1.1Ejercicios capitulo 5 Matrices Respuestashttp://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap1/ejer5resp.html#r1

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1. Dadas y (a)Describir los vectores filas y los vectores columnas de y

(b)Hallar , , 1. (a) Respuesta:

Los vectores filas de son: y Los vectores columnas de son:

y Los vectores filas de son: y Los vectores

columnas de son: y (b)Respuesta:

2. En cada uno de los siguientes casos determinar y

(a)

(b) 2.Respuesta:

a)

b)

3. Sea y (a)Determinar el orden de y comparar con las filas o columnas de

(b)Si donde aparece en la posición Determinar el orden de y ,

comparar con las filas o columnas de con en

3. Respuesta: El orden de es y el orden de es luego el orden de es obtendremos en este caso el vector fila de El orden de es luego el orden de es y obtendremos en este caso el vector columna de 4. Calcule los productos matriciales y

4. Respuesta:

5. Para las matrices

Verifique directamente la distributividad a la derecha (A+B)C=AC+BC ¿Se cumple la distributividad a la izquierda para estas tres matrices? Justifique. Respuesta:

Luego se cumple la distributividad a la derecha.

La distributividad a la izquierda no se tiene ya que el producto no esta definido porque

y

6. Dadas y

(a)Verifique que y (b)Use los resultados de (a) para comprobar que

Respuesta:

Como entonces por otro lado luego y tenemos la igualdadTomando un lado de la igualdad a probar

como tenemos que

Consideremos y

pues

7. Dadas las matrices en

Determinar en tal que 2A+3X=(12C)(23B)

Respuesta:

8. Dadas las matrices y Hallar de manera que

Respuesta:

9. Si en efectuar los productos

(a)

(b)

(c)

3(d) ¿Cómo quedan los productos en a) y c) si ?

La misma pregunta anterior para b) y d) en los casos Respuesta:

Sea

a).

b).

c).

d).10. Sea efectuar los siguientes productos

(a) ; en

(b) ;

(c) , en Respuesta:

Sea

a). ; en

b). ;

c). , en

11. Exprese como producto matricial de

y matrices del tipo (a) ,(b),y (c) del ejercicio anterior.

Respuesta:

12. Si y compruebe que :

Respuesta:

Utilizar definición 1.13. Una matriz se dice idempotente si y sólo si (a)Pruebe que

es idempotente. (b)Demuestre que si es idempotente, es idempotente y Respuesta:

a). b).Demostración: Supongamos que y probemos que Como , tenemos que

Además y

14. Pruebe que no existe una matriz tal que con Respuesta: La proposición quiere decir que es invertible y el teorema 46 nos dice que es

regular si y solo si calculando tenemos que no es regular, por lo tanto no existe

tal que 15. Determinar todas las matrices de orden con coeficientes reales, tales que cumplan

Respuesta: 16. Determinar todas las matrices de orden con coeficientes reales, tales que cumplan

Respuesta: :

17. Se dice que una matriz es involutiva si y sólo si

(a)Verifique que y son matrices involutivas.

(b)Demuestre que si es una matriz involutiva entonces y son idempotentes y

Respuesta: Demostración Supongamos que por demostrar que y

Como tenemos que es

idempotente y tenemos que

es idempotente. Además

18. Si Calcular para

Respuesta:

19. Sea Hallar todas las potencias con entero positivo. Respuesta:

20. Demuestre por inducción que

(a)

(b) Respuesta: a. Es claro que se cumple para así es que supongamos que se cumple para y probemos que se cumple para

b. Es claro que se cumple para así es que supongamos que se cumple para y probemos que se cumple para

21. En mecánica cuántica a veces se usan las llamadas matrices de Spin de Pauli.

Muestre que e “anticonmutan” . Respuesta:

22. Sea una matriz cuadrada de orden con

Pruebe que y

23. Si compruebe que pero Respuesta:

24. Sea

Si Calcular

Respuesta: ,

,

25. Sean

Determinar

Respuesta:

26. Sean

(a)Determinar

(b)Verifique que son simétricas.

(c)Verifique que

Respuesta: a.

b.

27. Si , y efectúe los productos Respuesta:

Sea entonces

28. Mostrar que toda matriz de orden es suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.

Respuesta: donde es una matriz simétrica y es una matriz antisimétrica.

29. Si Hallar la parte simética y antisimétrica de

Respuesta: y

30. Si Determinar una matriz simétrica tal que

Respuesta: 31. Sea y Demostrar que es simétrica y los coeficientes de la diagonal son no negativos. Respuesta: Supongamos que y demostremos que Como entonces

Además los coeficientes de la diagonal son no negativos pues son los elementos de la diagonal de al cuadrado.32. Determine si son Verdaderas o Falsas las siguientes afirmaciones. Justifique adecuadamente en cada caso. (a)El producto de matrices triangulares es triangular. (b)El producto de matrices triangulares del mismo orden es triangular del mismo orden. (c)Cada matriz antisimétrica tiene la diagonal principal igual a cero. (d)Para toda matriz . Si entonces (e)El producto de matrices simétricas del mismo orden es simétrica. (f)Para toda matriz se tiene

(g)Para toda matriz se tiene es simétrica.

(h)Para toda matriz con entonces existe tal que (i)Para toda matriz se tiene (j)Toda matriz triangular estricta es “nilpotente” esto es, hay una potencia de ella que se hace (k)Si y son matrices de orden y entonces ó

(l)Si son matrices de orden entonces existe una única matriz de orden tal que Respuesta:(a) El producto de matrices triangulares es triangular.

Falso. Considerar (b) El producto de matrices triangulares del mismo orden es triangular del mismo orden. Falso. Considerar una triangular inferior y una superior. (c) Cada matriz antisimétrica tiene la diagonal principal igual a cero. Verdadero. (d) Para toda matriz . Si entonces

Falso. Considerando (e) El producto de matrices simétricas del mismo orden es simétrica.

Falso. Considerar (f) Para toda matriz se tiene

Falso. Considerar

(g) Para toda matriz se tiene es simétrica. Verdadero.

(h) Para toda matriz con entonces existe tal que

Falso. Tomar

(i)Para toda matriz se tiene Verdadero. (j)Toda matriz triangular estricta es “nilpotente” esto es, hay una potencia de ella que se hace Verdadero. (k)Si y son matrices de orden y entonces ó

Falso. Considerar

(l)Si son matrices de orden entonces existe una única matriz de orden tal que

Verdadero

33. Dadas las matrices y Verifique que

y

Además. Calcular

Respuesta:

34. Dada (a)Expresar como producto de matrices elementales. (b)Hallar la forma Escalonada Reducida por Filas correspondiente a

(c)Determinar el Respuesta: (a)

(b) Respuesta

(c) Respuesta:

35. Dada (a)Expresar como producto de matrices elementales. (b)Hallar la forma Escalonada Reducida por Filas correspondiente a

(c)Determinar el Respuesta

(b) Respuesta:

(c) Respuesta:

36. Sea encontrar una matriz de modo que en los siguientes casos

(a)

(b)

(c) Respuesta

(a) Respuesta:

(b) Respuesta:

(c) Respuesta:

37. Encuentre una matriz regular tal que

(a)¿ y son regulares?.

(b)Encuentre la inversa de si existe.

Respuesta: Como existe luego

(a) Respuesta: Si, pues

(b) Respuesta:

38. ¿Cuáles de las siguientes matrices son equivalentes por filas?

Respuesta: es equivalente por fila a pues existe matriz regular tal que no es equivalente por fila a ni a

39. Determinar mediante Operaciones Elementales por Filas la inversa de las siguientes matrices, si existe.

(a) .

(b) .

(c) .

(d) . Respuesta:

(b)Respuesta:

(c) Respuesta:

(d) Respuesta:

40. ¿Para qué valores de e las matrices. y son equivalente por filas?

Respuesta: No existen valores para e tal que las matrices sean equivalentes por filas.

41.Si Hallar una matriz regular tal que donde es la forma Escalonada Reducida por Filas correspondiente a

Respuesta:

42. Si y (a)¿ Es ?. (b)¿ Es ?. (c)¿Es ?.

(a) Respuesta: Si, pues existen y tal que (b)Respuesta: No, pues no existe tal que

(c)Respuesta: No, pues no existe tal que

43. Sea una matriz regular de orden

(a)Demostrar que (b)Si es simétrica entonces es simétrica.

44. Sea con para todo Demostrar que es invertible y encontrar su inversa.

Respuesta: luego es invertible

45. Demostrar que si es triangular inferior y regular entonces es Triangular Inferior.

46.Dadas las matrices Resuelva la siguiente ecuación matricial en

Respuesta:

47. Sean y matrices simétricas. Determine tal que se cumpla la igualdad.

Respuesta:

48. Determinar mediante Operaciones Elementales Filas ó Columnas los valores de y para que la matriz sea regular, en cada caso.

(a)

(b)

Respuesta: (a) (b) Respuesta:

49.Sea y una matriz cuadrada de orden tal que Probar que es regular y Hallar

Respuesta: (a) (b) Respuesta: _______________________________________________________________________________________

50. Sabiendo que la inversa de es y que la inversa de es Calcular

Respuesta:

51. Si es regular entonces todas las potencias de son regulares y para todo natural se tiene

(Ayuda: Use Inducción) Respuesta: El resultado se tiene para supongamos que es verdadero para y probemos que es cierto para por demostrar

52. Pruebe con un contraejemplo que son falsas las siguientes afirmaciones (a) en singular entonces

Respuestas: (b)Si son regulares de orden entonces es regular.

Respuesta: (c)Si son regulares, entonces

Respuesta: (d)Si son regulares de orden entonces

Respuesta: (e)Si son de orden regular y entonces

Respuesta: (f)Si son de orden regular y entonces

Respuesta: (g)Si matrices tal que entonces

Respuesta: (h)Si matrices tal que entonces

Respuesta:

(i)Toda matriz diagonal es invertible.

Respuesta: no es regular.

53. Calcular los siguientes determinantes:

a) b) c) Respuesta: a) , b) c)

54. Calcule los siguientes determinantes usando propiedades:

a) b) c) Respuesta: a) , b) c)

55. Calcular el determinante de las siguientes matrices:

Respuesta:

56. Verificar que los siguientes determinantes son nulos:

  Ayuda (a): efectúe Ayuda (b):

y efectúe

57. Probar que

58.Demostrar que

a)

b)

59. De las siguientes matrices cuales son invertibles?

a) b) c)

Para aquella que lo sea encuentre su inversa por el método de la adjunta. Respuesta:

a) Es invertible pues tiene determinante y su inversa es

b) Es invertible pues tiene determinante y su inversa es

c) Es invertible pues tiene determinante y su inversa es

60. ¿Para qué valores de y la matriz es invertible? Respuesta: es invertible si

61. Calcule por el método de la adjunta la inversa de las siguientes matrices regulares:

Respuesta:

62. Pruebe que si es matriz de orden y un escalar real. 63.Pruebe que si es una matriz triangular, entonces

64.(a) Pruebe que cuando es singular y dar un ejemplo.

(b) Pruebe que con de orden y dar un ejemplo. 65. Pruebe con un contraejemplo que son falsas las siguientes a rmaciones: (a)El cofactor de para

es ó (b)Si es cuadrada entonces (c)Si matrices entonces (d)Si entonces con de orden

Respuesta:(a) El cofactor de es

(b)

(c) esta definido pero no

(d)

66. Sean funciones al menos dos veces derivables.

Sea probar que Respuesta:

y

67. Sean escalares reales. Probar que

Probar por inducción que

Este determinante es conocido con el nombre de determinante de Vandermonde y se denota por .

68. Pruebe que si son ambas de orden y entonces ambas matrices son regulares, y (Ayuda: use determinante)

69.Probar que si son matrices cuadradas, no necesariamente del mismo tamaño, y de orden adecuado, entonces:

Ayuda: Usar inducción sobre el orden de y operaciones elementales las.

70. Probar que si son matrices cuadradas, no necesariamente del mismo tamaño, y de orden adecuado, entonces si es regular,

Ayuda: premultiplique por la matriz

71. Sea

Calcule . Ayuda: use ejercicios anteriores. Respuesta:

72. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales en (cuidado son cuatro variables) (a)

(b) (c)

(d)

(a) Respuesta:

(b) Respuesta:

(c) Respuesta:

(d) Respuesta:

73. Si anotamos la solución de cada una de las ecuaciones anteriores. Determine el conjunto

Respuesta:

74.¿ Son equivalentes (en cada caso) los dos sistemas de ecuaciones lineales siguientes ?. Si es asi demuéstrelo.

(a) y

(b) y (a) Respuesta: Si. (b) Respuesta: No.

75. Dar un ejemplo (en caso que sea posible) de: (a)Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que no tenga solución. (b)Un sistema de una ecuación lineal con cinco incógnitas que no tenga solución. (c)Un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas de solución única.

(a) Respuesta: (b) Respuesta: No hay.

(c) Respuesta:

76. Hallar todas las soluciones del sistema por el método de la escalonada y por el método de Cramer. Siendo en cada caso, una de las siguientes matrices:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(a)Respuesta:

(b)Respuesta:

(c) Respuesta:

(d) Respuesta:

(e) Respuesta:

77. Si Hallar todas las soluciones de y todas las soluciones de

donde

Respuesta: 78. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones (si es posible). En cada caso escriba primero la matriz del sistema y la matriz ampliada.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(a) Respuesta:

(b) Respuesta: (c) Respuesta: (d) Respuesta:

(e) Respuesta: (f) Respuesta: (g) Respuesta:

79. Encuentre la solución general del sistema, utilizando dos métodos distintos:

Respuesta:

80. Resuelva simultáneamente, hallando la forma Escalonada reducida por fila de los tres sistemas lineales siguientes:

donde

Respuesta:

81. Resuelva las siguientes ecuaciones matriciales:

(a)

(b)

a) Respuesta:

(b) Respuesta:

Usando el procedimiento del ejercicio anterior. Note que si entonces

82. Discutir según los valores de , la existencia y en cada caso determinar las soluciones de los siguientes sistemas lineales:

(a)

(b)

(c)

(d) (a) Respuesta: Si o no hay solución.

Si y la solución para cada es

(b) Respuesta: Si y no hay solución

Si y hay infinitas soluciones y el conjunto solución es

.

Si hay única solución

(c) Respuesta: No hay solución si

Si hay única solución

(d) Respuesta: Si y hay única solución

Si no hay solución.

83. Calcular el valor de , de modo que el sistema tenga infinitas soluciones

Respuesta: No existe tal que este sistema tenga infinitas soluciones.

84. En el sistema (a)¿Cual es el determinante principal del sistema? Determine tal que: (b)El sistema sea inconsistente. (c)El sistema tenga única solución. En tal caso determínela.(d)El sistema tenga varias soluciones. En tal caso determínelas.

(a) Respuesta: (b) Respuesta: El sistema siempre tiene solución, pues es homogéneo.

(c) Respuesta: y

(d) Respuesta: o

85. Dado el sistema Hallar condiciones para y de tal manera que el sistema: (a)Tenga única solución, en cada caso determínela(b)No tenga solución. (c)Tenga varias soluciones, en cada caso determínelas.

(a) Respuesta: Si la única solución es

(b) Respuesta: y

(c) Respuesta: Si y el conjunto solución es

Si y el conjunto solución es

86. Considerar el sistema

Hallar para los cuales se tiene: (a) El sistema es inconsistente. (b)El sistema tiene única solución. Determínela. (c)El sistema tiene infinitas soluciones. En cada caso determínelas. ¿Que ecuaciones dependen linealmente de las otras?

(a) Respuesta: ó y

(b) Respuesta: y

(c) Respuesta: y y

87. Hallar tal que la matriz sea singular.

¿Para que valores de el sistema tiene solución?

Respuesta: Para la matriz es singular. Para el sistema tiene solución.

88. Resuelva el sistema de ecuaciones y halle condiciones en las constantes reales para que tenga única, ninguna o infinitas soluciones.

Respuesta: El sistema tiene única solución para y infinitas soluciones para

no tiene solución para

89. Para los siguientes sistemas, determine los valores de , de modo que i) El sistema tenga única solución, determínela. ii) El sistema tenga más de una solución, determínelas. iii) El sistema tenga solución vacía.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f) Respuesta:

i. Si y hay única solución

ii. Si y si y

iii. y si y (b) Respuesta:

i. Si y hay única solución

ii. Si iii. (c) Respuesta:

i. Si y hay única solución

ii. Si iii. Si (d) Respuesta:

i. Si hay única solución

ii. Si y

iii. y (e) Respuesta:

i. Si hay única solución

ii. Si y si y

iii. Si y (f) Respuesta:

i. Si hay única solución ii. No puede tener más de una solución. iii. Si

90. Decida si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Justifique en cada caso.

(a)El número de variables independientes de un sistema con es

(b)Si el sistema es consistente, y entonces

(c)Si el sistema es consistente, y , entonces

(d) para toda

(e)Si y entonces tiene solución no trivial.

(f)Si y y y entonces no es regular.

(g)Si entonces el sistema tiene solución no trivial ( ) si y sólo si es singular. (h)Una matriz de rango es aquella donde toda fila es múltiplo de la primera fila.

(i)Si y , el sistema con no tiene solución.

(j)Si y entonces con no tiene solución única (es decir, no tiene o tiene infinitas soluciones).

(a)Respuesta: Verdadero. (b) R: Verdadero. (c) R: Verdadero. (d)R: Verdadero.

(e) R: Falso, (f) R: Verdadero. (g) R: Falso. (h) R: Verdadero. (i) R: Falso.

(j) R: Verdadero. 91. Pruebe que si entonces los sistemas homogéneos y tienen el mismo conjunto solución.

92. Demuestre que la afirmación siguiente es falsa (basta dar un contraejemplo).

Si entonces los sistemas y tienen el mismo conjunto solución.

Respuesta:

93. Sea . ¿Bajo qué condiciones sobre el número de filas no nulas de la matriz Escalonada

Reducida por Filas de , el sistema tiene solución única ? (a)¿Cuántas ecuaciones son dependientes? (b)¿Tiene solución el sistema? (c)¿Cuántas variables libres tiene el sistema?

Respuesta: donde es el número de filas no nulas de la matriz Escalonada Reducida por filas de

94. Sea un sistema de ecuaciones lineales con ecuaciones y incógnitas. la forma Escalonada Reducida por Filas de con filas no nulas y

(a) Respuesta: (b) Respuesta: Solamente si es consistente, en cuyo caso hay infinitas soluciones. (c) Respuesta:

95. Demuestre que el sistema de ecuaciones lineales es equivalente a o

96. Encontrar tal que sea solución del sistema

Respuesta: 97. En cada caso, encuentre un sistema de ecuaciones homogéneo de modo que los siguientes vectores sean soluciones de dicho sistema.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e) (a)Respuesta: (b) Respuesta:

(c) Respuesta:

(d) Respuesta: (e) Respuesta:

98. En cada caso, encuentre un sistema de ecuaciones de modo que:

(a) y el sistema tenga las soluciones indicadas en 97 a). (b)Idem a) y el sistema tenga las soluciones indicadas en 97 b).

(c)Idem a) y el sistema tenga las soluciones indicadas en 97 c). (d)Idem a) y el sistema tenga las soluciones indicadas en 97 e).

(e) y el sistema tenga las soluciones indicadas en 97 d).

(f) y sean soluciones del sistema.

(g) y sean soluciones del sistema

(a) Respuesta:

(b) Respuesta:

(d) Respuesta:

(e) Respuesta: (f)

(g) Respuesta

99. Encuentre un sistema de ecuaciones de modo que es solución particular del sistema (I) y la solución del sistema contiene a la solución del sistema (II):

(I)

(II)

Respuesta: Si entonces un sistema que resuelve el problema es: