SOLUCION EJEMPLO 1: La Smith Motors, Inc., vende automviles normales y vagonetas. La compaa obtiene $300 de utilidad sobre cada automvil que vende y $400 por cada vagoneta. El fabricante no puede proveer ms de 300 automviles ni ms de 200 vagonetas por mes. El tiempo de preparacin para los distribuidores es de 2 horas para cada automvil y 3 horas para cada vagoneta. La compaa cuenta con 900 horas de tiempo de taller disponible cada mes para la preparacin de automviles nuevos. Plantee un problema de PL para determinar cuntos automviles y cuntas vagonetas deben ordenarse para maximizar las utilidades. SOLUCION EJEMPLO 2: La EZ Company fabrica tres productos de ltima moda, a los cuales el departamento de mercadotecnia ha denominado Mad, Mud y Mod. Estos tres productos se fabrican a partir de tres ingredientes los cuales, por razones de seguridad, se han designado con nombres en cdigo que son Alpha, Baker y Charlie. Las libras de cada ingrediente que se requieren para fabricar una libra de producto final se muestran en la siguiente tabla.

Ingrediente Producto Alpha Baker Charlie

Mad 4 7 8 Mud 3 9 7 Mod 2 2 12

La empresa cuenta respectivamente con 400, 800, 1000 libras de los ingredientes Alpha, Baker y Charlie. Bajo las condiciones actuales del mercado, las contribuciones a las utilidades para los productos son $18 para Mad, $10 para Mud y $12 para Mod. Plantee un problema de PL para determinar la cantidad de cada uno de los productos de ltima moda que deben fabricarse. SOLUCION EJEMPLO 3: La Ware Farms del Valle Schoharie, cerca de Abany, N.Y., cultiva brcoli y coliflor en 500 acres de terreno en el valle. Un acre de brcoli produce $500 de contribucin a las utilidades y la contribucin de un acre de coliflor es de $1000. Debido a reglamentos gubernamentales, no pueden cultivarse ms de 200 acres de brcoli. Durante la temporada de plantacin, habr disponibles 1200 horas-hombre de tiempo de plantadores. Cada acre de brcoli requiere 2.5 horas-hombre y cada acre de coliflor requiere 5.5 horas-hombre. Plantee un problema de PL para determinar cuntos acres de brcoli y cuntos de coliflor deben plantarse para maximizar la contribucin a las utilidades. SOLUCION EJEMPLO 4: La Beta Corporation acaba de adquirir una licencia existente de operacin para el servicio de automviles entre el aeropuerto DFW y el centro de la ciudad. Antes el servicio de esos automviles operaba una flota de 30 vagonetas; sin embargo, el volumen del negocio hace que sea fcil justificar la adicin de otros vehculos. Adems, la mayora de los vehculos son muy viejos y requieren un mantenimiento muy costoso. Debido a la baja inversin que se requiere para la adquisicin de la licencia, la Beta est en posicin de reemplazar todos los vehculos existentes. Se estn considerando tres tipos de vehculos; vagonetas, autobuses pequeos y autobuses grandes. La compaa ha examinado cada tipo de vehculo y ha recopilado los datos que se muestra en la siguiente tabla. El consejo de administracin de la Beta ha autorizado $500,000 para la adquisicin de vehculos. La Beta ha proyectado que puede utilizar en forma adecuada cuantos vehculos pueda financiar; sin embargo, las instalaciones de servicio y mantenimiento son limitadas. En estos momentos, el departamento de mantenimiento puede manejar 30 vagonetas. En la actualidad, la compaa no desea ampliar las instalaciones de mantenimiento. Puesto que la nueva flota puede incluir autobuses pequeos y grandes, el departamento de mantenimiento debe estar en

posibilidades de trabajar con ellas. Un autobs pequeo es equivalente a 1 vagonetas y cada autobs grande equivale a 3 vagonetas. Plantee un modelo lineal que permita a la Beta determinar el nmero ptimo de cada uno de los tipos de vehculos que debe adquirir con el objeto de maximizar las utilidades anuales esperadas.

Tipo de vehculos Precio de compra Utilidad anual neta esperada

Vagoneta $ 6,500.00 $2,000 Autobs pequeo $ 10,500.00 2800 Autobs grande $ 29,000.00 6500

SOLUCION EJEMPLO 5: Un granjero desea determinar el costo diario ms bajo de la mezcla de pastura para su ganado. Para cumplir con los requerimientos mnimos de nutricin, la mezcla deber de contener al menos 10000 unidades del nutriente A, 20000 unidades del nutriente B y 15000 unidades del nutriente C. Existen 2 alimentos de pastura disponibles para l, y cada libra del primero cuesta $0.15 y contiene 100 unidades del nutriente A, 400 del nutriente B y 200 del nutriente C; y cada libra del segundo cuesta $0.20 y contiene 200 unidades del nutriente A, 250 del nutriente B y 200 del nutriente C. Formule el modelo de programacin lineal. SOLUCION EJEMPLO 6: Un fabricante de equipo de prueba, tiene tres deptos. principales para la manufactura de sus modelos S-1000 y S-2000. Las capacidades mensuales son las siguientes: Requerimientos unitarios de

tiempo (hrs) Hrs. disponibles en el presente

mes Modelo S-1000 Modelo S-2000 Depto. de estructura principal 4.0 2.0 1600 Depto. de alumbrado elctrico 2.5 1.0 1200 Depto. de ensamble 4.5 1.5 1600 La contribucin del modelo S-1000 es de $40.00 por unidad y la del modelo S-2000 es de $10.00 por unidad. Se pide formular este problema como un modelo de prog. lineal. SOLUCION EJEMPLO 7: Considere la decisin de planeacin de produccin de una compaa que hace vlvulas y pistones. Ambas piezas debern ser maquinadas en torno y procesadas en un esmerilador y, adems, el pistn deber ser pulido. Cada vlvula y cada pistn requieren cierta cantidad de acero. La siguiente tabla resume la cantidad de cada recurso usados en producir vlvulas y pistones, la utilidad unitaria y la cantidad de recursos disponibles: Torno (hrs) Esmeril (hrs) Pulidora (hrs) Acero (hrs) Vlvula 0.3 1.0 0.0 1.0 Pistn 0.5 1.5 0.5 1.0 Recursos disponibles Torno: 300 hrs. Esmeriladora: 750 hrs. Pulidora: 200 hrs. Acero: 600 hrs. La compaa desea determinar el valor de las variables de decisin si las utilidades unitarias esperadas son de $3.00 y $4.00 para vlvulas y pistones respectivamente.

SOLUCION EJEMPLO 8: Una compaa fabrica 2 productos que pasan en forma sucesiva por tres maquinas. El tiempo por maquina asignado a los dos productos est limitado a 10 hrs/da. El tiempo de produccin y la ganancia por unidad de cada producto se dan a continuacin.

Producto Tiempo de produccin Ganancia ($/unid) Maq. 1 Maq. 2 Maq. 3

1 10 min. 6 min. 8 min. $20 2 5 min. 20 min. 15 min. $30

Tiempo disp. (hrs/da) 10 hrs. 600 min.

10 hrs. 600 min.

10 hrs. 600 min.

Determine la combinacin ptima de produccin para maximizar las ganancias. SOLUCION EJEMPLO 9: Una compaa fabrica los productos A, B, C y D los cuales pasan por los departamentos de cepillado, fresado, taladro y ensamble. Los requerimientos por unidad de producto, en horas, la contribucin, capacidad de produccin de cada departamento y las demandas mnimas de venta son:

DEPARTAMENTO (HRS/UNID.) Contrib. por unid. Prod. Cepillado Fresado Taladro Ensamble Dem. min. $80.00 A 0.5 2.0 0.5 3.0 100 u 90.00 B 1.0 1.0 0.5 1.0 600 u 70.00 C 1.0 1.0 1.0 2.0 500 u 60.00 D 0.5 1.0 1.0 3.0 400 u

Tiempo disp. 1800 hrs. 2800 hrs. 3000 hrs. 6000 hrs. Formule un modelo de programacin lineal para maximizar las utilidades. SOLUCION EJEMPLO 10: Una corporacin ha decidido producir tres nuevos artculos, ya que en sus cinco plantas tienen exceso de capacidad de produccin. El costo unitario de manufacturacin para el primer producto podra ser de $31.00, $29.00, $32.00, $28.00 y $29.00 en las plantas 1, 2, 3, 4 y 5 respectivamente, por unos costos unitarios de $45.00, $41.00, $46.00, $42.00 y $43.00 para el producto 2 y de $38.00, $35.00, $40.00, $29.00 y $32.00 para el producto 3, las plantas 1, 2, 3, 4 y 5 tienen capacidad de 2000, 1000, 2000, 1500 y 2500 unidades por producir de los tres nuevos artculos en sus diferentes combinaciones. Si los pronsticos de ventas indican que se podran vender 1500, 2500, y 4000 unidades de los artculos 1, 2 y 3. Cul debera ser el numero optimo de unidades para cada artculo con el fin de minimizar los costos totales? SOLUCION EJEMPLO 11: Una compaa fabrica dos clases de cinturones de piel. El cinturn tipo A es de alta calidad y el cinturn de tipo B es de baja calidad. La ganancia esperada para cada cinturn es de $40.00 para el tipo A y de $25.00 para el tipo B. Cada cinturn del tipo A requiere el doble de tiempo de fabricacin que el cinturn de tipo B. Si todos los cinturones fueran del tipo B, la compaa fabricara 1000 unidades por da. El abastecimiento de piel es suficiente para 800 cinturones A y B combinados, el cinturn tipo A requiere una hebilla especial de las que solo se dispone de 400 por da, por 700 de las que lleva el cinturn tipo B. Construya el modelo de programacin lineal que maximice las ganancias totales. SOLUCION EJEMPLO 12: Un fabricante de gasolina de aviacin vende dos clases de combustible, A y B. El combustible clase A tiene 25% de gasolina grado 1, 25% de gasolina grado 2 y 50% de gasolina grado 3. El combustible clase B tiene 50% de gasolina grado 2 y 50% de gasolina grado 3. Disponibles para produccin hay 500 galones por hora de gasolina grado 1 y 200 galones por hora respectivamente de las gasolinas grado 2 y 3. Los costos son 30 centavos por

galn de grado 1, 60 centavos por galn de grado 2, y 50 centavos por galn de grado 3. La clase A puede venderse a 75 por galn, mientras que la clase B alcanza 90 por galn. Qu cantidad debe fabricarse de cada combustible? SOLUCION EJEMPLO 13: La Higgins Company fabrica piezas de metal de alta precisin que se utilizan en los motores de automviles de carrera. La pieza se fabrica en un proceso de forjado y refinacin y son necesarias cantidades mnimas de diversos metales. Cada pieza requiere de 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de hierro colado. Existen 4 tipos de mineral disponible para el proceso de forjado y refinacin. El mineral tipo 1 contiene 4 onzas de plomo, 2 de cobre y 2 de acero colado por libra. Una libra del mineral de tipo 2 contiene 2 onzas de plomo, 6 de cobre y 6 de acero colado. Una libra del mineral 3 contiene 1 onza de plomo, 4 de cobre y 4 de acero colado. Por ltimo, el mineral de tipo 4 contiene onza de plomo, 1 de cobre y 8 onzas de acero colado por libra. El costo por libra para los cuatro minerales es de $20, $30, $60 y $50, respectivamente. A la Higgins le gustara mezclar los minerales de manera que se satisfagan las especificaciones de las piezas y se minimice el costo de fabricarlas. Defina las variables de decisin y plantee el apropiado modelo de PL.