Problemas 403

7. Las técnicas de división de tensión/corriente, de combinación en serie/enparalelo de impedancias/admitancias, de reducción de circuitos y de trans-formación se aplican por igual al análisis de circuitos de ca.

8. Los circuitos de ca se aplican en desfasadores y puentes.Y-¢

Preguntas de repaso

9.1 ¿Cuál de los siguientes enunciados no es una manera co-rrecta de expresar la senoide

a) b)

c) d)

9.2 Se dice que una función que se repite después de inter-valos fijos es:

a) un fasor b) armónica

c) periódica d) reactiva

9.3 ¿Cuál de estas frecuencias tiene el periodo más corto?

a) 1 krad/s b) 1 kHz

9.4 Si y ,¿cuáles de los siguientes enunciados son ciertos?

a) se adelanta a b) se adelanta a

c) se atrasa de d) se atrasa de

e) y están en fase

9.5 La tensión a través de un inductor se adelanta a la co-rriente a través de él en 90°.

a) Cierto b) Falso

9.6 La parte imaginaria de la impedancia se llama:

a) resistencia b) admitancia

c) susceptancia d) conductancia

e) reactancia

9.7 La impedancia de un capacitor se incrementa con unafrecuencia creciente.

a) Cierto b) Falso

v2v1

v2v1v1v2

v1v2v2v1

v2 � 20 sen(�t � 50�)v1 � 30 sen(�t � 10�)

A sen(�t � 90�)A cos �(t � T )

A cos(2 p t�T )A cos 2 p ft

A cos �t?

9.9 Un circuito RC en serie tiene yLa tensión de alimentación total es:

a) b) 7 V c) 13 V d) 17 V

9.10 Un circuito RLC en serie tiene R � 30 �, XC � 50 � yLa impedancia del circuito es:

a) b)

c) d)

e)

Respuestas: 9.1d, 9.2c, 9.3b, 9.4b, d, 9.5a, 9.6e, 9.7b, 9.8d,9.9c, 9.10b.

�30 � j40 �

�30 � j40 �30 � j40 �

30 � j40 �30 � j140 �

XL � 90 �.

�7 V

0VC 0 � 5 V.0VR 0 � 12 V

+−

+

−

1 Ω

Hv(t) vo(t)14

Figura 9.39Para la pregunta de repaso 9.8.

9.8 ¿A qué frecuencia la tensión de salida de la figura9.39 será igual a la tensión de entrada ?

a) 0 rad/s b) 1 rad/s c) 4 rad/s

d) e) ninguna de las anteriores rad/s

v(t)vo(t)

Problemas

Sección 9.2 Senoides

9.1 Dada la tensión senoidal halle: a) la amplitud b) el periodo T, c) la frecuenciaf y d) en t � 10 ms.

9.2 Una fuente de corriente en un circuito lineal tiene

is � 8 cos(500p t � 25�) A

v(t)Vm,

50 cos(30t � 10�) V,v(t) �

a) ¿Cuál es la amplitud de la corriente?

b) ¿Cuál es la frecuencia angular?

c) Halle la frecuencia de la corriente.

d) Calcule en t � 2 ms.

9.3 Exprese las siguientes funciones en la forma de coseno:

a) b) c) �10 sen(�t � 20�)

�2 sen 6t4 sen(�t � 30�)

is

9.13 Evalúe los siguientes números complejos:

a)

b)

c)

9.14 Simplifique las siguientes expresiones:

a)

b)

c)

9.15 Evalúe estos determinantes:

a)

b)

c)

9.16 Transforme las siguientes senoides en fasores:

a) b) c)

9.17 Dos tensiones y aparecen en serie, de modo que susuma es Si y

halle

9.18 Obtenga las senoides correspondientes a cada uno de lossiguientes fasores:

a)

b)

c)

d)

9.19 Usando fasores, halle:

a) b) c)

9.20 Una red lineal tiene una entrada de corrientey una salida de tensión

Determine la impedancia asociada.10 cos(�t � 110�) V.4 cos(�t � 20�) A

�5 sen(400t � 20�) 20 sen 400t � 10 cos(400t � 60�)40 sen 50t � 30 cos(50t � 45�)3 cos(20t � 10�) � 5 cos(20t � 30�)

I2 � �0.5 � j1.2 A, � � 10 3

I1 � 2.8e�jp�3 A, � � 377

V2 � 6 � j8 V, � � 40

V1 � 60l15� V, � � 1

v.v2 � 12 cos(50t � 30�) V,v1 � 10 cos(50t � p�3) Vv � v1 � v2.

v2v1

4 cos 2t � 3 sen 2t5 sen(20t � 10�)�10 cos(4t � 75�)

3 1 � j

j

1

�j

1

j

0

�j

1 � j

32 20l�30� �4l�10�

16l0� 3l45� 2

210 � j6 2 � j3

�5 �1 � j 2

a10 � j20

3 � j4b21(10 � j5)(16 � j20)

(240l75� � 160l�30�)(60 � j80)

(67 � j84)(20l32�)

(5 � j6) � (2 � j8)

(�3 � j4)(5 � j) � (4 � j6)

22 � j3 �j2

�j2 8 � j52

(5l10�)(10l�40�)

(4l�80�)(�6l50�)

2 � j3

1 � j6�

7 � j8

�5 � j11

9.4 a) Exprese en la forma de seno.b) Convierta en

la forma de coseno.

9.5 Dadas y determine el ángulo de fase entre las dos senoides y cuálse atrasa respecto a la otra.

9.6 En relación con los siguientes pares de senoides, deter-mine cuál se adelanta y en cuánto.

a) e

b) y

c) x(t) � 13 cos 2t � 5 sen 2t y

Sección 9.3 Fasores

9.7 Si demuestre que

9.8 Calcule estos números complejos y exprese sus resulta-dos en forma rectangular:

a)

b)

c)

9.9 Evalúe los siguientes números complejos y exprese susresultados en forma polar.

a)

b)

9.10 Dado que y halle:

a)

b)

9.11 Halle los fasores correspondientes a las siguientes se-ñales.

a) b) c) d)

9.12 Sean y Evalúe las siguientescantidades y exprese sus resultados en forma polar.

a) b) c) (X � Y)�X(X � Y)*(X � Y)X*

Y � 10l�30�.X � 8l40�

i(t) � �60 cos(30t � 10�) mAv(t) � 120 sen(10t � 50�) Vi(t) � �8 sen(10t � 70�) mAv(t) � 21 cos(4t � 15�) V

z1z2

z3

z1 � z2 � z3

z3 � 8e �j120�,z2 � 10l�30�,z1 � 6 � j8,

(10l60�)(35l�50�)

(2 � j6) � (5 � j)

5l30� a6 � j8 �3l60�

2 � jb

10 � (8l50�)(5 � j12)

8l�20�

(2 � j)(3 � j4)�

10

�5 � j12

15 l45�

3 � j4� j2

f (f) � e jf.f (f) � cos f � j sen f,

y(t) � 15 cos(2t � 11.8�)

v2(t) � �20 cos 377tv1(t) � 4 cos(377t � 10�)i(t) � 4 sen(4t � 50�)

v(t) � 10 cos(4t � 60�)

60 cos(�t � 10�),v2 �v1 � 20 sen(�t � 60�)

i � �10 sen(3t � 85�)v � 8 cos(7t � 15�)

404 Capítulo 9 Senoides y fasores

9.21 Simplifique lo siguiente:

a) b)

c)

9.22 Una tensión alterna la da Use fasores para hallar

Suponga que el valor de la integral es de cero en

9.23 Aplique el análisis fasorial para evaluar lo siguiente.

a)

b)

9.24 Halle en las siguientes ecuaciones integrodiferencia-les aplicando el método fasorial:

a)

b)

9.25 Usando fasores, determine i(t) en las siguientes ecua-ciones:

a)

b)

9.26 La ecuación del lazo de un circuito RLC da por resul-tado

Suponiendo que el valor de la integral en es decero, halle i(t) aplicando el método fasorial.

9.27 Un circuito RLC en paralelo tiene la ecuación de nodo

Determine aplicando el método fasorial. Puede su-poner que el valor de la integral en es de cero.

Sección 9.4 Relaciones fasoriales de elementos de circuitos

9.28 Determine la corriente que fluye a través de un resistorde 8 � conectado a una fuente de tensión

9.29 ¿Cuál es la tensión instantánea a través de un capacitorde 2 �F cuando la corriente a través de él esi � 4 sen(106

t � 25�) A?

vs � 110 cos 377t V.

t � �v(t)

dvdt

� 50v � 100 � v dt � 110 cos(377t � 10�)

t � �

di

dt� 2i � �

t

� i dt � cos 2t

10� i dt �di

dt� 6i(t) � 5 cos(5t � 22�)

2di

dt� 3i(t) � 4 cos(2t � 45�)

dvdt

� 5v(t) � 4 � v dt � 20 sen(4t � 10�)

v(t) � � v dt � 10 cos t

v(t)

i � 15 cos(�t � 45�) � 10 sen(�t � 45�) A

v � 50 cos(�t � 30�) � 30 cos(�t � 90�) V

t � �.

10v(t) � 4dvdt

� 2�t

�

v(t) dt

20 cos(5t � 30�) V.v(t) �

h(t) � �t

0 (10 cos 40t � 50 sen 40t) dt

g(t) � 8 sen t � 4 cos(t � 50�)f (t) � 5 cos(2t � 15�) � 4 sen(2t � 30�)

9.30 Una tensión se aplica auna combinación en paralelo de un resistor de 40 k� yun capacitor de 50 �F. Halle las corrientes en estado es-table a través del resistor y el capacitor.

9.31 Un circuito RLC en serie tiene y Si la tensión de entrada es halle la corriente que fluye a través del circuito.

9.32 En referencia a la red de la figura 9.40, halle la corrientede carga IL.

10 cos 2t,v(t) �C � 5 mF.R � 80 �, L � 240 mH,

v(t) � 100 cos(60t � 20�) V

Problemas 405

Carga5 + j4 Ω

+−100 0° V

IL

Figura 9.40Para el problema 9.32.

9.33 Un circuito RL en serie se conecta a una fuente de ca de110 V. Si la tensión en el resistor es de 85 V, halle la ten-sión en el inductor.

9.34 ¿Qué valor de causará que la respuesta forzada enla figura 9.41 sea de cero?

vo�

+−

2 Ω

+

−

5 mF

vo50 cos �t V

20 mH

Figura 9.41Para el problema 9.34.

Sección 9.5 Impedancia y admitancia

9.35 Halle la corriente i en el circuito de la figura 9.42 cuan-do vs(t) � 50 cos 200t V.

+−

10 Ω 5 mF

vs 20 mH

i

Figura 9.42Para el problema 9.35.

9.36 En el circuito de la figura 9.43, determine i. Sea 60 cos(200t � 10�) V.

vs � 9.40 En el circuito de la figura 9.47, halle cuando:

a) b)

c) � � 10 rad/s

� � 5 rad/s� � 1 rad/s

io

406 Capítulo 9 Senoides y fasores

2 kΩ

1 kΩ 1 kΩ10 �F

100 mH

+−vs

i

Figura 9.43Para el problema 9.36.

9.37 Determine la admitancia Y en el circuito de la figura9.44.

j8 Ω −j10 Ω4 ΩY

Figura 9.44Para el problema 9.37.

9.38 Halle i(t) y en cada uno de los circuitos de la figura9.45.

v(t)

+

−v

i

4 Ω F10 cos (3t + 45°) A

a)

i

4 Ω8 Ω

F

50 cos 4t V +− +

−3 H

b)

v112

16

Figura 9.45Para el problema 9.38.

9.39 En relación con el circuito que aparece en la figura 9.46,halle y úsela para hallar la corriente I. Sea� � 10 rad/s.

Zeq

16 Ω j25 Ω

j20 Ω −j14 Ω4 Ω

+−12 0° V

I

Figura 9.46Para el problema 9.39.

+− 2 Ω4 cos �t V 0.05 F

io 1 H

Figura 9.47Para el problema 9.40.

9.41 Halle en el circuito RLC de la figura 9.48.v(t)

+−

+

−

1 Ω

1 Ω

1 H

1 F v(t)10 cos t V

Figura 9.48Para el problema 9.41.

9.42 Calcule en el circuito de la figura 9.49.vo (t)

+−

+

−

30 Ω

vo(t)

50 Ω

0.1 H60 sen 200t V50 �F

Figura 9.49Para el problema 9.42.

9.43 Halle la corriente en el circuito que se muestra en lafigura 9.50.

Io

50 Ω 100 Ω

−j40 Ωj80 Ω+−60 0° V

Io

Figura 9.50Para el problema 9.43.

9.44 Calcule i(t) en el circuito de la figura 9.51.

Figura 9.51Para el problema 9.44.

+− 3 Ω10 mH

5 mF

6 cos 200t V 4 Ω

5 Ωi

9.45 Halle la corriente en la red de la figura 9.52.Io 9.50 Determine en el circuito de la figura 9.57. Sea 5 cos(100t � 40�) A.

is(t) �vx

Problemas 407

2 Ω

2 Ω

Io

−j2 Ω

j4 Ω

−j2 Ω5 0° A

Figura 9.52Para el problema 9.45.

9.46 Si en el circuito de la figura9.53, halle io.

is � 5 cos(10t � 40�) A

0.2 H 0.1 F

4 Ω 3 Ω

io

is

Figura 9.53Para el problema 9.46.

9.47 En el circuito de la figura 9.54, determine el valor deis(t).

2 Ω 2 mH

20 Ω50 �F+−

is (t)

5 cos 2 000t V

Figura 9.54Para el problema 9.47.

9.48 Dado que en la figura 9.55,determine ix(t).

vs(t) � 20 sen(100t � 40�)

10 Ω 30 Ω

0.2 H

ix

0.5 mFvs (t) −+

Figura 9.55Para el problema 9.48.

9.49 Halle en el circuito de la figura 9.56 si la corrientea través del resistor de 1 � es 0.5 sen 200t A.ix

vs(t)

+−

1 Ω2 Ω

vs j2 Ω −j1 Ω

ix

Figura 9.56Para el problema 9.49.

vx

0.1 H

1 mF 20 Ωis (t)+

ñ

Figura 9.57Para el problema 9.50.

9.51 Si la tensión a través del resistor de 2 � del circuitode la figura 9.58 es 10 cos 2t V, obtenga is.

vo

+

−vo

0.1 F

1 Ω 2 Ωis

0.5 H

Figura 9.58Para el problema 9.51.

9.52 Si en el circuito de la figura 9.59, halleIs.

Vo � 8l30� V

Figura 9.59Para el problema 9.52.

9.53 Halle en el circuito de la figura 9.60.Io

4 Ω

j6 Ω

8 Ω 10 Ω

−j2 Ω2 ΩIo

60 −30° V −+

Figura 9.60Para el problema 9.53.

9.54 En el circuito de la figura 9.61, halle si Io � 2l0� A.Vs

+ −Io

1 Ω2 Ω

Vs

j2 Ωj4 Ω

−j2 Ω −j1 Ω

Figura 9.61Para el problema 9.54.

+

−5 Ω10 Ω Vo

−j5 Ω

j5 ΩIs

*9.55 Halle Z en la red de la figura 9.62, dado queVo � 4l0� V.

9.59 En referencia a la red de la figura 9.66, halle Sea10 rad/s.� �

Zen.

408 Capítulo 9 Senoides y fasores

+−

+

−

Z12 Ω

Vo20 −90° V j8 Ω−j4 Ω

Figura 9.62Para el problema 9.55.

Sección 9.7 Combinaciones de impedancias

9.56 En halle la impedancia de entrada delcircuito que aparece en la figura 9.63.

� � 377 rad/s,

60 mH 40 Ω

50 �F12 Ω

Figura 9.63Para el problema 9.56.

9.57 En obtenga la admitancia de entrada delcircuito de la figura 9.64.

� � 1 rad/s,

1 Ω 2 Ω

2 H 1 FYen

Figura 9.64Para el problema 9.57.

9.58 Halle la impedancia equivalente en la figura 9.65 en� � 10 krad/s.

400 Ω 100 mH

1 kΩ2 �F

Figura 9.65Para el problema 9.58.

Figura 9.66Para el problema 9.59.

9.60 Obtenga en el circuito de la figura 9.67.Zen

0.5 H 5 ΩZen

14

F

25 Ω j15 Ω

j10 Ω

30 Ω

20 Ω

Zen

ñj50 Ω

Figura 9.67Para el problema 9.60.

9.61 Halle en el circuito de la figura 9.68.Zeq

Zeq 1 − j Ω

1 + j2 Ω

j5 Ω

1 + j3 Ω

Figura 9.68Para el problema 9.61.

9.62 En relación con el circuito de la figura 9.69, halle la im-pedancia de entrada en 10 krad/s.Zen

Figura 9.69Para el problema 9.62.

+−

+ −v

2v

50 Ω 2 mH

Zen

1 �F

* Un asterisco indica un problema difícil.