Ejemplos Sistema PU-2

Sistema por Unidad – PU

Ejemplos

1. Para el siguiente sistema de transmisión de 3 zonas, dibuje el diagrama de

reactancias en p.u.. Seleccione los valores del generador de la zona 1 como los

valores base del sistema.

Los datos son los siguientes:

Generador: 30 MVA, 13.8 kV, 3Ø, X” = 15 %

Motor No. 1: 20 MVA, 12.5 kV, 3Ø, X” = 20 %

Motor No. 2: 10 MVA, 12.5 kV, 3Ø, X” = 20 %

Transformador T1 (3Ø): 35 MVA, 13.2 Δ / 115 Y kV, X = 10 %

Transformador T2 (3 - 1 Ø): @ 10 MVA, 12.5 / 67 kV, X = 10 %

Línea de Transmisión: 80 Ω /fase

Solución:

Empezamos definiendo las bases de voltajes en todo el sistema. El ejemplo indica que la

base son los datos del generador que se encuentra en la zona 1, entonces:

MVAbase = 30 MVA, y kVbase = 13.8 kV

De acuerdo a lo anterior tenemos que kVbase 1 = 13.8 kV. Las demás bases de voltaje son

calculadas tomando en cuenta la relación de transformación de los transformadores y sus

conexiones.

Zona 2:

alnoV

alnoVkVkV

prim

zonabasezonabasemin

minsec21

ó

alnoV

alnoVkVkV

pri

zonabasezonabasemin

min

sec

12

kVkV zonabase 23.1202.13

1158.132

Zona 3:

alnoV

alnoVkVkV

prim

zonabasezonabasemin

minsec23

kVkV zonabase 958.12673

5.1223.1203

referido a través de T2

Esta última base merece un comentario: los valores de voltaje indicados en la razón de

transformación se deben a que T2 es un banco de unidades monofásicas, conectado en

estrella-delta y en los datos que se dieron anteriormente, la relación de transformación se

refiere a la relación de transformación de cada unidad, así como la potencia, es la potencia

de cada unidad, o sea monofásica. Además, tomando en cuenta la conexión de las unidades

del banco, tenemos que para el lado de alto voltaje se requiere el factor de 3 , debido a la

conexión en delta en ese punto.

Cálculo de las impedancias en p.u.:

Generador No.1:

15.01 gX (No requiere conversión porque esta zona es la base del sistema)

Motor No.1:

1

2

2

2

1

1

base

base

base

base

actualMMVA

MVA

kV

kVXX

2795.020

30

95.12

5.122.0

2

1

MX

Motor No. 2:

1

2

2

2

1

2

base

base

base

base

actualMMVA

MVA

kV

kVXX

5590.010

30

95.12

5.122.0

2

2

MX

En el caso de los transformadores, el cambio de base será como sigue:

Transformador T1

1

2

2

2

1

1

base

base

base

base

actualpuTMVA

MVA

kV

kVXX

0784.035

30

95.12

5.121.0

2

2

puX

Transformador T2

1

2

2

2

1

2

base

base

base

base

actualpuTMVA

MVA

kV

kVXX

0932.030

30

95.12

5.121.0

2

2

TX

Para la línea de Tx:

1

22

2

)(

base

base

baseMVA

kVZ

82.48130

)23.120( 2

2baseZ

basepu

octualpu

TxX

XX

1660.082.481

80TxX

Diagrama de impedancias:

2. Para el siguiente sistema de transmisión de 3 barras, tomando en consideración una

potencia base de 100 MVA y un voltaje base de 110 kV, transforme el sistema en

un diagrama unifilar de impedancias (reactancias) en por unidad.

Solución

Para realizar la solución de pasar al sistema p. u. se debe de realizar los siguientes pasos:

1. Definir en primera instancia la potencia base y los voltajes base por zona, los cuales

normalmente son definidas por los transformadores.

2. Convertir las impedancias a p. u. Si las bases de los equipos no son las del sistema,

la impedancias primero se deben pasar a ohmios (Ω) y evaluar el nuevo valor de la

impedancia en p. u.

3. Dibujar el diagrama de impedancias en p. u.

Para este caso, se ve claramente tres zonas:

1. La zona del lado del generador 1.

2. La zona de transmisión, donde se encuentran las líneas y cargas.

3. La zona del lado del generador 2.

Generador

100 MVA

22 kV

X=90%

Transformador

100 MVA

22:110 kV

X=10%

Línea de transmisión

Z = j0.8403 pu @ 120

kV y 50 MVA

Carga

datos de operación:

V=110 kV

S=10 MVA

fp = 1

Transformador

100 MVA

120:24 kV

X=12.6%

Generador

80 MVA

22 kV

X=1.48 pu


Z = j60.5 ohms


X = 60.5 ohms

22:110 kV 120:24 kV

Sbase = 100 MVA

Vbase = 110 kV

Cálculo de Voltaje Base

Zona 2: Referencia del sistema

S base = 100 MVA

V base = 110 kV

Zona 1: Lado del generador 1

S base = 100 MVA

V base = ?

alnoV

alnoVkVkV

primzonabasezonabase

min

minsec21

kVkV zonabase 22110

221101


S base = 100 MVA

V base = ?

alnoV

alnoVkVkV


min

minsec23

kVkV zonabase 22120

241103

Cálculo de impedancias y reactancias


Estos cálculos no son estrictamente necesarios porque:

• la base del generador corresponde a la base del sistema

• la base del transformador corresponde a la base del sistema

Generador

sistemabase

generador

sistemabase

generadorbaseplacapug

Z

Z

Z

ZXX

*1

sistema

placapu

g pu

MVA

kV

MVA

kV

X 9.0

100

)22(

100

)22(*9.0

2

2

1

Transformador

sistemabase

transf

sistemabase

transfbaseplacaput

Z

Z

Z

ZXX

*1

sistema

placapu

t pu

MVA

kV

MVA

kV

X 1.0

100

)22(

100

)22(*1.0

2

2

1

Zona 2: Área de transmisión: líneas y cargas

Línea superior

sistemabase

línea

sistemabase

líneabaseplacapuLL

Z

Z

Z

ZZXjZ

*

sistema

placapu

LL puj

MVA

kV

j

MVA

kV

MVA

kVZ

XjZ 2

100

)110(

242

100

)110(

50

)120(*

22

2

Líneas inferiores

sistemabase

líneaLL

Z

ZXjZ

sistemaLL puj

MVA

kV

jXjZ 5.0

100

)110(

5.60

2

Línea de la carga

sistemabase

acLL

Z

ZXjZ

arg

sistemaLL pu

MVA

kV

MVA

kV

XjZ

010

100

)110(

010

)110(

2

2

Zona 3: Lado del generador 2 Generador

sistemabase

generador

sistemabase


Z

Z

Z

ZXX

*2

sistema

placapu

g pu

MVA

kV

MVA

kV

X 85.1

100

)22(

80

)22(*48.1

2

2

2

Transformador

sistemabase

transf

sistemabase

transfbaseplacaput

Z

Z

Z

ZXX

*

2

sistema

placapu

t pu

MVA

kV

MVA

kV

X 15.0

100

)22(

100

)24(*126.0

2

2

2

Lo anterior nos da el siguiente diagrama de impedancias en por unidad de una base común:

+

V1= 1 p.u.

-

zg1=j0.9

z13=j2 p.u.

z12=j0.5 p.u. z23=j0.5 p.u.

z2=10 p.u.

zt2=j0.15

+

V3= -j1 p.u.

-

1 3

2

zg2=j1.85zt1=j0.1

45

3. Para el siguiente sistema de transmisión de 2 barras, tomando en consideración una

potencia base de 30 MVA y un voltaje base de 33 kV, transforme el sistema en un

diagrama unifilar de impedancias (reactancias) en por unidad.

Los datos del sistema eléctrico se enumeran a continuación:

Generador No. 1: 30 MVA, 10.5 kV, X” = 44%, Xn = 1.5 Ω



Transformador T1 (3Ø): 15 MVA, 33/11 kV, X = 21%

Transformador T2 (3 - 1 Ø): 5 MVA, 20/6.8 kV, X = 0.24%

Línea de Transmisión: 20.5 Ω /fase

Carga A: 15 MW. 11 kV, factor de potencia de 0.9 en atraso

Carga B: 40 MW, 6.6 kV, factor de potencia de 0.85 en atraso.

En el caso del transformador T2 se trata de un banco de tres unidades monofásicas

conectadas como se muestra en el diagrama; por supuesto en este caso, la potencia nominal

corresponde a cada unidad y la relación de transformación igualmente. Las reactancias

denotadas por Xn , son las reactancias de aterrizado de los generadores. En ocasiones estos

valores están especificados, al igual que las reactancias propias de la máquina, en forma

normalizada, ya sea en % ó en pu., en cuyo caso debemos entender que las bases de su

normalización son los datos nominales del equipo. En el presente ejemplo, se definen en Ω.

Solución:

Para el análisis de este caso se divide el sistema en tres zonas como se indica en la siguiente

figura, cada una con la característica de tener el mismo voltaje:

Empezamos definiendo las bases de voltajes en todo el sistema. Supongamos que se decide

usar como bases de sistema: MVAbase = 30 MVA, y kVbase = 33 kV en la zona de

transmisión.

De acuerdo a lo anterior tenemos que kVbase 1 = 33 kV, dado que el voltaje base coincide

con el voltaje nominal. Las demás bases de voltaje son calculadas tomando en cuenta la

relación de transformación de los transformadores y sus conexiones.

Para las demás bases se tiene:

Zona 1:

alnoV

alnoVkVkV


min

minsec21

kVkV zonabase 1133

11331


Zona 3:

alnoV

alnoVkVkV


min

minsec23


8.6333


Esta última base merece un comentario: los valores de voltaje indicados en la razón de

transformación se deben a que T2 es un banco de unidades monofásicas, conectado en

estrella-delta y en los datos que se dieron anteriormente, la relación de transformación se

refiere a la relación de transformación de cada unidad, así como la potencia, es la potencia

de cada unidad, o sea monofásica. Además, tomando en cuenta la conexión de las unidades

del banco, tenemos que para el lado de alto voltaje se requiere el factor de 3 , debido a la

conexión en delta en ese punto.

Una vez calculadas las bases de voltajes en todas las zonas, las bases restantes, o sea de

corrientes e impedancias, se calcularán únicamente si se requieren. En el presente ejemplo,

únicamente incluiremos en la normalización del parámetro de la línea de transmisión, la

impedancia base de la zona correspondiente (zona 2).

Con esto la siguiente tarea consiste en cambiar de base los parámetros de las componentes

del sistema eléctrico, cuyos valores estén especificados en forma normalizada, lo cual es lo

más comúnmente encontrado en los datos de placas de los equipos. En los datos

proporcionados previamente, se especifican los datos de generadores y transformadores

normalizados, sobre las bases de valores nominales de las variables eléctricas de estos

equipos. Como no coinciden en general con las bases del sistema que seleccionamos,

deberemos cambiarlos de base y referirlos por tanto, a las bases de sistema. Lo anterior se

muestra a continuación.

Generador No.1:

sistemabase

generador

sistemabase


Z

Z

Z

ZXX

*1

pu

MVA

kV

MVA

kV

X

placapu

g 40.0

30

)11(

30

)5.10(*44.0

2

2

1

Mientras que la reactancia de aterrizamiento es:

sistemabase

nn

Z

XX

11

puj

MVA

kV

jX n 37.0

30

)11(

5.1

21

Generador No.2:

sistemabase

generador

sistemabase


Z

Z

Z

ZXX

*2

pu

MVA

kV

MVA

kV

X

placapu

g 85.0

30

)48.6(

15

)6.6(*41.0

2

2

2

Mientras que la reactancia de neutro es:

sistemabase

nn

Z

XX

22

puj

MVA

kV

jX n 79.1

30

)48.6(

5.2

22

Generador No.3:

sistemabase

generador

sistemabase


Z

Z

Z

ZXX

*3

pu

MVA

kV

MVA

kV

X

placapu

g 40.0

30

)48.6(

25

)6.6(*32.0

2

2

3

Mientras que la reactancia de aterrizamiento es:

sistemabase

nn

Z

XX

33

sisteman puj

MVA

kV

jX 79.1

30

)48.6(

5.2

23

En el caso de los transformadores, el cambio de base será como sigue:

Transformador T1

sistemabase

transf

sistemabase

transfbaseplacaput

Z

Z

Z

ZXX

*1

pu

MVA

kV

MVA

kV

X

placapu

t 42.0

30

)11(

15

)11(*21.0

2

2

1

Transformador T2

sistemabase

transf

sistemabase

transfbaseplacaput

Z

Z

Z

ZXX

*

2

pu

MVA

kV

MVA

kV

X

placapu

t 53.0

30

)33(

15

)320(*24.0

2

2

2

Es importante indicar que en la relación de transformación podemos usar indistintamente la

relación de cualquier lado del transformador, dado que 48.6

8.6

33

320

En el caso de la línea de transmisión, el valor del parámetro está en ohmios, por lo que en

lugar de cambio de base, efectuamos su normalización directamente

sistemabase

acLT

Z

ZX

arg

pu

MVA

kVX LT 56.0

30

)33(

5.20

2

4. Para el siguiente sistema de transmisión de 3 barras, sin cargas, las reactancias de

las dos secciones de líneas de transmisión se muestran en el siguiente diagrama. Los

transformadores y generadores tienen los siguientes valores nominales:

Generador No. 1: 20 MVA, 13.8 kV, Xd” = 0.20 por unidad

Generador No. 2: 30 MVA, 18 kV, Xd” = 0.20 por unidad

Generador No. 3: 30 MVA, 20 kV, Xd” = 0.20 por unidad

Transformador T1 (3Ø): 25 MVA, 220 Y/13.8 Δ kV, X = 21%

Transformador T2 (3 - 1 Ø): 10 MVA, 127/18 kV, X = 10 %

Transformador T3 (3Ø): 35 MVA, 220 Y/22 Y kV, X = 21%

Dibuje el diagrama de impedancias con todas las reactancias señaladas en por unidad y

con las letras para indicar los puntos que corresponde al diagrama unifilar. Seleccione

una base de 50 MVA y 13.8 kV en el circuito del generador 1.

Solución

Cálculo de Voltaje Base

Zona del generador 1:

S base = 50 MVA

V base = 13.8 kV

Zona de la línea de transmisión de B a C y de C a E

S base = 50 MVA

V base = ?

alnoV

alnoVkVkV


min

minsec21

ó

alnoV

alnoVkVkV

prim

zonabasezonabasemin

min

sec

12


2208.132

Zona del generador 2

S base = 50 MVA

V base = ?

alnoV

alnoVkVkV


min

minsec23

alnoV

alnoVkVkV

prim

líneazonabasegeneradorzonabasemin

minsec)(2)2(3

kVkV generadorzonabase 181273

18220)2(3

Zona del generador 3

S base = 50 MVA

V base = ?

alnoV

alnoVkVkV

prim

zonabasezonabasemin

minsec23

alnoV

alnoVkVkV

prim

líneazonabasegeneradorzonabasemin

minsec)(2)3(3

kVkV generadorzonabase 22220

22220)3(3

Cálculo de impedancias y reactancias

Lado del generador 1

Para calcular la impedancia del generador 1, la base del sistema 50 MVA no es la misma

que la potencia del generador, la cual es de 20 MVA, pero en el caso del voltaje base si es

igual, 13.8 kV.

)(1

)(2

2

2

1

1

generadordelbase

sistemadelbase

base

base

pugMVA

MVA

kV

kVXX

unidadporX g 50.020

502.01


En el caso del generador 2, la base del sistema, 50 MVA no es la misma que la potencia del

generador 2, el cual es de 30 MVA, pero en el caso del voltaje base si es igual, porque se

había calculado anteriormente y se encontró que es 18 kV, mismo voltaje del generador 2.

)(1

)(2

2

2

1

2

generadordelbase

sistemadelbase

base

base

pugMVA

MVA

kV

kVXX

generadordelbase

sistemadelbase

pugMVA

MVAXX 2

unidadporX g 33.030

502.02


En el caso del generador 3, la base del sistema, 50 MVA no es la misma que la potencia del

generador 3, el cual es de 30 MVA y en este caso los voltajes son diferentes porque el

voltaje del generador 3 es de 20 kV y el voltaje calculado anteriormente para la zona del

generador 3 fue de 22 kV.

)(1

)(2

2

2

1

3

generadordelbase

sistemadelbase

base

base

pugMVA

MVA

kV

kVXX

unidadporXX pug 275.030

50

22

202

3

Para el transformador T1

Para calcular la impedancia del transformador 1, la base del sistema 50 MVA no es la

misma que la potencia del transformador, la cual es de 25 MVA, pero en el caso del voltaje

base si es igual, 13.8 kV.

)(1

)(2

2

2

1

1

generadordelbase

sistemadelbase

base

base

puTMVA

MVA

kV

kVXX

unidadporX T 20.025

5001.01

Lado del transformador T2

En el caso del transformador 2, la base del sistema 50 MVA no es la misma que la potencia

del transformador 2, el cual es de 30 MVA, pero en el caso del voltaje base si es igual,

porque se había calculado anteriormente y se encontró que es 18 kV, mismo voltaje del

generador 2.

)(1

)(2

2

2

1

2

generadordelbase

sistemadelbase

base

base

pugMVA

MVA

kV

kVXX

generadordelbase

sistemadelbase

pugMVA

MVAXX 2

unidadporX g 167.030

5001.02

Lado del transformador T3

En el caso del transformador 3, la base del sistema 50 MVA no es la misma que la potencia

del transformador 3, el cual es de 35 MVA y en este caso los voltajes son iguales porque el

voltaje del transformador 3 es de 22 kV y el voltaje calculado anteriormente para la zona

del transformador 3 fue de 22 kV.

)(1

)(2

2

2

1

3

generadordelbase

sistemadelbase

base

base

pugMVA

MVA

kV

kVXX

unidadporX g 143.035

502

22

2001.0

2

3

Líneas de transmisión

base

base

baseMVA

kVZ

2)(

96850

)220( 2

baseZ

Para la línea de Tx de j 80 Ω se tiene:

sistemabase

línea

LLZ

ZXjZ

unidadporZ L 0826.0968

80

Para la línea de Tx de j 100 Ω se tiene:

sistemabase

línea

LLZ

ZXjZ

unidadporZ L 1033.0968

100

Finalmente el diagrama de impedancias con todas las reactancias es el siguiente:

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