- 139 -

- 139 -

11. Dada la función

−=−

−≠+

−

=

2

32

2

3,

32

94

)(

2

xsi

xsix

x

xf

a. Determine )(2

3xflim

x −→

b. demuestre

−≠

−→ 2

3)(

23

fxflimx

c. ¿es continua la función en ?2

3−=x

12. Sea

>−

≤≤−+

−<−

=

35

332

32

)(

xsixb

xsibax

xsiax

xf

Determine los valores de a y b tales que la función sea continua en todo R.

- 140 -

- 140 -

LIMITES:

1. Aplique operatoria algebraica convencional y verifique los resultados;

1. 11

21

=

→ x

limx

13. 3→x

lim3

2142

−

−+

x

xx = 10

2. 2→x

lim ( ) 654 2 =− xx 14. 0→x

lim22

22

2 aaxx

ax

++

− = -1, ≠a 0

3. ( ) 71042

1=+−

→xxlim

x 15.

0→alim

22

22

2 aaxx

ax

++

− = 1, x ≠ 0

4. 0→n

lim63

532

2

−+

−+

nn

nn =

6

5 16.

axlim

→ 22

22

2 aaxx

ax

++

− = 0, ≠a 0

5. 3→x

lim3

2142

−

−+

x

xx = 10 17.

0→xlim

275

2257

3

−

+

x

x = -1

6. 2→x

lim32

562

2

−−

++

xx

xx = -7 18. 4

2

42

2=

−

−

→ x

xlimx

7. 1−→x

lim32

562

2

−−

++

xx

xx = -1 19.

2→xlim

2

22

+

+

x

x =

2

3

8. 1→x

lim3

92

−

−

x

x = 4 20.

1−→xlim

1

12

−

−

x

x = 0

9. 3→x

lim2

32−

−

x

x = 0 21.

2−→xlim

2

83

+

+

x

x = 12

10. 2→y

lim2

652

+

++

y

yy = 5 22.

4→xlim

4

643

−

−

x

x = 48

11. 2→y

lim2

652

−

+−

y

yy = -1 23.

2→xlim

253

1032

2

−−

−+

xx

xx = 1

12. 3−→x

lim3

342

+

++

x

xx = -2 24.

2−→hlim

6

442

23

−−

++

hh

hhh = 0

- 141 -

- 141 -

25. ax

lim→ 22

33

xa

ax

−

− = -

2

3a

26. 4→x

limxx

xxx

4

4332

23

−

−−− =

421

27. 1→x

lim1

362 234

−

++−

x

xxx = -8

28. 1→h

lim( )

h

h 112

−+ = 3

29. 1→x

limx

x

2

33 − = 0

30. 2→x

lim2

2

11

−

−

x

x = -

4

1

31. 2→x

lim8

163

4

−

−

x

x =

3

8

32. 1→x

lim

−

−−

−

−

9

3

3

92

2

x

x

x

x =

4

15

33. 3

4

2

12

23

1=

−+

−−+

→ xx

xxxlimx

34. 3

2

2

12

23

1=

−+

−+−

→ xx

xxxlimx

35. 43

375 23

3=

−

−+−

→ x

xxxlimx

36. 163

3523

3=

−

−−−

→ x

xxxlimx

37. 3

4

1

323

2

1−=

+

−−

−→ x

xxlimx

- 142 -

- 142 -

2. Aplicar criterios de mayor potencia y racionalización según convenga verifique los

resultados:

1. ∞→x

limxxx

xx

36

13234

24

−−

+− =

3

1

2. ∞→x

lim352

322

2

−+

+−

xx

xx =

2

1

3. ∞→x

lim103

4237

25

−+

−

xx

xx = 0

4. ∞→n

lim625

532

2

−+

−

nn

nn =

5

3

5. 3

1

73

152

2

=+

+−

∞→ x

xxlimx

6. ∞→x

lim52

210623

23

++

+++

xx

xxx=

2

1

7. ∞→t

lim

+

+

1

12

t

t, para

→= 0,

1h

ht = 0

8. ∞→n

lim( )

+−

+

+

11

22

3

n

n

n

nn = 1

9. 4→n

lim4

2

−

−

x

x =

4

1

10. 0→x

limxx

x

−−+ 22 = 2

11. 1→x

lim1

1

−

−

x

x = 2

12. 0→h

limh

h 24 −+=

4

1

13. 1→x

lim1

12

3

−

−

x

x =

2

3

14. 1→x

lim 44 −x = 0 27. ∞→x

lim3002

137

27

++

+−

xx

xx =

2

1

- 143 -

- 143 -

15. ∞→x

lim ( )xxx 12112 23 +− = 2 28. ax

lim→ ax

axax

−

+−−3 =

a2

1

16. ∞→x

limxxx

xx

55

1634

3

−+

− = 0 29.

∞→xlim

2

7

2

5753

45

−=−

+

xx

xx

17. ∞→x

limx

xx +23 = 3 30.

∞→xlim xxx −+2

= 2

1

18. ∞→x

limxxx

xx

36

12823

23

−+

+− =

3

4 31.

81→xlim

9

81

−

−

x

x = 18

19. 1→x

lim1

1

−

−

x

x =

2

1 32.

∞→xlim ( )3232 22 +−+++ xxxx = 2

20. ∞→x

lim852

610

3

++

−

xx

xx = 0 33.

∞→xlim ( )xxx 622 22 −− = 2

2

3

21. ∞→x

lim20012

149210664

24

−

−+

x

xx =

2

1 34.

∞→xlim

( )( )( )( )43

21

++

++

xx

xx = 1

22. ∞→x

lim2

14

3

+

+

x

x = 0 35. 3

3 2

=+

∞→ x

xxlimx

23. ∞→x

lim11003

563

23

+−

+−

xx

xx = 2 36.

3

2

3

124 2

=++

∞→ x

xxlimx

24. ∞→x

lim7

252

3

++

+

xx

xx = ∞ 37.

3

2

3

124 2

=++

∞→ x

xxlimx

25. 0→x

lim11

113 −+

−+

x

x =

2

3 38.

∞→xlim

3

2

39

4

2

2

=−

+

xx

xx

39. ∞→n

lim nn −+1 = 0 45. ∞→x

lim4

86

2

3

x

xx −− = 0

40. 21

432

4

2

=+

−−

∞→ x

xxlimx

46. ∞→x

lim2

2

53

25

xx

x

+

− =

5

2−

41. ∞→n

lim15

22

2

−

+

n

nn =

5

2 47.

81

16

73

324

=

+

−

∞→ n

nlimx

- 144 -

- 144 -

42. ∞→n

lim47

5432

2

−

++

n

nn =

7

3 48.

axlim

→ ax

axax

−

+−−3 =

a2

1

43. ∞→n

lim

4

32

24

+

−

n

n = 16 49.

∞→nlim

12 3

3

+

+

n

nn =

2

1

44. ∞→n

lim1

12

+

+

n

n = 2 50.

∞→nlim 3

1

2

+n

n =

3 2

3. El costo en millones de dólares para el gobierno de aprehender un x% de cierta droga ilegal, a su entrada por las fronteras, viene dado por:

1000,100

528<≤

−= x

x

xC

a. calcular el costo de aprehender el 25%

b. Hallar el límite de C cuando 100→x

4. Una partícula cae del reposo bajo la acción de la gravedad. ¿Cuál es la velocidad

instantánea después de 2

11 segundos?.

5. Una pelota se arroja verticalmente hacia arriba con una velocidad de 40cm/seg. La

distancia recorrida en cm después de t segundos está dada por 21640 tts −= .

Determine la velocidad instantánea; a. después de un segundo Rp.:8cm/seg b. después de dos segundos Rp.:-24cm/seg

6. En el ejercicio anterior, calcule la velocidad instantánea después de t segundos.

a. ¿qué ocurre cuando 4

5=t ?

b. ¿cuál es la velocidad instantánea cuando 2

5=t ?

- 145 -

- 145 -

7. Aplique Teorema de L’ Hopital y verifique los resultados:

a. 1→x

lim1

14

3

−

−

x

x =

3

4

b. 1→x

lim( )2

33 2

1

12

−

+−

x

xx =

9

1

c. 27→x

lim3

273 −

−

x

x = 27

d. 5→x

lim5

41

−

−−

x

x = -

2

1

e. 4→x

lim4

162

−

−

x

x = 8

f. 0→h

limh

xhx −+ =

x2

1

g. 0→h

limh

xhx

11−

+ =

xx2

1−

h. 4→x

lim22

312

−−

−+

x

x =

3

22

i. 7→x

lim49

322 −

−−

x

x =

56

1−

j. 1→x

lim1

13 −

−

x

x =

6

1

k. 0→x

lim

xx

x1

51

+

+

= 5

l. 01

12

3

1=

+

+

−→ x

xlimx

- 146 -

- 146 -

“DERIVADAS”

EJERCICIOS

I- Determinar la primera derivada, usando las operaciones básicas de derivación;

1. 8542 23 +−+= xxxy 586' 2 −+= xxy

2. 32 7

2

335 xxxy −−+−=

22133' xxy −−=

3. ( )42−= xy ( )3

24' −= xy

4. ( )32 2+= xy ( )22 26' += xxy

5. ( )1024 xy −= ( )92420' xxy −−=

6. ( )62 542 −+= xxy ( ) ( )445426'52 +−+= xxxy

7. 35

3

1

5

1xxy += y’=

2

3

4

5 2

1

2

1x

xx

x+

8. 43 2 −= xy

43

3'

2 −=

x

xy

9. 21 xy −=

21'

x

xy

−−=

10. 32

346

xxxy −+=

432

986'

xxxy +−−=

11. ( )23 1+= xxy ( ) ( )1213' 322 +++= xxxxy

12. ( ) ( )2331 −+= xxy ( ) ( ) ( ) ( )312313'

322−++−+= xxxxy

13. ( ) ( )3222 xxy −+= ( ) ( ) ( ) ( )223

223222' xxxxy −+−−+=

14. 1

1

−

+=

x

xy

( )21

1

1

1'

−

+−

−=

x

x

xy

15. 2

2 32

x

xxy

−+=

3

2

2

322

22'

x

xx

x

xy

−+−

+=

16. 2

12

2

+

+=

x

xy

( )22 2

2'

+=

x

xy

17. ( )3

12

1

+=

xy

( )412

6'

+−=

xy

18. 9

1

2 −

−=

xy

( )32 9

'

−

=

x

xy

II.- En los siguientes ejercicios aplicar las propiedades de las derivadas antes mencionadas;

- 147 -

- 147 -

1. x

xy

23

23

+

−=

2)23(

12'

xy

+−=

2. 243 xxy −+=

y

xy

−=

2'

3. xy += 1

( ) xxy

+=

14

1'

4. ( )23sen 2 += xy )46sen(3' += xy

5. xxy 2sentg2

1⋅= xy 2sen' =

6. ( )23ln += xy

3

2'

+=

xy

7. ( )xy 3senln= xgy 3cot3' =

8. ( )21ln xxy ++= 2

1

1'

xy

+=

9. xexy ⋅= 2

)2(' += xxey x

10. xey x cos⋅= −

)cos(sen' xxey x +−= −

11. xxy sen23 ⋅=

( )x

xx

xy cos

1sen

3

2'

623

+=

12. ( )φω += tAy cos

( )φωω +−= tAy sen' 2

13. ( ) 51

2ln2 −= xy ( )25

2'

−=

xy

14. .,2 ln cteaay xx == −

−⋅⋅= −

xaay

xx

2

11ln2' ln

15. xy 22 +=

xxy

224

2'

+=

16. 13

2

+=

x

xy

( )23

4

1

2'

+

−=

x

xxy

- 148 -

- 148 -

17. ( )372 −= xy ( )2

726' −= xy

18. ( )4493 −= xy ( )3

49108' −= xy

19. 2

1

−=

xy

( )2

2

1'

−−=

xy

20.

2

3

1

−=

xy

( )33

2'

−−=

xy

21. 4

33 −

=x

y ( )23

2

4

9'

−−=

x

xy

22. ( )42 2−= xxy

( ) )23)22'3

−−= xxxy

23. xy −= 1 x

y−

−=12

1'

24. 122 −+= xxy ( )

12

1'

2 −+

+=

xx

xy

25. 3 2 49 += xy

( ) 32

2 49

6'

+

=

x

xy

26. 242 xy −=

24

2'

x

xy

−−=

27. ( ) 32

29 xy −=

( ) 31

293

4'

x

xy

−

−=

28. 2

1

+=

xy

( ) 23

22

1'

+−=

xy

29. 21 xxy −=

2

2

21

21'

x

xy

−

−=

30. 12 +

=x

xy

( )32 1

1'

+

=

x

y

- 149 -

- 149 -

31. 1

23

−

+=

x

xy

( )21

5'

−−=

xy

32. xxy cos2

12 −= xxy sen2

12' +=

33. xx

y sen31

−= xx

y cos31

'2

−−=

34. xxy cos34 += xx

y sen32

' −=

III.- Aplicar las fórmulas de derivación de funciones trigonométricas;

1. xy sen5= 2. xy cos7=

3. xy tg2= 4. xcy tg6−=

5. xy sec3= 6. xy csc5=

7. xxy sen2 ⋅= 8. xxy sec3 ⋅=

9. xxy sen3= 10. xxy −= tg

11. xxcy −−= tg 12. xy 2tg=

13. xy 3sen 2= 14. xy 2sen 3=

15. xy 3sen= 16. xxy 4sen3cos ⋅=

17. xy 4cos3= 18. xxy 3sen 52 ⋅=

19. ( )23sen5 += xy 20. ( )523sen += xy

21. xxxy cossen −= 22. xxy tgsen ⋅=

23. xcxy tg2csc3 +=

24. xxxxxy coscos2sen2 2−+=

25. xxxxxy sensen2cos2 2+−= 26. xxy 2sen 52=

27. xxxy cossen ⋅−= 28. xy 2sen=

29. x

xy

csc= 30.

x

xy

cos

sen1 +=

31. x

xy

cos

sen1 −= 32.

x

xy

tg

sec31 +=

- 150 -

- 150 -

Respuestas:

1. xy cos5'=

2. xy sen7' −=

3. xy 2sec2'=

4. xecy 2cos6'=

5. xtanxy sec3'=

6. anxecxy cotcos5' −=

7. )cossen2(' xxxxy +=

8. )3(sec' 2 xtanxxxy +=

9. )cossen3(' 2 xxxxy +=

10. xtany 2'=

11. xany 2cot'=

12. x

xtanxtany

21'

+=

13. xxy 3cos3sen6'=

14. xxy 2cos2sen6' 2=

15. xxy cossen3' 2=

16. xxxxy 4cos3cos44sen3sen3' +−=

17. xxy 4sen4cos12' 2−=

18. xxxxxy 3cos3sen153sen2' 425 +=

19. ( ) ( )23cos23sen15' 4 ++= xxy

20. ( )( )( )452323cos15' ++= xxy

21. xxy sen'=

22. xxxtanxy 2secsencos' +=

23. xananxecxy 2cot22cotcos3' −−−=

24. xxy sen' 2=

25. xxxxxy cossen4cos4' 2−−=

26. xxxxxy 2cos2sen102sen2' 425 +=

27. xy 2sen2'=

28. xy 2cos2'=

29. 3

cos

2

1cotcos'

x

ecx

x

anxecxy −−=

30. xx

xy sen

cos

sen11'

2

++=

31. xx

xy sen

cos

sen11'

2

−+−=

32. ( )xtanxtan

xxy

2

21

sec31sec3' +

+−=