Ej_Ajuste_hiperbólico

Samuel Nicol G. [email protected]

Ejemplo de ajuste hiperbólico

Supóngase las 8 observaciones siguientes:

X Y0,5 51 104 155 1510 1725 1750 18100 20

La función del ajuste Hiperbólico será del tipo:

y=a+ bx

, y las predicciones vendrán dadas por:

y i=a+bx i

(NOTA: Se omite la demostración por considerarse innecesaria)

A) OPCIÓN 1: CÁLCULO “MANUAL”

Se confecciona la tabla siguiente con columnas que serán útiles posteriormente:

x i y i 1/ x i 1/ x i2 y i/ x i

0,5 5 2 4 101 10 1 1 104 15 1/4 1/16 15/ 45 15 1/5 1/25 310 17 1/10 1/100 17 /1025 17 1/25 1/625 17 /2550 18 1/50 1/2500 9 /25100 20 1/100 1/10000 1/5

195 ’5 11718150

255735000

2969100


, teniendo en cuenta que en la última fila se presentan las sumas (totales) de cada columna.

Aplicando el método de los mínimos cuadrados se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

{ ∑i=1

5

y i=a·n+b·∑i=1

51x i

∑i=1

5 yix i

=a·∑i=1

51x i

+b·∑i=1

51

xi2

, luego bastará sustituir:

{ 117=a·8+b· 18150

2969100

=a·18150

+b·255735000

Arreglando un poco el sistema:

{ 400 · a+181 ·b=585018100 ·a+25573 ·b=148450

, que es un S.C.D. con solución:

a=122732669531

≃17' 6514935784b=−46505069531

≃−6 '6883835986826

, luego el modelo Hiperbólico resulta ser:

y=a+ bx=122732669531

−46505069531

·1x=¿

¿17' 6514935784−6'6883835986826

x


Para el cálculo del error del modelo puede tabularse como sigue:

x i y i y i=17'6514935784−6

'6883835986826x i

e i= y i− yi e i2

0,5 5 4,27468323 0,72531677 0,526084411 10 10,9630668 −0,96306683 0,927497734 15 15,9793545 −0,97935453 0,95913535 15 16,3137737 −1,31377371 1,7260013710 17 16,9826121 0,01738793 0,0003023425 17 17,3839151 −0,38391509 0,1473907950 18 17,5176828 0,48231724 0,23262992100 20 17,5845666 2,4154334 5,83431853

195 ’5 117 116,999655 0,00034517 10,3533604

Para calcular el error estimado al asumir este modelo basta calcular:

∑i=1

N

e i2

N=∑i=1

8

e i2

8=10

' 35336048

≃1' 29417005

, dado que se está asumiendo el criterio del error mínimo cuadrático.


B) OPCIÓN 2: SEGÚN SPSS

Primeramente se insertan los datos:

Analizar→Regresión→Estimación curvilínea.

Variable dependiente: Y. Variable independiente: X. Modelos: Inverso.

Finalmente se acepta y se obtiene la tabla que resume el modelo:

Resumen del modelo

R R cuadrado R cuadrado corregida Error típico de la estimación

,968 ,938 ,927 1,314

La variable independiente es X.

, donde se aprecia que R2=0'938 (el modelo parece ajustarse bien a los datos) y un

error=1'314 (que permitirá también establecer comparaciones con otros posibles modelos que se ajustaran a los datos). Nótese que este error es bastante cercano al obtenido en el apartado anterior (1 ' 29417005).


Además devuelve la tabla de los coeficientes:

Coeficientes

Coeficientes no estandarizados Coeficientes estandarizados

t Sig.B Error típico Beta

1 / X -6,688 ,705 -,968 -9,494 ,000

(Constante) 17,651 ,563 31,335 ,000

, con lo que el modelo Hiperbólico resulta ser:

y=a+ bx=17 '651−6

' 688x

, y puede comprobarse que ambos coeficientes son significativos ya que su p−¿valor (sig) es ≈0<0' 05; esto es, a un nivel de confianza del 95%.

También se obtiene un gráfico de cómo resulta el modelo ajustado a los datos:


C) OPCIÓN 3: SEGÚN R

Primeramente se insertan los datos. Una opción asequible es crear un fichero de texto que los contenga:X Y0.5 51 104 155 1510 1725 1750 18100 20

Lo usual es separar los elementos usando la tecla Tab (tabulador), y revisar que se utilizan puntos para indicar decimal. Guardar, por ejemplo, en la raíz del disco duro (C :) con el nombre hiper .txt , y así, una vez abierto R, ordenar:

> datos=read.table("c:\\hiper.txt",header=TRUE)> datos X Y1 0.5 52 1.0 103 4.0 154 5.0 155 10.0 176 25.0 177 50.0 188 100.0 20

Nótese que header=TRUE indica que contiene cabecera (la primera línea del documento es X Y ). Se guarda como x la primera columna, así como por y a la segunda:

> x=datos[,1]> x

[1] 0.5 1.0 4.0 5.0 10.0 25.0 50.0 100.0

> y=datos[,2]> y

[1] 5 10 15 15 17 17 18 20


El modelo hiperbólico ha de definirse, como se indica a continuación. Nótese que se ordena un método iterativo donde a y b se inicializan utilizando los resultados de los apartados anteriores, redondeando al entero más cercano.

Así, a=17' 615≃18 y b=−6 ' 688≃7. Aunque también pudo inicializarse con a=1 y b=1, pero en algunas ocasiones necesitará de un número alto de iteraciones.

Por consiguiente:

> nls(y~a+b/x,start=list(a=18,b=-7))

Nonlinear regression model model: y ~ a + b/x data: parent.frame() a b 17.651 -6.688 residual sum-of-squares: 10.35

Number of iterations to convergence: 1 Achieved convergence tolerance: 8.065e-09

, con lo que el modelo Hiperbólico resulta ser:

y=a+ bx=17 '651−6

' 688x

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