Problema 4. La viga de la figura 7) tiene ambos extremos empotrados y recibe una carga uniformemente distribuida de 1200 kg/m. Determine los momentos y las reacciones verticales en los empotramientos. Tomar EI constante.

Incógnitas y ecuaciones de momento.

M x = V A x − M A 0≤x≤ 5 Ec . ( 1 )

Integrando sucesivamente:

EI d2 ydx2

= V A x − M A

EI dydx

=V A x

2

2− M A x + C1 Ec . ( 2 ) .

EI Y =V A x

3

6−MA x

2

2+ C1 x + C2 Ec . ( 3 )

En las Ec. (2) y (3) la pendiente “dy/dx” y la flecha “y”, son cero por estar el apoyo empotrado y por tanto, las constantes C1 y C2 son cero.

M x1 = V A x1 − 300 ( x1 − 5 )⋅( x1 − 5 )

2− M A 5≤x1≤ 10 Ec . ( 4 )

Integrando:

EI dydx1

=V A x1

2

2−

300 ( x1 − 5 )3

6− M A x1 + C3 Ec . ( 5 )

EI Y =V A x1

3

6−

300 ( x1 − 5 )4

24−M A x1

2

2+ C3 x1 + C4 Ec . ( 6 )

X1

xVA VB

MBMA

W = 300 kg/m

Fig. 7

5.00 m5.00 m

BA

W = 300 kg/m

En las ecuaciones (2) y (5) la pendiente tiene el mismo valor cuando “x = x1 = 5”, por tanto, al igualar estas ecuaciones, resulta C3 = 0.

En las ecuaciones (3) y (6) la flecha tiene el mismo valor cuando“x = x1 = 5”, por tanto al igualar estas ecuaciones, resulta C4 = 0.

En la Ec. (5) la pendiente “dy/dx” es cero cuando x1 = 10, sustituyendo este valor resulta la siguiente ecuación:

0 =V A( 10 )2

2−

300 ( 10 − 5 )3

6− 10 M A

50 V A − 10 M A − 6 ,250.00 = 0 Ec .( 7 )

En la Ec. (6) la flecha es cero cuando x1 = 10:

0 =V A ( 10 )3

6−

300 ( 10 − 5 )4

24−M A ( 10 )2

2

166 . 666 V A − 50 M A − 7 ,812. 50 = 0 Ec. ( 8 )

Al resolver las ecuaciones (7) y (8), resulta:

MA = 781.25 kg.mVA = 281.25 kgVB =1,218.75 kg Se obtiene por equilibrio vertical.MB=1,718.75 kg.m

Verificación de los momentos con fórmula:

M A = 5 w L2

192=

5 ( 300 ) ( 10 )2

192= 781. 25 kg .m

MB = 11 w L2

192=

11 ( 300 ) ( 10 )2

192= 1718 . 75 kg .m

1718.75

756.84625

781.25

4.0625

1218.75

281.25

1718.75

1218.75281.25

781.25

W = 300 kg/m