ejercicio 2
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Los lados del triángulo están formados por las siguientes rectas: L1: x-y =0, L2: x-7y = 0, L3: 7x+y=20 El centro de la circunferencia estará en el incentro del triángulo, que es el punto donde se cortan las bisectrices de sus ángulos. En primer lugar tenemos que calcular las ecuaciones de las bisectrices. La bisectriz del ángulo que forman las rectas L1 y L2, es una recta que pasa por el vértice y divide al ángulo en dos partes iguales. Cualquier punto que pertenezca a la recta bisectriz se hallará a la misma distancia de la recta L1 y de la recta L2. Por tanto para calcular su ecuación, usamos la ecuación de la distancia de un punto a una recta. Dadas las coordenadas de un punto P(ݔ, ݕ) la distancia de ese punto a una recta ax+by+c = |௫ା௬ା| √ మ ା మ Calculamos la distancia de un punto cualquiera a cada una de las rectas. D(P,L1)= |௫ା௬ା| √ మ ା మ = |௫௬| √ଵ మ ାଵ మ = |௫௬| √ଶ D(P,L2)= |௫ା௬ା| √ మ ା మ = |௫௬| √ଵ మ ା మ = |௫௬| √ହ Como ambas distancias son iguales, igualamos ambas ecuaciones ௫௬ √ଶ = ௫௬ √ହ ቀ ௫௬ √ଶ ቁ ଶ = ቀ ௫௬ √ହ ቁ ଶ ௫ మ ଶ௫௬ା௬ మ ଶ = ௫ మ ଵସ௫௬ାସଽ௬ మ ହ 50( ݔଶ − 2 ݕݔ+ ݕଶ ) = 2( ݔଶ − 14 ݕݔ+ 49 ݕଶ ) 50 ݔଶ − 100 ݕݔ+ 50 ݕଶ =2 ݔଶ − 28 ݕݔ+ 98 ݕଶ 50 ݔଶ − 100 ݕݔ+ 50 ݕଶ − 2 ݔଶ + 28 ݕݔ− 98 ݕଶ =0 48 ݔଶ − 72 ݕݔ− 48 ݕଶ =0 simplificamos dividiendo por 24 2 ݔଶ − 3 ݕݔ− 2 ݕଶ =0
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Los lados del tringulo estn formados por las siguientes rectas:
L1: x-y =0, L2: x-7y = 0, L3: 7x+y=20
El centro de la circunferencia estar en el incentro del tringulo, que es el punto donde se cortan las bisectrices de sus ngulos. En primer lugar tenemos que calcular las ecuaciones de las bisectrices.
La bisectriz del ngulo que forman las rectas L1 y L2, es una recta que pasa por el vrtice y divide al ngulo en dos partes iguales. Cualquier punto que pertenezca a la recta bisectriz se hallar a la misma distancia de la recta L1 y de la recta L2. Por tanto para calcular su ecuacin, usamos la ecuacin de la distancia de un punto a una recta.
Dadas las coordenadas de un punto P(, ) la distancia de ese punto a una recta ax+by+c =||
Calculamos la distancia de un punto cualquiera a cada una de las rectas.
D(P,L1)=||
= ||
= ||
D(P,L2)=||
= ||
= ||
Como ambas distancias son iguales, igualamos ambas ecuaciones
=
=
=
50( 2 + ) = 2( 14 + 49) 50 100 + 50 = 2 28 + 98 50 100 + 50 2 + 28 98 = 0 48 72 48 = 0 simplificamos dividiendo por 24
2 3 2 = 0
-
Ahora calculo la ecuacin de otra bisectriz, con dos es suficiente.
D(P,L2)=||
= ||
= ||
D(P,L3)=||
= ||
= ||
Como ambas distancias son iguales, igualamos ambas ecuaciones
||
= ||
al multiplicar todo por 50, elimino los denominadores 7 = 7 + 20 7 7 = 20 6 8 = 20 simplifico dividiendo todo por 2 3 4 = 10 Ya tengo las ecuaciones de dos de las bisectrices. Ahora hago un sistema de ecuaciones con ambas y busco el punto de interseccin de ambas rectas.
3 4 = 10 2 3 2 = 0 Uso el mtodo de sustitucin
=
2
3
2 = 0
2
+
2 = 0
+ 4 10 2 = 0 32 160 + 200 + 9(2 10) = 0 32 160 + 200 + 18 90 = 0 50 250 + 200 = 0 simplifico dividiendo entre 50
5 + 4 = 0 y =
=
=
=
tiene dos resultados
= = = 4 = = = 1
-
Ahora calculamos el valor de x
= = = = 2 = = = = 2 Los puntos de corte pueden ser (2,4) (2,1) Marco ambos puntos en la grfica y observo que el que me interesa, el que est en el interior del tringulo es el (2,1). Ese punto ser el centro de la circunferencia.
Ahora que conozco el centro necesito saber el radio de la circunferencia. El radio ser la distancia desde el centro a cualquiera de los lados del tringulo.
P(2,1)
D(P,L1)=||
= ||
=
Luego el radio de la circunferencia es
La ecuacin de una circunferencia es:( )+( ) = . Sustituyo el punto en la ecuacin ( 2)+( 1) =
( 2)+( 1) =
