Ejemplo Marco Equivalente

Hormigón II Dr. David Wong Diaz

1

HORMIGON II

DISEÑO DE LOSA EN DOS DIRECCIONES SIN VIGA ANALIZADA POR EL

MÉTODO DEL MARCO EQUIVALENTE

Usando el Método de Marco Equivalente, determine los momentos de diseño para el sistema de

losa mostrada, para un piso intermedio.

Altura del piso = 9 pies

Dimensiones de la columna = 16 × 16 plg.

Con muros de cortante y sin vigas de apoyo

Peso distribuido = 20 lb/pies

Carga viva de servicio = 40 lb/pies

'

cf = 4,000 lb/plg (para las losas), concreto de peso normal

'

cf = 6,000 lb/plg (para las columnas), concreto de peso normal

yf = 60,000 lb/plg

Figura 1.

<

<

<

1 =18’

2 =14’

Franja de

diseño

1 =18’

1 =18’

2 =14’ 2 =14’


2

ACI 13.7.2.1 Debe considerase que la estructura esta constituida por marcos equivalentes sobre ejes de columnas

longitudinal y transversalmente a través del edificio.

ACI 13.7.2.2 Cada marco debe consistir en una hilera de columnas o apoyos y franjas de viga columna, limitada

lateralmente por el eje central de del tablero a cada lado de del eje de las columnas o apoyos.

SOLUCIÓN:

Parte 1. Diseño preliminar del espesor (h) de la losa.

a. Control de deflexiones:

ln (luz libre entre las columnas) = 18 pies × 12 – 16 plg = 200 plg.

De acuerdo con el código ACI en la sección 9.5.3.2, el espesor mínimo (h) para losas sin vigas

debe estar de acuerdo con lo requerido según la tabla 9.5(c) que se muestra a continuación:

Tabla 1. Peralte mínimo de losas sin vigas interiores

Resistencia a

la fluencia

yf, lb/pulg2

Sin ábaco Con ábacos

Tableros exteriores Tableros

interiores Tableros exteriores

Tableros

interiores

Sin vigas

de borde

Con vigas de

borde

Sin vigas

de borde

Con vigas de

borde

40,000 ln/33 ln/36 ln/36 ln/36 ln/40 ln/40

60,000 ln/30 ln/33 ln/33 ln/33 ln/36 ln/36

70,000 ln/28 ln/31 ln/31 ln/31 ln/34 ln/34

2006.67 lg

30 30

nlh pu ., pero menor de 5 pulgadas según sección 9.5.3.2(a) para losas sin

ábacos según se define ábaco en la sección 13.3.7.1 y 13.3.7.2 del código.

Este valor de h se redondea hacia arriba por razones prácticas y los cálculos se basaran en un

espesor tentativo de 7 pulgadas para todos los paneles.

Donde el peso de la losa para un γconcreto = 150 lb/ pie3 es:

3 2

1150 7 lg 87.5

12 lglosa

lb pie lbw p

pie p pie

b. Fuerza Cortante de la losa:

Para un recubrimiento de ¾ de pulgada y usando barras No. 4 (con diámetro de 0.5 plg), el

peralte efectivo (d) se calcula de acuerdo a la Figura 2 como sigue:

0.5 0.75 5.75d h plg.

d

db = 0.5”

Figura 2. R = ¾”

h


3

La resistencia requerida según el código ACI 9.2.1 para soportar la carga muerta (D) y la carga

viva (L) se calcula de la siguiente manera:

U = 1.4D + 1.7L

U = 1.4 (87.5 + 20) + 1.7(40) = 218.5 lb/pie2

Ancho de acción de viga: según el código ACI en la sección 11.12.1.1 la acción de viga en cada

una de las secciones críticas que van a investigarse se extiende en un plano a través del ancho

total. Para este caso el ancho de acción de viga es investigada para un ancho de franja de 12

pulg. tomada a una distancia d desde la cara del apoyo en la dirección larga como se muestra en

la Figura 3.

Acción de viga = ' " "18 16 5.75

7.8542 2 12 12

pies

Entonces el cortante último resulta

Vu = ( 218.5 lb/pie2 ) × ( 7.854 pies ) = 1716 lb ~ 1.72 klb

Y según extensos ensayos publicados por el ACI SP-30 el valor de Vc se aproxima a:

'2

0.85 2 4,000 12 5.75 7419 7.42

c c w

c

V f b d

V lb klb

u cV V

Acción en dos direcciones. La sección critica para cortante por punzonamiento está ubicada a

una distancia d/2 = 2.88 plg. desde la cara de la columna lo que proporciona un perímetro de

cortante bo = (16 + 2.88 × 2 ) × 4 = 87 plg. Entonces el cortante ultimo es:

2

21.75"218.5 18 14 54344 54.3

12uV lb

klb

y de acuerdo con el código ACI 11.12.2 se utiliza la ecuación 11.37 para Vc

'4c c oV f b d para columnas cuadradas interiores

4 4,000 87 5.75 126554 126.6cV lb klb


4

luego

0.85 126.6 107.6cV klb

Vu = 54.3 klb < Vc = 107.6 klb

Figura 3. Sección crítica para cortante

Luego entonces diseño preliminar indica que un espesor global de losa igual a 7 pulg. es

adecuada para el control de deflexiones y cortante.

Parte 2: Miembros del marco equivalente

Determinar los factores de distribución de momento y los momentos de empotramiento perfecto

para los miembros del marco equivalente. El método de distribución de momento será usado

para analizar el marco parcial. El factor de rigidez “k”, los factores de transporte “COF” y los

momentos de empotramiento perfecto “FEM” para las vigas-losa y las columnas son

determinados usando las tablas que se muestran en el Apéndice. Los cálculos se muestran a

continuación:

a. Vigas-losa (ACI 13.7.3)

Rigidez flexional en ambos extremos (Ksb): De acuerdo a los diagramas que se muestran en las

tablas y los valores definidos de 1 2 y y conociendo que los subíndices N = near o extremo

cercano y F = far o extremo lejano

1 2

1 2

16 160.07 y 0.1

(18 12) (14 12)

N Nc c

18’

14’

Líneas de centro

del tablero

7.854’

d/2=2.88’

d =5.75’

21.75’

21.75’


5

Usando la tabla A1, ya que es la que proporciona las constantes de distribución de momento

para las vigas-losa. En la sección en el que CF1 = CN1 y CF2 = CN2.

Interpolando:

0.10 0.07

0.18 4.00

4.126 4.13

NF

NF

K

K

luego:

1

cs ssb NF

E IK K

donde :

Ecs = módulo de elasticidad del concreto de la losa, que según el ACI 8.5.1 se define como

' 6 257,000 57,000 4,000 3.60 10 lb/plgcf

Is = momento de inercia de la losa definida como

3 3 4

2

1 1168" 7 4,802 plg .

12 12sI h

entonces:

6

6

1

3.60 10 4,8024.13 331 10 lb-plg

216

cs ssb NF

E IK K

Factor de transporte (COF): de acuerdo a la tabla A1 del apéndice, se puede obtener de la

siguiente manera:

Interpolando:

0.10 0.07

0.01 0.50

0.509

COF

COF

1

1

NC 2

2

NC

NFK

0.00

0.07

0.10

–

0.10

0.10

4.00

KNF

4.18

1

1

NC 2

2

NC COF

0.00

0.07

0.10

–

0.10

0.10

0.50

COF

0.51


6

Momento de empotramiento perfecto (FEM): se calcula a partir de la tabla A1 del apéndice:

Interpolando:

0.10 0.07

0.0014 0.0833

0.08428 0.0843

NF

NF

m

m

entonces:

2

2 10.0843 uFEM w

b. Columnas (ACI 13.7.4)

Rigidez flexional en ambos extremos (Kc):

Utilizando ahora la tabla A7 del apéndice que se refiere a la rigidez (K) para columnas. De

acuerdo al primer diagrama que se muestran en ésta tabla y conociendo que:

ta y tb = h/2 = 3.5 plg. ta/tb = 1

H = 9 pies = 108 plg. H/Hc = 1.07

Hc = 101 plg. kAB = kBA = k

Interpolando:

0.05 0.57

0.02 4.22

4.74

k

k

entonces:

cc cc

E Ik k

H

donde:

Ecc = módulo de elasticidad del concreto de las columnas que según el ACI 8.5.1 se define como

' 6 257,000 57,000 6,000 4.42 10 lb/plgcf

Is = momento de inercia de las columnas definido como

3 4 41 116 5,461 plg .

12 12sI bh

1

1

NC 2

2

NC

NFm

0.00

0.07

0.10

–

0.10

0.10

0.0833

NFm

0.0847

ta/tb H/Hc kAB

1.0

1.05 4.52

1.07 k

1.10 5.09


7

por lo tanto:

664.42 10 5461

4.74 1059 10 lb-plg.108

ck

Factor de Transporte (COF): Se calculan a partir de la tabla A-7 del apéndice de la siguiente

manera:

Interpolación:

0.03 0.05

0.54 0.02

0.54 0.012

0.552c

COF

COF

COF

c. Miembros sujetos a torsión (ACI 13.7.5)

Rigidez Torsional (Kt): según se describe en los comentarios del ACI R13.7.5 una expresión

aproximada para la rigidez del elemento torsional es la siguiente:

2

2

3

2

9

1

cst

c

E CK

donde C se define en el ACI 13.0 como la constante de sección transversal para definir las

propiedades torsionantes

3

1 0.633

x x yC

y

por lo tanto, a partir de la Figura 4

347 7 16

1 0.63 1,325 plg16 3

C

16 plg.

Miembro torsional

7”

Figura 4.

ta/tb H/Hc CAB

1.0

1.05 0.54

1.07 COF

1.10 0.57


8

donde:

2

2

1614 121 1 0.905c

Luego entonces:

2

2

66

3 3

2

9 9 3.60 10 1325345 10 lb-plg

14 12 0.9051

cst

c

E CK

d. Rigidez equivalente de columna (Kec)

1 1 1

ec c t

c t

ec

c t

K K K

K KK

K K

donde: (ver Figura 5)

Kc = rigidez a flexión de la columna real y ΣKc es por las columnas arriba y debajo de la

viga-losa unida al piso intermedio.

Kt = rigidez de torsión de la viga de borde y ΣKt es por los dos miebrs torcionales, uno

a cada lado de la columna

Kc

Kt 1

1

Kt

Kc

Figura 5.

Por lo tanto:

6

2 1,509 2 345

2 1,509 2 345

520 10 lb-plg

ec

ec

K

K


9

e. Factores de distribución de momento (DF) para los nodos de las vigas-losa.

Conociendo los valores de:

Kec = 520×106 lb-plg. y

Ksb = 331×106 lb-plg.

Como se muestra en la Figura 6. se calcula los DF para nos nodos interiores y exteriores de la

siguiente manera:

520 520

331 331 331

Figura 6.

En el nodo exterior:

331

0.389(331 520)

DF

En el nodo interior:

3310.280

331 331 520DF

Parte 3. Análisis parcial de pórtico del marco equivalente.

Determinar los momentos máximos negativos y positivos de la viga-losa usando el método de

distribución de momentos.

Obsérvese que:

40 30.37

(87.5 20) 4

L

D

Como la carga viva de servicio no excede las ¾ partes de la carga muerta de servicio, como se

menciona en el código ACI 13.7.6.2, se asume que los momentos de diseño ocurren en todas las

secciones críticas con la carga viva factorizada total en todos los tableros.

a. Cargas factoradas y momentos de empotramiento perfecto

Carga muerta factorada: wd = 1.4(87.5+20) = 150.5 lb/pie2

Carga viva factorada: wl = 1.7(40) =68 lb/pie2


10

Carga muerta total: wu = 150.5 + 68 = 218.5 lb/pie2

FEM para la viga-losa = 0.0843wu2

2 1 que fue obtenido anteriormente

FEM = 0.0843 (218.5)(14)(182) = 83551 lb-pies 83.6 klb-pies

b. Distribución de momentos:

Convención de signos: Sentido contrario a las manecillas del reloj se toma como positivo

1 2 3 4

Figura 7. Sección transversal del marco parcial

Conociendo:

FEM: 83.6 klb-pies

DFint: 0.389 DFext: 0.280

COF: 0.509

Podemos hacer la distribución de momentos (Hardy Cross):

Nodo 1

2

3

4

COF 0.509 0.509 0.509 0.509

DF 0.389 0.28 0.28 0.28 0.28 0.389

FEM 83.6 -83.6 -32.52 0

0 -16.6

4.65

2.4

-0.93 0.67

0.3 -0.5

83.6 -83.6 0 0

0

4.65 -4.65

-2.4 2.4 0.67 -0.67

-0.3 0.3

83.6 -83.6 0 32.52

16.6 0

-4.65 .

-2.4

-0.67 0.93

0.5 -0.3

∑(M) 86.3 -100.7 80.9 -80.9 100.7 -86.3

∑MD* -33.6 +5.5 +5.5 -5.5 -5.5 +33.6 M Neg. +52.7 -95.2 +86.4 -86.4 +95.2 -52.7

*Momentos distribuidos

Como ya se había mencionado la rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj de los

momentos que actúan al final de los miembros se toman como positivos.


11

Podemos obtener el valor de los momentos positivo por la siguiente ecuación:

o uL uRu

M (M M )M (tramo central)

2

donde: Mo = es el momento en el centro para una viga simple (wul2/8)

Cuando los momentos en los extremos no son iguales, el momento máximo no ocurre en el

centro, pero su valor es cercano a aquél en el centro.

Momentos: MuL MuR

o uL uRu

M (M M )M

2

Momento positivo para tramo 1-2 Mo

+Mu = 20.2185 14 18 52.7 95.2

50.0 klb-pie8 2

Figura 8.

Momento positivo para el tramo 2-3

+Mu = 20.2185 14 18 86.4 86.4

37.5 klb-pie8 2


+Mu = 20.2185 14 18 52.7 95.2

50.0 klb-pie8 2

Parte 4. Momentos de diseño

De acuerdo al código ACI en la sección 13.7.7.1, la sección critica en los apoyos interiores para

los momentos negativos factorizados puede tomarse en la cara de los apoyos rectos, pero a no

más de 0.175l1 desde del centro de la columna:

16"0.67 pies 0.175 18 3.15 pies

2

en este caso controla los 0.67 pies, y los momentos negativos de diseño se calculan restándole al

momento negativo en el centro del apoyo el área bajo el diagrama de cortante que está entre la

línea central y la cara del apoyo.


12

En la Figura 9 se muestran los diagramas de momento resultantes de la distribución de

momento: el diagrama de cortante y el diagrama de momentos de diseño.

1 2 3 4

18’ 18’ 18’

50.0 50.0

37.5

52.7 52.7

86.4 86.4

95.2 95.2

MOMENTOS DE FRANJA

27.5 29.9 27.9

25.2 23.2 25.5

23.2 25.2

27.9 29.9 25.5 27.5

CORTANTE EN LAS FRANJAS

50.0 50.0

37.5

36.6 36.6

68.8 68.8

76.8 76.6

MOMENTOS DE DISEÑO

Figura. 9


13

(36.6 76)50.0 106.3 klb-pies

2

Paso 5. Momento factorado total por franja

Según el código ACI en su sección 13.7.7.4, en los sistemas de losa que cumplan con las

limitaciones de la sección 13.6.1 , pueden reducirse los momentos calculados resultantes en una

proporción tal, que la suma absoluta de los momentos positivo y negativo promedio utilizados

para el diseño, no necesite exceder el valor obtenido con la ecuación 13.3 que es:

22

20.2185 14 18 2 0.67

106.3 klb-pie8 8

u no

wM

franjas finales:

franja interior:

Puede verse que los momentos de diseño total obtenidos por el Método de Marco Equivalente

producen un momento estático igual al momento estático dado por la expresión usada en el

Método de Diseño Directo.

Paso 6. Distribución de los momentos de diseño a través de la franja viga-losa (ACI 13.7.7.5):

Los momentos negativos y positivos factorados en las secciones criticas pueden ser distribuidas

a las franjas de columnas y a las franjas intermedias de acuerdo a lo especificado en la sección

13.6.4 y 13.6.6 del código ACI. Nótese que los requerimientos de la sección no aplica para

sistemas de losa sin viga (α = 0).

De acuerdo a los momentos factorados que se muestran en el diagrama de momento de diseños

de la Figura 9 y las tablas de la sección 13.6.4 que presentamos a continuación se puede obtener

la distribución de momentos factorados.

68.8 68.837.5 106.3 klb-pie

2


14

Tabla 2. Fracciones de Momentos Factorizados Negativos Interiores:

l2/l1 0.5 1.0 2.0

(α1l2/l1) = 0 75 75 75

(α1l2/l1) ≥ 1.0 90 75 45

Tabla 3. Fracciones de Momentos Negativos Exteriores Factorizados:

l2/l1 0.5 1.0 2.0

(α1l2/l1) = 0 βt = 0 100 100 100

βt ≥ 2.5 75 75 75

(α1l2/l1) ≥ 1.0 βt = 0 100 100 100

βt ≥ 2.5 90 75 45

Tabla 4. Fracciones de Momento Positivos Factorizados:

l2/l1 0.5 1.0 2.0

(α1l2/l1) = 0 60 60 60

(α1l2/l1) ≥ 1.0 90 75 45

Como α = 0

βt = 0

l2/l1 = 14/18 = 0.78

Tabla 5. Distribución De Momento Factorado:

Momento

Factorado

(klb-pie)

Franja de Columna Momento (klb-pie)

en las dos mitades

de franja

intermedia** Porcentaje*

Momento (klb-

pie)

Tramos Finales:

Exterior Negativo

Positivo

Interior Negativo

36.6

50.0

76.0

100

60

75

36.6

30.0

57.0

0.00

20.0

19.0

Tramo Interior:

Negativo

Positivo

68.8

37.5

75

60

51.6

22.5

17.2

15.0

* De acuerdo a las tablas anteriores para sistemas de losas sin vigas

** Según sección 13.6.6.1 del ACI: la fracción de los momentos no factorizados positivos y negativos no resistida

por las franjas de columna deben asignarse proporcionalmente a la mitad de las franjas intermedias

correspondientes


15

Paso 7. Momento de las Columnas:

Los momentos desbalanceados de la viga-losa en los apoyos del marco equivalente son

distribuidos a las columnas arriba y debajo de la viga-losa en proporción a la rigidez relativa de

las columna. Refiriéndonos a la Figura 9, los momentos desequilibrados en los nodos son:

Nodo 1 = +52.7 klb-pie

Nodo 2 = -95.2 + 86.4 = -8.8 klb-pie

Nodo 3 = 95.2 - 86.4 = 8.8 klb-pie

Nodo 4 = -52.7 klb-pie

La rigidez y el factor de transporte de las columnas y la distribución de los momentos

desbalanceados al exterior e interior de las columnas son mostrados en la Figura 10. Los

momentos de diseño para las columnas pueden ser tomados en la junta de las columnas con la

losa.

C 14.54 2.43

25.03 parte superior de losa 9 pies

26.35 4.40 4.18 7 plg.

26.35 4.18 4.40

parte inferior de losa 25.03

C

14.54 2.43

COLUMNA COLUMNA

EXTERIOR INTERIOR

Figura 10. Momentos de las Columnas

Obsérvese que al igual que con las vigas los momentos de diseño son aquellos que se

encuentran a una distancia de h/2 desde la junta.

Por lo tanto, los momentos de diseño son:

En el exterior de la columna = 25.03 klb-pie

En el interior de la columna = 4.18 klb-pie

COF = 0.552

Kc = 1059

COF = 0.552

Kc = 1059

L losa

L losa


16

Paso 8. Transferencias de cortantes y momentos por carga de gravedad a las columnas

exteriores

Verificar las fuerzas cortantes y flexionante al borde de la columna debido al cortante directo y

a la transferencia de momento no equilibrado de cuerdo a la sección 11.12.6 y 13.5.3 del código

ACI.

a. Fuerza cortante factorada, transferida a las columnas exteriores.

1 2

2

0.2185 14 1827.5 klb.

2

uu

u

wV

V

b. Transferencia de momentos no equilibrados a las columnas exteriores.

Cuando los momentos factorados son determinados por métodos exactos de análisis de marcos,

como el Método de Marco Equivalente el cual considera la rigidez de los miembros reales, los

momentos no balanceados son tomados directamente de los resultados del análisis del marco.

El momento no balanceado en la columna exterior es Mu = 36.6 klb-pie. (de la tabla 5).

Nótese la provisión especial de la sección 13.6.3 para la transferencia de momentos

desbalanceados entre la losa y el borde de la columna cuando son usados los coeficientes de

aproximación de momento del Método de Diseño Directo. Considerando lo aproximado del

procedimiento de análisis de transferencia de momentos, se asume que los momentos no

balanceados Mu se encuentran en el centroide de la sección critica de transferencia.

c. Esfuerzo cortante combinado en la cara interior de la sección crítica de

transferencia.

De acuerdo a la sección 11.12.6.2 del código ACI y la ecuación de esfuerzo cortante

/

u v uu

c

V Mv

A J c


17

donde de acuerdo al Apéndice B, la figura C:

Ac = (2b1+ b2)d = ( 2 × 18.75 + 21.75 ) × 5.75 = 342.125 plg2

Si b1 = c1 + d/2 = 16 + 5.75/2 = 18.875 plg. ancho de

b2 = c2 + d = 16 + 5.75 = 21.75 plg. franja

2 3

1 1 2 1 2

1

2 2 2/ 2358.43

6

b d b b d b bJ c

b

f1 1 0.62 0.38 38%v

si según la ecuación 13-1 de la sección 13.5.3.2 del código ACI la fracción del momento

desequilibrado transmitido por flexión en la conexión losa-columna es:

1

2

f23

10.62 62%

1b

b

Entonces

2

0.38 36.6 12,0027,500

/ 342.2 2,358

151.2 lb/in

u v uu

c

u

V Mv

A J c

v

d. Esfuerzo cortante permisible

' 24 0.85 4 4,000 215.0 lb/plgn c

n u

v f

v v

e. Diseño para transferencia de momentos no balanceados por flexión para la mitad

de la franja y la franja de columna. ACI 13.5.3

Acero por contracción y temperatura (ACI 13.3.1 y 7.12.2.1(b))

As(min) =0.008bh = 0.0018 × 84 × 7 = 1.06 plg2


18

147 84 plg.

2

846

14barras

Donde b es el ancho de franja de diseño =

Para barras No 4, cantidad de barras requeridas=

Para espaciado máximo según el código ACI 13.5.2 de smáx = 2h = 2 × 7 = 14 plg, total de barras

requeridas =

Verificando acero total requerido para el momento negativo en la franja de columna Mu = 36.6

klb-pie. Usado la Tabla 10.1 que se encuentra en el apéndice de este trabajo:

' 2 2

36.6 120.0439

0.9 4 845.75

u

c

M

f bd

y ω = 0.0451

'20.0451 4 84 5.75

1.45 plg60

cs

y

f bdA

f

entonces, para barras No. 4, el total de barras requeridas es

Usar barras 6 # 4 espaciadas @ 14 plg. en la franja central y en la porción de la franja de

columna fuera donde se transmiten los momentos no balanceados que tiene un largo igual a :

c + 2 (1.5 h) = 16 + 2 (1.5 × 7) = 37 plg.

El refuerzo adicional para las columnas dentro del argo efectivo de losa de 37 plg., requerido

para resistir la fracción del momento no balanceado transferido por flexión se calcula como

sigue:

Ya se calculó γf = 62% , entonces γf Mu = 0.62 × 36.6 = 22.7 lkb- pie. Este momento debe ser

transferido dentro de el largo efectivo de losa de 37 plg. Entonces pruébese 2 barras adicionales

en la columna y verifíquese el momento con barras No.4 en un largo de 37 plg.

Para barras No.4: As = 4 × 0.20 = 0.80 plg2

7”

7’= 84”

1.065.3

0.20barras

1.457.3

0.20barras


19

'

0.80 600.0564

4 37 5.75

s y

c

A f

f bd

de la tabla 10-1:

' 2

0.0545n

c

M

f bd

luego Mn = 0.0545 × 4 × 37 × 5.752 / 12 = 22.2 klb-pie

= 0.9 × 22.2 = 20.0 klb-pie < 22.7 klb-pie No cumple

probar con 3 barras adicionales

nM


20

Diseño de franja de 18 pies ( la otra dirección)

Figura 12.

Espesor de losa uniforme h = 7 plg. (peso = 87.5 lb/pie2).

d = 5.75 plg.

Las cargas son las mismas:

U = 1.4D + 1.7L

U = 1.4 (87.5 + 20) + 1.7(40) = 218.5 lb/pie2

Miembros del marco equivalente

Igualmente como se calculó anteriormente todos factores y FEM son determinados usando las

tablas que se muestran en el Apéndice. Los cálculos se muestran a continuación:

<

<

<

2 =18’

1 =14’

2 =18’

2 =18’

1 =14’ 1 =14’

Franja

de

Diseño


21

Vigas-losa (ACI 13.7.3)

Rigidez flexional en ambos extremos (Ksb)

1 2

1 2

16 160.01 y 0.07

(14 12) (18 12)

N Nc c

Usando la tabla A1. CF1 = CN1 y CF2 = CN2.

Interpolando:

0.10 0.07

0.18 4.00

4.126 4.13

NF

NF

K

K

1

cs ssb NF

E IK K

Ecs = módulo de elasticidad del concreto de la losa, que según el ACI 8.5.1 se define como

' 6 257,000 57,000 4,000 3.60 10 lb/plgcf

Is = momento de inercia de la losa definida como

3 3 4

1

1 1216" 7 6,174 plg .

12 12sI h

entonces:

6

6

1

3.60 10 6,1744.13 425 10 lb-plg

216

cs ssb NF

E IK K

Factor de transporte (COF): de acuerdo a la tabla A1 del apéndice, se puede obtener de la

siguiente manera:

1

1

NC 2

2

NC

NFK

0.10

0.00

0.07

0.10

4.00

KNF

4.18


22

Interpolando:

0.10 0.07

0.01 0.50

0.509

COF

COF

Momento de empotramiento perfecto (FEM): se calcula a partir de la tabla A1 del apéndice:

0.10 0.07

0.0014 0.0833

0.08428 0.0843

NF

NF

m

m

2

2 10.0843 uFEM w

Columnas (ACI 13.7.4)

Rigidez flexional en ambos extremos (Kc):

Utilizando la tabla A7 del apéndice que se refiere a la rigidez (K) para columnas. De acuerdo al

primer diagrama que se muestran en ésta tabla

ta y tb = h/2 = 3.5 plg. ta/tb = 1

H = 9 pies = 108 plg. H/Hc = 1.07

Hc = 108 – 7 = 101 plg. kAB = kBA = k

Interpolando:

0.05 0.57

0.02 4.22

4.74

k

k

cc cc

E Ik k

H

1

1

NC 2

2

NC COF

0.00

0.07

0.10

–

0.10

0.10

0.50

COF

0.51

1

1

NC 2

2

NC

NFm

0.00

0.07

0.10

–

0.10

0.10

0.0833

NFm

0.0847

ta/tb H/Hc kAB

1.0

1.05 4.52

1.07 k

1.10 5.09


23

Ecc = módulo de elasticidad del concreto de las columnas que según el ACI 8.5.1 se define como

' 6 257,000 57,000 6,000 4.42 10 lb/plgcf

Is = momento de inercia de las columnas definido como

3 4 41 116 5,461 plg .

12 12sI bh

por lo tanto: 6

64.42 10 54614.74 1059 10 lb-plg.

108ck

Factor de Transporte (COF): Se calculan a partir de la tabla A-7 del apéndice de la siguiente

manera:

Interpolación:

0.03 0.05

0.54 0.02

0.54 0.012

0.552c

COF

COF

COF

Miembros sujetos a torsión (ACI 13.7.5)

Rigidez Torsional (Kt): Según se describe en los comentarios del ACI R13.7.5 la rigidez del

elemento torsional es la siguiente:

2

2

3

2

9

1

cst

c

E CK

donde C se define en el ACI 13.0 como la constante de sección transversal para definir las

propiedades torsionantes

3

1 0.633

x x yC

y

por lo tanto, a partir de la Figura 4

347 7 16

1 0.63 1,325 plg16 3

C

2

2

1614 121 1 0.905c

ta/tb H/Hc CAB

1.0

1.05 0.54

1.07 COF

1.10 0.57


24

luego

2

2

66

3 3

2

9 9 3.60 10 1325345 10 lb-plg

14 12 0.9051

cst

c

E CK

Rigidez equivalente de columna (Kec)

1 1 1

ec c t

c t

ec

c t

K K K

K KK

K K

donde: (ver Figura 13)

Kc = rigidez a flexión de la columna real y ΣKc es por las columnas arriba y debajo de la

viga-losa unida al piso intermedio.

Kt = rigidez de torsión de la viga de borde y ΣKt es por los dos miembros torcionales,

uno a cada lado de la columna

Kc

2 Kt

2

Kt

Kc

Figura 13.

Por lo tanto:

6

2 1,509 2 345

2 1,509 2 345

520 10 lb-plg

ec

ec

K

K


25

Factores de distribución de momento (DF) para los nodos de las vigas-losa.

Conociendo los valores de:

Kec = 520×106 lb-plg. y

Ksb = 425×106 lb-plg.

Los DF en el nodo exterior:

425

0.449(425 520)

DF

en el nodo interior:

4250.310

425 425 520DF

Análisis parcial de pórtico del marco equivalente.

Cargas factoradas y momentos de empotramiento perfecto

Carga muerta total: wu = 1.4(87.5+20) + 1.7(40) = 218.5 lb/pie2

FEM para la viga-losa = 0.0843wu2

2 1 que fue obtenido anteriormente

FEM = 0.0843 (218.5)(14)(182) = 83551 lb-pies 83.6 klb-pies

Distribución de momentos:

Convención de signos: Sentido contrario a las manecillas del reloj se toma como positivo

Conociendo:

FEM: 83.6 klb-pies

DFint: 0.310 DFext: 0.449

COF: 0.509

Podemos hacer la distribución de momentos (Hardy Cross):


26

Nodo 1

2

3

4

COF 0.509 0.509 0.509 0.509

DF 0.449 0.31 0.31 0.31 0.31 0.449

FEM 83.6 -83.6 -37.52 0

0 -19.11

5.92

3.01

-1.35 0.93

0.47 -0.69

-0.21 0.21

0.11 -0.11

83.6 -83.6 0 0

0

5.92 -4.65

-3.01 3.01 0.93 -0.93

-0.47 0.47

0.21 -0.21

-0.11 0.11

83.6 -83.6 0 32.52

16.6 0

-4.65 .

-3.01

-0.93 1.35

0.69 -0.47

-0.21 0.21

0.11 -0.11

∑(M) 87.19 -103.51 80.01 -80.01 103.51 -87.19

∑MD* -39.10 +7.06 +7.06 -7.06 -7.06 +39.10 M Neg. +48.09 -96.46 +87.07 -87.07 +96.45 -48.09

*Momentos distribuidos

Podemos obtener el valor de los momentos positivo por la ecuación:

o uL uRu

M (M M )M (tramo central)

2

donde: Mo = es el momento en el centro para una viga simple (wul2/8)

Momentos:

Momento positivo para tramo 1-2

+Mu = 20.2185 14 18 48.09 96.45

51.62 klb-pie8 2


+Mu = 20.2185 14 18 87.07 87.07

36.82 klb-pie8 2


+Mu = 20.2185 14 18 48.09 96.45

51.62 klb-pie8 2

Momentos de diseño

De acuerdo al código ACI en la sección 13.7.7.1, la sección critica en los apoyos interiores para

los momentos negativos factorizados puede tomarse en la cara de los apoyos rectos, pero a no

más de 0.175l1 desde del centro de la columna:


27

16"0.67 pies 0.175 18 3.15 pies

2

nuevamente en este caso controla los 0.67 pies, y en esta ocasión obtenemos las ecuaciones del

momento de la franja y evaluamos para las distancias:

Ecuación de momento de las franjas exteriores: Ecuación de momento de la franja interior:

22.35 31.94 48.09uM x x

22.53 35.397 87.07uM x x

0.67 27.8

13.33 71.6

u

u

x M

x M

0.67 64.5

13.33 64.5

u

u

x M

x M

1 2 3 4

14’ 14’ 14’

51.62 51.62

36.82

48.09 48.09

87.07 87.07

96.45 96.45

MOMENTOS DE FRANJA

51.62 51.62

36.82

27.8 27.8

64.5 64.5

71.6 71.6

MOMENTOS DE DISEÑO

Figura. 14. Diagramas de momento resultantes de la distribución de momento y diagrama de

momentos de diseño.


28

(27.8 71.6)51.62 101.3 klb-pies

2

Momento factorado total por franja

Según el código ACI en su sección 13.7.7.4, la suma absoluta de los momentos positivo y

negativo promedio utilizados para el diseño, no necesite exceder el valor obtenido con la

ecuación:

22

20.2185 14 18 2 0.67

106.3 klb-pie8 8

u no

wM

franjas finales:

franja interior:

Distribución de los momentos de diseño a través de la franja viga-losa (ACI 13.7.7.5):

Distribución de los momentos de diseño a través de la franja viga-losa se realiza de la misma

manera como se hizo con la franja l2, según las especificaciones del código ACI 13.6.4. y las

tablas que allí se presentan y que ya fueron mostradas en el paso 6

Como α = 0 , βt = 0 , l2/l1 = 14/18 = 0.78

Tabla 6. Distribución De Momento Factorado:

Momento

Factorado

(klb-pie)

Franja de Columna Momento (klb-pie)

en las dos mitades

de franja

intermedia** Porcentaje*

Momento (klb-

pie)

Tramos Finales:

Exterior Negativo

Positivo

Interior Negativo

27.8

51.62

71.6

100

60

75

27.8

30.97

53.70

0.00

20.65

17.90

Tramo Interior:

Negativo

Positivo

64.5

36.82

75

60

48.38

22.1

16.12

14.72

* De acuerdo a las tablas de la sección 13.6.4 del ACI para sistemas de losas sin vigas

** Según sección 13.6.6.1 del ACI: la fracción de los momentos no factorizados positivos y negativos no resistida por las

franjas de columna deben asignarse proporcionalmente a la mitad de las franjas intermedias correspondientes

64.5 64.536.82 101.3 klb-pie

2


29

Transferencias de cortantes y momentos por carga de gravedad a las columnas exteriores

Según la sección 11.12.6 y 13.5.3 del código ACI.

Fuerza cortante factorada transferida a las columnas exteriores.

1 2

2

0.2185 14 1827.5 klb.

2

uu

u

wV

V

Transferencia de momentos no equilibrados a las columnas exteriores.

El momento no balanceado en la columna exterior es Mu = 27.8 klb-pie. (de la tabla 6).

Esfuerzo cortante combinado en la cara interior de la sección crítica de transferencia.

De acuerdo a la sección 11.12.6.2 del código ACI y la ecuación de esfuerzo cortante

/

u v uu

c

V Mv

A J c

donde de acuerdo al Apéndice B, la figura C:

Ac = (2b1+ b2)d = ( 2 × 18.875 + 21.75 ) × 5.75 = 342.125 plg2

Si b1 = c1 + d/2 = 16 + 5.75/2 = 18.875 plg.

b2 = c2 + d = 16 + 5.75 = 21.75 plg.

2 3

1 1 2 1 2

1

2 2 2/ 2358.43

6

b d b b d b bJ c

b

f1 1 0.62 0.38 38%v

si según la ecuación 13-1 de la sección 13.5.3.2 del código ACI la fracción del momento

desequilibrado transmitido por flexión en la conexión losa-columna es:

1

2

f23

10.62 62%

1b

b

Entonces

2

0.38 27.8 12,0027,500

/ 342.2 2,358

134.12 lb/in

u v uu

c

u

V Mv

A J c

v


30

189 108 plg.

2

1087.71

14barras

f. Esfuerzo cortante permisible

' 24 0.85 4 4,000 215.0 lb/plgn c

n u

v f

v v

Diseño para transferencia de momentos no balanceados por flexión para la mitad de la

franja y la franja de columna. ACI 13.5.3

Acero por contracción y temperatura (ACI 13.3.1 y 7.12.2.1(b))

Como b es el ancho de franja de diseño =

As(min) =0.008bh = 0.0018 × 108 × 7 = 1.36 plg2

Para barras No 4, cantidad de barras requeridas =

Para espaciado máximo según el código ACI 13.5.2 de smáx = 2h = 2 × 7 = 14 plg, total de barras

requeridas =

Verificando acero total requerido para el momento negativo en la franja de columna Mu = 27.8

klb-pie. Usado la Tabla 10.1 que se encuentra en el apéndice de este trabajo:

' 2 2

27.8 120.0259

0.9 4 108 5.75

u

c

MR

f bd

4 4 0.02590.85 1 1 0.85 1 1 0.0263

1.7 1.7

R

'20.0263 4 108 5.75

1.09 plg60

cs

y

f bdA

f

entonces, para barras No. 4, el total de barras requeridas es

Usar barras 7 # 4 espaciadas @ 14 plg. en la franja central y en la porción de la franja de

columna fuera donde se transmiten los momentos no balanceados que tiene un largo igual a :

c + 2 (1.5 h) = 16 + 2 (1.5 × 7) = 37 plg.

1.366.80

0.20barras

1.095.45

0.20barras


31

Ya se calculó γf = 62% , entonces γf Mu = 0.62 × 27.8 = 17.2 lkb- pie. Este momento debe ser

transferido dentro de el largo efectivo de losa de 37 plg. Entonces pruébese 3 barras adicionales

dentro de la franja de 37 plg

Para barras No.4: As = 5 × 0.20 = 1.00 plg2

'

1.00 600.0705

4 37 5.75

s y

c

A f

f bd

' 21 0.59 0.0705 1 0.59 0.0705 0.0676n

c

M

f bd

luego Mn = 0.0676 × 4 × 37 × 5.752 / 12 = 27.56 klb-pie

= 0.9 × 27.56 = 24.8 klb-pie >17.2 klb-pie Si cumple

Esquema de la franja de columna a diseñar

nM

Fra

nja

de

dis

eño =

18

’

3 barras

adicionales

Lar

go

efe

ctiv

o d

e lo

sa

par

a m

om

ento

tran

sfer

ido p

or

flex

ión

. 5

# 4

Fra

nja

de

colu

mna,

9 #

4


32

Figura 15

Ejemplo Marco Equivalente

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