Ejercicio resuelto: Límite (sin L'Hopital)
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H K V T E X Victor Solano Mora 1 Tema: Cálculo Calcular el valor del límite l´ ım x→0 + x x - 1 ln(x)- 1 = L Solución: Evaluando el l ´ mite para determinar si existe indeterminación o no resulta en lo siguiente: l´ ım x→0 + x x - 1 ln(x)- 1 = 0 0 - 1 ln(0)- 1 = indeterminado - 1 indeterminado - 1 De lo anterior se concluye que se debe manipular el límite para encontrarlo. Aplicando logaritmo natural en ambos lados de la igualdad, se obtiene: ln l´ ım x→0 + x x - 1 ln(x)- 1 = ln(L) Dado que si x → 0 + entonces x > 0 y el logaritmo es continuo en todo su dominio, es decir, es continuo en x > 0, por lo tanto se puede reescribir el límite de esta forma: l´ ım x→0 + ln x x - 1 ln(x)- 1 = ln(L) Haciendo uso de las propiedades de los logaritmos, se obtiene: l´ ım x→0 + [ln(x x - 1)- ln(ln(x)- 1)] = ln(L)
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Ejercicio resuelto sobre límites sin L'Hopital, explicado paso a paso.
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HKV TEXVictor Solano Mora
1Tema: Cálculo
Calcular el valor del límitelımx→0+
xx − 1ln(x) − 1 = L
Solución:Evaluando el lmite para determinar si existe indeterminación o no resulta en lo siguiente:
lımx→0+
xx − 1ln(x) − 1 =
00 − 1ln(0) − 1 =
indeterminado − 1indeterminado − 1
De lo anterior se concluye que se debe manipular el límite para encontrarlo. Aplicando logaritmo naturalen ambos lados de la igualdad, se obtiene:
ln( lımx→0+
[xx − 1
ln(x) − 1]) = ln(L)
Dado que si x→ 0+ entonces x > 0 y el logaritmo es continuo en todo su dominio, es decir, es continuoen x > 0, por lo tanto se puede reescribir el límite de esta forma:
lımx→0+
[ln(xx − 1
ln(x) − 1)] = ln(L)
Haciendo uso de las propiedades de los logaritmos, se obtiene:
lımx→0+
[ln(xx − 1) − ln(ln(x) − 1)] = ln(L)
