Ejemplos Claves de Modelamiento
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CONTROL MECATRONICO I
EJEMPLOS CLAVES DE MODELAMIENTO
Autor: MARCELO JAIME QUISPE CCACHUCO
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Contenidos.
1.- Tarea propuesta en clases, masa-resorte-amortiguador.
2.- Sistema con 3 Opams bastante difcil. ***
3.- El pndulo invertido muy interesante
Sistemas mecatrnicos.
Diseo de Sistemas de control.
Ejemplos y problemas.
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1.- Tarea propuesta en clases: masa-resorte-amortiguador
Hallar X1(s)/F(s)
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1.- Tarea propuesta en clases: masa-resorte-amortiguador
Volviendo a dibujar
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1.- Tarea propuesta en clases: masa-resorte-amortiguador
Volviendo a dibujar y al realizar el acomodo se observa queaparte de x1 y x2, tambin aparece una tercera referencia lacual llamaremos x0.
Realizando los DCL (Diagramas de Cuerpo Libre), tenemos 3 ecuaciones:
F k3(X2 X0) = m2X2 ....(1)
c1(X0-X1) + k2(X0-X1) = k3(X2-X0) ....(2)
m1X1 = -k0X1 k2(X1-X0) c1(X1X0) ..(3)
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1.- Tarea propuesta en clases: masa-resorte-amortiguador
Revisin del bloque 1:
m1X1 = -k0X1 k2(X1-X0) c1(X1X0) ..(3)
c1(X0X1) + k2(X0-X1)- k0X1= m1X1 ..(3)
Si factorizamos el menos queda bien, ojo no se confundan cada quien tiene su mtodo.
m1
-
1.- Tarea propuesta en clases: masa-resorte-amortiguador
Simplificando y aplicando la transformada de Laplace:
En (1)
F - k3X2 + k3X0 = m2X2
m2X2 + k3X2 = k3X0 F
[m2S2 + k3] X2(s) = - k3 X0(s) F(s) ..(a)
En (2)
c1 [sX1(s) sX0(s)] + k2[X1(s)-X0(s)] = k3 [X0(s) X2(s)]
X2(s) = [(c1s + k2 + k3)X0(s) (c1s + k2)X1(s)] / k3 ..(b)
En (3)
m1X1 + c1X1 + k0X1 + k2X1 = c1X0 + k2X0 X0(s) = [(m1S
2+c1s+k0+k2) / (c1s+k2)] X1(s) ..(c)
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1.- Tarea propuesta en clases: masa-resorte-amortiguador
Ahora se resolver con la ayuda del matlab, si se consideraque tenemos 3 ecuaciones linealmente independientes, alordenarlo de la sgte. Forma AX=B, luego se despeja el vectorX:
Paso 1: Ordenamos de la siguiente manera:
[m2S2 + k3] X2(s) + k3 X0(s)= F(s) ..(a)
k3 X2(s) -(c1s + k2 + k3)X0(s) + (c1s + k2)X1(s)=0 ..(b)
0+X0(s) (c1s+k2) -(m1S2+c1s+k0+k2) X1(s)=0 ..(c)
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1.- Tarea propuesta en clases: masa-resorte-amortiguador
Ahora se resolver con la ayuda del matlab, si se considera quetenemos 3 ecuaciones linealmente independientes, alordenarlo de la sgte. Forma AX=B, luego se despeja el vector X:
Paso 2: Armamos laa matrices A y B.[m2S
2 + k3] k3 k3 (c1s + k2 + k3) (c1s + k2)
0 (c1s+k2) (m1S2+c1s+k0+k2)
X2(s)
X0(s)
X1(s)
F(s)
0
0
Paso 3: Para usar el matlab, se declara el siguiente codigo:
syms F m s k3 k2 c k0
A=[m*s^2+k3 k3 0;k3 -k3-k2-c*s k2+c*s;0 k2+c*s -k2-c*s-k0-m*s^2];
B=[F;0;0]; Z=inv(A)*B
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1.- Tarea propuesta en clases: masa-resorte-amortiguador
Entonces al correr el programa nos quedara:Z =
(F*(k0*k2 + k0*k3 + k2*k3 + c*m*s^3 + k2*m*s^2 + k3*m*s^2 + c*k0*s + c*k3*s))/(2*k0*k3^2 + 2*k2*k3^2 + 2*c*k3^2*s +c*m^2*s^5 + k2*m^2*s^4 + 2*k3^2*m*s^2 + k3*m^2*s^4 + k0*k2*k3 + c*k0*k3*s + c*k0*m*s^3 + 2*c*k3*m*s^3 + k0*k2*m*s^2+ k0*k3*m*s^2 + 2*k2*k3*m*s^2)
(F*k3*(m*s^2 + c*s + k0 + k2))/(2*k0*k3^2 + 2*k2*k3^2 + 2*c*k3^2*s + c*m^2*s^5 + k2*m^2*s^4 +2*k3^2*m*s^2 + k3*m^2*s^4 + k0*k2*k3 + c*k0*k3*s + c*k0*m*s^3 + 2*c*k3*m*s^3 + k0*k2*m*s^2 + k0*k3*m*s^2 +2*k2*k3*m*s^2)
(F*k3*(k2 + c*s))/(2*k0*k3^2 + 2*k2*k3^2 + 2*c*k3^2*s + c*m^2*s^5 + k2*m^2*s^4 +2*k3^2*m*s^2 + k3*m^2*s^4 + k0*k2*k3 + c*k0*k3*s + c*k0*m*s^3 + 2*c*k3*m*s^3 + k0*k2*m*s^2 + k0*k3*m*s^2 +2*k2*k3*m*s^2)
>> pretty(Z)
| 3 2 2 |
| F (k0 k2 + k0 k3 + k2 k3 + c m s + k2 m s + k3 m s + c k0 s + c k3 s) |
| ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| 2 2 2 2 5 2 4 2 2 2 4 3 3 2 2 2 |
| 2 k0 k3 + 2 k2 k3 + 2 c k3 s + c m s + k2 m s + 2 k3 m s + k3 m s + k0 k2 k3 + c k0 k3 s + c k0 m s + 2 c k3 m s + k0 k2 m s +k0 k3 m s + 2 k2 k3 m s |
| 2 |
| F k3 (m s + c s + k0 + k2) |
| ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| 2 2 2 2 5 2 4 2 2 2 4 3 3 2 2 2 |
| 2 k0 k3 + 2 k2 k3 + 2 c k3 s + c m s + k2 m s + 2 k3 m s + k3 m s + k0 k2 k3 + c k0 k3 s + c k0 m s + 2 c k3 m s + k0 k2 m s +k0 k3 m s + 2 k2 k3 m s |
| F k3 (k2 + c s) |
| ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| 2 2 2 2 5 2 4 2 2 2 4 3 3 2 22 |
| 2 k0 k3 + 2 k2 k3 + 2 c k3 s + c m s + k2 m s + 2 k3 m s + k3 m s + k0 k2 k3 + c k0 k3 s + c k0 m s + 2 c k3 m s + k0 k2 m s +k0 k3 m s + 2 k2 k3 m s |
-
1.- Tarea propuesta en clases: masa-resorte-amortiguador
Al final ordenando se obtiene
la funcin de transferencia de
la siguiente manera:
2 2 2
2 2 2
-
Se pide lafuncin detransferenciarespecto a cadauna de lasentradas y lasalida respecto alas 2 entradas
2.- Problema con opams y 2 entradas.
-
Primerotrabajamos soloentre U1 y Uo,haciendo U2igual a 0, usamoslo queconocemos yseparamos entres partesporque hay 3opams enconfiguracininversora.
Olvidemonosde R20 y R30
2.- Problema con opams y 2 entradas.
3
2
1
8
4
U1:A
1458
5
6
7
8
4
U1:B
1458
3
2
1
8
4
U2:A
1458
R5
10k
R20100R
R30100R
R2
10k
R4
10k
R3
10k
R8
5k
R620k
R1
10k
C3
2u
C1
1u
C2
1u
U1
u2
Uo
A
B
C
-
Este caso ya es conocido por nosotros, (salida entre la entrada)
1
1
1
1
1 1
1
2.- Problema con opams y 2 entradas.
B
C
-
En esta parte se debe tener cuidado, ya que hay dos enytradasde corriente, por lo tanto hay q hacer otro analisis, pasando todoa lapalace.
2.- Problema con opams y 2 entradas.
3
2
1
8
4
U1:A
1458
R20100R
R2
10k
R1
10k
C3
C1
1u
U1
B
1
1
o
C
R6
-
En los puntos B, C, o, lo que se tiene es un voltaje, lo que sequiere es armar los bloques, para lo cual tenemos que ver lasuma de corrientes en el OPAM
2.- Problema con opams y 2 entradas.
3
2
1
8
4
U1:A
1458
R20100R
R2
10k
R1
10k
C3
C1
1u
U1
B
1
1
o
C
R6
1
i1
i2
i3
-
Por la segunda ley de Kirchoff (sumatoria de corrientes qentran= sumatoria de corrientes q entran)
0
0
0 !
Despejando VB!
-
Ahora todo lo pasamosa un diagrama de bloques en baseA la ecuacion anterior y lo q ya se obtuvo
2.- Problema con opams y 2 entradas.
3
2
1
8
4
U1:A
1458
R20100R
R2
10k
R1
10k
C3
C1
1u
U1
B
C
R6
1
i1
i2
i3
-
Por la segunda ley de Kirchoff (sumatoria de corrientes qentran= sumatoria de corrientes q entran) al final quedara de lasiguiente manera el diagrama de bloques
2.- Problema con opams y 2 entradas.
B
1
1
1
1
C
1
(-Z)
U1X U0
-
Finalmente usando toda nuestra habilidad para simplificarbloques obtenemos:
1
-
Un pndulo invertido montado en un carro manejado por un motor aparece en la figura 3-16(a).
ste es un modelo del control de posicin de un propulsor primario espacial para despegues. (El objetivo del problema del control de posicin es conservar el propulsor primario espacial en una posicin vertical.) El pndulo invertido es inestable porque puede girar en cualquier momento y en cualquier direccin, a menos que se le aplique una fuerza de control conveniente. Aqu consideramos slo un problema en dos dimensiones, en el cual el pndulo slo se mueve en el plano de la pgina. Se aplica al carro la fuerza de control u. Suponga que el centro de gravedad de la barra del pndulo est en su centro geomtrico. Obtenga un modelo matemtico para este sistema.
Suponga que la masa m de la barra del pndulo es de 0.1 kg, la masa M del carro es de 2 kg y la longitud 2*l de la barra del pndulo es de 1 m, o bien,
3.- El Pendulo invertido.
-
Se pide la funcin de transferencia entre el ngulo y la fuerza u
3.- El Pendulo invertido.
-
Se pide la funcin de transferencia entre el ngulo y la fuerza u
D.C.L para M1
D EF G HIJ
En el otro eje no importa, porque no hay movimiento
3.- El Pendulo invertido.
Mu
HV
-
D.C.L para la barra
i) En el eje horizontal
D E
G H KL
KML I NOPQRii) En el eje vertical
D E
S TU T KL
KML NVWORiii) Respecto al centro de garvedad
DX YZ
G[\]R . N S]_`R . N T KL
KML R
3.- El Pendulo invertido.
H V
-
Ahora tenemos que aplicar la transformada de Lapalce considerando
las cndiciones iniciales
F G HIJG H K
L
KML I NOPQR
S TU T KL
KML NVWOR
G[\]R . N S]_`R . N T KL
KML R
3.- El Pendulo invertido.
-
Ahora tenemos que aplicar la transformada de Lapalce considerando
las cndiciones iniciales
F G HIJG H K
L
KML I NOPQR
S TU T KL
KML NVWOR
G[\]R . N S]_`R . N T KL
KML R
4.- Tanques hidraulicos y linealizacion.