Ejercicios 2
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Ejercicios ’Ecuaciones Diferenciales’ Enero - Junio 2015 Conceptos m ´ as relevantes vistos en clase SECCI ´ ON 1.3 ’CARACTERIZACI ´ ON’ En los siguientes ejercicios diga si las ecuaciones dadas son lineales o no lineales. Indique el orden y el grado de cada ecuaci´ on: Ejercicio No. 2 Lo eleg´ ı porque los primeros ejercicios siempre son los m´ as sencillos, y en primera instancia me conviene para despu´ es poder resolver los m´ as complicados. x (dx /dt )+t =1 Sustituyo dx /dy = x’ : x x’ + t =1 Es no lineal porque falta el t´ ermino x’ y x. Es de primer orden. Tiene grado 1. Ejercicio No. 6 Lo eleg´ ı porque llam´ o mi atenci´ on el radical, imagin´ e que ten´ ıa un grado de dificultad mayor. y’ = p 1+(y 00 ) 2 Despej´ e y orden´ e la ecuaci´ on diferencial: (y 0 ) 2 = 1+(y 00 ) 2 (y 00 ) 2 -(y 0 ) 2 + 1= 0 Es no lineal porque falta el t´ ermino que contiene a y. Es de segundo orden. Tiene grado 1. SECCI ´ ON 1.3 ’VERIFICACI ´ ON’ Por sustituci´ on, compruebe que las soluciones dadas corresponden a las ecuaciones diferenciales: Ejercicio No. 13 Lo eleg´ ı por su aparente grado de dificultad. y = c/cosx ⇔ y 0 - ytgx=0 y 0 = csenx/cos 2 x = c*tgx/cosx y 0 - ytgx=0 c*tgx/cosx- ytgx=0 c*tanx/cosx- c*tanx/cosx=0 0=0 Ejercicio No. 20 Lo eleg´ ı porque se me hizo sencillo e interesante. xy 2 = 1+ cy ⇔ y 3 dx +(xy 2 + 1)dy=0 Despejo la variable x: x= (cy+1)/y 2 x= c/y + 1/y 2 Derivo la funci´ n resultante con respecto a y: x 0 = -c/y 2 - 2/y 3 Sustituyo y 0 = -x/y - 1/y 3 obtenido de la ecuaci´ on diferencial dada, as´ ı como c = xy - 1/y despejado de la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial misma: (-x/y - 1)/y 3 = -c/y 2 - 2/y 3 (-x/y - 1)/y 3 = -(xy - 1/y)/y 2 -2/y 3 (-xy 2 - 1)/y 3 = (-y(xy - 1/y) - 2)/y 3 -xy 2 -1=-y(xy - 1/y)-2 -xy 2 -1=-xy 2 -1 Rodr´ ıguez Gonz´ alez Selma Jannine 26 de enero del 2015 1
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Ecuaciones Diferenciales
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Ejercicios ’Ecuaciones Diferenciales’ Enero - Junio 2015
Conceptos mas relevantes vistos en clase
SECCION 1.3 ’CARACTERIZACION’En los siguientes ejercicios diga si las ecuaciones dadas son lineales o no lineales. Indique el orden y el gradode cada ecuacion:
Ejercicio No. 2Lo elegı porque los primeros ejercicios siempre son los mas sencillos, y en primera instancia me convienepara despues poder resolver los mas complicados.
x (dx/dt)+t= 1Sustituyo dx/dy= x’ :x x’+ t= 1
Es no lineal porque falta el termino x’ y x.Es de primer orden.Tiene grado 1.
Ejercicio No. 6Lo elegı porque llamo mi atencion el radical, imagine que tenıa un grado de dificultad mayor.
y’=√
1 + (y′′)2
Despeje y ordene la ecuacion diferencial:(y′)2= 1+(y′′)2
(y′′)2- (y′)2 + 1= 0
Es no lineal porque falta el termino que contiene a y.Es de segundo orden.Tiene grado 1.
SECCION 1.3 ’VERIFICACION’Por sustitucion, compruebe que las soluciones dadas corresponden a las ecuaciones diferenciales:
Ejercicio No. 13Lo elegı por su aparente grado de dificultad.y= c/cosx ⇔ y′- ytgx= 0y′= csenx/cos2x= c*tgx/cosxy′- ytgx= 0c*tgx/cosx- ytgx= 0c*tanx/cosx- c*tanx/cosx= 00 = 0Ejercicio No. 20Lo elegı porque se me hizo sencillo e interesante.xy2= 1+ cy ⇔ y3dx + (xy2 + 1)dy= 0Despejo la variable x:x= (cy+1)/y2
x= c/y + 1/y2
Derivo la funcin resultante con respecto a y:x′= -c/y2 - 2/y3
Sustituyo y′ = −x/y − 1/y3 obtenido de la ecuacion diferencial dada, ası como c = xy − 1/ydespejado de la solucion de la ecuacion diferencial misma:(-x/y - 1)/y3 = -c/y2 - 2/y3
(-x/y - 1)/y3 = -(xy - 1/y)/y2 -2/y3
(-xy2 - 1)/y3 = (-y(xy - 1/y) - 2)/y3
-xy2 - 1 = -y(xy - 1/y) - 2-xy2 - 1 = -xy2 - 1
Rodrıguez Gonzalez Selma Jannine 26 de enero del 2015 1
