ECUACIONES LINEALES

Definición.- Diremos que una ecuación es lineal en la variable x si puede escribir en la forma

0=+baxcon a y b constantes y 0≠a .Para resolver ecuaciones lineales se deberá realizar una serie de operaciones que conduzcan a ecuaciones equivalentes a la original hasta obtener una ecuación de la forma cx = cuya solución es explícita. Normalmente se dice que la x debe quedar despejada en un lado de la ecuación. Veamos el siguiente ejemplo que ilustra como vamos obteniendo ecuaciones equivalentes:

Ejemplo 2.- Resolver la siguiente ecuación. 524 −= xxSolución.-

xxxx 25224 −−=− 2x=−52x2=−52

x=−52

De aquí, x=−52

es la única solución de la ecuación 4x=2x−5 .

Comentario: Como se puede observar en este ejemplo una expresión que este sumando un miembro puede pasar restando, esto es lo mismo que restar ambos lados por la expresión. De manera, similar si una expresión está dividiendo todo un miembro de la ecuación pasa multiplicando. Si está multiplicando todo un miembro de la ecuación pasa dividiendo al otro miembro.

Ejemplo 2.- Resolver la siguiente ecuación x−1=3 x−5 Solución:

Se resuelven primero los paréntesis para luego agrupar las x´s de un lado y las constantes del otro. En general, es conveniente eliminar los paréntesis. Para ello aplicamos la propiedad distributiva en el lado derecho:

x−1=3 x−5

x−1=3x−15

x−115=3x

14=3x−x

14=2x142=x

x=7

Restamos 2x a ambos miembros

Dividimos por 2 a ambos miembros

Pasamos el 15 sumando al otro lado, equivalentemente sumamos 15 a ambos lados.

Pasamos el x restando al otro lado, equivalentemente sumamos x a ambos lados

Pasamos el 2 dividiendo al otro lado, equivalentemente dividimos por 2 a ambos lados.

Ejemplo 3: Resolver la siguiente ecuación

x−1

2−

16=3

Solución.- Cuando existen denominadores numéricos podemos multiplicar ambos lados por el m.c.m. de los denominadores. Con ello se eliminan los denominadores y se evita de esta forma sumar fracciones que puede ser más tedioso. En este caso el m.c.m. de los denominadores es 6.

6 x−12

−16 =3⋅6

6⋅.x−1

2−6⋅

16=18

3⋅. x−1−1=183x−3−1=183x=22

x=223

Tres consejos se han dado en esta sección para resolver ecuaciones lineales:1) Si existen denominadores numéricos, elimínelos multiplicando ambos

miembros por el m.c.m. de los denominadores.2) Resuelva los paréntesis de acuerdo con las reglas enseñadas.3) Agrupe los términos en x en un miembro y las constantes en otro para

despejar x.Hay que reiterar que estos son sólo consejos prácticos muy generales, seguramente en casos particulares existan otros procedimientos más rápidos.

Se distribuye el 6

Se simplifica

Se distribuye el 3