Universidad TecnicaFederico Santa MarıaDepartamento de MatematicaCasa Central - Valparaıso

Matematica IVPreinforme Laboratorio #2

Calculo Vectorial

Laboratorio MAT - 024Fecha Entrega: En la sesion #8 correspondiente a la semana del 1 al 5 de Junio.

Importante

Considere como α el dıa de la semana correspondiente a su sesion de laboratorio (lunes=1, martes=2,..., etc.)ademas β representa el penultimo dıgito de su rol (numero antes del guion por ejemplo: en 12345678− 9 setiene que β = 8).

El formato de evaluacion para este preinforme sera: Desarrollo analıtico, planteamiento del problema, desa-rrollo computacional, resultados y conclusiones. Apoyese en el software Mathematica para el desarrollo deltrabajo.

Resolver 5 ejercicios: Problemas 1,2 y 3 son obligatorios para todos, entre el ejercicio 4 y el 5 Ud. Debeseleccionar uno y lo mismo para los ejercicios 5 y 6. El alumno interesado en resolver todos los ejerciciospropuestos tendra una bonificacion extra en la nota del preinforme.

Enunciados

1. Considere la curva C descrita por x = 2 sin 4t, y = (α + β) cos 2t, z = (α + β)t, 0 ≤ t ≤ π y el campo

vectorial ~F definido como

~F (x, y, z) =

(x

(x2 + y2 + z2)6,

y

(x2 + y2 + z2)6,

z

(x2 + y2 + z2)6

).

(a) ¿Es el campo vectorial ~F irrotacional?.

(b) Calcule el trabajo efectuado del campo ~F sobre la curva C.

2. Determinar el trabajo realizado por el campo de fuerzas ~F (x, y) =

((α+ β)y − y

4x2 + y2, (α+ β)x+

x

4x2 + y2

)a lo largo de la curva C recorrida en sentido antihorario descrita por x2/5 + y2/5 = 1

3. Considere la curva C interseccion de las superficies

S1 : z − x2 − 4y2 = 0 S2 : z = 2x+ 3, x ≥ 1.

Determine la masa de la curva C si la densidad en cada punto esta dada por

ρ(x, y, z) = (x− 1)|y|

4. Considere el campo vectorial~F (x, y, z) = (2z − 1, 0, 2y),

determine el trabajo a lo largo de la curva C dada por la interseccion de las superficies

S1 : z = x2 + y2, S2 : 4x2 + 4y2 + 1 = 4x+ 4y.

Para esto siga el siguiente esquema:

(a) Calcule el trabajo usando la definicion de integrales de lınea.

(b) Calcule el trabajo usando el Teorema de Stokes mediante el uso de dos superficies distintas.

5. Sea ~F (x, y, z) =(f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z)

)un campo vectorial diferenciable en todo R3 tal que ∇· ~F =

0.

(a) Verifique que el campo vectorial ~G(x, y, z) =(M(x, y, z), N(x, y, z), P (x, y, z)

)donde

• M(x, y, z) =

∫ z

z0

f2(x, y, u)du

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• N(x, y, z) =

∫ x

x0

f3(u, y, z0)du−∫ z

z0

f1(x, y, u)du

• P (x, y, z) = 0

para x0 y z0 arbitrarios cumple que∇× ~G = ~F

(b) Sea S una superficie regular orientada segun la normal unitaria n cuyo borde es un curva cerrada simple Cparametrizada por ~r(t) =

(cos2 t, sin2 t+ cos t, sin t

)con t ∈ [0, 2π]. Determine el flujo del campo vectorial

~F (x, y, z) = (y, y + x, y − z) a traves de la superficie S.

Importante: Recuerde que dσ representa el diferencial de area de superficie que tambien es denotado como dAo bien, como dS.

6. Sea Ω ⊂ R3 una region en el espacio la cual contiene un fluido. Si el campo de velocidades del fluido vienedescrito por ~F (x, y, z) = (x,−4y, z) y si su densidad esta dada por ρ(x, y, z) = x2 + z2. Determine la cantidadde masa que atraviesa la superficie S ⊂ Ω en un instante de tiempo en la direccion de la normal unitariaexterior. Para esto considere que la superficie S esta definida como:

S :x2

4+ y2 = 1, 0 ≤ z ≤ 2− x.

(a) Resuelva utilizando el teorema de la divergencia de Gauss.

(b) Resuelva sin utilizar el teorema de la divergencia de Gauss

7. Determine el flujo del campo vectorial ~F (x, y, z) =

(ey,− zx

4x2 + y2 + z2,

xy

4x2 + y2 + z2

)a traves de cualquier

superficie S descrita mediante:x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 con a, b, c > 0; la cual esta orientada respecto a la normal

unitaria exterior.

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