demostrar mediante deduccin naturalxyz[P(x, y) P(y, z) R(x, z)],xyP(x, y)` xyR(x, y)

Solucin:

1 xyz[P(x, y) P(y, z) R(x, z)] Premisa2 xyP(x, y) Premisa3 parametro x0 Supuesto

4 yP(x0, y) E 2, 35 parametro y0, P(x0, y0) Supuesto

6 yP(y0, y) E 2,57 parametro y1, P(y0, y1) Supuesto

8 yz[P(x0, y) P(y, z) R(x0, z)] E 1, 39 z[P(x0, y0) P(y0, z) R(x0, z)] E 8, 510 P(x0, y0) P(y0, y1) R(x0, y1) E 9, 711 P(x0, y0) P(y0, y1) I 5, 712 R(x0, y1) E 10, 1113 yR(x0, y) I 12, 714 yR(x0, y) E 6, 7 1315 yR(x0, y) E 4, 5 1416 xyR(x, y) I 3 15


Ejercicio 66 Demostrar mediante deduccin naturalx[P(x) (yQ(x, y) yQ(y, x))],x[yQ(y, x) Q(x, x)],xQ(x, x)` x[P(x) yQ(x, y)]

Solucin:

1 x[P(x) (yQ(x, y) yQ(y, x))] Premisa2 x[yQ(y, x) Q(x, x)] Premisa3 xQ(x, x) Premisa4 parametro x0 Supuesto

5 P(x0) Supuesto


7 Q(x0, y0) Supuesto

8 yQ(y, y0) Q(y0, y0) E 2, 69 yQ(y, y0) I 7, 410 Q(y0, y0) E 8,911 xQ(x, x) I 10, 612 E 3, 1113 Q(x0, y0) I 7 1214 yQ(x0, y) I 6 1315 P(x0) yQ(x0, y) I 5 1416 x[P(x) yQ(x, y)] I 4 15


Ejercicio 67 Demostrar mediante deduccin naturalx[Q(x) R(x)],x[P(x) Q(x) S(x)],x[P(x) R(x)]` x[P(x) S(x)]

Solucin:

1 x[Q(x) R(x)] Supuesto2 x[P(x) Q(x) S(x)] Supuesto3 x[P(x) R(x)] Supuesto4 parametro x0 Supuesto

5 P(x0) R(x0) Supuesto6 P(x0) Q(x0) S(x0) E 27 P(x0) E 58 Q(x0) S(x0) E 6, 79 Q(x0) Supuesto

10 Q(x0) R(x0) E 1, 411 R(x0) E 10, 912 R(x0) E 513 E 11, 1214 S(x0) E 1315 P(x0) S(x0) I 7, 1416 x[P(x) S(x)] I 15, 417 S(x0) Supuesto

18 P(x0) S(x0) I 7, 1719 x[P(x) S(x)] I 18, 420 x[P(x) S(x)] E 8, 9 16, 17 1921 x[P(x) S(x)] E 3, 4 20


Ejercicio 68 Demostrar mediante deduccin naturalx[P(x) (R(x) S(x))],x[P(x) R(x)]` x[R(x) S(x)]

Solucin:

1 x[P(x) (R(x) S(x))] Premisa2 x[P(x) R(x)] Premisa3 parametro x0, P(x0) R(x0) Supuesto4 P(x0) Supuesto

5 P(x0) (R(x0) S(x0)) E 16 R(x0) S(x0) E 5, 47 R(x0) Supuesto8 R(x0) Supuesto

9 E 7, 810 S(x0) E 911 R(x0) S(x0) I 8 1012 R(x0) S(x0) E 3, 4 6, 7 1113 x[R(x) S(x)] I 1214 x[R(x) S(x)] E 2, 3 13

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