2. DESARROLLO DE EJERCICIOS PLANTEADOS

1. Defina de las siguientes ecuaciones diferenciales el orden y linealidad.

(1-y)y’’ – 4xy’ + 5y = cos x

Es una ecuación diferencial de orden dos (2) y no lineal

A. xy’’’ – 2(y’)4 + y = 0

Es una ecuación de orden tres (3), no lineal y de grado cuatro (4)

2. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales separables:

A. dydx

= xy+2 y−x−2xy−3 y+ x−3

Reagrupamos y factorizamos en el numerador y en el denominador con el fin de obtener ecuaciones que dependan solo de X y solo de Y

dydx

=( xy+2 y )−( x+2 )(xy−3 y )+ ( x−3 )

dydx

=y (x+2 )−( x+2 )y ( x−3 )+ (x−3 )

dydx

=(x+2 ) ( y−1 )(x−3 ) ( y+1 )

( y+1)( y−1)

dy=(x+2)(x−3)

dx

Integramos en ambos lados

∫ ( y+1 )( y−1 )

dy=∫ (x+2)(x−3)

dx

Sumamos y restamos términos tal que las ecuaciones no varíen y reorganizamos

∫ y+1−1+1y+1

dy=∫ x+2−3+3x−3

dx

∫ y−1+2y−1

dy=∫ x−3+5x−3

dx

∫ y−1y−1

dy+2∫ dyy−1

=∫ x−3x−3

dx+5∫ dxx−3

∫ dy+2∫ dyy−1

=∫dx+5∫ dxx−3

y+2 ln|y−1|=x+5 ln|x−3|+C

y=x+5 ln|x−3|+C−2 ln|y−1|

y=x+ ln|x−3|5+C−ln|y−1|2

y=x+ ln( x−3 )

( y−1 )25

+C

b.

dy=(e3x+2 y )dx

Aplicando leyes de la función exponencial tenemos:

dy=e3 xe2 y dx

dy

e2 y=e3x dx

Integramos en ambos lados

∫ dy

e2 y=∫ e3 xdx

∫ e−2 y dy=∫ e3 xdx

Hacemos un cambio de variables:

−2 y=t 3 x=u−2dy=dt 3dx=du−12 ∫e tdt=13∫e

udu

−12e t=1

3eu+c

−12e−2 y=1

3e3x+c

e−2 y=−23e3x+c

ln e−2 y=lnc−ln 23+ ln e3 x

−2 y=ln 2c3

+3 x

y=−12ln2c3

−32x

3. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:

A.(2xy2 + yex)dx + (2x2y + ex -1)dy = 0

Verificamos si es exacta o no:

(2x y2+ y ex )M

dx+(2x2 y+ex−1 )

Ndy=0

dMdy

=4 xy+ex dNdx

=4 xy+ex

dMdy

=dNdx

=4 xy+ex Es una ecuación exacta

Encontremos la soluciónf ( x , y )=∫M (x , y )dx=∫(2 x y2¿¿+ y ex)dx¿¿

f ( x , y )=x2 y2+ y ex+g( y )

dfdy

=2x2 y+ex+g, ( y )=N ( x , y )=2 x2 y+ex−1

g' ( y )=2 x2 y+ex−1−2x2 y−ex

g' ( y )=−1

g ( y )=∫−1dy=− y+c

f ( x , y )=x2 y2+ y ex− y+c

B. Hallar el valor de b para que sea exacta la E.D:

(x y2+b x2 y )dx+( x+ y ) x2dy=0

(x y2+b x2 y )M

dx+( x+ y ) x2

Ndy=0

dMdy

=2xy+bx2 dNdx

=x2+ (x+ y )2 x=x2+2 x2+2xy

dNdx

=3 x2+2xy

Para que sea exacta se debe cumplir:

dMdy

=2xy+bx2=dNdx

=3x2+2 xy

b x2+2xy=3 x2+2 xy

b x2=3 x2+2xy−2xy

b x2=3 x2

b=3x2

x2

b=3

Para que la ecuación sea exacta b debe valer 3

Encontremos la solución de la ecuación

(x y2+3 x2 y )M

dx+( x+ y ) x2

Ndy=0

dMdy

=2xy+3 x2 dNdx

= x2+( x+ y )2x=x2+2 x2+2 xy=2 xy+3 x2

f ( x , y )=∫M (x , y )dx=∫(x y2¿¿+3 x2 y )dx= x2 y2

2+x3 y+g ( y)¿¿

f ( x , y )= x2 y2

2+x3 y+g ( y )

dfdy

=x2 y+x3+g' ( y )=N ( x , y )=(x+ y) x2

g' ( y )=( x+ y ) x2−x2 y−x3

g' ( y )=x3+ x2 y−x2 y−x3=0

g' ( y )=0

g ( y )=∫0dy=c por lotanto f (x , y )= x2 y2

2+x3 y+c