Ejercicios Algebra lineal
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FACULTAD DE INGENIERÍA – UNA – ALGEBRA LINEAL
FIUNA00P1b000911:1. Si H es el conjunto solución de la ecuación lineal c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 +...+ cn xn = b con el
vector incógnita x = (x1, x2, x3,...,xn) y vector de coeficientes u = (c1, c2, c3,..., cn) 0 enRn, Demostrar que el segmento dirigido PQ, P, Q H es ortogonal al vector decoeficientes u.
2. Para el sistema lineal:k x + y + z = 1x + k y + z = 1x + y + k z = 1
i) Determinar el valor de k para que el sistema tenga solución única.ii) Discutir las otras posibilidades de solución.
3. Si V = {w / w = (x, y), x, y R}, con las siguientes operaciones:u + v = (a c , b d) u, v V
k u = (ak , bk)i) donde u = (a , b) V ; v = (c , d) V y k R.ii) Verificar si V es o no un espacio vectorial.FIUNA00P2b001123:4. Sea V el espacio vectorial de los polinomios sobre R, de grado menor o igual a 2, con
producto interno definido por f , g = 1
0
dt)t(g).t(f . Encontrar una base del subespacio
W ortogonal a h(t) = 2t + 1.5. Diagonalizar la matriz A mediante una matriz ortogonal P
011101110
A
6. En R3 se define la aplicación lineal:T:R3R3 ; T (a, b, c) = (a – b + c, 2a + b – c, – a – 2b + 2c).
Hallar una base y la dimensión para ImT y KerT.FIUNA00F1b001218:7. Hallar las relaciones entre a , b y c para que los vectores:
(1, a, a2) ; (1, b, b2) ; (1, c, c2)constituyan una base en R3.
8. Demostrar la relación: Ιu, v Ι2 u, u v, v ( relación de Cauchy-Schwarz )9. Sea P la matriz de cambio de base desde una base S1 hasta otra S2 y A la
representación matricial de un producto interno relativa a la base S1. Establecer laexpresión de la representación matricial de dicho producto interno relativa a la base S2.
10. Una matriz real simétrica A, de orden tres, admite como valores propios a: 5, conmultiplicidad geométrica uno, y 2, con multiplicidad geométrica dos. Si (1, 1, 1) es unvector propio asociado al valor propio 5, hallar la inversa de A.
FIUNA00F2b001226:11. Establecer las relaciones entre a , b y c para las distintas posibilidades de solución del
siguiente sistema:x – 2y + z = a
–x + y + 3z = b–2x + y + 10z = c
12. Dados el conjunto de vectores S = {(1, 0, 3); (2, 1, 4)} R3, hallar una base de R3 quecontenga S.
13. Si la matriz A es una matriz cuadrada similar a otra matriz B, demostrar que Ak essimilar a Bk.
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14. Dada la aplicación lineal A:R4R3, representada por:
Encontrar una base y la dimensión para núcleo y la imagen y de A.FIUNA01P1a010321:15. Si la matriz ampliada de un sistema lineal de ecuaciones es:
1a4a23a2a4a201a1a8aa2a2
)B,A(
2
Determinar para que valores de a el sistema admite solución.i) Si se considera el sistema homogéneo asociado, determinar para que valores de a el
sistema admite soluciones distintas de la trivial.16. Hallar la dimensión y una base para la solución general W del sistema de ecuaciones.
2x – 4y + 3z – s + 2t = 03 x – 6y + 5z – 2s + 4t = 05x – 10y + 7z – 3s + t = 0
17. Establecer la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, -5, 7) y es perpendicular alplano 2x – 3y + 7z = 4.
FIUNA01P2a010505:18. Sea V = { x | x R } y K = R. Si se definen las siguientes operaciones, x, y V y k
K:Suma de x e y, como : xy;Producto por escalar, como: xk
Imponer condiciones sobre R para que V sea un espacio vectorial.19. Sea U el subespacio de R5 generado por:
(1, –1, –1, –2, 0) ; (1, –2, –2, 0, –3) ; (1, –1, –2, –2, 1) ; y ;W el generado por (1, –2, –3, 0, –2) ; (1, –1, –3, 2, –4) ; (1, –1, –2, 2, –5) ;
Determinar:a) dos sistemas homogéneos cuyos espacios soluciones sean U y W,
respectivamente.b) una base y la dimensión de U W.
20. Sea el espacio de las matrices cuadradas de orden dos con el siguiente producto interno:a) A , B = tr ( BT A )b) Determinar una base ortonormal del complemento ortogonal de S,
siendo S =
2231
4230;
FIUNA01F1a010619:21. Determinar, verificando que se cumplen todos los axiomas que corresponden, si el
conjunto de funciones continuas f:X R, con X = [0,1], las operaciones de suma defunciones y producto por escalares definidas como: (f + g)(x) = f(x) + g(x) y (f)(x) =f(x), xX R, constituye un espacio vectorial sobre R.
22. Si M es la representación matricial de un producto interno, respecto a la base usual, enR3:
321221111
M
a) Hallar el coseno del ángulo que forman los vectores ( 1, 0, 0 ) y ( 0, 1, 0 ).b) Si U R3, U = ( x, y, z ) / x, y, z R, x = y = – z , hallar;
350211321201
A
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i) Una base para U.ii) La proyección ortogonal de ( 1, –2, 0 ) sobre U.
23. Si f es un operador lineal en R3 con vectores propios ( 1, 1, 0 ), ( 0, 1, 2 ) y ( 1, 2, 1 )pertenecientes a los valores propios 1, 2 y –1, respectivamente. Obtener larepresentación matricial de f relativa a la base S = ( 1, 1, 1 ) , ( 1, 1, 0 ) , ( 1, 0, 0 ) .
FIUNA01F2a010703:24. Hacer, para los distintos valores de a, b R, un estudio de la compatibilidad y del
número de soluciones del siguiente sistemaa x + b y + z = 1
x + ab y + z = bx + b y + az = 1
25. Diagonalizar la matriz A mediante una matriz ortogonal P, siendo:
011101110
A
26. Supóngase que R es un vector fila y que A y B son matrices tales que RA y RBestán definidos. Demostrar:a) El espacio columna de AB está contenido en el de Ab) Rango AB rango B y rango AB rango A.
FIUNA01P1b010903:27. Si H es el conjunto solución de la ecuación lineal c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 +...+ cn xn = b con el
vector incógnita x = (x1, x2, x3,...,xn) y vector de coeficientes u = (c1, c2, c3,..., cn) 0 enRn, demostrar que el segmento dirigido PQ, P, Q H y P Q, es ortogonal al vectorde coeficientes u.
28. Sabiendo que 0 , 0 , 0 , obtener los valores de , y en elsiguiente sistema de ecuaciones:
2 sen - cos + 3 tg = 34 sen + 2 cos - 2 tg = 26 sen - 3 cos + tg = 9
29. Siendo a, b, c R y
c0ba
B , hallar una expresión para Bn.
FIUNA01P2b011009:
30. La matriz
100110421
A es equivalente por filas a la matriz
372511421
B , es
decir, existe una matriz no singular P tal que A = PB. Hallar P.31. Sean U = {(x, y, z, t) / y – 2z + t = 0) y W = {(x, y, z, t) / x = t, y = 2z}. Hallar una base y
la dimensión de:a) U;b) W;c) UW.
32. Si V = {w / w = (x, y)} R2 y para u = (a, b) V; v = (c, d) V; kR; se definen:a) u + v = (a + c, b + d + 2ac);b) ku = (ka, k2b)
Determinar la condición que deben cumplir las componentes x e y de w para que V,con las operaciones definidas en i) y ii), constituya un espacio vectorial sobre R.
FIUNA01F1b011210:33. Determinar los valores de a para que el siguiente sistema de ecuaciones lineales admita:
a) solución única; b) infinitas soluciones.ax ay + z = 2a + 1ax + ay + t = 2a + 1
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y az + at = a + 1x + az at = a 1
34. Obtener una matriz triangular superior 33, sabiendo que 1 es un valor propio demultiplicidad algebraica tres y multiplicidad geométrica dos.
35. Siendo F(x, y, z, t) = (x +2y + z + 2t, –x + y + 2z – 2t, x – z + 2t) una aplicación lineal,construir bases para KerF e ImF.
FIUNA01F2b011219:36. D es la forma diagonal de la matriz A, obtenida mediante una transformación por
congruencia utilizando la matriz no singular P y siendo:
ADeterminar
469000070000100001
700091001331026111
DP
37. La matriz A R44 es triangular por bloques y dos de sus valores propios son 1 = 2 = 5.Si trA = 23 y detA = 1050, determinar 3 y 4
38. El operador lineal T:R3R3 está definido por:T(x, y, z) = (x – y + z, x – y + 2z, 2x – y + 3z):
a) Probar que T es invertible.b) Establecer fórmulas para
i) T-1;ii) T2;iii) T-2.
FIUNA02P1a020321:39. En el sistema lineal:
a x + y + z = 1x + a y + z = 1x + y + a z = 1x + y + z = a
Determinar los valores de a para las distintas posibilidades de solución del sistema.40. Si A y B son matrices cuadradas tales que A y ( AB – BA ) conmutan para el producto
de matrices, demostrar que:An B – B An = n An – 1 ( AB – BA ), donde n es un número natural.
41. Determinar las restricciones, si existen, sobre el conjunto de los números reales R paraque el conjunto V = x x R , constituya un espacio vectorial, con las operacionessuma y producto por escalares definidas como:
x y = xy , x, y Vk x = xk , x V k R
FIUNA02P2a020513:42. Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto P (1, –1, 1) y que es perpendicular
a la recta 3x = 2y = z y paralela al plano x + y – z = 0.43. Demostrar que:
a) Si dos matrices simétricas invertibles A y B conmutan, entonces AB-1 también essimétrica;
b) Si para una matriz A se cumple que A2 + 2A = I entonces A es invertible.44. Encontrar todos los subespacios de R3.FIUNA02F1a020625:45. Para el conjunto de pares ordenados S = ( x , y ) de números reales, se definen las
siguientes operaciones, siendo K = R:( a , b ) + ( c , d ) = ( a + b , c + d ) ( a , b ) , ( c , d ) S
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( a , b ) = ( a , 0 ) ( a , b ) S KVerificar si se cumplen los axiomas de espacios vectoriales para el conjunto S, con lasoperaciones así definidas.
46. De ser posible, diagonalizar ortogonalmente, la matriz:
44441084810
A
47. Dada la transformación lineal f: R22 R3 definida por:
f
dcba
= ( a + b – c , a + b + d , b + c + d )
a) obtener la matriz de f respecto de las bases22Ren
1110
,1000
,0101
,1111
( 0 , 2 , 1 ) , ( 2 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 1 ) en R3
b) utilizando la matriz hallada, obtener la imagen de
2231
FIUNA02F2a020716:48. En R3 se considera una base B = w1 , w2 , w3 y un producto interno < u , v > con
norma asociada u tal que: w1= w3= 3 ; w2= 2; ángulo entre (w1, w2) =
ángulo entre (w2, w3) = 3 ; entre (w1, w3) = 2
.
a) Hallar la representación matricial de dicho producto interno respecto a la base B.b) Hallar la representación matricial de dicho producto interno respecto a la base B’
= w1 – w3 , w2 + w3 , – w2 + w3 .
49. Dada la matriz
abbbabbba
A , hallar: a) P tal que D = P-1AP, sea diagonal, y, b) An.
50. Sea T:C C, definido por T( a + bi ) = a – bi, donde a, b, R (es decir es la aplicaciónconjugación en el cuerpo complejo C). Verificar si T es una aplicación lineal si:a) C es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los complejos.b) C es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales.
FIUNA02P1b020914:51. Determinar las relaciones entre a y b para los cuales el sistema lineal:
3ax + 2z = 25x + 2y = bx – 2y + 2bz = 3a
a) es compatible; y b) es incompatible.
52. Para que valores de la matriz dada A no es invertible.
73232111
A
53. Sea V = (x , y) / x, y R , con las operaciones suma y producto por escalares ;definidas como:
babak
dbcadcba
,,2
,2
,,
Verificar cuales de los axiomas de los espacios vectoriales se verifican y cuales no.FIUNA02P2b021109:
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54. Sean P la matriz de cambio de base desde una base S1 hasta otra S2, y A larepresentación matricial de un producto interno relativa a la base S1. Hallar larepresentación matricial de dicho producto interno relativa a la base S2.
29171710
A;141241
P
55. Sea V el espacio vectorial de las matrices 2 2 sobre R, con producto interno A , B =tr(BT A). Hallar una base para el complemento ortogonal de las matrices simétricas de V.
56. Sea V el espacio vectorial R3 con el producto interno usual y U = lin (1, 1, –1) ; (1, –1,–1) . Escribir el vector v = ( 1, 1, 1 ) de modo que v = u + w; con u U y w ortogonala U.
FIUNA02F1b021220:57. Utilizando exclusivamente el teorema de Cayley – Hamilton y las propiedades de la
multiplicación de matrices, hallar la inversa de la matriz A.
2123
A
58. Sean una matriz A con n vectores linealmente independientes y una matriz P cuyascolumnas son los vectores propios de A. Demostrar que la matriz D = P-1 A P es unamatriz diagonal, con los valores propios de A en la diagonal.
59. Si V y U son espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K, B = v1, v2, v3 y C = u1,u2 son bases en V y U, respectivamente. Si T: V U es una aplicación lineal tal que:
T(v1) = a1 u1 + a2 u2
T(v2) = b1 u1 + b2 u2 yT(v3) = c1 u1 + c2 u2
Demostrar que v V se verifica: A vB = T(v)C.FIUNA02F2b030113:60. Encontrar un sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuyo conjunto solución W esté
generado por S = {(1, 1, 2), (1, 2, 3)}.
61. Siendo A Rnxn, verificar que: A2 = A si y sólo si (2A – I)2 = I.
62. Dado
011101110
A . Determinar P ortogonal, tal que PtAP = D, (D matriz
diagonal).
FIUNA03P1a030421:63. La matriz siguiente es la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales con R.
Establecer los valores de para que el sistema: a) Admita solución única; b) Noadmita solución alguna y c) Admita infinita soluciones.
311131113111
3
2
64. Determinar si el conjunto de vectores de Rn cuyas coordenadas son siempre términos deuna progresión aritmética, es un subespacio de Rn.
65. Demostrar que S = ( 1 + x , –1 + 2x – x3 , x – x2 + 3x3 , x2 – 2x3 ) es una base de P3.Siendo P3 el conjunto de polinomios con coeficientes reales, de variable real y gradomenor o igual a tres.
FIUNA03P1a030514:
222
111
cbacba
A
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1q1p0q0p1q1pq,p
1q1p0q0p1q1pq,p
66. Determinar si = –2 es un valor propio de la matriz
266157113
A . En caso
afirmativo determinar su multiplicad algebraica y multiplicidad geométrica.
67. Construir bases de Ker F y de Im F para la aplicación lineal F:R4R3 definida como:F(x, y, z, t) = (x + 2y + z + 2t, –x + y + 2z – 2t, x – z + 2t) .
68. Dada la transformación lineal T:R3R3 definida por: T(x, y, z) = (x + y + z, y + z, z),verifica si es singular y si no lo es determinar su inversa.
FIUNA03P2a030619:
69. Si
400590581
B . Determinar A con entradas diagonales positivas tal que A2 = B.
70. Si P2 es el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual a dos,
sobre el cuerpo de los reales y un producto
interno, siendo p y q vectores cualesquiera de P2, construir una base ortonormal de
P2 a partir de la base usual.
71. Determinar la representación matricial del operador lineal F:R2 R2, relativa a la base
usual en R2, sabiendo que (1, 2) y (3, 1) son dos vectores propios linealmente
independientes de F y que F(5, –5) = (2, –1).
FIUNA03F1a030619:
72. Si
400590581
B . Determinar A con entradas diagonales positivas tal que A2 = B.
73. Si P2 es el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual a dos, sobre el
cuerpo de los reales y un producto interno, siendo
p y q vectores cualesquiera de P2, construir una base ortonormal de P2 a partir de la base
usual.
74. Determinar la representación matricial del operador lineal F:R2 R2, relativa a la base usual en
R2, sabiendo que (1, 2) y (3, 1) son dos vectores propios linealmente independientes de F y
que F(5, –5) = (2, –1).
FIUNA03F2a030718:
75. Expresar .
783310021
A como producto de matrices elementales.
76. Demostrar que una matriz de la forma
cbba
con b 0 tiene:
a) Dos valores propios reales y distintos.b) Dos vectores propios linealmente independientes.
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77. Si T : R4 R23 , está definido como
tz3yxt2z3tzy2xt3z2xtzxtyx
)t,z,y,x(T :
a) Determinar una base para KerT
b) Calcular
2556131-T
FIUNA03P1b030919:78. Determinar x, y y z, sabiendo que las matrices A y B son equivalentes por filas.
5,01000201005,10011
Bz2006613y144461x2
A
79. En el espacio vectorial P3:RR, de los polinomios de grado menor o igual a tres, seconsideran los subespacios: U = lin{1+x3, 1+x+x2, 2x–x2, 2+3x2 }, V = lin{1+3x2–x3,1+4x+x2–x3, 2x–x2 }. Se pide: a) Demostrar que V U; y, b) Hallar un subespacio Wde P3 tal que V W = U.
80. Verificar si nn
1i
1n21 R}0w)w,,w,(w{w/wW
, es un subespacio.
FIUNA03P2b031114:81. W = { (x, y, z) / 2x + y = 0 –5x + z = 0 } es un subespacio de R3. Determinar una base
ortonornal de W.82. Determinar k, los valores y vectores propios de la matriz
sabiendo que 5 es un valor propio.
83. Determinar una base para KerF, si F:R22 P3, está dada por:
32 t)d5c8b6a2(t)d4c6b5a2(t)d2c3b2a()dcba(dcba
F
FIUNA03F1b031230:84. Determinar un sistema homogéneo cuyo conjunto solución es:
W = lin{ (1, –2, 0, 3, –1), (2, –3, 2, 5, –3), (1, –2, 1, 2, –2) }
85. Si los valores propios de la matriz
2c1b5211a
A son 1 = 2 = 3 y 3 = 5.
Determinar a, b, c y verificar si A es diagonalizable bajo similaridad.
86. Si F:R4 R2 y G:R4 R2 están definidas por: F(x1, x2, x3, x4) = (x1 + x2 + x3, x4) yG(x1, x2, x3, x4) = (x1 – x3, x4 – x2). Determinar la representación matricial de F + G conrespecto a las bases canónicas.
FIUNA03F2b040202:87. a) Si v es un vector columna unitario de n componentes reales, I la matriz identidad de
orden n, demostrar que H = I – 2vvt es ortogonal.b) Encontrar un conjunto generador del subespacio de R3:
cabac3b2azyx ,,,,
88. Determinar en la matriz A, las condiciones que deben verificar los números reales a y b
para que la matriz A, bajo similaridad:
2112k2114
A
2ba-0ba-2a12b2a0b-2a
A
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a) Sea diagonalizable y obtener la matriz P;b) No sea diagonalizable.
89. Si F:R3R2 es una transformación lineal que verifica: F(0, 0, 3) = (1, 2) ; F(0, 2, 0) = (2,1) y F(1, 1, 0) = (0, 0);a) Determinar la expresión de F para cualquier elemento de R3 ,y;b) Obtener una base para KerF.
FIUNA04P1a040403:90. Determinar para que valores de k, el siguiente sistema tiene soluciones distintas de la
trivial.
0zyx1k0z1kyx0zy1kx
91. Determinar k sabiendo que la distancia de u a v es d(u, v) = 6, siendo u = (2, k, 1, –4)y v = (3, –1, 6, –3).
92. Determinar una matriz no singular P, tal que B = PtAP sea diagonal.
11913965215213211
A
FIUNA04P2a040603:93. Si U = lin{ (1, –1, –1, –2, 0), (1, –2, –2, 0, 3), (1, –1, –2, –2, 1) } y W = lin{ (1, –2, –3, 0,
0), (1, –2, –2, 0, 3), (1, –1, –2, –2, 1) } encontrar una base y la dimensión de” UW.94. En el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual a dos, se tienen
las bases S = { 2x2 + x, x2 + 3, x} y T = { x2 +1, x – 2, x + 3}. Determinar la matriz detransición de la base S hasta la base T.
95. En R2 para los vectores x = (x1, x2) e y = (y1, y2) se define f(x, y) = 3x1y1 + 2x2y2,verificar si f es un producto interno en R2.
FIUNA04F1a040629:96. Si W es un subespacio del espacio vectorial V de las matrices reales 22 con producto interno
<A, B> = tr(BtA), construir una base ortogonal de W a partir de la siguiente base dada S:
1223
0114
2111
S ,,
97. Si u = (z1, z2) y v = (w1, w2) son vectores pertenecientes a C2. ¿Para qué valores deCdcba ,,, la expresión que sigue es un producto interno en C2?.
22122111 wdzwczwbzwazvuf ,
98. Si F:R3R3 es una transformación lineal definida por F(x, y, z) = (2x + 2y, x + 3y + z, x + 2y +3z) Determinar los valores y vectores propios de F:
FIUNA04F2a040719:
99. Considerando el espacio vectorial R4 con el producto interior usual. Determinar dos vectoresunitarios ortogonales a u = (2, 1, –4, 0) ; v = (–1, –1, 2, 2) y w = (3, 2, 5, 4):
100. Dada la matriz A, determinar sus valores propios y las bases de los espacios propioscorrespondientes. Explicar si A es o no diagonalizable bajo similaridad:
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312i132i2i2i8
A
101. Si F:R3R3 es una transformación lineal para la cual F(1, 0, 0) = (1, 0, 0) , F(0, 1, 0) = (0, 1, 0), F(0, 0, 1) = (1, 1, 1). Determinar una expresión para F y si es no singular hallar F-1:
FIUNA04P1b040922:102. Estudiar para que valores de k el siguiente sistema es compatible.
34
23
2
k3kz1kyx
k3kzy1kx
k3kzyx1k
103. Determinar una matriz no singular P, tal que D = PtAP sea diagonal, siendo:
11913965215213211
A
104. Verificar si las matrices dadas tienen o no el mismo espacio columna:
806701031106180605
B
1217233611451022
A ;
FIUNA04P2b041112:105. Hallar una base para el complemento ortogonal de la matrices reales simétricas 22.
106. A es una matriz real simétrica 22 con valores propios 2 y 3. Si (1, 2) es el vectorpropio perteneciente al valor propio 2, determinar A y un vector propio perteneciente a 3.
107. Hallar la matriz de representación respecto a la base {(1, 1, 0), (1, 2, 3), (1, 3, 5)}, deloperador lineal T(x, y, z) = (z, y + z, x + y + z),.
FIUNA04F1b041207:108. Si W es el conjunto solución del sistema:
08302303
kzyxzyxzyx
Determinar la dimensión de W según sea el valor de k
109. Hallar y sabiendo que 1 = 3 y 2 = 5 son valores propios de A. Determinar además si Aes diagonalizable bajo similaridad y si lo es, obtener las matrices D y P tal que D = P-1AP.
2112514
A
110. Si T:R2×2R2×2 se define como T(A) = MA – AM, con
2312
M . Determinar Ker T , Im
T y sus respectivas dimensiones.
FIUNA05P1050319:111. Que relación debe cumplir los números reales a, b y c para que el sistema: a) tenga
solución, b) no tenga solución.
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNA – ALGEBRA LINEAL
cy5b
zzy2xaz2yx
112. Determinar los valores de y para que el rango de la matriz A sea lo más pequeñoposible.
33233033213433211241231
A
113. Sea U el subconjunto de vectores v Rn tales que v = (x, 2x, …, nx), donde x esarbitrario. Verificar si U es un subespacio de Rn:
FIUNA05P2050521:114. En R4 sobre R se tienen los subespacios
)1,0,1,2(,)1,2,1,1(1 linW ; )3,4,1,0(,)1,2,2,3(2 linWDeterminar una base y la dimensión de: a) 21 WW ; b) 21 WW
115. Si se considera la función RRR 33:, definida por:
3
2
12
2
321
yyy
12a404a121a
01abxxxv,u
Donde 321 xxxu , 321 yyyv y Rba , . Estudiar los valores de de a y b talesque dicha función sea un producto interno.
116. Si
3241
A , dar la expresión que permita calcular nA para cualquier n entero
positivo.FIUNA05F1050627:
117. En R3, con el producto interno usual, se tiene: 2,5,1,0,1,1,1,2,1linW Extender una base de W a una base de
R3, y a partir de ella obtener una base ortonormal de R3.
118. Dada la matriz
011101110
A . Determinar P, ortogonal, tal que PtAP =
D, siendo D una matriz diagonal.119. Si F:R3 R2 es una transformación lineal, cuya representación matricial
respecto a las bases S = { (1, 0, –1) , (0, 2, 0) , (1, 2, 3) } y T = { (1, –1) ,
(2, 0) } es
013312
A , hallar la representación de F respecto a las
bases canónicas.FIUNA05F2050711:
120. Encontrar una base ortonormal de W, subespacio de R22, con el productointerno <A, B> = tr(BTA), siendo
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNA – ALGEBRA LINEAL
1571
,7542
,5111
,2451
linW .
121. Dada la forma cuadrática: f(x, y, z) = 3x2 + 2xy + 3y2 +2xz + 2yz + 3z2.Hallar:a) La matriz simétrica A que representa f.b) Un cambio de coordenadas ortogonal que diagonaliza f.
122. Si F:R3 R2 está definida por F(v) = Av con
741352
A encontrar la
representación matricial de F relativa a las bases S de R3 y T de R2,siendo:
52
,31
T;001
,011
,111
S
FIUNA05F3051206:
123. Determinar una base ortonormal de R3, si parte de ella debe estar contenidaen el subespacio W = { (x, y, z) : x + y – z = 0 }.
124. Resolver el sistema Anx = b, para n impar, determinando previamente los
valores y vectores propios de A, si:
100000011
A y
301
b .
125. Dado el operador lineal: T : R3R3, definido como:T(x, y, z) = ( x + 2y + 3z; x + 3y + 3z; –2y + z )
Determinar si es invertible, y si lo es, encontrar T–1.FIUNA06P1060329:
126. Si a y b son números reales. a) Para que valores de a y b el sistema: i) escompatible, ii) es incompatible, b) Resolver el sistema para 0ba .
bab1a2ba7a
yxtyxtzyx
zy2x
127. Determinar los valores de k para los que la forma cuadrática f(x, y, z) = x2 +2xy + 2y2 + 2xz + 6yz + kz2 es definida positiva.
128. Determinar si U = { (x, y, z) : x 0 }, V = { (x, y, z) : x + y = z } y W = { (x, y,z) : x, y, z Q }. son subespacios de R3.
FIUNA06P2060519G1:
129. Hallar una base ortogonal del complemento ortogonal delsubespacio de R5 generado por S = {(1, 2, –1, 1, 0), (1, 3, 0, –1, 1),(0, 1, 1, –2, 1)}.
130. Determinar la matriz real A, sabiendo que 5 es uno de sus
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNA – ALGEBRA LINEAL
valores propios y S = { (1, –1, 0)t, (1, 0, 1)t } es una base delespacio propio perteneciente al valor propio 3.
131. Las aplicaciones F:R3R2, G:R3R2 y H:R2R2, se definencomo F(x, y, z) = (y, x + z), G(x, y, z) = (2z, x – y) y H(x, y) = (y,2x). Hallar la expresión que defina H(F + G).
FIUNA06P2060519G2:
132. Hallar una base ortogonal del complemento ortogonal delsubespacio de R5 generado por S = {(2, 1, 1, –1, 0), (3, 1, 0, 1, –1),(0, 1, –1, 2, 1)}.
133. Determinar la matriz real A, sabiendo que 16 es uno de susvalores propios y S = { (0, 1, 2)t, (–5, –8, 4)t } es una base delespacio propio perteneciente al valor propio –5
134. Las aplicaciones F:R3R2, G:R3R2 y H:R2R2, se definencomo F(x, y, z) = (x, y + z), G(x, y, z) = (2y, z – y) y H(x, y) = (2y,x). Hallar la expresión que defina HF + HG.
FIUNA06F1060609G2:
135. Escribir, si es posible,
213654642
A como un producto de matrices elementales.
136. Determinar la matriz P que diagonalice ortogonalmente
122212221
A .
137. Determinar F:R3R3 sabiendo que ImF = lin{ (3, -1, 2), (0, 1 -1) }.FIUNA06F2060626:
138. Si la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales es:
iii
iBA
201120
220),( 2
Determinar para que valores de C el sistema es:a) Compatible (determinado o indeterminado), b) Incompatible.
139. Determinar una expresión de An, n N, para la matriz
011101110
A .
140. Si
3138325311321
A es la representación matricial de la transformación
lineal F:R4R3, respecto a las bases canónicas en R4 y R3. Hallar unabase y la dimensión de Im F y dim (Ker F).
FIUNA06F3061219:
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNA – ALGEBRA LINEAL
141. Dado el sistema:
0122
12
zyxzyx
zyx
, determinar para que valores de
es: a) Incompatible, b) Compatible y admite solución única; c) Compatible yadmite infinitas soluciones.
142. Sin invertir la matriz A determinar los valores propios de A-1 y una base delespacio propio asociado al valor propio de menor valor absoluto de A-1.
3117113113130008
81A
143. Sea F : R3 R2, con F(x, y, z) = (2x + y – z, 3x – 2y + 4z) Determinar larepresentación matricial de F, relativa a las bases. { (1, 1, 1), (1, 1, 0); (1, 0,0) } y { (1, 3), (1, 4) }
FIUNA07P1070331:
144. Resolver el siguiente sistema lineal, para los valores de que lo hacecompatible:
0122
12
zλyxλλzyλx
λzyλxλ
145. Hallar una matriz ortogonal P cuyas dos primeras filas son múltiplos de (1,3, 2) y (2, 0, –1).
146. Determinar un sistema homogéneo cuyo conjunto solución W esté generadopor { ( –1, 0, 1, 2 ), ( 3, 5, –2, 5 ), ( 1, 4, 0, 9 ) }.
FIUNA07P2070521:
147. Encontrar una base ortonormal de R3 si parte de ella debe estar contenida enel subespacio W = {(x, y, z) : x + y – z = 0 }:
148. Para la matriz A dada, utilizando la matriz diagonal D, similar a A, y la matrizP que lo diagonaliza, obtener una expresión para An.
011101110
A
149. Sea F:R3R2, tal que F(2, 0, 1) = (–1, 2), F(1, 1, 1) = (0, 0), F(5, 0, 2) = (2, 1).Determinar una expresión para F(x, y, z).
FIUNA07R1070928:
150. Determinar para que valores reales de el sistema:
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNA – ALGEBRA LINEAL
6λz7y5x1λ
2zyx3z3y2x2
1λz3y2x2λ
2
2
a) tiene solución única; b) tiene infinitas soluciones; c) no tiene soluciónalguna:
151. Determinar para que valores de k, la forma cuadrática siguiente es definidapositiva ( , , ) = + + 2 + 4 +
152. Determinar una base del subespacio V de R5, siendo V = U + W, donde:= {( , , , , ):− + + = 0, 4 − 2 + = 0,−6 + + = 0}= {( , , , , ):−9 + 3 + = 0, 4 − 2 + = 0,2 − + = 0}FIUNA07R2071027:
153. Determinar una base ortonormal de W = {(x, y, z, t): x – y + t = 0; 2x – z + t =0}
154. Determinar k sabiendo que = 1 es un valor propio de A. Para el valorobtenido de k verificar si A es diagonalizable bajo similaridad y si lo esdeterminar la matriz que lo diagonaliza.
411-1-21k21
A
155. Sea ( , , , ) = + + − + + 2 + 3+ 2 + + 3 + 2 + − 3 − . Determinar
una base de ImF y una de KerF.FIUNA08P1080308A:
156. Establecer para que valores de k el siguiente sistema admite a) soluciónúnica; b) infinitas soluciones; c) ninguna solución y obtener la solucióncuando es posible. + 2 + = 14 + 8 + ( − 5 − 2) = − 23 + + 3 = 12
157. Obtener la matriz de: ( + ) = + , donde:= 5 1 22 1 03 1 1 ; = 4 1 03 1 −54 5 6158. Verificar si el siguiente conjunto de vectores es un subespacio de R2x2= ∶ = = +FIUNA08P1080308B:159. Establecer para que valores de k el siguiente sistema admite a) solución
única; b) infinitas soluciones; c) ninguna solución y obtener la solución
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNA – ALGEBRA LINEAL
cuando es posible. − 2 + 3 = 12 + + 6 = 6− + 3 + ( − 3) = 0160. Obtener la matriz ∈ × de: = ( + ) , donde: .= 2 1 10 1 00 1 0 ; = 1 0 02 0 13 1 −1161. Verificar si el siguiente conjunto de vectores es un subespacio de R2x2.= 00 : , ∈FIUNA08P2081027F1:
162. Si es el espacio vectorial de las matrices reales 2 × 3 sobre el cuerpo de los
reales. Determinar si = 0 0 ∶ = + es un subespacio de .
163. Dado el subespacio = {( , , ) ∶ − 2 + 5 = 0} de , determinar .
164. Dada la matriz = 1 −1 20 4 11 3 0 obtener utilizando su matriz adjunta.
FIUNA08P2081027F2:165. Si es el espacio vectorial de las matrices reales 2 × 3 sobre el cuerpo de los
reales. Determinar si = ∶ + 2 = 0 2 + = es un
subespacio de .166. Dado el subespacio = {( , , ) ∶ + − = 0} de , determinar .
167. Dada la matriz = 2 −1 11 4 00 3 1 obtener utilizando su matriz adjunta.
FIUNA08F1080621:168. Determinar la condición entre , para que el conjunto sea
linealmente dependiente, siendo = 1 2−1 3 , 0 12 4 , 4 −20 −4 , :.
169. Determinar , , , , , sabiendo que y son positivos y que la matrizes ortogonal.
=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛1 2 1 61 2 1 61 2 1 2 01 2 −5 6 0 −1 4⎠⎟
⎟⎟⎟⎟⎞
170. Hallar los valores propios, vectores propios y una base para cada espaciopropio del operador ( , , ) = ( 2 + 2 + 3 , + 2 + , 2 − 2 + )siendo , , reales.
Nº1.2.3.
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNA – ALGEBRA LINEAL
FIUNA08F2080704:
171. Determinar una base y la dimensión del subespacio de siendo= {(1, 2, −2), (5, 4, −4), (0, 1, −1)}, luego, si corresponde, extender dichabase a una base de .
172. Determinar una base ortonormal del subespacio de siendo ={( , , , ) ∶ − + − = 0}.173. Verificar si el operador ( , , ) = (2 + 2 , + 3 + , + 2 + 3 ) se
diagonalizable.Si lo es, encontrar una matriz de cambio de base quetransforma la matriz de a la nueva base.
FIUNA08F3081202:
174. Dado el sistema2 + ( + 2) + = + 8( + 1) + ( + 1) = 2 + 4− + (2 + 3) + (2 + 4) = + 1 estudiar para que
valores de admite solución ) ú ; ) ; ) .
175. Diagonalizar bajo congruencia la matriz = 8 √2 √2√2 3 1√2 1 3 y estudiar su
diagonalización bajo similaridad.176. Dado el operador lineal : × → × definido como ( ) = − , con= −2 1−3 2 determinar una base y la dimensión de .
FIUNA08R1081023:177. Determinar para que valores reales de reales el sistema:2 + + = 7+ + + =+ 2 + = −1+ =
a) tiene solución única; b) tiene infinitas soluciones; c) no tiene soluciónalguna:
178. Verificar si la matriz siguiente es definida positiva. Si no lo es encontrar unvector tal que < 0. = 1 −2 1−2 0 01 0 −1
179. La matriz siguiente es la representación de la transformación línea : →. Determinar ( ∘ )( ) y verificar que ( ∘ )( ) = 2 ( ).
= −− −− −FIUNA09P1090404A:180. Establecer para que valores de k el siguiente sistema admite a) solución
única; b) infinitas soluciones; c) ninguna solución y obtener la solucióncuando es posible.
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNA – ALGEBRA LINEAL
+ + 2 + = 32 + 5 − − 9 = −32 + − + 3 = −11− 3 + 2 + 7 = −5181. Completar los elementos faltantes de la matriz , determine una matriz
diagonal congruente con ella y la matriz no singular que lo diagonaliza.= 1 2 −3∗ 5 −4−3 ∗ 8182. Determinar los valores de en = {( , 0, 1), (0, , 2), (1, 0,1)} para los cuales
el conjunto de vectores S es una base de R3
FIUNA09P1090404B:183. Establecer para que valores de k el siguiente sistema admite a) solución
única; b) infinitas soluciones; c) ninguna solución y obtener la solucióncuando es posible. + + 2 − 5 = 32 + 5 − + = −32 + − + 3 = −11− 3 + 2 + 7 = −5
184. Completar los elementos faltantes de la matriz , determine una matrizdiagonal congruente con ella y la matriz no singular que lo diagonaliza.= 1 −3 ∗∗ 7 −52 −5 8
185. Determinar los valores de en = {( , 0, 1), (1, , 2), (1, 0,1)} para los cualesel conjunto de vectores S es una base de R3
FIUNA09P1090404C:186. Establecer para que valores de k el siguiente sistema admite a) solución
única; b) infinitas soluciones; c) ninguna solución y obtener la solucióncuando es posible. + + 2 − 5 = 32 + 5 − − 9 = −32 + − + = −11− 3 + 2 + 7 = −5
187. Completar los elementos faltantes de la matriz , determine una matrizdiagonal congruente con ella y la matriz no singular que lo diagonaliza.= 1 2 −42 3 ∗∗ −6 9
188. Determinar los valores de en = {( , 0, −1), (0, , 2), (1, 1,1)} para loscuales el conjunto de vectores S es una base de R3
FIUNA09P1090404D:
189. Establecer para que valores de k el siguiente sistema admite a) soluciónúnica; b) infinitas soluciones; c) ninguna solución y obtener la solucióncuando es posible.
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNA – ALGEBRA LINEAL
+ + 2 − 5 = 32 + 5 − + = −32 + − + 3 = −11− 3 + 2 + 7 = −5190. Completar los elementos faltantes de la matriz , determine una matriz
diagonal congruente con ella y la matriz no singular que lo diagonaliza.= 3 2 4∗ −1 −3∗ −3 1191. Determinar los valores de en = {( , 1, 1), (0, , −3 ), (1, 0,1)} para los
cuales el conjunto de vectores S es una base de R3
FIUNA09P2090606:
192. Considerando que en R3 se define el producto interno:<u, v> = < (u1, u2, u3), (v1, v2, v3) > = u1v1 + 2u2v2 + 3u3v3.
ortonormalizar la base {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}.
193. Dada la matriz = 1 1 0 01 0 00 0 1 10 0 1 determinar k tal que no exista y
utilizando el valor de k hallado, determinar los valores y vectores propios de Ay aclarar si es diagonalizable bajo similaridad.
194. Sea F : R3 R2 la aplicación lineal definida por:F ( x, y, z ) = ( 2x + y - z, 3x – 2y + 4z )
Determinar la matriz de F en las siguientes bases de R3 y R2:S = { ( 1, 1, 1 ), ( 1, 1, 0 ), ( 1, 0, 0 ) }; T = { ( 1, 3 ), ( 1, 4 ) }
FIUNA09F1090627:
195. Dados los siguientes subespacios de := {( , , ): + + = 0}, = {( , , ): = }, = {(0, 0, ): ∈ }) : ) = + ; ) = + , ) = + ;) .196. Hallar una transformación de coordenadas ortogonal que diagonalice la forma
cuadrática ( , , ) = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 .197. Sea : → la aplicación lineal definida por ( , , ) = ( + 2 , − ,+ ) encontrar ) una base del núcleo; ) una base de la imagen, y )
determinar si es inyectiva.FIUNA09F2090704:
198. Determinar todas las matrices de tercer orden , tal que = y puedenescribirse como = + , siendo escalares, la matriz identidad y
una matriz con todos sus elementos iguales a 1, excepto los de la diagonalprincipal que son nulos.
199. Dada la matriz = 1 1 −2 −31 2 −5 −1−2 −5 6 9−3 −1 9 11 determinar si es definida positiva.
200. La representación matricial de la transformación lineal : → respecto a
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNA – ALGEBRA LINEAL
las bases = {(1,0 − 1), (0,2,0), (1,2,3)} = {(1,−1), (2,0)} es =2 −1 33 1 0 . Hallar la representación de respecto a las bases canónicas.
FIUNA09P1090911A:
201. Establecer para que valores de k el sistema siguiente admite a)solución única; b) infinitas soluciones; c) ninguna solución.
Obtener la solución cuando es posible.
⎩⎨⎧ + 2 + = 12 + + 3 = −4− + ( + 2) = −3 − 54 + 2 + ( + 6) = −3 − 8
202. Determinar las matrices si == y = 2 51 3 , =1 −1 −20 2 12 1 0 , = 15 −5 05 0 10 , = 103203. Determinar el sistema homogéneo cuyo conjunto solución es ={(−1, 0, 1, 2), (3, 4, −2, 5), (1, 4, 0, 9)}FIUNA09P1090911B:
204. Establecer la relación que debe cumplir , para que el sistemasiguiente admita a) infinitas soluciones; b) ninguna solución.
Obtener la solución cuando es posible.+ 2 − 3 =2 + 3 + 3 =5 + 9 − 6 =205. Determinar la matriz ∈ ℛ × tal que = ( + ) si:= 2 1 10 1 00 1 0 , = 1 0 02 0 13 1 −1206. Determinar la condición entre , , para que el conjunto:1 2−1 3 , 0 12 4 , 4 −20 −4 ,
sea linealmente dependiente.FIUNA09P1090911C:
207. Establecer para que valores de k el sistema siguiente admite a) soluciónúnica; b) infinitas soluciones; c) ninguna solución.
Obtener la solución cuando es posible. + − = 3− + 3 = 4+ + ( − 10) =208. Determinar las matrices si + 2 =− = 0 con = 1 02 1 , =−1 2−1 3209. Sea = {(1, 2, −2), (5, 4, −4), (0, 1, −1)}. Hallar una base de y
extenderlo a una base de R3
FIUNA09P1090911D:
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNA – ALGEBRA LINEAL
210. Establecer la relación que debe cumplir , para que el sistema admitaa) infinitas soluciones; b) ninguna solución.
Obtener la solución cuando es posible.2 + 2 + 3 =3 − + 5 =− 3 + 2 =211. Determinar la matriz tal que ( + ) = + si =5 1 22 1 03 1 1 , = 4 1 03 1 −54 5 6212. Sea = { + + 2, + 1}. Hallar una base de y extenderlo a una
base de los polinomios de grado menor o igual que (2) dos.FIUNA09P2091113A:
213. Obtener una base ortonormal del subespacio de definido como ={( , , , ) ∶ + = + }.214. Dada la matriz = −1 1 00 0 00 0 1 , obtener la solución del sistema = ,
con entero par, = (1, 0, 3) , utilizando la matriz diagonal similar a .215. Dada la transformación lineal ∶ → , definida como ( , , ) =( + 2 , − , + 2 ), encontrar una base de y determinar si es
invertible.FIUNA09P2091113B:
216. En el espacio , de las matrices reales 2 × 2, con producto interno ⟨ , ⟩ =( ), obtener una base ortonormal del subespacio = 1 −10 2 ,1 11 0 , 1 21 3 .
217. Determinar todos los valores reales de para los cuales la matriz =− 1+ 1 es diagonalizable bajo similaridad y la matriz que lodiagonaliza.
218. Dada la transformación lineal ∶ → definida como ( , , ) =( + + , + , ) determinar si es invertible y si lo es determinar suinversa.
219. asdf220. asdf221. asdf
FACULTAD POLITÉCNICA – UNA – ALGEBRA LINEAL
FPUNA01P1010918:1. Determinar la relación entre a, b y c para que el sistema siguiente tenga solución
única.ax + 3y - 2z = 02x + by + z = 03x - 2y + cz = 0
2. Hallar:a) La ecuación del plano paralelo a 4x + 7y – 12z = 3 que pasa por el punto P(2, 3, -
1).b) La ecuación de la recta determinada por los puntos P(1, 3, 2) y Q(2, 5, -6).
3. Sea . Hallar B, con entradas diagonales positivas, tal que: B2 = A.
FPUNA01P2011120:4. Si x = (x1, x2, ..., xn) e y = (y1, y2, ..., yn), determinar si la expresión
n
1jj
n
1ii yx),f( yx define un producto interior en Rn.
5. El volumen del paralelepípedo de aristas u, v y w, es de 18 unidades3. Si: u = (1, x, -3), v = (3, 4, -1) y w = (2, -1, 5). Determinar x.
6. La matriz
7020602010
A admite un valor propio de multiplicidad algebraica dos.
Determinar dicho valor propio y una base de su espacio propio.FPUNA01F1011206:7. Determinar una matriz ortogonal simétrica P cuya primera fila sea (1/3, 2/3, 2/3).
8. Determinar la matriz P que diagonaliza por similaridad a: A =
411121221
9. En el espacio vectorial real V, T:VV es un operador lineal, A = {u1, u2} y B = {w1, w2}son bases. Si w1 = u1 + u2, w2 = 2u1 + 3u2 y T(u1) = 3u1 – 2u2 y T(u2) = u1 + 4u2. Hallarla matriz de T relativa a la base B.
400590581
A
FACULTAD POLITÉCNICA – UNA – ALGEBRA LINEAL
FPUNA01F2011217:10. Determinar los valores de k para que el siguiente sistema de ecuaciones lineales admita:
a) Solución única; b) Ninguna solución; y, c) Infinitas soluciones.
2x ky + z = 2k + 5x + y kz = 1
4x + y kz = k
11. Hallar una matriz no singular P tal B = P tAP sea diagonal. Así mismo determinar B yla signatura de A
11913965215213211
A
12. Siendo F:R5R3 la aplicación lineal definida según:F(x, y, z, s, t) = (x + 2y +z –3s + 4t, 2x + 5y + 4z – 5s + 5t, x + 4y + 5z – s – 2t)Hallar una base y la dimensión para a) Ker F; y, b) Im F
FPUNA01F3020211:13. Determinar los valores de k para que el siguiente sistema de ecuaciones lineales admita
infinitas soluciones.
(1 k)x + y + z = 02x + (2 k)y + 2z = 0
x + y + (1 – k)z = k
14. Hallar el polinomio mínimo de la matriz A
323436224
A
15. Siendo F:R3R2 la aplicación lineal definida según:F(x, y, z) = (x + 2y – 4z, 2x + 3y + z)
Hallar F-1(3, 4)
FPUNA02P2021120:16. Si x = (x1, x2) e y = (y1, y2), determinar si la expresión 2211 yx2yx6),f( yx define un
producto interno en R2.
17. Dada la matriz
211232011
A , determinar si es diagonalizable. En caso que así sea,
obtener la matriz P que diagonalice a A y determinar P-1AP.
18. Si F:R3R2 es una aplicación lineal definida por F(1, 1, 0) = (2, 1) , F(0, 1, –1) = (1, 0) ,F(1, 0, –1) = (0, 0), obtener la fórmula para F(x, y, z).
FACULTAD POLITÉCNICA – UNA – ALGEBRA LINEAL
FPUNA02F1021204:19. Sea V el espacio vectorial de las matrices 22 sobre R, con producto interno definido
como A, B = tr(B tA). Hallar una base ortogonal para el complemento ortogonal de lasmatrices diagonales.
20. Sea la matriz
266157113
A , verificar si es posible hallar una matriz P tal que P-1 A
P sea diagonal.
21. Sea la aplicación lineal A:R4R3 con
133112121021
A . Encontrar la dimensión y
una base de:a) la imagen de A, y;b) el núcleo de A.
FPUNA02F2021218:22. Determinar un sistema homogéneo cuyo conjunto solución W esté generado por:
(1, –2, 0, 3) ; (1, –1, –1, 4) ; (1, 0, –2, 5)
23. Utilizando el polinomio característico y el teorema de Cayley – Hamilton, hallar la inversade la matriz A.
2123
A
24. Sea V el espacio vectorial de las matrices n-cuadradas sobre el cuerpo K y M unamatriz arbitraria en V. Defínase T: V V mediante T(A) = AM + MA, con A V.Mostrar que T es lineal.
FPUNA02F3030211:25. Determinar los valores de k para que el sistema, con incógnitas x, y, z, tenga:
i) solución única, ii) ninguna solución, iii) infinitas soluciones.x + y – z = 1
2x + 3y + kz = 3x + ky + 3z = 2
26. Supóngase
4242184811
C . Hallar: a) el polinomio característico (t) de C; b) los
valores propios de C; c) un conjunto máximo de vectores propios ortogonales no nulos deC; d) una matriz ortogonal P tal que P-1 A P sea diagonal.
27. Defínase F : R2 R2 , según F(x, y) = ( 3x+ 5y, 2x + 3y ), y sea S el círculo de radiounidad en R2 ( S consta de todos los puntos que satisfacen x2 + y2 = 1 ). Hallar: a) laimagen F(S); b) la preimagen F-1(S).
FACULTAD POLITÉCNICA – UNA – ALGEBRA LINEAL
FPUNA03P1030920:28. Analizar las soluciones del sistema lineal siguiente, para distintos valores de y .
x + y + z = 1x + y + z = x + y + z = 1
29. Establecer las condiciones que verifican las componentes x, y, z, s y t, del vector v(x, y,z, s, t), sabiendo que v W W = lin{ (1, 3, 0, 2, 1), (1, 5, –6, 6, 3), (2, 5, 3, 2, 1) }.
30. Verificar si
Rb,a/
baabba
W , es un subespacio de R22.
FPUNA03P2030811:31. Si V es el espacio vectorial de las matrices 22, con producto interno A , B = tr(BtA).
Hallar una base para el complemento ortogonal de las matrices simétricas de V.
32. Hallar los valores y vectores propios de la matriz A, (R 0)
3021200
A
33. Verificar si la transformación lineal T(x, y, z) = (x + y – 2z, x + 2y + z, 2x + 2y – 3z) esinvertible. Si lo es, hallar T-1(x, y, z).
FPUNA03F1031129:34. Si W = lin{ (1, 1, 1, 1), (1, –1, 2, 2 ) , (1, 2, –3, –4 ) } R4, hallar una base ortonormal
para W.
35. Si los valores propios de la matriz A son 1 = 2 = 3 y 3 = 5 y sus vectores propiosson, respectivamente, v1 = (1, –1, 0)t, v2 = (1, 0, 1)t y v3 = (1, 2, 1)t, determinar A y supolinomio característico.
36. Si F:P2P3 es una aplicación lineal, F(1) = x2 – 2; F(x) = x3 + x, y, F(x2) = x3 + 2x2 + 1,determinar la condición, necesaria y suficiente, que deben verificar a, b, c y d para queax3 + bx2 + cx + d imF.
FPUNA03F2031213:37. Encontrar una matriz ortogonal simétrica cuya primera fila sea (⅓, ⅔, ⅔).
38. Hallar una transformación de coordenadas ortogonal que diagonalice la forma cuadrática:q(x, y, z) = 4x2 + 4y2 + 4z2 + 4xy + 4xz + 4yz .
39. Encontrar bases del núcleo y la imagen de la transformación lineal T:R3R3 definida porT(x, y, z) = (x + 2y, y – z, x + 2z). Aclarar, además, si es o no un isomorfismo.
FACULTAD POLITÉCNICA – UNA – ALGEBRA LINEAL
FPUNA03F3041402:40. Determinar una base ortonormal del subespacio W de R4 ortogonal al subespacio
generado por los vectores (1, –2, 3, 4) y (3, –5, 7, 8).
41. Determinar los valores de los números reales a y b para los cuales la matriz
2001100ba
A
es diagonalizable bajo similaridad.
42. Determinar el núcleo y una base de la imagen de la transformación lineal F:R2R3
definida por F(x, y) = (x + y, x – y, 2x + y). Aclarar, además, si F es o no suprayectiva.FPUNA04P1040911:43. Para que valores de a y b es compatible el sistema.
byxay7x3
1bay2xb2a5y13x5
44. Determinar cuales de las siguientes matrices son normales:
ii101
Bi32i
1i43A ,
45. Diagonalizar la siguiente forma cuadrática: q(x, y, z) = 3x2+ 2y2 + z2 + 4xy + 4yzFPUNA04P2041106:46. Si V es el espacio vectorial de las matrices 22 sobre R. Encontrar una base y la
dimensión del subespacio W de V generado por las matrices:
1571
D7542
C5111
B2451
A ;;;
47. Hallar una base ortonormal para el subespacio W de C4, siendo:
W = { (x, y, z, t) : x + iy – z = 0 }
48. Siendo W = { (x, y, z) : x – 2y + 5z = 0 } un subespacio de R3, hallar W y en W unvector w tal que ||w|| = 430,
FACULTAD POLITÉCNICA – UNA – ALGEBRA LINEAL
FPUNA04F1041127:49. Determinar , y , de manera que la matriz A sea ortogonal, siendo:
542521552
31A
50. Determinar si W es un subespacio de R4. Si lo es, determinar su dimensión y una baseortonormal de W, siendo W = { ( x , y , z, t ) : x + y + z + t = 0.
51. Sabiendo que A es una matriz real, determinar para que valores de y la matriz Aes diagonalizable bajo similaridad y encontrar dichas formas diagonales.
20212202
A
FPUNA04F2041211:52. Siendo U = linS y V = linT, con S = { (1, –1, –1, –2, 0) , (1, –2, –2, 0, –3) , (1, –1, –2, –
2, 1) } y T = { (1, –2, –3, 0, –2) , (1, –1, –3, 2, –4) , (1, –1, –2, 2, –5) }, encontrar unabase y la dimensión de W = UV.
53. Hallar todas las matrices ortogonales de la forma
zy
x21
54. Si
2123
A y 12 xxP , obtener las matrices Q, Q-1 y D (D matriz diagonal)
tal que: AP = Q-1DQ.
FPUNA04F3050212:55. Un sistema de ecuaciones lineales tiene por matriz ampliada
1423242011822 2
, con R. Utilizando determinantes (Regla de Cramer)
determinar para que valores de :a. El sistema es compatible;b. El sistema homogéneo asociado admite soluciones distintas de la trivial.
56. Sea W el subespacio de R5 generado por u = (1, 2, 3, –1, 2) y v = (2, 4, 7, 2, –1).Hallar una base ortogonal para el complemento ortogonal W t de W.
57. Dada la matriz
4242184811
A , determinar una matriz ortogonal P tal que P-1AP
sea diagonal
FPUNA05P1050910:58. Para que valores de a y b es compatible el sistema.
FACULTAD POLITÉCNICA – UNA – ALGEBRA LINEAL
baybx1tay2xbtzayx7zayx2
59. Determinar una matriz real B de orden 2x3, con entradas distintas, tal que AB = 0, siendo:
6321
A
60. Diagonalizar la forma cuadrática: q(x, y, z) = x2 – 6xy + 8y2 – 4xz + 5yz + 7z2
FPUNA05P2051029:
61. En V = { (a, b) : a, b R+ }, se definen:i) (a, b) + (c, d) = (ac, bd) ; ii) k(a, b) = (ak, bk), kR.
Verificar si V, con estas operaciones, es o no un espacio vectorial sobre R.
62. Resolver la ecuación: 32
20115x0320214010
63. Dado W = lin { (1, 1, 0), (1, 2, 2) }, determinar un vector vR3 tal que v = 3 y sea ortogonal a todos los vectores de W.
FPUNA05F1051213:
64. Diagonalizar bajo congruencia la forma cuadrática:q(x, y, z) = x2 + 4xy + 3y2 – 8xz – 12yz + 9z2.
65. En el espacio de matrices reales 22, con producto interno <A, B> = tr(BtA),encontrar una base ortogonal del subespacio generado por
3121
,0111
,2011
.
66. Sabiendo que la matriz A admite 0 como valor propio, verificar si A esdiagonalizable bajo similaridad y si lo es, obtener la matriz P que lo
diagonaliza, siendo
k100110000k10011
A .
FPUNA05F2051217:
67. Hallar una matriz A, con entradas diagonales positivas, tal que A2 = B, si:
400590581
B
68. Determinar los valores de x e y, para que la matriz A sea ortogonal,siendo:
FACULTAD POLITÉCNICA – UNA – ALGEBRA LINEAL
21
yx
y1
xy
21
y1
yx21
32A
69. Determinar bases del núcleo y de la imagen del operador lineal T:R3 R3,si T(1, 0, 0) = (1, 2, 3); T(0, 1, 0) = (2, –1, 0) y T(0, 0, 1) = (3, 1, 3).
FPUNA05F3060218:
70. Hallar una base ortonormal de R3, si parte de ella debe estar contenida en elsubespacio W = { (x, y, z) / x + y – z = 0 },
71. Determinar P, ortogonal, tal que P-1AP = D, siendo D una matriz diagonaly:
011101110
A
72. Si T(x, y, z) = ( x + 2y + 3z, x + 3y +3z, -2y + z ), determinar si T:R3 R3,es invertible y si lo es, obtener T-1.
FPUNA06P1060901:73. Determinar las entradas indicadas como faltantes en la matriz cuadrada siguiente,
sabiendo que son iguales la suma de los elementos de cada fila, de cada columna, de ladiagonal principal y la diagonal secundaria.
******87*654*321
74. Determinar todas las matrices que conmutan con:
75. Determinar si
Rd,c,b,a;cbda:
dcba
W , con las operaciones suma de
matrices y producto de matrices por escalares usuales, es un espacio vectorial.
FPUNA06F1061125:
76. Verificar los valores de a y b para los cuales es compatible el sistema:
byxay7x3
1bay2xb2a5y13x5
y obtener la solución para dichos valores.
1011
A
FACULTAD POLITÉCNICA – UNA – ALGEBRA LINEAL
77. Utilizando los valores y vectores propios de
100000011
A , resolver el
sistema BXAn con t3,0,1B (considerar n par e impar).
78. Si zy2,z3y3x,z3y2xz,y,xT verificar si T es invertible y silo es determinar 1T .
FPUNA06F2061223:
79. Diagonalizar, bajo congruencia, la siguiente forma cuadrática yzxzxyzxzyxq 43273,, 22
80. Para que valores de y ( ) es diagonalizable, bajo similaridad, la
matriz:
20212202
A ,
81. Si yzxzyxzyxzyxF 6,54,,832,, encontrar una base ortogonalde ImF.
FPUNA06F3061223:
82. Hallar una matriz ortogonal cuyas dos primeras filas sea múltiplos de (1, 3, 1)y (2, 0, –1).
83. Encontrar una matriz ortogonal P tal que P -1AP sea diagonal, siendo:
4242184811
A
84. Si zyxzyzyxzyxF 2,,2,, encontrar una base ortogonal deImF.
FPUNA08P1080901F1:
85. Determinar, si es posible, k (real) para que el sistema tenga a) soluciónúnica; b) infinitas soluciones; c) ninguna solución.
3 − + 2 = − 12 − 5 + 3 = 1+ 3 − ( − 1) = 0
86. Resolver el sistema: 2 + =− 1 = 0, siendo = 2 1
1 1 , = 2 −40 2
87. Dada la forma cuadrática ( , , , ) = 2 + 4 − 2 + 3 2 + 2 − 4 −5 2 − 4 , encontrar una sustitución lineal no singular que exprese lasvariables ( , , , ) en términos de las variables ( , , , ), tal que la formacuadrática sea diagonal.
FPUNA08P1080901F2:
FACULTAD POLITÉCNICA – UNA – ALGEBRA LINEAL
88. Determinar, si es posible, k (real) para que el sistema tenga a) soluciónúnica; b) infinitas soluciones; c) ninguna solución.+ + = −2
3 + 4 + 2 =2 + 3 − = 1
89. Resolver el sistema: 2 + =− 1 = 0, siendo =
2 11 1 , = 2 −4
0 2
90. Dada la forma cuadrática ( , , , ) = 2 + 4 − 2 + 4 + 12 + 3 2 −6 + 5 2, encontrar una sustitución lineal no singular que exprese lasvariables ( , , , ) en términos de las variables ( , , , ), tal que la formacuadrática sea diagonal.
FPUNA08P2081027F1:
91. Si es el espacio vectorial de las matrices reales 2 × 3 sobre el cuerpo de los
reales. Determinar si = 0 0 ∶ = + es un subespacio de .
92. Dado el subespacio = {( , , ) ∶ − 2 + 5 = 0} de , determinar .
93. Dada la matriz = 1 −1 20 4 11 3 0 obtener utilizando su matriz adjunta.
94. FPUNA08P2081027F2:
95. Si es el espacio vectorial de las matrices reales 2 × 3 sobre el cuerpo de los
reales. Determinar si = ∶ + 2 = 0 2 + = es un
subespacio de .
96. Dado el subespacio = {( , , ) ∶ + − = 0} de , determinar .
97. Dada la matriz = 2 −1 11 4 00 3 1 obtener utilizando su matriz adjunta.
FPUNA08F10811129:
98. Determinar una matriz idempotente de orden dos de elementos diagonalesiguales respectivamente a 6 − 6
99. Determinar un vector ∈ tal que ‖ ‖ = 3 y sea ortogonal al subespacio= {(1,1,0), (1,2,2)}.100.Para el operador definido por: ( , , ) = 1 2 30 1 00 0 1 , determinar una
base y la dimensión de ) ) .FPUNA08F2081213:
FACULTAD POLITÉCNICA – UNA – ALGEBRA LINEAL
101.Determinar , , , , si = es ortogonal.
102.Determinar una base ortonormal para el subespacio de generado por= (1, 1,1,1), = (1, 1,2,4), = (1, 2, −4,−3).103.Hallar la representación matricial del operador lineal en , respecto a la
base , siendo ( , , ) = ( , + , + + ) , = {(1, 1, 0), (1, 2, 3), (1, 3, 5)}.FPUNA08F3090214:
104.Dada la forma cuadrática ( , , ) = + 2 − 4 − 4 + 7 , encontraruna sustitución lineal no singular que exprese las variables , , en términosde las , , de forma que ( , , ) sea diagonal.
105.Determinar una base ortonormal para el subespacio ortogonal a =(1,−2,−1, 3) .
106.Dada la aplicación lineal : → definida como ( ) = , donde seescribe como vector columna y = 2 5 −31 −4 7 . Encontrar larepresentación matricial de relativa a la bases{(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} {(1, 3), (2, 5)}.