UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE HONDURAS PLANTILLA PARA DESARROLLO DE CONTENIDO

Ejemplo de distribución Muestral

Introducción

En una planta embotelladora de refrescos se llenan miles de latas

en cada turno de 8 horas. Un supervisor de calidad.se encarga de

corroborar la cantidad de líquido que contiene cada envase, la

media de llenado está indicada en la etiqueta del producto. Por la

rapidez del proceso, el volumen varía de una lata a otra,

provocando que algunas tengan excedente y otras faltantes. La información es

que la distribución del volumen sigue una distribución normal

Si el proceso no funciona adecuadamente, el volumen neto del contenido de las

latas podría diferir mucho de lo indicado en la etiqueta. Resulta difícil pesar cada

una de las latas y sería un proceso muy lento costoso e ineficaz.

De las miles de latas producidas en el turno se selecciona de manera aleatoria

una muestra sin reemplazos. La muestra actúa como una representación en

miniatura de la población, de tal manera que si la población tiene una distribución

normal, los valores de la muestra deben tener una distribución aproximadamente

normal, en otras palabras si la media de la población es de 368 ml. la media de la

muestra (media muestral) tiene buenas posibilidades de acercarse a 368 ml.

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Ejemplo 1

Queremos determinar la probabilidad de que al tomar la media muestral sea inferior

a 365 ml. Si 𝜇 = 368 𝜎𝑥 = 15 𝑛 = 25

Solución

𝜇 = 368 𝜎𝑥 = 15 𝑛 = 25 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 , �̅� = 365

𝑧 =�̅� − 𝜇

𝜎�̅�

Hallamos el error estándar de la media muestral 𝜎�̅� =𝜎𝑥

√𝑛

𝜎�̅� =15

√25= 3 Indica que la variación de las medias muestrales correspondientes

a la muestra n = 25 es mucho menor que la variación de las latas individuales

𝜎𝑥 = 15 𝜎�̅� = 3

Como la población tiene distribución normal la muestra se comportara así también

𝑁(𝜇,𝜎

√𝑛) 𝑁(368,3) Se asume 𝜇 = 𝜇𝑥

𝑧 =365−368

3= −1 En las tabla hallamos z = -1

( hallamos el área con 1 ya que son simétricas)

P(Z > a) = 0.5 - P(Z ≤ a)

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P(Z > 1) = 0.5 − P(Z ≤ 1) = 0.5 – 0.3413 = 0.1587

Respuesta

Lo que significa que el 15.87 % de todas las muestras de 25 latas tienen una

media muestral inferior a 365 ml

Ejemplo 2: ¿Cuál es la probabilidad que la media de una muestra de 25 latas se

encuentre entre 365 y 368 ml?

En este caso se habla de una muestra de 25 latas, por lo tanto se utiliza la

desviación estándar de la distribución muestral 15

√25 = 3 para obtener el valor de z

que se va a utilizar en las tablas para la distribución normal.

𝑧 =�̅� − 𝜇

𝜎�̅�

�̅� = 365 𝜇 = 368

𝑧 =36−368

3= −1

P (365 < �̅� < 368) = 0.3413

Por lo tanto se puede decir que la probabilidad de que la media de una muestra de

25 latas se encuentre entre 365 y 368 ml. es 0.3413.

También se puede decir que el 34.13 % de las latas tiene una media entre 365 y

368 ml.

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Ejemplo 3: Hallar el intervalo dentro del cual el 95% de las medias de la

distribución muestral debe estar si la media de la población es 368. Visualmente

se busca el área bajo la curva que contiene el 95% del área total. En otras

palabras se desea obtener un área igual al 47.5% de cada lado de la media y

determinar la z que corresponde a dicha área.

El área de 0.4750 bajo la curva corresponde en la tabla a z = 1.96. Por lo tanto

z = 1.96 y z = -1.96

para z = 1.96

1.96 =�̅� − 368

3

5.88 = �̅� − 368

�̅� = 373.88

Para el otro caso z = -1.96

−1.96 =�̅� − 368

3

−5.88 = �̅� − 368

�̅� = 362.12

Entonces es posible decir que el 95% de las medias de las muestras de 25 latas

deben estar entre 362.12 y 373.88 ml.

362.12 < �̅� < 373.88