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1.

Resuelva los siguientes problemas de razones de cambio relacionadas

a) Todas las aristas de un cubo estn creciendo 3cm/seg. Con qu rapidez cambia el volumen

cuando la arista mide 5 cm?. Con qu rapidez cambia el volumen cuando este vale 216

cm3?.

b) A un depsito cnico de 5m de dimetro y 6m de altura, con el vrtice hacia arriba le entra

agua a razn de 600 litros por minuto. con qu velocidad aumenta el nivel del agua

cuando ste se encuentra a 2m del fondo? , con qu velocidad aumenta el nivel del agua

cuando ste se encuentra a 5m del fondo?c) Una bola esfrica de hielo se est derritiendo de forma uniforme en toda la superficie a

razn de 50 cm

3

por minuto. Con qu velocidad est disminuyendo el radio de la bolacuando este mide 15 cm? y cuando el radio mide 3 cm?d) Suponga que un incendio forestal se propaga en la forma de un crculo cuyo radio cambia a

razn de 1.8 m/min. A qu razn est creciendo el rea de la regin incendiada cuando el

radio alcanza 60 m?

e) Se vierte arena en el suelo a razn de 0.4 m3por segundo. La arena forma en el suelo una

pila en la forma de un cono cuya altura es igual al radio de la base. A qu velocidad

aumenta la altura de la pila 10 segundos despus de que se empez a vertir la arena?f) La longitud de un rectngulo est creciendo 7 cm/seg y su anchura decreciendo 3 cm/seg.

Cuando la longitud es de 12 cm y la anchura es de 5 cm, hallar el ritmo de cambio del rea.

g) Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular recto, con el vrtice hacia arriba, de

12 m de alto y 6 m de radio. Si se suministra agua al tanque a razn de 30 litros por minuto,cul ser la razn de cambio del nivel del agua en relacin al tiempo cuando la

profundidad es de 3m.?

h) La Ley de Boyle de los gases asevera que PV = C donde P es la presin, V el volumen y C

una constante. En cierto momento el volumen es de 55 pulg3, la presin es de 28 lb/pulg

2.

Si el volumen cambia a razn de 3 pulg3/min Cul ser la rapidez de cambio de la presin

en ese momento?i) Encuentre la razn a la que est aumentando el volumen de un globo esfrico, sabiendo que

el radio aumenta a razn de 1 cm/minuto, cuando V = 250 cm3.

j) Un pescador tiene un pez al final del hilo de su caa, y lo rebobina a razn de 2 pies/seg

desde un puente de 30 pies de altura sobre el agua. A qu velocidad se mueve el pez por

el agua (siempre sobre la superficie) cuando el hilo mide 50 pies? y cuando mide 31 pies?k) Dos trenes parten de una estacin con 3 horas de diferencia. El que parte primero se dirige

hacia el norte con una rapidez de 100 km/h. El otro tren se dirige hacia el este con una

rapidez de 60 km/h. A qu razn est cambiando la distancia entre los trenes 2 horas

despus que parti el segundo tren?

l) Un hombre est parado en un muelle y jala una lancha por medio de una cuerda. Sus manos

estn a 3 m por encima del amarre de la lancha. Cuando la lancha est a 4 m del muelle, el

CUARTA LISTA DE EJERCICIOS

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Semestre 2014-2

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hombre est jalando la cuerda a una velocidad de 80 cm/s. A qu velocidad se aproxima la

lancha al muelle?

m)Un poste de 5 m de altura tiene un farol en la parte superior; un hombre de 1.70 m de

estatura se aleja del poste caminando a una velocidad de 1.2 m/s. Cuando la distancia de labase del poste a la punta (parte ms alejada) de la sombra del hombre es de 6 m, con qu

velocidad crece su sombra?; con qu velocidad se mueve la punta de la sombra conrespecto al farol?n) Una placa en forma de tringulo equiltero se expande con el tiempo. Cada lado aumenta a

razn constante de 2 cm/h. Con qu rapidez crece el rea cuando cada lado mide 8 cm?

2. Derivando implcitamente encuentre, en cada caso

dx

dyen el punto indicado.

a)x2+y

2= 2 en (1,1) b)x

3-y

3= 7 en (2,1)

c)x3+y

3= 9 en (1, 2) d) 0122 422 yxxyx en (2,1)

e) 2cos23 yxxyx en (1,0) f) 485 22

yxxyyx en )0,1(

g) 532 22 yx en (1, 1) h) 63

xyyx en (1, 4)

i) 8ln 3 yxyx en (2, 1) j) 6arctan3

yxxy en (1,1)

k) xyyx 633 en (3, 3) l) 3244 yx en (2, 2)

3.

Encuentre los mximos y mnimos relativos, puntos de inflexin, regiones de monotona,

(creciente, decreciente) concavidad y grafique:

a) 55)( 23 xxxxf b) )8()( 3 xxxf c) 18)( 24 xxxf

d) 42212)( xxxf e) 35 3)( xxxf f) 532)( 2

xxxf

g)3

21

)(x

xxf

h) 32)( xxf i) xxxxf 60253)( 35

j) 4)( 2 xxf k) 3 2 441)( xxxf l) xxxf 3)(

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4. En cada caso se muestra la grfica de una funcin )(xf . Bosqueje la grfica de la funcin

)(' xf justificando grficamente, donde se localizan los mximos y mnimos relativos, as

como los puntos de inflexin de f.

5. En cada caso se muestra la grfica de la derivada )(' xf de una funcin )(xf . Bosqueje la

grfica de una posible funcin )(xf justificando grficamente, donde se localizan los

mximos y mnimos relativos, as como los puntos de inflexin de f.

6. Resuelva los siguientes problemas de optimizacin

a) Resuelva los problemas de optimizacin de la primera lista de ejercicios.

b) Encuentre el punto de la recta x- y + 2 = 0 que se encuentra ms prximo al punto

(1,5).

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c) Cules son las dimensiones del tambo de 200 lts. sin tapa que resulta ms

econmico?

d) Se dispone de 3 m2de lmina para construir una caja de base rectangular sin tapa. Si

el largo de la base ha de ser el doble del ancho cules son las dimensiones de la cajade volumen mximo.

e) Cules son las dimensiones de la caja rectangular de base cuadrada sin tapa, de 2

litros de capacidad, que resulta ms econmica?

f) Las pginas de un libro deben tener 600 cm2de rea, con mrgenes de 2 cm abajo y a

los lados, y 3 cm arriba. Encuentre las dimensiones de la pgina de mayor rea de

impresin.

g) Inicialmente un barco B se encuentra a 100 km al oeste de un barco A. El barco B

navega hacia el este a 20 Km/hr y el barco A navega hacia el norte a 30 Km/hr. Enqu momento estarn los barcos ms prximos uno del otro.

h) Encuentra los coeficientes de la funcin cbxaxxf 2)( , sabiendo que la curva

correspondiente toma un mximo relativo en el punto (5, 12) y corta al eje y en (0,3).

i) La velocidad con la que una empleada de Banamex cuenta billetes nuevos est dada

por el siguiente modelo matemtico: R(t) = 2t3 -42t

2+ 198t+ 60 billetes/minuto,

donde trepresenta el tiempo transcurrido a partir del inicio de su turno, a las 8:30 dela maana.

i. A qu hora era ms veloz esta empleada?

ii.

Con qu velocidad empez su turno?iii. Cul fue la mxima velocidad que desarroll?

28 de Noviembre de 2014