HKV TEXVictor Solano Mora

1Tema: Cálculo diferencial

Obtener la derivada por definición def(x) = x

√

2

Solución:

Dado que la deficinión de derivada equivale al límite lımh→0

f(x + h) − f(x)h

, entonces debemos calcular:

lımh→0

(x + h)√

2 − (x)√

2

h

Es evidente que al evaluar el límite directamente se obtendrá una indeterminación, razón por la cual, nose agrega dicha evaluación en esta solución. Dado que el exponente no es un número entero, debemosrecurrir al binomio de Newton

(x + h)r =∞

∑k=0(rk)xr−khk

Esta sumatoria infinita se puede expresar, al “sacar” el primer elemento de esta, como:

(x + h)r =∞

∑k=0(rk)xr−khk = xr +

∞

∑k=1(rk)xr−khk

Luego, al reemplazar en el límite y sustituir√

2 por h, se obtiene:

lımh→0

x√

2 +∞

∑k=1(√

2k)x√

2−khk − (x)√

2

h

Cancelando los términos r√

2 dado que su suma es 0, se obtiene:

lımh→0

∞

∑k=1(√

2k)x√

2−khk

h

Ahora solo se procede a extraer un factor h en el numerador para cancelarlo con el del denominador yeliminar la indeterminación:

lımh→0

h ⋅∞

∑k=1(√

2k)x√

2−khk−1

h

Con esto el límite se transforma en el siguiente:

lımh→0

∞

∑k=1(√

2k)x√

2−khk−1

HKV TEXVictor Solano Mora

2Si a la sumatoria se le “extrae” el primer elemento, se obtiene:

√2 ⋅ x

√

2−1 +∞

∑k=2(√

2k)x√

2−khk−1

Luego al sustituir en el límite se obtiene:

lımh→0

√2 ⋅ x

√

2−1 +∞

∑k=2(√

2k)x√

2−khk−1

Separando el límite de la suma como la suma de los límites:

lımh→0

√2 ⋅ x

√

2−1 + lımh→0

∞

∑k=2(√

2k)x√

2−khk−1

Si a la sumatoria se le factoriza una h, se obtiene:

lımh→0

√2 ⋅ x

√

2−1 + lımh→0

h ⋅∞

∑k=2(√

2k)x√

2−khk−2

Evaluando los límites:

√2 ⋅ x

√

2−1 + 0

Se obtiene el resultado:

lımh→0

(x + h)√

2 − (x)√

2

h=√

2 ⋅ x√

2−1

Notas aclaratorias:

A Se han utilizado propiedades de sumatorias, por ello se recomienda que estudies ese tema paracomprender mejor la demostración.

B Además de las sumatorias, la fórmula de combinatoria es esencial para comprender el porqueaparece un factor

√2 en la resolcuión.

C El binomio de Newton se asumió como verdadero aunque al tratarse de una demostración,debió probarse también.

D El límite puede probarse como un corolario de la propiedad de límites que enuncia:

lımh→0

(x + h)n − xn

h= n ⋅ xn−1